四川省攀枝花市第十二中学高二数学《3.1不等式与不等关系(1)》学案
§3.1不等式与不等关系（1）
一、学习目标：
通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的数量关系，了解不等式（组）的实际背景，并能将这些不等关系用不等式表示出来。
二、学习重点：
用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题，理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。
三、学习难点：用不等式（组）准确地表示出不等关系。
四、学习过程：
学习导引：在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系。
如两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边，等等。
人们还经常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系。
在数学中，我们用不等式来表示不等关系。
（一）表示不等关系的常用符号，请你填一填
文字语言数学符号文字语言数学符号
大于至多
小于至少
大于或等于不少于
小于或等于不多于
（二）实例感知
用不等式表示下列问题中的不等关系
1.设点 A 与平面 a 的距离为d，B 为平面 a 上的任意一点，则其中不等关系有______________
2.某种杂志原以每本 2.5 元的价格销售，可以售出 8 万本. 据市场调查，若单价每提高0.1 元，销售量就可能相应减少 2000 本. 若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于 20 万元呢？
3.某钢铁厂要把长度为 4000mm 的钢管截成500mm 和600mm 两种．按照生产的要求，600mm 的数量不能超过 500mm 钢管的 3 倍．怎样写出满足所有上述不等关系的不等式呢？
4．用不等式表示，某地规定本地最低生活保障金x 不低于 400 元______________________
5．限速40km/h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v 不超过 40km/h，写成不等式就是_______________
6．某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量p应不少于 2.5%，蛋白质的含量q 应不少于 2.3%，写成不等式组就是_________________
7．(1)如图(见课本 74 页)，在一个面积为 350 的矩形
地基上建造一个仓库，四周是绿地，仓库的长L 大
于宽W 的 4 倍
(2)有一个两位数大于 50 而小于 60，其个位数字比十位数大
2．试用不等式表示上述关系，并求出这个两位数(用a 和b 分别表示这个两位数的十位数字和个位数字)
（三）实践训练（时量：5 分钟满分：10 分）
1. 下列不等式中不成立的是（）.
A． -1≤2 B． -1< 2 C． -1≤-1 D． -1≥2
2. 用不等式表示，某厂最低月生活费a 不低于 300元（）.
A．a≤300 B．a≥300 C．a > 300 D．a < 300
3. 已知a + b > 0 ，b < 0 ，那么a,b,-a, - b 的大小关系是（）.
A．a > b > -b > - a B．a > -b > -a > b
C．a > -b > b > - a D．a > b > -a > - b
4. 用不等式表示：a 与b的积是非正数___________
5. 用不等式表示：某学校规定学生离校时间t在 16点到 18 点之间
______________________
（四）课后实践
1.用不等式表示下面的不等关系：
（1）a 与b 的和是非负数_________________
（2）某公路立交桥对通过车辆的高度h“限高4m”________________
(3)坐火车时，儿童身高1.2米以上需要买票，需买票汇的范围是_______________
2.某夏令营有 48 人，出发前要从A、B 两种型号的帐篷中选择一种．A 型号的帐篷比B 型号的少 5顶．若只选A 型号的，每顶帐篷住 4 人，则帐篷不够；每顶帐篷住 5 人，则有一顶帐篷没有住满．若只选B 型号的，每顶帐篷住 3 人，则帐篷不够；每顶帐篷住 4 人，则有帐篷多余．设A 型号的帐篷有x 顶，用不等式将题目中的不等关系表示出来．
3．某用户计划购买单价分别为60元，70元的单片软件和盒装磁盘，使用资金不超过500元，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒。
问：软件数与磁盘数应满足什么条件？
4. 某正版光碟，若售价 20 元/本，可以发行 10万张，售价每体高 2 元，发行量就减少5000 张，如何定价可使销售总收入不低于 224 万元?
5．某人准备投资 1 200 万兴办一所完全中学，对教育市场进行调查后，他得到了下面的数据表格（以班级为单位）：试用数学关系式表示所要满足的条件.
学段班级学生人
数
教师数
硬件建设
（万元）
教师年薪
（万元）
初中45 2 26/班2/人高中40 3 54/班2/人。
高中数学教学课例《3.1不等关系与不等式(1)》课程思政核心素养教学设计及总结反思
学科
高中数学
教学课例名
《3．、三角等内容有着密切的联系.
在高考题中不等式常与其他知识交汇呈现，因此不等式
在高考中占有比较重要的地位。而本节课是本章的起始
课，学好本节课是学习本章的基础。通过学习有助于学 教材分析
（3）练习巩固 4、联系实际，探索研究 在教学中，我们提倡让学生在问题解决中学习，在问题 探索中学习，从而使学生建构起对知识的理解，因此在 下一环节中，我设计了一个生活实际问题，让学生在问 题探索中学习新知。 能否用所学知识准确表示“糖水加糖甜更甜”的现象？ 下面通过复习实数的基本理论，利用数轴数形结合，归 纳总结得出比较两个实数（式）大小的方法，学生容易 接受。 然后给出两组比较简单的作差比较，师生合作完成，教 师板书，学生回答，再总结提炼步骤方法。并变式练习， 一方面可以巩固作差比较法，另一方面，渗透了分类讨 论的数学思想，为课后的能力作业给予一点启示。 例 3、比较下面两组代数式的大小： 步骤：作差→变形→判号→结论. 其中变形是关键，常用的变形手段有提公因式、分解因 式、通分、配方、有理化等. 最后通过例 4，可以先让学生尝试，教师巡视学生解答 情况，最后通过幻灯片展示标准过程，指出学生易错点， 强调关键点。对本题的教学既是对实际探索问题的解 决，前后呼应；也是对作差比较法的进一步巩固，突破
教学策略选 教师的主导作用，主要教会学生清晰的思维和严谨的推 择与设计 理。 为了更好地体现课堂教学中“教师为主导，学生为主 体”的教学关系和“以人为本，以学定教”的教学理 念，在本节课的教学过程中，我将紧紧围绕教师组织— —启发引导，学生探究——交流发现，组织开展教学活 动。我设计了以下六个环节，层层深入，在教学中注意 关注整个过程和全体学生，充分调动学生积极参与教学 过程的每个环节。
人教版数学高二B数学必修5学案 3.1 不等关系与不等式
