高三数学二轮专题复习测试十《圆锥曲线与方程》新人教版
专题 圆锥曲线的定义、方程与性质(课件)2023届高考数学二轮专题复习
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解析：由题意可知，抛物线 的标准方程为 , ,设直线 的方程为 , , ,联立得 消去 ,得 , ,则 , . ,所以当 时， 的面积取得最小值，最小值为2，故选D.
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（2）（2022·新高考卷Ⅱ）已知直线 <m></m> 与椭圆 <m></m> 在第一象限交于 <m></m> ， <m></m> 两点， <m></m> 与 <m></m> 轴、 <m></m> 轴分别交于 <m></m> ， <m></m> 两点，且 <m></m> , <m></m> ，则 <m></m> 的方程为__________________．
，所以 ①,又 ②, 得 ,所以四边形 的面积为18.
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考点二 圆锥曲线的几何性质
例2.（1）（2022·陕西西安五校高三联考）已知双曲线 <m></m> 的离心率为2，则双曲线 <m></m> 的渐近线方程是( )
A. B. C. D.
解析：由题意可知，双曲线的实半轴长的平方 ,虚半轴长的平方 ,所以双曲线的离心率 满足 ,从而 ,所以双曲线的渐近线方程为 ,故选A.
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2. <m></m> ， <m></m> 是椭圆 <m></m> 的两个焦点， <m></m> 是椭圆 <m></m> 上异于顶点的一点， <m></m> 是 <m></m> 的内切圆圆心，若 <m></m> 的面积等于 <m></m> 的面积的3倍，则椭圆 <m></m> 的离心率为_ _.
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程高效测评新人教版
2016-2017学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1 曲线与方程高效测评 新人教A 版选修2-1一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知曲线C 的方程为x 3＋x ＋y －1＝0，则下列各点中在曲线C 上的点是( ) A ．(0,0) B ．(－1,3) C ．(1,1)D ．(－1,1)解析： 点P (x 0，y 0)在曲线f (x ，y )上⇔f (x 0，y 0)＝0. 答案： B2．“以方程f (x ，y )＝0的解为坐标的点都是曲线C 上的点”是“曲线C 的方程是f (x ，y )＝0”的( )A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析： f (x ，y )＝0是曲线C 的方程必须同时满足以下两个条件：①以f (x ，y )＝0的解为坐标的点都在曲线C 上；②曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解，故选B.答案： B3．与点A (－1,0)和点B (1,0)连线的斜率之和为－1的动点P 的轨迹方程是( ) A ．x 2＋y 2＝3 B ．x 2＋2xy ＝1(x ≠±1) C ．y ＝1－x 2D ．x 2＋y 2＝9(x ≠0)解析： 设P (x ，y )，∵k PA ＋k PB ＝－1， ∴y －0x －－＋y －0x －1＝－1，整理得x 2＋2xy ＝1(x ≠±1)． 答案： B4．方程(x ＋y －1)x 2＋y 2－4＝0所表示的曲线是( )解析： 原方程等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，x 2＋y 2≥4或x 2＋y 2＝4.其中当x ＋y －1＝0时，需x 2＋y 2－4有意义，即x 2＋y 2≥4，此时它表示直线x ＋y －1＝0上不在圆x 2＋y 2＝4内的部分及圆x 2＋y 2＝4.答案： D二、填空题(每小题5分，共10分)5．点P (2，－3)在曲线x 2－ay 2＝1上，则a 的值为________． 解析： 将点P 的坐标(2，－3)代入曲线方程， 可得22－a ·(－3)2＝1，解得a ＝13.答案： 136．已知点A (0，－1)，当点B 在曲线y ＝2x 2＋1上运动时，线段AB 的中点M 的轨迹方程是____________．解析： 设M (x ，y )，B (x 0，y 0)，则y 0＝2x 20＋1. 又M 为AB 的中点，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0＋x 02，y ＝y 0－12，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x ，y 0＝2y ＋1，将其代入y 0＝2x 20＋1得，2y ＋1＝2(2x )2＋1， 即y ＝4x 2. 答案： y ＝4x 2三、解答题(每小题10分，共20分)7．指出方程(2x ＋3y －5)(x －3－1)＝0表示的曲线是什么？解析： 因为(2x ＋3y －5)(x －3－1)＝0，所以可得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －5＝0，x －3≥0或者x －3－1＝0，也就是2x ＋3y －5＝0(x ≥3)或者x ＝4，故方程表示的曲线为一条射线2x ＋3y －5＝0(x ≥3)和一条直线x ＝4.8．已知方程x 2＋(y －1)2＝10.(1)判断点P (1，－2)，Q (2，3)是否在此方程表示的曲线上；(2)若点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m2，－m 在此方程表示的曲线上，求m 的值．解析： (1)∵12＋(－2－1)2＝10， (2)2＋(3－1)2＝6≠10，∴点P (1，－2)在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上， 点Q (2，3)不在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上．(2)∵点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m2，－m 在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，∴x ＝m2，y ＝－m 适合方程x 2＋(y －1)2＝10， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫m 22＋(－m －1)2＝10，解得m ＝2或m ＝－185.∴m 的值为2或－185.9．(10分)已知圆C ：x 2＋(y －3)2＝9，过原点作圆C 的弦OP ，求OP 中点Q 的轨迹方程．(分别用直接法、定义法、代入法求解)解析： 方法一(直接法)： 如图，因为Q 是OP 的中点，所以∠OQC ＝90°. 设Q (x ，y )，由题意，得 |OQ |2＋|QC |2＝|OC |2， 即x 2＋y 2＋[x 2＋(y －3)2]＝9，所以x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝94(去掉原点)．方法二(定义法)：如图所示，因为Q 是OP 的中点，所以∠OQC ＝90°，则Q 在以OC 为直径的圆上，故Q 点的轨迹方程为x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝94(去掉原点)．方法三(代入法)：设P (x 1，y 1)，Q (x ，y )，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 12y ＝y12，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2xy 1＝2y，又因为x 21＋(y 1－3)2＝9，所以4x 2＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝9，即x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝94(去掉原点).。
