第3章 蛮力法资料
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蛮力法
C( n )
i 0 nm
1 [(m 1) 1] (n m 1)m
j 0 i 0
m 1
nm
第三章 蛮力法
3.2 最近对问题 算法：BruteForceClosetPoints(P)
//该算法实现了蛮力法球平面中距离最近的两个点 //输入：一个n个(n>1)个点的列表，P1=（X1，Y1）…… ，Pn=（Xn，Yn） //输出：最近的两个点得下标，index1和index2
C( n )
n 1 i 1
1
i 1 j i 1k 1 n n) n( n i )
j i 1
n[(n 1)(n 2) 1] n 2 ( n 1) / 2
第三章 蛮力法
3.4 旅行商问题 算法：TSP(P[1..n],V[1..n][1..n])
C( n )
i 1 n 1
j i 1
2 [2(n i)] 2[(n 1 1)(n 1)] / 2 n(n 1)
i 1
n
n 1
第三章 蛮力法
3.3 凸包问题 算法：BruteForceConvexHull(P)
//该算法实现了蛮力法求平面中距离最近的两个点 //输入：一个n个(n>1)个点的列表，P1=（X1，Y1）…… ，Pn=（Xn，Yn） //输出：最小凸集合集合S
2 3 n C( n) c11 cn cn cn 2n 1 n
第三章 蛮力法
3.4 旅行商问题 效率分析： TSP(P[1..n],V[1..n][1..n]) //对于具有n个节点的哈密顿回路而言，必须生成一个由n+1 个节点构成的序列，其入口和出口假设为节点1，那么蛮 力法必须生成所有其他的n-1个节点构成一条完整的路径 //显然，对于这样一个算法而言，蛮力法求旅行商问题总是 一个效率为θ((n-1)!)的算法
i 0 nm
1 [(m 1) 1] (n m 1)m
j 0 i 0
m 1
nm
第三章 蛮力法
3.2 最近对问题 算法：BruteForceClosetPoints(P)
//该算法实现了蛮力法球平面中距离最近的两个点 //输入：一个n个(n>1)个点的列表，P1=（X1，Y1）…… ，Pn=（Xn，Yn） //输出：最近的两个点得下标，index1和index2
C( n )
n 1 i 1
1
i 1 j i 1k 1 n n) n( n i )
j i 1
n[(n 1)(n 2) 1] n 2 ( n 1) / 2
第三章 蛮力法
3.4 旅行商问题 算法：TSP(P[1..n],V[1..n][1..n])
C( n )
i 1 n 1
j i 1
2 [2(n i)] 2[(n 1 1)(n 1)] / 2 n(n 1)
i 1
n
n 1
第三章 蛮力法
3.3 凸包问题 算法：BruteForceConvexHull(P)
//该算法实现了蛮力法求平面中距离最近的两个点 //输入：一个n个(n>1)个点的列表，P1=（X1，Y1）…… ，Pn=（Xn，Yn） //输出：最小凸集合集合S
2 3 n C( n) c11 cn cn cn 2n 1 n
第三章 蛮力法
3.4 旅行商问题 效率分析： TSP(P[1..n],V[1..n][1..n]) //对于具有n个节点的哈密顿回路而言，必须生成一个由n+1 个节点构成的序列，其入口和出口假设为节点1，那么蛮 力法必须生成所有其他的n-1个节点构成一条完整的路径 //显然，对于这样一个算法而言，蛮力法求旅行商问题总是 一个效率为θ((n-1)!)的算法
蛮力法
搜索所有的解空间 搜索所有的路径 直接计算 模拟和仿真
一个简单的例子——百元买百鸡问题
3.1.5 蛮力法解题步骤
用蛮力法解决问题，通常可以从两个方面进行算 法设计：
找出枚举范围：分析问题所涉及的各种情况。 找出约束条件：分析问题的解需要满足的条件，并
用逻辑表达式表示。
逻辑清晰，编写程序简洁 对于一些重要的问题（比如：排序、查找、矩阵 乘法和字符串匹配），可以产生一些合理的算法 解决问题的实例很少时，可以花费较少的代价 可以解决一些小规模的问题（使用优化的算法没 有必要，而且某些优化算法本身较复杂） 可以作为其他高效算法的衡量标准
3.1.4 使用蛮力法的几种情况
问题描述：旅行家要旅行n个城市然后回到出发 城市，要求各个城市经历且仅经历一次，并要求 所走的路程最短。该问题又称为货郎担问题、邮 递员问题、售货员问题，是图问题中最广为人知 的问题。 用蛮力法解决TSP问题，可以找出所有可能的旅 行路线，从中选取路径长度最短的简单回路。 求解: 一个加权连通图中的最短哈密顿回路问题。