3.1不等关系与不等式3.1.1不等关系与不等式3.1.2不等式的性质学习目标：1.了解不等式的性质．(重点)2.能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系．(难点)[自主预习·探新知]1．不等式的定义所含的两个要点(1)不等符号<，≤，>，≥，≠.(2)所表示的关系是不等关系．2．不等式中的文字语言与符号语言之间的转换大于大于等于小于小于等于至多至少不少于不多于＞≥＜≤≤≥≥≤4．常用不等式的重要性质名称式子表达性质1(对称性)a＞b⇔b＜a性质2(传递性)a>b，b>c⇒a>c1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)某隧道入口竖立着“限高4.5米”的警示牌，是指示司机要安全通过隧道，应使车载货物高度h满足关系为h≤4.5.()(2)用不等式表示“a与b的差是非负数”为a－b>0.()(3)不等式x≥2的含义是指x不小于2.()(4)若a<b或a＝b之中有一个正确，则a≤b正确．()[解析](1)√.因为“限高4.5米”即为“高度不超过4.5米”．不超过用“≤”表示，故此说法正确．(2)×.因为“非负数”即为“不是负数”，所以a－b≥0，故此说法错误．(3)√.因为不等式x≥2表示x>2或x＝2，即x不小于2，故此说法是正确的．(4)√.因为不等式a≤b表示a<b或a＝b.故若a<b或a＝b中有一个正确，则a≤b一定正确．[答案](1)√(2)×(3)√(4)√2．用不等号填空：(1)若a>b，则ac2________bc2.(2)若a＋b>0，b<0，则b________a.(3)若a>b，c<d，则a－c________b－d.(4)已知x<1，则x2＋2________3x.[解析](1)因为当c2>0时，有ac2>bc2.当c2＝0时，有ac2＝bc2，故应填“≥”．(2)因为a＋b>0，b<0，所以a>0，故应填“<”．(3)因为c<d，所以－c>－d，又因为a>b，所以a－c>b－d，故应填“>”．(4)因为x2＋2－3x＝(x－2)(x－1)，而x<1，所以x－2<0，x－1<0，则(x－2)(x －1)>0，即x2＋2－3x>0，所以x2＋2>3x，故应填“>”．[答案](1)≥(2)<(3)>(4)>[合作探究·攻重难]用不等式(组)表示不等关系所在班级学生(小李除外)决定承担这笔费用．若每人承担12元人民币，则多余84元；若每人承担10元，则不够；若每人承担11元，又多出40元以上，若该班除小李外共有x人，这笔开学费用共用y元，用不等式(组)表示上述不等关系.【导学号：12232270】[解]由于该班除小李外共有x人，这笔开学费用共y元，则：⎩⎪⎨⎪⎧12x－y＝84，10x<y，11x－y>40，x∈N＋.[规律方法] 1.此类问题的难点是如何正确地找出题中的显性不等关系和隐性不等关系.2.当问题中同时满足几个不等关系，则应用不等式组来表示它们之间的不等关系，另外若问题有几个变量，选用几个字母分别表示这些变量即可.3.用不等式(组)表示不等关系的步骤：(1)审清题意，明确表示不等关系的关键词语：至多、至少、大于等.(2)适当的设未知数表示变量.(3)用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式.[跟踪训练]1．如图3-1-1，在一个面积为350平方米的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地．仓库的长L大于宽W的4倍．写出L与W的关系．图3-1-1[解]由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧(L＋10)(W＋10)＝350，L>4W，L>0，W>0.实数大小的比较设x，y，z∈R2224x＋2z－2的大小.【导学号：12232271】[解]∵5x2＋y2＋z2－(2xy＋4x＋2z－2)＝4x2－4x＋1＋x2－2xy＋y2＋z2－2z＋1＝(2x－1)2＋(x－y)2＋(z－1)2≥0，∴5x2＋y2＋z2≥2xy＋4x＋2z－2，当且仅当x ＝y ＝12且z ＝1时取等号．[规律方法] 1.作差法比较两个数大小的步骤及变形方法：(1)作差法比较的步骤：作差→变形→定号→结论.(2)变形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④对数与指数的运算性质；⑤分母或分子有理化；⑥分类讨论.2.如果两实数同号，亦可采用作商法来比较大小，即作商后看商是大于1，等于1，还是小于1.[跟踪训练]2．已知a ，b ∈R ＋.试利用作差法比较a 3＋b 3与a 2b ＋ab 2的大小． [解] ∵a 3＋b 3－(a 2b ＋ab 2)＝(a 3－a 2b )＋(b 3－ab 2) ＝a 2(a －b )＋b 2(b －a )＝(a －b )(a 2－b 2) ＝(a －b )2(a ＋b )，当a ＝b 时，a －b ＝0，a 3＋b 3＝a 2b ＋ab 2； 当a ≠b 时，(a －b )2>0，a ＋b >0，a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2.不等式的性质应用[探究问题]1．小明同学做题时进行如下变形： ∵2<b <3， ∴13<1b <12， 又∵－6<a <8， ∴－2<ab <4.你认为正确吗？为什么？[提示] 不正确．因为不等式两边同乘以一个正数，不等号的方向不变，但同乘以一个负数，不等号方向改变，在本题中只知道－6<a <8.不明确a 值的正负．故不能将13<1b <12与－6<a <8两边分别相乘，只有两边都是正数的同向不等式才能分别相乘．2．由－6<a <8，－4<b <2，两边分别相减得－2<a －b <6，你认为正确吗？ [提示] 不正确．因为同向不等式具有可加性与可乘性．但不能相减或相除，解题时要充分利用条件，运用不等式的性质进行等价变形，而不可随意“创造”性质．3．你知道下面的推理、变形错在哪儿吗？ ∵2<a －b <4， ∴－4<b －a <－2. 又∵－2<a ＋b <2， ∴0<a <3，－3<b <0， ∴－3<a ＋b <3.这怎么与－2<a ＋b <2矛盾了呢？[提示] 利用几个不等式的范围来确定某不等式的范围要注意：同向不等式两边可以相加(相乘)，这种转化不是等价变形．本题中将2<a －b <4与－2<a ＋b <2两边相加得0<a <3，又将－4<b －a <－2与－2<a ＋b <2两边相加得出－3<b <0，又将该式与0<a <3两边相加得出－3<a ＋b <3，多次使用了这种转化，导致了a ＋b 范围的扩大．(1)已知－π2≤α<β≤π2，试求α－β2的取值范围；(2)设f (x )＝ax 2＋bx 且1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，求f (－2)的取值范围.【导学号：12232272】[思路探究] (1)－π2≤α<β≤π2→α－β的范围→α－β2的范围 (2)法一：用f (－1)，f (1)表示f (－2)→f (－2)的范围 法二：用f (－1)，f (1)表示a ，b →用a ，b 表示f (－2) →用f (－1)，f (1)表示f (－2)→f (－2)的范围 [解] (1)∵－π2≤α<β≤π2， ∴－π4≤α2<π4，－π4<β2≤π4， ∴－π4≤－β2<π4， ∴－π2≤α－β2<π2. 又α<β，∴α－β2<0， ∴－π2≤α－β2<0.∴α－β2的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π2，0.