2019-2020年高中数学第二章圆锥曲线与方程单元测试新人教B版选修
2019-2020年高中数学第二章圆锥曲线与方程单元测试新人教B 版选修一、选择题(本大题共10个小题，每小题4分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1若焦点在x 轴上的椭圆x 22＋y 2m ＝1的离心率为12，则m 等于( )A.3B.32C.83D.232已知双曲线的渐近线方程为y ＝±34x ，则此双曲线的( )A ．焦距为10B ．实轴与虚轴分别为8和6C ．离心率是54或53D ．离心率不确定3P 是椭圆x 29＋y 25＝1上的动点，过P 作椭圆长轴的垂线，垂足为M ，则PM 的中点的轨迹方程为( )A.4x 29＋y 25＝1B.x 29＋4y 25＝1 C.x 29＋y 220＝1 D.x 236＋y 25＝1 4与圆x 2＋y 2－4x ＝0外切，又与y 轴相切的圆的圆心的轨迹方程是( ) A ．y 2＝8xB ．y 2＝8x (x ＞0)或y ＝0(x ＜0)C ．y 2＝8x 或y ＝0D ．y 2＝8x (x ≠0)5已知点A 为双曲线x 2－y 2＝1的左顶点，点B 和点C 在双曲线的右分支上，△ABC 是等边三角形，则△ABC 的面积是( )A.33 B.332C ．3 3D ．63 6双曲线的虚轴长为4，离心率e ＝62，F 1、F 2分别是它的左右焦点，若过F 1的直线与双曲线的左支交于A 、B 两点，且|AB |是|AF 1|、|AF 2|的等差中项，则|BF 1|等于( )A ．8 2B ．4 2C ．2 2D ．87设A 、B ∈R ，A ≠B ，且A ·B ≠0，则方程Bx －y ＋A ＝0和方程Ax 2－By 2＝AB 在同一坐标系下的图象大致是图中的( )8设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，过点M (3，0)的直线与抛物线相交于A ，B 两点，与抛物线的准线相交于点C ，|BF |＝2，则△BCF 与△ACF 的面积之比S △BCFS △ACF等于( )A.45B.23C.47D.129已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A 的坐标是(72，4)，则|P A |＋|PM |的最小值为( )A.72 B ．4 C.92D ．5 10双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两焦点为F 1、F 2，|F 1F 2|＝2c ，P 为双曲线上一点，PF 1⊥PF 2，则P 到实轴的距离等于( )A.b 2cB.a 2cC.b 2aD.c 2a二、填空题(本大题共5个小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中的横线上) 11椭圆x 2＋y 22＝1的离心率为________． 12若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为5－12，则双曲线x 2b 2－y 2a 2＝1的离心率是________．13直线l ：x －y ＋1＝0和椭圆x 24＋y 23＝1相交于A ，B 两点，则弦|AB |＝________.14已知双曲线x 24－y 2＝1的虚轴的上端点为B ，过点B 引直线l 与双曲线的左支有两个不同的交点，则直线l 的斜率的取值范围是________．15以下命题：①两直线平行的充要条件是它们的斜率相等．②过点(x 0，y 0)与圆x 2＋y 2＝r 2相切的直线方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2.③平面内到两定点的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆． ④抛物线上任意一点M 到焦点的距离等于点M 到其准线的距离． 其中正确命题的序号是________．三、解答题(本大题共4个小题，共40分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16(9分)动点P (x ，y )到定点A (2,0)与到定直线l ：x ＝4的距离之和为6，求点P 的轨迹． 17(10分)已知双曲线的方程是x 29－y 216＝1，求以双曲线的右顶点为焦点的抛物线的标准方程及抛物线的准线方程．18(10分)设抛物线y 2＝4px (p ＞0)的准线与x 轴的交点为M ，过点M 作直线l 交抛物线于A 、B 两点．(1)求线段AB 中点的轨迹方程；(2)若线段AB 的垂直平分线交对称轴于N (x 0,0)，求证：x 0＞3p . 19(11分)已知椭圆C 1的方程x 24＋y 2＝1.(1)F 1，F 2为C 1的左右焦点，求椭圆上满足PF 1→·PF 2→＝0的点P 的轨迹方程C 2； (2)若过曲线C 2内一点P 0(－1,1)作弦AB ，当弦AB 被点P 0平分时，求直线AB 的方程； (3)双曲线C 3的左、右焦点分别为C 1的左、右顶点，而C 3的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点，若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 3恒有两个不同的交点M 和N ，且OM →·ON →＞2(其中O 为原点)．求k 的取值范围．参考答案1解析：a ＝2，c ＝2－m ，c a ＝2－m 2＝12，所以2－m ＝22.又m ＞0，所以m ＝32.所以选B.答案：B2解析：由双曲线渐近线方程y ＝±34x ，所以b a ＝43或b a ＝34.e ＝ca ＝a 2＋b 2a ＝1＋ba2＝54或53.所以选C. 答案：C3解析：用代入法，设P (x 1，y 1)，中点(x ，y )，则x 1＝x ，y 1＝2y ，代入椭圆方程即得． 答案：B4解析：设圆心(x ，y )(x ≠0)，则x －22＋y 2＝2＋|x |，化简得y 2＝4x ＋4|x |，当x ＞0时，y 2＝8x ；当x ＜0时，y ＝0.答案：B5解析：由双曲线关于x 轴对称，可知BC ⊥x 轴． 设△ABC 边长为a ，则B 点坐标(32a －1，a2)， 代入双曲线方程，得(3a 2－1)2－a 24＝1，得a ＝23或a ＝0(舍去)．所以S △ABC ＝34(23)2＝3 3. 答案：C6解析：由题意，b ＝2，a ＝22，c ＝23，由|AB |是|AF 1|、|AF 2|的等差中项及双曲线的定义得|BF 1|＝a . 答案：C 7解析：方程Ax 2－By 2＝AB可变为x 2B －y 2A＝1，令x ＝0，直线可变为y ＝A .结合A 、B 、C 选项可知A ＜0，故不选C.令y ＝0，直线可变为x ＝－A B ，由选项A 可知－A B ＜0，则AB ＞0，与A 图矛盾．对于D ，A ＞0，x 2B －y 2A ＝1表示焦点在x 轴的双曲线，故与D 矛盾．所以选B项．