近世代数教案 (2)
近世代数(2)
辅导课程二
主讲教师： 主讲教师：张广祥
2.运算律 2.运算律
•
上的代数运算（ 结合律 A上的代数运算（通常表为乘法） 上的代数运算 通常表为乘法） 若对每a,b,c ∈ A有a(bc)=(ab)c,称A满足结合律 满足结合律. 若对每 有 称 满足结合律 若代数系统A满足结合律 满足结合律,则对任意的 定理 若代数系统 满足结合律 则对任意的 n≥3,A的任意 个元不论如何结合 它们的乘积 的任意n个元不论如何结合 ≥ 的任意 个元不论如何结合,它们的乘积 不变,因此可简单记为 因此可简单记为a ‥‥‥a 不变 因此可简单记为 1a2‥‥‥ n. • 交换律 若 A上代数运算，对每 ∈A,ab=ba, 上代数运算， 上代数运算 对每a,b 则称A满足交换律 满足交换律. 则称 满足交换律 • 分配律 若A上有两个代数运算 加法与乘法 上有两个代数运算,加法与乘法 上有两个代数运算 加法与乘法, 且对a,b,c ∈ A有a(b+c)=ab+ac,则称 满足配律 则称A满足配律 且对 有 则称 满足配律. 同样有右分配律(a+b)c=ac+bc. 同样有右分配律
5.等价关系与等价类 5.等价关系与等价类
•
定义1. 集合A上二元关系 称为等价关系,若对每 上二元关系∼ 定义 集合 上二元关系∼称为等价关系 若对每 a,b,c∈A,有 ∈ 有 (1) a ∼ a(反身性) (2) a ∼ b⇒ b ∼a(对称性) ⇒ (3) a ∼ b, a ∼ c ⇒ a ∼c(传递性)
• 定义 设∼是集合 上的等价关系 a∈A, 将A的 定义2. 是集合A上的等价关系 ∈ 上的等价关系, 的 所在的等价类 记为 称为 所在的等价类, 记为[a].
近世代数 教案
近世代数教案教案标题：近世代数教学目标：1. 了解近世代数的概念和发展历程。
2. 掌握近世代数的基本概念和运算规则。
3. 能够应用近世代数解决实际问题。
教学内容：1. 近世代数的概念介绍a. 代数的发展历程b. 近世代数的定义和特点2. 近世代数的基本概念a. 群的定义和性质b. 环的定义和性质c. 域的定义和性质3. 近世代数的运算规则a. 群的运算规则b. 环的运算规则c. 域的运算规则4. 近世代数的应用a. 代数方程的解法b. 密码学中的应用c. 数论中的应用第一课时：1. 引入近世代数的概念和发展历程，激发学生对代数的兴趣。
2. 介绍近世代数的定义和特点，帮助学生理解其重要性和应用领域。
第二课时：1. 讲解群的定义和性质，引导学生理解群的基本概念。
2. 通过例题和练习，巩固学生对群的运算规则的理解。
第三课时：1. 介绍环的定义和性质，与学生讨论环的实际应用。
2. 给学生提供环的运算规则的例题和练习，帮助他们掌握环的运算规则。
第四课时：1. 讲解域的定义和性质，与学生分享域在密码学和数论中的应用。
2. 引导学生应用域的运算规则解决实际问题。
第五课时：1. 综合运用近世代数的概念和运算规则，讲解代数方程的解法。
2. 给学生提供代数方程的例题和练习，帮助他们熟练运用近世代数解决方程问题。
教学评估：1. 课堂练习：在每节课结束时进行小组或个人练习，检查学生对概念和运算规则的理解程度。
2. 作业：布置与课堂内容相关的作业，检验学生对近世代数的掌握情况。
3. 期末考试：设计综合性的考试题目，考察学生对近世代数的理解和应用能力。
1. 教科书：提供近世代数的相关知识和例题。
2. 计算工具：使用计算器或电脑软件辅助计算和验证结果。
3. 网络资源：引导学生查找近世代数的实际应用案例和相关研究资料。
教学延伸：1. 鼓励学生参与数学竞赛和研究项目，拓宽对近世代数的应用领域的认识。
2. 鼓励学生自主学习和探索，深入了解近世代数的发展和前沿研究。
近世代数教学大纲近世代数课程是高等学校数学专业的必修课程
近世代数教学大纲近世代数课程是高等学校数学专业的必修课程《近世代数》教学大纲《近世代数》课程是高等学校数学专业的必修课程，是大学数学的重要基础课程之一。
