近世代数 环同态的性质共52页文档
近世代数课件--3.8 剩余类环,同态与理想
我们现在用符号
a b A
a b A a b A 即 来表示（读成 a 与 b 模 A 同余）。
一个类 a 包含所有可以写成
au
u A
的形式的元. 两个元的剩余类相等的条件是：
[ a ] [b ] a b A
1
证明: 1.分两步 1) a , b I a b I 2) a I , r R ra , ar R 2-5 同学自行给出.
8.4 同态基本定理
定理 2 假定R同 R 是两个环，并且R与 R 同态，那么
R A R
这里 A 是同态满射的核. 证明 设 个映射 : R
例1. 设 : Z Z n , ( n ) [ n ] (1)证明 是同态满射 (2)求 k er (3)写出 Z 的一个商环, 使它与 Z n 同构.
例2. 证明 Q [ x ] /( x ) Q 例3. 证明
Q [ x ] /( x 1) Q [ i ]
2
8.5 同态的性质
: R R 是已知的同态满射,
A R
*
利用它构造一
( a ) a a
(1) 是一个aຫໍສະໝຸດ R A与 R
间的映射。因为：
*
b
a bA ab ab 0 a b
*
( a ) ( b )
是一个 R A 与 R 的映射。
记 k er f I ,[a]=a+I.
它有以下性质: 1. ker f I 是理想 2. [ a ] [ b ] f ( a ) f ( b ) 3. x [ a ] f ( x ) f ( a ) 4. f ([ a ]) { f ( a )} . 5. 记 a f ( a ) ,那么 f ( a ) [ a ]
§6.7 环 同 态
极大理想
定义.
环R的一个理想N说是一个极大理想，如果NR，
而R与N之间没有别的理想。
例.
设R是模12的整数环：{0,1,2,…,11}。
设N1=6R={0，6},则N1是主理想,但非极大理想:有R的
理想N2=2R={0,2,4,6,8,10},且N1 N2 R。
N2是R的极大理想（因为R的理想的元数整除R的元数，
例.
设R为整数环I，N=（m）=mI，则
a≡b（mod N） iff a=b+n, n∈N iff a=b+mk iff m∣a-b
iff a≡b（mod m）。
I的关于N的陪集即是模m的剩余类。
环中合同关系的性质
定理6.7.1 在环R中，对于模N，有
(1)反身性：a≡a; (2)对称性：若a≡b，则b≡a; (3)传递性：若a≡b，b≡c，则a≡c; (4)加法同态性：若a≡b,c≡d,则a±c≡b±d。 (5)乘法同态性：若a≡b，c≡d，则ac≡bd。
= σ-1(σ(a) ) σ-1( σ(b))
=(a+N)(b+N)= ab+N 故τ 是R′到R∕N上的一个同构对应。
定理6.7.6
设环R同态于R′: R～R′,同态核为N,于是 R与N之间的子环与R′的子环一一对应， 大环对应大环，小环对应小环， 理想对应理想。
R′与（0’）间无理想
iff R与N间无理想。
只可能为1，2，3，4，6，12，而N2的元数是6，故在R
与N2之间不会有别的理想）。 若取N3=3R={0,3,6,9},则N3也是R的极大理想。 可见，极大理想不唯一。
极大理想与单纯环的关系
定理6.7.7 若N是环R的理想，N R，则
3.5子环、环同态
事实上, xs ys ( xs ) ( ys ) ( xs ys )( 是S 到S的同构映射)
xs ys ( xs ) ( ys ) ( xs ys )( R中 的定义) ( xs ys )( xs ys S ) xs ys
（平凡子环）
例2：一个环R的可以同每一个元交换的元作成 一个子环,叫做环R的中心.
Байду номын сангаас
§3.5 子环、环的同态
二、环的同态及其若干性质
定理1：设R是一个环, R是一个不空集合, R有两个代数运算,一个叫做加法,一个 叫做乘法.若存在一个R到R的满射,使得 R与R对于一对加法以及一对乘法来说都 同态,则R也是一个环.
则规定的法则是 A 的加法和乘法, 且 对于一对加法 和一对乘法来说都是同构映射.