答案：B8解析：由|BF |＝2小于点M 到准线的距离(3＋12)知点B 在A 、C 之间，由抛物线的定义知点B 的横坐标为32，代入得y 2＝3，则B (32，－3)〔另一种可能是(32，3)〕，那么此时直线AC 的方程为y －0－3－0＝x －332－3，即y ＝2x －32－3，把y ＝2x －32－3代入y 2＝2x ，可得2x 2－7x ＋6＝0，可得x ＝2，则有y ＝2，即A (2,2)，那么S △BCF ∶S △ACF ＝BC ∶AC ＝(32＋12)∶(2＋12)＝4∶5. 答案：A9解析：设抛物线焦点为F ，连结AF ，AF 与抛物线的交点P 为所求P 点，此时|P A |＋|PM |＝|P A |＋|PF |－12≥|AF |－12＝92.答案：C10解析：由PF 1⊥PF 2，得|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2.又∵||PF 1|－|PF 2||＝2a ，∴|PF 1||PF 2|＝2b 2.∴点P 到实轴的距离为|PF 1||PF 2||F 1F 2|＝b 2c.答案：A 11答案：2212解析：e 1＝5－12＝a 2－b 2a ＝1－b 2a 2，b 2a 2＝5－12，双曲线的离心率e 2＝a 2＋b 2b 2＝a 2b 2＋1＝25－1＋1＝5＋12＋1＝6＋254＝5＋12. 答案：5＋1213解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，x 24＋y 23＝1可得7x 2＋8x －8＝0， 所以x 1＋x 2＝－87，x 1x 2＝－87.由弦长公式可得 |AB |＝1＋k 2|x 2－x 1| ＝1＋12·－872－4×－87＝247. 答案：24714解析：因为B (0,1)，设过点B 的直线l ：y ＝kx ＋1，与x 24－y 2＝1联立，消去y 得(14－k 2)x 2－2kx －2＝0.当14－k 2＝0，即k ＝±12，有一个交点； 当14－k 2≠0时，若有两个不同的交点，则 ⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4k 2＋814－k 2＞0，2k 2－14＞0，2k 14－k2＜0，得12＜k ＜22. 综上所述得k 的取值范围为12＜k ＜22.答案：(12，22)15解析：①中斜率不一定存在；②点(x 0，y 0)不一定在圆上；③当2a ＝|F 1F 2|时，轨迹为线段．答案：④16分析：应用直接法求点P 的轨迹方程即可．解：作PQ ⊥l ，垂足为Q ，则P 点的轨迹就是集合{P ||P A |＋|PQ |＝6}， 即x －22＋y 2＋|x －4|＝6.当x ≥4时，方程为y 2＝－16(x －6)(x ≤6)； 当x ＜4时，方程为y 2＝8x (x ≥0)． 故P 点的轨迹为两条抛物线弧y 2＝8x (0≤x ＜4)和y 2＝－16(x －6)(4≤x ≤6)．17分析：由双曲线方程可求其右顶点坐标，从而求出抛物线的焦参数p . 解：∵双曲线x 29－y 216＝1的右顶点坐标是(3,0)，∴p2＝3，且抛物线的焦点在x 轴的正半轴上． ∴所求抛物线的方程和准线方程分别为y 2＝12x 和x ＝－3.18分析：应用点斜式设出l 的方程，借助于中点坐标公式及根与系数的关系求得AB 中点的轨迹方程．将x 用k 表示出来，通过k 的范围求得x 0的范围．解：(1)抛物线y 2＝4px (p ＞0)的准线为x ＝－p∴M(－p,0)．设l：y＝k(x＋p)(k≠0)，代入y2＝4px，得k2x2＋2(k2－2)px＋k2p2＝0，由Δ＝4(k2－2)2p2－4k4p2＞0得－1＜k＜1(k≠0)，设线段AB 的中点为Q (x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝x 1＋x 22＝2k2－1p ，y ＝kx ＋p ＝2p k，消去k ，得y 2＝2p (x ＋p )(x ＞p )，这就是所求的轨迹方程．(2)由(1)知线段AB 的中点Q ((2k 2－1)p ，2p k )，线段AB 的垂直平分线方程为y －2p k ＝－1k [x－(2k 2－1)p ]，令y ＝0得x 0＝(2k2＋1)p ，因为0＜k 2＜1，所以x 0＞3p . 19解：(1)设点P (x ，y )，由x 24＋y 2＝1，知F 1(－3，0)，F 2(3，0)，由PF 1→·PF 2→＝0得所求轨迹方程为x 2＋y 2＝3. (2)当弦AB 被点P 0平分时，OP 0⊥AB ， ∵kOP 0＝－1，∴k AB ＝1，故直线AB 的方程为y －1＝x ＋1，即x －y ＋2＝0. (3)设双曲线C 3的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，则a 2＝4－1＝3.再由a 2＋b 2＝c 2得b 2＝1. 故C 3的方程为x 23－y 2＝1.将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0. 由直线l 与双曲线交于不同的两点得⎩⎨⎧1－3k 2≠0，Δ＝62k2＋361－3k 2＝361－k 2＞0.解得k 2≠13且k 2＜1.①设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝62k1－3k 2，x 1·x 2＝－91－3k2.由OM →·ON →＞2， 得x 1x 2＋y 1y 2＞2，而x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝(k 2＋1)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋2＝(k 2＋1)·－91－3k 2＋2k ·62k1－3k 2＋2＝3k 2＋73k 2－1. 于是3k 2＋73k 2－1＞2，即－3k 2＋93k 2－1＞0，可编辑修改精品文档 解此不等式，得13＜k 2＜3.② 由①②得13＜k 2＜1，且k ≠13，故k 的取值范围为(－1，－33)∪(33，1)． .。
圆锥曲线与方程椭圆双曲线抛物线二轮复习专题练习(三)含答案人教版高中数学新高考指导
高中数学专题复习《圆锥曲线与方程椭圆双曲线抛物线》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人得分一、选择题1．1 ．（汇编年高考广东卷（文））已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为(1,0)F ,离心率等于21,则C 的方程是 （ ）A ．14322=+y x B ．13422=+y x C ．12422=+y x D ．13422=+y x 2．（汇编年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））已知抛物线2:8C y x =与点()2,2M -,过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于,A B 两点,若0MA MB =,则k =（ ）A ．12B ．22C ．2D ．23．2 ．（汇编年高考新课标1（理））已知双曲线C :22221x y a b-=(0,0a b >>)的离心率为52,则C 的渐近线方程为 （ ）A ．14y x =±B ．13y x =±C ．12y x =±D ．y x =±4．(汇编全国2理)设1a >，则双曲线22221(1)x y a a -=+的离心率e 的取值范围是（ ）A ．(22)，B ．(25)，C ．(25)，D ．(25)，5．（汇编浙江文数）（10）设O 为坐标原点，1F ,2F 是双曲线2222x y 1a b-=（a ＞0，b＞0）的焦点，若在双曲线上存在点P ，满足∠1F P 2F =60°，∣OP ∣=7a ,则该双曲线的渐近线方程为（ ）（A ）x ±3y=0 （B ）3x ±y=0（C ）x ±2y =0 （D ）2x ±y=06．