信息光学习题集答案解析1

合集下载

信息光学试卷习题一答案

1．若对函数()()ax c a x h sin =进行抽样，其允许的最大抽样间隔为aX a 11≤或（(){},,x xx F h x rect a a a x B X a B ⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭≤=≤111222）2．一列波长为λ，振幅为A 的平面波，波矢量与x 轴夹角为α，与y 轴夹角为β，与z 轴夹角为γ，则该列波在d z =平面上的复振幅表达式为()()()[]βαγcos cos ex p cos ex p ,y x jk jkd A y x U +=3、透镜对光波的相位变换作用是由透镜本身的性质决定的。

在不考虑透镜的有限孔径效应时，焦距为f 的薄凸透镜的相位变换因子为()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-222exp y x fjk4．对于带限函数g(x,y)，按照抽样定理,函数g 的空间带宽积为 16L X L Y B X B Y5. 就全息图的本质而言，散射物体的平面全息图，记录过程是与的干涉过程，记录在全息记录介质上的是。

再现过程是在再现光照明情况下光的过程。

若再现光刚好是记录时的参考光，其再现像有。

（再现像的个数与特点）物光参考光干涉条纹衍射两个像，一个是+1级衍射光所成的原始像，另一个是-1级衍射光所成的共轭像，分别在零级两侧。

6.写出菲涅尔近似条件下，像光场（衍射光场）()U x y d ,,与物光场（初始光场）()U x y 000,,0间的关系式，并简述如何在频域中求解菲涅尔衍射积分？菲涅耳近似条件下，衍射光场()U x y d ,,与初始物光场()U x y 000,,0间的关系为()()()()()220000000exp ,,,,0exp 2jkd jk U x y d U x y x x y y dx dy j d d λ+∞-∞⎧⎫⎡⎤=-+-⎨⎬⎣⎦⎩⎭⎰⎰菲涅耳衍射积分（上式）可以写成如下卷积形式()()()()22000exp ,,,,0exp 2jkd jk U x y d U x y x y j d d λ⎡⎤=*+⎢⎥⎣⎦上式两边进行傅里叶变换得(){}(){}()()22000exp ,,,,0exp 2jkd jk F U x y d F U x y F x y j d d λ⎧⎫⎡⎤=*+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭先求出()(){}0000,,,0x y U f f F U x y =和()()()()22222exp ,exp exp 122x y x y jkd jk H f f F x y jkd f f j d d λλ⎧⎫⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎡⎤=+=-+⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎣⎦⎩⎭⎩⎭即可得()(){},,,x y U f f F U x y d =再进行傅里叶反变换即可得菲涅耳衍射场()(){}1,,,x y U x y d F U f f -=7．简述利用SFFT 编程实现菲涅尔衍射的主要过程。

信息光学试题及答案

信息光学试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 以下哪个选项不是信息光学的研究范畴？A. 光波传播B. 光纤通信C. 激光加工D. 量子计算答案：D2. 光纤通信中，光信号的传输介质是什么？A. 真空B. 空气C. 光纤D. 水答案：C3. 在信息光学中，光的相干性是指什么？A. 光的强度B. 光的颜色C. 光的传播方向D. 光波的相位关系答案：D4. 以下哪个设备不是用于光纤通信的？A. 光纤B. 光端机C. 路由器D. 光放大器答案：C5. 光波的频率与波长之间的关系是什么？A. 成正比B. 成反比C. 无关D. 相等答案：B二、填空题（每题4分，共20分）1. 光纤通信中，光信号的传输介质是________。