§3.5 子环、环的同态
(1)构造R S ( R S ); 证明： (2)作一个R 到 R 的一一映射;
(3)在R中定义两个代数运算,使得 R R ; (4)证明S是R 的子环.
R
S
§3.5 子环、环的同态
(1)作R S (R S ) {as , bs , cs , } {a, b, c, }.
§3.5 子环、环的同态
(2)规定 ：
RR
xs xs ( xs ), xs S , x x, x R S ,
则 是R到R的一一映射.
R
S
§3.5 子环、环的同态
§3.5 子环、环的同态
定义：设R和R 是两个环,则称R和R同态 （同构）,若满足
(1)存在满射(一一映射) : R R (2)保持运算(保持加法和乘法运算） ( x y ) ( x ) ( y )(x, y R );
环同态及同态基本定理
环同态及同态基本定理定义2.设21:R R →ϕ是一个环同态,那么2R 中零元的完全原象}0)(|{)0(11=∈=-a R a ϕϕ叫作ϕ的模,通常记ϕϕKer =-)0(1.定理1.设R R −→−ϕ是一个环同态满射,令ϕKer I =那么(ⅰ) I R (ⅱ)R I R ≅证明:(ⅰ)对加法而言,ϕ显然是一个加群满同态,由第二章知 I R . (即I 是R 的不变子群).下面只需证明吸收律也成立即可..,R r I k ∈∀∈∀那么.00)()()()(I rk r k r rk ∈⇒===ϕϕϕϕ同理I kr ∈.∴ I R(ⅱ)由第二章知,存在R IR ≅Φ:.作为群同构,其中.][I R a ∈∀ ),(])([a a ϕ=Φ下面只需证明:I R b a ∈∀][],[,])([])([])][([b a b a ΦΦ=Φ但][][)()()(][])][([b a b a ab ab b a ΦΦ===Φ=Φϕϕϕ.∴ R I R →Φ:是环同构.即R IR ≅Φ. 定理 2.设R 是一个环而 I R ,那么必有环同态I R R →:ϕ.使得ϕ是满同态且模I Ker =ϕ.称这样的ϕ为环的自然同态.证明:令IR R →:ϕ,其中][)(a a =ϕ, 显然ϕ是个满射.而且R b a ∈∀,.)()(][][][)(b a b a b a b a ϕϕϕ+=+=+=+)()(]][[][)(b a b a ab ab ϕϕϕ=== ∴I R R ～.至于I Ker =ϕ是显然的.注意:上述定理1和定理2通称为环和同态基本定理.同时表明:环R 的任何商环I R 都是R 的同态象.而环R 的任何同态象实质上只能是R 的一个商环.与群同态类似,我们可以和到一些与第二章中平行的结果.定理3.设R R →:ϕ是环同态映射,那么(ⅰ)若S 是R 的子环)(S ϕ⇒是R 的子环(ⅱ)若I 是R 的理想且ϕ为满射)(I ϕ⇒是R 的理想(ⅲ)若S 是R 的子环)(1S -⇒ϕ是R 的子环(ⅳ)若S 是R 的理想)(1S -⇒ϕ是R 的理想证明: (ⅰ)S b a S b a ∈∃⇒∈∀,)(,ϕ使).(),(b b a a ϕϕ==所以S b a ∈-,于是R S S b a b a b a ≤⇒∈-=-=-)()()()()(ϕϕϕϕϕ.(子群)另外 ） （ S ab S ab b a b a ∈∈== )()()()(ϕϕϕϕ ∴)(S ϕ是R 的子环.(ⅱ) I R ,∴I 是R 的子环)()(I i ϕ⇒是R 的子环.须证明吸收律成立. ϕ是满射 ⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫∈∈⇒=∈∃⇒∈∀=∈⇒∈∀I ai I ia IR a a R a R a i i I i I i ,)(,)()( ϕϕϕ使使 R I I ai i a i a I ia a i a i )()()()()()()()()(ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ⇒⎪⎭⎪⎬⎫∈==∈== (ⅲ))(,1s b a -∈∀ϕ ∴S b a ∈)(),(ϕϕ, 而知S b a b a ∈-)()(),()(ϕϕϕϕ ∴⇒⎪⎭⎪⎬⎫∈⇒∈=∈-⇒∈-=---)()()()()()()()(11s ab S b a ab s b a S b a b a ϕϕϕϕϕϕϕϕ )(1s -ϕ是R 的一个子环.