2020年广东省惠州市高考数学一模试卷(文科)(含答案解析)
2020年广东省惠州市高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合，集合，则A. B. C. D.2.已知i为虚数单位，下列各式的运算结果为纯虚数的是A. B. C. D.3.已知a，，则“”是“”的条件．A. 充分而不必要B. 必要而不充分C. 充要D. 既不充分也不必要4.已知数据，，，的方差为4，若2，，，则新数据，，，的方差为A. 16B. 13C.D.5.函数的图象大致形状是A. B.C. D.6.我国古代木匠精于钻研，技艺精湛，常常设计出巧夺天工的建筑．在一座宫殿中，有一件特别的“柱脚”的三视图如图所示，则其体积为A. B. C. D.7.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，且满足，则的值为A. 2B. 3C.D.8.已知函数，则满足的x取值范围是A. B. C. D.9.已知F是抛物线的焦点，过焦点F的直线l交抛物线的准线于点P，点A在抛物线上且，则直线l的斜率为A. B. C. D.10.设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是A. 若，，则B. 若，，，则C. 若，，，则D. 若，，则11.函数的最小正周期为，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数的图象A. 关于点对称B. 在上单调递增C. 关于直线对称D. 在处取最大值12.已知函数，若关于x的方程恰好有四个不相等的实数根，则实数m的取值范围是A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设直线是曲线的一条切线，则实数m的值是______．14.已知向量，，若向量与垂直，则______．15.2020年初，一场突如其来的“新型冠状肺炎”使得全国学生无法在春季正常返校开学，不得不在家“停课不停学”为了解高三学生每天居家学习时长，从某校的调查问卷中，随机抽取n个学生的调查问卷进行分析，得到学生学习时长的频率分布直方图如图所示已知学习时长在的学生人数为25，则n的值为______．16.已知椭圆的左、右焦点分别为、，P为椭圆上的动点，若动点Q满足且，则点Q到双曲线一条渐近线距离的最大值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.设等差数列的前n项和为，，．求数列的通项公式；若，求数列前n项和．参考公式：．18.已知几何体ABCDEF中，，，，面ABCD，，．求证：平面平面BCF；求点B到平面ECD的距离．19.惠州市某学校高三年级模拟考试的数学试题是全国I卷的题型结构，其中第22、23题为选做题，考生只需从中任选一题作答．已知文科数学和理科数学的选做题题目无任何差异，该校参加模拟考试学生共1050人，其中文科学生150人，理科学生900人．在测试结束后，数学老师对该学校全体高三学生选做的22题和23题得分情况进行了统计，22题统计结果如表1，23题统计222题得分035810理科人数507080100500文科人数52010570表123题得分035810理科人数1010152540文科人数552505表2在答卷中完成如下列联表，并判断能否至少有的把握认为“选做22题或23题”与“学生的科类文理”有关系；选做22题选做23题合计文科人数110理科人数100总计1050在第23题得分为0的学生中，按分层抽样的方法随机抽取6人进行答疑辅导，并在辅导后从这6人中随机抽取2人进行测试，求被抽中进行测试的2名学生均为理科生的概率．参考公式：，其中．20.已知函数，且．当时，求函数的单调区间与极值；当时，恒成立，求a的取值范围．21.已知椭圆C：的两个焦点分别是、，直线l：与椭圆交于A、B两点．若M为椭圆短轴上的一个顶点，且是直角三角形，求a的值；若，且，求证：的面积为定值．22.在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为为参数，以坐标原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为求曲线的极坐标方程和的直角坐标方程；设P是曲线上一点，此时参数，将射线OP绕原点O逆时针旋转交曲线于点Q，记曲线的上顶点为点T，求的面积．23.已知函数Ⅰ当时，求不等式的解集；Ⅱ设，，且的最小值是若，求的最小值．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：，，集合，，故选：A．先求出集合B，再利用集合的并集运算即可求出结果．本题主要考查了集合的基本运算，是基础题．2.答案：C解析：解：对于A，，不是纯虚数；对于B，，不是纯虚数；对于C，，是纯虚数；对于D，，不是纯虚数．故选：C．利用复数代数形式的乘除运算化简逐一化简四个选项得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.答案：B解析：解：，，“”是“”的必要不充分条件，故选：B．根据对数的基本运算和充分条件和必要条件的定义即可得到结论．本题主要考查充分条件和必要条件的判断、对数函数的单调性，比较基础．4.答案：A解析：解：根据题意，样本数据，，，的方差是4，2，，，则，，，的方差为，故选：A．根据题意，由数据方差的性质分析可得答案．本题考查方差的计算公式，注意方差的性质，属于基础题．5.答案：B解析：解：，根据指数函数的图象可知，选项B符合题意．故选：B．由，然后根据指数函数的图象可判断．本题主要考查了函数图象的应用，属于基础试题．6.答案：D解析：解：根据几何体的三视图可得直观图，该几何体由一个三棱锥体和半个圆锥体构成的几何体．如图所示：则：．故选：D．首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的体积．本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积和表面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．7.答案：D解析：解：，由正弦定理得：．，化为：，，在中，，，得：，．，故选：D．利用正弦定理把题设等式中的边换成角的正弦，进而利用两角和公式化简整理求得cos B的值，从而求得B，再运用平面向量数量积运算性质计算即可本题以三角形为载体，主要考查了正弦定理的运用，考查平面向量数量积运算性质，考查了学生综合分析问题和解决问题的能力，属于中档题．8.答案：A解析：解：函数的定义域为R，且，函数是偶函数，于是原不等式可等价为，当时，在区间上单调递增，，解得，故选：A．先利用函数奇偶性的定义证明是偶函数，于是原不等式可等价为，再结合基本初等函数的单调性，可知当时，单调递增，所以，解之即可．本题考查函数单调性和奇偶性的应用，以及绝对值不等式的解法，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题．9.答案：C解析：【分析】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查．通过抛物线的定义与性质求出A的坐标，得到P的坐标，然后求解直线的斜率即可．【解答】解：F是抛物线的焦点，过焦点F的直线l交抛物线的准线于点P，点A在抛物线上且，可得A的坐标所以，所以直线l的斜率为：．故选：C．10.答案：D解析：【分析】本题考查空间中的线面关系以及面面垂直的判定定理，属于基础题．由空间中的线面关系一一判定即可．【解答】解：错误，同时和一个平面平行的两直线不一定平行，可能相交，可能异面；B.错误，两平面平行，两平面内的直线不一定平行，可能异面；C.错误，一个平面内垂直于两平面交线的直线，只有在两个平面互相垂直的时候才与另一个平面垂直；D.正确，由，，得，又，．故选D．11.答案：A解析：解：函数的最小正周期为，，函数图象向右平移个单位后得到的函数为的图象，又所得函数为奇函数，，可得，对于A，，则的图象关于点对称，故A成立；对于B，由于，，可得：，，可得的单调递增区间为，，故B错误；对于C，由，，解得，，故C错误；对于D，，故D错误．故选：A．由题意利用函数的图象变换规律，三角函数的奇偶性，求出的解析式，再根据三角函数图象的对称性，得出结论．本题主要考查函数的图象变换规律，三角函数的奇偶性以及图象的对称性，属于中档题．12.答案：A解析：解：由题意可知，函数的定义域为，当时，，则，，函数在上单调递增；当时，，则，，令得，，函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数的大致图象，如图所示：，令，则方程化为，关于x的方程恰好有四个不相等的实数根，关于t的方程有两个不相等的实根，，且，，设，则，解得：，故选：A．函数的定义域为，对x分情况讨论，分别利用导数得到函数的单调性，从而得到函数的大致图象，令，则，关于x的方程恰好有四个不相等的实数根，等价于关于t的方程有两个不相等的实根，，且，，设，再利用二次函数的图象和性质解出不等式组，即可求出a的取值范围．本题主要考查了函数的零点与方程的根的关系，考查了利用导数研究函数的单调性，以及二次函数的性质，是中档题．13.答案：1解析：解：因为，令得，代入，故切点为．代入得．故答案为：1．先求出曲线的导数，然后令其等于1，由此求出切点坐标，代入切线求出m的值．本题考查导数的几何意义和切线方程的求法，属于基础题．14.答案：7解析：解：向量，，，向量与垂直，，解得．故答案为：7．