它是现代数学的一个重要分支，其主要研究对象不是代数机构中的元素特性，而是各种代数结构本身和不同代数结构之间的相互联系。
《近世代数》已成为进入现代数学的阶梯和基础，不仅在知识方面，而且在思想方法上对于学习和研究近代数学都起着明显而有力的作用，它的理论结果也已经应用到诸多相关的科学领域，如计算机科学、理论物理、理论化学等。
设置本课程的目的：向学生介绍近世代数的最基本的概念、理论和方法，介绍现代数学的基础知识，培养学生的抽象思维能力和逻辑推理能力。
从而满足学生对代数学进一步学习和研究的要求，满足其他数学领域及数学应用对代数的基本要求。
学习本课程的要求：学生应了解近世代数的基本的概念和理论，掌握代数学研究代数结构的一般方法，注意培养抽象思维能力和逻辑推理能力，能为以后的代数学习或其他数学领域的学习打下良好的代数学基础。
先修课程要求：集合论初步，线性代数，高等代数本课程学时：54学时选用教材：刘绍学、章璞编著，近世代数导引，高等教育出版社（2011）教学手段：课堂讲授为主，讨论、课外辅导为辅考核方法：考试注：1、注意章节之间的相互联系，每章内容在全教材中所处的地位及作用。
2、在概念的讲授中，应注意由特殊到一般，由具体到抽象。
教学的初始阶段，宜慢不宜快。
3、不拘泥于教材，同时编写课程讲义。
4、时刻把握学生的接受能力。
5、教材中打“*”的内容根据实际情况选择讲解。
主要教学内容与重难点：第一章集合与运算一、学习目的通过本章的学习，能够熟练掌握近世代数中常见的一些基本概念和符号，初步了解近世代数课程研究的对象和一般的研究方法。
二、课程内容§1．1 集合§1．2 运算映射的定义，单射，满射，双射（一一映射）；变换的定义，单射变换，满射变换，双射变换。
近世代数前三章课程设计
近世代数前三章课程设计一、课程简介本课程主要介绍了近世代数的基本概念、常见结构与性质，着重探索了群、环、域等代数结构的性质。
本课程为近代代数学的基础课程，是学习现代代数学的必备基础。
二、课程教学目标1.掌握群、环、域等数学结构的概念和性质，理解它们在数学中的基本作用；2.了解群、环、域之间的相互关系，了解这些结构的基本构造方法；3.掌握熟练使用基本结论和方法，能够利用这些工具解决基本的数学问题；4.培养学生在逻辑思维和抽象思维方面的能力，提高学生的数学素养。
三、课程安排本课程按章节进行设计，主要包括以下三章：1. 第一章：群1.1 群的定义和基本性质1.群的定义；2.群的基本性质，包括封闭性、结合律、单位元、逆元等；3.子群、左、右陪集、拉格朗日定理。
1.2 群的同构1.同构的定义和基本性质；2.例子，如对称群、置换群等；3.群的分类，及其应用。
2. 第二章：环2.1 环的定义和基本性质1.环的定义；2.环的基本性质，包括封闭性、结合律、分配律等；3.子环、整环、域、代数系统的概念。
2.2 环的同构1.环的同构的定义和基本性质；2.例子，如数域、整环等；3.环的分类，及其应用。
3. 第三章：域3.1 域的定义和基本性质1.域的定义；2.域的基本性质，包括封闭性、结合律、分配律、单位元、逆元等；3.子域、代数闭域、代数数域的定义。
3.2 域的扩张1.域的扩张的定义和基本性质；2.域的扩张构造法；3.代数扩张、超越扩张、代数数域、超越数的含义。
四、课程教学方法和考核方式本课程采用理论授课、例题分析、作业讲解等多种教学方法，重点培养学生的逻辑推理能力和抽象思维能力。
考核方式包括平时成绩和期末考试成绩，其中平时成绩占总成绩的40%和期末考试成绩占总成绩的60%。
平时成绩主要包括作业、课堂表现等。
期末考试形式为闭卷，考察学生对本课程内容的掌握程度。
近世代数教学大纲
近世代数教学大纲一、课程基本信息课程名称：近世代数课程类别：数学专业基础课课程学分：＿____课程总学时：＿____授课对象：数学专业本科生二、课程教学目标1、使学生掌握近世代数的基本概念、理论和方法，包括群、环、域等代数结构。
2、培养学生的抽象思维能力和逻辑推理能力，提高学生的数学素养。
3、引导学生运用近世代数的方法解决实际问题，培养学生的创新能力和应用能力。
