湖北仙桃中学高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》测试题(含答案解析)
一、选择题
1．已知抛物线24x y =上的一点M 到此抛物线的焦点的距离为2，则点M 的纵坐标是（ ） A ．0
B ．
12
C ．1
D ．2
2．中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4,-2），则它的离心率为
A B
C D 3．直线l 与抛物线22(0)y px p =>相交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，点P 是y 轴左侧一点，若线段PA ，PB 的中点都在抛物线上，则（ ） A ．PM 与y 轴垂直 B ．PM 的中点在抛物线上 C ．PM 必过原点
D ．PA 与PB 垂直
4．已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，若C 上存在一点P ，
使得12120F PF ︒
∠=，且12F PF △，则C 的离心率的取值范围是（ ）
A ．0,2⎛ ⎝⎦
B ．110,12⎛⎫
⎪⎝⎭
C ．11212⎫
⎪⎢
⎣⎭
D ．11,112⎛⎫
⎪⎝⎭
5．已知双曲线22
22:1x y C a b
-=（0a >，0b >）的左焦点为F ，右顶点为A ，过F 作C
的一条渐近线的垂线FD ，D 为垂足．若||||DF DA =，则C 的离心率为（ ）
A ．
B ．2
C D
6．设(,)P x y 8=，则点P 的轨迹方程为
（ ）
A ．22+1164x y =
B ．22+1416x y =
C ．22148x y -=
D ．22
184
x y -=
7．设1F 、2F 分别是双曲线C ：22
221x y a b
-=(0a >，0b >)的左、右焦点，若双曲线的
右支上存在一点P ，使得22()0OP OF F P +⋅=，O 为坐标原点，且12||3||PF PF =，则双曲线C 的离心率为（ ）．
A ．
1
2
B ．
62
2
+ C ．31+ D ．62+
8．若圆222210x y ax y +-++=与圆221x y +=关于直线1y x =-对称，过点
()2,C a a -的圆P 与y 轴相切，则圆心P 的轨迹方程为（ ）
A ．24480y x y -++=
B ．22220y x y +-+=
C ．2210y x y ---=
D ．24250y x y +-+=
9．如图，已知点()00,P x y 是双曲线22
1:143
x y C -=上的点，过点P 作椭圆
22
2:143
x y C +=的两条切线，切点为A 、B ，直线AB 交1C 的两渐近线于点E 、F ，O
是坐标原点，则OE OF ⋅的值为（ ）
A ．
34
B ．1
C ．
43
D ．
916
10．在平面直角坐标系中，,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-=相切，则圆C 面积的最小值为（ ） A ．
45
π B ．34
π
C ．(65)π-
D ．54
π
11．已知双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左、右焦点分别为12F F 、，圆222x y b +=与
双曲线在第一象限内的交点为M ，若123MF MF =.则该双曲线的离心率为（ ） A ．2 B ．3 C 2
D 312．已知椭圆r ：()22
2210x y a b a b
+=>>的右焦点为()1,0F ，且离心率为12，三角形
ABC 的三个顶点都在椭圆r 上，设它的三条边AB ､BC ､AC 的中点分别为D ､E ､M ，
且三条边所在直线的斜率分别为1k ､2k ､3k ，且1k ､2k ､3k 均不为0.O 为坐标原点，若直线
OD ､OE ､OM 的斜率之和为1.则
123
111
k k k ++=（ ） A ．43
-
B ．-3
C ．1813
-
D ．32
-
二、填空题
13．已知A 、B 分别是双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的左右顶点，M 是双曲线上异于
A 、
B 的动点，若直线MA 、MB 的斜率分别为12,k k ，始终满足()()1
2
f
k f k =，其中
()ln 2x f x ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，则C 的离心率为______ ．
14．设F 为抛物线2:3C y x =的焦点，过F 作直线交抛物线C 于A B 、两点，O 为坐标原点，则AOB ∆面积的最小值为__________．
15．直线l 经过抛物线C ：212y x =的焦点F ，且与抛物线C 交于A ，B 两点，弦AB 的长为16，则直线l 的倾斜角等于__________.
16．已知双曲线()222
2:10,0x y C a b a b
-=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，直线:36l y x =+过点1F ，且与双曲线C 在第二象限交于点P ，若点P 在以12F F 为直径的圆
上，则双曲线C 的离心率为_____________． 17．曲线
4
12
x x y y -
=
上的点到直线y =的距离的最大值是________．
18．中心在原点的椭圆1C 与双曲线2C 具有相同的焦点()1,0F c -、()()2,00F c c >，P 为
1C 与2C 在第一象限的交点，112PF F F =且25PF =，若双曲线2C 的离心率
()22,3e ∈，则椭圆1C 的离心率1e 的范围是__________.
19．在平面直角坐标系xOy 中，若直线2y x =与椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>在第一象限
内交于点P ，且以OP 为直径的圆恰好经过右焦点F ，则椭圆的离心率是______. 20．已知椭圆1C 和双曲线2C 的中心均在原点，且焦点均在x 轴上，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：
则2C 的虚轴长为______.
三、解答题
21．已知两点(2,0),(2,0)A B -，过动点P 作x 轴的垂线，垂足为H ，且满足
2||PA PB PH λ⋅=⋅，其中0λ≥．
（1）求动点(,)P x y 的轨迹C 的方程，并讨论C 的轨迹形状；
（2）过点(2,0)A -且斜率为1的直线交曲线C 于,M N 两点，若MN 中点横坐标为
2
3
-，求实数λ的值. 22．抛物线Γ的方程为22y px =（0p >）， ()1,2A 是Γ上的一点． （1）求p 的值，并求A 点处的切线方程；
（2）不过点A 且斜率为1-的直线交抛物线Γ于P 、Q 两点．证明：直线PA 、 QA 的倾斜角互补．
23．如图，设圆2212x y +=与抛物线24x y =相交于A ，B 两点，F 为抛物线的焦点.
（1）若过点F 且斜率为1的直线l 与抛物线和圆交于四个不同的点，从左至右依次为
1P ，2P ，3P ，4P ，求1234
PP P P +的值；
（2）若直线m 与抛物线相交于M ，N 两点，且与圆相切，切点D 在劣弧AB 上，求
MF NF +的取值范围.
24．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的离心率为12，过点
(03，，且BMN ∆是椭圆C 的内接三角形.
（1）若点B 为椭圆C 的上顶点，且原点O 为BMN ∆的垂心，求线段MN 的长； （2）若点B 为椭圆C 上的一动点，且原点O 为BMN ∆的重心，求原点O 到直线MN 距离的最小值.
25．已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的短轴为2，椭圆上的点到焦点的最短距离为
23.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知椭圆的右顶点和上顶点分别为,M N ，斜率为1
2
的直线l 与椭圆C 交于P Q 、两点，求证：直线MP 与NQ 的斜率之和为定值；
（3）过右焦点2F 作相互垂直的弦,AB CD ，求||||AB CD +的最小值.
26．已知抛物线24W y x =：的焦点为F ，直线2+y x t =与抛物线W 相交于,A B 两点. （1）将||AB 表示为t 的函数；
（2）若||AB =AFB △的周长.
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一、选择题 1．C 解析：C 【解析】
试题分析：先根据抛物线方程求得焦点坐标及准线方程，进而根据抛物线的定义可知点p 到焦点的距离与到准线的距离相等，进而推断出y p +1=2，求得y p ． 解：根据抛物线方程可求得焦点坐标为（0，1），准线方程为y=﹣1， 根据抛物线定义， ∴y p +1=2， 解得y p =1． 故选C ．
考点：抛物线的简单性质．
2．D
解析：D 【解析】
由题意知,过点(4,-2)的渐近线方程为y=-b a
x, ∴-2=-
b a
×4, ∴a=2b.
设b=k,则
∴e=
c a .
3．A
解析：A 【分析】
设()22120012,,,,,22y y P x y A y B y p p ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
,得出线段PA ，PB 的中点坐标，代入抛物线方程，得到1202y y y +=，从而得到答案. 【详解】
设()22120012,,,,,22y y P x y A y B y p p ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
则线段PA ，PB 的中点坐标分别为22
1200010222,,,2222y y x x y y y y p p ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪++
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
线段PA ，PB 的中点都在抛物线2
2(0)y px p =>上.