2.2.1 如果weight+wj<C，则 weight=weight+wj;value=value+vj； 2.2.2 否则，转步骤2考察下一个子集；
2.3 如果maxValue<value，则maxValue=value；S=T;
3. 输出子集S中的各元素。
3.2.4 TSP——图问题
思考：求所有的三位数,它除以11所得的余数等于 它的三个数字的平方和。——找出枚举范围和约 束条件
分析：
枚举范围：100~999，共900个。 约束条件：设三位数的百位、十位、个位的数字分 别为x，y，z。则有x2+y2+z2≤10,进而1≤x≤3, 0≤y≤3, 0≤z≤3。
蛮力法、动态规划法 求解01背包问题
v[i][j]=values[i]+v[i-1][j-weigths[i]];
else
v[i][j]=v[i-1][j];
}
else v[i][j]=v[i-1][j];
}
return v[n][m];
}
int main()
{
int m,n;int i,j;
cout<<"请输入背包的承重量:"<<endl;
2)复杂度分析:2n
2、动态规划法
1)基本思想:Dynamic programming is a technique for solving problems with overlapping subproblems.The function:
V(i,0)=V(0,j)=0;(1)
V(i-1,j)j<w
if (cur_weight <= capacity && cur_value > max_value) {
max_value = cur_value;
}
return;
}
c[d] = 0;
MFKnapsack(capacity, values, weights, c,
d + 1, max_value);
cout << MFKnapsack(capacity, values, weights, n) << endl;
return 0;
}
(2)Dynamic Programming
#include<iostream.h>
#include<string.h>
int v[10][100];//对应每种情况的最大价值
else
v[i][j]=v[i-1][j];
}
else v[i][j]=v[i-1][j];
}
return v[n][m];
}
int main()
{
int m,n;int i,j;
cout<<"请输入背包的承重量:"<<endl;
2)复杂度分析:2n
2、动态规划法
1)基本思想:Dynamic programming is a technique for solving problems with overlapping subproblems.The function:
V(i,0)=V(0,j)=0;(1)
V(i-1,j)j<w
if (cur_weight <= capacity && cur_value > max_value) {
max_value = cur_value;
}
return;
}
c[d] = 0;
MFKnapsack(capacity, values, weights, c,
d + 1, max_value);
cout << MFKnapsack(capacity, values, weights, n) << endl;
return 0;
}
(2)Dynamic Programming
#include<iostream.h>
#include<string.h>
int v[10][100];//对应每种情况的最大价值
蛮力法的魅力
蛮力法的魅力摘要：蛮力法是我们算法中最常使用的算法，虽然巧妙和高效的算法很少来自于蛮力法，但是蛮力法依然是一种重要的算法设计技术。
在实际理论上，蛮力法可以解决可计算领域的各种问题，只是效率的高低不同而已。
因此蛮力法经常用来解决一些较小规模的问题。
蛮力法对于一些重要的问题可以产生一些合理的算法，他们具备一些实用价值，而且不受问题规模的限制。
蛮力法也可以作为某类问题时间性能的底限，来衡量同样问题的更高效算法。
本文将对蛮力法进行深入了解，发掘出蛮力法的价值。
关键字：蛮力法效率算法应用简单结合引言：蛮力法，由于对于解决一些问题时的低效，不够有技巧性，一直为人们所“诟病”。
但是，遍观我们所学的算法，只有蛮力法是可以适合于任何问题的。
而且，简单的招式，练到极致，就是绝招。
我们在解决的问题的时候，首先考虑的也是蛮力法。
只有当蛮力法不能高效处理问题时，我们才会思考其他算法。
这也就说明，蛮力法对于我们设计算法，仍是必不可少的。
1 蛮力法的原理顾名思义，蛮力法即是顺序往下寻找方法，直到问题的解决。