三、课程教学内容与要求（一）群论1、群的定义和基本性质理解群的定义，包括群的运算满足的四个条件（封闭性、结合律、单位元、逆元）。
掌握群的例子，如整数加法群、对称群等。
熟悉群的基本性质，如消去律、元素的阶等。
2、子群、陪集和拉格朗日定理子群的定义和判定方法。
理解陪集的概念和性质。
掌握拉格朗日定理及其应用。
3、群的同态和同构群同态和同构的定义及性质。
了解同态基本定理。
4、循环群和置换群循环群的结构和性质。
掌握置换群的表示和运算。
（二）环论1、环的定义和基本性质理解环的定义，包括环的运算满足的条件。
熟悉环的基本性质，如零因子、单位元等。
2、子环、理想和商环子环的定义和判定方法。
理想的概念和性质。
掌握商环的构造和性质。
3、环的同态和同构环同态和同构的定义及性质。
4、整环、域和分式域整环和域的定义和性质。
了解分式域的构造。
（三）域论1、域的扩张理解域扩张的概念。
掌握域扩张的次数。
2、有限域有限域的结构和性质。
四、课程教学方法1、课堂讲授：通过讲解基本概念、定理和例题，使学生掌握近世代数的核心内容。
2、课堂讨论：组织学生对一些疑难问题进行讨论，培养学生的思维能力和表达能力。
3、课后作业：布置适量的作业，帮助学生巩固所学知识，提高解题能力。
4、课外辅导：对学生在学习过程中遇到的问题进行个别辅导。
五、课程考核方式1、平时成绩（包括作业、考勤、课堂表现等）：占总成绩的_____。
2、期中考试：占总成绩的_____。
3、期末考试：占总成绩的_____。
六、教材及参考资料1、教材：《近世代数》，＿____著，＿____出版社。
近世代数课件2
代数系统(S,⊙)是否 做成半群的判断方法就是检验代数 运算⊙在集合S上是否适合结合律.
设(S , o)是一个半群, Φ ≠ T ⊆ S , 则称(T , o)是(S , o)的一个 子半群 ⇔ ∀a, b ∈ T , 有a o b ∈ T .
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设 是 个 空 合若 S 一 非 集 , 1)在 上 在 个 数 算 ” S 存 一 代 运 “ ; 2)代 运 “ ” 集 S上 合 合 数 算 在 合 适 结 律 (也 ∀ ,b,c∈S,有 a b) c =a (b c).) 即a ( 则 集 S关 代 运 做 一 半 , 称 合 于 数 算 成 个 群 记 半 (S，. 作 群 )
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M n(R)(实数域R上全体n阶矩阵组成 的集合)关于矩阵的乘法、加法能否做成M n(R) 上的半群、交换半群吗？若把M n(R)换为On(R), 其中 n(R) = {A∈ M n(R) AA′ = A′A = I}, 结果如 O 何?若把M n(R)换为GLn(R), 其中 ( GLn(R) = {A∈ M n(R) A ≠ 0} 另一表示形式: GL n, R)),结果如何?若把M n(R)换为SLn(R), （ ),结 其中SLn(R) = {A∈ M n(R) A = 1},结果如何?
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GLn( R) = {A ∈ M n( R) A ≠ 0} 关于矩阵的乘法、加法能否做成 ?(另 GLn( R)上的代数系统?(另一表 示形式:GL n, R)) （
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有理数集合关于规定 ⊕:Q × Q → Q, ∀a, b ∈ Q, 有a ⊕ b = a + b + ab 能否做成有理数集合Q上 的代数系统？
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在半群(S, o)中, 任取n n ≥ 3)个元a1, a2,L, an, ( 只要不改变元素次序,则 a1 o a2 oLo an的任一计算方法 所得结果均相同.