则2
12
0012
2200222222222y x y y p p y x y y p
p ⎧+⎪+⎛⎫⎪=⨯ ⎪⎪⎝⎭⎨⎪+⎪+⎛⎫=⨯⎪ ⎪⎝
⎭⎩，即22
1010022
20200240240y y y px y y y y px y ⎧-+-=⎨-+-=⎩ 所以12,y y 是方程22
000240y y y px y -+-=的两个实数根
所以1202y y y +=，所以0M y y =,即PM 与y 轴垂直 故选：A 【点睛】
关键点睛：本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线，解答本题的关键是由线段
PA ，PB 的中点都在抛物线2
2(0)y px p =>上得到221010022
20200240
240
y y y px y y y y px y ⎧-+-=⎨-+-=⎩，所以12,y y 是方程22000240y y y px y -+-=的两个实数根，即1202y y y +=，属于中档题.
4．C
解析：C 【分析】
根据椭圆定义以及余弦定理可得212
||||4PF PF b =
，然后使用等面积法可得内切圆半径
)r a c =-
，然后根据12
r a >
，化简即可. 【详解】
设12||2=F F c ，12F PF △内切圆的半径为r ． 因为12||+||2PF PF a =，所以
()2
2212121212||||||2||||(1cos1204|||)|F F PF PF PF PF a PF PF ︒=+-+=-，
则212
||||4PF PF b =．
由等面积法可得
)22211
(22)4sin12022
a c r
b a
c ︒+=⨯⨯=-，
整理得)r a c =-
，又r > 故1112
c a <．又12120F PF ︒∠=，所以16900F PO ︒∠≤
≤
则
2c a ≥
，从而11
212e ≤<．
故选：C 5．B
解析：B 【分析】
首先利用DF DA =，求点D 的坐标，再利用DF 与渐近线垂直，构造关于,a c 的齐次方程，求离心率. 【详解】
由条件可知(),0F c -，(),0A a ，由对称性可设条件中的渐近线方程是b
y x a
=
，线段FA 的中垂线方程是2a c x -=
，与渐近线方程b
y x a =联立方程，解得()2b a c y a
-=，DF DA =，即(),22b a c a c D a -⎛⎫- ⎪⎝⎭
， 因为DF 与渐近线b y x a =垂直，则()()22
b a
c a a a c b c -=----，
化简为2232222b c ab a a c b c ac a c -=+⇔=+， 即22b ac a =+，即2220c ac a --=，两边同时除以2a ， 得220e e --=，解得：1e =-（舍）或2e =. 故选：B 【点睛】
方法点睛：本题考查双曲线基本性质，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力，属于中档题型，一般求双曲线离心率的方法是1.直接法：直接求出,a c ，然后利用公式
c e a =求解；2.
公式法：c e a === 3.构造法：根据条件，可构造出
,a c 的齐次方程，通过等式两边同时除以2a ，进而得到关于e 的方程. 6．B
解析：B 【分析】
由椭圆的定义可得出点P 的轨迹是以12,F F 为焦点的椭圆，其中28a =
，c =，由此可得出椭圆的标准方程. 【详解】
由题意可知，点(,)P x y
到点1F
的距离与到点2(0,F -的距离之和为定值8，
并且128F F >=，
所以点P 的轨迹是以12,F F 为焦点的椭圆，所以28,4a a ==
，因为c =，所以
22216124b a c =-=-=， 所以点P 的轨迹方程为22+=1416
x y .
故选：B. 【点睛】
关键点点睛：解决本题的关键在于熟悉、灵活运用椭圆的定义，求出椭圆的焦点的位置，椭圆中的,,a b c .
7．C
解析：C 【分析】
由数量积为0推导出2OP OF =，在12Rt PF F 中求得1230PF F ∠=，由双曲线定义把
2PF 用a 表示，在12Rt PF F 用正弦的定义可得离心率．
【详解】 ∵
22()0OP OF F P +⋅=，∴22()()0OP OF OP OF +⋅-=，
即2
2
20OP OF -=，21OP OF c OF ===，
∴12PF PF ⊥，在12Rt PF F 中12||3||
PF PF =，∴1230PF F ∠=，
又212
PF PF a -=，∴2PF =
212
1sin 302
PF F F ====
∴21)a c =，1==c
e a
， 故选：C ． 【点睛】
关键点点睛：本题考查求双曲线的离心率，关键是找到关于,,a b c 的齐次式，本题中利用向量的数量积得出12PF PF ⊥，然后由两直角边比值求得一个锐角，利用双曲线的定义用
a 表示出直角边，然后用直角三角形中三角函数的定义或勾股定理可得,a c 的齐次式，从
而求得离心率．
8．D
解析：D 【分析】
首先根据两圆的对称性，列式求a ，再利用直接法求圆心P 的轨迹方程. 【详解】
由条件可知222210x y ax y +-++=的半径为1，并且圆心连线所在直线的斜率是1-，
()()2
2
22222101x y ax y x a y a +-++=⇔-++=，，圆心(),1a -，22r a =，
所以21
11
a a -⎧=-⎪⎨⎪=⎩，解得：1a =，即()2,1C -
设(),P x y ，由条件可知PC x =
x =，
两边平方后，整理为2
4250y x y +-+=. 故选：D 【点睛】
方法点睛：一般求曲线方程的方法包含以下几种：
1.直接法：把题设条件直接“翻译”成含,x y 的等式就得到曲线的轨迹方程.
2.定义法：运用解析几何中以下常用定义（如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发，直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程.
3.相关点法：首先要有主动点和从动点，主动点在已知曲线上运动，则可以采用此法.
9．B
解析：B 【分析】
设点()00,P x y ，求出直线AB 的方程为003412x x y y +=，联立直线AB 与双曲线两渐近线方程，求出点E 、F 的坐标，由此可计算得出OE OF ⋅的值. 【详解】
先证明结论：椭圆22
2:143
x y C +=在其上一点()00,M x y 的切线方程为003412x x y y +=.
由于点()00,M x y 在椭圆2C 上，则2
2
003412x y +=，
联立0022
34123412
x x y y x y +=⎧⎨+=⎩，消去y 得()()2222
0000342448160x y x x x y +-+-=， 即2
2
001224120x x x x -+=，即()2
00x x -=，
所以，直线003412x x y y +=与椭圆2C 相切.
所以，椭圆22
2:143
x y C +=在其上一点()00,M x y 的切线方程为003412x x y y +=.
本题中，设点()00,P x y ，设点()11,A x y 、()22,B x y ，
直线PA 的方程为113412x x y y +=，直线PB 的方程为223412x x y y +=，
由于点()00,P x y 在直线PA 、PB 上，可得101020
203412
3412x x y y x x y y +=⎧⎨+=⎩，
所以点()11,A x y 、()22,B x y 满足方程003412x x y y +=， 所以，直线AB 的方程为003412x x y y +=.
联立003412
x x y y y x +=⎧⎪
⎨=
⎪⎩
，得点E ⎫
，同理F ⎫.
因此，
(
)
(
)
(
)
()
2
2
222
2
00
00
048
36
12
13422OE OF x y y y ⋅=
-
=
=---. 故选：B. 【点睛】
结论点睛：在利用椭圆的切线方程时，一般利用以下方法进行直线： （1）设切线方程为y kx m =+与椭圆方程联立，由0∆=进行求解；
（2）椭圆22
221x y a b +=在其上一点()00,x y 的切线方程为00221x x y y a b +=，在应用此方程
时，首先应证明直线00221x x y y a b +=与椭圆22
221x y a b
+=相切.
10．A
解析：A 【详解】
试题分析：设直线:240l x y +-=因为1
||||2
C l OC AB d -=
=，1c d -表示点C 到直线l 的距离，所以圆心C 的轨迹为以O 为焦点，l 为准线的抛物线，圆C
的半径最小值为
112
25O l d -==，圆C
面积的最小值为2
45ππ=⎝⎭
．故本题的正确选项为A. 考点：抛物线定义.
11．D
解析：D 【分析】
本题首先可以通过题意画出图象并过M 点作12F F 垂线交12F F 于点H ，然后通过圆与双曲线的相关性质判断出三角形2OMF 的形状并求出高MH 的长度，MH 的长度即M 点纵坐标，然后将M 点纵坐标带入圆的方程即可得出M 点坐标，最后将M 点坐标带入双曲线方程即可得出结果. 【详解】
根据题意可画出以上图象，过M 点作12F F 垂线并交12F F 于点H ， 因为123MF MF =，M 在双曲线上，
所以根据双曲线性质可知，122MF MF a -=，即2232MF MF a -=，2MF a =， 因为圆222x y b +=的半径为b ，OM 是圆222x y b +=的半径，所以OM b =， 因为OM b =，2MF a =，2OF c =，222+=a b c ， 所以290OMF ，三角形2OMF 是直角三角形，
因为2MH
OF ，所以22OF MH OM MF ⨯=⨯，ab
MH c
=
，即M 点纵坐标为ab c
， 将M 点纵坐标带入圆的方程中可得222
2
2a b x b c +=，解得2b x c =，2,b ab M c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
将M 点坐标带入双曲线中可得42
2221b a a c c
-=，
化简得44
22
b a
a c ，2
2
2
4
22c
a a a c ，223c a =，3=
=c
e a
， 故选：D . 【点睛】
本题考查了圆锥曲线的相关性质，主要考查了圆与双曲线的相关性质及其综合应用，体现了了数形结合思想，提高了学生的逻辑思维能力，是难题.
