高中数学,圆锥曲线与方程 单元测试题(有答案)

第二章 圆锥曲线与方程 单元测试题

(时间：120分钟 满分：150分)

第Ⅰ卷(选择题，共60分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( )

A ．2

B ．22

C ．4

D ．42

2．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为4，A (2,3)为双曲线C 上一点，则双曲线C 的渐近线方程

为( )

A ．y ＝±1

2x

B ．y ＝±x

C ．y ＝±

3

3

x D ．y ＝±3x

3．椭圆C ：x 24＋y 23＝1与双曲线E ：x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)有相同的焦点，且两曲线的离心率互为倒数，则

双曲线渐近线的倾斜角的正弦值为( )

A.12 B ．22 C.33 D ．3

2

4．已知抛物线

y 2＝8x

的准线与双曲线x 2a 2－y 2

b

2＝1(a >0，b >0)相交于A ，B 两点，双曲线的一条渐近线方程

是y ＝22x ，点F 是抛物线的焦点，且△F AB 是直角三角形，则双曲线的标准方程是( )

A.x 216－y 22＝1 B ．x 2－y 28＝1 C.x 22－y 216＝1 D ．x 28－y 2

＝1

5．如图，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使点M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是( )

A ．椭圆

B ．双曲线

C ．抛物线

D ．圆

6．若抛物线y 2＝x 上两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)关于直线y ＝x ＋b 对称，且y 1y 2＝－1，则实数b 的值为( )

A ．－3

B ．3

C ．2

D ．－2

7．若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是( )

A.⎝

⎛⎭⎫－

153，153 B ．⎝⎛⎭⎫0，153 C.⎝⎛⎭⎫－153，0 D ．⎝⎛⎭

⎫－153，－1

8．椭圆y 249＋x 224＝1与双曲线y 2

－x 2

24

＝1有公共点P ，则P 与双曲线两焦点连线构成三角形的面积为( )

A ．48

B ．24

C ．24 3

D ．123

9．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，|AF |·|BF |＝8，则p 的值为( )

A ．4

B ．1

2 C ．1 D ．2

10．直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的1

4，则该椭圆的离心率为

( )

A.13 B ．12 C.23 D ．3

4

11．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点，若AB 的中点坐

标为(1，－1)，则E 的方程为( )

A.x 245＋y 236＝1 B ．x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 2

18＝1 D ．x 218＋y 2

9

＝1

12．若抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，则经过点F ，M (3,3)且与l 相切的圆共有( )

A ．0个

B ．1个

C ．2个

D ．4个

第Ⅱ卷(非选择题，共90分)

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)

13．双曲线的渐近线方程为x ±2y ＝0，焦距为10，则双曲线的方程为______________________．

14．椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与椭圆的一个交点为P ，若

∠F 1PF 2＝45°，则椭圆的离心率e ＝________.

15．如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点，直线y ＝b

2与椭圆交于B ，C

两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________．

16．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点为F ，过原点O 的直线与双曲线C 相交于A ，B 两点，

连接BF ，若|OA |＝|OF |＝5，|BF |＝8，则双曲线C 的离心率为________．

三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)

17．(10分)已知双曲线与椭圆x 29＋y 225＝1共焦点，它们的离心率之和为14

5，求双曲线的方程．

18．(12分)已知抛物线C ：y 2＝4x 与直线y ＝2x －4交于A ，B 两点．

(1)求弦AB 的长度；

(2)若点P 在抛物线C 上，且△ABP 的面积为12，求点P 的坐标．

19．(12分)已知椭圆C 过点A ⎝⎛⎭

⎫1，3

2，两个焦点分别为(－1,0)，(1,0)． (1)求椭圆C 的方程；

(2)已知E ，F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，求证：直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值．

20．(12分)(2019·永泰二中期末)已知抛物线C ：y 2＝2x ，直线l ：y ＝1

2x ＋b 与抛物线C 交于A ，B 两点，O

为坐标原点．

(1)当直线l 过抛物线C 的焦点F 时，求|AB |；

(2)是否存在直线l 使得直线OA ⊥OB ？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．

21．(12分)已知动点M 到定点F (－1,0)和定直线x ＝－4的距离之比为1

2

，设动点M 的轨迹为曲线C .

(1)求曲线C 的方程；

(2)设P (－4,0)，过点F 作斜率不为0的直线l 与曲线C 交于两点A ，B ，设直线P A ，PB 的斜率分别是k 1，k 2，求k 1＋k 2的值．

22．(12分)如图，动圆C 1

：x 2＋y 2＝t 2(1

C 2：x 29

＋y 2

＝1相交于A ，B ，C ，D 四点，点A 1，A 2

分别为C 2的左，右顶点．

(1)当t 为何值时，矩形ABCD 的面积取得最大值？并求出其最大面积； (2)求直线AA 1与直线A 2B 的交点M 的轨迹方程．

参考答案

一、选择题

1．C ；2．D ；3．D ；4．C ；5．A ；6．D ；7．D ；8．B ；9．D ；10．B ；11．D ；12．C

二、填空题

13．x 220－y 25＝1或y 25－x 2

20＝1

14．2－1 15．

63

16．5

三、解答题

17．解：椭圆x 29＋y 225＝1的焦点为(0，±4)，e ＝4

5

，

∴双曲线的焦点为(0，±4)．

设双曲线的方程为y 2a 2－x 2

b 2＝1(a >0，b >0)．

∴⎩⎪⎨⎪⎧

a 2＋

b 2＝

c 2＝16，c a ＝4a ＝145－45＝2，

解得⎩⎪⎨⎪⎧

a 2＝4，

b 2＝12，

∴双曲线的方程为y 24－x 2

12＝1.