群论的分类是有关近世代数的群的课件是有关近世代数的群的课件是有关近世代数的群的课件是有关近世代数的群
定理 4 G 是一个半群，则 G 作成群的充分必要条件是： (1)G 有右单位元素 e : ∀a ∈ G, a e = a ； (2)对 G 中每个元素 a，在 G 中都有一个右逆元 a−1 : a a−1 = e 。 定理 5 G 是一个半群，则 G 作成群的充分必要条件是：∀a,b ∈ G, ax = b, ya = b 在 G 中都有解。 结论 设 (G, ) 是一个么半群，令 H = {g g ∈ G且g可逆} ，证明 (H , ) 是一个群. 注 从上述讨论中自然知道：若 e 是群 G 的单位元 ⇒ e−1 = e, ∀a ∈ G ⇒ (a−1)−1 = a ，若 a,b 可逆 ⇒ ab 也可逆且 (ab)−1 = b−1a−1 . 4.有限半群作成群的条件 推论 有限半群 G 作成群的充分必要条件是：在 G 中两个消去律成立。 命题 有限半群 (G, ) 作成群 ⇔ 乘法满足消去律
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南阳师院《近世代数》教案
批注
(1)任一个群 G 中都在唯一的单位元 e ，特别的，如果 G 是加法群时，G 中的单
位元换叫做“零元” (2)群 G 中任一个元素 a，都在 G 中有唯一的逆元 a−1 .如果 G 是加法群时，a 的逆 元改叫做“负元”，并记为“ −a ”.
作业 习题 2.1：1－2;4;6 （3 例题）
批注
Ⅰ群的定义 1.定义 G 是一个非空集合， 是它的一个代数运算，如果满足:
(1)结合律 ∀a,b, c, (a b) c = a (b c) ； (2)G 中有左单位元素 e : ∀a ∈ G, e a = a ； (3)对 G 中每个元素 a，在 G 中都有一个左逆元 a−1 : a−1 a = e 。 则称 G 对于代数运算 作成一个群，记为 (G, ) 。 如果还满足 (4) ∀a,b ∈ G, a b = b a 则称 G 对于代数运算 作成一个交换群(Abel 群)，否则称为非交换群(非 Abel 群)。 2.例子 (1) (Z , +), (Q, +), (R, +), (C, +), (nZ, +) 均为群，更一般的， (F, +)(F 为数域)。(Abel 群) 左单位元素 0，每个元素 a 的左逆元素-a. 但是 (N, +) 不是群，非零元的左逆元素 不存在。 (2) (Q* ,×), (R*,×), (C*,×) 均为群，更一般的， (F * ,×)(F 为数域)。(Abel 群) 左单位元素 1，每个元素 a 的左逆元素 a−1 。 (3) F 为数域，F 上的 n 级方阵集合 M n (F ) 关于矩阵加法作成交换群：
大学近世代数映射数学教案
课时：2课时教学目标：1. 理解映射的概念，掌握映射的基本性质；2. 能够运用映射解决实际问题；3. 培养学生的逻辑思维能力和抽象思维能力。
教学重点：1. 映射的概念；2. 映射的基本性质；3. 映射的应用。
教学难点：1. 映射概念的深入理解；2. 映射性质的应用。
教学准备：1. 教材；2. 多媒体课件；3. 实例题库。
教学过程：第一课时一、导入1. 复习集合的概念，引出映射的定义；2. 提问：什么是映射？映射有哪些基本性质？二、新课讲解1. 映射的概念：给定两个非空集合A和B，如果对于A中的每一个元素a，在B中存在唯一确定的元素b与之对应，那么就称这个对应关系为从A到B的映射，记作f：A→B；2. 映射的基本性质：（1）单射：如果对于A中的任意两个元素a1和a2，当a1≠a2时，有f(a1)≠f(a2)，则称映射f是单射；（2）满射：如果对于B中的任意一个元素b，存在A中的至少一个元素a，使得f(a)=b，则称映射f是满射；（3）双射：如果映射f既是单射又是满射，则称映射f是双射；3. 映射的应用：举例说明映射在实际问题中的应用。