12．A
解析：A
【分析】
根据椭圆的右焦点为()1,0F ，且离心率为1
2
，求出椭圆方程，由三角形ABC 的三个顶点都在椭圆r 上，利用点差法求解. 【详解】
因为椭圆的右焦点为()1,0F ，且离心率为12
， 所以1
1,
2
c c a ==，解得 22,3a b ==， 所以椭圆方程为：22
143
x y +=，
设 ()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，
则2222
12121,14343
y x y x +=+=， 两式相减得：
()()
1212
121243+-=--+y y x x y y x x ， 即143
OD AB k k =-， 同理
1414
,33
OM OE AC BC k k k k =-=-， 又直线OD ､OE ､OM 的斜率之和为1， 所以
()1231114433
OD OM OE k k k k k k ++=-++=-， 故选：A 【点睛】
本题主要考查椭圆方程的求法以及直线与椭圆的位置关系和中点弦问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
二、填空题
13．【分析】设出的坐标利用直线的斜率的乘积结合已知条件推出斜率乘积转化求解双曲线的离心率即可【详解】设由M 是双曲线上异于AB 的动点若直线MAMB 的斜率分别为则又则由得因为所以可得显然不成立；则所以所以故
【分析】
设出,,M A B 的坐标，利用直线的斜率的乘积，结合已知条件，推出斜率乘积，转化求解双曲线的离心率即可. 【详解】
设()()(),,,0,,0M m n A a B a -，
由M 是双曲线上异于A 、B 的动点，若直线MA 、MB 的斜率分别为12,k k ，
则2
1222
n n n k k m a m a m a ⋅=⋅=
+--， 又22221m n a b -=，则2212222
n b k k m a a ==⋅-， 由()ln 2x f x ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
， 得()()1212ln ,ln 22k k f k f k ⎛⎫⎛⎫
== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
因为()()1
2
f
k f k =，
所以21ln ln 22k k ⎛⎫⎛⎫
= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
可得
2122
k k
=显然不成立； 则2211ln ln ln 02222k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
所以
2121122
4k k k k ⋅⇒==，
所以c e a ===.
【点睛】
方法点睛：求双曲线离心率的值的常用方法：
由,a b 或,a c 的值，得e === 列出含有,,a b c 的齐次方程，借助222b c a =-消去b ，然后转化为关于e 的方程求解；
14．【解析】抛物线焦点为当直线的斜率不存在时即和轴垂直时面积最小将代入解得故故答案为点睛：本题主要考查了抛物线的简单性质直线与抛物线的位置关系该题最大的难点在于确定当直线在何位置时三角形的面积最大属于中
解析：9
8
【解析】
抛物线焦点为3,04⎛⎫ ⎪⎝⎭
，当直线的斜率不存在时，即和x 轴垂直时，面积最小，
将34x =
代入23y x =，解得3
2
y =±，故1339
22428OAB
S =⨯⨯⨯=，故答案为98
. 点睛：本题主要考查了抛物线的简单性质，直线与抛物线的位置关系，该题最大的难点在于确定当直线在何位置时，三角形的面积最大，属于中档题；将AOB ∆面积分为用x 轴将其分开，即可得121
2
OAB
OFB
OFA S
S
S OF y y =+=
-，故可得当直线的斜率不存在时， 即和x 轴垂直时，12y y -的值最大，即面积最大.
15．或【分析】设设直线方程为利用焦点弦长公式可求得参数【详解】由题意抛物线的焦点为则的斜率存在设设直线方程为由得所以所以所以直线的倾斜角为或故答案为：或【点睛】本题考查直线与抛物线相交问题解题方法是设而
解析：
3π或23π 【分析】
设1122(,),(,)A x y B x y ，设直线AB 方程为(3)y k x =-，利用焦点弦长公式
12AB x x p =++可求得参数k ．
【详解】 由题意6p
，抛物线的焦点为(3,0)F ， 16AB =，则AB 的斜率存在，
设1122(,),(,)A x y B x y ，设直线AB 方程为(3)y k x =-，
由2(3)12y k x y x =-⎧⎨=⎩得22226(2)90k x k x k -++=，所以2122
6(2)k x x k ++=，
所以12616AB x x =++=，2122
6(2)
10k x x k
++==，k =， 所以直线AB 的倾斜角为3
π
或23
π．
故答案为：3π
或23
π． 【点睛】
本题考查直线与抛物线相交问题，解题方法是设而不求思想方法，解题关键是掌握焦点弦长公式．
16．【分析】利用直线l 的斜率和点P 在以为直径的圆周上在直角三角形中求出和用定义求出代入离心率公式求解即可【详解】由题意可得则因为直线l 的斜率是3则因为点P 在以为直径的圆周上所以所以则故双曲线C 的离心率为
【分析】
利用直线l 的斜率和点P 在以12F F 为直径的圆周上，在直角三角形12PF F 中，求出1PF 和
2PF ，用定义求出a ，代入离心率公式求解即可．
【详解】
由题意可得2c =，则2124F F c ==． 因为直线l 的斜率是3
，则12sin PF F ∠=
，12cos PF F ∠=． 因为点P 在以12F F 为直径的圆周上，所以1290F PF ∠=︒，
所以11212cos PF F F PF F =∠=
，21212sin PF F F PF F =∠=，
则2125
PF PF a -=
=
，故双曲线C
的离心率为2c a =．
【点睛】
本题考查双曲线的性质，考查双曲线定义的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．
17．【分析】先根据绝对值的正负判断曲线方程的种类再画出图象数形结合分析即可【详解】解：曲线表示的方程等价于以下方程画出图象有：故是双曲线与渐近线方程所以曲线上的点到直线的距离的最大值为椭圆上的点到直线的
【分析】 先根据绝对值的正负判断曲线方程的种类，再画出图象，数形结合分析即可. 【详解】 解：曲线
4
12
x x y y -
=表示的方程等价于以下方程，
()()()22
2
222
10,02410,02
410,04
2x y x y x
y x y y x x y ⎧-
=≥≥⎪⎪⎪+=≥<⎨⎪⎪-=<<⎪⎩ ，画出图象有：
故2y x =是双曲线()2210,024x y x y -=≥≥与()22
10,042
y x x y -=<<渐近线方程，
所以曲线
4
12
x x y y -
=上的点到直线2y x =的距离的最大值为椭圆
()22
10,024
x y x y +=≥<上的点到直线2y x =的距离. 设直线()20y x m m =+<与曲线()2210,024
x y x y +=≥<相切，联立方程组，化简
得：
2242240x mx m ++-=，令()22
=81640m m ∆--=，解得22m =-
所以切线为：22y x =- 故两平行线22y x =
-2y x =
之间的距离为022
263
3
d +=
=
. 所以曲线
4
12
x x y y -
=上的点到直线2y x =26
. 26
. 【点睛】
本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，曲线上的点到直线的距离问题，是中档题.
18．【分析】由于P 为与在第一象限的交点分别在椭圆与双曲线的焦点三角形中依照定义构建关系得到再分别由其对应离心率公式表示并由不等式性质求得答案【详解】设椭圆：与双曲线：因为P 为与在第一象限的交点所以焦点三
解析：32,53⎛⎫
⎪⎝⎭
【分析】
由于P 为1C 与2C 在第一象限的交点，112PF F F =，分别在椭圆与双曲线的焦点三角形中依照定义构建关系得到2a c m =-，再分别由其对应离心率公式表示并由不等式性质求得答案. 【详解】
设椭圆1C ：()222210x y a b a b +=>>与双曲线2C ：()22
2210,0x y m n m n
-=>>，
因为P 为1C 与2C 在第一象限的交点，112PF F F =，所以焦点三角形12PF F 是以2PF 为底边的等腰三角形， 即在椭圆中有1221
122222PF PF a PF a c PF F F c ⎧+=⎪
⇒=-⎨
==⎪⎩①；同理，在双曲线中有
222PF c m =-②，
由①②可知，2a c m =-，
因为()221112,3,,32c e m e ⎛⎫
=∈∈ ⎪⎝⎭
，且
12
11
1222c c e m a c m c e ====---， 由不等式的性质可知，132,53e ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
.
