余弦定理教学设计课件
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余弦定理课件全文
2ac cos C a2 b2 c2
2ab
问题10：余弦定理可以解决什么样的问题？
三、 定理应用
1、解三角形的概念：
一般地，三角形的三个角A,B,C和它们的对边 a, b, c 叫做三角形的6
个元素. 已知三角形的几个（3个及以上）元素，求其他元素的过程叫做解三 角形.
在 ABC中,CA=2,CB=5, ACB 60o ,求AB.
§6.4.3(1)余弦定理
一、 情境引入
如图：在A,B两地之间隔着一个山丘，现要 修一条隧道穿过山丘，测量人员在C点测得
CA=2km,CB=5km，ACB 60o .请问，
你能求出隧道AB的长度吗？
问题1：将这个实际问题转化为数学问题应该怎么描述？
A
在 ABC中,CA=2,CB=5,ACB 60o,求AB.
问题9：余弦定理和勾股定理有什么联系？ 勾股定理是余弦定理特殊情况，余弦定理是勾股定理的推广.
二、 新知探究 4、余弦定理的推论
c2 a2 b2 2abcosC b2 a2 c2 2ac cosB a2 b2 c2 2bc cos A
推论：
b2 c2 a2 cos A
2bc cos B a2 c2 b2
当c 3时，cos A b2 c2 a2 - 1 ，0o A 180 o , A 120 o ,C 30o
2bc
2
当c 6时，cos A b2 c2 a2 1 ，0o A 180 o , A 60o ,C 90o
2bc
2
综上所述，A 120 o , C 30o，c 3或 A 60o ,C 90o，c 6.
已知三角形的两边 a, b及其夹角 C，求第三边 c. A
①用向量表示几何元素
2ab
问题10：余弦定理可以解决什么样的问题？
三、 定理应用
1、解三角形的概念：
一般地，三角形的三个角A,B,C和它们的对边 a, b, c 叫做三角形的6
个元素. 已知三角形的几个（3个及以上）元素，求其他元素的过程叫做解三 角形.
在 ABC中,CA=2,CB=5, ACB 60o ,求AB.
§6.4.3(1)余弦定理
一、 情境引入
如图：在A,B两地之间隔着一个山丘，现要 修一条隧道穿过山丘，测量人员在C点测得
CA=2km,CB=5km，ACB 60o .请问，
你能求出隧道AB的长度吗？
问题1：将这个实际问题转化为数学问题应该怎么描述？
A
在 ABC中,CA=2,CB=5,ACB 60o,求AB.
问题9：余弦定理和勾股定理有什么联系？ 勾股定理是余弦定理特殊情况，余弦定理是勾股定理的推广.
二、 新知探究 4、余弦定理的推论
c2 a2 b2 2abcosC b2 a2 c2 2ac cosB a2 b2 c2 2bc cos A
推论：
b2 c2 a2 cos A
2bc cos B a2 c2 b2
当c 3时，cos A b2 c2 a2 - 1 ，0o A 180 o , A 120 o ,C 30o
2bc
2
当c 6时，cos A b2 c2 a2 1 ，0o A 180 o , A 60o ,C 90o
2bc
2
综上所述，A 120 o , C 30o，c 3或 A 60o ,C 90o，c 6.