（汇编全国2文）12．设12F F ，分别是双曲线2219y x +=的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且120PF PF =，则12PF PF +=（ ） A ．10B ．210C ．5D ．257．（汇编全国文9）中心在原点，准线方程为x =±4，离心率为21的椭圆方程是（ ）A ．3422y x +＝1 B ．4322y x +＝1C ．42x ＋y 2＝1 D ．x 2＋42y ＝18．（汇编全国3理7）设双曲线的焦点在x 轴上，两条渐近线为12y x =±，则双曲线的离心率e =（ ）A. 5B. 5C.52D.549．（汇编福建理）设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为12,F F ，若曲线Γ上存在点P 满足1122::4:3:2PF F F PF =，则曲线Γ的离心率等于（ ）．A ．12或32B ．23或2C ．12或2D ．23或3210．若过点(01)-，的直线l 与抛物线22y x =有且只有一个交点，则这样的直线l 共有 条． [答]( ) A 1 B 2 C 3 D 4第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人得分二、填空题11．如图，已知点P 是以F 1、F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)上一点，若PF 1⊥PF 2，tan ∠PF 1F 2＝12，则此椭圆的离心率是______．12．设双曲线22221x y a b-=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线的右支上，且124PF PF =,则此双曲线离心率的最大值为 ▲ ．13．已知抛物线)0(22>=p px y 上一点),1(m M 到其焦点的距离为5，双曲线122=-ay x 的左顶点为A ，若双曲线一条渐近线与直线AM 垂直，则实数a 的值为14．设平面区域D 是由双曲线1422=-x y 的两条渐近线和抛物线28y x =-的准线所围成的三角形（含边界与内部）．若点D y x ∈),(，则目标函数y x z +=的最大值为_______.15．在平面直角坐标系xoy 中，P 是椭圆221259x y +=上的一点，F 是椭圆的左焦点，且()1,2OQ OP OF =+4OQ =,则点P 到该椭圆左准线的距离为 5216．椭圆221x my +=的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为14。
新人教版高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.2.2双曲线方程及性质的应用高效测评新人教A版选修1_1
2016-2017学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.2.2 双曲线方程及性质的应用高效测评 新人教A 版选修1-1一、选择题(每小题5分，共20分)1．过点(0,1)与双曲线x 2－y 2＝1仅有一个公共点的直线共有( ) A ．0条 B ．2条 C ．4条D ．6条解析： 由题意知直线的斜率存在，设直线方程为y ＝kx ＋1代入双曲线方程得(1－k 2)x 2－2kx －2＝0当1－k 2＝0时，方程组有一解，直线与双曲线仅有一个公共点． 当1－k 2≠0，Δ＝4k 2－4(1－k 2)×(－2)＝0.即k ＝±2时，方程组有一解，直线与双曲线仅有一个公共点． 综上，有4条直线满足题意． 答案： C2．如图，ax －y ＋b ＝0和bx 2＋ay 2＝ab (ab ≠0)所表示的曲线只可能是( )解析： ax －y ＋b ＝0可化为y ＝ax ＋b ，bx 2＋ay 2＝ab 可化为x 2a ＋y 2b＝1.若ab >0，则A 中曲线错误，B 中曲线不存在． 若ab <0，则D 中曲线错误，故选C. 答案： C3．已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为( )A.x 23－y 26＝1 B ．x 24－y 25＝1C.x 26－y 23＝1 D ．x 25－y 24＝1解析： 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由题意知c ＝3，a 2＋b 2＝9，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)则有：⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b2＝1，x 22a 2－y22b 2＝1，两式作差得：y 1－y 2x 1－x 2＝b 2x 1＋x 2a 2y 1＋y 2＝－12b 2－15a 2＝4b25a2，又AB 的斜率是－15－0－12－3＝1，所以将4b 2＝5a 2代入a 2＋b 2＝9得a 2＝4，b 2＝5， 所以双曲线标准方程是x 24－y 25＝1，故选B.答案： B4．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为( )A.x 25－y 24＝1 B ．x 24－y 25＝1C.x 23－y 26＝1 D ．x 26－y 23＝1解析： ∵双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b ax ，圆C 的标准方程为(x －3)2＋y2＝4，∴圆心为C (3,0)．又渐近线方程与圆C 相切，即直线bx －ay ＝0与圆C 相切， ∴3ba 2＋b 2＝2，∴5b 2＝4a 2.①又∵x 2a 2－y 2b2＝1的右焦点F 2(a 2＋b 2，0)为圆心C (3,0)，∴a 2＋b 2＝9.② 由①②得a 2＝5，b 2＝4.∴双曲线的标准方程为x 25－y 24＝1.答案： A二、填空题(每小题5分，共10分)5．若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，那么k 的取值范围是________．解析： ⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝6，y ＝kx ＋2，x 2－(kx ＋2)2＝6，(1－k 2)x 2－4kx －10＝0有两个不同的正根．则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝40－24k 2>0，x 1＋x 2＝4k 21－k 2>0，x 1x 2＝－101－k 2>0，得－153<k <－1. 答案： ⎝ ⎛⎭⎪⎫－153，－1 6．已知双曲线x 2a －y 2b＝1与直线x ＋y －1＝0相交于P ，Q 两点，且OP →·OQ →＝0(O 为原点)，则1a －1b的值为________．解析： 设P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x 2a －y 2b＝1，x ＋y －1＝0，则(b －a )x 2＋2ax －a －ab ＝0. 所以x 1＋x 2＝－2a b －a ，x 1x 2＝－a －abb －a， y 1y 2＝(1－x 1)(1－x 2)＝1－(x 1＋x 2)＋x 1x 2，根据OP →·OQ →＝0，得x 1x 2＋y 1y 2＝0， 即1－(x 1＋x 2)＋2x 1x 2＝0， 因此1＋2a b －a ＋2×－a －ab b －a＝0， 化简得b －a ab ＝2，即1a －1b＝2. 答案： 2三、解答题(每小题10分，共20分)7．直线y ＝kx ＋1与双曲线3x 2－y 2＝1相交于A ，B 两点，当k 为何值时，A ，B 在双曲线的同一支上？