求出，由向量与垂直，能求出x的值．本题考查实数值的求法，考查向量坐标运算法则、向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15.答案：50解析：解：由频率分布直方图的性质，得：，解得，学习时长在的频率为，解得．故答案为：50．由频率分布直方图的性质，列出方程，求出，再由学习时长在的频率为，能求出结果．本题考查样本单元数的求法，考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16.答案：解析：解：由椭圆方程可得，，，则，．若动点Q满足且，可得，P，Q三点共线，且同向，由，可得Q的轨迹是以为圆心，6为半径的圆，双曲线的一条渐近线方程为，即．由圆心到直线的距离为．点Q到双曲线一条渐近线距离的最大值为．故答案为：．由题意结合椭圆定义求得Q的轨迹，求出双曲线的一条渐近线方程，再求出到渐近线的距离，则答案可求．本题考查椭圆与双曲线的综合，考查点到直线距离公式的应用，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．17.答案：解：设等差数列的公差为d，由，知，即．又由，得．．；由．．解析：设等差数列的公差为d，由已知结合等差数列的性质求得与的值，再由求公差，进一步求得通项公式；把数列的通项公式代入，展开后利用数列的分组求和与等差数列的前n项和公式求解．本题考查等差数列的通项公式与前n项和，训练了数列的分组求和，考查计算能力，是中档题．18.答案：证明：由已知得，，，，且面ABCD，面ABCD，平面ABCD，，，平面BCF，面BDF，平面平面BCF．解：面ABCD，，，，，，平面EAD，平面EAD，平面EAD，，为直角三角形，设点B到平面ECD的距离为h，则，，，点B到平面ECD的距离为．解析：推导出，面ABCD，，从而平面BCF，由此能证明平面平面BCF．设点B到平面ECD的距离为h，由，能求出点B到平面ECD的距离．本题考查面面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.选做22题选做23题合计文科人数11040150理科人数800100900总计9101401050由表中数据，计算，所以有的把握认为“选做22题或23题”与“学生的科类文理”有关系；由分层抽样的方法可知，在被选取的6人中理科生有4人，记为a、b、c、d，文科生有2人，记为E、F，从这6人中随机抽取2人，基本事件数为ab、ac、ad、aE、aF、bc、bd、bE、bF、cd、cE、cF、dE、dF、EF共15种；被抽中的2名学生均为理科生的基本事件是ab、ac、ad、bc、bd、cd共6种，故所求的概率为．解析：根据题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；由分层抽样法和列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．本题考查了独立性检验问题，也考查了列举法求概率的问题，是基础题．20.答案：解：当时，函数，，，当时，，当时，，所以函数的单调增区间为，单调减区间为，当时，函数取极大值，无极小值；令，根据题意，当时，恒成立，，当，时，恒成立，所以在上是增函数，且，所以不符合题意，当，时，恒成立，所以在上是增函数，且，所以不符合题意，当时，，恒有，故在上是减函数，于是“对任意都成立”的充要条件是，即，解得，故，综上，a的取值范围是．解析：本题考查导数单调性的应用，属于中等题．求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间和极值即可；令，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出a的范围即可．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．21.答案：解：因为M为椭圆短轴上的一个顶点，且是等腰直角三角形，所以，当时，，解得，当时，，解得，所以或．证明：当时，，设，，所以，所以，即，由，整理得，，所以，，所以，，所以，所以，所以，，因为O到直线的距离，所以，所以面积为定值1．解析：由题可知是等腰直角三角形，所以，当时，，解得a，当时，，解得a，当时，得椭圆的方程，设，，所以，又，即，联立椭圆和直线方程得关于x的一元二次方程，结合韦达定理得，，，可得，代入化简得，由弦长公式得，再分析点O 到直线的距离d，化简，即可得出结论．本题考查直线与椭圆的相交问题，定值问题，属于中档题．22.答案：解：由为参数，消去参数，可得曲线的普通方程为，由，，可得曲线的极坐标方程为．由，得，则的直角坐标方程为；当时，，，，将射线OP绕原点O逆时针旋转，交曲线于点Q，又曲线的上顶点为点T，，，则．解析：由为参数，消去参数，可得曲线的普通方程，结合，，可得曲线的极坐标方程．由，得，则的直角坐标方程可求；当时，，，，将射线OP绕原点O逆时针旋转，交曲线于点Q，又曲线的上顶点为点T，求出，，再求出的正弦值，代入三角形面积公式求解．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查计算能力，是中档题．23.答案：解：Ⅰ当时，，，，当时，不等式可化为，；当时，不等式可化为，；当时，不等式可化为，，综上，不等式的解集为．Ⅱ，，，即，，当且仅当，即时等号成立，的最小值为．解析：Ⅰ将代入中，然后利用零点分段法解不等式即可；Ⅱ先利用绝对值三角不等式求出的最小值，再利用基本不等式求出的最小值．本题考查了绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式和利用基本不等求最值，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．。
惠州市高三一模考试数学（文科）试题答案
惠州市高三模拟考试数学（文科）参考答案与评分标准一.选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案DAADCDBCBA1.【解析】在集合U 中，去掉1,5,7，剩下的元素构成U C A ，故选D.2.【解析】1231122i a bi i i ++==++，因此31,22a b ==.故选A. 3.【解析】由1cos 22a =可得21sin 2a =±，故1sin 2a =是21sin 4a =成立的充分不必要条件，故选A .4.【解析】①错, ②正确, ③错, ④正确.故选D5.【解析】∵318S =，∴23122(1)12210a a a q q q q +=+=⇒--=1q ⇒=或12q =-，故选C ． 6.【解析】由图像知A=1,311341264T πππ=-=,T π=⇒2ω=,由sin(2)16πφ⨯+=,||2πφ<得32ππφ+=⇒6πφ=⇒()sin(2)6f x x π=+，则图像向右平移6π个单位后得到的图像解析式为sin[2()]sin(2)666y x x πππ=-+=-，故选D ．7.【解析】 由3tan62c b π==2222344()c b c a ==-，则2c e a==，故选B. 8.【解析】由22(2011)(2012)(1)(0)log 2log 11f f f f -+=+=+=,故选C.9.【解析】设甲型货车使用x 辆，已型货车y 辆.则04082010100x y x y ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪+≥⎩，求Z=400x +300y 最小值，可求出最优解为（4，2），故min 2200Z =，故选B. 10.【解析】若a 与b 共线，则有ab =mq -np =0，故A 正确；因为b a =pn -qm ，而a b =mq -np ，所以有a b b a ≠，故选项②错误，故选A 。
广东省惠州市2020届高三第一次调研考试试题 数学(文)【含解析】
广东省惠州市2020届高三第一次调研考试试题数学（文）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1.已知集合{}2|20M x x x =-<，{2,1,0,1,2}N =--，则M N =（ ）A. ∅B. {}1C. {0}1，D. {101}-，， 【答案】B 【解析】 【分析】可以求出集合M ，然后进行交集的运算即可．【详解】由M 中不等式得()20x x -<，解得02x <<，即(0,2)M =，{}1M N ∴⋂=，故选B ．【点睛】考查描述法、列举法的定义，以及一元二次不等式的解法，交集的运算．2.设()()63235x x i y i ++-=++（i 为虚数单位），其中x ，y 是实数，则x yi +等于（ ） A. 5 13 C. 22 D. 2【答案】A 【解析】 【分析】直接由复数代数形式的乘除运算以及复数相等的条件，列出方程组求解即可得x ，y 的值，再由复数求模公式计算得答案．【详解】由6(32)i 3(5)i x x y ++-=++，得．63325x x y +=⎧∴⎨-=+⎩，解得34x y =-⎧⎨=⎩，345x yi i ∴+=-+=﹒故选A ． 【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件，考查了复数模的求法，是基础题．3.平面向量a 与b 的夹角为3π，()2,0a =，1b =，则2a b -= ( ) A. 236C. 0D. 2【答案】D 【解析】 【分析】先由()2,0a =，求出a ，再求出a b ，进而可求出2a b - 【详解】因为()2,0a =，所以2a =，所以13a b a b cos π==，所以222444442a b a a b b -=-+=-+=.