已知三角形的两边 a, b及其夹角 C，求第三边 c. A
①用向量表示几何元素
第1课时 余弦定理(优秀经典公开课课件)
a2＋c2－b2
cos B＝______2_a_c_________，
a2＋b2－c2 cos C＝______2_a_b_________
导学 2 解三角形 一般地，三角形的三个角 A，B，C 和它们的对边 a，b，c 叫做三角形的 __元__素____．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做___解__三__角__形___．
题型三 判断三角形的形状(一题多变) [例 3] 在△ABC 中，若(a－c·cos B)·b＝(b－c·cos A)·a，判断△ABC 的形状．
[解析] (角化边)∵(a－c·cos B)·b＝(b－c·cos A)·a， ∴由余弦定理可得a－c·a2＋2ca2c－b2·b＝b－c·b2＋2cb2c－a2·a， 整理得(a2＋b2－c2)b2＝(a2＋b2－c2)a2， 即(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0， ∴a2＋b2－c2＝0 或 a2＝b2. ∴a2＋b2＝c2 或 a＝b. 故△ABC 为直角三角形或等腰三角形．
[基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在三角形中，勾股定理是余弦定理针对直角三角形的一个特例．( ) (2)余弦定理只适用于已知三边和已知两边及夹角的情况．( ) (3)已知三角形的三边求三个内角时，解是唯一的．( ) (4)在△ABC 中，若 b2＋c2＞a2，则∠A 为锐角．( )
A．60°
B．45°或 135°
C．120°
D．30°
(2)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 b2＝ac，c＝2a，则 cos
B＝( )
A．41
B．43
C．
2 4
D．
2 3
解析 (1)∵c2＝a2＋b2－2abcos C， ∴a2－c2＋b2＝2abcos C． ∴ab＝2abcos C． ∴cos C＝21.∴C＝60°. (2)cos B＝a2＋2ca2c－b2＝a2＋24aa·22－a 2a2＝43. 答案 (1)A (2)B
余弦定理 教学设计 ppt课件
解：由余弦定理的推论得
co A s b 2 c2 a 28.8 7 2 1.6 7 2 1 1.3 6 24 0.554,3 2 bc 2 8.8 7 1.6 71
A 56 20
cB o s a 2 c2 b 2 1.3 6 2 4 1.6 7 2 1 8.8 7 20.839,8 2 ac 2 1.3 6 1 4.6 71
a2=b2+c2－2bccosA
C
b2= a2+c2－2accosB
b
a
c2 =a2+b2－2abcosC A c B
推论：
cosAb2 c2 a2 2bc
coBs a2c2b2 2ac
coCsa2 b2 c2 2ab
C
b
a
Ac
B
利用余弦定理可 以解决什么类型 的三角形问题？
应用：已知两边和一个夹角，求第三边． 已知三条边求角度．
在abc中已知cbacabcb与ca的夹角为cc求边ccabbcaacb??????设babaccc??????2?babbaa??????2cabbacos222???cabbaccos2222????由向量减法的三角形法则得cbabacos????222???bac??abccbacos2222???babaccc??????2?babbaa??????2cabbacos222???cabbaccos2222????由向量减法的三角形法则得cbabacos222???????bac??探探究
解决实际问题
在△ABC中，已知AB=6km，BC=3.4km，
∠B=120o，求 AC
A
B
120°
解：由余弦定理得
A 2 C A 2 B B 2 C 2 A B B cC B os
co A s b 2 c2 a 28.8 7 2 1.6 7 2 1 1.3 6 24 0.554,3 2 bc 2 8.8 7 1.6 71
A 56 20
cB o s a 2 c2 b 2 1.3 6 2 4 1.6 7 2 1 8.8 7 20.839,8 2 ac 2 1.3 6 1 4.6 71
a2=b2+c2－2bccosA
C
b2= a2+c2－2accosB
b
a
c2 =a2+b2－2abcosC A c B
推论：
cosAb2 c2 a2 2bc
coBs a2c2b2 2ac
coCsa2 b2 c2 2ab
C
b
a
Ac
B
利用余弦定理可 以解决什么类型 的三角形问题？
应用：已知两边和一个夹角，求第三边． 已知三条边求角度．
在abc中已知cbacabcb与ca的夹角为cc求边ccabbcaacb??????设babaccc??????2?babbaa??????2cabbacos222???cabbaccos2222????由向量减法的三角形法则得cbabacos????222???bac??abccbacos2222???babaccc??????2?babbaa??????2cabbacos222???cabbaccos2222????由向量减法的三角形法则得cbabacos222???????bac??探探究
解决实际问题
在△ABC中，已知AB=6km，BC=3.4km，
∠B=120o，求 AC
A
B
120°
解：由余弦定理得
A 2 C A 2 B B 2 C 2 A B B cC B os
余弦定理优质示范课市公开课一等奖课件名师大赛获奖课件
的夹角为∠C，求边c.