(2)法一：设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1)(m ，n 为待定系数)， 则4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b ) ＝(m ＋n )a ＋(n －m )b ， 于是得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4，n －m ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1，∴f (－2)＝3f (－1)＋f (1)． 又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4， ∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10， 即f (－2)的取值范围是[5,10]． 法二：由⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12[f (－1)＋f (1)]，b ＝12[f (1)－f (－1)]，∴f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1)． 又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4， ∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10， 即f (－2)的取值范围是[5,10]．[规律方法] 1.利用不等式的性质证明不等式注意事项(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式.解决此类问题一定要在理解的基础上， 记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用.(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则.2.利用不等式性质求代数式的范围要注意的问题 (1)恰当设计解题步骤，合理利用不等式的性质.(2)运用不等式的性质时要切实注意不等式性质的前提条件，切不可用似乎是很显然的理由，代替不等式的性质，如由a>b及c>d，推不出ac>bd；由a>b，推不出a2>b2等.(3)准确使用不等式的性质，不能出现同向不等式相减、相除的错误.[跟踪训练]3．(1)已知12<a<60,15<b<36，求a－b与ab的取值范围；(2)若bc－ad≥0，bd>0，求证：a＋bb≤c＋dd.[解](1)∵15<b<36，∴－36<－b<－15，∴12－36<a－b<60－15，即－24<a－b<45.∵136<1b<115，∴1236<ab<6015，∴13<ab<4.∴a－b和ab的取值范围分别是(－24,45)，⎝⎛⎭⎪⎫13，4.(2)证明：∵bc－ad≥0，∴bc≥ad，∴bc＋bd≥ad＋bd，即b(c＋d)≥d(a＋b)．又bd>0，两边同除以bd得，a＋bb≤c＋dd.[当堂达标·固双基]1．完成一项装修工程，请木工共需付工资每人500元，请瓦工共需付工资每人400元，现有工人工资预算20 000元，设木工x人，瓦工y人，则工人满足的关系式是()【导学号：12232273】A．5x＋4y<200B．5x＋4y≥200C．5x＋4y＝200 D．5x＋4y≤200D[据题意知，500x＋400y≤20 000，即5x＋4y≤200，故选D.]2．若x≠－2且y≠1，则M＝x2＋y2＋4x－2y的值与－5的大小关系是() A．M>－5 B．M<－5C．M≥－5 D．M≤－5A[M－(－5)＝x2＋y2＋4x－2y＋5＝(x＋2)2＋(y－1)2，∵x≠－2，y≠1，∴(x＋2)2>0，(y－1)2>0，因此(x＋2)2＋(y－1)2>0.故M>－5.]3．b g糖水中有a g糖(b>a>0)，若再添上m g糖(m>0)，则糖水变甜了，根据这个事实提炼的一个不等式为()【导学号：12232274】A.a＋mb＋m＜ab B．a＋mb＋m＞abC.a－mb－m＜ab D．a－mb－m＞abB[变甜了，意味着含糖量大了，即浓度高了．加糖之前糖水的浓度为ab，加糖之后糖水的浓度为a＋m b＋m，故a＋mb＋m>ab.]4．已知－1<2x－1<1，则2x－1的取值范围是_________．(1，＋∞)[－1<2x－1<1⇒0<x<1⇒1x>1⇒2x>2⇒2x－1>1.]5．(1)已知x≤1，比较3x3与3x2－x＋1的大小；(2)若a>b>0，c<d<0，e<0，求证：e(a－c)2>e(b－d)2.【导学号：12232275】[解](1)3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(x－高中数学打印版校对完成版本 1)(3x 2＋1)．∵x ≤1，∴x －1≤0.又3x 2＋1>0，∴(x －1)(3x 2＋1)≤0， ∴3x 3≤3x 2－x ＋1.(2)证明：∵c <d <0，∴－c >－d >0.又a >b >0，∴a －c >b －d >0，则(a －c )2>(b －d )2>0，即1(a －c )2<1(b －d )2. 又e <0，∴e (a －c )2>e (b －d )2.。
高中数学 (3.1.1 不等关系与不等式(一)示范教案 新人教A版必修5
3.1 不等关系与不等式3.1.1 不等关系与不等式（一）从容说课通过本节课的学习让学生从一系列的具体问题情境中感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，并充分认识不等关系的存在与应用，这是学习本章的基础，也是不等关系在本章内容的地位与作用.对不等关系的相关素材，用数学观点进行观察、归纳、抽象，完成量与量的比较的过程，即能用不等式及不等式组把这些不等关系表示出来，也就是建立不等式数学模型的过程，这是学习本章第三节的基础.在本节课的学习过程中还安排了一些简单的学生易于处理的问题，用意在于让学生注意对数学知识和方法的应用，同时也能激发学生的学习兴趣，并由衷地产生用数学工具研究不等关系的愿望，这也是学生学习本章的情感基础根据本节课教学内容，应用观察、抽象归纳、思考、交流、探究，得出数学模型，进行启发式教学并使用投影仪辅助教学重点1.通过具体的问题情景，让学生体会不等量关系存在的普遍性及研究的必要性；2.用不等式或不等式组表示实际问题中的不等关系，并用不等式或不等式组研究含有简单的不等关系的问题；3.理解不等式或不等式组对于刻画不等关系的意义和价值教学难点1.用不等式或不等式组准确地表示不等关系；2.用不等式或不等式组解决简单的含有不等关系的实际问题教具准备投影仪、胶片、三角板、刻度尺三维目标一、知识与技能1.通过具体情境建立不等观念，并能用不等式或不等式组表示不等关系；2.了解不等式或不等式组的实际背景；3.能用不等式或不等式组解决简单的实际问题二、过程与方法1.采用探究法，按照阅读、思考、交流、分析，抽象归纳出数学模型，从具体到抽象再从抽象到具体的方法进行启发式教学；2.教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用；3.设计较典型的现实问题，激发学生的学习兴趣和积极性三、情感态度与价值观1.通过具体情境，让学生去感受、体验现实世界和日常生活中存在着大量的不等量关系，鼓励学生用数学观点进行观察、归纳、抽象，使学生感受数学、走进数学、改变学生的数学学习态度；2.学习过程中，通过对问题的探究思考、广泛参与，培养学生严谨的思维习惯，主动、积极的学习品质，从而提高学习质量；3.通过对富有实际意义问题的解决，激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘与数学的简洁美，激发学生的学习兴趣.