八年级下册二次根式16.2二次根式的乘除第1课时二次根式的乘法导学案新人教版【精选】
k a b k
⋅⋅=⋅⋅⋅⋅（
1
⎛⎫
(
n b mn
=
比较大小(一题多解
33
与
；(2)--
方法总结:比较两个二次根式大小的方法：可转化为比较两个被开方数的大小，即将根号外的正数平方后移到根号内，计算出被开方数后，再比较被开方数的大小被开方数大的，其算术平方根也大.也可以采用平方法.
( )
D.2
2.下面计算结果正确的是 ( )
A.==
C. =
D.=
3.=_________.
探究点2：积的算术平方根的性质
一般的()0
,0≥
≥
=
⋅b
a
ab
b
a，()
______0,0
_a b
=吵算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根.
变式题)化简：
（12()
00
x y,
≥≥．
2.下面是意大利艺术家列奥纳多·达·芬奇所创作世界名画，若长为，宽为
，求出它的面积.
二、课堂小结 二次根式的乘法
内容
二次根式的乘法法则 算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根.即
()0,0≥≥=⋅b a ab b a
积的算术平方根的性质 积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积.即
()0,0ab a b a b =壮?
二次根式的乘法法则拓展
①多个二次根式相乘时此法则也适用，即
()
0,0,00a b
c n abc n a b c n ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅≥≥≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅≥
②()()0,0m a n b mn ab a b =≥≥
1.若()66x x x x -=
⋅-，则（ ）
A ．x ≥6
B ．x ≥0
C ．0≤x ≤6
D ．x 为一切实数 2.下列运算正确的是 （ ）
A.21835680⨯=
B.22225353532-=-=-=
C.(4)(16)416(2)(4)8-⨯-=-⨯-=-⨯-=
D.222253535315⨯=⨯=⨯= 3.计算： (1)315 ⨯ =______ ；(2)612 ⨯ =_______ ;(3)322_____. ⨯= 4. 比较下列两组数的大小（在横线上填“＞”“＜”或“=”）：
154
45242
27.（）；（）--
5. 计算：
( 1 ) 23 521⨯； ；
）（⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛
-⨯418332 (3)322
105; ⨯⨯ 21
(4)
600.3
ab a b a b （，）⋅>>
6.设长方形的面积为S ，相邻两边分别为a,b . (1)已知8a =,12b =，求S ；(2)已知250a =,332b =，求S .
能力提升
7.已知7,70,a b ==试着用a,b 表示 4.9.
当堂检测
教学备注 配套PPT 讲授
5.当堂检测
（见幻灯片23-28）。
人教版八年级数学下册_16.2二次根式的乘除
特别提醒 进行二次根式的除法运算时，若两个被开方数可以
整除，就直接运用二次根式的除法法则进行计算；若两 个被开方数不能整除，可以对二次根式化简或变形后再 相除.
感悟新知
例 3 如果
a a－8
a a－8
成立，那么( D )
A.a ≥ 8
B.0 ≤ a ≤ 8
C.a ≥ 0
知3－练
D.a>8
解题秘方：紧扣“二次根式除法法则”成立的条
(式)移到根号外时，要注意应写在分母的位置上；
(3)“三化”，即化去被开方数中的分母.
感悟新知
知5－讲
特别提醒 判断一个二次根式是否是最简二次根式，要紧扣两个条件： 1. 被开方数不含分母； 2. 被开方数中每个因数(式)的指数都小于根指数2，即每个因
数(式)的指数都是1. 注意：分母中含有根式的式子不是最简二次根式.
感悟新知
知5－练
例8 下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是最简二
次根式？不是最简二次根式的，请说明理由.
(1)
1 ;(2)
x2＋y2 ;(3)
0.2;
3
(4)
24 x；(5)
2 .
3
解题秘方：紧扣“最简二次根式的定义”进行判断.
感悟新知
知5－练
解：(1)不是最简二次根式，因为被开方数中含有分母； (3) 不是最简二次根式，因为被开方数是小数(即含有分母)； (4)不是最简二次根式，因为被开方数24x 中含有能开得尽 方的因数4，4=22； (2)(5)是最简二次根式.
感悟新知
知3－讲
(2)当二次根式根号外有因数(式)时，可类比单项式除以单 项式的法则进行运算，将根号外的因数(式)之商作为商 的根号外因数(式) ，被开方数(式)之商作为商的被开方 数(式) ，即a b÷c d = (a÷c ) b d ( b ≥ 0，d ＞ 0，c ≠ 0 ).
新人教版八年级数学下册导学案(全册136页)
第十六章 二次根式16．1 《 二次根式(1)》学案课型: 新授课 上课时间： 课时： 1学习内容：二次根式的概念及其运用 学习目标：1、理解二次根式的概念，并利用a （a ≥0）的意义解答具体题目．2、提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．学习过程一、自主学习 （一）、复习引入（学生活动）请同学们独立完成下列三个问题： 问题1：已知反比例函数y=3x，那么它的图象在第一象限横、•纵坐标相等的点的坐标是___________．（3，3）．问题2：甲射击6次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8，那么甲这次射击的方差是S 2，那么S=_________．（46.） （二）学生学习课本知识 （三）、探索新知 1、知识： 如3、10、46，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式．因此，一般地，我们把形如 •的式子叫做二次根式，“”称为 ．例如：形如 、 、 是二次根式。
形如 、 、 不是二次根式。
2、应用举例例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2、33、1x、x （x>0）、0、42、-2、1x y+、x y +（x ≥0，y•≥0）． 解：二次根式有： ；不是二次根式的有： 。
例2．当x 是多少时，31x -在实数范围内有意义？ 解：由 得： 。
当 时，31x -在实数范围内有意义．（3）注意：1、形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式的概念；2、利用“a （a ≥0）”解决具体问题3、要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数。
二、学生小组交流解疑，教师点拨、拓展例3．当x 是多少时，23x ++11x +在实数范围内有意义？ 例4(1)已知y=2x -+2x -+5，求xy的值．(答案:2)(2)若1a ++1b -=0，求a 2004+b 2004的值．(答案:25)三、巩固练习 教材练习． 四、课堂检测 （1）、简答题1．下列式子中，哪些是二次根式那些不是二次根式？ -7 37x x 4 16 8 1x（2）、填空题1．形如________的式子叫做二次根式． 2．面积为5的正方形的边长为________． （3）、综合提高题1．某工厂要制作一批体积为1m 3的产品包装盒，其高为0.2m ，按设计需要，•底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？2．若3x -+3x -有意义，则2x -=_______．3.使式子2(5)x --有意义的未知数x 有（ ）个．A ．0B ．1C ．2D ．无数4.已知a 、b 为实数，且5a -+2102a -=b+4，求a 、b 的值．16．1 《 二次根式(2)》学案课型: 新授课 上课时间： 课时： 2 学习内容：1．a （a ≥0）是一个非负数； 2．（a ）2=a （a ≥0）． 学习目标：1、理解a （a ≥0）是一个非负数和（a ）2=a （a ≥0），并利用它进行计算和化简．2、通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出a （a ≥0）是一个非负数，用具体数据结合算术平方根的意义导出（a ）2=a （a ≥0）；最后运用结论严谨解题． 教学过程 一、自主学习 （一）复习引入1．什么叫二次根式？2．当a ≥0时，a 叫什么？当a<0时，a 有意义吗？ （二）学生学习课本知识 （三）、探究新知1、a （a ≥0）是一个 数。