答案：光纤2. 光的相干性是指光波的________。

答案：相位关系3. 光纤通信中，光信号的调制方式包括________和________。

答案：幅度调制、频率调制4. 光纤通信中，光信号的传输损耗主要由________和________造成。

答案：材料吸收、散射5. 光纤通信中，光信号的传输距离可以通过________来延长。

答案：光放大器三、简答题（每题10分，共30分）1. 简述信息光学在现代通信中的应用。

答案：信息光学在现代通信中的应用主要包括光纤通信、激光通信、无线光通信等。

光纤通信利用光纤作为传输介质，具有传输速度快、传输距离远、抗干扰能力强等优点。

激光通信则利用激光的高方向性和高相干性，实现远距离、高速度的通信。

无线光通信则通过大气或自由空间传输光信号，适用于移动通信和卫星通信。

2. 解释光波的相干性及其在信息光学中的重要性。

答案：光波的相干性是指不同光波之间能够相互干涉的能力，它与光波的相位关系密切相关。

在信息光学中，相干性是实现光信号调制、传输和检测的关键因素。

例如，在光纤通信中，相干光源可以提高信号的传输质量和距离。

在光学成像系统中，相干光源可以提高成像的分辨率和对比度。

信息光学习题答案1(word文档良心出品)

第一章习题解答1.1 已知不变线性系统的输入为 ()()x x g c o mb= 系统的传递函数⎪⎭⎫⎝⎛b f Λ。

若b 取（1）50=.b （2）51=.b ，求系统的输出()x g '。

并画出输出函数及其频谱的图形。

答：（1）()(){}1==x x g δF 图形从略，（2）()()()()()x s co f f δf δx g x x x πδ232+1=⎭⎬⎫⎩⎨⎧1+31+1-31+=F 图形从略。

1.2若限带函数()y x,f 的傅里叶变换在长度L 为宽度W 的矩形之外恒为零，（1）如果L a 1<，Wb 1<，试证明()()y x f y x f b x a x ab ,,sinc sinc =*⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛1 证明：(){}(){}(){}()()(){}(){}()y x,f b x sinc a x sinc ab bf af rect y x f y x,f bf af rect y x f Wf L f rect y x f y x,f y x y x yx *⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛1==∴=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=,,F F ,,F ,,F F 1-（2）如果L a 1>， Wb 1>，还能得出以上结论吗？答：不能。

因为这时(){}(){}()y x yx bf af rect y x f Wf L f rect y x f ,,F ,,F ≠⎪⎪⎭⎫⎝⎛。

1.3 对一个空间不变线性系统，脉冲响应为 ()()()y x y x h δ77=sinc ,试用频域方法对下面每一个输入()y x f i ,，求其输出()y x g i ,。

（必要时，可取合理近似）（1）()x y x f π4=1cos ,答：()(){}(){}{}{}()(){}{}{}{}{}xcos x cos f rect x cos y 7x sin x cos y x h y x f y x g x πππδπ4=4=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛74=74==1-1-1-11-1F F F F F F F ,F ,F F ,（2）()()⎪⎭⎫ ⎝⎛75⎪⎭⎫⎝⎛754=2y rect x rect x cos y x f π,答：()(){}(){}{}()()(){}{}()()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛75⎪⎭⎫ ⎝⎛754≅⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛77575⋅75*4=⎭⎬⎫⎩⎨⎧7⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛75⎪⎭⎫ ⎝⎛754==1-1-11-2y rect x rect x cos f rect f sinc 75f sinc x cos y 7x sin y rect x rect x cos y x h y x f y x g x y x ππδπF F F F F ,F ,F F ,（3）()()[]⎪⎭⎫⎝⎛758+1=3x rect x cos y x f π,答： ()()[]()(){}(){}()()()()()()()()()()()(){}⎪⎭⎫ ⎝⎛75=75≅⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛775≅⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛7⎪⎭⎫ ⎝⎛75*⎪⎭⎫ ⎝⎛4+81+4-81+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛775*8+1=⎭⎬⎫⎩⎨⎧7⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛758+1=1-1-1-1-1-3x rect f 75f sinc f rect f 75f sinc f rect f δ75f sinc f f x f rect f δ75f sinc x cos y 7x sin x rect x cos y x g y x x y x x y x x x x y x δδδδδπδπF F F F F F F F ,（4）()()()()()y rect x rect x comb y x f 22*=4, 答：()()()()(){}()(){}{}()()()()()()()()()()()()(){}()()x π6cos x π2cos f f f f f f f f f f f rect f f δf f δf f δf f δf rect f sinc 2f sinc f f comb y 7x sin y rect x rect x comb y x g y x y x y x y x y x x yx y x y x y x x y x y x 1060-3180+250=3+0530-3-0530-1+1590+1-1590+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛7⎪⎭⎫ ⎝⎛-3-2120-1+6370+1-6370+41=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛7⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2⎪⎭⎫ ⎝⎛41=722*=1-1-1-1-2...,.,.,.,.,F ,.,.,.,F F F F F ,δδδδ0.25δδδ1.4 给定一个不变线性系统，输入函数为有限延伸的三角波 ()()x x rect x comb x g i Λ*⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛50⎪⎭⎫ ⎝⎛331=对下述传递函数利用图解方法确定系统的输出。