教学过程导入新课师日常生活中,同学们发现了哪些数量关系.你能举出一些例子吗？生实例1：某天的天气预报报道，最高气温32℃，最低气温生实例2：对于数轴上任意不同的两点A、B，若点A在点B的左边，则x a＜x b(老师协助画出数轴草图)生实例3:若一个数是非负数，则这个数大于或等于零实例4:两点之间线段最短实例5:三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边(学生迫不及待地说出这么多,说明课前的预习量很充分,学习数学的兴趣浓,此时老师应给以充分的肯定和表扬推进新课师同学们所举的这些例子联系了现实生活，又考虑到数学上常见的数量关系,非常好.而且大家已经考虑到本节课的标题不等关系与不等式,所举的实例都是反映不等量关系,这将暗示我们这节课的效果将非常好(此时，老师用投影仪给出课本上的两个实例)实例6:限时的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过实例7:某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%,蛋白质的含量p应不少于2.3%.［过程引导］师能够发现身边的数学当然很好,这说明同学们已经走进了数学这门学科，但作为我们研究数学的人来说,能用数学的眼光、数学的观点、进行观察、归纳、抽象，完成这些量与量的比较过程,这是我们每个研究数学的人来说必须要做的,那么,我们可以用我们所研究过的什么知识来表示这些不等关系呢生可以用不等式或不等式组来表示师什么是不等式呢生用不等号将两个解析式连结起来所成的式子叫不等式（老师给出一组不等式-7＜-5；3+4＞1+4；2x≤6；a+2≥0;3≠4.目的是让同学们回忆不等式的一些基本形式，并说明不等号“≤，≥”的含义，是或的关系.回忆了不等式的概念，不等式组学生自然而然就清楚了）师能用不等式及不等式组把这些不等关系表示出来，也就是建立不等式数学模型的过程，通过对不等式数学模型的研究，反过来作用于我们的现实生活，这才是我们学习数学的最终目的（此时，同学们已经迫不及待地想说出自己的观点.）［合作探究］生我们应该先像实例2那样用不等式或不等式组把上述实例中的不等量关系表示出来师说得非常好，下面我们就把上述实例中的不等量关系用不等式或不等式组一一表示出来.那应该怎么样来表示呢（学生轮流回答，老师将答案相应地写在实例后面）生上述实例中的不等量关系用不等式表示应该为生可以表示为（此时，学生有疑问，老师及时点拨，可以画出图形.让学生板演）（老师顺便画出三角形草画）生 |AC |+|BC |＞|AB |(只需结合上述三角形草图生 |AB |+|BC |＞|AC |、|AC |+|BC |＞|AB |、|AB |+|AC |＞|BC生 |AB |-|BC |＜|AC |、|AC |-|BC |＜|AB |、|AB |-|AC |＜|BC |.交换被减数与减数的位置也可以生 如果用v 表示速度，则生 f≥2.5%或(此时,一片安静,同学们在积极思考生 这样表达是错误的,因为两个不等量关系要同时满足，所以应该用不等式组来表示此实际问题中的不等量关系，即可以表示为⎩⎨⎧≥≥%.3.2%,5.2p f生 也可表示为f≥2.5%且师 同学们看这两位同学的观点是否正确生 (齐答)大家齐声说，都可以师 同学们的思考很严密,很好!应该用不等式组来表示此实际问题中的不等量关系，也可以用“且”的形式来表达课堂练习教科书第83页练习1、(老师让学生轮流回答，学生回答很好.此时，同学们已真正进入了本节课的学习状态,老师再用投影仪给出课本上的三个问题.问题是数学研究的核心，以问题展示的形式来培养学生的问题意识与探究意识）【问题1】 设点A 与平面α的距离为d,B 为平面α上的任意一点 ［活动与探究］师 请同学们用不等式或不等式组来表示出此问题中的不等量关系(此时,教室一片安静,同学们在积极思考,时间较长,老师应该及时点拨) ［方法引导］师 前面我们借助图形来表示不等量关系,这个问题是否可以(可以让学生板演，结合三角形草图来表达)过点A 作AC ⊥平面α于点C ，则d=|AC |≤|AB 师 这位同学做得很好,我们在解决问题时应该贯穿数形结合的思想,以形助数,以数解形 师 请同学们继续来处理问题［合作探究］【问题2】 某种杂志原以每本2.5元的价格销售,可以售出8万本.据市场调查,若单价每提高0.1元,销售量就可能相应减少2 000本.若把提价后杂志的定价设为x 元,怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢生 可设杂志的定价为x 元，则销售量就减少2.01.05.2⨯-x 万本师 那么销售量变为多少呢？如何表示？生 可以表示为)2.01.05.28(⨯--x 万本，则总收入为x x )2.01.05.28(⨯--万元〔老师板书，即销售的总收入为不低于20万元的不等式表示为)2.01.05.28(⨯--xx≥20〕师 是否有同学还有其他的解题思路？生 可设杂志的单价提高了0.1n 元，(n∈N *)， （下面有讨论的声音，有的同学存在疑问，此时老师应密切关注学生的思维状况） 师为什么可以这样设？生我只考虑单价的增量师 很好，请继续讲生 那么销售量减少了0.2n 万本，单价为(2.5+0.1n)元，则也可得销售的总收入为不低于20万元的不等式，表示为(2.5+0.1n)(8-师 这位同学回答得很好，表述得很准确.请同学们对两种解法作比较（留下让学生思考的时间）师 请同学们继续思考第三个问题 ［合作探究］【问题3】 某钢铁厂要把长度为4 000 mm 的钢管截成500 mm 和600 mm 两种,按照生产的要求,600 mm 钢管的数量不能超过500 mm 钢管的3倍.怎样写出满足上述所有不等关系的不等式师 假设截得500 mm 的钢管x 根，截得600 mm 的钢管y 根.根据题意，应当有什么样的不等量关系呢？生截得两种钢管的总长度不能超过生 截得600 mm 钢管的数量不能超过500 mm 钢管的3倍生截得两种钢管的数量都不能为负师上述的三个不等关系是“或”还是“且”的关系呢？生 它们要同时满足条件，应该是且的关系生由实际问题的意义，还应有师 这位同学回答得很好，思维很严密.那么我们该用怎样的不等式组来表示此问题中的不等关系呢？生 要同时满足上述三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈≥≥≥≤+.,,0,0,3,40000600500N y x y x y x y x 师 这位同学回答很准确.通过上述三个问题的探究，同学们对如何用不等式或不等组把实际问题中所隐含的不等量关系表示出来，这一点掌握得很好.请同学们再完成下面这个练习 课堂练习练习：若需在长为4 000 mm 的圆钢上，截出长为698 mm 和518 mm 两种毛坯，问怎样写出满足上述所有不等关系的不等式组分析：设截出长为698 mm 的毛坯x 个和截出长为518 mm 的毛坯y 个，把截取条件数学化地表示出来就是：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈≥≥≤+.,,0,0,4000518698N y x y x y x （练习可让学生板演，老师结合学生具体完成情况作评析，特别应注意x≥0,y≥0,x,y∈N）课堂小结师通过今天的学习，你学到了什么知识，有何体会？