机械动力学 习题复习

例3
为M的方木用刚度为k 的弹簧与固定墙联结， 并在水平导板上做无摩 擦的运动。在方木内挖 出半径为R的圆柱形空 腔。在空腔内有质量为 m半径为r(r＜R)的均质 圆柱。试以拉格朗日方 程形式建立系统的运动 微分方程。
k
O
R
x

系统的动能和势能……？？
1 2 I mr 2

R r r
模态分析法实例 1
用模态分析法求二自由度系统的自由振动
k1
m1
k2
m2
k3
k1=30,k2=5,k3=0
m1=10,m2=1 初始条件为：x(0)=[1 0]’，v(0)=[0 0]’

解 系统的固有频率和主振型为
1 (1) 1 1.5811, X X1 2 1 (2) (2) 2 2.4495, X X1 5
【例】如图所示为汽车通过粗糙路面引起竖向振动 的简单模型，设汽车的质量为1200 kg，悬架系统的 弹簧常数为400 kN/m，阻尼比为=0.5。若汽车的行 驶速度为20 km/h，求汽车的位移幅值。已知路面的 起伏按正弦规律变化，幅值为Y=0.05 m，波长为6 m
【解】基础运动激励的频率可以通过汽车速度 v(km/h)除以路面起伏的循环长度求得 2 v 1000 1 2 f 2 0.290889v(rad / s) T 3600 6 v=20km/h时， 5.81778(rad / s) k 400 103 n 18.2574(rad / s) m 1200 因而频率比 / n 0.318653
(t ) c2ent nent (c1 c2t ) 0 x c2 n (c1 c2t ) 0 c1 x0 0 t1 1/ n V0 1 V0 n t1 xmax x(t1 ) c2t1e e n n e V0 xmaxne 0.4 4.4721 2.7183 4.8626 m / s
（3）求模态方程的解。一般可由杜哈美积分，或待定系数法求微分 方程的特解。将广义坐标表示的初始条件，变换为用模态坐标表 示，并代入模态方程，求出各积分常数。 注意：此时的变量为Y！ （4）把模态坐标响应变换成广义坐标响应，即为系统的响应 即 X u Y
理解：通过坐标变换后，模态方程中各参量均无任何物理含义！
0 (0) X Mx (0) q 0 q1 (t ) 2.673cos1.5811t q2 (t ) 1.690cos 2.4495t
T
x(t ) Xq(t )
0.2673 0.1690 2.673cos1.5811t x(t ) 0.5346 0.8450 1.690cos 2.4495t
12 1 m / 2 m m 2 / 4
质量比m=0.1345，求出主系统m1=2/0.1345=14.87kg
无阻尼动力吸振器(9)
系统的最低运行速度1为209.44rad/s(2000r/min) 获得第一处共振频率比1 m 0.6942 1 1 / n1 0.6667
1 1 2 3 2 2 2( R r ) x 2 2
1 2 V kx mg ( R r ) cos 2
4500r/min
多自由度系统模态分析的基本步骤（P34） （1）求系统的固有频率与主振型，构成主振型矩阵 u
K （2）坐标变换 X u Y 得 M 0 Y Q 0 Y
u X Y

M 0 u T M u K 0 u T K u Q u T F
8 (1) y ( x, 0) 2 2 i i 1,3,5...


i 1 2
i sin l
x
n y( x,0) Cn sin x l n 1
8 (1) Cn 2 i2
i 1 2
n 1,3,5
n 1 2
(1) y( x, t ) 2 n1,3,5 n2

【解】由于x1.5=x1/4, 因而x2=x1/16
x1 Ae nt1 sin( 1 2 nt1 ) x2 Ae
n t2
sin( 1 nt2 )
2
不同时刻解的表达式
x1 16 x2
对应振动的幅值比
2
1 2 2 2 1 d n 根据
如图所示，一个质量为m的薄板挂在弹簧下端，
在空气和液体中上下振动的周期分别为T1和T2， 不计空气阻尼，而液体的阻尼力为 2Am x （2A为薄板上下两端面积之和）。试求液体的 粘度系数m
多自由度系统
无阻尼动力吸振器(6)
【例】一台电动机—发电机组，如图所示，设计运行速度 为2000～4000 r／min。但由于转子存在微小不平衡，该机 械在运转速度为3000 r／min时发生剧烈振动。为此计划安 装一个悬臂式集中质量吸振器来消除振动。当一个带有2kg 实验载荷的悬臂安装到机器上之后，所得系统的固有频率 为2500 r／min和3500 r／min。设计吸振器质量和刚度，使 得整个系统固有频率在电动机—发电机组转速范围之外。