信息光学教程全书习题及参考答案

L{} 来表示，当
2
L{ f ( x, y)} = g (ξ ,η ) ， L{ f
1 1
( x, y )} = g 2 (ξ ,η ) ，且 a1 、 a 2 为常数时，
L{a
1 1
f ( x, y ) + a 2 f 2 ( x, y )} = a1 g1 (ξ ,η ) + a 2 g 2 (ξ ,η )
1 ，y 方 2Bx
向的格点距为
1 。 2B y
由此可见，Whittaker-Shannon 二维抽样定理并不是唯一的抽样定理，只要改变这两个条件中的任何一个，就可以导出别的二维抽样定理。例如，用一个传递函数为
H ( ρ ) = circ( ) 的滤波器来滤波，可导出新的二维抽样定理，其公式描述为： B
2
2
⎞ ⎡ jk 2 2 ⎟ exp ⎢− 2 f x + y ⎟ ⎣ ⎠
(
x
⎛ x +y 2 P0 exp⎜ 2 ⎜ − w2 πw ⎝
2
2
⎡ jk ⎛ 1 1 ⎞ 2 ⎤ ⎞ ⎛ jk 2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ − + exp x exp ⎢ ⎥ ⎜− 2 f y ⎟ ⎟ ⎟ ⎜f f ⎟ 2 ⎝ ⎠ ⎠ x ⎠ ⎝ ⎣ ⎦
g ( x, y ) =
ρ
π
2 n = −∞ m = −∞
∑ ∑ g ( 2B , 2B ) ×
∞
∞
n
m
J 1 [2πB ( x −
n 2 m 2 ) + (y − ) ] 2B 2B n 2 m 2 2πB ( x − ) + (y − ) 2B 2B
式中 B 为空间函数 g ( x, y ) 的频谱以极半径的形式描述的频率带限宽。公式推导中用到的博里叶变换关系为：

信息光学习题答案

信息光学习题答案信息光学习题答案第一章线性系统分析简要说明以下系统是否有线性和平移不变性. g?x??df?x?;g?x???f?x?dx; dx?g?x??f?x?;g?x??????f????h?x????d?;2???f???exp??j2????d? 解：线性、平移不变；线性、平移不变；非线性、平移不变；线性、平移不变；线性、非平移不变。

证明comb(x)exp(j?x)?comb(x) ???comb????x? ?x??1?证明：左边＝comb???????n?????(x?2n)??2??(x?2n) ?2?n????2?n????2?n??????x??2?右边?comb(x)?comb(x)exp(j?x)?? ?n?????(x?n)??exp(j?x)?(x?n)n?????n???? ??(x?n)??exp(jn?)?(x?n)n???? n?????(x?n)??(?1)n???n?(x?n)?当n为奇数时，右边＝0，当n为偶数时，右边＝2所以当n为偶数时，左右两边相等。

n?????(x?2n) (x) 证明??(sin?x)?comb证明：根据复合函数形式的δ函数公式?[h(x)]??i?1n?(x?xi)h?(xi ),h?(xi)?0 式中xi是h(x)=0的根，h?(xi)表示h(x)在x?xi处的导数。