生我感到学习数学可以帮助我们解决生活中的实际问题生 数学就在我们的身边，与我们的生活联系非常紧密，我更加喜爱数学了生 本节课我们还进一步巩固了初中所学的二元一次不等式及二元一次不等式组，并且用它来解决现实生活中存在的大量不等量关系的实际问题师 我来补充一下，在用二元一次不等式及二元一次不等式组表示实际问题中的不等关系时，思维要严密、规范，并且要注意数形结合等思想方法的综合应用（慢慢培养学生学会自己来归纳总结，将所学的知识，结合获取知识的过程与方法，进行回顾与反思，从而达到三维目标的整合.进而培养学生的概括能力和语言表达能力） 布置作业第84页习题3.1A 组4、 板书设计不等关系与不等式（一） 实例 方法引导 方法归纳 如何用不等式或不等式组表示 实例剖析（知识方法应用） 小结 实际问题中不等量关系？ 示范解题备课资料一、备用习题1.一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料需要的主要原料是磷酸盐4吨、硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1吨、硝酸盐15吨.现有库存磷酸盐10吨、硝酸盐66吨，在此基础上进行生产.请用不等式或不等式组把此实例中的不等量关系表示出来分析：设x,y 分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+.0,0,661518,104y x y x y x2.某年夏天，我国遭受特大洪灾，灾区学生小李家中经济发生困难.为帮助小李解决开学费用问题，小李所在班级学生（小李除外）决定承担这笔费用.若每人承担12元人民币，则多余84元；若每人承担10元，则不够；若每人承担11元，又多出40元以上.问该班共有多少人？这笔开学费用共多少元？请用不等式或不等式组把此实例中的不等量关系表示出来，不必解答分析：设该班共有x 人，这笔开学费用共y 元，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈=-=-.,4011,10,8412*N x y x y x y x＜3.制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目.根据预测，甲、乙项目可能的最大亏损分别为30%和10%.投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元.请用不等式或不等式组把此实例中的不等量关系表示出来分析：设投资人分别用x 万元、y 万元投资甲、乙两个项目，由题意，知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+.0,0,8.11.03.0,10y x y x y x 4.某企业生产A 、B 两种产品，A 产品的单位利润为60元，B 产品的单位利润为80元，两种产品都需要在加工车间和装配车间进行生产，每件A 产品在加工车间和装配车间各需经过0.8 h 和2.4 h ，每件B 产品在两个车间都需经过1.6 h ，在一定时期中，加工车间最大加工时间为240 h ，装配车间最大生产时间为288 h.请用不等式或不等式组把此实例中的不等量关系表示出来分析：设该企业分别生产A 产品x 件、B 产品y 件，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈≥≤+≤+.,0,,2886.14.2,2406.18.0Z y x y x y x y x 二、课外探究 开放性问题已知：不等式组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈≥≥=+≥+,,,1,1,100,50N y x y x y x y x 你能举出符合此不等式组的实际问题吗？3.1.2不等关系与不等式（二）从容说课本节课的研究是对初中不等式学习的延续和拓展，也是实数理论的进一步发展.为了利用不等式更好地研究不等关系，也能够让学生在以后的解不等式以及对不等式的证明奠定一定的理论基础.在本节课的学习过程中将让学生回忆实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小.了解不等式的一些基本性质并能给出严格的理论证明，能用不等式的基本性质进行一些简单的不等式证明，进而更深一层次地从理性角度建立不等观念.这是学习本节课的目的也是本节课的内容安排在本章的地位与作用.对实数基本理论的复习，教师应作好点拨，利用数轴数形结合，做好归纳总结.对不等式的基本性质，教师应指导学生用数学观点与等式的基本性质作类比、归纳、逻辑分析，并鼓励学生从理性角度去分析量与量的比较的过程，进而能利用不等式的基本性质来证明一些简单的不等式.在本节课的学习过程中，课外作业仍安排了一些简单的学生易于处理的实际问题，用意在于让学生注意对数学知识和方法的应用，同时也能激发学生的学习兴趣，并进一步让学生体会研究不等式基本性质的必要性，这也是学生学习本学时的情感基础根据本节课的教学内容，应用再现、回忆得出实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小和证明不等式的一些性质.应用观察、类比、归纳、逻辑分析、思考、交流、探究，得出不等式的基本性质，并能利用不等式的基本性质进行一些简单的不等式证明.进行启发、探究式教学并使用投影仪辅助教学重点1.利用数轴，数形结合回忆实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小；2.了解不等式性质研究的必要性及不等式的一些基本性质；3.能用不等式的基本性质来证明一些简单的不等式教学难点1.用实数的基本理论来比较两个代数式的大小时对差的合理变形；2.利用不等式的基本性质来证明一些简单的不等式教具准备投影仪、胶片、三角板、刻度尺三维目标一、知识与技能1.利用数轴，数形结合回忆实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小与用实数的基本理论来证明不等式的一些性质2.通过回忆与复习学生所熟悉的等式性质类比得出不等的一些基本性质3.在了解不等式一些基本性质的基础之上能利用它们来证明一些简单的不等式二、过程与方法1.采用探究法，按照联想、类比、思考、交流、逻辑分析、抽象应用的方法进行启发式教学2.教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用3.设计较典型的具有挑战性的问题，激发学生去积极思考，从而培养他们的数学学习兴趣三、情感态度与价值观1.通过具体问题的解决，让学生去感受、体验现实世界和日常生活中存在着大量的不等量关系并需要从理性的角度去思考，鼓励学生用数学观点进行类比、归纳、抽象，使学生感受数学、走进数学、培养学生严谨的数学学习习惯和良好的思维习惯2.学习过程中，通过对问题的探究思考，广泛参与，培养学生严谨的思维习惯，主动、积极的学习品质，从而提高学习质量3.通过对富有挑战性问题的解决，激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘、数学的简洁美、数学推理的严谨美，从而激发学生的学习兴趣.教学过程导入新课师上一节课我们通过具体的问题情景，体会到现实世界存在大量的不等量关系，并且研究了用不等式或不等式组来表示实际问题中的不等关系.为了利用不等式更好地研究不等量关系及用不等式或不等式组研究含有不等关系的问题.我们需要对不等式的性质有必要的了解推进新课师我们已学习过等式、不等式，同学们还记得等式的性质吗？生等式有这样的性质：等式两边都加上，或都减去，或都乘以，或都除以（除数不为零）同一个数，所得到的仍是等式师 很好！当我们开始研究不等式的时候，自然会联想到，是否有与等式相类似的性质，也就是说，如果在不等式的两边都加上，或都减去，或都乘以，或都除以（除数不为零）同一个数，结果将会如何呢？