故选D【点睛】本题主要考查向量模的运算，熟记公式即可，属于基础题型.4.不透明的箱子中有形状、大小都相同的5个球，其中2个白球，3个黄球．现从该箱子中随机摸出2个球，则这2个球颜色不同的概率为（ ） A.310B.25C.35D.710【答案】C 【解析】 【分析】先求出基本事件总数2510n C ==,这2个球颜色不同包含的基本事件个数11236M C C ==，由此能求出这2个球颜色不同的概率．【详解】设2只白球分别为1A 2A ，3只红球分别为1B ，2B ，3B ，从5只球中随机摸两只球， 其可能结果组成的基本事件有：{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}12111213212223121323,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A A A B A B A B A B A B A B B B B B B B 共10个．两只球颜色不同包含的基本事件有{}{}{}{}{}{}111213212223,,,,,,,,,,,A B A B A B A B A B A B 共6个，所以所求概率为：60.610P ==，故选C ． 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.若抛物线24y x =上的点M 到焦点的距离为10，则M 点到y 轴的距离是（ ） A. 6 B. 8C. 9D. 10【答案】C 【解析】 【分析】求出抛物线的准线方程，利用抛物线的定义转化求解即可．【详解】抛物线24y x =的焦点()10F ，，准线为1x =-，由M 到焦点的距离为10， 可知M 到准线的距离也为10，故到M 到的距离是9，故选C ． 【点睛】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．6.已知函数()cos(2)0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的最小正周期为π，将其图像向右平移6π个单位后得函数()2g x cos x =的图像，则ϕ的值为（ ） A.3π B.6π C. 3π-D. 6π-【答案】A 【解析】 【分析】利用余弦函数的周期公式可求ω，可得函数解析式()cos(2)f x x ϕ=+，根据三角函数的图象变换及各个选项的值即可求解． 【详解】由题意得22ππω=，故1ω=，()cos(2)f x x ϕ∴=+． ()cos 2cos 2cos 263g x x x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴=-+=-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，||2πϕ<，3πϕ∴=．故选A .【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，考查了函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，属于基础题．7.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比为q ，若639S S =，562S =，则1a =（ ） 2B. 25 D. 3【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，分析可得等比数列{}n a 的公比1q ≠±，进而由等比数列的通项公式可得()()631111911a q a q qq--=⨯--，解可得2q，又由()5151131621a q S aq-===-，解可得1a 的值，即可得答案．【详解】根据题意，等比数列{}n a 中，若639S S =，则1q ≠±， 若639S S =，则()()631111911a q a q qq--=⨯--，解可得38q=，则2q ，又由562S =，则有()5151131621a q S aq-===-，解可得12a =；故选：B ．【点睛】本题考查等比数列的前n 项和公式的应用，关键是掌握等比数列的前n 项和的性质．8.已知函数()()e xf x x a =+的图象在1x =和1x =-处的切线相互垂直，则a =（ ）A. 1-B. 0C. 1D. 2【答案】A 【解析】因为'()(1)xf x x a e =++ ，所以1'(1)(2)'(1)af a e f aee，-=+-==，由题意有(1)'(1)1f f -=- ，所以1a =-，选A.9.在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，1BC =，11AA =，,E F 分别为棱11A B ，11C D 的中点，则异面直线AF 与BE 所成角的余弦值为（ ） A. 0 5 C.3225【答案】A 【解析】 【分析】在正方体1111ABCD A B C D -中，连接CF 、AC 、EF ，则BE//CF ，把异面直线AF 与BE 所成的角，转化为相交直线AF 与CF 所成的角，在ACF ∆中，利用余弦定理求解，即可得到答案。
2020年6月广东省惠州市普通高中2020届高三高考模拟考试数学(文)参考答案解析
1绝密★启用前广东省惠州市普通高中2020届高三毕业班下学期高考模拟考试数学(文)试题参考答案解析2020年6月一、选择题： 1.【解析】集合B=1x x ≥，则A B ⋃=}0x x >，故选A ．2.【解析】对于A ，(1)1i i i +=-不是纯虚数；对于B ，22(1)22i i i +==-是实数；对于C ，22(1)2i i i +=-为纯虚数；对于D ，234110i i i i i i +++=--+=不是纯虚数．故选C ．3.【解析】若22log log a b <，则0a b <<,则a b <是0a b <<成立的必要不充分条件,故选B ．4.【解析】新数据122020,y y y L ，的方差为：2(2)4=16-⨯．故选A ．5.【解析】,0,0x xx y x ππ⎧>⎪=⎨-<⎪⎩ 根据指数函数图象,可知选B ．另解：(1)1f π=>,可排除CD,1(1)1f π-=->-,可排除A,故选B ．6.【解析】根据“柱脚”的三视图可知,该“柱脚”是由半圆柱和一个三棱柱组合而成,半圆柱的底面半圆的直径为4,高为2,故半圆柱的体积为212242ππ⨯⨯⨯=,三棱柱的底面三角形的一边长为4,该边上的高为2,该三棱柱的高为2,故该三棱柱体积为142282⨯⨯⨯=,所以该“柱脚”的体积为84π+．故选：C ．7.【解析】2)cos cos ,a c B b C -=Q （根据正弦定理得：2sin sin )cos sin cos ,A C B B C -=（。
2020年6月广东省惠州市普通高中2020届高三毕业班高考模拟考试数学(文)试题(解析版)
绝密★启用前广东省惠州市普通高中2020届高三毕业班下学期高考模拟考试数学(文)试题(解析版)2020年6月注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上.2.作答选择题时，选出每个小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效.3.非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.设集合{}|0A x x =>，集合{|B x y ==，则A B =（ ）A. {}|0x x >B. {}|01x x <≤C. {}|01x x ≤<D. {}|1x x ≥ 【答案】A【解析】【分析】先求出集合B ，然后再求并集运算.【详解】由{{}{}||10|1B x y x x x x ===-≥≥，得集合B =}{1x x ≥ 所以A B ⋃={}0x x >故选：A .【点睛】本题考查集合的描述法和集合的并集运算,属于基础题.2.已知i 为虚数单位,下列各式的运算结果为纯虚数的是（ ）A. (1)i i +B. 2(1)i i -C. 22(1)i i +D. 234i i i i +++ 【答案】C【解析】【分析】利用复数代数形式的乘法运算对选项进行逐一化简可得答案．【详解】对于A ,(1)1i i i +=-不是纯虚数；对于B ,()22122i i i -=-=是实数；对于C ,22(1)2i i i +=-为纯虚数；对于D ,234110i i i i i i +++=--+=不是纯虚数.故选：C.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念,是基础题．3.已知,a b ∈R ,则“a b <”是“22log log a b <”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】【分析】根据不等式的关系,结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】若22log log a b <,则0<a<b,则a b < 是0<a<b 成立的必要不充分条件,故选B ．。
广东惠州市2020届高三第一次调研考试数学(文科)答案解析
∴
g(x)
=
cos
2
x
−
π 6
+
=
cos
2x
−
π 3
+
=
cos
2x
，∵|
|
2
，∴
=
π 3
,故选
A．
( ) ( ) 7.