三、课堂练习1. 完成教材中的例题；2. 练习运用映射解决实际问题。
第二课时一、复习导入1. 回顾映射的概念和基本性质；2. 提问：如何判断一个映射是单射、满射或双射？二、新课讲解1. 映射的判断方法：（1）判断单射：通过比较映射前后的元素，如果映射前两个元素相等，映射后两个元素也相等，则该映射是单射；（2）判断满射：通过比较映射前后的元素，如果映射后每个元素都有对应的映射前元素，则该映射是满射；（3）判断双射：如果映射既是单射又是满射，则该映射是双射；2. 映射的性质应用：举例说明映射性质在实际问题中的应用。
三、课堂练习1. 完成教材中的例题；2. 练习运用映射性质解决实际问题。
四、总结与作业1. 总结本节课所学内容，强调映射的概念、基本性质和应用；2. 布置作业，要求学生完成教材中的习题，巩固所学知识。
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近世代数教案西南大学数学与统计学院张广祥学时数：80（每周4学时）使用教材：抽象代数——理论、问题与方法，科学出版社2005教材使用说明：该教材共10章，本课程学习前6章，覆盖通用的传统教材（例如：张禾瑞《近世代数基础》）的所有内容，但本教材更强调抽象代数理论的应用和方法特点。
本教材的后4章有一定难度和深度，可作为本科近世代数（二）续用。
如果不再开设近世代数（二），则可以供有兴趣的学生自学、自读，进一步了解现代代数学更加前沿的内容，拓宽知识面。
教学方法：由于该教材首次在全年级使用，采用教研室集体备课的方式，每2周一次参加教学的教师集体研讨备课。
每节配有3—5题常规练习作业。
每章提供适量的（3—4题）思考问题供学生独立思考，学生完成的思考题成绩可记入平时成绩。
整学期可安排1—2次相关讲座，介绍现代代数学的研究方法或研究成果。
本学期已经准备讲座内容：群与Goldbach猜想。
教学手段：黑板板书与Powerpoint 课件相结合。
主要参考书：1．张禾瑞,近世代数基础,1952第一版,1978年修订版,高等教育出版社2.刘绍学, 近世代数基础,(面向21世纪课程教材,“九五”国家级重点教材) 高等教育出版社,19993.石生明, 近世代数初步, 高等教育出版社20024.B.L.Van der Waerden,代数学,丁石孙,曾肯成,郝鈵新,曹锡华译,1964卷1,1976卷2,科学出版社5. M.Kline, 古今数学思想,卷1-4,张理京,张锦炎,江泽涵译,上海科技出版社2002第二章数环与数域本章教学目标：1. 熟悉整数剩余类环的运算，了解整数剩余类环在数论研究中的作用。
2. 数环就是数系，熟悉各种不同形态的数环与数域；有限的、无限的；交换的、不交换的。
3. 学习整环的分式域、素域与扩域的理论。
4. 综合应用数环与数域的初等方法证明欧拉二平方和定理、Lagrange四平方和定理。
5. 本章通过若干数论定理的学习，使学生了解和熟悉环论的初等方法，为第3章与第5章学习系统的扩域理论奠定基础。
教学时数：共6节，8学时2.1 整数剩余类环复习引入：通过整数的整除性问题，了解引入整数剩余类环的必要性，一方面使学生知道同余类方法是数论的基本工具，另一方面整数剩余类环也是一类重要的数环。
内容要点：1.整数剩余类环的定义及基本性质。
2.环同态定义、理想定义、环同态基本定理。
3.整数剩余类环是整数环的同态像。
讲授内容：整数的整除性是整数最重要的性质，它是数论研究的一个重要的内容。
整除性问题常常是数论中的困难问题。