于是??(sin?x)??n?????(x?n)???co mb(x) 1 计算图题所示的两函数的一维卷积。

解：设卷积为g(x)。

当-1≤x≤0时，如图题(a)所示，g(x)??1?x0(1??)(1?x??)d??111?x?x3 326 图题当0 2??2?2??2?2?2?x?2设卷积为g(x)，当x≤0时，如图题(a)所示，g(x)??0d??x?2 当0 2 图题g(x)??d??2?x x2?x?1?2,x?0 g(x)?2?x?1?,x?0?2即g(x)?2??? ?x??2?(x)?rect(x)?1已知exp(??x2)的傅立叶变换为exp(???2)，试求?exp?x2???exp?x2/2?2解：设y??????????? ?x,z??? 即??exp(??y2)??exp(???2) 1????F?,? 得ab?ab?2坐标缩放性质??f(ax,by)???exp?x2???????exp(?y2/??? exp(??z2)??exp(??2?2)2??exp?x/2???2?????exp??y?/2??2 ? ??2??exp(?2??2z2)?2??exp(?2??2?2)计算积分.????sinc?x?dx?? 4??2?x?cos?xdx?? sinc?解：应用广义巴塞伐定理可得? sinc(x)sinc(x)dx?????2222 ?(?)?(?)d??(1?? )d??(1??)d??????103??021???1?1?1?????s inc(x)cos?xdx????(?)?????d????(?)?????d ??2???2?2????????2?1??1??1??1 ??????????? 2??2??2?? 应用卷积定理求f?x??sinc?x?sinc?2x?的傅里叶变换. 3解：??sinc(x)sinc(2x)????sinc(x)????sinc( 2x)??1???rect(?)?rect?? 2?2?当?31????时，如图题(a)所示，2211??3 G(?)??2du??? 2?12当?11???时，如图题(b)所示，2211??2 G(?)??1du?1 2??2当13???时，如图题(c)所示，22113 G(?)??1du??? 2??222G(ξ)的图形如图题(d)所示，图可知G(?)?3???1?????????? 4?3/2?4?1/2? 图题 4 设f?x??exp??x，??0，求??f?x????解：?exp(??x)???????f?x?dx?? ?0?? ?0??exp(?x)exp(?j2??x)dx??exp(??x)exp(? j2??x)dx ?2??2??(2??)2??? exp(??x)dx?2??2?(2??)2???02? 设线性平移不变系统的原点响应为h?x??exp??x?step?x?，试计算系统对阶跃函数step?x?的响应. 解：阶跃函数定义step(x)??线性平移不变系统的原点响应为h?x??exp??x?step?x??exp??x?,所以系统对解阶跃函数step?x?的响应为g(x)?step(x)?h(x)??1,?0,x?0得x?0x?0 ??0exp[?(x??)]d??1?exp(?x), x?0 有两个线性平移不变系统，它们的原点脉冲响应分别为h1?x??sinc?x?和h2?x??sinc?3x?.试计算各自对输入函数f?x??cos2?x的响应g1?x?和g2?x?. 解：已知一平面波的复振幅表达式为U(x,y,z)?Aexp[j(2x?3y?4z)] 试计算其波长λ以及沿x,y,z方向的空间频率。

信息光学习题答案及解析

信息光学习题答案第一章线性系统分析1.1 简要说明以下系统是否有线性和平移不变性. （1）()();x f dxdx g =（2）()();⎰=dx x f x g （3）()();x f x g = （4）()()()[];2⎰∞∞--=αααd x h f x g（5）()()απξααd j f ⎰∞∞--2exp解：（1）线性、平移不变；（2）线性、平移不变；（3）非线性、平移不变；（4）线性、平移不变；（5）线性、非平移不变。

1.2 证明)()ex p()(2x comb x j x comb x comb +=⎪⎭⎫ ⎝⎛π证明：左边＝∑∑∑∞-∞=∞-∞=∞-∞=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛n n n n x n x n x x comb )2(2)2(2122δδδ∑∑∑∑∑∑∞-∞=∞-∞=∞-∞=∞-∞=∞-∞=∞-∞=--+-=-+-=-+-=+=n nn n n n n n x n x n x jn n x n x x j n x x j x comb x comb )()1()()()exp()()()exp()()exp()()(δδδπδδπδπ右边当n 为奇数时，右边＝0，当n 为偶数时，右边＝∑∞-∞=-n n x )2(2δ所以当n 为偶数时，左右两边相等。

