三角形知识点总结

三角形知识点总结

三角形知识点总结

一、基础知识

1、三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形. （三角形有三条边，三个内角，三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边所组成的角叫做三角形的内角; 相邻两边的公共端点是三角形的顶点）

2、三角形的表示

三角形ABC用符号表示为△ABC，三角形ABC的边AB可用边AB所对的角C的小写字母c 表示，AC可用b表示，BC可用a表示.三个顶点用大写字母A,B,C来表示。

注意：（1）三条线段要不在同一直线上，且首尾顺次相接；（2）三角形是一个封闭的图形；（3）△ABC是三角形ABC的符号标记，单独的△没有意义

3、三角形的分类：（1）按边分类：等腰三角形、等边三角形、不等边三角形

（2）按角分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形

4、三角形的主要线段的定

义：

（1）三角形的中线：三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段．

如图：（1）AD是△ABC的BC上的中线.（2）BD=DC= BC.

注意：①三角形的中线是线段；

②三角形三条中线全在三角形的内部且交于三角形内部一点（重心）

③中线把三角形分成两个面积相等的三角形．

（2）三角形的角平分线：三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角顶点与交点之间的线段

如图：（1）AD是△ABC的∠BAC的平分线. （2）∠1=∠2= ∠BAC.

注意：①三角形的角平分线是线段；

②三角形三条角平分线全在三角形的内部且交于三角形内部一点（内心）

③角平分线上的点到角的两边距离相等

（3）三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的

线段．

如图：①AD是△ABC的BC上的高线；②AD ⊥BC于D；③∠ADB=∠ADC=90°.

注意：①三角形的高是线段；

②锐角三角形的三条高的交点在三角形内部；钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部：直角三角形的三条高的交点在直角顶点上。三角形三条高所在直线交于一点（垂心）

③由于三角形有三条高线，所以求三角形的面积的时候就有三种（因为高底不一样）（4）三角形的中垂线：过三角形一条边中点所做的垂直于该条边的线段

如图：DE是△ABC的边BC的中垂线；DE ⊥BC于D；BD=DC

注意：①三角形的中垂线是直线；

②三角形的三条中垂线交于一点（外心）

小总结：内心：三条角平分线的交点,也是三角形内切圆的圆心.

性质：到三边距离相等.

外心：三条中垂线的交点,也是三角形

外接圆的圆心.

性质：到三个顶点距离相等.

重心：三条中线的交点.

性质：三条中线的三等分点,到顶点距

离为到对边中点距离的2倍.

垂心：三条高所在直线的交点.

5、三角形的三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边;任意两边之差小于第三边.

注意：（1）三边关系的依据是：两点之间线段最短；

（2）围成三角形的条件是任意两边之和大于第三边．

6、三角形的角与角之间的关系：

(1)三角形三个内角的和等于180;

(2)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；

(3)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.

(4)直角三角形的两个锐角互余.

7、三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°．

推论：直角三角形的

两个锐角互余。

8、三角形的外角的定义：三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角. 注意：每个顶点处都有两个外角，但这两个外角是对顶角.（所以一般我们只研究一个）如:∠ACD、∠BCE都是△ABC的外角，且∠ACD=∠BCE.

所以说一个三角形有六个外角，但我们每个一个顶点处只选一个外角，这样三角形的外角就只有三个了.

三角形外角的性质：

（1）三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角之和．

（2）三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角．

9、三角形的稳定性：三角形的三边长确定，则三角形的形状就唯一确定，这叫做三角形的稳定性．

10、多边形：在同一平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫多边形。

（1）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。

（2）正多边形：各边相等，各角都相等的多边形叫做正多边形

（3）多边形的内角和为（n-2）*180度；多边形的外角和为360度

二、等腰三角形

1、等腰三角形的概念

定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角

2、三角形的性质

（1）等腰三角形的两个底角相等（简称为“等边对等角”）

（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的高线、底边上的中线互相集合（简称为“三线合一”）3、等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称为“等角对等边”）

注意：要正确区分等腰三角形的性质和判定

4、等边三角形

定义：三边都相等的三角形叫做等边三角形

注意：等边三角形是等腰三角形的特殊情况，它是底边与腰相等的等腰三角形

5、等边三角形的性质和判定

性质：（1）等边三角形的三条边都相等

（2）等边三角形的每一个角都等于60度

判定：（1）各边或角都相等

的三角形是等边三角形

（2）有一个角等于

60度的等腰三角形是等边

三角形

相关规律：（1）边长为a的等边三角形面积等于

（2）等边三角形的内心、外心、垂心和重心重合于一点

三、直角三角形

1、定义：有一个角为直角的三角形称为直角三角形。在直角三角形中，直角相邻的两条边称为直角边。直角所对的边称为斜边。直角三角形直角所对的边也叫作“弦”。若两条直角边不一样长，短的那条边叫作“勾”，长的那条边叫作“股”。

2、分类：直角三角形如图所示：分为两种情况，有普通的直角三角形，还有等腰直角三角形（属于特殊情况)

3、判定定理