法国数学家费马（Pierre de Fermat，1601-1665）曾经认为形如22n+1的数都是素数，直到大约100年之后522+1的一个非平凡因子641才被数学家欧拉（Leonhard Euler，1707—1783）发现，欧拉得到分解232+1=4294967297=641×6700417，可见整数的整除问题具有一定的难度。
研究整数整除性的一个重要工具是带余除法。
对于两个整数a，b（b>0）存在整数q，r使a=qb+r 且0≢r ＜b。
式中q称为商，r称为余数。
在整除性问题中我们主要关心余数，而不关心商。
因此有下面的同余概念。
定义1 假定m是一个正整数，两个整数a与b如果满足条件m︱a－b，则称a与b模m的同余，记为a ≡b(m)。
由1.2节知模m同余是整数集Z上的一个等价关系，其商集记为Z m，其元素记为[a]，称之为模m的一个剩余类。
定义Z m上的加法与乘法运算：[a]+[b]=[ a+b][a]·[b]=[ab]容易知道上面的加、乘运算的定义与剩余类中代表元的选法无关，即当[a]=[a1]，[ b]=[b1]时[a]+[b]=[ a1] + [b1]，[a]·[b]=[ a1]·[b1]。
定理2.1.1 Z m成为一个环。
该定理证明没有太多困难，仅仅是按定义作常规验证。
证明留给读者作为练习。
Z m称为模m剩余类环，这是一个包含m个元素的有限环。
我们也可以把它看成一个有限数系。
借助环Z m 常常可以简化整数中的计算问题，特别是整除性问题。
例Z2仅含两个元[0]与[1]，每个偶数与0同余，每个奇数与1同余。
如果我们用[0]代表偶，[1]代表奇，则剩余类环Z2中的运算实际上表示了整数运算的奇偶性法则：奇+奇=偶，奇+偶=奇，偶+偶=偶奇·奇=奇，奇·偶=偶，偶·偶=偶定义2 设R与S是两个环，映射ƒ：R→S若满足条件：对每a，b∈R有ƒ(a+b)=ƒ(a)+ƒ(b)，ƒ(ab)=ƒ(a)ƒ(b)，则ƒ称为环同态。
若ƒ是满映射，则ƒ称为满同态；若ƒ是单映射，则ƒ称为单同态；若ƒ是既单又满的环同态，则称ƒ为环同构。
满同态记为ƒ：R ~ S环同构记为ƒ：R ≅ S定义3 两个域同态或同构是指它们作为环同态或同构。
定理2.1.2 定义映射ƒ：Z→Z m使ƒ(a)=[a]，则ƒ是环同态。
证证明十分简单，略去。
为了进一步讨论整数剩余类环的性质，我们先证明一个整数方面的定理。
定理2.1.3 两个整数a、b互素的充分必要条件是存在整数s、t使sa+tb=1。
证如果条件sa+tb=1成立，则a、b互素，因为这时a，b的公因子d∣sa+tb=1，d=±1。
反过来假定a、b互素，不妨设a与b都是正整数。
对a+b作归纳。
由带余除法，存在整数q、r使a=qb+r 且0≢r＜b。
如果r=0，则b|a，但因a、b互素，故b=1，当然存在整数s、t使sa+tb=1。
如果r≠0，则b，r互素。
由归纳存在整数s1，t1使s1b+t1r =1，于是t1a=t1qb＋t1r =t1qb＋1－s1b。
因此t1a＋(s1－t1q)b=1，定理得证。
定理2.1.4 若p是素数，则Zp是域。
证只要证明Zp中的非零元素集成为一个乘法群。
设[a]≠[0]，由定理2.1.3存在整数s，t使sa＋tp=1，于是[s][a]=[1]，说明[s]是[a]在Zp中的逆元素，因而Zp中的全体非零元素集组成一个乘法群。
注：Zp是我们过去在代数中未遇到过的有限域。
像整数模n剩余类环一样，对于一般的环也可以作剩余类环。
为此我们引入一个在环论研究中十分重要的定义，这个定义称为“理想”。
定义4 设R是一个环，A是R的一个子环，如果A满足下面条件：对每r∈R 有rA，Ar ⊆ A，其中rA={ ra | a∈A }，Ar={ ar | a∈A }，则称A是R的理想。
如果A是R的理想，定义R上的一个二元关系a~b 当且仅当a-b∈A。
容易检验~是R上的一个等价关系，商集合记为R= R/A。
R的元记为[r]=r+A，定义R上的运算[a]+[b]=[a+b]，[a][b]=[ab]。