16.2二次根式的乘除(1)-2022-2023学年人教版八年级数学下册说课稿(含详解)
16.2 二次根式的乘除（1）- 2022-2023学年人教版八年级数学下册说课稿（含详解）一、教材分析本节课是人教版八年级数学下册的第16单元，本单元共有4个知识点，分别是：1.二次根式的概念与性质。
2.二次根式的加减运算。
3.二次根式的乘法。
4.二次根式的除法。
本节课主要围绕第3个知识点展开，即二次根式的乘法。
学生在学习完二次根式的概念与性质以及二次根式的加减运算后，已经能够准确理解二次根式的含义，并能进行简单的加减运算。
通过本节课的学习，学生将进一步掌握二次根式的乘法运算规则，培养他们的数学思维能力和运算能力。
二、教学目标1.知识与能力：掌握二次根式的乘法运算规则，能够准确运用乘法的规则计算二次根式的值。
2.过程与方法：培养学生运用数学思维解决实际问题的能力，以及抽象思维和逻辑推理能力。
3.情感态度与价值观：培养学生对数学知识的兴趣和学习的主动性，培养他们坚持不懈，勤奋学习的品质。
三、教学重点1.二次根式的乘法运算规则及其应用。
2.培养学生的逻辑思维和运算能力。
四、教学内容和步骤1. 导入（5分钟）通过提问复习上节课学习的内容，引导学生复习二次根式的概念和加减运算规则。
2. 新课讲解（20分钟）步骤一：引导学生进行观察通过一个例子引导学生观察二次根式的乘法规律，并与之前学过的一次根式的乘法进行对比。
步骤二：提出乘法规则根据学生的观察结果，提出二次根式的乘法规则：对于任意实数a和b，以及非负实数m和n，有：√m * √n = √(m * n)步骤三：运用乘法规则解决问题通过简单的例子，引导学生运用乘法规则解决实际问题。
步骤四：拓展与延伸通过更复杂的例子，延伸讨论二次根式的乘法规则的应用。
3. 讲解与练习（15分钟）步骤一：讲解与演示讲解更复杂的乘法运算，如√3 * √5 * √2。
步骤二：练习与巩固提供一些练习题，让学生分组完成练习，并进行讲解和讨论。
4. 小结（5分钟）通过对本节课内容的回顾总结，帮助学生理解和记忆所学知识点。
八年级数学下册16二次根式162二次根式的乘除第1课时导学案新人教版
16.2二次根式的乘除（第1课时）学习目标1.能够利用积的算术平方根的性质进行二次根式的化简与运算；2. 会进行简单的二次根式的乘法运算．重点难点 重点：ab b a =⋅（a ≥0，b ≥0），b a ab ⋅=（a ≥0，b ≥0）的推导及它们的运用． 难点：二次根式的化简学习过程一、预习内容问题1计算下列各式，观察计算结果，你发现什么规律 (1) =⨯94____,=⨯94______;(2)2516⨯=_____, 2516⨯=_______;(3)25×36=____，3625⨯=_____.问题21.参考上面的结果，用“>、<或＝”填空．4×9_____49⨯；2516⨯________2516⨯；3625⨯________3625⨯.2．总结归纳：你能找出二次根式怎样进行乘法运算吗？字母表达式怎样？结论： .问题3把ab b a =⋅（a ≥0，b ≥0）反过来，仍然成立吗？积的算术平方根的性质： .二、数学概念及性质1.二次根式的乘法法则：_____________________________.2.积的算术平方根的性质：____________________________.三、例题讲解例1．计算（1）3×5 （2）13×27例2 化简（1）1681⨯ （2）324b a例3 计算（1）714⨯； （2）10253⨯；（3）xy x 313•四、总结反思1.说说这节课你的收获；2.你还有什么问题？五、反馈练习1、计算（1927（21262、化简（1916⨯（281100⨯（3（4六、能力提高3．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：（1=（2×七、布置作业习题16.2 第1题、第3题参考答案：问题1、（1）6,6（2）20,20（3）30,30发现他们的运算结果相等问题2、1、=，=，= ；2（a≥0，b≥0）问题3、b a ab ⋅=（a ≥0，b ≥0） 例1、分析：直接利用a ·b ＝ab （a≥0，b≥0）计算即可． 解：（1）53⨯=53⨯=15（2）13×27=2731⨯=9=3例2、分析：利用ab =a ·b （a≥0，b≥0）直接化简即可．（1）1681⨯=16×81=4×9=36（2）324b a =324b a ••=b b a b b a •=•••2222=b ab 2例3解：（1）714⨯=714⨯=272⨯=272⨯=27（2）10253⨯=10523⨯⨯=2562⨯=2562⨯=256⨯=230反馈练习：1、（1）9×27=292793⨯=⨯=93（2）12×6=162⨯=32、解：（1）916⨯=9×16=3×4=12（2）81100⨯=81×100=9×10=90（3）54=96⨯=23×6=36（4）34212x y z =223xy z x能力提高：解：（1）不正确．改正：(4)(9)-⨯-=49⨯＝4×9=2×3=6（2）不正确．1242525＝八年级上学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．下列长度的三条线段可以组成三角形的是( )A ．3，4，2B ．12，5，6C ．1，5，9D ．5，2，7 【答案】A【解析】根据三角形三边关系即可解题.【详解】解：根据三角形三边关系,A. 3，4，2,正确B. 12，5，6,错误,5+6<12,C. 1，5，9, 错误,1+5<9,D. 5，2，7, 错误,5+2=7,故选A.【点睛】本题考查了三角形三边关系,属于简单题,熟悉概念是解题关键.2．人体中红细胞的直径约为0.000 007 7m ，将数0.000 007 7用科学记数法表示为（ ）A ．7.7×-510B ．-70.7710⨯C ．-67.710⨯D ．-77.710⨯【答案】C【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】0.0000077=7.7×10﹣6， 故答案选C. 3．已知不等式组1113x a x -<-⎧⎪-⎨≤⎪⎩的解集如图所示（原点没标出，数轴单位长度为1），则a 的值为（ ）A ．﹣1B ．0C ．1D ．2【答案】D【分析】首先解不等式组，求得其解集，又由数轴知该不等式组有3个整数解即可得到关于a 的方程，解方程即可求得a 的值．【详解】解：∵1113x a x -<-⎧⎪-⎨≤⎪⎩， 解不等式1x a -<-得：1x a <-， 解不等式113x -≤得：2x ≥-， ∴不等式组的解集为：21x a -≤<-，由数轴知该不等式组有3个整数解，所以这3个整数解为-2、-1、0，则11a -=，解得：2a =，故选：D ．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握运算法则是解本题的关键．4．小东一家自驾车去某地旅行，手机导航系统推荐了两条线路，线路一全程75km ，线路二全程90km ，汽车在线路二上行驶的平均时速是线路一上车速的1.8倍，线路二的用时预计比线路一用时少半小时，如果设汽车在线路一上行驶的平均速度为xkm/h ，则下面所列方程正确的是（ ）A ．759011.82x x =+B ．759011.82x x =-C ．759011.82x x =+D ．759011.82x x =- 【答案】A【分析】设汽车在线路一上行驶的平均速度为xkm/h ，则在线路二上行驶的平均速度为1.8xkm/h ，根据线路二的用时预计比线路一用时少半小时，列方程即可．