它所依赖的技术是扫描技术，关键是依次处理所有元素。
蛮力法的思想非常简单，没有很多条件的限制，比如动态规划法，必须满足最有性原理才可以使用。
它的方法上也没有缺陷，对于分治法，一旦子问题的规模不同，便不能在使用。
而蛮力法则没有这个要求。
因此，简单，易上手，是蛮力法的基本原理。
1 蛮力法与其他算法的比较大部分算法都是在蛮力法的基础上改进而来的。
这里比较蛮力法中的冒泡排序与分治法中的快速排序。
对于蛮力法，是所以元素都要经过比较之后再排序，显然这是不可取的。
比如2比1大，3比2大，那1和3就没必要再进行比较。
快速排序，就是有选择性的进行比较。
将序列分为两个子序列，用递归实现，从而使得算法的时间复杂度变为nlog2n，这就是技巧的体现（减治法也是如此），从中也可以看出，在蛮力法的基础上，我们可以改造出更好的算法，体现了蛮力法的重要性。
蛮力算法
维数组a[n],每个元素记录一个锁的状 态，1为被锁上，0为被打开。 2）用数学运算方便模拟开关锁的技巧，对i号锁的一次开 关锁可以转化为算术运算：a[i]=1-a[i]。 3）第一次转动的是1，2，3，„„n号牢房； 第二次转动的是2，4，6，„„号牢房； 第三次转动的是3，6，9，„„号牢房； „„ 第 i 次转动的是 i ， 2i ， 3i ， 4i ，„„号牢房，是起点 为i，公差为i的等差数列。 4）不做其它的优化，用蛮力法通过循环模拟狱吏的开关 锁过程，最后当第i号牢房对应的数组元素a[i]为0 时，该牢房的囚犯得到大赦。
17
main1( ) { int *a,i,j,n; input(n); a=calloc(n+1,sizeof(int)); //申请存储空间 for (i=1; i<=n;i++) a[i]=1; for (i=1; i<=n;i++) for (j=i; j<=n;j=j+i) a[i]=1-a[i]; for (i=1; i<=n;i++) if (a[i]=0) print(i,”is free.”); } 算法分析1：以一次开关锁计算，算法的时间复杂度为 n(1+1/2+1/3+……+1/n)=O(nlogn)。
3
【例3.1】百钱百鸡问题。中国古代数学家张丘建在《算经》 中提出了著名的“百钱百鸡问题”：鸡翁一，值钱五；鸡母一， 值钱三；鸡雏三，值钱一；百钱买百鸡，翁、母、雏各几何? 算法设计1： 通过对问题的理解，可能会想到列出两个三元一次方程， 去解这个不定解方程，就能找出问题的解。这确实是一种办法， 但这里我们要用“懒惰”的枚举策略进行算法设计： 设x，y，z分别为公鸡、母鸡、小鸡的数量。 尝试范围：由题意给定共100钱要买百鸡，若全买公鸡最多 买100/5=20只，显然x的取值范围1~20之间；同理，y的取值范 围在1~33之间，z的取值范围在1~100之间。 约束条件： x+y+z=100 且 5*x+3*y+z/3=100
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main1( ) { int *a,i,j,n; input(n); a=calloc(n+1,sizeof(int)); //申请存储空间 for (i=1; i<=n;i++) a[i]=1; for (i=1; i<=n;i++) for (j=i; j<=n;j=j+i) a[i]=1-a[i]; for (i=1; i<=n;i++) if (a[i]=0) print(i,”is free.”); } 算法分析1：以一次开关锁计算，算法的时间复杂度为 n(1+1/2+1/3+……+1/n)=O(nlogn)。
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【例3.1】百钱百鸡问题。中国古代数学家张丘建在《算经》 中提出了著名的“百钱百鸡问题”：鸡翁一，值钱五；鸡母一， 值钱三；鸡雏三，值钱一；百钱买百鸡，翁、母、雏各几何? 算法设计1： 通过对问题的理解，可能会想到列出两个三元一次方程， 去解这个不定解方程，就能找出问题的解。这确实是一种办法， 但这里我们要用“懒惰”的枚举策略进行算法设计： 设x，y，z分别为公鸡、母鸡、小鸡的数量。 尝试范围：由题意给定共100钱要买百鸡，若全买公鸡最多 买100/5=20只，显然x的取值范围1~20之间；同理，y的取值范 围在1~33之间，z的取值范围在1~100之间。 约束条件： x+y+z=100 且 5*x+3*y+z/3=100
第3章 蛮力法