当k 为何值时，A ，B 分别在双曲线的两支上？解析： 把y ＝kx ＋1代入3x 2－y 2＝1，整理， 得(3－k 2)x 2－2kx －2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，要使直线与双曲线有两个交点，则需满足：k ≠±3，且Δ＝24－4k 2＞0.由Δ＞0，解得－6＜k ＜6， 所以当－6＜k ＜6，且k ≠±3时，一元二次方程有两解，直线与双曲线有两个交点． 若A ，B 在双曲线的同一支上，须x 1x 2＝2k 2－3＞0， 解得k ＜－3或k ＞3；若A ，B 分别在双曲线的两支上，须x 1x 2＝2k 2－3＜0， 解得－3＜k ＜ 3.所以，当－6＜k ＜－3或3＜k ＜6时，A ，B 两点在同一支上；当－3＜k ＜3时，A ，B 两点在双曲线的两支上．8．经过点M (2,2)作直线l 交双曲线x 2－y 24＝1于A ，B 两点，且M 为AB 中点．(1)求直线l 的方程； (2)求线段AB 的长．解析： (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入双曲线方程得x 21－y 214＝1，x 22－y 224＝1，两式相减得x 21－x 22－⎝ ⎛⎭⎪⎫y 214－y 224＝0，(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－14(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.∵M 为AB 的中点， ∴x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝4， ∴4(x 1－x 2)－(y 1－y 2)＝0，k l ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4，∴l 的方程为y －2＝4(x －2)， 即y ＝4x －6.(2)将y ＝4x －6代入到x 2－y 24＝1中得3x 2－12x ＋10＝0，故x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝103，∴|AB |＝＋k2x 1＋x 22－4x 1x 2]＝23102.9．(10分)已知双曲线C ：2x 2－y 2＝2与点P (1,2)．(1)求过点P (1,2)的直线l 的斜率的取值范围，使l 与C 有两个交点． (2)若Q (1,1)，试判断以Q 为中点的弦是否存在．解析： (1)当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x ＝1，与双曲线C 只有一个交点． 当l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －2＝k (x －1)，代入C 的方程，并整理得(2－k 2)x 2＋2(k 2－2k )x －k 2＋4k －6＝0.①(ⅰ)当2－k 2＝0，即k ＝±2时，方程①有一个根，l 与C 只有一个交点． (ⅱ)当2－k 2≠0，即k ≠±2时，Δ＝[2(k 2－2k )]2－4(2－k 2)(－k 2＋4k －6)＝16(3－2k )，当Δ>0，即k <32时，又k ≠±2，故当k <－2或－2<k <2或2<k <32时，方程①有两个不等实根，l 与C 有两个交点．(2)假设以Q 为中点的弦存在，设为AB ，且A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则2x 21－y 21＝2,2x 22－y 22＝2，两式相减得：2(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝(y 1－y 2)(y 1＋y 2) 又∵x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，∴2(x 1－x 2)＝y 1－y 2， 即k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2， 由(1)可知直线AB 与双曲线C 无交点， 所以假设不正确，即以Q 为中点的弦不存在．。
(统考版)2023高考数学二轮专题复习：圆锥曲线的定义、方程与性质课件
3 6
4
答案：
x2
(2)[2022·新高考Ⅱ卷]已知直线l与椭圆6 Nhomakorabeay2
+ ＝1在第一象限交于A，
3
B两点，l与x轴、y轴分别交于M，N两点，且|MA|＝|NB|，|MN|＝2 3，
x＋ 2y－2 2＝0
则l的方程为______________．
归纳总结
直线与圆锥曲线关系的求解技巧
18
16
2
x
y2
C． + ＝1
3
2
答案：B
x2
y2
B． + ＝1
9
8
2
x
D． ＋y2＝1
2
(2)[2022·贵州毕节模拟预测]如图，唐金筐宝钿团花纹金杯出土于西
安，这件金杯整体造型具有玲珑剔透之美，充分体现唐代金银器制作
的高超技艺，是唐代金银细工的典范之作．该杯主体部分的轴截面可
以近似看作双曲线C的一部分，若C的中心在原点，焦点在x轴上，离
(1)对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在
使用根与系数的关系时，要注意使用条件Δ>0，在用“点差法”时，
要检验直线与圆锥曲线是否相交．
(2)椭圆
x2
a2
y2
+ 2
b
＝1(a>b>0)截直线所得的弦的中点是P(x0，y0)(y0≠0)，
b2 x0
则直线的斜率为－ 2 .
a y0
x2
c
a
2c
2a
＝ 7m，所以C的离心率e＝ ＝ ＝
F1 F2
PF1 − PF2
＝
7m
7
高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.4.1 抛物线及其标准方程学业分层测评 新人教A版选修2-1-
【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.4.1 抛物线及其标准方程学业分层测评 新人教A 版选修2-1(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．准线与x 轴垂直，且经过点(1，－2)的抛物线的标准方程是( ) A ．y 2＝－2x B ．y 2＝2x C ．x 2＝2yD ．x 2＝－2y【解析】 由题意可设抛物线的标准方程为y 2＝ax ，则(－2)2＝a ，解得a ＝2，因此抛物线的标准方程为y 2＝2x ，故选B.【答案】 B2．以双曲线x 216－y 29＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为( )A ．y 2＝16x B ．y 2＝－16x C ．y 2＝8xD ．y 2＝－8x【解析】 因为双曲线x 216－y 29＝1的右顶点为(4，0)，即抛物线的焦点坐标为(4，0)，所以抛物线的标准方程为y 2＝16x .【答案】 A3．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的斜率为2，且右焦点与抛物线y2＝43x 的焦点重合，则该双曲线的离心率等于( )A. 2B. 3 C ．2D ．2 3【解析】 抛物线的焦点为(3，0)，即c ＝ 3.双曲线的渐近线方程为y ＝b a x ，由b a＝2，即b ＝2a ，所以b 2＝2a 2＝c 2－a 2，所以c 2＝3a 2，即e 2＝3，e ＝3，即离心率为 3. 【答案】 B4．抛物线y 2＝12x 的准线与双曲线y 23－x 29＝－1的两条渐近线所围成的三角形的面积为( )A ．3 3B ．2 3C ．2D. 3【解析】 抛物线y 2＝12x 的准线为x ＝－3，双曲线的两条渐近线为y ＝±33x ，它们所围成的三角形为边长等于23的正三角形，所以面积为33，故选A.