【详解】设汽车在线路一上行驶的平均速度为xkm/h ，则在线路二上行驶的平均速度为1.8xkm/h ， 由题意得：759011.82x x =+， 故选A ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是，读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．5．已知二元一次方程组28212a b a b +=⎧⎨-=⎩，则a 的值是( ) A ．3B ．5C ．7D ．9 【答案】B【分析】直接利用加减消元法解二元一次方程组即可．【详解】解：28212a b a b +=⎧⎨-=⎩①②， ①+②得：4a=20，解得：a=1．故选：B ．【点睛】本题考查了加减消元法解二元一次方程组.6．如图，∠MCN=42°，点P 在∠MCN 内部，PA ⊥CM ，PB ⊥CN ，垂足分别为A 、B ，PA=PB ，则∠MCP 的度数为().A ．21°B ．24°C ．42°D ．48°【答案】A 【分析】根据角平分线的判定可知CP 平分∠MCN ，然后根据角平分线的定义即可求出结论．【详解】解：∵PA ⊥CM ，PB ⊥CN ，PA=PB ，∴CP 平分∠MCN∵∠MCN=42°，∴∠MCP=12∠MCN=21° 故选A ．【点睛】此题考查的是角平分线的判定，掌握角平分线的判定定理是解决此题的关键．7．下列各式计算正确的是（ ） A ．6232126()b a b a b a ---⋅= B ．（3xy ）2÷（xy ）=3xyC 23a a a =D ．2x•3x 5=6x 6【答案】D 【分析】依据单项式乘以单项式、单项式除以单项式以及二次根式的加法法则对各项分别计算出结果，再进行判断即可得到结果．【详解】A. 2321526()b a b a b a ---⋅=，故选项A 错误； B. （3xy ）2÷（xy ）=9xy ，故选项B 错误；C. a 与2a 不是同类二次根式，不能合并，故选项C 错误；D. 2x•3x 5=6x 6，正确．故选：D ． 【点睛】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．8．对二次三项式4x 2﹣6xy ﹣3y 2分解因式正确的是（ ）A ．3213214()()x y x y +-++B ．2132134()()x y x y +---C ．(321)(321)x y y x y y ---+D ．321213(2)(2)22x y x y -+-- 【答案】D【详解】解：4x 2﹣6xy ﹣3y 2=4[x 2﹣32xy+（34y ）2]﹣3y 2﹣94y 2 =4（x ﹣34y ）2﹣214y 2 =（2x ﹣32y 21y ）（2x ﹣3221y ） =（2x ﹣3212+y ）（2x ﹣3212） 故选D ．【点睛】本题主要是用配方法来分解因式，但本题的计算，分数，根式多，所以学生还是很容易出错的，注意计算时要细心．9．甲、乙、丙、丁四名设计运动员参加射击预选赛，他们射击成绩的平均数及方差如下表示：若要选出一个成绩较好状态稳定的运动员去参赛，那么应选运动员（ ）甲 乙 丙 丁A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁 【答案】B 【分析】根据平均数及方差的定义和性质进行选择即可．【详解】由上图可知，甲、乙、丙、丁中乙、丙的平均数最大，为9∵1 1.2<∴乙的方差比丙的方差小∴选择乙更为合适故答案为：B ．【点睛】本题考查了平均数和方差的问题，掌握平均数及方差的定义和性质是解题的关键．10．顺次连接矩形各边中点得到的四边形是（ ）A ．平行四边形B ．矩形C ．菱形D ．正方形【答案】C【分析】根据三角形的中位线定理，得新四边形各边都等于原四边形的对角线的一半，进而可得连接对角线相等的四边形各边中点得到的四边形是菱形．【详解】解：如图，矩形ABCD 中， ,AC BD ∴=,,,E F G H 分别为四边的中点，1//,,2EF BD EF BD ∴=1//,,2GH BD GH BD = 1,2FG AC = //,,EF GH EF GH ∴=∴ 四边形ABCD 是平行四边形，11,,,22AC BD EF BD FG AC === ,EF FG ∴=∴ 四边形EFGH 是菱形．故选C．【点睛】本题主要考查了矩形的性质、菱形的判定，以及三角形中位线定理，关键是掌握三角形的中位线定理及菱形的判定．二、填空题11．如图，O为坐标原点，△OAB是等腰直角三角形，∠OAB＝90°，点B的坐标为(0,22)，将该三角Rt o A B，此时点B 的坐标为(22,22)，则线段OA在平移过程中扫过部分形沿x轴向右平移得到'''的图形面积为______.【答案】1【解析】分析：利用平移的性质得出AA′的长，根据等腰直角三角形的性质得到AA′对应的高，再结合平行四边形面积公式求出即可．详解：∵点B的坐标为（02，将该三角形沿x轴向右平移得到Rt△O′A′B′，此时点B′的坐标为（2，2，∴2，∵△OAB是等腰直角三角形，∴A22），∴AA′2，∴线段OA在平移过程中扫过部分的图形面积为2×2=1．故答案为1．点睛：此题主要考查了平移变换、等腰直角三角形的性质以及平行四边面积求法，利用平移规律得出对应点坐标是解题关键．12．如图， ,,,50AE AC DE BC E C BAD ==∠=∠∠=︒，则B 的度数为_________．【答案】65゜．【分析】首先证明△AED ≌△ACB 得AB=AD ，再根据等腰三角形的性质求解即可．【详解】在△AED 和△ACB 中，∵AE AC E C DE DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AED ≌△ACB ，∴AB=AD ，∵∠BAD=50゜，∴∠B=180180506522BAD ︒-∠︒-︒==︒． 故答案为：65゜．【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．13．在平面直角坐标系中，把()10,1A -向上平移4个单位，得到点'A ，则点'A 的坐标为__________．【答案】()10,5-【分析】点在坐标系的平移，遵循纵坐标上加下减，横坐标右加左减，根据这个规律即可求出'A 坐标．【详解】解：由题意得，若将点向上平移，则点的纵坐标增加即：点向上平移4个单位后，点A （-10，1）的坐标变为'A （-10，5）．故答案为：（-10，5）．【点睛】本题考查坐标与图形的变化-平移，解题的关键是熟练掌握坐标系基本知识．14．如图，矩形ABCD 中，直线MN 垂直平分AC ，与CD ，AB 分别交于点M ，N ．若DM ＝2，CM ＝3，则矩形的对角线AC 的长为_____．【答案】30【分析】连接AM，在Rt△ADM中，利用勾股定理求出AD2，再在Rt△ADC中，利用勾股定理求出AC 即可．【详解】解：如图，连接AM．∵直线MN垂直平分AC，∴MA＝MC＝3，∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝90°，∵DM＝2，MA＝3，∴AD2＝AM2﹣DM2＝32﹣22＝5，∴AC＝222+=+=，AD CD5530故答案为：30．【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．15．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点A的坐标是(-2，0)，点B在y轴上，若OA=2OB，则点B的坐标是______．【答案】（0，1）或（0，-1）【分析】先得出OA的长度，再结合OA=2OB且点B在y轴上，从而得出答案．【详解】∵点A的坐标是（-2，0），∴OA=2，又∵OA=2OB，∴OB=1，∵点B 在y 轴上，∴点B 的坐标为（0，1）或（0，-1），故答案为：（0，1）或（0，-1）．【点睛】本题主要考查了坐标与图形的性质，点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x 轴的距离与纵坐标有关，到y 轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．16．填空：（1）已知，△ABC 中，∠C+∠A=4∠B ，∠C ﹣∠A=40°，则∠A=度；∠B= 度；∠C= 度；（2）一个多边形的内角和与外角和之和为2160°，则这个多边形是 边形；（3）在如图的平面直角坐标系中，点A （﹣2，4），B （4，2），在x 轴上取一点P ，使点P 到点A 和点B 的距离之和最小．