8
n n sin x cos l l
t
习题2
EJ A
M
l
习题3
EJ A
x
l 2
l 2
y
N
EI
N
x
l
多刚体构件系统
机械动力学
例2
质量为m，长度为l的匀质杆 与质量为M的匀质圆盘中心 用光滑铰链联结，构成一个 物理摆。圆盘在水平导轨上 无滑动地滚动，其中心用刚 度为k的弹簧与固定墙联结。 试用拉格朗日方法建立系统 的运动微分方程
单自由度系统
有阻尼自由振动系统 例1
摩托车的质量为200 kg，为其设计了一个弱阻尼吸振器。当吸振器受到 一个由于路面冲击而引起的竖直方向的速度时，相应的位移-时间曲线如 图(b)所示。如果阻尼振动的周期为2 s，经过个周期后振幅衰减为原来的 1／4(即x1.5=x1/4)。求弹簧的刚度以及阻尼器的阻尼系数
无阻尼动力吸振器(8)
电动机—发电机组的固有频率为1、吸振器的固有频率为2。 因为吸振器(质量m2=2kg可调)，令1= 2 =314.16 rad／s(对 应转速3000 r／min) 测试共振频率1 和 2为261.8rad/s(2500r/min)和366.53rad/s (3500r/min)，从而可以求出两个共振点的频率比1,2 1 1 / n1 0.8333 2 2 / n1 1.1667
【例3】图示为一大型火炮的示意图。发射时，高压气体使 子弹在炮筒内获得一个很高的速度。后坐力使炮筒沿与子弹 射出相反的方向移动。由于希望火炮不会由此产生振动并能 以最短时间停下，所以设计了一个具有临界阻尼的弹簧一阻 尼器系统，称为反冲机构。设炮筒和反冲机构的总质量为 500 kg，反冲弹簧的刚度为10 000 N/m，发射时后坐的距离 为0.4 m。求：(1)阻尼器的临界阻尼系数；(2)初始后坐速度
(1)

(1) (2) X X 其中 1 为任意常数。通过固有振型 1 (1) (2) 关于质量矩阵正则化，可以求出 X1 X 1

由
X
(1)T
MX
X
(1)
1 X
0.2673 X
(2) 1
(1) 1

2
求得
(1) 1
10 0 1 {1 2} 1 0 1 2
2 k mn cc 2mn
ln(16) 2.7726
Td
获得阻尼比 0.4037 2 n 3.4338(rad / s) 2 2 1 所以
k 200 3.43382 2358.2652( N / m) cc 2 200 3.4338 1373.54( N s / m) c cc 0.4037 1373.54 554.4981( N s / m)
x r
K A

B
1 11 2 2 x m1r T1 m1 x 2 22 r 1 1 1 2 2 2 T1 m2vc m2l 2 2 12
2 2 2
2
l l 2x cos vc x 2 2 1 2 V1 m2 gl cos V1 kx 2
无阻尼动力吸振器(7)

问题分析
1 主系统固有频率n1
安装吸振器之后的 2 新共振点的确定
1 共振转速3000 r／min 2 运行转速2000～ 4000 r／min
3 测试载荷2kg
测试共振转速2500 r／ 4 min和3500 r／min
3 主系统质量
测试时的两个共振频 4 率和对应的频率比
m2 m1 0.6942 10.3227kg
2 6 k2 m2 n 1.0188 10 N / m 2
吸振器参数 设计完毕
系统的二阶共振频率比 验证 设计
22 1 m / 2 m m 2 / 4 2.2497 2 1.499
2 1.499 314.16 471.24rad / s
qi 0
i 0 为模态坐标初值，需要通过广义坐标求出 q
i
x(t ) Xq(t ) X T Mx(t ) X T MXq(t ) q(t ) X T Mx(t )
q(0) X T Mx(0)
0.2673 0.5346 10 0 1 2.673 0.1690 0.8450 0 1 0 1.690
同理求得