结果： 结果： 1. 冒泡排序算法效率属于 Θ( n 2 ) 类型；(与选择排序一样 类型； 与选择排序一样 与选择排序一样) 2. 键值交换次数在最坏情况下（输入降序列表，每次比较后均要交换） 键值交换次数在最坏情况下（输入降序列表，每次比较后均要交换） 这比选择排序差。因此， 和键值比较次数一样即均为 Θ( n2 ) ，这比选择排序差。因此，该算法 在简单排序问题上不是一个好的选择。 在简单排序问题上不是一个好的选择。“如果不是因为它有一个好记 的名字，我们很可能对它不会有任何的了解” 的名字，我们很可能对它不会有任何的了解”。
蛮力算法策略： 滑动匹配 滑动匹配) 蛮力算法策略：(滑动匹配 模式在文本上从左向右滑动一个字符，比较对应字符（从左到右）， 模式在文本上从左向右滑动一个字符，比较对应字符（从左到右）， 个字符都已匹配，算法停止。否则，继续滑动、比较。 若全部 m 个字符都已匹配，算法停止。否则，继续滑动、比较。 注意： (n注意：最后一轮比较的起始位置在 (n-m) 处：(n-1)-(n-m)+1=m
p0 ... p j ... pm −1 ⇒
b
b
b
t n− m ... t n−1 1 24 4 3
m个
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字符串匹配 (String Matching) 的蛮力算法 BruteForceStringMatch(T [0...n − 1], P[0...m − 1]) { for ( i ← 0) to ( n − m ) do // 模式P滑动循环 { // while结束时j < m : 进入下一轮 i 循环 j ← 0; // 每次比较从P[0]开始 while ( j < m ) and ( P[ j ] = T [i + j ]) do { j ← j + 1; } // 比较下一个字符 if ( j = m ) return ( i ); // 考虑while结束时 j 值 return } return ( −1); // 滑动到文本尾,没找到匹配 } // 可用限位:模式添加到文本最后。去掉j < m
蛮力法
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2 其它范例
蛮力法的表现形式非常多。本节将通过蛮力策略， 蛮力法的表现形式非常多。本节将通过蛮力策略，用 算法模拟问题中所描述的全部过程和全部状态， 算法模拟问题中所描述的全部过程和全部状态，来找出问 题的解，并与经过数学建模后的算法进行效率上的比较。 题的解，并与经过数学建模后的算法进行效率上的比较。
8
1 枚举法
枚举法（ 穷举法） 是蛮力策略的一种表现形式， 枚举法 （ 穷举法 ） 是蛮力策略的一种表现形式 ， 根据问题 中条件将可能情况一一列举出来， 逐一尝试从中找出满足 中条件将可能情况一一列举出来 ， 问题条件的解。 但有时一一列举出的情况数目很大， 问题条件的解 。 但有时一一列举出的情况数目很大 ， 则需 要进一步考虑， 排除一些明显不合理的情况， 要进一步考虑 ， 排除一些明显不合理的情况 ， 尽可能减少 问题可能解的列举数目。 问题可能解的列举数目。 通常从两个方面进行算法设计： 通常从两个方面进行算法设计： 1）找出枚举范围：分析问题所涉及的各种情况。 找出枚举范围：分析问题所涉及的各种情况。 找出约束条件：分析问题的解需要满足的条件， 2）找出约束条件：分析问题的解需要满足的条件，并 用逻辑表达式表示。 用逻辑表达式表示。
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main（） （） {int A,B,C,D,E,F; for(A=3;A<=9;A++) for(D=1;D<=9;D++) { E = D*100000+D*10000+D*1000+D*100+D*10+D; if(E mod A=0) F=E\A; if(F\10000=A and (F mod 100)\10=A) and (F\1000=F mod 10) print( F，”*”，A，”=”，E); ， ” ， ， } }
2 其它范例
蛮力法的表现形式非常多。本节将通过蛮力策略， 蛮力法的表现形式非常多。本节将通过蛮力策略，用 算法模拟问题中所描述的全部过程和全部状态， 算法模拟问题中所描述的全部过程和全部状态，来找出问 题的解，并与经过数学建模后的算法进行效率上的比较。 题的解，并与经过数学建模后的算法进行效率上的比较。
8
1 枚举法