则点P 的坐标是 ．【答案】（1）52，36，92；（2）12；（3）（2，0）【分析】（1）通过三角形内角和性质与已知条件联立方程可得；（2）多边形的内角和公式可得；（3）线段和差最值问题，通过“两点之间，线段最短”.【详解】解：（1）由题意得，180440A B C C A B C A ∠+∠+∠=︒⎧⎪∠+∠=∠⎨⎪∠-∠=︒⎩，解得，52,36,92A B C =︒=︒=︒∠∠∠故答案为：52，36，92；（2）设这个多边形为n 边形，由题意得，(2)1803602160n -⨯︒+︒=︒ ，解得，n=12，故答案为：12；（3）点B (4，2)关于x 轴的对称点B′(4，﹣2)，设直线AB′的关系式为y kx b =+，把A (﹣2，4) ,B′(4，﹣2) 代入得，2442k b k b -+=⎧⎨+=-⎩， 解得，k =﹣1，b =2，∴直线AB′的关系式为y =﹣x+2，当y=0时，﹣x+2=0，解得，x=2，所以点P (2，0)，故答案为：（2，0）．【点睛】掌握三角形内角和，多边形内角和、外角和性质及线段的最值为本题的关键.17．在平面直角坐标系中，直线l ：y=x ﹣1与x 轴交于点A 1，如图所示依次作正方形A 1B 1C 1O 、正方形A 2B 2C 2C 1、…、正方形A n B n C n C n ﹣1，使得点A 1、A 2、A 3、…在直线l 上，点C 1、C 2、C 3、…在y 轴正半轴上，则点B n 的坐标是_____．【答案】（2n ﹣1，2n ﹣1）．【解析】解：∵y=x-1与x 轴交于点A 1，∴A 1点坐标（1，0），∵四边形A1B1C1O是正方形，∴B1坐标（1，1），∵C1A2∥x轴，∴A2坐标（2，1），∵四边形A2B2C2C1是正方形，∴B2坐标（2，3），∵C2A3∥x轴，∴A3坐标（4，3），∵四边形A3B3C3C2是正方形，∴B3（4，7），∵B1（20，21-1），B2（21，22-1），B3（22，23-1），…，∴B n坐标（2n-1，2n-1）．故答案为（2n-1，2n-1）．三、解答题18．新能源汽车环保节能，越来越受到消费者的喜爱．各种品牌相继投放市场．我市某汽贸公司经销某品牌新能源汽车．去年销售总额为5000万元，今年1～5月份，每辆车的销售价格比去年降低1万元．销售数量与去年一整年的相同．销售总额比去年一整年的少20%，今年1﹣5月份每辆车的销售价格是多少万元？【答案】今年1—5月份每辆车的销售价格是4万元．【解析】设今年1—5月份每辆车的销售价格是x万元，根据销售量相同列出方程，求解并检验即可. 【详解】解：设今年1—5月份每辆车的销售价格是x万元，依题意得5000(120%)50001x x-=+.解得4x=.经检验，4x=是原方程的解，并且符合题意．答: 今年1—5月份每辆车的销售价格是4万元．【点睛】本题考查分式方程的应用，理解题意并找到合适的等量关系是解题关键. 19．如图，AC平分∠BCD，AB＝AD，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F.(1)若∠ABE＝60°，求∠CDA的度数；(2)若AE＝2，BE＝1，CD＝4.求四边形AECD的面积．【答案】（1）120°；（2）1.【分析】(1)、根据角平分线的性质以及AB=AD 得出Rt △ABE 和Rt △ADF 全等，从而得出∠ADF ＝∠ABE ＝60°，根据平角得出∠ADC 的度数；(2)、根据三角形全等得出FD ＝BE ＝1，AF ＝AE ＝2，CE ＝CF ＝CD ＋FD ＝5，最后根据S 四边形AECD ＝S △AEC ＋S △ACD 得出答案．【详解】解：(1)∵AC 平分∠BCD ，AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，∴∠ACE ＝∠ACF ，∠AEC ＝∠AFC ＝10°，∴AE ＝AF ，在Rt △ABE 和Rt △ADF 中，AE=AF ，AB=AD ，∴Rt △ABE ≌Rt △ADF(HL)，∴∠ADF ＝∠ABE ＝60°，∴∠CDA ＝180°－∠ADF ＝120°；(2)由(1)知Rt △ABE ≌Rt △ADF ，∴FD ＝BE ＝1，AF ＝AE ＝2，在△AEC 和△AFC 中，∠ACE=∠ACF，∠AEC=∠AFC，AC=AC ，∴△AEC ≌△AFC(AAS)，∴CE ＝CF ＝CD ＋FD ＝5，∴S 四边形AECD ＝S △AEC ＋S △ACD ＝12EC·AE ＋12CD·AF ＝12×5×2＋12×4×2＝1． 【点睛】本题主要考查的是角平分线的性质、三角形全等的应用以及三角形的面积计算，难度中等．理解角平分线上的点到角两边的距离相等的性质是解决这个问题的关键．20．如图，已知直线1:23l y x =+，直线2:5l y x =-+，直线1l ，2l 分别交x 轴于B ，C 两点，1l ，2l 相交于点A .（1）求A ，B ，C 三点坐标；（2）求ABC S【答案】（1）A 213,33⎛⎫ ⎪⎝⎭，B 3,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，C ()5,0；（2）16912ABC S =△． 【分析】（1）分别将y=0代入23y x =+和5y x =-+中即可求得B ，C 的坐标，联立两个一次函数形成二元一次方程组，方程组的解对应的x 值和y 值就是A 点的横坐标和纵坐标；（2）以BC 为底，根据A 点坐标求出三角形的高，利用三角形的面积计算公式求解即可．【详解】（1）由题意得，令直线1l ，直线2l 中的y 为0，得：132x =-，25x =． 由函数图像可知，点B 的坐标为3,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，点C 的坐标为()5,0． ∵1l 、2l 相较于点A ．∴解23y x =+及5y x =-+得：23x =，133y =． ∴点A 的坐标为213,33⎛⎫ ⎪⎝⎭． （2）由（1）可知：3135()22BC =--=，又由函数图像可知111313169||||222312ABC A S BC y =⨯⨯=⨯⨯=△． 【点睛】 本题考查一次函数与一元一次方程，一次函数与二元一次方程组．掌握两个一次函数的交点坐标就是联立它们所形成的二元一次方程组的解是解决此题的关键．21．解方程：（132421626⨯ （2）计算：1275(52)(52)3⨯+（3）解方程组：1323811x y x y ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩【答案】（1）（2）3+（3）512x y =⎧⎪⎨=⎪⎩． 【分析】（1）利用二次根式的性质和二次根式的乘除法化简，将所得的结果相加减即可；（2）利用平方差公式和和二次根式的乘除法化简，将所得的结果相加减即可；（3）利用加减消元法即可求解．【详解】解：（1）原式=2-=-= （2）原式=22-+=52-+=3+（3）1323811x y x y ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩①②①×6得：3618x y +=③，③－②得147y =，解得12y =， 将12y =代入②得3411x -=，解得5x =， 即该方程组的解为：512x y =⎧⎪⎨=⎪⎩． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算和解方程组．（1）（2）中掌握二次根式的性质和二次根式的乘除法则是解题关键；（3）中掌握消元思想是解题关键．22．若x+y=3，且(x+2)(y+2)=1．（1）求xy 的值；（2）求x 2+3xy+y 2的值．【答案】（1）2； （2）2【分析】（1）先去括号，再整体代入即可求出答案；（2）先配方变形，再整体代入，即可求出答案．【详解】解：（1）∵x+y=3，（x+2）（y+2）=1，∴xy+2x+2y+4=1，∴xy+2（x+y ）=8，∴xy+2×3=8， ∴xy=2；（2）∵x+y=3，xy=2，∴x 2+3xy+y 2=（x+y ）2+xy=32+2=2．【点睛】本题考查了整式的混合运算和完全平方公式的应用，题目是一道比较典型的题目，难度适中． 