信息光学重点解答题

（1）()⎪⎭

⎫

⎝

⎛-=⎪⎭

⎫ ⎝⎛-⎪⎭

⎫ ⎝

⎛-=⎪⎭

⎫ ⎝⎛--2

5.22

121*232121*32x rect x rect x x rect x δδ

（2）()()1*=x rect x comb

（3）⎪⎭⎫ ⎝⎛+21x rect *⎪⎭

⎫ ⎝⎛-21x rect 设卷积为()x g ，当0≤x 时，()x g =220+=⎰+x d x α，当0>x 时，()x g =x d x -=⎰22α

()⎪⎩⎪⎨⎧>-<+=0,2

10

,212x x

x x

x g

即

()⎪⎭

⎫

⎝⎛Λ=22x x g

（4）已知()2

ex p

x π-的傅里叶变换为()2

ex p πξ-，求

(){}()222

ex p ex p ξππ-=-x

(){}()

2

2222

2ex p 22/ex p ξσππσ-=-x

（5）单位振幅的单色平面波垂直入射到一半径为a 的圆形孔径上，试求菲涅耳衍射图样在轴上的强度分布

解：孔径平面撒谎能够的透射场为()⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛+=a y x circ y x U 2020000,由菲涅耳公式，当0==y x 时，得到轴上点的复振幅分布为 ()()0020

202

020

2exp exp ;0,0dy dx z y x jk

a y x circ

z j jkz z U ⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛+⎪⎪⎭

⎫ ⎝

⎛+=⎰⎰∞∞-λ ()rdr z r jk d z j jkz a ⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=02202exp exp π

θλ()⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=z a z a jk jkz j λπ2sin 4exp exp 222 ()⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=z a z I λπ2sin 4;0,022

(6)焦距

mm f 500=，直径mm D 50=的透镜将波长nm 8.632=λ的激光束聚焦，激光束的截面mm D 201=。试求透镜焦点处的光强是激

光束光强的多少倍？ 解：设入射激光束的复振幅为0A ，强度为200A I =，通过透镜后的出射光场为，将此式代入菲涅耳衍射公式，并令0==y x 得焦点处的复振幅

和光强为

()()()4exp 2/exp ;0,02100012

020

0D z j jkz A

dy dx D y x circ

z j jkz A f U πλλ=⎪⎪⎭

⎫ ⎝

⎛+=⎰⎰∞∞-

()6

02120

104;0,0⨯≈⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=I f D A f I λπ （14）彩虹全息照相系统中使用狭缝的作用是什么?为什么彩虹全息图的色模糊主要发生在狭缝垂直的方向上？

在彩虹全息照相中使用狭缝的目的是为了能在白光照明下再现准单色像。在普通全息照相中，若用白光照明全息图再现时，不同波长的光同时进入人眼，我们将同时观察到相互错位的不同颜色的再现像，造成再现像的模糊，即色模糊。在彩虹全息照相中，由于狭缝起了分色作用，再现过程中不同波长的光对应不同的水平狭缝位置，通过某一狭缝位置只能看到某一准单色的像，从而避免了色模糊。

在彩虹全息照相中，为了便于双眼观察，参考平面波的选择总是使全息图的光栅结构主要沿水平方向，因而色散沿竖直方向。狭缝沿水平方向放置，这样色散方向与狭缝垂直，即色模糊主要发生在与狭缝垂直的方向上，这样做的结果便于人眼上下移动选择不同颜色的准单色像

（7）等腰直角三角形孔径放在透镜的前焦面上，以单位振幅的单色平面波垂直照明，试求透镜后焦面上是夫琅禾费衍射图样的复振幅分布 解：注意到等腰直角三角形三个边的方程分别为

a x x y x y =-==00000,,，由公式得

()()()[]0000

'

2e x p

,,dy dx y x j y x t c

y x U ηξπ+-=⎰⎰∞

∞

-

()[]0000

0'

2exp 0

dy y x j dx c

x x a

ηξπ+-=⎰

⎰

-

()[]()()[](){}a c j a c a j a

jc ηξηξπηξηξππη

---+++-=sin ex p sin ex p 2' 其中f

y f x ληλξ==

,

（8）衍射受限系统的出瞳直径为D 的圆，求此系统的光学传递函数 解：由于是圆形光瞳，OTF 应该是圆对称的，只要沿ξ轴计算即可，在x 轴方向移动ξλi d 后，交叠面积被

AB 分成两个面积相等的弓形，

根据几何公式，交叠面积

()()θθθξcos sin 2

0,2

-=D S

D

d D d i i ξ

λξλθ=

=

2

/2

/cos

在截止频率内

()()()

()θθθπ

πξξξc o s s i n 2

4

/0,0,0,20

-=

==D S S S

截止频率满足D d i =ξλ，系统相干传递函数的截止频率i c d D λρ2/=。显然光学传递函数的截止频率恰好又是c ρ2

()ηξ,在极坐标中的表达式为

()[]⎪⎩⎪⎨⎧≤-=其它

,

0/,

cos sin 2

i

d D λρθθθπ

ρ

式中

D

d i ρ

λθηξρ=

+=cos ,

22

（9）衍射受限非相干成像系统的光瞳为边长l 的正方形，求其光学函数 解：光瞳函数为

()⎪⎭

⎫

⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=l y rect l x rect y x P ,

重叠面积

()()()()()⎪⎩

⎪

⎨⎧>><++>--=l d l d d l d l d l d l S i i i i i i ηλξληξηλξληξηλξληξ,,00,,0

,,,

即

()()()⎩

⎨⎧<<--=其它,0,,,l

d l d d l d l S i i i i ηλξληλξληξ

光学传递函数为

()ηξ,()⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛Λ⎪⎪⎭⎫

⎝⎛Λ==c

c S S ρη

ρξ

ηξ22,0

式中，i c d l λρ2/=是同一系统采用相干照明时的截止频率。非相干系统沿ξ和η轴方向上截止频率是i c d l λρ/2=