（此时很快能让学生进入对初中所学过的不等式三条基本性质的回忆与复习） 师 一般地说，不等式的基本性质有三条：性质1：不等式的两边都加上（或都减去）同一个数，不等号的方向_________.（让同学回答）性质2：不等式的两边都乘以（或都除以）同一个正数，不等号的方向________.（让同学回答）性质3：不等式的两边都乘以（或都除以）同一个负数，不等号的方向________.（让同学回答） ［过程引导］师 不等式的这三条基本性质，都可以用数学的符号语言表达出来.（让三位同学板演） 性质1：a ＜b a +c ＜b +c （或a -c ＜b -c ）；a ＞b a +c ＞b +c （或a -c ＞b -c ）性质2：a ＜b 且c ＞0⇒ac ＜bc (或cbc a ＜)；a ＞b 且c ＞ac ＞bc (或c b c a ＞ 性质3：a ＜b 且c ＜0⇒ac ＞bc (或c b c a ＞)；a ＞b 且c ＜ac ＜bc (或c b c a ＜（用数学符号表达不等式的性质，目的是为下面用符号进行不等式性质与证明打基础，给学生也有一适应过程.老师对学生的板演作点评）师 性质2、性质3两条性质中，对a 、b 、c 有什么要求？生 对a 、b 没什么要求，特别要注意c 是正数还是负数师 很好，c 可以为零吗？生 c 不能为零.因为c 为零时，任何不等式两边都乘以零就变成等式了.若是“≤”或“≥”则可以师 这位同学回答的非常好，思维既严谨又周到师 对于不等式的这三条基本性质，我们不仅要理解这三条性质，还要能灵活运用.在初中，我们对这三条性质只是作了感性的归纳，现在我们应对它给出严格的证明，只有这样应用这些性质才能有理有据 （学生已迫不及待）生（齐声）那我们来给出严格的证明吧（此处，说明老师点拨很到位.真正体现了课堂上教师的主导地位与学生的主体地位） 师 为了对不等式的基本性质给出严格证明，我们还有必要回忆实数的基本性质 （此时学生对这一名词肯定感到生疏，老师在黑板上应很快给出数轴）［教师精讲］师 若点Ａ对应的实数为a ，点Ｂ对应的实数为b ，因为点Ａ在点Ｂ的左边，所以可得a ＞b .a ＞b 表示a 减去b 所得的差是一个大于０的数即正数，即a ＞b ⇒a -b ＞0.它的逆命题是否正确？生 显然正确师 类似地，如果a ＜b ，则a 减去b 是负数，如果a =b ，则a 减去b 等于０，它们的逆命题也正确.一般地a ＞b ⇒a -b ＞0;a =b ⇒a -b =0;a ＜b ⇒a -b ＜师 这就是实数的基本性质的一部分，还有任意两个正数的和与积都是正数等.等价符号左边不等式反映的是实数的大小顺序，右边不等式反映的则是实数的运算性质，合起来就成为实数的运算性质与大小顺序之间的关系，它是不等式这一章的理论基础，是证明不等式以及解不等式的主要依据师 由实数的基本性质可知，我们如何比较两个实数的大小呢？生只要考察它们的差就可以了师 很好.请同学们思考下面这个问题(此时，老师用投影仪给出问题 ［合作探究］【问题1】 已知x≠0，比较(x 2+1)2与x 4+x 2+1的大小（问题是数学研究的核心，此处以问题展示的形式来培养学生的问题意识与探究意识 （让学生板演，老师根据学生的完成情况作点评）解：(x 2+1)2－x 4-x 2-1=x 4+2x 2+1-x 4-x 2-1=x 2，由x≠0，得x 2＞0，从而(x 2+1)2＞x 4+x2（学生对x≠0，得x 2＞0在说理过程中往往会忽略）师 下面我们来看一组比较复杂的问题，请大家都来开动脑筋，认真审题，仔细分析 （让学生板演，老师根据学生的完成情况作点评）【例1】 比较下列各组数的大小（a ≠b ） (1)2b a +与ba 112+ (a ＞0,b＞ （2）a 4－b 4与4a 3（a －b ）师 比较两个实数的大小，常根据实数的运算性质与大小顺序的关系，归结为判断它们的差的符号来确定解：（1）)(2)()(24)(22112222b a b a b a ab b a b a ab b a ba b a +-=+-+=+-+=+-+， ∵a ＞0,b ＞0且a ≠b ,∴a +b ＞0,(a -b )2＞ ∴ba b a b a b a 11220,)(2)(2+++-＞即＞ （2）a 4-b 4-4a 3(a -b=(a -b )(a +b )(a 2+b 2)-4a 3(a -b=(a -b )(a 3+a 2b +ab 2+b 3-4a3=(a -b )［(a 2b -a 3)+(ab 2-a 3)+(b 3-a 3)］=-(a -b )2(3a 2+2ab +b2=-(a -b )2［2a 2+(a +b )2］∵2a 2+(a +b )2≥0(当且仅当a =b =0时取等号又a ≠b ,∴(a -b )2＞0,2a 2+(a +b )2＞∴-(a -b )2［2a 2+(a +b )2］＜∴a 4-b 4＜4a 3(a -b师 同学们完成得很好，证明不等式时，应注意有理有据、严谨细致，还应条理清晰.比较大小常用作差法，一般步骤是作差——变形——判断符号.变形常用的手段是分解因式和配方，前者将“差”变为“积”，后者将“差”化为一个或几个完全平方式的“和”，也可两者并用(此时，老师用投影仪给出下列问题［合作探究］【问题2】 求证：（1）a ＞b 且c ＞0 ac ＞bc ；（2）a ＞b a +c ＞b +c师 请同学们思考第一小问该如何证明？生 可用实数的基本性质，∵a ＞b ,∴a -b ＞0.又∵c ＞0，由任意两个正数的积都是正数可得(a -b )c ＞0，即ac ＞bc师 这位同学证明的思路很好，很严密.同学们还有其他的证明思路吗？生 ac -bc =(a -b )c ，∵a ＞b ，∴a -b ＞0.又∵c ＞0，由任意两个正数的积都是正数可得(a -b )c＞0，所以得证师 这位同学证明得是否正确？生 正确师 这两位同学的证明都正确，请同学们认真地审视一下，比较这两位同学证题思路的区别与联系生 第一位同学的证明是由条件到结论，第二位同学的证明是由结论到条件，即寻找结论成立的条件师回答得非常好，这位同学看出了两种证明方法的本质.由条件到结论，由结论到条件，这是我们证明问题经常采用的思路（按照教材对不等式的证明要求，此处对不等式证明的分析法与综合法没有点明，只是让学生通过具体的问题了解不等式证明的分析法与综合法的证题思路）师 请同学继续思考第二小问该如何证明？生 可由结论到条件，a +c -(b +c )=a -b ，∵a ＞b ，∴a -b ＞0，∴a +c ＞b +c师 这位位同学回答得很好，有理有据，严谨细致，也很有条理清晰.别的同学有问题吗？ 生（齐声）没问题师 这说明同学们对不等式的证明思路掌握得很好师 下面我们再来看一个比较复杂的问题，请大家继续开动脑筋，认真审题，仔细分析 （此处，老师再一次这样说的目的是能够激发起同学们克服难题的欲望，进而增强学习的积极性与主动性）(此时，老师用投影仪给出本课时的例［例题剖析］已知a ＞b ＞0,c ＜0，求证：b c a c ＞师 前面我们已经利用不等式及实数的基本性质证明了一些简单的不等式.请同学思考此该如何证明？生 可由条件到结论.∵a ＞b ＞0，两边同乘以正数ab 1，得b 1＞a 1，即a 1＜b 1b .又∵c ＜0，∴b c a c ＞师 这位同学回答得很好.通过此例的解答可以看出，本课时，同学们对简单不等式的证明掌握得非常好.希望同学们课后进一步探究，对不等式的基本性质和实数的性质应用既要严密、。
高二数学《3.1不等关系与不等式》教案一
个人备课高二年级数学备课组教学目标：1. 了解现实世界和日常生活中存在着的不等关系；2. 会从实际问题中找出不等关系，并能列出不等式与不等式组.重点：用不等式（组）表示实际问题的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题。