【解析】由题意得 q 1．由 S6
=
9S3
得
a1
1− q6 1− q
= 9 a1 1− q3 1− q
，
( ) ∴1+
∴ M 为 AC 的中点．…………………………………………2 分
取 PC 的中点为 E ，连接 ME, NE ．
B
∵ M 为 AC 中点， E 为 PC 中点，∴ ME∥PA ，……………………3 分
P
E
A
D
N M
C
又 ME 平面 PAD ， PA 平面 PAD ，（注：缺少本步骤，扣 1 分）
2
2Байду номын сангаас
3
∵ A + B + C = ,∴ sin B = sin(A + C) = sin(C + ) = 1 sin C + 3 cos C ………8 分
32
2
∴ S = 3 sin C cosC + 3 sin2 C = 3 sin 2C + 3 (1− cos 2C) ………………………9 分
二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 7
14. 4
15. 3
2020年广东省高考数学一模试卷(文科) (含解析)
2020年广东省高考数学一模试卷（文科）一、选择题（共12小题）1．已知集合A，B均为全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}的子集，集合A＝{1，2，3，4}，则满足A∩∁U B＝{1，2}的集合B可以是（）A．{1，2，3，4}B．{1，2，7}C．{3，4，5，6}D．{1，2，3}2．复数z=4+3i3−4i（i为虚数单位）的虚部为（）A．﹣1B．2C．5D．13．已知向量a→=(12，−1)向量b→满足2a→+b→=（﹣1，m），若a→⊥b→，则m＝（）A．﹣3B．3C．1D．24．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，上、下顶点分别为A，B，若四边形AF2BF1是正方形且面积为4，则椭圆C的方程为（）A．x24+y22=1B．x22+y2=1C．x23+y22=1D．x24+y23=15．如图，△OAB是边长为2的正三角形，记△OAB位于直线x＝t（0＜t≤2）左侧的图形的面积为f（t），则y＝f（t）的大致图象为（）A ．B ．C ．D ．6．若sin(π+α)=√23，则sin(2α−π2)的值为（ ）A ．−19B ．−59C ．19D ．597．甲、乙两人分别从4种不同的图书中任选2本阅读，则甲、乙两人选的2本恰好相同的概率为（ ）A ．14B ．13C ．16D ．1368．某广场设置了一些石凳子供大家休息，这些石凳子是由正方体沿各棱的中点截去八个一样的正三棱锥后得到的．如果被截正方体的棱长为40cm ，则石凳子的体积为（ ）A ．1920003cm 3B ．1600003cm 3C ．160003cm 3D ．640003cm 39．执行如图的程序框图，若输出A 的值为70169，则输入i 的值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．710．已知O 是坐标原点，双曲线C ：x 2a −y 2b =1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，过点F 的直线l 与x 轴垂直，且交双曲线C 于A ，B 两点，若△ABO 是等腰直角三角形，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．√5+12B ．√5−12C ．√5−1D ．√5+111．在△ABC 中，已知A ＝60°，D 是边BC 上一点，且BD ＝2DC ，AD ＝2，则△ABC 面积的最大值为（ ） A ．√3B ．32√3C ．2√3D ．52√312．已知f （x ）是定义在（−π2，π2）上的奇函数，f （1）＝0，且当x ∈（0，π2）时，f （x ）+f ′（x ）tan x ＞0，则不等式f （x ）＜0的解集为（ ） A ．（﹣1，0）∪（1，π2）B ．（﹣1，0）∪（0，1）C ．（−π2，﹣1）∪（1，π2） D ．（−π2，﹣1）∪（0，1）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．设函数f （x ）＝mx 2lnx ，若曲线y ＝f （x ）在点（e ，f （e ））处的切线与直线ex +y +2020＝0平行，则m ＝ ．14．若x ，y 满足约束条件{|x −y|≤1|x|≤2，则z ＝2x +y 的最大值为 ．15．如图，已知三棱锥P ﹣ABC 满足PA ＝PB ＝PC ＝AB ＝2，AC ⊥BC ，则该三棱锥外接球的体积为 ．16．函数f（x）＝sinπx+a cosπx满足f（x）＝f（13−x），x∈[0，32]，方程f（x）﹣m＝0恰有两个不等的实根，则实数m的取值范围为．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知{a n}为单调递增的等差数列，设其前n项和为S n，S5＝﹣20，且a3，a5+1，a9成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求S n的最小值及取得最小值时n的值．18．某城市2018年抽样100户居民的月均用电量（单位：千瓦时），以[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]分组，得到如表频率分布表：分组频数频率[160，180）n10.04[180，200）19f1[200，220）n20.22[220，240）250.25[240，260）150.15[260，280）10f2[280，300]50.05（1）求表中n1，n2，f1，f2的值，并估计2018年该市居民月均用电量的中位数m；（2）该城市最近十年的居民月均用电量逐年上升，以当年居民月均用电量的中位数u（单位：千瓦时）作为统计数据，如图是部分数据的折线图．由折线图看出，可用线性回归模型拟合u与年份t的关系．①为简化运算，对以上数据进行预处理，令x＝t﹣2014，y＝u﹣195，请你在答题卡上完成数据预处理表；②建立u关于t的线性回归方程，预测2020年该市居民月均用电量的中位数．附：回归直线y=b x+a的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b=∑n i=1x i y i−nxy ∑n i=1x i2−nx2，a=y−b x．19．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1，D是AB的中点，E是C1C的中点，且AB＝1，AA1＝2．（1）证明：CD∥平面A1EB；（2）求点A1到平面BDE的距离．20．动圆C与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且x1，x2是方程x2+2mx﹣4＝0的两根．（1）若线段AB是动圆C的直径，求动圆C的方程；（2）证明：当动圆C过点M（0，1）时，动圆C在y轴上截得弦长为定值．21．已知函数f（x）＝e x+（m﹣e）x﹣mx2．（1）当m＝0时，求函数f（x）的极值；（2）当m＜0时，证明：在（0，1）上f（x）存在唯一零点．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ﹣2ρsinθ＝1．若P为曲线C1上的动点，Q是射线OP上的一动点，且满足|OP|•|OQ|＝2，记动点Q的轨迹为C2．（1）求C2的直角坐标方程；（2）若曲线C1与曲线C2交于M，N两点，求△OMN的面积．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f(x)=|x−k|+12|x+3|−2(k∈R)．（1）当k＝1时，解不等式f（x）≤1；（2）若f（x）≥x对于任意的实数x恒成立，求实数k的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A，B均为全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}的子集，集合A＝{1，2，3，4}，则满足A∩∁U B＝{1，2}的集合B可以是（）A．{1，2，3，4}B．{1，2，7}C．{3，4，5，6}D．{1，2，3}【分析】根据题意得出1，2∉B，即可判断结论．解：∵集合A，B均为全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}的子集，集合A＝{1，2，3，4}，要满足A∩∁U B＝{1，2}；则1，2∉B，故符合条件的选项为C．故选：C．【点评】本题考查集合了的交、并、补集的混合运算问题，是基础题．2．复数z=4+3i3−4i（i为虚数单位）的虚部为（）A．﹣1B．2C．5D．1【分析】利用复数的运算法则即可得出．解：∵z=4+3i3−4i=(4+3i)(3+4i)(3−4i)(3+4i)=25i25=i，∴复数z=4+3i3−4i的虚部是1，故选：D．【点评】本题考查了复数的运算法则，属于基础题．3．已知向量a→=(12，−1)向量b→满足2a→+b→=（﹣1，m），若a→⊥b→，则m＝（）A ．﹣3B ．3C ．1D ．2【分析】由题意利用两个向量坐标形式的运算，两个向量垂直的性质、两个向量的数量积公式，求得m 的值．解：向量a →=(12，−1)，向量b →满足2a →+b →=（﹣1，m ），设b →=（ x ，y ），则（1+x ，﹣2+y ）＝（﹣1，m ），∴1+x ＝﹣1，且﹣2+y ＝m ， 求得x ＝﹣2，m ＝y ﹣2．若a →⊥b →，则a →⋅b →=x 2−y ＝﹣1﹣y ＝0，故y ＝﹣1，∴m ＝y ﹣2＝﹣3， 故选：A ．【点评】本题主要考查两个向量坐标形式的运算，两个向量垂直的性质、两个向量的数量积公式，属于基础题．4．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，上、下顶点分别为A ，B ，若四边形AF 2BF 1是正方形且面积为4，则椭圆C 的方程为（ ） A ．x 24+y 22=1B ．x 22+y 2=1C ．x 23+y 22=1D ．x 24+y 23=1【分析】由四边形AF 2BF 1是正方形且面积为4可得b ，c 的值，再由a ，b ，c 之间的关系求出a 的值，进而求出椭圆的面积． 