【答案】 A5．抛物线y 2＝8x 的焦点到准线的距离是( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．8【解析】 由y 2＝2px ＝8x 知p ＝4，又焦点到准线的距离就是p .故选C. 【答案】 C 二、填空题6．抛物线y 2＝2x 上的两点A ，B 到焦点的距离之和是5，则线段AB 的中点到y 轴的距离是________．【解析】 抛物线y 2＝2x 的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，准线方程为x ＝－12，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AF |＋|BF |＝x 1＋12＋x 2＋12＝5，解得x 1＋x 2＝4，故线段AB 的中点横坐标为2.故线段AB 的中点到y 轴的距离是2.【答案】 27．对标准形式的抛物线，给出下列条件：①焦点在y 轴上；②焦点在x 轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2，1)．其中满足抛物线方程为y 2＝10x 的是________．(要求填写适合条件的序号)【解析】 抛物线y 2＝10x 的焦点在x 轴上，②满足，①不满足；设M (1，y 0)是y 2＝10x上的一点，则|MF |＝1＋p 2＝1＋52＝72≠6，所以③不满足；由于抛物线y 2＝10x 的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0，过该焦点的直线方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －52，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2，1)时，则k ＝－2，此时存在，所以④满足．【答案】 ②④8．抛物线y ＝2x 2的准线方程为________．【解析】 化方程为标准方程为x 2＝12y ，故p 2＝18，开口向上，∴准线方程为y ＝－18.【答案】 y ＝－18三、解答题9．求焦点在x 轴上，且焦点在双曲线x 24－y 22＝1上的抛物线的标准方程．【解】 由题意可设抛物线方程为y 2＝2mx (m ≠0)，则焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫m2，0. ∵焦点在双曲线x 24－y 22＝1上，∴m 24×4＝1，求得m ＝±4， ∴所求抛物线方程为y 2＝8x 或y 2＝－8x .10．已知平面上动点P 到定点F (1，0)的距离比点P 到y 轴的距离大1，求动点P 的轨迹方程. 【导学号：18490069】【解】 法一 设点P 的坐标为(x ，y )， 则有（x －1）2＋y 2＝|x |＋1. 两边平方并化简，得y 2＝2x ＋2|x |.∴y 2＝⎩⎪⎨⎪⎧4x （x ≥0），0（x ＜0），即点P 的轨迹方程为y 2＝4x (x ≥0)或y ＝0(x ＜0)．法二 由题意知，动点P 到定点F (1，0)的距离比到y 轴的距离大1，由于点F (1，0)到y 轴的距离为1，故当x ＜0时，直线y ＝0上的点符合条件；当x ≥0时，原命题等价于点P 到点F (1，0)与到直线x ＝－1的距离相等，故点P 的轨迹是以F 为焦点，x ＝－1为准线的抛物线，方程为y 2＝4x .故所求动点P 的轨迹方程为y 2＝4x (x ≥0)或y ＝0(x ＜0)．[能力提升]1．已知P 为抛物线y 2＝4x 上的一个动点，直线l 1：x ＝－1，l 2：x ＋y ＋3＝0，则P 到直线l 1，l 2的距离之和的最小值为( )A ．2 2B ．4 C. 2D.322＋1 【解析】 将P 点到直线l 1：x ＝－1的距离转化为点P 到焦点F (1，0)的距离，过点F作直线l 2的垂线，交抛物线于点P ，此即为所求最小值点，∴P 到两直线的距离之和的最小值为|1＋0＋3|12＋12＝22，故选A. 【答案】 A2．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点O 为原点，若|AF |＝3，则△AOB 的面积为( )A.22B. 2C.322D ．2 2【解析】 根据题意画出简图(图略)，设∠AFO ＝θ(0<θ<π)，|BF |＝m ，则点A 到准线l ：x ＝－1的距离为3，得3＝2＋3cos θ，得cos θ＝13，又m ＝2＋m cos(π－θ)，得m ＝21＋cos θ＝32，△AOB 的面积为S ＝12·|OF |·|AB |·sin θ＝12×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋32×223＝322，故选C.【答案】 C3．如图241是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2 m ，水面宽4 m ．水位下降1 m 后，水面宽________m.图241【解析】 以拱顶为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．设抛物线的标准方程为x 2＝－2py (p >0)． 则A (2，－2)，代入方程得p ＝1， ∴抛物线的方程为x 2＝－2y ，设B (x 0，－3)(x 0<0)代入方程得x 0＝－ 6. ∴此时的水面宽度为2 6 m.【答案】 2 64．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 1，点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－263是两条曲线的一个公共点. 【导学号：18490070】 (1)求抛物线的方程； (2)求双曲线的方程．【解】 (1)把M ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－263代入方程y 2＝2px ，得p ＝2，因此抛物线的方程为y 2＝4x .(2)抛物线的准线方程为x ＝－1，所以F 1(－1，0)，设双曲线的右焦点为F ，则F (1，0)，于是2a ＝||MF 1|－|MF ||＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪73－53＝23， 因此a ＝13.又因为c ＝1，所以b 2＝c 2－a 2＝89，于是，双曲线的方程为x 219－y 289＝1.。
高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1 曲线与方程学业