故答案为：32,53⎛⎫
⎪⎝⎭
【点睛】
本题考查椭圆与双曲线共焦点问题中求椭圆的离心率范围问题，属于中档题.
19．【分析】由题意可得轴求得的坐标由在直线上结合离心率公式解方程可得所求值【详解】解：以为直径的圆恰好经过右焦点可得轴令可得不妨设由在直线上可得即为由可得解得（负的舍去）故答案为:【点睛】本题考查椭圆的
1. 【分析】
由题意可得PF x ⊥轴，求得P 的坐标，由P 在直线2y x =上，结合离心率公式，解方程可得所求值． 【详解】
解：以OP 为直径的圆恰好经过右焦点(c,0)F ，可得PF x ⊥轴，令x c =，
可得2
b y a =±=±
，不妨设2(,)b P c a ，由2
(,)b P c a 在直线2y x =上，可得2
2b c a
=，
即为2222a c b ac -==，由c
e a
=可得2210e e +-=
，解得1e =（负的舍去）. 故答案为
1. 【点睛】
本题考查椭圆的方程和性质，考查了圆的性质.本题的关键是由圆过焦点得出P 点的坐标.求离心率的做题思路是，根据题意求出,a c 或者列出一个关于,,a b c 的方程，由椭圆或双曲线的,,a b c 的关系，进而求解离心率.
20．【分析】由焦点均在轴上可得点在椭圆上则点和点在双曲线上代入中求解即可【详解】由焦点均在轴上可得点在椭圆上则点和点在双曲线上设双曲线为则解得即所以双曲线的虚轴长为故答案为:4【点睛】本题考查双曲线的方 解析：4
【分析】
由焦点均在x
轴上可得点(0,在椭圆上,则点()4,2-
和点(-在双曲线上,代
入22
221x y a b -=中求解即可. 【详解】
由焦点均在x
轴上可得点(0,在椭圆上, 则点()4,2-
和点(-在双曲线上,
设双曲线为22
221x y a b
-=,
则2222
164
12481a b
a b ⎧-=⎪⎪⎨
⎪-=⎪⎩,解得24b =,即2b =, 所以双曲线2C 的虚轴长为24b =, 故答案为:4 【点睛】
本题考查双曲线的方程与焦点的位置的关系,考查双曲线的几何性质.
三、解答题
21．（1）答案见解析；（2）1
2
λ=. 【分析】
（1）由向量坐标公式化简可得轨迹方程，并讨论即可；
（2）将直线与曲线联立结合韦达定理求得中点横坐标，再用判别式判断即可. 【详解】
解：（1）()2,PA x y =---，()2,PB x y =--又2
2PH
y =
所以由2||PA PB PH λ⋅=⋅得()()2
2,2,x y x y y λ---⋅--= 则2
2
(1)4x y λ+-=
当1λ=时，C 是两条平行直线； 当0λ=时，C 是圆；
当01λ<<时，C 是椭圆； 当1λ>时，C 是双曲线 .
（2）2
22
2(2)4(1)40(1)4y x x x x y λλλλ=+⎧⇒-+--=⎨+-=⎩ 设1122(,),(,)M x y N x y ，则12200
4(1)41(0)
232x x λλλλ⎧
⎪-≠⎪
∆>⎨⎪-⎪+==-⇒=∆>-⎩
【点睛】
(1)解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． (2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．
22．（1）2p =，1y x =+；（2）证明见解析. 【分析】
（1）将()1,2A 代入可求得p ，设出切线方程，联立切线与抛物线方程，利用0∆=可求；
（2）设直线PQ 方程为y x m =-+，与抛物线方程联立，根据0PA QA k k +=可证明. 【详解】
解：（1）将()1,2A 代入2
2y px =，可得2p =，
由题意知，所求切线斜率显然存在，且不为0， 设切线方程为()21y k x -=-，与2
4y x =联立得
()2
204
k y y k -+-=（0k ≠）， 由()120k k ∆=--=得1k =． 所以，所求切线方程为1y x =+．
（2）设直线PQ 方程为y x m =-+，代入2
4y x =得：240y y m +-=．
由16160m ∆=+>，得1m >-．
又∵直线PQ 不过点A ，∴3m ≠，∴1m >-，且3m ≠． 设()11,P x y ，()22,Q x y ，则124y y +=-，124y y m =-，
()()()()221
22112121211121222441111PA QA y y y y y y k k x x x x ⎛⎫⎛⎫--+-- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭+=+=----()()()
121
441684
201m m x x +-++==-， 所以，直线PA 、PQ 的斜率角互补． 【点睛】
方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤： （1）得出直线方程，设交点为()11A x y ，，()22B x y ，； （2）联立直线与曲线方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程； （3）写出韦达定理；
（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x +形式； （5）代入韦达定理求解.
23．（1
）1234PP P P +=2
）2,22⎡⎤⎣⎦
. 【分析】
（1）由题意可得直线l 的方程为1y x =+,设()111,P x y ，()222,P x y ，()333,P x y ，
()444,P x y
，则可得()()12342413PP P P x x x x +=+-+⎤⎦，然后分别联立直线与圆的
方程，直线与抛物线的方程，得到两个方程组，消元后利用根与系数的关系，可得结果； （2）将圆的方程和抛物线方程联立方程组可求出A ，B 两点的坐标，设()00,D x y ，则切线00:12m x x y y +=，直线方程式与抛物线方程式联立方程组，消元后，再由根与系数的
关系可得22
000022
20000
424484244824
4M N x y y y y y y y y y +-++===+-
，而02y ≤≤而可求出M N y y +的范围，进而可得MF NF +的取值范围. 【详解】
解：由题意，()0,1F ，直线l 的方程为1y x =+
设()111,P x y ，()222,P x y ，()333,P x y ，()444,P x y
，则)1221PP x x -
，
)3443P P x x =-，
∴
)()()123424132413PP P P x x x x x x x x +=
+--=+-+⎤⎦
故分别联立直线与圆的方程，直线与抛物线的方程，得到两个方程组：
22
112y x x y =+⎧⎨+=⎩；21
4y x x y
=+⎧⎨=⎩，分别消去y ，整理得：222110x x +-=；2440x x --= ∴131x x +=-，244x x +=，
∴1234PP P P +=
《圆锥曲线方程》单元测试题含答案
《圆锥曲线与方程》单元测试题 一、选择题 1．已知方程11 22 2=-+-k y k x 的图象是双曲线，那么k 的取值范围是（ ） Ａ．k ＜１ Ｂ．k ＞２ Ｃ．k ＜１或k ＞２ Ｄ．１＜k ＜２ 2、已知21,F F 是椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 的两个焦点，AB 是过1F 的弦，则 2ABF ?的周长是 ( ) A.a 2 B.a 4 C.a 8 D.b a 22+ 3、一动圆与圆221x y +=外切，同时与圆226910x y x +--=内切，则动圆 的圆心在（ ） .A 一个椭圆上 .B 一条抛物线上 .C 双曲线的一支上 .D 一个圆上 4、抛物线y 2=4px （p ＞0）上一点M 到焦点的距离为a ，则M 到y 轴距离为 ( ) A.a －p B.a+p C.a －2 p D.a+2p 5.双曲线22a x -22 b y =1的两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为( ) A. 2 B.3 C. 2 D. 2 3 6、.我们把离心率e =的椭圆叫做“优美椭圆”。设椭圆22221x y a b +=为优 美椭圆，F 、A 分别是它的右焦点和左顶点，B 是它短轴的一个端点，则ABF ∠等于（ ） A. 60 B.75 C.90 D. 120 二、填空题 7．设中心在原点的椭圆与双曲线2 x 2-2y 2=1有公共的焦点,且它们的离心互为倒数,则该椭圆的方程是
8.直线1y x =-与椭圆22 142 x y + =相交于,A B 两点，则AB = ． 9. 已知F P ),1,4(-为抛物线x y 82=的焦点，M 为此抛物线上的点，且使 MF MP +的值最小，则M 点的坐标为 10．过原点的直线l ，如果它与双曲线14 32 2=-x y 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是 ． 三.解答题 11.已知抛物线的顶点在原点,它的准线过双曲线122 22=-b y a x 的右焦点,而且 与x 轴垂直.又抛物线与此双曲线交于点)6,2 3 (-,求抛物线和双曲线的方 程. 12.双曲线122 22=-b y a x (a>1,b>0)的焦距为2c,直线l 过点(a,0)和(0,b),且 点(1,0)到直线l 的距离与点(-1,0)到直线l 的距离之和s ≥5 4 c.求双曲线的 离心率e 的取值范围.