c2 a2 b2 2ab cos C
c
解法一：向量法
AB CB CA
﹚
2
2
c | AB | AB CB CA
2
2
CB CA 2CA CB
a2 b2 2ab cos C
c2 a2 b2 2ab cos C
探 究： 在△ABC中，已知CB = a, AC= b，CB与CA
的夹角为∠C，求边c.
b cosAC, b sin C
c2 a2 b2 2ab cos C
办解法法二二：：作坐高标法法
b
c
c (b cos C a)2 (b sin C 0)2
C Da B
a,0
c b2 cos2 C 2ab cos C a2 b2 sin2 C
c2 a2 b2 2ab cos C
cos C a2 b2 c2
2ab
注意：（11、）熟已悉知定三理边的形，式求构三造个特角点，; 注意“平方”“夹角”“余
弦”等（22、）当已∠知C＝两9边0和时，它则们c的osC夹＝角0，，∴求c第2＝三a2＋边b，2，进即而余弦定 理是还勾股可定求理其的它推两广个，勾角股。定理是余弦定理的特例
SABC 12 bc sin A 12 ac sin B 12 ab sin C
5.运用正弦定理能够解决哪些解三角形的问题？
①已知 两角
-
②已知两边
。
任意一和边 其中一边和 的对角
ab sin A sin B
岛屿A
岛屿B
120°
?
岛屿C
用正弦定理能否直接求出 AC？
探 究： 在△ABC中，已知CB = a, CA= b，CB与CA
c2 a2 b2 2ab cos C
c
解法一：向量法
AB CB CA
﹚
2
2
c | AB | AB CB CA
2
2
CB CA 2CA CB
a2 b2 2ab cos C
c2 a2 b2 2ab cos C
探 究： 在△ABC中，已知CB = a, AC= b，CB与CA
的夹角为∠C，求边c.
b cosAC, b sin C
c2 a2 b2 2ab cos C
办解法法二二：：作坐高标法法
b
c
c (b cos C a)2 (b sin C 0)2
C Da B
a,0
c b2 cos2 C 2ab cos C a2 b2 sin2 C
c2 a2 b2 2ab cos C
cos C a2 b2 c2
2ab
注意：（11、）熟已悉知定三理边的形，式求构三造个特角点，; 注意“平方”“夹角”“余
弦”等（22、）当已∠知C＝两9边0和时，它则们c的osC夹＝角0，，∴求c第2＝三a2＋边b，2，进即而余弦定 理是还勾股可定求理其的它推两广个，勾角股。定理是余弦定理的特例
SABC 12 bc sin A 12 ac sin B 12 ab sin C
5.运用正弦定理能够解决哪些解三角形的问题？
①已知 两角
-
②已知两边
。
任意一和边 其中一边和 的对角
ab sin A sin B
岛屿A
岛屿B
120°
?
