概率论期末试卷3及答案

概率论期末试卷3及答案
一、填空题（40分）（共10题，每题4分）
1、从一副52张扑克牌中一次抽出4张牌，没有1张是A 的概率是
__________.
2、设5.0)(=A P ，3.0)(=B P ，6.0)(=B A P ，则)(B A P =________.
3、甲、乙同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为0.6，乙击中敌
机的概率为0.5，那么敌机被击中的概率为__________.
4、某人投篮4次，若每次投中的概率为P ，则恰好投中3次的概率为
__________. 5、设ξ的密度函数为：
⎪⎩⎪⎨⎧∈=其它
)2,0(21
)(ππ
x x P
则)(sin ξE =__________.
6、设),(~p n B ξ，则ξE =________；ξD =________.
7、设ξ的分布列为)(k P =ξ=n k C k
,,2,1,)3
1
( =，那么C =________. 8、若)4,0(~N ξ，则)20(<<ξP =__________.
9、若)4,1(~N ξ，1ξ，2ξ，…，n ξ是取自此母体ξ的一个子样，则
ξE =________， ξD =________.
10、设),(ηξ的分布函数为),(y x F ，则),(C b a P =<<ηξ=________. 二、判断题（10分）（共5题，每题2分）
1、概率等于1的事件为必然事件. （ ）
2、)(1)(x x --=φφ. （ ）
3、若ξ与η相互独立，则ξ与η不相关. （ ）
4、若)(∞→−→−ηηηP
n ，则)()()(∞→→ηx F x F n . （ ）
5、函数⎩⎨
⎧∈=其它
)2,0(sin )(πx x x P 是某一随机变量的密度函数.（ ）
三、计算题（40分）（共5题，每题8分）
1、某射击小组共有20名射手，其中一级射手4人，二级射手8人，三
级射手8人，一、二、三级射手能通过选拔进入比赛的概率分别为0.9、 0.7、0.4，求任选一名射手能通过选拔比赛的概率. 2、已知随机变量),(~p n B ξ，求ξE ， ξD .
3、在一家保险公司里有10000个人参加保险，每人每年付12元保险费， 在一年内一个人死亡的概率为0.006，死亡时其家属可向保险公司领 得1000元，试求保险公司亏本的概率为多少？
4、设1ξ，2ξ，…，n ξ为取自母体),(~2
σμξN 的一个子样，且),(~2
σμηN 与1ξ，
2ξ，…，n ξ独立，求统计量
1
1
(+--n n S n
ξη的抽样分布. 5、设ξ的密度函数为：
||
1(;),02x f x e
x R σ
σσσ
-=∈>
1ξ，2ξ，…，n ξ是取自母体ξ的一个子样，求σ的极大似然估计.
四、证明题（10分）
设),(~2
σμξN ，证明：)1,0(~N σ
μ
ξη-=
.
期末试卷3卷参考答案
一、填空题：（40分）（共10题，每题4分）
1、452
4
48C C ； 2、3.0 ； 3、8.0；4、)1(43
p p -； 5、0 ；
6、)1(,p np np -；
7、 2
8、5.0)1(-Φ；
9、1,1；
10、)0,0(),()0,(),0(++--+++c a F c b F c b F c a F ．
二、判断题：（10分）（共5题，每题2分）
1、错
2、对
3、对 4 、错 5、错 三、计算题（40分）（共5题，每题8分）
1.解：设=i A “任选一名选手，该选手是第i 级射手”，i=1,2,3，=B “该选手能通过选拔进入决赛”。

（2分）
则由题意可知
4
.0)|(,7.0)|(,9.0)|(,
5
2)(,52)(,51)(321321======A B P A B P A B P A P A P A P （2分） 于是有
62.04.052
7.0529.051)|()()(3
1
=⨯+⨯+⨯=⋅=∑=i i i A B P A P B P （4分）
2.解：由已知 ),(~p n B ξ
所以有 n k p p C k P k n k
k n ,,2,1,0,
)1()( =-==-ξ （2分）
于是有
k n k
k n n
k n
k p p C k k P k E -==-===∑∑)1()(0
ξξ
)1(111
11)1(----=---=∑k n k n
k k n p p
C np np p p np n =-+=-1)1( （2分）
k n k k n n
k n
k p p C k k P k E -==-===∑∑)1()(0
20
2
2
ξξ )
1(1111)1(---=---=∑k n k n
k k n p p kC n k n p p C p p C
k n k
n
k k n k n k n
k k n --+--=∑∑=-----=--)1()
1()1([1
11)
1(11
1
1
)1(11
1
112
2
2
2
2
)1()
1()1[(----=----=---+--=∑∑k n k n
k k n k
n k n
k k n p p
C p p p
C
p
n n
122)1()1()1[(---++-+-=n n p p p p p p n n
np np p n +-=222 （2分）
所以有
)1()(2222222p np p n np np p n E E D -=-+-=-=ξξξ （2分）
3．解：设ξ表示一年内死亡的人数，则~(,)B n p ξ, 其中n = 10000，p =0.006，
设Y 表示保险公司一年的利润， （2分）
于是由中心极限定理
)010*********()0(<-⨯=<ξP Y P
1(120)P ξ=-≤（2分）
)
)
006.01(006.010000006
.010000120)
006.01(006.010000006
.010000(
1-⨯⨯⨯-≤
-⨯⨯⨯--=ξP
0)75.7(1≈Φ-≈（4分）
4. 解：由已知可得 ))1(,0(~2
1n
n N n σξξ+-+
所以有
)1,0(~11N n
n n +-+σ
ξξ （2分）
又因为
)1(~222
-n S n
n χσ且ξ-+1n 与2n S 相互独立 （3分）
因此
)1(~1
1
)1/(/
1122
1-+--=
-+-++n t n n S n S n
n
n n
n n n ξ
ξσσ
ξ
ξ （3分） 5.解：设n x x x ,,,21 为子样n ξξξ,,,21 的一组观察值 于是似然函数为
()
σ
σσ∑=
=-n
i i
x n
e
L 1
21
)( （3分）
两边取对数后对σ求导，并令其为0，得
ξ
10001210000-⨯=Y
0)(ln 2
1=+-=∑=σσσσn
i i
x
n d L d （3分）
得σ的最大似然估计量为∑==n
i i ⌒
n 1
1ξσ （2分）
四、证明题（10分）
证： 因为 ),(~2σμξN
所以有 )()(
)()(μσξσ
μ
ξηη+<=<-=<=x P x P x P x F dy e
x y ⎰+∞
---
=
μ
σσμσ
π22)(21
)(21
22x dt e x
t Φ==
⎰∞
--π
（5分）
所以有 )1,0(~N σ
μ
ξη-=
（3分）。