理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。
难点：用不等式（组）正确表示出不等关系。
教学过程教师活动学生活动一、课题导入在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系。
如两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边，等等。
人们还经常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系。
在数学中，我们用不等式来表示不等关系。
下面我们首先来看如何利用不等式来表示不等关系。
复习1：写出一个以前所学的不等关系_________复习2：用不等式表示，某地规定本地最低生活保障金x不低于400元______________________下面我们首先来看如何利用不等式来表示不等关系。
二、新课导学生思考后回答：1.三角形两边之和大于第三边。
2.x 400_____________________(3)如图(见课本74页)，在一个面积为350的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地，仓库的长L大于宽W的4倍练2．有一个两位数大于50而小于60，其个位数字比十位数大2．试用不等式表示上述关系，并求出这个两位数(用a和b分别表示这个两位数的十位数字和个位数字)．三、课后作业1. 某夏令营有48人，出发前要从A、B两种型号的帐篷中选择一种．A型号的帐篷比B型号的少5顶．若只选A型号的，每顶帐篷住4人，则帐篷不够；每顶帐篷住5人，则有一顶帐篷没有住满．若只选B型号的，每顶帐篷住3人，则帐篷不够；每顶帐篷住4人，则有帐篷多余．设A型号的帐篷有x顶，用不等式将题目中的不等关系表示出来．2. 某正版光碟，若售价20元/本，可以发行10张，售价每体高2元，发行量就减少5000张，如何定价可使销售总收入不低于224万元? (1)a+b≥0(2)h≤4m(3)(L+10)(w+10)=350L≥4W10a+b≥5010a+b≤60b=a+2解得：a=5,b=7.。
高中数学《不等关系与不等式》导学案
第三章不等式§3.1 不等关系与不等式一、学习目标1.了解不等式的意义,会列不等式表示数量关系.2.掌握常用不等式的基本性质.3会用不等式的性质证明简单的不等式.【重点、难点】教学重点：不等式的意义及不等式的基本性质。
教学难点：不等式的意义及不等式基本性质的应用。
二、学习过程【情景创设】咖啡馆配制两种饮料,甲种饮料每杯分别用奶粉9 g,咖啡4 g,糖3 g;乙种饮料每杯分别用奶粉4 g,咖啡5 g,糖10 g.已知每天使用原料限额为奶粉3600 g,咖啡2000 g,糖3000 g,设每天应配制甲种饮料x杯,乙种饮料y 杯,你能写出满足上述条件的所有不等式吗?【导入新课】1 .上述情景中的x,y满足的不等式分别为. . .x≥0,y≥02．作差法比较大小的依据是什么?(1)a>b⇔;(2)a=b⇔;(3)a<b⇔.要确定任意两个正实数a,b的大小关系,只需确定它们的与的大小关系即可.3．作商法比较大小的依据是什么?设a,b∈R,且a>0,b>0(1)a>b⇔;(2)a=b⇔;(3)a<b⇔.要确定任意两个正实数a,b的大小关系,只需确定它们的与的大小关系即可.4．不等式的基本性质(1)对称性:a>b⇔b a;(2)传递性:a>b,b>c⇒a c;(3)可加性:a>b⇒a+c b+c;(4)a>b,c>d⇒a+c b+d;(5)可乘性:a>b,c>0⇒ac bc;(6)a>b>0,c>d>0⇒ac bd;(7)a>b,c<0⇒ac bc;(8)乘方性:a>b>0⇒a n b n(n∈N,n≥2);(9)开方性:a>b>0⇒错误!未找到引用源。
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(n∈N,n≥2);(10)a>b,ab>0⇒错误!未找到引用源。
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【配套K12】高中数学 3.1 不等关系与不等式教案 新人教A版必修5
第三章不等式课题: 3.1不等式与不等关系第1课时授课类型：新授课【教学目标】1．知识与技能：通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等式（组）的实际背景，掌握不等式的基本性质；2．过程与方法：通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法；3．情态与价值：通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯。
【教学重点】用不等式（组）表示实际问题的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题。
理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。
【教学难点】用不等式（组）正确表示出不等关系。
【教学过程】1.课题导入在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系。
如两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边，等等。
人们还经常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系。
在数学中，我们用不等式来表示不等关系。
下面我们首先来看如何利用不等式来表示不等关系。
2.讲授新课1）用不等式表示不等关系引例1：限速40km/h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v 不超过40km/h ，写成不等式就是：40v ≤引例2：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于 2.5%，蛋白质的含量p 应不少于2.3%，写成不等式组就是——用不等式组来表示2.5%2.3%f p ≤⎧⎨≥⎩ 问题1：设点A 与平面α的距离为d,B 为平面α上的任意一点，则||d AB ≤。
问题2：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。
据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。
若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？解：设杂志社的定价为x 元，则销售的总收入为 2.5(80.2)0.1x x --⨯ 万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式2.5(80.2)200.1x x --⨯≥ 问题3：某钢铁厂要把长度为4000mm 的钢管截成500mm 和600mm 两种。
高中数学第三章不等式3.1.1不等关系与不等式同步导学案新人教B版必修
学习资料专题不等关系与不等式学案学习目标⒈了解不等式的概念，掌握比较实数大小的方法；⒉培养学生数形结合能力和运算能力；⒊通过实际情境的设置，培养学生对客观世界的认知能力。