1.3 证明)()(sin x comb x =ππδ 证明：根据复合函数形式的δ函数公式0)(,)()()]([1≠''-=∑=i ni i i x h x h x x x h δδ式中i x 是h(x)=0的根，)(i x h '表示)(x h 在i x x =处的导数。

于是)()()(sin x comb n x x n =-=∑∞-∞=πδπππδ1.4 计算图题1.1所示的两函数的一维卷积。

解：设卷积为g(x)。

当-1≤x ≤0时，如图题1.1(a)所示， ⎰+-+=-+-=xx x d x x g 103612131)1)(1()(ααα图题1.1当0 < x ≤1时，如图题1.1(b)所示， ⎰+-=-+-=13612131)1)(1()(xx x d x x g ααα 即 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤<+-≤≤--+=其它,010,61213101,612131)(33x x x x x x x g 1.5 计算下列一维卷积。

中科大信息光学习题解答

傅里叶变换透镜率关系 h f 。
频谱面上能够获得有线性特征的位置与空间频
普通透镜和傅里叶透镜对平行光输入在后焦面上光点的位置差
y ' ftgu f sin u 1 3 fu 称频谱畸变。 2
普通透镜只有在 u 很小时才符合傅里叶变换透镜的要求。要专门设计消除球差和慧差，适当保留畸变以抵消频谱畸变。

H (, )

P( x, y) P( x d , y d )dxdy
i i
P( x, y)dxdy

由自相关性质（p16），如果
r ( x, y )
R ff ( x, y ) R ff (0,0)

f

(α x,β γ ) f (α ,β )dα dβ
5. 在 4F 系统中,输入物面的透过率为
t t 0 t1 cos 2 f 0 x ,
以单色平行光垂直照明, =0.63m,
f’=200mm, f0 =400lp/mm, t0=0.6, t1 =0.3,
问频谱面上衍射图案的主要特征: 几个衍射斑? 衍射斑沿什么方向分布? 各级衍射斑对应的衍射角 sin =? 各级衍射中心强度与零级衍射斑之比. （1）在不加滤波器的情况下,求输出图象光强分布. （2）如用黑纸作空间滤波器挡住零级斑,求输出图象光强分布. （3）如用黑纸挡掉+1 级斑,求输出图象光强分布. 6. 在图示 4F 系统中, <1>被处理物面最大尺寸和最高空间频率为多大?(设频谱面与物面同尺寸) <2>付里叶变换镜头的焦距和通光直径为多大? <3>欲将光栅常数 0.1mm 的二维光栅处理成一维光栅。给出空间滤波器的形状和尺寸。 <4>说明针孔滤波器作用并计算其大小。

信息光学习题答案及解析

于是)()()(sin x comb n x x n =-=∑∞-∞=πδπππδ1.4 计算图题1.1所示的两函数的一维卷积。

解：设卷积为g(x)。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

第一章习题解答1.1 已知不变线性系统的输入为 ()()x x g com b = 系统的传递函数⎪⎭⎫⎝⎛b f Λ。

若b 取（1）50=.b （2）51=.b ，求系统的输出()x g '。

并画出输出函数及其频谱的图形。

答：（1）()(){}1==x x g δF 图形从略，（2）()()()()()x s co f f δf δx g x x x πδ232+1=⎭⎬⎫⎩⎨⎧1+31+1-31+=F 图形从略。

因为这时(){}(){}()y x yx bf af rect y x f W f L f rect y x f ,,F ,,F ≠⎪⎪⎭⎫⎝⎛。

1.3 对一个空间不变线性系统，脉冲响应为 ()()()y x y x h δ77=sinc ,试用频域方法对下面每一个输入()y x f i ,，求其输出()y x g i ,。