枚举法（ 穷举法） 是蛮力策略的一种表现形式， 枚举法 （ 穷举法 ） 是蛮力策略的一种表现形式 ， 根据问题 中条件将可能情况一一列举出来， 逐一尝试从中找出满足 中条件将可能情况一一列举出来 ， 问题条件的解。 但有时一一列举出的情况数目很大， 问题条件的解 。 但有时一一列举出的情况数目很大 ， 则需 要进一步考虑， 排除一些明显不合理的情况， 要进一步考虑 ， 排除一些明显不合理的情况 ， 尽可能减少 问题可能解的列举数目。 问题可能解的列举数目。 通常从两个方面进行算法设计： 通常从两个方面进行算法设计： 1）找出枚举范围：分析问题所涉及的各种情况。 找出枚举范围：分析问题所涉及的各种情况。 找出约束条件：分析问题的解需要满足的条件， 2）找出约束条件：分析问题的解需要满足的条件，并 用逻辑表达式表示。 用逻辑表达式表示。
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main（） （） {int A,B,C,D,E,F; for(A=3;A<=9;A++) for(D=1;D<=9;D++) { E = D*100000+D*10000+D*1000+D*100+D*10+D; if(E mod A=0) F=E\A; if(F\10000=A and (F mod 100)\10=A) and (F\1000=F mod 10) print( F，”*”，A，”=”，E); ， ” ， ， } }
3-蛮力法
最佳效率：Tbest (n) = 1 最差效率：Tworst(n) = n + 1 问：为何定义 A 数组为 n+1 维？ 答：有一个位置放限位器 问：若输入有序，算法可改进？ 答：遇到 ≤ 或 ≥ 查找键元素， 立即停止查找。
14
字符串匹配
问题：给定一个n个字符组成的串，称为文本，一个 m（m≤n）个字符组成的串称为模式，从文本中寻找 匹配模式的子串。
16
字符串匹配
流程图或伪代码
算法 bruteForceStringMatch(T[0..n-1],P[0..m-1]) //蛮力字符串匹配算法实现 //输入1：一个n个字符的数组T[0..n-1]代表一段文本 //输入2：一个m个字符的数组P[0..m-1]代表一个模式 //输出：若查找成功，返回文本第一个匹配子串中的第一 个字符的位置，否则返回-1 for i←0 to n-m do j←0 while j<m and P[j]=T[i+j] j←j+1 if j=m return i return -1 17
8
排序问题
正确性证明 算法分析
输入规模：序列元素个数n 基本操作：比较次数A[j] < A[min] 影响基本操作执行次数的因素：n 建立基本操作求和表达式 利用求和公式分析算法时间复杂性
T ( n)
n 2 n 1 i Байду номын сангаас0 j i 1
1 [n (i 1)] [n i 1]
7
排序问题
小规模实例分析
1 89 17 17 17 17 17 17
2 45 45 29 29 29 29 29
3 68 68 68 34 34 34 34
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字符串匹配
问题：给定一个n个字符组成的串，称为文本，一个 m（m≤n）个字符组成的串称为模式，从文本中寻找 匹配模式的子串。
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字符串匹配
流程图或伪代码
算法 bruteForceStringMatch(T[0..n-1],P[0..m-1]) //蛮力字符串匹配算法实现 //输入1：一个n个字符的数组T[0..n-1]代表一段文本 //输入2：一个m个字符的数组P[0..m-1]代表一个模式 //输出：若查找成功，返回文本第一个匹配子串中的第一 个字符的位置，否则返回-1 for i←0 to n-m do j←0 while j<m and P[j]=T[i+j] j←j+1 if j=m return i return -1 17
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排序问题
正确性证明 算法分析
输入规模：序列元素个数n 基本操作：比较次数A[j] < A[min] 影响基本操作执行次数的因素：n 建立基本操作求和表达式 利用求和公式分析算法时间复杂性
T ( n)
n 2 n 1 i Байду номын сангаас0 j i 1
1 [n (i 1)] [n i 1]
7
排序问题
小规模实例分析
1 89 17 17 17 17 17 17
2 45 45 29 29 29 29 29
3 68 68 68 34 34 34 34