(ⅳ)R r R r S a s a ∈∴∈∀∈⇒∈∀-)(.,)().(1ϕϕϕ R S ,∴S a r S r a ∈∈)()(,)()(ϕϕϕϕ. 于是)()()()()()()()()(111s s ra S a r ra s ar S r a ar ---⇒⎪⎭⎪⎬⎫∈⇒∈=∈⇒∈=ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ 满足吸收律.又由(ⅲ))(1s -⇒ϕ是R 的子环.于是R s )(1-ϕ.注意2.从定理3的证明中可知:除了(ⅱ)需要ϕ是满环同态外,其余情况都不需要ϕ是满射这个条件.极大理想的概念(1) 定义1. 设I 是R 环的一个理想且R I ≠,如果除了R 和I 以外,再也没有能包含I 的其他理想,那么称I 是R 的一个极大理想.∙ 将上定义更“数学化”些,就是:设 I R ，R I ≠,则I 是极大理想⇔不存在 I R 使R J I ⊄⊄∙ 欲判断理想 I R 是极大理想的一般有二步:① 验证 R I ≠ (即R r ∈∃ 但 I r ∉ ) 一般当R l R ∈,证I R ∉1② 设J R 且 J I ⊄,R J =⇒(2) 例子.例1. 设素数Z p ∈,那么由p 生成的理想()p I =必是极大理想.① 因为(){}()p Z n np p ∉⇒∈∀=1 （p 不整除1） ∴ Z p ≠② 设J Z ,且I ⊄J ,那么说明存在J g ∈但()p g ∉换句话说 p 不整除g ,由p 的性质 ()Z t s g p ∈∃⇒=⇒,.1, 使1=+tg sp . J I p ⊄∈,且 Z R J J tg sp J g ==⇒∈+=⇒∈1 例2. 设Q R =有理数环,那么取Q ∈2,则主理想()2=I 必不是极大理想.事实上 ()==2I {}Q g g ∈∀2, 则 Q x Q x ∈⇒∈∀2 I Q I x x =⇒∈⋅=22 ∴ I 不是极大理想. 例3. 设{}R ≠0为任一个环,则R 为单环⇔零理想{}0是极大理想.( ∴ 除环的极大理想只有 {}0 )例4. 设Z R 2=—偶数环,而R Z I 4=,可验证I 是R 的极大理想.事实上,① R ∈2 但I ∉2R I ≠⇒② 设R J I ⊄.须 证Z R J 2==.显然只需证明J ∈2即可.J j IJ ∈∃⇒但 I j ∉. 令m j 2= 而12+=k m .∴ ()24122+=+=k k j ,而J j ∈,且J k j J I K ∈-=⇒⊂∈424∴ R J J =⇒∈2极大理想的主要定理.引理1. 设 I R ,那么剩余类环I R为单环I ⇔是R 的极大理想. (这里R I ≠)证明: (⇐) 已知I 是R 的极大理想,须证I R R =只有平凡理想.设(){}J ≠0是R 的一个理想,而→R :πIR R =为自然同态映射, J R . 那么由§8知 ()J J 1-=π也是的理想,即J R .又注意到,I a ∈∀,则 ()[][]0a a =π ()πker =∴I[]J I J a J ⊆⇒∈⇒∈0 ,但 (){}J b J ∈∃⇒≠0 且 [][]J b b ∈⇒≠0 ,使 ()[][]I b b b ∉∴≠=,0π ,这说明 I ⊄J但I 是极大理想R J =⇒,于是利用π是满同态映射()()R R J J ===⇒ππ 即 R J =. ∴ I R R =是个单环.()⇒ 已知 IR R =是单环,(即R 只有平凡理想) 今设J R ,且,J I ⊄ 须证R J = :自然同态: →:πI R R =,且由§8定理3()J J =⇒π R .