2.1 曲线与方程(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．曲线x 2－xy －y 2－3x ＋4y －4＝0与x 轴的交点坐标是( ) A ．(4,0)和(－1,0) B ．(4,0)和(－2,0) C ．(4,0)和(1,0)D ．(4,0)和(2,0)【解析】 在曲线x 2－xy －y 2－3x ＋4y －4＝0中，令y ＝0，则x 2－3x －4＝0，∴x ＝－1或x ＝4.∴交点坐标为(－1,0)和(4,0)． 【答案】 A2．方程(x 2－4)(y 2－4)＝0表示的图形是( ) A ．两条直线 B ．四条直线 C ．两个点D ．四个点【解析】 由(x 2－4)(y 2－4)＝0得(x ＋2)(x －2)(y ＋2)·(y －2)＝0，所以x ＋2＝0或x －2＝0或y ＋2＝0或y －2＝0，表示四条直线．【答案】 B3．在平面直角坐标系xOy 中，若定点A (1,2)与动点P (x ，y )满足OP →·OA →＝4，则点P 的轨迹方程是( )A ．x ＋y ＝4B ．2x ＋y ＝4C ．x ＋2y ＝4D ．x ＋2y ＝1【解析】 由OP →＝(x ，y )，OA →＝(1,2)得OP →·OA →＝(x ，y )·(1,2)＝x ＋2y ＝4，则x ＋2y ＝4即为所求的轨迹方程，故选C.【答案】 C4．方程(2x －y ＋2)·x 2＋y 2－1＝0表示的曲线是( )【导学号：15460023】A ．一个点与一条直线B ．两个点C ．两条射线或一个圆D ．两个点或一条直线或一个圆 【解析】 原方程等价于x 2＋y 2－1＝0，即x 2＋y 2＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2＝0，x 2＋y 2－1≥0，故选C.【答案】 C5．已知方程y ＝a |x |和y ＝x ＋a (a ＞0)所确定的两条曲线有两个交点，则a 的取值范围是( )A ．a ＞1B ．0＜a ＜1C ．0＜a ＜1或a ＞1D ．a ∈∅【答案】 A 二、填空题6．“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”是“方程f (x ，y )＝0是曲线C 的方程”的________条件．【解析】 “方程f (x ，y )＝0是曲线C 的方程 ”⇒“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”，反之不成立．【答案】 必要不充分7．方程x －3·(x ＋y ＋1)＝0表示的几何图形是________________． 【解析】 由方程得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋1＝0，x －3≥0，或x －3＝0，即x ＋y ＋1＝0(x ≥3)或x ＝3. 【答案】 一条射线和一条直线8．已知定点F (1,0)，动点P 在y 轴上运动，点M 在x 轴上，且PM →·PF →＝0，延长MP 到点N ，使得|PM →|＝|PN →|，则点N 的轨迹方程是________．【解析】 由于|PM →|＝|PN →|，则P 为MN 的中点．设N (x ，y )，则M (－x,0)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 2，由PM →·PF →＝0，得⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ，－y 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－y 2＝0，所以(－x )·1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 2＝0，则y 2＝4x ，即点N 的轨迹方程是y 2＝4x .【答案】 y 2＝4x 三、解答题9．如图211，圆O 1与圆O 2的半径都是1，|O 1O 2|＝4，过动点P 分别作圆O 1、圆O 2的切线PM ，PN (M ，N 分别为切点)，使得|PM |＝2|PN |，试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程．图211【解】 以O 1O 2的中点为原点，O 1O 2所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，得O 1(－2,0)，O 2(2,0)． 连接PO 1，O 1M ，PO 2，O 2N . 由已知|PM |＝2|PN |，得 |PM |2＝2|PN |2，又在Rt △PO 1M 中，|PM |2＝|PO 1|2－|MO 1|2， 在Rt △PO 2N 中，|PN |2＝|PO 2|2－|NO 2|2， 即得|PO 1|2－1＝2(|PO 2|2－1)．设P (x ，y )，则(x ＋2)2＋y 2－1＝2[(x －2)2＋y 2－1]， 化简得(x －6)2＋y 2＝33.因此所求动点P 的轨迹方程为(x －6)2＋y 2＝33.10．△ABC 的三边长分别为|AC |＝3，|BC |＝4，|AB |＝5，点P 是△ABC 内切圆上一点，求|PA |2＋|PB |2＋|PC |2的最小值与最大值．【解】因为|AB |2＝|AC |2＋|BC |2，所以∠ACB ＝90°.以C 为原点O ，CB ，CA 所在直线分别为x 轴、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，由于|AC |＝3，|BC |＝4，得C (0,0)，A (0,3)，B (4,0)．设△ABC 内切圆的圆心为(r ，r )， 由△ABC 的面积＝12×3×4＝32r ＋2r ＋52r ，得r ＝1，于是内切圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1⇒x 2＋y 2＝2x ＋2y －1， 由(x －1)2≤1⇒0≤x ≤2.设P (x ，y )，那么|PA |2＋|PB |2＋|PC |2＝x 2＋(y －3)2＋(x －4)2＋y 2＋x 2＋y 2＝3(x 2＋y 2)－8x －6y ＋25＝3(2x ＋2y －1)－8x －6y ＋25＝22－2x ，所以当x ＝0时，|PA |2＋|PB |2＋|PC |2取最大值为22， 当x ＝2时取最小值为18.[能力提升]1．到点A (0,0)，B (－3,4)的距离之和为5的轨迹方程是( ) A ．y ＝－43x (－3≤x ≤0)B ．y ＝－43x (0≤x ≤4)C ．y ＝－43x (－3≤x ≤4)D ．y ＝－43x (0≤x ≤5)【解析】 注意到|AB |＝5，则满足到点A (0,0)，B (－3,4)的距离之和为5的点必在线段AB 上，因此，方程为y ＝－43x (－3≤x ≤0)，故选A.【答案】 A2．已知动点P 到定点(1,0)和定直线x ＝3的距离之和为4，则点P 的轨迹方程为( )【导学号：15460024】A ．y 2＝4x B ．y 2＝－12(x －4)C ．y 2＝4x (x ≥3)或y 2＝－12(x －4)(x <3) D ．y 2＝4x (x ≤3)或y 2＝－12(x －4)(x >3) 【解析】 设P (x ，y )，由题意得x －2＋y 2＋|x －3|＝4.若x ≤3，则y 2＝4x ；若x >3，则y 2＝－12(x －4)，故选D.【答案】 D3．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|PA |＝2|PB |，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于________．【解析】 设动点P (x ，y )， 依题意|PA |＝2|PB |， ∴x ＋2＋y 2＝2x －2＋y 2，化简得(x －2)2＋y 2＝4， 方程表示半径为2的圆， 因此图形的面积S ＝π·22＝4π. 【答案】 4π4．过点P (2,4)作两条互相垂直的直线l 1、l 2，若l 1交x 轴于A 点，l 2交y 轴于B 点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程．【解】 法一 设点M 的坐标为(x ，y )，∵M 为线段AB 的中点，∴A 点的坐标为(2x,0)，B 点的坐标为(0,2y )． ∵l 1⊥l 2，且l 1，l 2过点P (2,4)， ∴PA ⊥PB ，即k PA ·k PB ＝－1， 而k PA ＝4－02－2x ＝21－x(x ≠1)，k PB ＝4－2y 2－0＝2－y1， ∴21－x ·2－y 1＝－1(x ≠1)， 整理得x ＋2y －5＝0(x ≠1)．∵当x ＝1时，A ，B 的坐标分别为(2,0)，(0,4)， ∴线段AB 的中点坐标是(1,2)，它满足方程x ＋2y －5＝0. 综上所述，点M 的轨迹方程是x ＋2y －5＝0.法二 设点M 的坐标为(x ，y )，则A ，B 两点的坐标分别是(2x,0)，(0,2y )，连接PM . ∵l 1⊥l 2，∴2|PM |＝|AB |. 而|PM |＝x －2＋y －2，|AB |＝x2＋y 2，∴2x －2＋y －2＝4x 2＋4y 2，化简得x ＋2y －5＝0，即为所求的点M 的轨迹方程.。