湖北仙桃中学高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》测试题(含答案解析)
一、选择题 1．已知抛物线24x y =上的一点M 到此抛物线的焦点的距离为2，则点M 的纵坐标是（ ） A ．0 B ． 12 C ．1 D ．2 2．中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4,-2），则它的离心率为 A B C D 3．直线l 与抛物线22(0)y px p =>相交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，点P 是y 轴左侧一点，若线段PA ，PB 的中点都在抛物线上，则（ ） A ．PM 与y 轴垂直 B ．PM 的中点在抛物线上 C ．PM 必过原点 D ．PA 与PB 垂直 4．已知椭圆22 22:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，若C 上存在一点P ， 使得12120F PF ︒ ∠=，且12F PF △，则C 的离心率的取值范围是（ ） A ．0,2⎛ ⎝⎦ B ．110,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．11212⎫ ⎪⎢ ⎣⎭ D ．11,112⎛⎫ ⎪⎝⎭ 5．已知双曲线22 22:1x y C a b -=（0a >，0b >）的左焦点为F ，右顶点为A ，过F 作C 的一条渐近线的垂线FD ，D 为垂足．若||||DF DA =，则C 的离心率为（ ） A ． B ．2 C D 6．设(,)P x y 8=，则点P 的轨迹方程为 （ ） A ．22+1164x y = B ．22+1416x y = C ．22148x y -= D ．22 184 x y -= 7．设1F 、2F 分别是双曲线C ：22 221x y a b -=(0a >，0b >)的左、右焦点，若双曲线的 右支上存在一点P ，使得22()0OP OF F P +⋅=，O 为坐标原点，且12||3||PF PF =，则双曲线C 的离心率为（ ）． A ． 1 2
高中数学 第3章 圆锥曲线与方程检测题A 北师大版选修2
【成才之路】2014-2015学年高中数学 第3章 圆锥曲线与方程检测 题A 北师大版选修2-1 时间120分钟，满分150分。 一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知双曲线x 2a 2－y 2 5 ＝1的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于( ) A ．31414 B ．324 C ．32 D ．43 [答案] C [解析] 本题考查了双曲线的标准方程、焦点和离心率问题． 由双曲线的右焦点(3,0)知c ＝3，即c 2 ＝9， 又c 2 ＝a 2 ＋b 2 ，∴9＝a 2 ＋5，即a 2 ＝4，a ＝2. ∴离心率e ＝c a ＝3 2 . 关于双曲线标准方程的问题，首要的是判定好a 2 和b 2 ，若所给方程为x 2a －y 2 5 ＝1，很多 同学易出现把a 和5分别当成实半轴长和虚半轴长的错误． 2．已知椭圆x 210－m ＋y 2 m －2＝1，长轴在y 轴上．若焦距为4，则m 等于( ) A ．4 B ．5 C ．7 D ．8 [答案] D [解析] 由题意，得m －2>10－m ，且10－m >0，于是6 第三章 圆锥曲线的方程（单元测试卷） (时间：120分钟 满分：150分) 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.已知A(0，－5)，B(0,5)，|PA|－|PB|＝2a(a>0)，当a ＝3和5时，点P 的轨迹为( ) A.双曲线和一条直线 B.双曲线和两条射线 C ．双曲线的一支和一条直线 D ．双曲线的一支和一条射线 2.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a>b>0)，若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标 准方程为( ) A.x 236＋y 2 32＝1 B ．x 29＋y 2 8＝1 C.x 29＋y 2 5 ＝1 D ．x 216＋y 2 12 ＝1 3.设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 为抛物线上一点，若OA ―→·AF ―→ ＝－4，则点A 的坐标为( ) A ．(2，±2 2) B ．(1，±2) C ．(1,2) D ．(2,22) 4.若双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y ＝2x ，则其离心率为( ) A. 5 B ．52 C ．3 D ． 3 5.方程为mx 2＋ny ＝0和mx 2＋ny 2＝1(mn ≠0)的两条曲线在同一坐标系中可以是( ) 6.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的离心率为52，则椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1的离心率为( ) A.1 2 B ．3 3 C.32 D ． 22 7.若双曲线x 23－y 2b 2＝1(b>0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的1 4，则该双曲线的虚轴长 是( ) A ．2 B ．1 C. 55 D ．25 5 一、填空题 1．已知双曲线22 22:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右顶点为A ，以A 为圆心的圆与双曲线C 的某 一条渐近线交于P ，Q 两点．若60PAQ ∠=︒，且3PO OQ =（其中O 为原点），则双曲线C 的离心率为_________． 2．已知椭圆22 :143 x y C +=过焦点F 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点（点A 位于x 轴上 方），若2AF FB =，则直线l 的斜率k 的值为__________． 3．已知点P 为抛物线C ：24y x =上的动点，抛物线C 的焦点为F ，且点()3,1A ，则 PA PF +的最小值为_______． 4．若椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>与双曲线()2211221110,0x y a b a b -=>>有相同的焦点 12,F F ，点P 是两条曲线的一个交点，122 F PF π ∠= ，椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心 率为2e ，12 2e e ，则22 12e e +=__________. 5．已知椭圆22 22:1(0)x y E a b a b +=>>的左焦点为F ，经过原点O 的直线l 与椭圆E 交于 P ，Q 两点，若||3||PF QF =，且120PFQ ∠=，则椭圆E 的离心率为__. 6．已知1F ，2F 分别为椭圆()22 2210x y a b a b +=>>的左、右焦点，且离心率23e =，点P 是椭圆上位于第二象限内的一点，若12PF F △是腰长为4的等腰三角形，则12PF F △的面积为_______. 7．已知点F 为椭圆22 :143 x y Γ+=的左焦点，点P 为椭圆Γ上任意一点，点O 为坐标原 点，则OP FP ⋅的最大值为________ 8．已知双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>与方向向量为(6,6)k =的直线交于A ，B 两点，线 段AB 的中点为(4,1)，则该双曲线的渐近线方程是_______. 9．已知椭圆()22 22:10x y C a b a b +=>>的右焦点为()3,0F ，且离心率为35，ABC 的 三个顶点都在椭圆C 上，设ABC 三条边AB BC AC 、、的中点分别为D E M 、、，且三条边所在直线的斜率分别为123k k k 、、，且123k k k 、、均不为0．O 为坐标原点，若直 线OD OE OM 、、的斜率之和为1.则123 111 k k k + +=________. 一、填空题 1．已知F 是双曲线C ：2 2 18y x -=的右焦点，P 是C 的左支上一点，点A 的坐标为()0,4，则APF 周长的最小值为_____________. 2．设直线l :1y x =+与椭圆:C 222 21(0)x y a b a b +=>>相交于,A B 两点，与x 轴相交于左焦点F ，且3AF FB =，则椭圆的离心率e =_________ 3．已知M 是抛物线24y x =上一点，F 为其焦点，点A 在圆22:(6)(1)1C x y -++=上，则||||MA MF +的最小值是__________. 4．古希腊数学家阿波罗尼斯在《圆锥曲线论》中记载了用平面截圆锥得到圆锥曲线的方法.如图，将两个完全相同的圆锥对顶放置(两圆锥的顶点和轴都重合)，已知两个圆锥的底面直径均为4，侧面积均为25.π记过两个圆锥轴的截面为平面α，平面α与两个圆锥侧面的交线为AC ，BD .已知平面β平行于平面α，平面β与两个圆锥侧面的交线为双曲线C 的一部分，且C 的两条渐近线分别平行于AC ，BD ，则该双曲线C 的离心率为_______. 5．设1F ､2F 分别是椭圆2214 x y +=的左､右焦点，若椭圆上存在一点P ，使2()OP OF +⋅20PF =(O 为坐标原点)，则△12F PF 的面积是___________ 6．椭圆22 12516 x y +=的左、右焦点为F 1､F 2，点P 在椭圆上，若F 1PF 2为直角三角形，则点P 到x 轴的距离为_____. 7．椭圆2 214 x y +=的右焦点为F ，以点F 为焦点的抛物线的标准方程是___________. 8．