解：由AF 2BF 1是正方形可得b ＝c ，再由AF 2BF 1的面积为4可得12•2c •2b ＝4，即bc ＝2，又a 2＝b 2+c 2，解得：a 2＝4，b 2＝2，所以椭圆的方程为：x 24+y 22=1；故选：A ．【点评】本题考查椭圆的性质，及正方形的面积与对角线的关系，属于中档题． 5．如图，△OAB 是边长为2的正三角形，记△OAB 位于直线x ＝t （0＜t ≤2）左侧的图形的面积为f （t ），则y ＝f （t ）的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】根据面积的变换趋势与t 的关系进行判断即可．解：当0＜x ＜1时，函数的面积递增，且递增速度越来越快，此时，CD ，不合适， 当1≤x ≤2时，函数的面积任然递增，且递增速度逐渐变慢，排除A ， 故选：B ．【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数递增速度与t 的关系是解决本题的关键．难度不大．6．若sin(π+α)=√23，则sin(2α−π2)的值为（ ）A．−19B．−59C．19D．59【分析】由已知利用诱导公式可求sinα的值，进而利用诱导公式，二倍角的余弦函数公式化简所求即可求解．解：∵sin(π+α)=√23，∴可得sinα=−√23，∴sin(2α−π2)=−cos2α＝2sin2α﹣1＝2×（−√23）2﹣1=−59．故选：B．【点评】本题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．7．甲、乙两人分别从4种不同的图书中任选2本阅读，则甲、乙两人选的2本恰好相同的概率为（）A．14B．13C．16D．136【分析】基本事件总数n=C42=6，由此能求出甲、乙两人选的2本恰好相同的概率．解：甲、乙两人分别从4种不同的图书中任选2本阅读，基本事件总数n=C42=6，则甲、乙两人选的2本恰好相同的概率p=1 6．故选：C．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力以及化归与转化思想，是基础题．8．某广场设置了一些石凳子供大家休息，这些石凳子是由正方体沿各棱的中点截去八个一样的正三棱锥后得到的．如果被截正方体的棱长为40cm，则石凳子的体积为（）A ．1920003cm 3B ．1600003cm 3C ．160003cm 3D ．640003cm 3【分析】由正方体的体积减去八个正三棱锥的体积求解． 解：如图，正方体AC 1 的棱长为40cm ，则截去的一个正三棱锥的体积为13×12×20×20×20=40003cm 3．又正方体的体积为V ＝40×40×40＝64000cm 3，∴石凳子的体积为64000−8×40003=1600003cm 3， 故选：B ．【点评】本题考查多面体体积的求法，考查计算能力，是基础题．9．执行如图的程序框图，若输出A 的值为70169，则输入i 的值为（ ）A．4B．5C．6D．7【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量A的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解：模拟程序的运行，可得A=12，k＝1满足条件1≤i，执行循环体，A=25，k＝2满足条件2≤i，执行循环体，A=512，k＝3满足条件3≤i，执行循环体，A=1229，k＝4满足条件4≤i，执行循环体，A=2970，k＝5满足条件5≤i，执行循环体，A=70 169，k＝6由题意，此时不满足条件6≤i，退出循环，输出A的值为70 169，可得输入i的值为5．故选：B．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．10．已知O是坐标原点，双曲线C：x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过点F的直线l与x轴垂直，且交双曲线C于A，B两点，若△ABO是等腰直角三角形，则双曲线C的离心率为（）A．√5+12B．√5−12C．√5−1D．√5+1【分析】由双曲线的性质，结合通径以及半焦距，可得a，c的方程，运用离心率公式计算即可得到．解：由题意可知：|AF |=b 2a，双曲线C ：x 2a −y 2b =1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，过点F 的直线l 与x 轴垂直，且交双曲线C 于A ，B 两点，若△ABO 是等腰直角三角形，可得c =b 2a =c 2−a 2a，e ＝e 2﹣1，e ＞1解得e =√5+12．故选：A ．【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要考查离心率的求法，同时考查勾股定理的运用，灵活运用双曲线的定义是解题的关键．11．在△ABC 中，已知A ＝60°，D 是边BC 上一点，且BD ＝2DC ，AD ＝2，则△ABC 面积的最大值为（ ） A ．√3B ．32√3 C ．2√3D ．52√3【分析】先根据向量的三角形法则得到AD →=13AB →+23AC →；对其两边平方，求出bc 的取值范围即可求得结论．解：因为在△ABC 中，已知A ＝60°，D 是边BC 上一点，且BD ＝2DC ，AD ＝2，；∴AD →=AB →+BD →=AB →+23BC →=AB →+23（AC →−AB →）=13AB →+23AC →；∴AD →2=19AB →2+2×13AB →×23AC →+49AC →2；即：4=19c 2+49bc •cos60°+49b 2⇒36＝c 2+2bc +4b 2≥2√c 2⋅4b 2+2bc ＝6bc ；∴bc ≤6，（当且仅当2b ＝c 时等号成立）；∵S △ABC =12bc sin A ≤12×6×√32=3√32． 即△ABC 面积的最大值为：3√32．故选：B ．【点评】本题考查△ABC 的面积的求法以及向量知识的综合应用，涉及到基本不等式，属于中档题目．12．已知f （x ）是定义在（−π2，π2）上的奇函数，f （1）＝0，且当x ∈（0，π2）时，f （x ）+f ′（x ）tan x ＞0，则不等式f （x ）＜0的解集为（ ） A ．（﹣1，0）∪（1，π2）B ．（﹣1，0）∪（0，1）C ．（−π2，﹣1）∪（1，π2） D ．（−π2，﹣1）∪（0，1）【分析】令g （x ）＝f （x ）sin x ，g ′（x ）＝[f （x ）+f ′（x ）tan x ]•cos x ，当x ∈（0，π2）时，根据f （x ）+f ′（x ）tan x ＞0，可得函数g （x ）单调递增．又g （1）＝0，可得x ∈（0，1）时，g （x ）＝f （x ）sin x ＜0，sin x ＜0，解得f （x ）＜0．x ＝0时，f （0）＝0，舍去．根据f （x ）是定义在（−π2，π2）上的奇函数，可得g （x ）是定义在（−π2，π2）上的偶函数．进而得出不等式f （x ）＜0的解集．解：令g （x ）＝f （x ）sin x ，g ′（x ）＝f （x ）cos x +f ′（x ）sin x ＝[f （x ）+f ′（x ）tan x ]•cos x ，当x ∈（0，π2）时，f （x ）+f ′（x ）tan x ＞0，∴g ′（x ）＞0，即函数g （x ）单调递增．又g （1）＝0，∴x ∈（0，1）时，g （x ）＝f （x ）sin x ＜0，sin x ＜0，解得f （x ）＜0． x ＝0时，f （0）＝0，舍去．∵f （x ）是定义在（−π2，π2）上的奇函数，∴g （x ）是定义在（−π2，π2）上的偶函数．∴不等式f （x ）＜0的解集为（﹣1，0）∪（0，1）． 故选：B ．【点评】本题考查了利用导数研究的单调性、构造法、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．设函数f （x ）＝mx 2lnx ，若曲线y ＝f （x ）在点（e ，f （e ））处的切线与直线ex +y +2020＝0平行，则m ＝ −13．【分析】求出f （x ）的导数，然后根据切线与直线ex +y +2020＝0平行，得f ′（e ）＝﹣e ，列出关于m 的方程，解出m 的值． 解：f ′（x ）＝m （2xlnx +x ），又曲线y ＝f （x ）在点（e ，f （e ））处的切线与直线ex +y +2020＝0平行，∴f ′（e ）＝3em ＝﹣e ，解得m =−13．故答案为：−13．【点评】本题考查导数的几何意义和切线方程的求法，同时考查学生运用方程思想解题的能力和运算能力．14．若x ，y 满足约束条件{|x −y|≤1|x|≤2，则z ＝2x +y 的最大值为 7 ．【分析】先画出线性约束条件表示的可行域，再将目标函数赋予几何意义，最后利用数形结合即可得目标函数的最值．解：画出x ，y 满足约束条件{|x −y|≤1|x|≤2，可行域如图阴影部分由{x =2x −y =−1，得A （2，3） 目标函数z ＝2x +y 可看做斜率为﹣2的动直线，其纵截距越大z 越大，由图数形结合可得当动直线过点A时，z最大＝2×2+3＝7．故答案为：7．【点评】本题主要考查了线性规划，以及二元一次不等式组表示平面区域的知识，数形结合的思想方法，属于基础题．15．如图，已知三棱锥P﹣ABC满足PA＝PB＝PC＝AB＝2，AC⊥BC，则该三棱锥外接球的体积为3227√3π．【分析】因为AC⊥BC，所以△ABC的外接圆的圆心为斜边AB的中点D，再由PA＝PB ＝PC可得球心O在直线PD所在的直线上，设为O，然后在直角三角形中由勾股定理可得外接球的半径，进而求出外接球的体积．解：因为AC⊥BC，所以△ABC的外接圆的圆心为斜边AB的中点D，可得外接圆的半径为r=12AB=1，再由PA＝PB＝PC＝AB＝2可得PD⊥面ABC，可得PD=√PA2−AD2=√3，可得球心O在直线PD所在的直线上，设外接球的半径为R，取OP＝OA＝R，在△OAD 中，R 2＝r 2+（PD ﹣R ）2， 即R 2＝1+（√3−R ）2，解得：R =2√3=2√33， 所以外接球的体积V =4π3R 3=32√327π， 故答案为：32√327π．【点评】本题考查三棱锥的棱长与外接球的半径之间的关系，及球的体积公式，属于中档题．16．函数f （x ）＝sin πx +a cos πx 满足f （x ）＝f （13−x ），x ∈[0，32]，方程f （x ）﹣m ＝0恰有两个不等的实根，则实数m 的取值范围为 √3≤m ＜2或﹣2＜m ≤﹣1 ． 