18．解：(1)由⎩

⎪⎨⎪⎧

y 2＝4x ，

y ＝2x －4，得x 2－5x ＋4＝0，∴x 1＝1，x 2＝4，

∴|AB |＝

1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋22×|1－4|＝3 5.

(2)设P (x 0，y 0)，∴y 20＝4x 0

， P 到直线AB 的距离d ＝

|2x 0－y 0－4|5

＝

⎪⎪⎪⎪

y 2

02

－y 0－45

，

又∵S △ABP ＝1

2×|AB |·d ＝12，

∴12×35d ＝12，∴d ＝855

， ∴

⎪⎪⎪⎪y 2

02－y 0－45

＝85

5

，即⎪⎪⎪⎪y 2

2－y 0－4＝8，

∴y 202－y 0－4＝8或y 20

2

－y 0－4＝－8， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝4，y 0＝－4或⎩⎪⎨⎪⎧

x 0＝9，y 0＝6

∴点P 的坐标为(4，－4)或(9,6)．

19．解：(1)由题意得，c ＝1，又知椭圆C 过点A ⎝⎛⎭⎫1，32，∴可设椭圆方程为11＋b 2＋9

4b 2

＝1， 解得b 2＝3，b 2＝－3

4(舍去)，

所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2

3＝1.

(2)设直线AE 的方程为y ＝k (x －1)＋3

2

，

联立方程⎩⎨⎧

y ＝k (x －1)＋3

2，

x 2

4＋y

2

3＝1，

消y 得(3＋4k 2)x 2＋4k (3－2k )x ＋4⎝⎛⎭⎫32－k 2

－12＝0，

设E (x E ，y E )，F (x F ，y F )， 因为点A ⎝⎛⎭

⎫1，3

2在椭圆上， 所以x E ＝4⎝⎛⎭⎫32－k 2－123＋4k 2，y E ＝kx E

＋3

2－k ， 又直线AF 的斜率与AE 的斜率互为相反数， 在上式中以－k 代k ，可得

x F ＝4⎝⎛⎭⎫32＋k 2

－123＋4k 2，y F ＝－kx F

＋32＋k ， 所以直线EF 的斜率k EF ＝y F －y E x F －x E ＝－k (x F ＋x E )＋2k x F －x E

＝12，即直线EF 的斜率为定值，其值为12.

20．解：(1)由题意得F ⎝⎛⎭⎫12，0，把F ⎝⎛⎭⎫12，0代入l 得，l ：y ＝1

2⎝⎛⎭

⎫x －12， 由⎩⎪⎨⎪⎧

y 2＝2x ，y ＝12⎝⎛⎭⎫x －12，消去y 得x 2－9x ＋1

4＝0.

设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝9， ∴|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9＋1＝10.

(2)假设存在使OA ⊥OB ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0， 由⎩⎪⎨⎪⎧

y 2

＝2x ，y ＝12x ＋b ，消去x ，得y 2－4y ＋4b ＝0，

由Δ＝16－16b >0，得b <1， 又y 1＋y 2＝4，y 1y 2＝4b ， ∴x 1x 2＝y 212·y 22

2＝4b 2，

∴x 1x 2＋y 1y 2＝4b 2＋4b ＝0， 解得b ＝0(舍)或b ＝－1， ∴l ：y ＝1

2x －1，即x －2y －2＝0.

21．解：(1)设M (x ，y )，则依题意有(x ＋1)2＋y 2|x ＋4|

＝1

2，

整理得x 24＋y 2

3＝1，即为曲线C 的方程．

(2)设直线l ：x ＝ty －1(t ≠0)， 则A (ty 1－1，y 1)，B (ty 2－1，y 2)，

由⎩⎪⎨⎪

⎧

x ＝ty －1，x 24＋y 23＝1，得，(3t 2＋4)y 2－6ty －9＝0. ∴y 1＋y 2＝6t

3t 2＋4，y 1y 2＝－93t 2＋4

，

∴k 1＋k 2＝y 1ty 1＋3＋y 2

ty 2＋3＝2ty 1y 2＋3(y 1＋y 2)t 2y 1y 2＋3t (y 1＋y 2)＋9＝2t ×(－9)＋3×6t －9t 2＋3t ×6t ＋9(3t 2＋4)＝0，

即k 1＋k 2＝0.

22．解：(1)设A (x 0，y 0)，则矩形ABCD 的面积S ＝4|x 0|·|y 0|.

由x 209＋y 20＝1得，y 20＝1－x 209，从而x 20y 20＝x 20⎝⎛⎭⎫1－x 209＝－19⎝⎛⎭⎫x 20－922＋94

. 又显然－3

∴当x 20＝92，y 20＝12

时，S max ＝6.从而t ＝5时，矩形ABCD 的面积最大，最大面积为6. (2)设A (x 0，y 0)，则B (x 0，－y 0)，由题意得A 1(－3,0)，A 2(3,0)，∴直线AA 1的方程为y ＝y 0x 0＋3(x ＋3)，

①

直线A 2B 的方程为y ＝－y 0

x 0－3(x －3)，②

由①②得

y 2＝

－y 20

x 20－9

(x 2－9)．③ 又点A (x 0，y 0)在椭圆C 2上，故y 2

0＝1－x 209

.④

将④代入③，得x 29－y 2

＝1.

又显然x <－3，y <0，

因此点M 的轨迹方程为x 29－y 2

＝1(x <－3，y <0)．