1-4概率论

P( A1 ) 1/ 2 P( A2 ) 1/ 2 P( A3 ) 1/ 2
P( A1 A2 ) P( A1 A3 ) P( A2 A3 ) 1/ 4
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P( A1 A2 A3 ) 0
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显然A1、A2、A3两两独立，但不相互独立。
定义：对n个事件A1, A2 ,, An，如果对于其中任意2个，
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2.主要公式：
加法公式： P( A B) P( A) P(B) P( AB) 差事件公式：P( A B) P( A) P( AB) P( AB ) 逆事件公式： P( A) 1 P( A)
P( AB) 条件概率： P( A | B) P( B) 乘法公式： ( A1 A2 An ) P( A1 )P( A2 | A1) P( An | A1A2 An1) P
③A, B独立 A与B； 与B; A与B均相互独立. A
证：P( AB) P( B AB) P( B) P( AB) P( B) P( A) P( B)
P( B)(1 P( A)) P( B) P( A)
思考：A, B中若P( A) 0或P( A) 1, A与B是否独立？
3 C3 1 P( B0 ) 3 C12 220
1 C9C32 27 P( B1 ) 3 C12 220
1 C92C3 108 P( B2 ) 3 C12 220 3 C9 84 P( B3 ) 3 C12 220
3 C9 84 P( A | B0 ) 3 C12 220
例3：盒中放有12个乒乓球，其中9个是新的，3 个是旧的。第一次比赛时从中任取3个来用，比 赛后仍放回盒中。第二次比赛时再从盒中任取3 个，求第二次取出的球都是新球的概率。 解： Bi {第一次比赛时取出i个新球} i 0,1, 2,3 记
A {第二次取出的都是星球}
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注意区别不相容与独立！
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为了区别独立与不相容，再做个小练习。 1.设A、B为互斥事件，且P(A)>0, P(B)>0, 下面四个结论中，正确的是： 1. P(B|A)>0， 3. P(A|B)=0， 2. P(A|B)=P(A)， 4. P(AB)=P(A)P(B)。
2.设A、B为独立事件，且P(A)>0, P(B)>0, 下面四个结论中，正确的是：
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性质： 证： A, B不相容 P( AB) 0
二者不能同时成立 A, B独立 P( AB) P( A) P( B) 0
①若P( A) 0, P( B) 0则A、相互独立与互不相容不 ② P( AB) P( A) P( B) P( B | A) P( B)
全概率公式： P( A) P( A | Bi ) P( Bi ) 贝叶斯公式：
i 1
n
P( A | Bi ) P( Bi ) P( A | Bi ) P( Bi ) P( Bi | A) n P( A) P( A | Bi ) P( Bi )
i 1
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选择题
P( A) 0.92
P( B) 0.93
P( B | A) 0.85
①P( A B) P( A AB) P( A) P( AB) P( A) P( A | B) P( B) 0.92 0.08 0.85 0.988
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P( AB ) P( A B B) P( A B ) P ( B ) ② P( A | B ) P( B ) P( B ) 1 P( B) 0.988 0.93 0.83 1 0.93
P(B) P( A1 A2 A3 ) 1 P( A1 A2 A3 )
1 P( A1 A2 A2 ) 1 P( A1 )P( A2 )P( A3 ) 1 0.8 0.7 0.6 0.664
常用结论：
若A1 , A2 ,, An相互独立
P( A1 A2 An ) 1 P( A1 )P( A2 )P( An )
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例1 已知P( A B) 0.8, P( A) 0.2, 求P( B A) 解
P( A B) P( A) P( B AB) 0.8 P( A) 0.2 P( B AB) 0.6
P( BA) 0.6 P( BA) 0.4 1 P( B A) 0.4 P( B A) 0.6
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例2：为了防止意外，在矿内同时设有甲、乙两种 报警系统。每种系统单独使用时，其有效的概率 甲为0.92，乙为0.93，在甲失灵时乙仍有效的概 率为0.85，求 ⑴发生意外时两系统至少有一个有效的概率； ⑵乙失灵的条件下，甲仍有效的概率。 解： 记A { 甲有效}, B {乙有效}
1. P(B|A)>0， 3. P(A|B)=0 ，
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2. P(A|B)=P(A)， 4. P(AB)=P(A)P(B)。
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例2.甲、乙、丙三门大炮击中目标的概率分别为 0.2，0.3，0.4，若三门大炮同时向目标各射击一 次，求目标被击中的概率。
解：用A1, A2 , A3分别表示甲、乙、丙击中目标；B表示 目标被击中，由题意，A1 , A2 , A3 相互独立，
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注意：相互独立

两两独立
两两独立 相互独立
由P( ABC ) P( A) P( B) P(C ) 得不出A、B、C两两独立或相互独立.