23．探究下面的问题:(1)如图甲，在边长为a 的正方形中去掉一个边长为b 的小正方形(a ＞b)，把余下的部分剪拼成如图乙的一个长方形，通过计算两个图形(阴影部分)的面积，验证了一个等式，这个等式是________(用式子表示)，即乘法公式中的___________公式.(2)运用你所得到的公式计算：①10.7×9.3 ②(23)(23)x y z x y z +---【答案】 (1)a 2-b 2=(a+b)(a-b)；平方差；(2)①99.51；②x 2-6xz+9z 2-4y 2.【分析】（1）这个图形变换可以用来证明平方差公式：已知在左图中，大正方形减小正方形剩下的部分面积为a 2-b 2；因为拼成的长方形的长为（a+b ），宽为（a-b ），根据“长方形的面积=长×宽”代入为：（a+b ）×（a-b ），因为面积相等，进而得出结论．（2）①将10.7×9.3化为(10+0.7)×(10-0.7)，再用平方差公式求解即可.②利用平方差公式和完全平方公式求解即可.【详解】(1) 由图知：大正方形减小正方形剩下的部分面积为a2-b2；拼成的长方形的面积：(a+b)×(a−b),所以得出：a2-b2=(a+b)(a−b)；故答案为：a2-b2=(a+b)(a−b)；平方差(2)①原式=(10+0.7)×(10-0.7)=102-0.72=100-0.49=99.51.②原式=(x-3z+2y)(x-3z-2y)=(x-3z)2-(2y)2=x2-6xz+9z2-4y2.【点睛】此题考查正方形的面积，平方差、完全平方公式，解题关键在于求解长方形、正方形的面积.24．某单位750名职工积极参加向贫困地区学校捐书活动，为了解职工的捐数量，采用随机抽样的方法抽取30名职工作为样本，对他们的捐书量进行统计，统计结果共有4本、5本、6本、7本、8本五类，分别用A、B、C、D、E表示，根据统计数据绘制成了如图所示的不完整的条形统计图，由图中给出的信息解答下列问题：（1）补全条形统计图；（2）求这30名职工捐书本数的平均数、众数和中位数；（3）估计该单位750名职工共捐书多少本？【答案】（1）补图见解析（2）6；6；6；（3）4500本．【解析】（1）根据题意列式计算得到D类书的人数，补全条形统计图即可；（2）根据次数出现最多的数确定众数，按从小到大顺序排列好后求得中位数；（3）用捐款平均数乘以总人数即可．【详解】（1）捐D类书的人数为：30-4-6-9-3=8，补图如图所示；（2）众数为：6 中位数为：6 平均数为：x =130（4×4+5×6+6×9+7×8+8×3）=6； （3）750×6=4500， 即该单位750名职工共捐书约4500本．【点睛】主要考查了中位数，众数，平均数的求法，条形统计图的画法，用样本估计总体的思想和计算方法；要求平均数只要求出数据之和再除以总个数即可；找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个． 25．如图，,,AE DF EC BF AB CD ===．求证：ACE DBF ≌．【答案】证明见解析【分析】只需要通过AB=CD 证得AC=BD 利用SSS 即可证明ACE DBF ≌．【详解】解：∵AB=CD ，BC=BC∴AC=BD∵AE=DF ，CE=BF∴△ACE ≌△DBF （SSS ）．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．八年级上学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．把四张形状大小完全相同的小长方形卡片(如图①)不重叠的放在一个底面为长方形(长为m ，宽为n)的盒子底部(如图②)，盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图②中两块阴影部分的周长和是（ ）A ．4nB ．4mC ．2()m n +D ．4()m n +【答案】A 【分析】设图①小长方形的长为a ，宽为b ，由图②表示出上面与下面两个长方形的周长，求出之和，根据题意得到a+2b=m ，代入计算即可得到结果．【详解】设小长方形的长为a ，宽为b ，上面的长方形周长：2（m-a+n-a ），下面的长方形周长：2（m-2b+n-2b ），两式联立，总周长为：2（m-a+n-a ）+2（m-2b+n-2b ）=4m+4n-4（a+2b ），∵a+2b=m （由图可得），∴阴影部分总周长为4m+4n-4（a+2b ）=4m+4n-4m=4n ．故选：A ．【点睛】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2．如图，△ABC ≌△AED ，点D 在BC 上，若∠EAB ＝42°，则∠DAC 的度数是（ ）A ．48°B ．44°C ．42°D ．38°【答案】C 【分析】根据全等三角形的性质得到∠BAC=∠EAD ，于是可得∠DAC=∠EAB ，代入即可．【详解】解：∵△ABC ≌△AED ，∴∠BAC=∠EAD，∴∠EAB+∠BAD =∠DA C+∠BAD，∴∠DAC=∠EAB=42°，故选：C．【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．3．已知一个等腰三角形底边的长为5cm，一腰上的中线把其周长分成的两部分的差为3cm，则腰长为（）A．2cm B．8cm C．2cm或8cm D．10cm【答案】B【详解】解：如图，∵BD是△ABC的中线，∴AD=CD，∴两三角形的周长的差等于腰长与底边的差，∵BC=5cm，∴AB-5=3或5-AB=3，解得AB=8或AB=2，若AB=8，则三角形的三边分别为8cm、8cm、5cm，能组成三角形，若AB=2，则三角形的三边分别为2cm、2cm、5cm，∵2+2=4＜5，∴不能组成三角形，综上所述，三角形的腰长为8cm．故选：B．故选B．4．一次函数y＝－3x－2的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A【分析】根据一次函数的性质，当k＜0，b＜0时，图象经过第二、三、四象限解答．【详解】解：∵k=-3＜0，∴函数经过第二、四象限，∵b=﹣2＜0，∴函数与y 轴负半轴相交，∴图象不经过第一象限．故选A【点睛】本题考查一次函数的性质，利用数形结合思想解题是关键．5．如图，△ABC 的一角被墨水污了，但小明很快就画出跟原来一样的图形，他所用定理是（ ）A ．SASB ．SSSC ．ASAD ．HL【答案】C 【分析】根据现有的边和角利用全等三角形的判定方法即可得到答案.【详解】根据题意可知，,,A AB B ∠∠都是已知的，所以利用ASA 可以得到△ABC 的全等三角形，从而就可画出跟原来一样的图形.故选：C.【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.6．从2019年8月1日开始，温州市实行垃圾分类，以下是几种垃圾分类的图标，其中哪个图标是轴对称图形（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【详解】解: A 、不是轴对称图形，故本选项错误；B 、不轴对称图形，故本选项正确；C 、不是轴对称图形，故本选项错误；D 、不是轴对称图形，故本选项错误．故选：B ．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．7．若实数m、n满足等式|m﹣2|+n-4=0，且m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是( )A．6 B．8 C．8或10 D．10【答案】D【分析】由已知等式，结合非负数的性质求m、n的值，再根据m、n分别作为等腰三角形的腰，分类求解．【详解】解：∵|m-2|+n-4=0，∴m-2=0，n-4=0，解得m=2，n=4，当m=2作腰时，三边为2，2，4，不符合三边关系定理；当n=4作腰时，三边为2，4，4，符合三边关系定理，周长为：2+4+4=1．故选D．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，非负数的性质．关键是根据非负数的性质求m、n的值，再根据m或n 作为腰，分类求解．8．为你点赞，你是最棒的！下列四种QQ表情图片都可以用来为你点赞！