【分析】首先利用函数的对称性求出函数的关系式，进一步利用函数的图象求出函数f （x ）的图象和函数y ＝m 的交点，进一步求出结果．解：函数f （x ）＝sin πx +a cos πx 满足f （x ）＝f （13−x ），则函数的对称轴为x =16，当x =16时，函数f （x ）取得最值，即±√1+a 2=sin π6+acos π6，整理得a 2−2√3a +3=0，解得a =√3， 所以f （x ）＝sin πx +√3cosπx =2sin （πx +π3）． 由于x ∈[0，32]，所以π3≤πx +π3≤3π2+π3=11π6，根据函数的图象，当√3≤m＜2或﹣2＜m≤﹣1时，函数的f（x）的图象与y＝m有两个交点，即方程f （x）﹣m＝0恰有两个不等的实根，故答案为：√3≤m＜2或﹣2＜m≤﹣1．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，函数的图象的应用，函数的零点和函数的图象的交点的关系的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知{a n}为单调递增的等差数列，设其前n项和为S n，S5＝﹣20，且a3，a5+1，a9成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求S n的最小值及取得最小值时n的值．【分析】（1）设等差数列的公差为d，d＞0，由等差数列的求和公式和通项公式，结合等比数列的中项性质，解方程可得首项和公差，进而得到所求通项公式；（2）由等差数列的求和公式，结合二次函数的最值求法，注意n为正整数，可得所求最值．解：（1）{a n}为单调递增的等差数列，设公差为d，d＞0，由S5＝﹣20，可得5a1+10d＝﹣20，即a1+2d＝﹣4，①由a3，a5+1，a9成等比数列，可得a3a9＝（a5+1）2，即（a1+2d）（a1+8d）＝（a1+4d+1）2，化为2a1d＝2a1+1+8d，②由①②解得d=12，a1＝﹣5，则a n＝﹣5+12（n﹣1）=12（n﹣11）；（2）S n=12n（﹣5+n−112）=14（n2﹣21n）=14[（n−212）2−4414]，由于n为正整数，可得n＝10或11时，S n取得最小值−55 2．【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，以及等比中项的性质，考查方程思想和化简运算能力，属于基础题．18．某城市2018年抽样100户居民的月均用电量（单位：千瓦时），以[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]分组，得到如表频率分布表：分组频数频率[160，180）n10.04[180，200）19f1[200，220）n20.22[220，240）250.25[240，260）150.15[260，280）10f2[280，300]50.05（1）求表中n1，n2，f1，f2的值，并估计2018年该市居民月均用电量的中位数m；（2）该城市最近十年的居民月均用电量逐年上升，以当年居民月均用电量的中位数u（单位：千瓦时）作为统计数据，如图是部分数据的折线图．由折线图看出，可用线性回归模型拟合u与年份t的关系．①为简化运算，对以上数据进行预处理，令x＝t﹣2014，y＝u﹣195，请你在答题卡上完成数据预处理表；②建立u关于t的线性回归方程，预测2020年该市居民月均用电量的中位数．附：回归直线y=b x+a的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b=∑n i=1x i y i−nxy ∑n i=1x i2−nx2，a=y−b x．【分析】（1）根据频数、频率和样本容量的关系可分别求出n1，n2，f1，f2的值；设样本的中位数为a，根据中位数的性质可列出关于a的方程，解之即可得解；（2）①根据折线图中的数据和x＝t﹣2014，y＝u﹣195，算出每组数据对应的x和y值即可；②由①中的数据，可求出x，y，再根据a，b的参考公式，求出这两个系数后可得y关于x的线性回归方程，再把t和u代入化简即可得u关于t的线性回归方程；令t＝2020，算出u的值就是所求．解：（1）n1＝100×0.04＝4；n2＝100×0.22＝22；f1=19100=0.19；f2=10100=0.1．设样本频率分布表的中位数为a，则0.04+0.19+0.22+0.25×120×(a−20)=0.5，解得a＝224，由样本估计总体，可估计2018年该市居民月均用电量的中位数m为224千瓦时．（2）①数据预处理如下表：x＝t﹣2014﹣4﹣2024 y＝u﹣195﹣21﹣1101929②由①可知，x=0，y=−21−11+0+19+295=3.2，∴b=∑n i=1x i y i−nxy∑n i=1x i2−nx2=(−4)×(−21)+(−2)×(−11)+2×19+4×29(−4)2+(−2)2+22+42=26040=6.5，a=y−b x=3.2−6.5×0=3.2，∴y关于x的线性回归方程为y=6.5x+3.2，∵x＝t﹣2014，y＝u﹣195，∴u﹣195＝6.5（t﹣2014）+3.2，故u关于t的线性回归方程为u＝6.5t﹣12892.8，当t＝2020时，u＝6.5×2020﹣12892.8＝237.2（千瓦时）．故预测2020年该市居民月均用电量的中位数为237.2千瓦时．【点评】本题考查对频数、频率分布表的认识、线性回归方程的求法，考查学生对数据的分析与处理能力，属于基础题．19．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1，D是AB的中点，E是C1C的中点，且AB＝1，AA1＝2．（1）证明：CD∥平面A1EB；（2）求点A1到平面BDE的距离．【分析】（1）取A1B的中点F，连接EF，DF，由三角形中位线定理可得DF∥A1A，DF=12A1A，再由已知得到DF∥EC，DF＝EC，得四边形CDEF为平行四边形，则CD∥EF．由直线与平面平行的判定可得CD∥平面A1EB；（2）证明CD⊥平面A1ABB1，又由（1）知，CD∥EF，得到EF⊥平面A1ABB1，再证明AB⊥平面CDE，得AB⊥DE，则BD⊥DE，分别求出平面BDE与平面A1BD的体积，然后利用等体积法求点A1到平面BDE的距离．【解答】（1）证明：取A1B的中点F，连接EF，DF，∵D，F分别是AB，A1B的中点，∴DF∥A1A，DF=12A1A，∵A1A∥C1C，A1A＝C1C，E是C1C的中点，∴DF∥EC，DF＝EC，可得四边形CDEF为平行四边形，则CD∥EF．∵CD⊄平面A1EB，EF⊂平面A1EB，∴CD∥平面A1EB；（2）解：∵△ABC是正三角形，D是AB的中点，∴CD⊥AB，∵ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∴A1A⊥平面ABC，则A1A⊥CD．∵A1A∩AB＝A，∴CD⊥平面A1ABB1，又由（1）知，CD∥EF，∴EF⊥平面A1ABB1，∵AB ＝1，AA 1＝2，∴CD =√32，则S △A 1BD =12×2×12=12．∴V E−A1BD=13S △A 1BD ⋅EF =13×12×√32=√312． 在Rt △CDE 中，DE =√CD 2+CE 2=√72．∵AB ⊥CD ，AB ⊥CE ，CD ∩CE ＝C ， ∴AB ⊥平面CDE ，得AB ⊥DE ，则BD ⊥DE ．∴S △BDE =12×12×√72=√78．设点A 1到平面BDE 的距离为d ，由V A 1−BDE =V E−A 1BD ，得13S △BDE ⋅d =√312，即13×√78=√312，则d =2√217．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求点到平面的距离，是中档题．20．动圆C 与x 轴交于A （x 1，0），B （x 2，0）两点，且x 1，x 2是方程x 2+2mx ﹣4＝0的两根．（1）若线段AB 是动圆C 的直径，求动圆C 的方程；（2）证明：当动圆C 过点M （0，1）时，动圆C 在y 轴上截得弦长为定值． 【分析】（1）由韦达定理可得到x 1+x 2＝﹣2m ，x 1x 2＝﹣4，从而求得圆心与半径，进而求得动圆C 的方程；（2）先设出动圆C 的方程，再由题设条件解决D 、E 、F 的值，进而求出动圆C 在y 轴上截得弦长．解：（1）∵x 1，x 2是方程x 2+2mx ﹣4＝0的两根，∴x 1+x 2＝﹣2m ，x 1x 2＝﹣4． ∵动圆C 与x 轴交于A （x 1，0），B （x 2，0）两点，且线段AB 是动圆C 的直径， ∴动圆C 的圆心C 的坐标为（﹣m ，0），半径为|AB|2=|x 2−x 1|2=√(x 1+x 2)2−4x 1x 22=√m +4．∴动圆C 的方程为（x +m ）2+y 2＝m 2+4；（2）证明：设动圆C 的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F ＝0，∵动圆C 与y 轴交于M （0，1），N （0，y 1），令y ＝0则x 2+Dx +F ＝0，由题意可知D ＝2m ，F ＝﹣4，又动圆C 过点M （0，1），∴1+E ﹣4＝0，解得E ＝3．令x ＝0，则y 2+3y ﹣4＝0，解得y ＝1或y ＝﹣4，∴y 1＝﹣4．∴动圆C 在y 轴上截得弦长为|y 1﹣1|＝5．故动圆C 在y 轴上截得弦长为定值．【点评】本题主要考查圆的方程及被坐标轴截得的弦长的问题，属于基础题． 21．已知函数f （x ）＝e x +（m ﹣e ）x ﹣mx 2． （1）当m ＝0时，求函数f （x ）的极值；（2）当m ＜0时，证明：在（0，1）上f （x ）存在唯一零点．【分析】（1）将m ＝0带入，求导得f ′（x ）＝e x ﹣e ，再求出函数f （x ）的单调性，进而求得极值；（2）求导得f ′（x ）＝e x ﹣2mx +m ﹣e ，令g （x ）＝f ′（x ），对函数g （x ）求导后，可知g（x）＝f′（x）在（0，1）上单调递增，而g（0）＜0，g（1）＞0，进而函数f （x）在（0，1）上的单调性，再运用零点存在性定理可得证．