岛屿C
用正弦定理能否直接求出 AC？
探 究： 在△ABC中，已知CB = a, CA= b，CB与CA
余弦定理(公开课)PPT
习题一：证明余弦定理
总结词
通过已知的三角形边长和角度，证明 余弦定理的正确性。
详细描述
已知三角形ABC的三边长分别为a、b、c，对应 的角度分别为A、B、C。通过已知条件，我们 可以利用三角函数的基本性质，推导出余弦定 理的表达式，并证明其正确性。
习题二：利用余弦定理解三角形问题
总结词
利用余弦定理解三角形中的角度和边长问题。
几何学中的基础定理
余弦定理是几何学中的基础定理之一， 对于理解几何学中的其他定理和概念 有着重要的意义。
学习余弦定理的意义和收获
培养数学思维
学习余弦定理有助于培养数学 思维，提高分析和解决问题的
能力。
加深对三角形的理解
通过学习余弦定理，可以更深入地 理解三角形的性质和特点，更好地 掌握三角形的相关知识和应用。
在解决物理问题中的应用
力的合成与分解
在物理中，力可以视为向量，通过余弦定理，我们可以计算出力的合成或分解 后的结果。
运动学问题
在解决运动学问题时，我们经常需要计算速度、加速度等物理量，这些量可以 通过矢量运算得出，而余弦定理在矢量运算中有着重要的应用。
PART 05
习题和解答
REPORTING
WENKU DESIGN
04
在物理学中，余弦定理可以用于解决与力、运动和振 动相关的问题，如计算力的合成与分解、分析振动的 周期和频率等。
PART 03
余弦定理的证明
REPORTING
WENKU DESIGN
证明方法一：利用三角形的边长和余弦值关系
总结词
通过比较三角形边长和余弦值的平方，利用勾股定理和三角形的性质，推导出余 弦定理。
详细描述
给定三角形ABC的两边长a、b和夹角C，利用余弦定理可以求出第三边c的长度。同时，也可以利用余弦 定理求出三角形中的角度，如已知三边长a、b、c，可以求出角A、B、C的度数。
余弦定理 教学PPT课件
正弦定理或余弦定理求另一角B。 A
c
B
第三步：
由A+B+C=180°，求最后一个角C。
3.已知两边及其中一边对角，求另一边两角。
比如：在△ABC ，已知a,b, A,求c,B,C
方法一：余弦定理 第一步：
余弦定理，解方程， 求第三边c。 第二步：
正弦定理或余弦定 理求另一角B。 第三步：
由A+B+C=180°， 求最后一个角C。
二、教学目标 ----
二、教学目标 ----
二、教学目标 ----
三、教学设计 ----
1.基础性： 2.实用性： 通过定理，能解决实际测量与边角问题 3.规律性：
三、教学设计
1 回顾旧识，探究新知 2 合作交流，分享发现 3 梳理知识，畅谈收获 4 反思拓展，布置作业
三、教学设计
余弦定理的发现和推导。 向量法推导余弦定理的过程及其应用 成功转换数形结合成就感与恍然小悟的激动。
分 类
自
(3)△ABC是钝角三角形 a2 b2 c2
主 探
究
四、教学过程
四、教学过程
C a
b
1.已知三边，求三个角。
A
c
B
2.已知两边和它们的夹角，求第三边和其它两个角；
3.已知两边和其中一边对角，求第三边和其它两个角；
利用余弦定理可 以解决什么类型 的三角形问题？
1.已知三边，求三个角。
三、教学设计
创设情境，引入定理
提出问题
向量助力，推导定理
试试向量的威力
分类探究，应用定理
类比正弦定理
三、教学设计 ----合作探究，分享成果
三、教学设计 1、教法
《余弦定理教案》课件
《余弦定理教案》PPT课件第一章：余弦定理的概念与背景1.1 余弦定理的定义介绍余弦定理的定义和表达式解释余弦定理在几何学中的应用1.2 余弦定理的证明简要介绍余弦定理的证明过程解释余弦定理的证明方法及其合理性第二章：余弦定理在三角形中的应用2.1 三角形中的边长关系利用余弦定理求解三角形中的边长解释余弦定理在解决三角形边长问题时的作用2.2 三角形中的角度关系利用余弦定理求解三角形中的角度解释余弦定理在解决三角形角度问题时的作用第三章：余弦定理在三角形的判定中的应用3.1 三角形的判定条件利用余弦定理判定三角形的类型（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形）解释余弦定理在三角形判定中的重要性3.2 三角形的判定实例提供一些实例，让学生通过余弦定理进行三角形的判定引导学生运用余弦定理解决实际问题第四章：余弦定理在实际问题中的应用4.1 实际问题引入通过引入一些实际问题，引发学生对余弦定理的思考解释余弦定理在解决实际问题中的应用价值4.2 实际问题解决方法提供一些实际问题，让学生运用余弦定理进行解决引导学生将余弦定理应用于实际问题的解决中强调余弦定理在几何学中的重要性和广泛应用5.2 余弦定理的拓展介绍一些与余弦定理相关的拓展知识引导学生进一步学习和研究余弦定理的更多内容第六章：余弦定理的图形解释6.1 余弦定理的直观理解通过图形演示，解释余弦定理的几何意义强调图形在理解余弦定理中的应用6.2 余弦定理的图形应用提供一些图形实例，让学生通过余弦定理进行分析和解释引导学生运用余弦定理解决图形相关问题第七章：余弦定理的变换与性质7.1 余弦定理的变换介绍余弦定理在不同变换下的性质和应用解释变换对余弦定理的影响和变化规律7.2 余弦定理的性质介绍余弦定理的一些基本性质引导学生理解和运用余弦定理的性质解决相关问题第八章：余弦定理与其他数学概念的联系8.1 余弦定理与三角函数的关系解释余弦定理与三角函数之间的联系强调余弦定理在三角函数中的应用和重要性8.2 余弦定理与其他数学概念的联系介绍余弦定理与其他数学概念（如向量、矩阵等）的联系引导学生探索余弦定理在其他数学领域的应用第九章：余弦定理的综合应用实例9.1 综合应用实例一提供一个综合性的实例，让学生运用余弦定理进行解决强调余弦定理在解决综合性问题中的应用和重要性9.2 综合应用实例二提供另一个综合性的实例，让学生运用余弦定理进行解决引导学生运用余弦定理解决实际问题强调余弦定理在几何学和其他数学领域中的重要性和广泛应用10.2 余弦定理的拓展介绍一些与余弦定理相关的拓展知识引导学生进一步学习和研究余弦定理的更多内容重点和难点解析1. 余弦定理的定义与证明：理解余弦定理的基本概念和表达式是学习的基础，需要重点关注。
《余弦定理》示范公开课教学PPT课件【高中数学】
•平面向量的应用
•余弦定理
情景引入
问题1：某隧道施工队为了开凿一条山地隧道，需要测算隧道通过这座山
的长度.工程技术人员先在地面上选一适当的位置C，量出C到山脚A，B的
距离，再利用经纬仪测出C对山脚AB（即线段AB）的张角，最后通过计
算求出山脚AB的长度.
A
B
C
情景引入
问题1：某隧道施工队为了开凿一条山地隧道，需要测算隧道通过这座山
A
B
三角形的边、角关系，得到了SSS，SAS，ASA，
AAS等判定三角形全等的方法.
现在已知三角形的两边及其夹角，三角形是唯一确定的，BC的长
度也是唯一确定的.
C
课堂探究
问题2：在△ABC中，当∠C=90°时，有c2=a2+b2 若a，b边的长短不变，变
B
换∠C的大小时，c2与a2+b2有什么大小关系呢？请大家思考
B
答：若∠C＜90°时，由于AC与BC的长度不变，所
以AB的长度变短，即c2＜a2+b2
A
若∠C＞90°时，由于AC与BC的长度不变，所以AB的
C
B B
长度变长，即c2＞a2+b2.
可以得到∠C≠90°时，c2≠a2+b2.
A
C
课堂探究
问题3：通过前面的研究我们知道，当∠C≠90°时，c2 ≠a2+b2.那么c2 与
从数量化的角度进行了刻画.