由J I ⊄J b ∈∃⇒且I b ∉, ∴ ()[][]0≠=b b π ( πker =I ) 而仅且 ()[]⇒∈=J b b π 这说明J 中有非零元[](){}0≠⇒J b ,但R 是单环R J =⇒. ∴ .R r ∈∀ ()[]J j J R r r ∈∃⇒=∈=π 使 ()[]()r r j ππ==∴ ()[]J I j r j r ∈=∈-⇒=-ππker 0∴ (),J j j r r ∈+-= 由 r 的任意性J R =⇒∴ I 是极大理想.引理2. 设{}0≠R ,且R 是可变换幺环,那么R 为域R ⇔为单环.证明: ()⇒ 若R 为域R ⇒必为单环()⇐ 显然需要证明R 是除环即可,也就是说:只要证明∙R 中每个元都可逆. ∈∀a ∙R ∴0≠a , 由a 生成的一个主理想{}()0≠a ,但R 是单 环()()a R R a R =∈∴=⇒1, 又 R 为可换幺环(){}ra R a ra a R =⇒∈∀=⇒1∴ a r a ⇒=-1可逆, 由a 的任意性R ⇒是除环即R 是域. 定理1. 设{}R ≠0为可变换的幺环,而R I ,那么I R 为域I ⇔是R 的一个极大理想.证明: ()⇒ I R 为域⇒I R 为单环I 1引理⇒为R 的极大理想.()⇐ I 为R 的极大理想1引理⇒I R 为单环 (1)又 I 为极大理想{} 0≠⇒≠⇒I R R I (2) R 可变换且I R R R ⇒∈1可变换且单位元为[]R 1 (3)由(1),(2),(3) 2引理⇒I R 为域.。
近世代数课件-3.1. 加群、环的定义
欢迎大家来到本次近世代数课程，今天我们将学习加群和环的基本定义和性 质。
什么是加群
群的定义和性质
群是一个集合，具有封闭性、 结合律、单位元素和逆元素。
加法运算的封闭性
加法运算在集合内是封闭的， 即两个元素的和仍然属于该 集合。
加法运算的结合律
对于三个元素进行连续加法 运算时，结果与加法运算的 顺序无关。
加法运算的存在单位元素
加群中存在一个特殊元素，称为单位元素，它 与任何元素相加不改变元素的值。
加法运算的存在逆元素
加群中的每个元素都有一个对应的逆元素，使 得它们相加的结果等于单位元素。
什么是环
1
环的定义和性质
环是一个集合，具有加法运算和乘法运算，
加法运算和乘法运算的关系
2
ห้องสมุดไป่ตู้
同时满足封闭性、结合律和分配律。
加法运算是环的基本结构，而乘法运算是
在此基础上进一步定义的。
3
乘法运算的封闭性
乘法运算在集合内是封闭的，即两个元素
乘法运算的结合律
4
的乘积仍然属于该集合。
对于三个元素进行连续乘法运算时，结果
与乘法运算的顺序无关。
5
乘法运算的分配律
乘法运算在加法运算上满足分配律，即对 于任意三个元素的运算，结果在加法和乘 法之间保持一致。
近世代数3.5：子环、环的同态
具有同样多代数运算的代数系统间的同态 结合律、 可以保持相应的结合律 交换律和分配律。 可以保持相应的结合律、交换律和分配律。 定理1（ ）：假定 定理 （ §1.8,P22）：假定，对于代数运算 ）：假定， 来说， 同态，那么， 和 来说， A 和 A 同态，那么， 适合结合律， 也适合结合律； （i）若 适合结合律， ） 也适合结合律； 适合交换律， 也适合交换律。 （ii）若 适合交换律， ） 也适合交换律。 定理2（ 都是集合A的代 定理 （ §1.8,P22）：假定， ⊕ , 都是集合 的代 ）：假定，
近 世 代 数
(Abstract Algebra)
授课教师 ： 陈 益 智 工作单位 ：惠州学院数学系
§3.5：子环、环的同态 ：子环、
近世代数 代数系统 带有运算的集合） （带有运算的集合） 群 环 域
研究方法： 研究方法：