解：（1）当m＝0时，f（x）＝e x﹣ex，f′（x）＝e x﹣e，又f′（x）是增函数，且f′（1）＝0，∴当x＞1时，f′（x）＞0，当x＜1时，f′（x）＜0，∴f（x）在（﹣∞，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，∴当x＝1时，f（x）取得极小值f（1）＝0，无极大值；（2）证明：f′（x）＝e x﹣2mx+m﹣e，令g（x）＝f′（x）＝e x﹣2mx+m﹣e，则g′（x）＝e x﹣2m，当m＜0时，则g′（x）＞0，故g（x）＝f′（x）在（0，1）上单调递增，又g（0）＝f′（0）＝1+m﹣e＜0，g（1）＝f′（1）＝﹣m＞0，∴存在x0∈（0，1），使得g（x0）＝f′（x0）＝0，且当x∈（0，x0）时，f′（x）＜0，f（x）是减函数，当x∈（x0，1）时，f′（x）＞0，f（x）是增函数，又∵f（0）＝1，f（1）＝0，∴f（x）在（0，1）上存在唯一零点．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值及函数的零点，考查推理论证能力及运算求解能力，属于中档题．一、选择题22．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ﹣2ρsinθ＝1．若P为曲线C1上的动点，Q是射线OP上的一动点，且满足|OP|•|OQ|＝2，记动点Q的轨迹为C2．（1）求C2的直角坐标方程；（2）若曲线C1与曲线C2交于M，N两点，求△OMN的面积．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用点到直线的距离公式的应用和三角形的面积公式的应用求出结果．解：（1）曲线C1的极坐标方程为ρcosθ﹣2ρsinθ＝1．若P为曲线C1上的动点，Q是射线OP上的一动点，且满足|OP|•|OQ|＝2，记动点Q 的轨迹为C2．设P（ρ1，θ），Q（ρ，θ），则：ρ1cosθ﹣2ρ1sinθ＝1，即ρ1=1cosθ−2sinθ，由于|OP|•|OQ|＝2，所以ρ＝2cosθ﹣4sinθ，整理得ρ2＝2ρcosθ﹣4ρsinθ，转换为直角坐标方程为：（x﹣1）2+（y+2）2＝5（原点除外）．（2）曲线C1的极坐标方程为ρcosθ﹣2ρsinθ＝1转换为直角坐标方程为：x﹣2y﹣1＝0．曲线C2的圆心为（1，﹣2），半径为√5，所以圆心到直线C1的距离d=√1+(−2)=5．所以|MN|=2√(√5)2−(4√5)2=6√5．由于点O到C1的距离d2=|−1|√1+(−2)=1√5所以S△OMN=12×|MN|×d2=12×6√51√5=35．【点评】本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f(x)=|x−k|+12|x+3|−2(k∈R)．（1）当k＝1时，解不等式f（x）≤1；（2）若f（x）≥x对于任意的实数x恒成立，求实数k的取值范围．【分析】（1）由题意可得|x﹣1|+12|x+3|≤3，由零点分区间法和绝对值的定义，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集；（2）由题意可得|x﹣k|+12|x+3|≥x+2恒成立．讨论x≤﹣2恒成立，x＞﹣2时，可得|x﹣k|≥x+12恒成立，讨论﹣2＜x≤﹣1，x＞﹣1时，结合绝对值不等式的解法和恒成立思想，可得所求范围．解：（1）当k＝1时，不等式f（x）≤1即为|x﹣1|+12|x+3|≤3，等价为{x≥1x−1+12x+32≤3或{−3＜x＜11−x+12x+32≤3或{x≤−31−x−12x−32≤3，解得1≤x≤53或﹣1≤x＜1或x∈∅，则原不等式的解集为[﹣1，53 ]；（2）f（x）≥x对于任意的实数x恒成立，即为|x﹣k|+12|x+3|≥x+2恒成立．当x≤﹣2时，|x﹣k|+12|x+3|≥0≥x+2恒成立；当x＞﹣2时，|x﹣k|+12|x+3|≥x+2恒成立等价为|x﹣k|+x+32≥x+2，即|x﹣k|≥x+12恒成立，当﹣2＜x≤﹣1时，|x﹣k|≥x+12恒成立；当x＞﹣1时，|x﹣k|≥x+12恒成立等价为x﹣k≥x+12或x﹣k≤−x+12恒成立．即x≥2k+1或x≤23（k−12）恒成立，则2k+1≤﹣1解得k≤﹣1，所以k的取值范围是（﹣∞，﹣1]．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，注意运用分类讨论思想，考查不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想和分类讨论思想，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．。
2020年广东省惠州市高考数学一模试卷(文科)
2020年广东省惠州市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．（5分）设集合{|0}A x x =>，集合{}|1B x y x ==-，则(A B =U ) A ．{|0}x x >B ．{|01}x x <„C ．{|01}x x <„D ．{|1}x x …2．（5分）已知i 为虚数单位，下列各式的运算结果为纯虚数的是( ) A ．(1)i i +B ．2(1)i i -C ．22(1)i i +D ．234i i i i +++3．（5分）已知a ，b R ∈，则“a b <”是“22log log a b <”的( )条件． A ．充分而不必要 B ．必要而不充分C ．充要D ．既不充分也不必要4．（5分）已知数据1x ，2x ，⋯⋯，2020x 的方差为4，若2(3)(1i i y x i =--=，2，⋯⋯，2020)，则新数据1y ，2y ，⋯⋯，2020y 的方差为( ) A ．16B ．13C ．8-D ．16-5．（5分）函数||x x y xπ=的图象大致形状是( )A ．B ．C ．D ．6．（5分）我国古代木匠精于钻研，技艺精湛，常常设计出巧夺天工的建筑．在一座宫殿中，有一件特别的“柱脚”的三视图如图所示，则其体积为( )A ．843π+B ．883π+C ．84π+D ．88π+7．（5分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2a =，3c =，且满足(2)cos cos a c B b C -=，则AB BC u u u r u u u rg 的值为( )A ．2B ．3C ．1-D ．3-8．（5分）已知函数||()||x f x e x =+，则满足1(21)()3f x f -<的x 取值范围是( )A ．12(,)33B ．12[,)33C ．12(,)23D ．12[,)239．（5分）已知F 是抛物线24y x =的焦点，过焦点F 的直线l 交抛物线的准线于点P ，点A 在抛物线上且||||3AP AF ==，则直线l 的斜率为( ) A ．1±B 2C ．2±D ．2210．（5分）设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )A ．若//m α，//n α，则//m nB ．若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m nC ．若m αβ=I ，n α⊂，n m ⊥，则n β⊥D ．若m α⊥，//m n ，n β⊂，则αβ⊥11．（5分）函数()2sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><的最小正周期为π，若其图象向右平移6π个单位后得到的函数为奇函数，则函数()f x 的图象( )A ．关于点(,0)3π对称B ．在(,)22ππ-上单调递增C ．关于直线3x π=对称D ．在6x π=处取最大值12．（5分）已知函数()||xf x e lnx =，若关于x 的方程2()()10f x mf x -+=恰好有四个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是( )A ．(2,)+∞B ．(1,)+∞C ．(1,2)D ．(2,4)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）设直线y x m =+是曲线x y e =的一条切线，则实数m 的值是 ．14．（5分）已知向量(1,3)a x =-r ，(,1)b x =r ，若向量a b -r r 与a r 垂直，则x = ． 15．（5分）2020年初，一场突如其来的“新型冠状肺炎”使得全国学生无法在春季正常返校开学，不得不在家“停课不停学”．为了解高三学生每天居家学习时长，从某校的调查问卷中，随机抽取n 个学生的调查问卷进行分析，得到学生学习时长的频率分布直方图（如图所示）．已知学习时长在[9，11)的学生人数为25，则n 的值为 ．16．（5分）已知椭圆22198x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 为椭圆上的动点，若动点Q 满足1(,0)F P PQ R λλλ=∈>u u u r u u u r 且2||||PQ PF =u u u r u u u u r ，则点Q 到双曲线22143x y -=一条渐近线距离的最大值为 ．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，39S =，45627a a a ++=． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2n n b a =，求数列{}n b 前n 项和n T ．参考公式：222(1)(21)126n n n n ++++⋯⋯+=．18．（12分）已知几何体ABCDEF 中，//AB CD ，//FC EA ，AD AB ⊥，AE ⊥面ABCD ，2AB AD EA ===，4CD CF ==．（1）求证：平面BDF⊥平面BCF；（2）求点B到平面ECD的距离．19．（12分）惠州市某学校高三年级模拟考试的数学试题是全国I卷的题型结构，其中第22、23题为选做题，考生只需从中任选一题作答．已知文科数学和理科数学的选做题题目无任何差异，该校参加模拟考试学生共1050人，其中文科学生150人，理科学生900人．在测试结束后，数学老师对该学校全体高三学生选做的22题和23题得分情况进行了统计，22题统计结果如表1，23题统计结果如表2．22题得分035810理科人数507080100500文科人数52010570表123题得分035810理科人数1010152540文科人数552505表2（1）在答卷中完成如下22⨯列联表，并判断能否至少有99.9%的把握认为“选做22题或23题”与“学生的科类（文理）”有关系；选做22题选做23题合计文科人数110理科人数100总计1050（2）在第23题得分为0的学生中，按分层抽样的方法随机抽取6人进行答疑辅导，并在辅导后从这6人中随机抽取2人进行测试，求被抽中进行测试的2名学生均为理科生的概率．。