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index=i; for (j=i+1; j<=n; j++) //在无序区中找最小记录 if (r[j]<r[index]) index=j; if (index!=i) r[i]←→r[index]; //若最小记录不在最终位置则交换 } }
3.3.1 选择排序
3.3.2 起泡排序
2020/9/10
算法设计与分析--蛮力法
14
3.3.1 选择排序
选择排序第i趟排序从第i个记录开始扫描序列， 在n-i+1（1≤i≤n-1）个记录中找到关键码最小的记 录，并和第i个记录交换作为有序序列的第i个记录。
交换
r1 ≤r2 … … ≤ri-1 ri ri+1 … rmin … rn
2020/9/10
算法设计与分析--蛮力法
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改进的顺序查找
将待查值放在查找方向的尽头处，免去了在查找过 程中每一次比较后都要判断查找位置是否越界，从 而提高了查找速度。
哨兵
0123456789 k 10 15 24 6 12 35 40 98 55
查找方向
i
2020/9/10
算法设计与分析--蛮力法
while (i>0 && r[i]!=k)
i--;
return i;
}
算法3.1的基本语句是i>0和r[i]!=k，其执行次数为:
n
i 1
pibi
n i 1
pici
1 n
n i 1
(n
i
1)
1 n
n i 1
(n
i
1)
n
1
O(n)
其中pi是第i个元素的查找概率，而bi和ci分别是基本语句 i>0和r[i]!=k的执行次数
第3章 蛮力法
3.1 概述 3.2 查找问题中的蛮力法 3.3 排序问题中的蛮力法 3.4 组合问题中的蛮力法 3.5 图问题中的蛮力法 3.6 几何问题中的蛮力法
2020/9/10
算法设计与分析--蛮力法
1
3.1 概述
3.1.1 蛮力法的设计思想
蛮力法(穷举法)，是一种简单而直接地解决问题的方 法。设计思想：直接基于问题的描述。
12
3.2.2 串匹配问题 （略）
串匹配问题——给定两个串S=“s1s2…sn” 和T=“t1t2…tm”，在 主串S中查找子串T的过程称为串匹配，也称模式匹配。
➢ 串匹配问题属于易解问题。 ➢ 串匹配问题的特征：
（1）算法的一次执行时间不容忽视：问题规模 n 很大， 常常需要在大量信息中进行匹配； （2）算法改进所取得的积累效益不容忽视：串匹配操作 经常被调用，执行频率高。
0 1 23 456 7 8 9 10 15 24 6 12 35 40 98 55
查找方向
i
2020/9/10
算法设计与分析--蛮力法
8
算法3.1——顺序查找
int SeqSearch1(int r[ ], int n, int k) //数组r[1] ~ r[n]存放查找集合
{ i=n;
基本语句 ？
系数相差一半
n
i 1
pici
1 n
n i 1
(n i
1)Βιβλιοθήκη n 1 2O(n)
2020/9/10
算法设计与分析--蛮力法
11
❖ 一般观点： 用蛮力法设计的算法，都可以对算法的
第一个版本进行一定程度的改良，改进其时 间性能，但只能减少系数，而数量级不会改 变。
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算法设计与分析--蛮力法
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算法设计与分析--蛮力法
3
蛮力法所依赖的基本技术——扫描技术
关键——依次处理所有元素
基本的扫描技术——遍历 （1）集合的遍历 （2）线性表的遍历 （3）树的遍历 （4）图的遍历
2020/9/10
算法设计与分析--蛮力法
4
蛮力法也是一种重要的算法设计技术，原因如下：
（1）理论上，蛮力法可以解决可计算领域的各 种问题。
2020/9/10
算法设计与分析--蛮力法
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3.3 排序问题中的蛮力法
排序：给定一个记录序列(r1,r2,…,rn)，其相应的 关键字分别为(k1,k2,…,kn) ，排序是将这些记录 排列成顺序为(rs1,rs2,…,rsn)的一个序列，使得相 应的关键字满足ks1ks2 … ksn(升序或非降序)或 ks1 ks2 … ksn (降序或非升序) 。
10
算法3.2——改进的顺序查找
int SeqSearch2(int r[ ], int n, int k) //数组r[1] ~ r[n]存放查找集合 { r[0]=k; i=n; while (r[i]!=k)
i --; return i; }