这样R成为一个环，称之为模A剩余类环。
我们有下面的同态基本定理定理2.1.5 （1）假定R与R是两个环，并有环同态ϕ：R~R，则A={ r∈R | r=o}是R的理想，且有环同构R≅R/A。
上面的ϕ称为自然同态，记A=kerϕ，称之为同态ϕ的核。
（2）反之，若A是R的理想，则有环同态R~R/A=R。
证（1）对每a、b∈A，ϕ（a-b）=a-b=0，故a-b∈A，说明A是一个加群。
进一步若r∈R，a∈A，则ϕ（ra）=ra=0，ra∈A，同样ar∈A。
因此A是R的理想。
容易验证ψ：r→r+A是环同构R≅R/A。
（2）容易知道映射ϕ：R→R/A使ϕ（r）=r是环同态。
思考问题4问定理2.1.2中环同态ƒ：Z→Z m的同态核A=？解答：同态核A=(m)={am | a∈Z}，因此由定理2.1.5 Z m≌Z/(m)。
练习作业1. 设m是一个正整数，证明同余的性质(1)若a ≡b(m)，c=d(m)，则a±c ≡b±d(m) (2)若a ≡b(m)，c=d(m)，则ac ≡bd(m) (3)若a ≡b(m)，则ad ≡bd(m)(4)若ad ≡bd(m)，且(d ，m)=1，则a ≡b(m)2. Z 是整数环，2Z=｛2a ︱a ∈Z ｝在整数运算之下成为一个环，可以称它为偶数环，ƒ：a →2a 是Z →2Z 的一个映射，问ƒ是不是环同构？3. 设R 是一个有单位元的环，a ，b ∈R ，证明1-ab 可逆当且仅当1-ba 可逆。
4. 假定R 是一个交换环，证明A={a ∈R| 存在某个正整数n 使a n =0}是R 的一个理想。
这个理想称为幂零元理想。
2.2 整环的分式域复习引入：上节我们从整数环出发，构造整数模n 剩余类环Z n ，由同态基本定理，剩余类环Z n ≌Z/(n)。
这样，我们实际从一个无限数系得到一有限数系。
有限数系Z n 在数论研究中有重要价值。
数系发展的另一个方向是从整数系统构造出分数系统，既有理数系统。
本节我们将把这样的数系扩充推广到一般的整环上。
内容要点：1. 证明整环嵌入分式域定理。
2. 整环的分式域是包含这个整环的最小域。
3. 了解一些常见整环分式域的实例。
讲解内容：在数系发展的历史上，由整数系到有理数系的扩展是最简单、最容易被认识的一次，这种数系的扩展理论作为“比与比例论”是由古希腊数学家Eudoxus 建立的，并被收入欧几里德(Eudid)《几何原本》的第五卷。
两个可公度的量a 与b 可以通过下面的方法来比较。
选定一个(足够小的)公共单位量，使量a 是单位量的整数倍，b 也是单位量的整数倍。
在这一观点之下，量a 与b 实际都可认为与一个整数对应。
现在量a 与b 的比就是两个整数的比a/b 。
Eudoxus 发现这种“比”可以进行运算，其运算法则是(1) babn an = (2) bd bc ad d c b a ±=± (3)bdac d c b a =⋅上面这种整数的“比例论”实际上就是有理数系的代数理论。
Eudoxus 的比例论启发我们可以用类似的“比例论”方法把一个具有与整数环性质相当的环扩展成为一个域。
由此我们有下面的整环的定义。
定义1 设R 是一个环，对R 的每两个非零元a 、b ，如果ab=0则a 称为R 的左零因子，b 称为R 的右零因子。
当R 是交换环时零因子没有左、右的区别。
一个有单位元的交换环若没有零因子，则称为整环。
例 整数环当然是整环；域上的多项式环也是整环；Z n 是整环当且仅当n 是素数。
定义2 设R 是一个环，S 是R 的一个非空子集，如果S 在R 的加法与乘法运算之下也成为一个环，则S 称为R 的子环，我们说一个环S 1可以嵌入环R ，是指环S 1与R 的一个子环S 同构。
下面的定理与Eudoxus 的比例论相当。
定理2.2.1 每一个整环都可以嵌入一个域。