（必要时，可取合理近似）（1）()x y x f π4=1cos ,答：()(){}(){}{}{}()(){}{}{}{}{}xcos x cos f rect x cos y 7x sin x cos y x h y x f y x g x πππδπ4=4=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛74=74==1-1-1-11-1F F F F F F F ,F ,F F ,（2）()()⎪⎭⎫ ⎝⎛75⎪⎭⎫ ⎝⎛754=2y rect x rect x cos y x f π,答：()(){}(){}{}()()(){}{}()()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛75⎪⎭⎫ ⎝⎛754≅⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛77575⋅75*4=⎭⎬⎫⎩⎨⎧7⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛75⎪⎭⎫ ⎝⎛754==1-1-11-2y rect x rect x cos f rect f sinc 75f sinc x cos y 7x sin y rect x rect x cos y x h y x f y x g x y x ππδπF F F F F ,F ,F F ,（3）()()[]⎪⎭⎫⎝⎛758+1=3x rect x cos y x f π,答： ()()[]()(){}(){}()()()()()()()()()()()(){}⎪⎭⎫ ⎝⎛75=75≅⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛775≅⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛7⎪⎭⎫ ⎝⎛75*⎪⎭⎫ ⎝⎛4+81+4-81+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛775*8+1=⎭⎬⎫⎩⎨⎧7⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛758+1=1-1-1-1-1-3x rect f 75f sinc f rect f 75f sinc f rect f δ75f sinc f f x f rect f δ75f sinc x cos y 7x sin x rect x cos y x g y x x y x x y x x x x y x δδδδδπδπF F F F F F F F ,（4）()()()()()y rect x rect x comb y x f 22*=4, 答：()()()()(){}()(){}{}()()()()()()()()()()()()(){}()()x π6cos x π2cos f f f f f f f f f f f rect f f δf f δf f δf f δf rect f sinc 2f sinc f f comb y 7x sin y rect x rect x comb y x g y x y x y x y x y x x y x y x y x y x x y x y x 1060-3180+250=3+0530-3-0530-1+1590+1-1590+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛7⎪⎭⎫ ⎝⎛-3-2120-1+6370+1-6370+41=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛7⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2⎪⎭⎫ ⎝⎛41=722*=1-1-1-1-2...,.,.,.,.,F ,.,.,.,F F F F F ,δδδδ0.25δδδ1.4 给定一个不变线性系统，输入函数为有限延伸的三角波 ()()x x rect x comb x g i Λ*⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛50⎪⎭⎫ ⎝⎛331=对下述传递函数利用图解方法确定系统的输出。

（1）()⎪⎭⎫ ⎝⎛2=f f H rect （2）()⎪⎭⎫ ⎝⎛2-⎪⎭⎫⎝⎛4=f f f H rect rect 答：图解方法是在频域里进行的，首先要计算输入函数的频谱，并绘成图形{}{}[]21()()()()()3350(3)50sin (50)sin i x x G f g x comb rect x comb f c f c f⎧⎫⎡⎤⎧⎫==*Λ⎨⎨⎬⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭⎩⎭=*F F F方括号函数频谱图形为：图1.4（1）f c 2sin 图形为：图 1.4（2）因为f c 2sin 的分辨力太低，上面两个图纵坐标的单位相差50倍。

两者相乘时忽略中心五个分量以外的其他分量，因为此时f c 2sin 的最大值小于0.04%。

故图解)(f G 频谱结果为：图 1.4（3）传递函数（1）形为：图 1.4（4）因为近似后的输入函数频谱与该传递函数相乘后，保持不变，得到输出函数频谱表达式为：⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++*⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++)32()32(171.0)50(sin 50)31()31(685.0)(f f f c f f f δδδδδ 其反变换，即输出函数为：)50(322cos 342.032cos 37.11x rect x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππ 该函数为限制在[]25,25-区间，平均值为1，周期为3，振幅为1.37的一个余弦函数与周期为1.5，振幅为0.342的另一个余弦函数的叠加。