算法3.2的基本语句是r[i]!=k，其执行次数为: 数量级相同，
有序区 已经位于最终位置
无序区 rmin为无序区的最小记录
2020/9/10
算法设计与分析--蛮力法
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算法3.6——选择排序
void SelectSort(int r[ ], int n) //数组下标从1开始 {
for (i=1; i<=n-1; i++) //对n个记录进行n-1趟简单选择排序 {
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算法设计与分析--蛮力法
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3.2 查找问题中的蛮力法
3.2.1 顺序查找 3.2.2 串匹配问题
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3.2.1 顺序查找
顺序查找从表的一端向另一端逐个将元素与给
定值进行比较，若相等，则查找成功，给出该元素 在表中的位置；若整个表检测完仍未找到与给定值 相等的元素，则查找失败，给出失败信息。
例：计算an
an=a×a×…×a n次
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应用实例: 计算an的值是RSA算法的主要组成 部分。 RSA算法的加密和解密过程都需要一 个整数的整数次幂再取模。
例如，设公钥为(5,119)，私钥为(77,119)，明 文m=19，则加密得密文c为：
c=195 mod 119=2 476 099 mod 119=66 解密得明文m为： m=6677 mod 119=19 计算an算法的效率直接影响到RSA算法的性能。
（2）蛮力法经常用来解决一些较小规模的问 题。
（3）对于一些重要的问题（如：排序、查找） 蛮力法可以产生一些合理的算法。
（4）蛮力法可以作为某类问题时间性能的底 限，来衡量同样问题的更高效算法。
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举例：百元买百鸡问题
已知公鸡5元一只，母鸡3元一只，小 鸡1元三只，用100元钱买100只鸡，问公鸡、 母鸡、小鸡各多少只？
3.3.1 选择排序
3.3.2 起泡排序
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3.3.1 选择排序
选择排序第i趟排序从第i个记录开始扫描序列， 在n-i+1（1≤i≤n-1）个记录中找到关键码最小的记 录，并和第i个记录交换作为有序序列的第i个记录。
交换
r1 ≤r2 … … ≤ri-1 ri ri+1 … rmin … rn
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改进的顺序查找
将待查值放在查找方向的尽头处，免去了在查找过 程中每一次比较后都要判断查找位置是否越界，从 而提高了查找速度。
哨兵
0123456789 k 10 15 24 6 12 35 40 98 55
查找方向
i
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while (i>0 && r[i]!=k)
i--;
return i;
}
算法3.1的基本语句是i>0和r[i]!=k，其执行次数为:
n
i 1
pibi
n i 1
pici
1 n
n i 1
(n
i
1)
1 n
n i 1
(n
i
1)
n
1
O(n)
其中pi是第i个元素的查找概率，而bi和ci分别是基本语句 i>0和r[i]!=k的执行次数
第3章 蛮力法
3.1 概述 3.2 查找问题中的蛮力法 3.3 排序问题中的蛮力法 3.4 组合问题中的蛮力法 3.5 图问题中的蛮力法 3.6 几何问题中的蛮力法
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3.1 概述
3.1.1 蛮力法的设计思想
蛮力法(穷举法)，是一种简单而直接地解决问题的方 法。设计思想：直接基于问题的描述。
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3.2.2 串匹配问题 （略）
串匹配问题——给定两个串S=“s1s2…sn” 和T=“t1t2…tm”，在 主串S中查找子串T的过程称为串匹配，也称模式匹配。
➢ 串匹配问题属于易解问题。 ➢ 串匹配问题的特征：