已知1F ，2F 分别为椭圆()22 2210x y a b a b +=>>的左、右焦点，且离心率23e =，点P 是椭圆上位于第二象限内的一点，若12PF F △是腰长为4的等腰三角形，则12PF F △的面积为_______. 一、选择题 1．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为3 2 ，直线l 与椭圆C 交于,A B 两点， 且线段AB 的中点为()2,1M -，则直线l 的斜率为（ ） A ． 1 3 B ． 32 C ． 12 D ．1 2．若圆锥曲线C ：221x my +=的离心率为2，则m =（ ） A ．33 - B ． 33 C ．13 - D ． 13 3．已知椭圆22 221(0)x y C a b a b +=>>：的右焦点为(c,0)F ，上顶点为(0,)A b ，直 线2 a x c =上存在一点P 满足FP AP FA AP ⋅=-⋅，则椭圆的离心率的取值范围为（ ） A ．1[,1)2 B ．2[,1)2 C ．51[,1)2 - D ． 20,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ 4．如图，已知1F 、2F 双曲线()22 2210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点，A 、B 为双曲线上 关于原点对称的两点，且满足11AF BF ⊥，112 ABF π ∠= ，则双曲线的离心率为（ ） A 2 B 3 C 6 D 4 23 5．椭圆()22 22:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别是1F 、2F ，斜率为1的直线l 过左 焦点1F 且交C 于A ，B 两点，且2ABF 的内切圆的面积是π，若椭圆C 离心率的取值范围为[ 42 ，，则线段AB 的长度的取值范围是（ ） A ． B ．[1 , 2] C ．[4 8]， D ． 6．已知O 为坐标原点设1F ，2F 分别是双曲线 2 219 x y -=的左右焦点，P 为双曲线左支上的任意一点，过点1F 作12F PF ∠的角平分线的垂线，垂足为H ，则OH =（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 7．人们已经证明，抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴.探照灯、手电筒也是利用这个原理设计的.已知抛物线 ()220y px p =>的焦点为F ，从点F 出发的光线第一象限内抛物线上一点P 反射后的光 线所在直线方程为2y =，若入射光线FP 的斜率为4 3 ，则抛物线方程为 （ ） A ．28y x = B ．26y x = C ．24y x = D ．22y x = 8．已知双曲线22 22:1x y C a b -=（0a >，0b >）的左焦点为F ，右顶点为A ，过F 作C 的一条渐近线的垂线FD ，D 为垂足．若||||DF DA =，则C 的离心率为（ ） A ．B ．2 C D 9．已知三角形ABC 的三个顶点都在椭圆：22 143 x y +=上，设它的三条边AB ，BC ， AC 的中点分别为D ，E ，M ，且三条边所在线的斜率分别为1k ，2k ，3k ，且1k ， 2k ，3k 均不为0.O 为坐标原点，若直线OD ，OE ，OM 的斜率之和为1.则123 111 k k k ++=（ ） A ．43 - B ．3- C ．1813 - D ．32 - 10．设P 为椭圆22 :1169 x y C +=上的点，12,F F 分别是椭圆C 的左，右焦点， 125PF PF ⋅=，则12PF F △的面积为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 11．已知双曲线()22 2 2:10,0x y C a b a b -=>>的焦点到渐近线的距离为1，且与椭圆22 182 x y +=有公共焦点.则双曲线C 的渐近线方程为（ ） 3.1.2 椭圆的简单性质 [A.基础达标] 1．已知椭圆x 216＋y 2 9 ＝1及以下3个函数：①f (x )＝x ；②f (x )＝sin x ；③f (x )＝cos x ， 其中函数图像能等分该椭圆面积的函数个数有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．0个 解析：选B.过原点连续的奇函数等分椭圆面积．易知f (x )＝x ，f (x )＝sin x 为奇函数，f (x )＝cos x 为偶函数，故①②满足要求． 2．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个顶点在直线x ＋4 3 y ＝4上，则此椭圆的焦点坐标 是( ) A ．(±5，0) B ．(0，±5) C ．(±7，0) D ．(0，±7) 解析：选C.直线x ＋43y ＝4在坐标轴上的截距为4、3，所以a ＝4，b ＝3，所以c ＝42－3 2 ＝7，故椭圆的焦点坐标为(±7，0)． 3.如图，A 、B 、C 分别为椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的顶点与焦点，若∠ABC ＝90°，则该椭 圆的离心率为( ) A.－1＋5 2 B.5－1 C. 2－1 2 D.2－1 解析：选A.因为Rt △AOB ∽Rt △BOC ，所以a b ＝b c ，即b 2 ＝ac ， 又b 2 ＝a 2 －c 2 ，所以a 2 －c 2 ＝ac ， 即c 2＋ac －a 2 ＝0， 所以e 2 ＋e －1＝0，又e ∈(0，1)， 所以e ＝－1＋5 2 . 4．如图，已知ABCDEF 是边长为2的正六边形，A 、D 为椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)长轴的 两个端点，BC 、EF 分别过椭圆两个短轴的端点，则椭圆的方程是( ) [基础达标] 1.过点(2，4)作直线与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点，这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 解析：选B.易知点(2，4)在抛物线上，从而这样的直线有两条，一条为切线，一条与x 轴平行． 2.方程（x －1）2＋（y －1）2＝|x ＋y ＋2|表示的曲线是( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．线段 解析：选B.∵（x －1）2＋（y －1）2＝|x ＋y ＋2|， ∴（x －1）2＋（y －1）2|x ＋y ＋2| 2 ＝2>1. ∴由圆锥曲线的共同特征知该方程表示双曲线． 3.曲线y ＝1－x 2和y ＝－x ＋ 2 公共点的个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 解析：选C.y ＝1－x 2可化为x 2＋y 2＝1(y ≥0)，其图形为半圆，在同一坐标系中画出两曲线的图形，直线与半圆相切． 4.若椭圆上的点P 到一个焦点的距离最小，则点P 是( ) A ．椭圆短轴的端点 B ．椭圆长轴的一个端点 C ．不是椭圆的顶点 D ．以上都不对 解析：选B.由圆锥曲线的共同特征知，点P 到右焦点的距离 |PF 2|＝de ＝(a 2 c －x 0)e ＝a －ex 0. 当x 0＝a 时，|PF 2|最小． 5.直线l ：y ＝x ＋3与曲线y 29－x ·|x | 4＝1交点的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 解析：选D.当x ≤0时，曲线方程可化为x 24＋y 2 9＝1，即椭圆y 轴左侧部分；当x ＞0时， 曲线方程可化为y 29－x 2 4＝1，即双曲线y 轴右侧部分，如图可知直线y ＝x ＋3与曲线有三个交 点． 数学选修2-1《圆锥曲线与方程》复习训练题 一、 选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分。 1曲线 与曲线 <0 高中数学选修2—-1圆锥曲线基本知识点与典型题举例 一、椭圆 1。椭圆的定义： 第一定义:平面内到两个定点F 1、F 2 的距离之和等于定值2a（2a〉|F1F2|)的 点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距. 第二定义:平面内到定点F与到定直线l的距离之比是常数e(0〈e〈1）的点的轨迹是椭圆,定点叫做椭圆的焦点,定直线l叫做椭圆的准线,常数e叫做椭圆的离心率。 2。椭圆的标准方程及其几何性质（如下表所示) 图形 顶点 (,0)a ±,(0,)b ± (0,)a ±,(,0)b ± 对称轴 x 轴，y 轴，长轴长为2a ，短轴长为2b 焦点 1(,0)F c -、2(,0)F c 1(0,)F c -、2(0,)F c 焦距 焦距为122(0),F F c c =>222c a b =- 离心率 e =c a （0 (A)1162522=+y x (B ）)0(1162522≠=+y y x (C ）1251622=+y x (D ）)0(1251622≠=+y y x 例3。若F (c ，0）是椭圆22 221x y a b +=的右焦点，F 与椭圆上点的距离的最大值为M ,最 小值为m ，则椭圆上与F 点的距离等于 2 M m +的点的坐标是（） (A)(c ，2 b a ±）2()(,)b B c a -±（C ）(0，±b ）(D ）不存在 例4设F 1(—c ，0）、F 2（c ，0）是椭圆22x a +2 2y b =1（a >b >0）的两个焦点，P 是以F 1F 2为 直径的圆与椭圆的一个交点，若∠PF 1F 2=5∠PF 2F 1,则椭圆的离心率为() （C)2(D)3 例5。P 点在椭圆120 452 2=+y x 上，F 1、F 2是两个焦点，若21PF PF ⊥,则P 点的坐标是. 例6.写出满足下列条件的椭圆的标准方程： （1）长轴与短轴的和为18,焦距为6;. （2）焦点坐标为)0,3(-,)0,3(,并且经过点(2，1）;。 