广东惠州2020届高考数学(文)6月模拟试题(含答案)
惠州市2020届高三第一次模拟考试文科数学 2020.6全卷满分150分，时间120分钟． 注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。
2．作答选择题时，选出每个小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。
3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1．设集合{}|0A x x =>，集合{|B x y ==，则A B =U （ ）A ．{}|0x x >B ．{}|01x x <≤C ．{}|01x x ≤<D ．{}|1x x ≥2．已知i 为虚数单位，下列各式的运算结果为纯虚数的是（ ）A ．(1)i i +B ．2(1)i i - C ．22(1)i i + D ．234i i i i +++3．已知,a b R ∈，则a b <“”是22log log a b <“”的（ ）条件。
A ．充分而不必要 B ．必要而不充分 C ．充要 D ．既不充分也不必要 4．已知数据122020,,,x x x L L 的方差为4，若()()231,2,,2020i i y x i =--=L L ，则新数据122020,,,y y y L L 的方差为（ ）A. 16B. 13C. 8-D. 16-5．函数||xx y xπ=的图象大致形状是（ ）A B C D6．我国古代木匠精于钻研，技艺精湛，常常设计出巧夺天工的建筑．在一座宫殿中，有一件特别的“柱脚”的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．843π+ B ．883π+ C ．84π+ D ．88π+7．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2a =，3c =， 且满足2cos cos a c B b C -=（），则BC AB ⋅的值为（ ） A. 2B. 3C.1-D.3-8．已知函数||()||x f x e x =+，则满足1(21)()3f x f -<的x 取值范围是（ ）A.1233（，）B. 1233[，）C. 1223（，）D. 12[23，）9．已知F 是抛物线y 2=4x 的焦点，过焦点F 的直线l 交抛物线的准线于点P ，点A 在抛物线上，且|AP|=|AF|=3，则直线l 的斜率为（ ） A ．±1B ．√2C ．±√2D ．2√210．空间中，m,n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若//,//m n αα，则//m n B. 若//,,m n αβαβ⊂⊂，则//m n C. 若=,,m n n m αβα⊂⊥I，则n β⊥ D. 若,//,m m n n αβ⊥⊂，则αβ⊥11．函数()2sin()0,||2f x x πωϕωϕ=+><（）的最小正周期为π，若其图象向右平移6π个单位后得到的函数为奇函数，则函数()f x 的图象（ ）A. 关于点03π（，）对称 B. 在22ππ（-，）上单调递增C. 关于直线3x π=对称 D. 在6x π=处取最大值12．已知函数()ln x f x e x=，若关于x 的方程()()210f x mf x -+=恰好有四个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()2,+∞B ．()1,+∞C ．()1,2D ．()2,4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
广东省惠州市2019-2020学年高考数学一模考试(文科)试题Word版含解析
2019-2020学年高考一模考试数学（文科）试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={x|lnx＞0}，N={x|x2﹣3x﹣4＞0}，则M∩N=（）A．（﹣1，4）B．（1，+∞）C．（1，4）D．（4，+∞）2．i是虚数单位，（1﹣i）Z=2i，则复数Z的模|Z|=（）A．1 B．C．D．23．某商场对一个月内每天的顾客人数进行统计，得到如图所示的样本茎叶图，则该样本的中位数和众数分别是（）A．46，45 B．45，46 C．45，45 D．47，454．“cos2α=0”是“sinα=cosα”的（）A．充要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．非充分非必要条件5．已知数列{an }是递增的等比数列，a1+a4=9，a2a3=8，则数列{an}的前2016项之和S2016=（）A．22016 B．22015﹣1 C．22016﹣1 D．22017﹣16．ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为2的正方体，AC1、BD1相交于O，在正方体内（含正方体表面）随机取一点M，OM≤1的概率p=（）A．B．C．D．7．F1、F2是双曲线C的焦点，过F1且与双曲线实轴垂直的直线与双曲线相交于A、B，且△F2AB为正三角形，则双曲线的离心率e=（）A．B．C．2 D．8．执行如图所示的程序框图，输出的S=（）A．4 B． C．D．9．△ABC的内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若，a=4，c=5，则b=（）A．3 B．4 C．5 D．610．F是抛物线y2=2x的焦点，以F为端点的射线与抛物线相交于A，与抛物线的准线相交于B，若，则=（）A．1 B．C．2 D．11．将函数f（x）=sinωx（ω是正整数）的图象向右平移个单位，所得曲线在区间内单调递增，则ω的最大值为（）A．3 B．4 C．5 D．612．已知函数，关于x的不等式f2（x）﹣af（x）＞0有且只有三个整数解，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．若2sinθ+cosθ=0，则= ．14．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积S= ．15．、为单位向量，若，则= ．16．若x、y满足，且z=x﹣ay的最大值为4，则实数a的值为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知正项数列{an }的前n项和为Sn，，n∈N*．（Ⅰ）求通项an；（Ⅱ）若，求数列{bn }的前n项和Tn．18．某公司为感谢全体员工的辛勤劳动，决定在年终答谢会上，通过摸球方式对全公司1000位员工进行现金抽奖．规定：每位员工从装有4个相同质地球的袋子中一次性随机摸出2个球，这4个球上分别标有数字a、b、c、d，摸出来的两个球上的数字之和为该员工所获的奖励额X （单位：元）．公司拟定了以下三个数字方案：方案a b c d一100100100500二100100500500三200200400400（Ⅰ）如果采取方案一，求X=200的概率；（Ⅱ）分别计算方案二、方案三的平均数和方差s2，如果要求员工所获的奖励额相对均衡，方案二和方案三选择哪个更好？（Ⅲ）在投票选择方案二还是方案三时，公司按性别分层抽取100名员工进行统计，得到如下不完整的2×2列联表．请将该表补充完整，并判断能否有90%的把握认为“选择方案二或方案三与性别有关”？方案二方案三合计男性12女性40合计82100附：K2=P（K2≥k0）0.150.100.05k2.072 2.7063.84 119．如图，直角△ABC中，∠ACB=90°，BC=2AC=4，D、E分别是AB、BC边的中点，沿DE将△BDE折起至△FDE，且∠CEF=60°．（Ⅰ）求四棱锥F﹣ADEC的体积；（Ⅱ）求证：平面ADF⊥平面ACF．20．在平面直角坐标系Oxy中，已知点F（1，0）和直线l：x=4，圆C与直线l相切，并且圆心C关于点F的对称点在圆C上，直线l与x轴相交于点P．（Ⅰ）求圆心C的轨迹E的方程；（Ⅱ）过点F且与直线l不垂直的直线m与圆心C的轨迹E相交于点A、B，求△PAB面积的取值范围．21．设函数f（x）=e x﹣ax，a是常数．（Ⅰ）若a=1，且曲线y=f（x）的切线l经过坐标原点（0，0），求该切线的方程；（Ⅱ）讨论f（x）的零点的个数．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。
2020年广东一模文科数学(试题和答案)
C. (一~ , - 1)υ(1 ， ?)D( -7 ， 一 l)U (0 , 1)
二、填空题:本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13. 设函数 f( 对 = mx2 ln x ， 若曲线 y = f(x) 在点 (e ，J( e) )处的切线与直线 ex + y +
2020 = 0 平行，则 m =
9. 执行右边的程序框图，右 ....知 ...比出 A 的值为 一70一 ，则输入 i 的值为
169 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
10.
已知
0 是坐标原点，双曲线 C: 毛一毛=
α '- b'-
1 (α
>O ， b
>0)
的右
焦点为 F ， 过点 F 的直线 l 与 z 轴垂直，且交双曲线 C 于 A ， B
14 .
若 χ ， y 满足约束条件
~r
lI
x-y .N
J
lI
~l ~~'
则
z
=
2x
+ y 的最大值为
I Ix I ~二 2 ，
15. 如图，已知 三棱锥 P -ABC 满足 PA = PB = PC = AB = 2 ,
AC j_ BC ， 则该三棱锥外接球的体积为
,,,,,,,,,"
/A
，、 -
一、选择题:本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 A ， B 均为全集 u = 1 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7~ 的子集，集合 A = 11 ,2 ,3 ,4 ~ ，则