（从内部入手） 1、 研究其子系统、商系统 从内部入手） 、 研究其子系统、 子系统：子群、子环、 子系统：子群、子环、子域 商系统：商群、商环、 商系统：商群、商环、商域 2、 研究其同态和同构 （从外部入手） 、 从外部入手）
数运算， 的代数运算， 同态， 数运算，⊕ , 都是集合 A 的代数运算， A 和 A 同态，那 么， 适合第一分配律， 也适合第一分配律； （i）若⊕ , 适合第一分配律，⊕ , 也适合第一分配律； ） 也适合第二分配律。 （ii）若 , 适合第二分配律，⊕ , 也适合第二分配律。 ） ⊕ 适合第二分配律，
§3.5：子环、环的同态 ：子环、
教学目的： 教学目的：
（1）掌握子环（子除环，子整环，子域） ）掌握子环（子除环，子整环，子域） 的定义及其等价条件； 的定义及其等价条件； （2）掌握环的同态及其若干性质； ）掌握环的同态及其若干性质； （3）理解并能使用“挖补定理 ）理解并能使用“ ”; （4）掌握类比的数学思想. ）
近世代数课件(全)--3-1-环的定义与性质
,则
n
n
(1) a( ai ) aai
i 1
i 1
n
n
(2) ( ai )a aia
i 1
i 1
n
m
nm
(3) ( ai )( bj ) aibj
i 1
j 1
i1 j1
(4) (ma)(nb) (mn)ab
2020/9/27
三、子环
定义4 若环 R 的非空子集 S 关于环 R 的加法与乘法也做成环，称 S 为 R 的子环
3.除环和域
定义 8 设 R 为有单位元 1R 的环,
a( 0) R ,如果存在 b R ,使得
,则称
a
为
ab ba 1R R 的可逆元,并称
b
为
a
的逆元.
•若a 可逆, 则 a 的逆元唯一, 且 a 的逆元也可逆.可逆元 a 的唯一的
逆元记作 a1 ,且 (a1 )1 a.
2020/9/27
两个消去律成立.即设 a, b, c R, b 0
,如果 ab cb 或 ba bc ,则 a c.
2020/9/27
2.整环 定义 7 一个交换的,有单位元 1R 且
1R 0 的无零因子环 R 称为整环.
例 6 整数环, 高斯整环 都是整环, 而偶数环为 无零因子环.
2020/9/27
2020/9/27
不是左零因子也不是右零因子的元素， 叫做正则元.
2020/9/27
例5
设 M M2(R),
A
1 0
1 0
,
B
1 1
1
1
都是 M 的非零元,而 AB 0 ,所以 A, B
分别为 M 的左右零因子.
近世代数课件(全)--3-1-环的定义与性质
,如果 ab cb 或 ba bc ,则 a c.
2024/7/18
2.整环 定义 7 一个交换的,有单位元 1R 且
1R 0 的无零因子环 R 称为整环.
例 6 整数环, 高斯整环 都是整环, 而偶数环为 无零因子环.
2024/7/18
例7
Z 的可逆元仅有1, -1;
2Z 由于没有单位元,所以它没有可逆元.
例 8 A Mn( K ) 可逆当且仅当 | A | 0. 例 9 试求高斯整环 Z[i] 的可逆元. 解 可逆元只有 1, 1, i, i
2024/7/18
定义9
设 R 是有单位元的环,且 1R 0 .如果 R 中每个非零元都可逆,则称 R 为除环.
,则
n
n
(1) a( ai ) aai
i 1
i 1
n
n
(2) ( ai )a aia
i 1
i 1
n
m
nm
(3) ( ai )( bj ) aibj
i 1
j 1
i1 j1
(4) (ma)(nb) (mn)ab
2024/7/18
三、子环
定义4 若环 R 的非空子集 S 关于环 R 的加法与乘法也做成环，称 S 为 R 的子环
同样,有理数集,实数集,复数集关 于数的加法与乘法构成有单位元 的交换环
2024/7/18
定理1
设 R 是一个环,如果 R 有单位元,则
单位元是唯一的.
R 的单位元常记作 1R .
2024/7/18
二、环的性质 性质1. 规定减法:
a b a (b),a, b R
，则有移项法则: