中科院矩阵分析课件.doc

矩阵分析及其应用

3.1矩阵序列

定义3.1设矩阵序列｛应)｝,其中A«)=(#))£Cms,当k—oo, 佝时，称矩阵序列｛A00｝收敛，并称矩阵A=(佝)为矩阵序列｛A00｝的极限,或称｛A00｝收敛于A,记为lim A a)= A或A,k)-> A ks

不收敛的矩阵序列称为发散的。

由定义，矩阵序列A(k)发散的充要条件为存在ij使

得数列站发散。

类似地，我们可以定义矩阵收敛的Cauchy定义

定义31矩阵序列｛A00｝收敛的充要条件为

对任给£>0存在N(E),当k,l> N(E)时有

IIA(k)-A(/)ll < £

其中11.11为任意的广义矩阵范数。

例 1 A(n)

e~n

sin(-)

n y，sin(R) k=l K 7

如果直接按定义我们因为求不出A㈤的极限从

而很难应用定义3.1证明收敛。

相反，由于t^< t^<

v 1/m

从而只要/充分大，则当m, n > /时就有

n

z sin(A)

这样A")收

定理3.1 A(k)->A的充要条件为

HA'10-AII T O

证明：利用广义矩阵范数的等价性定理，仅对co范数可以证明。

即ci IIA(k) -AIL < IIA(k) -All< c2 IIA(k) -AIL

性质 1.设A(k,—> A mxn, B,k,—> B mxn>则

a- A(k)+P • B(k) -> a- A+P B, V a,PeC

性质2.设A(k)—> A mxn, B,k)—> B nx/,则

A(k)由如一A B

证明：由于矩阵范数地等价性，我们E以只讨论相容的

矩阵范数。

IIA(k).B(k)-A-BII < II A(k) -B(k) -A-B(k)ll+IIAB(k)- A-BII

注意IIB(k)||_||BII,则结论可得。

特别地有

性质2，. A(k U A的充要条件为

A(k) x—Ax,对任意x成立

或者y H A fk) x-> yH Ax,对任意x,y成立.

(在无穷维空间中称为弱收敛，但在有限维空间中

和一般收敛性定义是等价的)

对于Hermite(对称)矩阵我们有如下的定理:

设A«), k=l,2,・..,和A都为Hermite矩阵，那么

A(k»A的充要条件为

x”A时X—>x”Ax,对任意x成立

推论：设A如，k=l,2,...,为半正定的Hermite矩阵，且单调减少，即状和4J")为半正定Hermite矩阵，那么4的有极限.

性质3设泌幻和A都为可逆矩阵，且成则

(4伏

证明：因为Af(A如)所以存在K,当必K时有

III-AT・(A(*))II V]/2

我们有(A u))-,= A%( I- A-1- (A(k)» (A(k)r l

从而ll(A(k))-,ll

当k>K时，有

ll(A(k))_,ll

即ll(A(k))-1ll<2-IIA_,ll

因为A—、(A00)% A—】(A

从而II A-1- (A(k))~,ll

(当k>K 时)

(当krec 时) T O

由定理3.1有(A W A-I

定义3.2矩阵序列｛A00｝称为有界的，如果存在常数

M>0,使得对一切k都有

Il

定理：有界的矩阵序列(A

定义3.3设A为方阵，且当k->oo时有A k-»0,则称A为收敛矩阵。

定理3.2(迭代法基本定理)AkrO的充要条件为谱半径P(A)<1.

证明：必要性：设A*T O,证明p(A)

对4的任意特征值%和相应的特征向量x有

这样我们有4=4

从而

从而有IA.I k0

这样有IRvl,由于尢为A的任意特征值，

所以p(A)

充分性。已知p(A)0.

取£=(l-p(A))/2 >0,由定理2.10有，存在某种相容的

矩阵范数II.II M使得IIAII M< p(A)+ £<1

从而IIA k llM<(IIAII M)k<(P(A)+ e)k

所以当k—8有IIAK|I MT O,从而A5

定理3.3 AJ0的充分条件为存在矩阵范数II.II M使得

IIAII M vl

3.2矩阵级数

定义3.4设矩阵序列｛A%,其中A(k)=(t/^)eC nxn,由它们

形成的无穷和A%A⑴+...+A(k)+...称为矩阵级数,

记为£"),即有k=0

00

£/')=A%A“)+...+A(k)+...

N oo

定义3.5记S性，称其为矩阵级数Z A"')的部分和. Jt=() Jt=() 如果矩阵序列｛S(N)｝收敛，且有极限S,即有

S(N)->s

00

那么称矩阵级数闵收敛，且和为s,记为

*=0