（1）算法的一次执行时间不容忽视：问题规模 n 很大， 常常需要在大量信息中进行匹配； （2）算法改进所取得的积累效益不容忽视：串匹配操作 经常被调用，执行频率高。
0 1 23 456 7 8 9 10 15 24 6 12 35 40 98 55
查找方向
i
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算法3.1——顺序查找
int SeqSearch1(int r[ ], int n, int k) //数组r[1] ~ r[n]存放查找集合
{ i=n;
基本语句 ？
系数相差一半
n
i 1
pici
1 n
n i 1
(n i
1)Βιβλιοθήκη n 1 2O(n)
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❖ 一般观点： 用蛮力法设计的算法，都可以对算法的
第一个版本进行一定程度的改良，改进其时 间性能，但只能减少系数，而数量级不会改 变。
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蛮力法所依赖的基本技术——扫描技术
关键——依次处理所有元素
基本的扫描技术——遍历 （1）集合的遍历 （2）线性表的遍历 （3）树的遍历 （4）图的遍历
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蛮力法也是一种重要的算法设计技术，原因如下：
（1）理论上，蛮力法可以解决可计算领域的各 种问题。
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3.3 排序问题中的蛮力法
排序：给定一个记录序列(r1,r2,…,rn)，其相应的 关键字分别为(k1,k2,…,kn) ，排序是将这些记录 排列成顺序为(rs1,rs2,…,rsn)的一个序列，使得相 应的关键字满足ks1ks2 … ksn(升序或非降序)或 ks1 ks2 … ksn (降序或非升序) 。
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算法3.2——改进的顺序查找
int SeqSearch2(int r[ ], int n, int k) //数组r[1] ~ r[n]存放查找集合 { r[0]=k; i=n; while (r[i]!=k)
i --; return i; }
算法3.2的基本语句是r[i]!=k，其执行次数为: 数量级相同，
有序区 已经位于最终位置
无序区 rmin为无序区的最小记录
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算法3.6——选择排序
void SelectSort(int r[ ], int n) //数组下标从1开始 {
for (i=1; i<=n-1; i++) //对n个记录进行n-1趟简单选择排序 {
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3.2 查找问题中的蛮力法
3.2.1 顺序查找 3.2.2 串匹配问题
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3.2.1 顺序查找
顺序查找从表的一端向另一端逐个将元素与给
定值进行比较，若相等，则查找成功，给出该元素 在表中的位置；若整个表检测完仍未找到与给定值 相等的元素，则查找失败，给出失败信息。
例：计算an
an=a×a×…×a n次
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应用实例: 计算an的值是RSA算法的主要组成 部分。 RSA算法的加密和解密过程都需要一 个整数的整数次幂再取模。
例如，设公钥为(5,119)，私钥为(77,119)，明 文m=19，则加密得密文c为：
c=195 mod 119=2 476 099 mod 119=66 解密得明文m为： m=6677 mod 119=19 计算an算法的效率直接影响到RSA算法的性能。
（2）蛮力法经常用来解决一些较小规模的问 题。
（3）对于一些重要的问题（如：排序、查找） 蛮力法可以产生一些合理的算法。
（4）蛮力法可以作为某类问题时间性能的底 限，来衡量同样问题的更高效算法。
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举例：百元买百鸡问题
已知公鸡5元一只，母鸡3元一只，小 鸡1元三只，用100元钱买100只鸡，问公鸡、 母鸡、小鸡各多少只？