其中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据轴对称图形的定义逐项识别即可，在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，叫做轴对称图形.据此解答即可.【详解】A是轴对称图形，其余的不是轴对称图形.故选A.【点睛】本题考查了轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键.9．如图所示，直角三边形三边上的半圆面积从小到大依次记为1S、2S、3S，则1S、2S、3S的关系是（）A ．123S S S +=B ．222123S S S +=C ．123S S S +>D ．123S S S +<【答案】A 【分析】设三个半圆的直径分别为：d 1、d 2、d 1，半圆的面积=12π×（2直径）2，将d 1、d 2、d 1代入分别求出S 1、S 2、S 1，由勾股定理可得：d 12+d 22=d 12，观察三者的关系即可．【详解】解：设三个半圆的直径分别为：d 1、d 2、d 1，S 1=12×π×（12d ）2=21π8d ， S 2=12×π×（22d ）2=22π8d ， S 1=12×π×（32d ）2=23π8d ． 由勾股定理可得：d 12+d 22=d 12，∴S 1+S 2=π8（d 12+d 22）=23π8d =S 1， 所以S 1、S 2、S 1的关系是：S 1+S 2=S 1．故选A ．【点睛】本题主要考查运用勾股定理结合图形求面积之间的关系，关键在于根据题意找出直角三角形，运用勾股定理求出三个半圆的直径之间的关系．10．如图，Rt △ABC 沿直角边BC 所在直线向右平移到Rt △DEF ，则下列结论中，错误的是（ ）A ．BE=ECB ．BC=EFC ．AC=DFD ．△ABC ≌△DEF【答案】A 【解析】平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．所以Rt△ABC与Rt△DEF的形状和大小完全相同，即Rt△ABC≌Rt△DEF，再根据性质得到相应结论.【详解】解：∵Rt△ABC沿直角边BC所在直线向右平移到Rt△DEF∴Rt△ABC≌Rt△DEF∴BC=EF，AC=DF所以只有选项A是错误的，故选A．【点睛】本题涉及的是全等三角形的知识，解答本题的关键是应用平移的基本性质．二、填空题11．已知点A（3+2a，3a﹣5），点A到两坐标轴的距离相等，点A的坐标为_____．【答案】(19，19)或（195，-195）【解析】根据点A到两坐标轴的距离相等，分两种情况讨论：3+2a与3a﹣5相等；3+2a与3a﹣5互为相反数．【详解】根据题意，分两种情况讨论：①3+2a＝3a﹣5，解得：a＝8，∴3+2a＝3a﹣5＝19，∴点A的坐标为（19，19）；②3+2a+3a﹣5＝0，解得：a＝25，∴3+2a＝195，3a﹣5＝﹣195，∴点A的坐标为（195，﹣195）．故点A的坐标为(19，19)或（195，-195），故答案为：(19，19)或（195，-195）．【点睛】本题考查了点的坐标，解决本题的关键是根据点A到两坐标轴的距离相等，分两种情况讨论．12．面试时，某人的基本知识、表达能力、工作态度的得分分别是80分、70分、85分，若依次按30%、30%、40%的比例确定成绩，则这个人的面试成绩是____________．【答案】79分【分析】根据加权平均数定义解答即可．【详解】这个人的面试成绩是80×30%+70×30%+85×40%=79（分），故答案为：79分．【点睛】本题主要考查加权平均数的计算，掌握加权平均数的定义是解题的关键．13．已知ABC 和一点O ，OA OB OC ==，20OAB，30OBC ∠=︒，则OCA ∠=______．【答案】40︒或80︒【分析】分两种情形：当点O 在△ABC 内部时或外部时分别求解．【详解】如图，当点O 在△ABC 内部时，∵OA=OB=OC ，20OAB ，30OBC ∠=︒，∴∠OAB=∠OBA=20°，∠OBC=∠OCB=30°，∴∠AOC=∠1+∠2=∠OAB+∠OBA +∠OBC+∠OCB=100°，∴∠OCA=1801002︒-︒=40°； 如图，当点O 在△ABC 外部时，∵OA=OB=OC ，20OAB ，30OBC ∠=︒，∴∠OAB=∠OBA=20°，∠OBC=∠OCB=30°，∴∠AOC=∠DOC-∠DOA=∠OBC+∠OCB-(∠OAB+∠OBA )230220=⨯︒-⨯︒20=°，∴∠OCA=180202︒-︒=80°． 故答案为：40︒或80︒．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．14．分解因式：29ax a -=___________．【答案】a(x+3)(x-3)【详解】解：()()()229933.ax a a x a x x -=-=+- 故答案为()()33.a x x +-15．如图，已知：,D E 分别是ABC 的边BC 和边AC 的中点，连接,DE AD ．若224,ABC S cm =则DEC 的面积是____________________．【答案】6cm 1【分析】由D 是BC 的中点，得中线AD 平分ABC ∆的面积，同理DE 平分ADC ∆的面积，从而可得答案．【详解】解：D 为BC 的中点，224,ABC S cm =2112,2ABD ACD ABC S S S cm ∆∆∆∴=== E 为AC 的中点，216.2DEC ADC S S cm ∆∆∴== 故答案为6cm 1．【点睛】本题考查的是三角形中线把三角形的面积平分，掌握此性质是解题关键．16．如图，一次函数y kx b =+和1133y x =-+的图象交于点M ．则关于x ，y 的二元一次方程组1133y kx b y x =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩的解是_________．【答案】21x y =-⎧⎨=⎩ 【解析】根据一次函数的关系可得方程组的解为交点M 的横纵坐标，把y=1代入1133y x =-+求出M 的坐标即可求解．【详解】把y=1代入1133y x =-+， 得11133x =-+ 解得x=-2∴关于x ，y 的二元一次方程组1133y kx b y x =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩的解是21x y =-⎧⎨=⎩ 故答案为21x y =-⎧⎨=⎩． 【点睛】此题主要考查一次函数与方程的关系，解题的关键是根据题意求出M 点的坐标．17．如图，在Rt AOB ∆中1OB =，2AB =，，以原点O 为圆心，OA 为半径画弧，交数轴于点P ，则点P 表示的实数是_____．【答案】-5【分析】根据勾股定理，可得OA 的长，根据半径相等，可得答案．【详解】由勾股定理，得OA ＝222212OB AB +=+＝5，由半径相等，得OP ＝OA ＝5，∴点P 表示的实数是-5故答案为：-5．【点睛】本题考查了数轴，利用了实数与数轴的一一对应关系．三、解答题18．如图，在ABC ∆中，AB AC =，AD BC ⊥于点D ，BE AC ⊥于点E ．26CAD ∠=︒，求ABE ∠的度数．【答案】38ABE ∠=︒．【分析】根据等腰三角形的性质得=52BAE ∠︒，再根据直角三角形的性质，即可得到答案．【详解】∵AB AC =，AD BC ⊥，26CAD ∠=︒，∴252BAE CAD ∠=∠=︒，∵BE AC ⊥，∴90AEB =︒∠，∴905238ABE ∠=︒-︒=︒．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质以及直角三角形的性质定理，掌握等腰三角形“三线合一”是解题的关键．19．计算：。
人教版数学八年级下册16.2二次根式的乘除第一课时优秀教学案例
2.要求学生认真完成作业，并及时给予反馈，了解学生对知识点的掌握情况。如：“请同学们认真完成作业，明天我们将进行作业讲评。”
五、案例亮点
（二）问题导向
1.设计具有启发性的问题，引导学生思考二次根式乘除法的运算规律，如：“如何将二次根式的乘除法转化为我们已经学过的加减法？”等。
2.引导学生通过问题发现知识点之间的联系，如：提问：“二次根式的乘除法与实数的乘除法有什么异同？”等，让学生在思考中掌握知识。