第二章测评 (时间:120分钟满分:150分) 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分) 1.方程x 2+2y 2=4所表示的曲线是() A.焦点在x 轴的椭圆 B.焦点在y 轴的椭圆 C.抛物线 D.圆 方程化为x 24 + y 22 =1,因此其表示焦点在x 轴的椭圆. 2.已知椭圆x 2 a 2+y 2 b 2=1(a>b>0)分别过点A (2,0)和B (0,-1),则该椭圆的焦距为() A.√3 B.2√3 C.√5 D.2√5 a=2,b=1,所以a 2=4,b 2=1,所以c=√a 2-b 2=√4-1=√3,所以2c=2√3.故选B . 3.已知双曲线x 2 a 2−y 2 b 2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±2√33 x ,则此双曲线的离心率为() A.√7 2 B. √13 3 C.5 3 D. √21 3 x 轴上,所以b a = 2√3 3 ,于是e=c a =√1+(b a )2 =√73 =√21 3 . 4.已知抛物线C :y 2=8x 焦点为F ,点P 是C 上一点,O 为坐标原点,若△POF 的面积为2,则|PF|等于() A.5 B.3 C.7 2 D.4 F (2,0),设P (x 0,y 0),则1 2·2·|y 0|=2,所以|y 0|=2,于是x 0=1 2,于是|PF|=x 0+p 2=5 2. 5.已知一个动圆P 与圆O :x 2+y 2=1外切,而与圆C :x 2+y 2-6x+8=0内切,则动圆圆心P 的轨迹是() A.双曲线的一支 B.椭圆 C.抛物线 D.圆 R ,依题意有|PO|=R+1,|PC|=R-1,因此|PO|-|PC|=2,而|OC|=3,由双曲线定义知点P 的轨迹为双曲线的右支. 6.已知点A 是抛物线y 2=2px (p>0)上一点,点F 是抛物线的焦点,O 为坐标原点,当|AF|=4时,∠OFA=120°,则抛物线的准线方程是() 一、选择题 1．如图，过抛物线22y px =（0p >）的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，若2BC BF =，且6AF =，则此抛物线方程为（ ） A ．29y x = B ．26y x = C ．23y x = D ．23y x = 2．已知抛物线E ：()2 20y px p =>的焦点为F ，准线为l ，经过点F 的直线交E 于 A ， B 两点，过点A ，B 分别作l 的垂线，垂足分别为 C ， D 两点，直线AB 交l 于G 点，若3AF FB =，下述四个结论： ①CF DF ②直线AB 的倾斜角为π4 或3π4 ③F 是AG 的中点 ④AFC △为等边三角形 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①④ B ．②③ C ．①②③ D ．①③④ 3．已知离心率为2的双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲 线交于A 、B 两点，设A 、B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且 124d d +=，则双曲线的方程为（ ） A ．22 3144 x y -= B ．22 4134 x y -= C ．22 1124 x y -= D ．221412 x y -= 4．已知点F 是椭圆()22 22:10x y C a b a b +=>>的一个焦点，点P 是椭圆C 上的任意一点 且点P 不在x 轴上，点M 是线段PF 的中点，点O 为坐标原点.连接OM 并延长交圆 222x y a +=于点N ，则PFN 的形状是 （ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．由点P 位置决定 5．直线l 与抛物线22(0)y px p =>相交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，点P 是y 轴左侧一点，若线段PA ，PB 的中点都在抛物线上，则（ ） A ．PM 与y 轴垂直 B ．PM 的中点在抛物线上 C ．PM 必过原点 D ．PA 与PB 垂直 6．已知O 为坐标原点设1F ，2F 分别是双曲线 2 219 x y -=的左右焦点，P 为双曲线左支上 一、选择题 1．已知椭圆中心在原点，且一个焦点为(033)F ，，直线43130x y +-=与其相交于 M 、N 两点，MN 中点的横坐标为1，则此椭圆的方程是（ ） A ．221325 y x += B ．22 1325 x y += C ．221369y x += D ．221369 x y += 2．如图，已知1F 、2F 双曲线()22 2210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点，A 、B 为双曲线上 关于原点对称的两点，且满足11AF BF ⊥，112 ABF π ∠= ，则双曲线的离心率为（ ） A 2 B 3 C 6 D 4 23 3．已知抛物线E ：()2 20y px p =>的焦点为F ，准线为l ，经过点F 的直线交E 于 A ， B 两点，过点A ，B 分别作l 的垂线，垂足分别为 C ， D 两点，直线AB 交l 于G 点，若3AF FB =，下述四个结论： ①CF DF ②直线AB 的倾斜角为π4 或3π4 ③F 是AG 的中点 ④AFC △为等边三角形 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①④ B ．②③ C ．①②③ D ．①③④ 4．直线l 与抛物线22(0)y px p =>相交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，点P 是y 轴左侧一点，若线段PA ，PB 的中点都在抛物线上，则（ ） A ．PM 与y 轴垂直 B ．PM 的中点在抛物线上 C ．PM 必过原点 D ．PA 与PB 垂直 5．已知O 为坐标原点设1F ，2F 分别是双曲线 2 219 x y -=的左右焦点，P 为双曲线左支上的任意一点，过点1F 作12F PF ∠的角平分线的垂线，垂足为H ，则OH =（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 6．人们已经证明，抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴.探照灯、手电筒也是利用这个原理设计的.已知抛物线 ()220y px p =>的焦点为F ，从点F 出发的光线第一象限内抛物线上一点P 反射后的光 线所在直线方程为2y =，若入射光线FP 的斜率为4 3 ，则抛物线方程为 （ ） A ．28y x = B ．26y x = C ．24y x = D ．22y x = 7．已知双曲线221(0,0)x y m n m n -=>>和椭圆22 174x y +=有相同的焦点，则11m n +的 最小值为（ ） A ． 12 B ． 32 C ． 43 D ．9 8．设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，倾斜角为30的直线l 过点F 且与曲线C 交于,A B 两点，则AOB (O 为坐标原点)的面积S=（ ） A ．4 B C ．D ．2 9．已知双曲线()22 2 2:10,0x y C a b a b -=>>的焦点到渐近线的距离为1，且与椭圆22 182 x y +=有公共焦点.则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A ．7 y x =± B ．y = C ．5 y x =± D ．y = 10．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，满足 6AB =，则线段AB 的中点的横坐标为（ ） A ．2 B ．4 C ．5 D ．6 11．已知双曲线C 的两个焦点12,F F 都在x M 在C 上，且12MF MF ⊥，M C 的方程为（ ） A ．22148x y -= B ．22148y x -= C ．2 2 12 y x -= D ．2 2 12 x y -= 12．已知双曲线()22 2210,0x y a b a b -=>>的一条渐近线经过点 ，则该双曲线的 一、填空题 1．若,A B 是曲线22x y =+上不同的两点，O 为坐标原点，则OA OB ⋅的取值范围是 __________. 2．过椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的右焦点作x 轴的垂线，交椭圆C 于,A B 两点，直线l 过C 的左焦点和上顶点，若以AB 为直径的圆与l 存在公共点，则椭圆C 的离心率的取值范围是__________. 3．已知动圆Q 与圆()221:49C x y ++=外切，与圆()2 22:49C x y +-=内切，则动圆圆心Q 的轨迹方程为__________． 4．与双曲线22 142 x y -=有相同的渐近线，且过点(2,1)P 的双曲线标准方程为__________. 5．设12,F F 分别是椭圆22 12516 x y +=的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为()6,4，则1PM PF +的最大值为________． 6．如图，过椭圆22 22:1(0)x y E a b a b +=>>的左焦点1F 作直线l 交椭圆E 于A ，B 两点，O 为坐标原点，连接BO 并延长交椭圆E 于C 点，若1CF AB ⊥，且113CF AF =，则该椭圆E 的离心率e 为____________． 7．已知1F ，2F 分别是椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的左､右焦点，P 是椭圆上一点(异于左､右顶点)2为半径的圆内切于12PF F △，则椭圆的离心率的取值范围是________. 