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天津新人教版数学高三专题十《圆锥曲线与方程》
一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
1曲线 与曲线 (0 <k<9) 具有（ ） A 、相等的长、短轴 B 、相等的焦距
C 、相等的离心率
D 、相同的准线
2、若k 可以取任意实数，则方程x 2+ky 2
=1所表示的曲线不可能是( ) A.直线 B.圆 C.椭圆或双曲线 D.抛物线
3、如果抛物线y 2
= ax 的准线是直线x=-1，那么它的焦点坐标为（ ）
A ．（1, 0）
B ．（2, 0）
C ．（3, 0）
D ．（－1, 0）
4、平面内过点A （-2，0且与直线x=2相切的动圆圆心的轨迹方程是 （ ）
A ． y 2=－2x
B ． y 2=－4x
C ．y 2=－8x
D ．y 2
=－16x
5、双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为F 1、F 2，∠F 1MF 2=120°，则双曲线的离心率为 （ ）
A ．3
B ．
2
6
C ．
3
6 D ．
3
3
6、若椭圆的中心及两个焦点将两条准线之间的距离四等分，则椭圆的离心
率为（ ）
A 、
B 、
C 、
D 、 7、过点P （2，-2）且与2
2x -y 2
=1有相同渐近线的双曲线方程是（ ）
A ．14222=-x y
B ．12422=-y x
C ．12422=-x y
D ．14
22
2=-y x 8、抛物线21
4
y x =
关于直线0x y -=对称的抛物线的焦点坐标是（ ） A 、(1,0) B 、1(,0)16 C 、(0,0) D 、1
(0,)16
9、中心在原点，对称轴为坐标轴，离心率e =
30x -=的双
曲线方程是 （ ）
（A ）22134x y -= （B ）22153y x -= （C ）22124x y -= （D ）22
142
y x -= 10、椭圆上一点P 到一个焦点的距离恰好等于短半轴的长b ，且它的离心率2
e =，则P 到另一焦点的对应准线的距离为 （ ）
192522=+y x 192522=-+-k
y k x 2
1
22
233
3
（A
）
6 （B
（C
）2
（D
） 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上。
11、椭圆x 2
9 +y
2
4
=1(x ≥0,y ≥0)与直线x-y-5=0的距离的最小值为__________
12、过双曲线
的两焦点作实轴的垂线，分别与渐近线交于A 、B 、C 、D 四点，则矩形ABCD 的面积为
13、抛物线的焦点为椭圆14
92
2=+y x 的左焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为 .
14、 动点到直线x=6的距离是它到点A(1，0)的距离的2倍，那么动点的轨迹方程是_________________________．
三、解答题：本大题共6小题，共74分。
解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤 15.（本小题满分12
分）已知点(A
和B 动点C 引A 、B 两点的距离之差 的绝对值为2，点C 的轨迹与直线2y x =-交于D 、E 两点，求线段DE 的长。
13
22
=-y x
16.（本小题满分12分）已知抛物线的顶点为椭圆22
221x y a b
+=(0)a b >>的中心.椭圆的离
心率是抛物线离心率的一半，且它们的准线互相平行。
又抛物线与椭圆交于点
2(,33
M -，求抛物 线与椭圆的方程.
17.（本小题满分12分） 双曲线)0,1(122
22>>=-b a b
y a x 的焦距为2c ，直线l 过点
（a ，0）和（0，b 且点（1，0）到直线l 的距离与点（－1，0）到直线l 的距离之和
.5
4
c s ≥
求双曲线的离心率e 的取值范围.
,6）．
18.（本小题满分12分）已知双曲线经过点M（6
（1）如果此双曲线的右焦点为F（3，0右准线为直线x= 1，求双曲线方程；
（2）如果此双曲线的离心率e=2，求双曲线标准方程．
参考答案
一、选择题
1、B
2、D
3、A
4、C
5、B
6、B
7、A
8、D
9、C 10、D 二、填空题
11、 -8 12、 13 、 x y 542-= 14、 3x 2＋4y 2＋4x
32=0
三、解答题
15.解：设点(,)C x y ，则 2.CA CB -=±根据双曲线定义，可知C 的轨迹是双曲线
22221,x y a b
-=由22,223,a c AB ===得22
1,2,a b ==
故点C 的轨迹方程是2
2
1.2
y x -= 由2
212
2y x y x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩
得2
460,0,x x +-=∆>∴直线与双曲线有两个交点，设 1122(,),(,),D x y E x y 则12124,6,x x x x +=-=-
故2121212112()44 5.DE x x x x x x =+-=
+-=
16. 因为椭圆的准线垂直于x 轴且它与抛物线的准线互相平行 所以抛物线的焦点在x 轴上，可设抛物线的方程为)0(2
≠=a ax y
)362,32(-M 在抛物线上
a 3
2
)362(2=-
∴ 4=∴a ∴抛物线的方程为x y 42= )362,32(-M 在椭圆上 19249422=+∴b
a ①
又2
1
22=-=
=a b a a
c e ② 由①②可得3,42
2
==b a
33
16
∴ 椭圆的方程是13
42
2=+y x 17. 解：直线l 的方程为
1=+b
y
a x ，即 .0=-+a
b ay bx 由点到直线的距离公式，且1>a ，得到点（1，0）到直线l 的距离
2
2
1)1(b
a a
b d +-=
，
同理得到点（－1，0）到直线l 的距离2
2
2)1(b
a a
b d ++=
.222
221c
ab
b a ab d d s =
+=
+= 由,5
42,54c c ab c s ≥≥
得 即 .25222c a c a ≥- 于是得 .025254,2152422≤+-≥-e e e e 即
解不等式，得
.54
5
2≤≤e 由于,01>>e 所以e 的取值范围是 .52
5
≤≤e 18.解：（1）∵双曲线经过点M （6,6
且双曲线的右准线为直线x= 1，右焦点为F （3，0） ∴由双曲线定义得：离心率1
6)06()36(1622--+-=-=
MF
e = 3 设P （x ，y ）为所求曲线上任意一点，
∴由双曲线定义得：1
)0()3(12
2--+-=-x y x x PF = 3 化简整理得 16
32
2=-y x （2）,22a c a
c
e =⇒==
a b b a c 3,222=∴+= 又
①当双曲线的焦点在x 轴上时，设双曲线标准方程为132
2
22=-
a y a x ，
∵点M （6,6）在双曲线上，∴
13662
2=-a a ， 解得42
=a ，122
=b ， 则所求双曲线标准方程为
112
42
2=-y x ②当双曲线的焦点在y 轴上时，设双曲线标准方程为
132
22
2=-
a
x a
y ，
∵点M （6,6）在双曲线上，∴136
622=-a
a ， 解得42
=a
，122=b ，
故所求双曲线方程为
11242
2=-y x 或 112
42
2
=-x y。