传递函数（2）形为：f图 1.4（5）此时，输出函数仅剩下在[]1,2--及[]2,1两个区间分量，尽管在这两个区间输入函数的频谱很小，相对于传递函数（2）在[]1,1-的零值也是不能忽略的，由于027.0)35(sin 043.0)34(sin 22==c c可以解得，通过传递函数（2）得到的输出函数为：)50(352cos 027.0342cos 043.0x rect x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+ππ 该函数依然限制在[]25,25-区间，但其平均值为零，是振幅为0.043，周期为0.75，的一个余弦函数与振幅为0.027，周期为0.6的另一个余弦函数的叠加。

1.5 若对二维函数()()ax a y x h 2=sinc ,抽样，求允许的最大抽样间隔并对具体抽样方法进行说明。

答：(){}(){}()y x f δa f ax sinc a y x h ⎪⎭⎫⎝⎛==2ΛF ,F ≤∞21=21≤∴Y aB X x ;也就是说，在X 方向允许的最大抽样间隔小于1/2a ，在y 方向抽样间隔无限制。

1.6 若只能用b a ⨯表示的有限区域上的脉冲点阵对函数进行抽样，即 ()()⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛=b y a x Y y X x y x g y x g s rect rect comb comb ,, 试说明，即使采用奈魁斯特间隔抽样，也不能用一个理想低通滤波器精确恢复()y x g ,。

答：因为b a ⨯表示的有限区域以外的函数抽样对精确恢复()y x g ,也有贡献，不可省略。

1.7 若二维不变线性系统的输入是“线脉冲”()()x y x f δ=,，系统对线脉冲的输出响应称为线响应()x L 。

如果系统的传递函数为()y x f f H ,，证明：线响应的一维傅里叶变换等于系统传递函数沿x f 轴的截面分布()0,x f H 。

证明：(){}()(){}()()()0,,,y δx y x y f H f f H f y x h x L ==*=δF F1.8 如果一个空间不变线性系统的传递函数在频率域的区间x x B f ≤，y y B f ≤之外恒为零，系统输入为非限带函数()y x g ,0，输出为()y x g ,'。

证明，存在一个由脉冲的方形阵列构成的抽样函数()y x g ,'0，它作为等效输入，可产生相同的输出()y x g ,'，并请确定()y x g ,'0。

答：为了便于从频率域分析，分别设：物的空间频谱 00(,){(,)}x y A f f g x y =F ；像的空间频谱 (,){(,)}i x y i A f f g x y =F ；等效物体的空间频谱 00'(,){'(,)}x y A f f g x y =F ；等效物体的像的空间频谱 00'(,){'(,)}.x y A f f g x y =F由于成像系统是一个线性的空间不变低通滤波器，传递函数在,x x y y f B f B ≤≤之外恒为零，故可将其记为：(,)22y xx y xy f fH f f rect rect B B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭、利用系统的传递函数，表示物像之间在频域中的关系为0(,)(,)22(,)y x x y x y x y i x y f f A f f H f f rect rect B B A f f ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭= 在频域中我们构造一个连续的、二维周期性分布的频域函数，预期作为等效物的谱，办法是把0(,)22y x x y x y f f A f f rect rect B B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭安置在x y f f 平面上成矩形格点分布的每一个(2,2)x y B n B m 点周围，选择矩形格点在x f 、y f 方向上的间隔分别为2x B 和2y B ,以免频谱混叠，于是()00'(,)(,)2,222y xx y x y x x y y n m xy f fA f f A f f rect rect fB n f B n B B δ∞∞=-∞=-∞⎛⎫⎛⎫=*-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑ 01(,)22422y y x x x y x y x y x yf f f f A f f rect rect comb comb B B B BB B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=* ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（1）对于同一个成像系统，由于传递函数的通频带有限，只能允许0'(,)x y A f f 的中央一个周期成份（0n m ==）通过，所以成像的谱并不发生变化，即0'(,)(,)22y xx y x y x y f f A f f H f f rect rect B B ⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'(,)i x y A f f = (,)i x y A f f =图1.8用一维形式表示出系统在频域分别对0A 和0'A 的作用，为简单计，系统传递函数在图中表示为2x x f rect B ⎛⎫⎪⎝⎭。