8．已知点P 是椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>上的一点，12,F F 分别为椭圆的左、右焦点，已知12F PF ∠=120°，且12||3||PF PF =，则椭圆的离心率为___________. 一、填空题 1．已知椭圆221167x y +=的左、右焦点分别为12,F F ，P 为椭圆上一点（P 在x 轴上方），点1(4,3),M F M 平分12PF F ∠，则1222PF F PMF S S +=______． 2．过椭圆()22 22:10x y C a b a b +=>>的右焦点作x 轴的垂线，交椭圆C 于,A B 两点，直线l 过C 的左焦点和上顶点，若以AB 为直径的圆与l 存在公共点，则椭圆C 的离心率的取值范围是__________. 3．已知双曲线M ：()22 2210,0x y a b a b -=>>的焦距为2c ，若M 的渐近线上存在点T ，使得经过点T 所作的圆()2 2x c y a -+=的两条切线互相垂直，则双曲线M 的离心率的取值范围是________． 4．与双曲线22 142 x y -=有相同的渐近线，且过点(2,1)P 的双曲线标准方程为__________. 5．如图，过椭圆22 22:1(0)x y E a b a b +=>>的左焦点1F 作直线l 交椭圆E 于A ，B 两点，O 为坐标原点，连接BO 并延长交椭圆E 于C 点，若1CF AB ⊥，且113CF AF =，则该椭圆E 的离心率e 为____________． 6．已知点A ，B 分别是椭圆22 13620 x y +=长轴的左、右端点，点P 在椭圆上，直线AP 的3M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于MB ，椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值为______． 7．设1F ､2F 分别是椭圆2214 x y +=的左､右焦点，若椭圆上存在一点P ，使2()OP OF +⋅20PF =(O 为坐标原点)，则△12F PF 的面积是___________ 一、填空题 1．直线l ：240x y +-=与椭圆C ：22416+=x y 交于A ，B 两点，则弦长 AB =___________. 2．若,A B 是曲线x =O 为坐标原点，则OA OB ⋅的取值范围是 __________. 3．已知ABC 的周长为20，且顶点()0,3B -，()0,3C ，则顶点A 的轨迹方程是___________. 4．若椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>与双曲线()2211221110,0x y a b a b -=>>有相同的焦点 12,F F ，点P 是两条曲线的一个交点，122 F PF π ∠= ，椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心 率为2e ，12 2e e ，则22 12e e +=__________. 5．已知A B 、为椭圆22 14 x y +=和双曲线2214x y -=的公共顶点， P Q 、分别为双曲线和 椭圆上不同于两点A B 、的动点，且有()(),||1PA PB QA QB R λλλ+=+∈>，设直线 AP 、BP 、AQ 、BQ 的斜率分别为1234,,,k k k k ，则1234 k k k k +++=______． 6．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>与圆222 2:,C x y b +=若在椭圆1C 上存在点P ，过 P 作圆的切线PA ，PB ，切点为A ，B 使得,3 BPA π ∠=则椭圆1C 的离心率的取值范围是 _____. 7．已知抛物线24y x =的焦点为F ，P 为抛物线上一动点，定点()1,1A ，当PAF △周长最小时，PF 所在直线的斜率为______. 8．在直角坐标系xOy 中，抛物线C ：22y x =的焦点为F ，准线为l ，P 为C 上第一象限内的一点，PQ 垂直l 于点Q ，M ，N 分别为PQ ，PF 的中点，直线MN 与x 轴交于点R ，若1FR =，则直线PF 的斜率为______. 9．如图所示，已知A ､B ､C 是椭圆22 22:1(0)x y E a b a b +=>>上的三点，BC 过椭圆的中心 O ，且, 2AC BC BC AC ⊥=.则椭圆的离心率为_______. 选修一第三章《圆锥曲线的方程》提高训练 (16) 一、单选题 1．如图，椭圆2 21:14 x C y +=的长轴为MN ，椭圆2C 的短轴为MN ，且2C 与1C 的离心率相同，直 线:l x t =与1C ，2C 相交于四点，这四点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D ，若//BO AN ，O 为坐标原点，则实数t 的值为（ ） A ． 32 B ．32 - C ． 23 D ．23 - 2．已知椭圆()22 22:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为()1,0F c -，()2,0F c ，点M 在椭圆C 上， 若12 c MF a MF =，则该椭圆的离心率不可能是（ ） A ． 14 B ．1 2 C ．35 D 3．下列三个图中的多边形均为正多边形，图①，②中M ，N 是所在边上的中点，双曲线均以图中的1F ，2F 为焦点，设图①，②，③中的双曲线的离心率分别为1e ，2e ，3e ，则（ ） A ．123e e e >> B ．123e e e << C ．132e e e =< D ．132e e e => 4．已知M 是抛物线()2 :20C y px p =>上一点，F 是抛物线C 的焦点，过M 作抛物线C 的准线的 垂线，垂足为N ，若120MFO ∠=︒（O 为坐标原点），MNF 的周长为12，则||NF =（ ） A ．4 B C ． D ．5 5．过抛物线()2 20y px p =>的焦点F 作直线交抛物线于M ，N 两点（M ，N 的横坐标不相等）， 弦MN 的垂直平分线交x 轴于点H ，若40MN =，则HF =（ ） A ．14 B ．16 C ．18 D ．20 6．过抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 的直线交C 于A ，B 两点，若33AF BF ==，则p =（ ） A ．3 B ．2 C ． 3 2 D ．1 7．在平面直角坐标系xOy 中，已知ABC 的顶点()4,0-A 和()4,0C ，顶点B 在椭圆22 1259 x y +=上， 则 sin sin sin A C B +=（ ） A ． 54 B ． 52 C ．5 D ． 45 8．已知()2,0M ，P 是圆22:4320N x x y ++-=上一动点，线段MP 的垂直平分线交NP 于点Q ，则动点Q 的轨迹方程为（ ） A ．22 195x y += B ．22 159x y -= C ．22 159 x y += D ．22 195 x y -= 9．已知点1F ，2F 分别是双曲线()22 22:10,0x y C a b a b -=>>的左、右焦点，O 为坐标原点，点P 在双 曲线C 的右支上，且满足12||2||F F OP =，21tan 3PF F ∠≥，则双曲线C 的离心率的取值范围为（ ） A ．⎛ ⎝ ⎦ B ．⎫ +∞⎪⎪⎣⎭ C ．⎛ ⎝⎭ D ．2⎤⎥⎝⎦ 10．在正方体1111ABCD A B C D -中，M 为侧面11ABB A 所在平面上的一个动点，且点M 到平面11ADD A 的距离与到直线BC 的距离相等，则动点M 的轨迹为（ ） A ．椭圆 B ．双曲线 C ．圆 D ．抛物线 11．已知1F ，2F 是双曲线C ：2 213 x y -=的两个焦点，点M 在直线30x y -+=上，则12 MF MF +的最小值为（ ） 选修一第三章《圆锥曲线的方程》提高训练 (13) 一、单选题 1．双曲线C ：22 221x y a b -=（0a b >>）的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线与圆222 x y a +=相切于点A ，与C 的右支交于点B ，若2AB BF =，则C 的离心率为（ ） A ．3 B ．5 C D 2．已知椭圆22 1167 x y +=的右焦点为,F A 是椭圆上一点，点()0,4M ，则AMF 的周长最大值为（ ） A ．14 B ．16 C ．18 D ．20 3．如图所示，椭圆中心在原点，F 是左焦点，直线1AB 与BF 交于点D ，且190BDB ∠=︒，则椭圆的离心率为（ ） A B C D 4．已知双曲线C 1F ，2F 是C 的两个焦点，P 为C 上一点，213PF PF =，若12PF F △ ，则双曲线C 的实轴长为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．6 5．已知椭圆()22 122:10x y C a b a b +=>>与圆2222:C x y b +=，若在椭圆1C 上存在点P ，使得过点P 所 作的圆2C 的两条切线互相垂直，则椭圆1C 的离心率的取值范围是（ ） A ．1,12⎡⎫ ⎪⎢⎣⎭ B ．⎣⎦ C ．⎫ ⎪⎪⎣⎭ D ．⎫ ⎪⎣⎭ 6．已知1F ，2F 是椭圆C ：22 143 x y +=的两个焦点，左顶点为A ，过点1F 的直线交椭圆C 于M ，N 两点，若2//AN MF 则2MF =（ ） A ． 7 4 B ． 52 C ．83 D ． 114 7．已知F 是椭圆22 1259 x y +=的一个焦点，AB 为过椭圆中心的一条弦，则△ABF 面积的最大值为（ ） A ．6 B ．15 C ．20 D ．12第三章 圆锥曲线的方程(单元测试卷)(附答案)—2022-2023学年高二上学期数学选择性必修第一册
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