例：将一枚均匀硬币抛掷两次，A1表示“第一次出 现正面”，A2表示“第二次出现正面”，A3表 示“正反面各一次”，判断A1、A2、A3的独立 情况。 解： S {HH , HT , TH , TT }
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思考题解答：
若P( A) 0, 则P( AB) 0, 显然有P( AB) P( A) P( B)
若P( A) 1, 则P( A) 0, A与B相互独立，从而A与B独立。
二、多个事件相互独立
对 定义： A、B、C若有 P( AB) P( A) P( B) P( AC ) P( A) P(C ) P( BC ) P( B) P(C ) 则称A、B、C两两独立；若A、B、C两两独立， 且P( ABC ) P( A) P( B) P(C ), 则称A、B、C相互独立。
第一章概率论的基本概念 第四次课
• 事件的独立性 • 本章小结
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§6事件的相互独立
一、两个事件的相互独立
由
P( A | B) P( A) P( AB) P( A) P( B) P( B | A) P( B)
可知，若A 的发生与否对B 的发生没有影响，可 等价的用数学式子 P( AB) P( A) P( B) 表示，故 定义：若事件A、 B 满足 P( AB) P( A) P( B) 则称A、 B 相互独立（独立）。
任意3个， ，任意n个事件的积的概率，都等于各事件概率的积
则称A1 , A2 ,, An相互独立。
2 3 n Cn Cn Cn 个式子要求成立！ 注：上述定义中共有
性质： 若A1 , A2 ,, An相互独立
①其中任意k (2≤k≤n)个事件也相互独立；
②将其中任意多个事件换成它们的对立事件， 所得n个事件仍相互独立。
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本章小结
1.主要概念： 样本空间：随机试验的所有可能结果组成的集合。 随机事件：样本空间S的子集。 基本事件：只含一个样本点的事件。 概率：满足非负性、规范性、可列可加性的集合 函数。
A, B 互不相容： A、B不能同时发生，即AB
A A, B相互独立：、B的发生互不影响。P( AB) P( A)P(B)
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3 C8 56 P( A | B1 ) 3 C12 220
3 C7 35 P( A | B1 ) 3 C12 220 3 C6 20 P( A | B3 ) 3 C12 220
所以 P( A) P( Bi ) P( A | Bi )
i 0
3
1 84 27 56 108 35 84 20 0.1458 220 220 220 220 220 220 220 220
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已知 例1： P( A) 0.1, P( B) 0.2, P(C ) 0.3, 求A、B、C至少 发生一个的概率。 ①若A、B、C不相容； ②若A、B、C相互独立。
解： ①P( A B C ) P( A) P( B) P(C ) 0.6
②P( A B C ) P( A) P( B) P(C ) P( AB) P( AC ) P( BC ) P( ABC ) 0.1 0.2 0.3 0.1 0.2 0.1 0.3 0.2 0.3 0.1 0.2 0.3 0.496
1.设P( AB) 0, 则
( A) A和B不相容
(C ) P( A) 0或P( B) 0
√
( B) A, B相互独立
( D) P( A B) P( A)
2.设A B, 且相互独立，则
( A) P( A) 0
(C ) P( A) 1
√
( B) P( A) 0或P( A) 1 ( D) P( A) 0或P( B) 1