（三）小组合作
1.组织学生进行小组讨论，分享各自的想法和解决问题的方法，让学生在合作中发现问题、解决问题，培养团队合作精神。
针对这一知识点，我设计了一节以学生为主体、注重实践与思考的优秀教学案例。首先，我会通过复习导入，引导学生回顾已学的二次根式知识，为新课的学习做好铺垫。接着，我将会引导学生通过小组合作、讨论交流的方式，探索二次根式的乘除运算规律，培养学生的主体探究能力和团队合作精神。在探索过程中，我会适时给予学生反馈和指导，帮助他们克服困难，理解并掌握二次根式的乘除运算方论，让学生分享各自对二次根式乘除法的理解和运算方法。如：“你们认为二次根式乘除法应该如何运算？请你们小组讨论一下，并分享给其他小组。”
2.引导学生通过讨论，发现和总结二次根式乘除法的运算规律。如：“通过讨论，我们发现二次根式乘除法可以转化为加减法，只需要将根号内的数相乘（或相除）即可。”
（四）总结归纳
1.教师引导学生总结本节课所学的二次根式乘除法的运算规律。如：“我们可以总结一下，二次根式的乘法可以理解为将根号内的数相乘，除法可以理解为将根号内的数相除。”
八年级数学下册 16.2 二次根式的乘除导学案 新人教版(2021学年)
八年级数学下册16.２二次根式的乘除导学案（新版)新人教版编辑整理:尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望(八年级数学下册16．2 二次根式的乘除导学案（新版）新人教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉,前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅,最后祝您生活愉快业绩进步，以下为八年级数学下册１６.２二次根式的乘除导学案(新版）新人教版的全部内容。
１6.1二次根式预习案一、学习目标1、理解二次根式的乘法法则,并利用性质对二次根式进行化简.2、理解二次根式的除法法则。
3、理解最简二次根式的含义。
二、预习内容预习课本第二节内容。
1、二次根式的乘法法则: 。
2、二次根式的除法法则: 。
３、最简二次根式的条件： .三、预习检测1、对于任意实数x,下列各式中一定成立的是( )A.=•B．=x+1Ｃ.=•D.＝6ｘ22、计算•的结果是( )A.B． C.２Ｄ．3３、计算÷×结果为（)A.3B.4C.5D．6探究案一、合作探究（1５ｍin）【探究】二次根式的乘法看一下课本的探究内容,填写下列空格，研究二次根式的乘法。
1、×= ;= ．2、×＝; = 。
３、×＝；= 。
从刚刚的结果中,大家能用字母表示你所发现的规律吗?二次根式的乘法法则是什么？这个乘法法则中,我们需要注意什么？例1:计算（１) ×；（２）×大家思考这样一个问题,= ×成立吗?为什么?例２:计算（1）;（２）从这个例题中，你可以总结出化简二次根式的一般步骤吗？例3：计算(1)×(2)3×2 ;（3）×【探究】二次根式的除法1、= ；= .2、＝；= ．3、= ; ＝你能用字母表示你所发现的规律吗?你知道二次根式的除法法则是什么了吗?二次根式的除法法则要注意什么？例4 计算: （1) ; （2） .最简二次根式:（1)被开方数不含分母；（2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式。
精品教案：16_2_1 二次根式的乘法
人教版八下16.2.1二次根式的乘法教学设计教学内容解析教学流程图地位与作用二次根式的运算是二次根式的重要内容，运算是代数对象研究的重要内容．二次根式的乘法运算是二次根式运算的基础，在二次根式加减的基础上可以研究二次根式的除法和乘方．同时，二次根式的乘法运算拓展了“式”的运算，将有理式的运算拓展到了无理式的运算．是后续二次根式加减运算和化简的基础，也是高中研究幂函数的基础．概念解析二次根式乘法法则和乘法运算是“数与式”领域的基本内容，二次根式的乘法法则源于数和整式、分式的乘法法则，并且保持了兼容性，即满足简洁的交换律和结合律．二次根式乘法法则是在研究了二次根式性质1，2的基础上进行的，首先需要定义二次根式的乘法，然后再研究乘法的运算律．二次根式的乘法法则是通过一般到特殊归纳出来的，无须对其合理性进行证明．思想方法二次根式的乘法法则的学习，体现了从特殊到一般的思想方法，同时由于乘法法则得出源于二次根式的性质和整式、分式的乘法，所以也充分体现数学的逻辑思维.知识类型二次根式乘法法则是关于原理和规则的知识.由知识类型决定，对于原理和规则知识的学习，要分析清楚知识的来龙去脉，进而培养学生的数学抽象和逻辑推理素养．教学重点二次根式的乘法法则及其双向运用．教学目标解析教学目标1.理解二次根式的乘法法则：·＝ (a≥0，b≥0)，并能运用它进行计算；2.通过探索，总结归纳得到积的算式平方根的性质：＝· (a≥0，b≥0)，并能运用它进行化简.目标解析达成目标1的标志是会进行二次根式的乘法运算.达成目标2的标志是能够利用逆向思维，得到积的算式平方根的性质：＝· (a≥0，b≥0)，利用它进行简单的化简.教学问题诊断分析具备的基础学生已经学习了二次根式的概念和性质，通过整式运算的学习，知道了研究一个数学对象的运算法则的一般方法．具备了学习二次根式乘法的必要基础．与本课目标的差距分析学生由整式、分式的乘法，可以接受二次根式相乘时两个被开方式相乘的事实，但如何处理乘法中的两个“根号相乘”是本节课学生面临的问题，需要通过具体的实例，让学生真正理解二次根式的乘法法则，也是本节课中与学生认知水平差异较大的部分．存在的问题对二次根式的乘法法则中的符号理解有一定的障碍，当且时，逆向利用“同号得正”的原理是可以运算的，但对是不成的.应对策略通过实际运算结合算术平方根的意义进行对比运算，引导学生发现当且时，可以用来运算和化简，要落实“最简”的意识，需要学习二次根式加减运算时，才会理解化成最简的必要性.教学难点灵活运用·＝ (a≥0，b≥0)及＝· (a≥0，b≥0)进行计算和化简.教学支持条件分析本节课重点是运算法则的探求，因此需要构建师生互动的教学环境，可以借助优教e 授课助手等交互平台，在教学过程中，充分利用平台组织学生进行讨论，暴露学生的思维细节，教师针对学生思维中的问题，组织讲评，使学生真正理解二次根式的乘法法则．在教学中可以用运算工具，辅助运算，检查学生的运算结果，提高课堂教学的效率．教学过程设计一、情境引入多媒体展示情境.师生活动：教师引导学生列式表示矩形的面积，学生发现只能列式而不会计算.教师引入本节课课题——二次根式的乘法.设计意图：通过实例二次根式的运算在解决实际中的应用，引发学生思考二次根式的运算，激发学生学习兴趣，让学生体会到数学来源于生活，生活中处处充满数学.二、探究活动1问题1：像×这样，是两个二次根式的积，怎样计算？让我们从特殊情况开始．填空：（1）＝______，＝______；（2）＝______，＝______；（3）＝______，＝______.登陆优教平台，点击“【探究动画】二次根式乘法公式”操作、演示、探究.追问1：从上述运算的结果中，你有什么发现？你觉得自己发现的结果能推广到一般吗？如果能，请写出你的结论．师生互动设计：学生独立完成计算、获得运算法则的猜想，交流结论．教师与学生一起讨论．设计意图：通过具体数值运算，归纳抽象出二次根式乘法的运算法则．一般地，二次根式的乘法法则是·＝．追问2：二次根式的乘法法则中的字母的取值范围是什么？师生互动设计：完善二次根式的乘法法则：·＝ (a≥0，b≥0)设计意图：通过条件a≥0，b≥0，培养学生思维的严谨性．追问3：你能试着说说上述公式成立的理由吗？师生互动设计：教师引导学生思考，因为(·)2＝()2·()2＝ab，所以·是ab的平方根．又因为a≥0，b≥0，≥0，≥0，所以·是ab的算术平方根，即·＝ (a≥0，b≥0)．设计意图：从被开方数是完全平方数的二次根式相乘出发，观察、发现二次根式的乘法法则．对于学有余力的学生，要让他们理解法则的合理性．三、典型例题计算：(1)；(2)；(3)2．．解：(1)；(2)；(3) .师生活动：教师进行规律总结：①确定符号；②如果根号前有系数，就把系数相乘，仍旧作为二次根号前的系数；③二次根式的运算结果，一定要进行化简.化简二次根式，就是把被开方数中的平方数（或平方式）从根号里开出来.因此，要先将被开方数因数分解（或因式分解）凑出平方数（或平方式）.