1.人造地球卫星和绕地球飞行的宇宙飞船的飞行速度（记作vkm/s）应该不小于第一宇宙速度（记作v1km/s），且小于第二宇宙速度（记作v2km/s）。
v,v1,v2的关系用数学符号可怎样表示？2.某人为自己制定的月支出计划中，规定手机电话费不超过150元，他所选用的中国电信卡的收费标准为：月租费30元，每分钟通话费0.40元。
求这个人每月通话时间（记为x小时）的取值范围，请列出式子。
通过上面的两个问题，我们能得到什么启示？我们用哪些符号表示数与代数式之间的关系呢？可举几个例子？一、不等式的定义：二、实数大小比较的方法的依据是什么？实数集与数轴上的点集可以建立一一对应关系，数轴上的点是有次序排列的数轴上一个动点，沿着数轴的正方向运动时，它所对应的实数越来越大。
数轴上的任意两点中，右边点对应的实数比左边对应的实数之间的关系怎样？结论一：在数轴上，表示实数a 和b 的两个点分别为A 和B ，则点A 和点B 在数轴上的位置关系如何？实数a 和b 是否也有类似的结论？结论二：三、比较两个实数大小的方法当我们没有度量工具时，要确定甲乙两个同学身高之间的不等关系，应怎样？那么，在数学中如何比较两个数的大小呢？结论：例1比较22--x x x 和的大小。
例2当p,q 都为正数，且p+q=1时，试比较代数式()222qy px qy px ++与的大小。
1、设a=2－5，b=5－2，c=5－25，则a、b、c的大小关系为________________．2、5＋7与23的大小关系是 _____________________．3、7－5与13－11的大小关系是。
高中数学31不等关系与不等式教案新人教A版必修
第一课时 3.1 不等关系与不等式（一）教学要求：了解现实世界和日常生活中存在着的不等关系；会从实际问题中找出不等关系，并能列出不等式与不等式组.教学重点：从实际问题中找出不等关系.教学难点：正确理解现实生活中存在的不等关系.教学过程：一、复习准备：1、提问：你能回顾一下以前所学的不等关系吗？2、讨论：除了书上列举的现实生活中的不等关系，你还能列举出你周围日常生活中的不等关 系吗？3、用不等式表示，某地规定本地最底生活保障金不底于300元；二、讲授新课：1、教学用不等式表示不等关系① 在现实生活中，存在着许许多多的不等关系，在数学中，我们用不等式来表示这样的不等关系.② 举例：例如：限速40km/h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v 不超过40km/h ，写成不等式就是v ≤40.④ 实数的运算性质与大小顺序之间的关系对于任意两个实数a,b,如果a>b,那么a-b 是正数;如a<b,那么a-b 是负数;如果a-b 等于0.它们的逆命题也正确.即(1)0;(2)0;(3)0a b a b a b a b a b a b >⇔->=⇔-=<⇔-<2、教学例题：①出示例1：日常生活中，在一杯含有a 克糖的b 克糖水中，再加入m 克糖，则这杯糖水变甜了，请根据这一事实提炼出一道不等式。
（浓度＝溶质溶液） ②出示例2：某种杂志以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。
据市场调查，若单价每提高0.1元，销量就相应地减少2000本。
若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入还不底于20万元呢？（教师示范 → 学生板演 → 小结）3、小结：文字语言与数学语言之间的转换，实数的运算性质与大小顺序之间的关系.三、巩固练习：１.某电脑拥护计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要至少要买３片和２盒，请将购买软件和磁盘所满足的不等关系用不等式表示出来。
高中数学 第三章 不等式 3.1 不等关系与不等式(第1课时)教案 高二数学教案
3.1不等关系与不等式（1）
一、教学目标：
1．知识与技能：
通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量不等关系，理解不等式（组）的实际背景，掌握不等式的基本性质，会用不等式的性质证明简单的不等式．
2．过程与方法：
通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法．
3．情感、态度与价值观：
通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯．
重点：理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值；掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式．难点：利用不等式的性质证明简单的不等式
三、教学模式与教法、学法
教学模式：本课采用“探究——发现”教学模式．
教师的教法：利用多媒体辅助教学，突出活动的组织设计与方法的引导．
“抓三线”，即(一)知识技能线（二）过程与方法线（三）能力线.
“抓两点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，二抓知识的切入点.
学法：突出探究、发现与交流．
四、教学过程
(3)
a b
a b
b a
a b a
a b b
-
⎛⎫
= ⎪
⎝⎭。
人教B版 3.1.1不等关系与不等式学案
.1.1不等关系与不等式高二数学第三章第一课时学案一、教学目标1. 学习如何利用不等式表示不等关系，利用不等式的有关基本性质研究不等关系；2．通过学生在学习过程中的感受、体验、认识状况及理解程度，注重问题情境、实际背景的设置，通过学生对问题的探究思考，广泛参与，改变学生的学习方式，提高学习质量。
二、合作探究1、想一想，我们日常生活当中，存在哪些不等关系？阅读本章开始的关于恩格尔系数的相关材料，能否解决那个实际问题？2、不等关系与不等式的定义：（1）我们用数学符号_______________________连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系。
含有这些不等号的式子叫做______________。
（2）我们要注意“≥”和“≤”的含义：a≥b的含义为：___________________________;a≤b的含义为：___________________________。
（3）巩固提高练习1：若需在长为4000mm圆钢上，截出长为698mm和518mm的两种毛坯，问怎样写出满足上述所有不等关系的不等式组？练习2 、一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料需要的主要原料是磷酸盐4吨、硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1吨、硝酸盐15吨。
现有库存磷酸盐10吨、硝酸盐66吨，在此基础上进行生产。
请用不等式组把此实例中的不等关系表示出来。
3、数轴上两个实数大小的比较：(1)、在数轴上，如果表示实数a和b的两个点分别为A和B，则点A和点B在数轴上的位置关系有以下三种：（1）点A 和点B _____；（2）点A 在点B 的______；（3）点A 在点B 的______。
在这三种位置关系中，有且仅有一种成立，由此可得到结论：对于任意两个实数a 和b ，在______________________三种关系中有且仅有一种关系成立。
（2）、比较大小的依据：①a>b ⇔__________; ②a<b ⇔__________; ③a=b ⇔__________.(3)、比较大小的方法：①作差比较：作差→将差变形→判断差的正负。