课堂探究
追问8：勾股定理指出了直角三角形中三边之间的关系，余弦定理则指出
了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系，你能说说这两个定理之间
的关系吗？
答: 如果△ABC中有一个角是直角，例如，C=90°，这时cos C=0，由余弦
•余弦定理
情景引入
问题1：某隧道施工队为了开凿一条山地隧道，需要测算隧道通过这座山
的长度.工程技术人员先在地面上选一适当的位置C，量出C到山脚A，B的
距离，再利用经纬仪测出C对山脚AB（即线段AB）的张角，最后通过计
算求出山脚AB的长度.
A
B
C
情景引入
问题1：某隧道施工队为了开凿一条山地隧道，需要测算隧道通过这座山
A
B
三角形的边、角关系，得到了SSS，SAS，ASA，
AAS等判定三角形全等的方法.
现在已知三角形的两边及其夹角，三角形是唯一确定的，BC的长
度也是唯一确定的.
C
课堂探究
问题2：在△ABC中，当∠C=90°时，有c2=a2+b2 若a，b边的长短不变，变
B
换∠C的大小时，c2与a2+b2有什么大小关系呢？请大家思考
B
答：若∠C＜90°时，由于AC与BC的长度不变，所
以AB的长度变短，即c2＜a2+b2
A
若∠C＞90°时，由于AC与BC的长度不变，所以AB的
C
B B
长度变长，即c2＞a2+b2.
可以得到∠C≠90°时，c2≠a2+b2.
A
C
课堂探究
问题3：通过前面的研究我们知道，当∠C≠90°时，c2 ≠a2+b2.那么c2 与
从数量化的角度进行了刻画.
课堂探究
追问8：勾股定理指出了直角三角形中三边之间的关系，余弦定理则指出
了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系，你能说说这两个定理之间
的关系吗？
答: 如果△ABC中有一个角是直角，例如，C=90°，这时cos C=0，由余弦
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问题二：已知三边解三角形 探究二:在ABC中,已知 a,b,c ,解三角形.
余弦定理及其推论：
c2 a2 b2 2ab cosC
a2 b2 c2 cos C
2 ab
b2 a2 c2 2ac cos B
cos B a 2 c 2 b 2 2 ac
a2 b2 c2 2bc cos A
几何方法 几
明 发
向量法
何 代数方法 问
现
坐标法
题
余弦定理及其推论
作业布置：
1.课本第10页A组第3、4题
2.拓展思考：相等和不等是一对辩 证的关系，请根据角的范围讨论余 弦定理中所蕴含的相等和不等关系.
人教A版必修五第一章解三角形
1.1.2 余弦定理
银川一中 赵文博
复习回顾:
1.正弦定理的形式是什么?
a b c 2R sin A sin B sin C
2.正弦定理解决了解三角形的哪些类型？ （1）已知两角和任一边 （2）已知两边和一边的
1.已知两边及其夹角
﹚
2.已知三边
问题一：已知两边及其夹角解三角形 探究一:在ABC中,已知 a,C,b ,解三角形.
﹚
思考：怎样确定解决问题的方案？
问题一：已知两边及其夹角解三角形 探究一:在ABC中,已知 a,C,b ,解三角形.
﹚
小组合作，相互讨论，展示结果.
几何法:
向量法:
﹚
﹚
D 坐标法:
y
﹚
x
c2 a2 b2 2ab cos C
思考：观察上述等式的结构特征，谈一 谈你对等式的理解。
余弦定理
三角形一边的平方等于其他两边平方 的和减去这两边与它们夹角的余弦的积 的两倍。
c2 a2 b2 2ab cos C
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cos B
b2 c2 a2 cos A
2 bc
巩固定理：
例：在 ABC中，c 2 3,b 3, A 30, 解三角形.
小结提炼：
余弦定理及其推论获得的过程是怎样 的？在这个过程中你有什么体会？
小结提炼：
提出探究问题 确定探究方案
完成探究过程
小结提炼：
已知两边及其夹角
解三角形
已知三边
证 几何法