设计意图：运算二次根式的乘法法则进行运算，经历被开方数从正整数，正分数和字母的变化，了解二次根式的乘法法则适用的范围.让学生运用法则进行简单的二次根式的乘法运算，以检验法则的掌握情况.四、跟踪训练1.计算：(1) ；(2) ．解：(1) ；(2) ．2.计算：．设计意图：完成课前引入的题目.五、探究活动2问题2：可以写成两个根式相乘的形式吗？可以写成哪几种形式？师生活动：一般地，二次根式的乘法法则是·＝ (a≥0，b≥0)．二次根式的乘法法则逆向也成立！即设计意图：对二次根式的乘法法则逆向探究，乘法法则反过来就是积的算术平方根的性质，性质是为运算服务的，积的算术平方根的性质将积的算术平方根分解成几个因数或因式的算术平方根的积.六、典型例题化简：(1)；(2)；(3)．解：(1)；(2)；(3)设计意图：被开方数含有的形式，根据＝a(a≥0)将a移到根号外．教学中，教师要引导学生说出每一步的依据，避免在运算中出现错误．七、跟踪训练化简：（1）；（2）；（3）．设计意图：可以让学生体会乘法法则的不同应用；巩固训练要求学生在独立计算后，进行自我评价、互评，把运算法则转化为运算技能．八、课堂小结1.二次根式乘法法则是什么？2.积的算术平方根的性质是什么？3.在二次根式的乘法运算中需要注意什么？设计意图：学生组内交流，归纳，补充.发挥学生的主体意识，培养学生的归纳能力.培养学生对知识的总结归纳能力，帮助学生更好地建立知识结构.九、随堂检测1.的值等于（ ）A ．64B ．32C ．16D ．8 2.下列各式中不成立的是（ ） A ．B ．C ．D ．3.使等式成立的x 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．4. 计算并完成填空： （1）＝_________________；（2）＝_________________.设计意图：检测学生的课堂学习效果.十、思维拓展（若班级整体掌握情况良好，可进行提高练习）式子3(0)ax a -->化简的结果是（ ）A.x ax -B.ax --C.axD.ax -十一、课后作业1.必做题优教平台“同步课堂-课堂教学-16.2 二次根式的乘除-课程资源库”中的 《16.2 课时1 二次根式的乘法》基础训练.2.开放题观察下列各式及其验证过程：33223322;33.3388222=233333333888+=+++验证：按照上面结论猜想4415的结果，并写出验证过程；34441515444==4151515=++解析：验证：。
人教版八年级数学下册16.2二次根式的乘除优秀教学案例
1.通过探究二次根式的乘除运算，培养学生的逻辑思维能力和运算能力。
2.运用小组合作、讨论交流的方式，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
3.引导学生运用数形结合的方法，通过图形直观地理解二次根式的乘除运算。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣和自信心，激发学生学习数学的内在动力。
针对以上问题，我制定了以下教学策略，以提高学生的学习效果和解决问题的能力。
二、教学目标
（一）知识与技能
1.理解二次根式的乘除法则，能够正确进行二次根式的乘除运算。
2.掌握二次根式的性质和化简方法，能够将二次根式进行化简。
3.能够运用二次根式的乘除运算解决实际问题，提高运用数学知识解决实际问题的能力。
2.二次根式的化简方法：引导学生总结二次根式的化简方法，掌握提取公因数、应用平方差公式等技巧，提高解题效率。
3.实际问题解决：引导学生总结如何运用二次根式的乘除运算解决实际问题，培养学生的应用能力和解决问题的能力。
（五）作业小结
1.布置作业：设计具有针对性和实践性的作业，让学生巩固和应用所学知识，提高学生的实际操作能力。
2.培养学生勇于探索、坚持不懈的学习精神，培养学生的自主学习能力。
3.通过对实际问题的解决，让学生体验到数学与生活的紧密联系，培养学生的应用意识和社会责任感。
作为一名特级教师，我深知教学目标的重要性，它不仅是教学活动的出发点和归宿，也是评价教学效果的重要依据。在教学过程中，我将紧紧围绕以上教学目标，采用多种教学方法和手段，引导学生积极参与，主动探究，使学生在知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观等方面得到全面发展。
人教版八年级数学下册16.2二次根式的乘除优秀教学案例
一、案例背景
《16.2二次根式的乘除》作业设计方案-初中数学人教版12八年级下册
《二次根式的乘除》作业设计方案（第一课时）一、作业目标通过本作业的设计与完成，学生应掌握二次根式的乘除基本法则，能够熟练运用这些法则进行二次根式的化简与计算，并能够解决简单的实际问题。
同时，通过作业的完成，培养学生的数学思维能力和自主学习能力。
二、作业内容本作业内容主要围绕二次根式的乘除进行设计，具体包括以下内容：1. 基础练习：包括二次根式乘除的基本法则，如根号与根号相乘、根号与常数相乘等。
通过大量的练习，使学生熟练掌握这些基本法则。
2. 复杂计算：设计一些较为复杂的二次根式乘除计算题，如涉及多个根式、分数根式等。
通过这些题目的练习，使学生能够灵活运用所学知识，提高解题能力。
3. 应用题：设计一些实际问题的情境，要求学生运用所学知识进行二次根式的乘除计算，如测量物体长度、计算面积等。
通过解决实际问题，使学生感受到数学知识的实用性。
4. 探究题：设计一些具有探究性的题目，如让学生自行设计二次根式的乘除计算题、探索不同计算方法等。
通过探究题的练习，培养学生的创新意识和自主学习能力。
三、作业要求1. 基础练习部分要求学生对每个法则进行熟练掌握，并能够独立完成相关练习题。
2. 复杂计算部分要求学生能够灵活运用所学知识，解决较为复杂的计算问题。
在解题过程中，要注重思路的清晰和计算的准确性。
3. 应用题部分要求学生能够将所学知识应用到实际问题中，注重实际问题的分析和解决能力。
4. 探究题部分要求学生发挥自己的创新意识和自主学习能力，积极思考和探索不同的解题方法。
四、作业评价教师根据学生的作业完成情况进行评价，主要从以下几个方面进行：1. 对基础知识的掌握程度；2. 解题思路的清晰程度；3. 计算的准确性；4. 实际问题的分析和解决能力；5. 探究题的完成情况和创新性。
五、作业反馈教师根据学生的作业完成情况，给予相应的反馈和建议。
对于掌握不好的部分，教师要进行重点讲解和辅导；对于表现优秀的学生，要给予肯定和鼓励，并引导他们进一步拓展和深化所学知识。
2023年人教版八年级数学下册第十六章《二次根式的乘除(3)》导学案 (2)
新人教版八年级数学下册第十六章《二次根式的乘除（3）》导学案课题16.2 二次根式的乘除（3）授课时间课型新授二次修改意见课时5 授课人科目数学主备教学目标知识与技能1、理解最简二次根式的概念。
2、把二次根式化成最简二次根式．3、熟练进行二次根式的乘除混合运算。
过程与方法二次根式的乘除法法则并能解决具体问题。
情感态度价值观培养学生的归纳探索能力。
教材分析重难点重点：最简二次根式的运用。
难点：会判断二次根式是否是最简二次根式和二次根式的乘除混合运算。
教学设想教法先学后教导学法学法小组合作学习教具小黑板课堂设计一、目标展示1、理解最简二次根式的概念。
2、把二次根式化成最简二次根式．3、熟练进行二次根式的乘除混合运算。
二，预习检测1、化简（1）496x= （2）3227= （3）35= (4）3227=2、结合上题的计算结果，回顾前两节中利用积、商的算术平方根的性质化简二次根式达到的要求是什么？三，质疑探究上面计算题1的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特点：1．被开方数不含分母；2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．四，精讲点拨1、化简:(1)5312(2) 2442x y x y+ (3) 238x y (4)2082、计算：521312321⨯÷五，当堂检测1、选择题：如果xy（y>0）是二次根式，化为最简二次根式是（）．A．xy（y>0） B．xy（y>0）C．xyy（y>0） D．以上都不对3、计算：（1）2147431⨯÷ (2)21541)74181(2133÷-⨯六、作业布置板书设计 16.2 二次根式的乘除（3）一、预习检测二、质疑探究三、精讲点拨四·当堂检测教学反思。