百千联考解析版：2020届高三第二次模拟考试卷 理科数学(一)
任意一点，则 MN 的最小值为
．
三、解答题：本大题共 6 大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12 分）已知在△ABC 中，a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边，且 b = a sin A − c sin C ． sin B − sin C
（1）求角 A 的值；
（2）若 a = 3 ，设角 B = θ ，△ABC 周长为 y，求 y = f (θ ) 的最大值．
所以 A I B= {x −1 ≤ x < 5} ．
2．【答案】D
【解析】 z = 2i = 2i(1+ i) =i(1+ i) =−1+ i ，所以 z =−1− i ， z = 2 ． 1− i (1− i)(1+ i)
3．【答案】C
【解析】由题可知 a − c = (1− n, 4) ，
因为 (a − c) ⊥ b ，所以有 (1− n) × 2 + 2× 4 =0 ，得 n = 5 ．
S2
a
7．【答案】D
【解析】由题意，本题符合几何概型，区间[−3, 3] 长度为 6，
使得 3 − x ≥ 0 成立的 x 的范围为 (1,3]，区间长度为 2，
x −1
∴使得 3 − x ≥ 0 成立的概率为 2= 1= d ，
x −1
63
又 a2
+
a6
=−4
=2a4
，∴ a4
=−2
，∴ an
=−2 +
A．{x −1 < x < 5}
B．{x −1 ≤ x < 5}
C．{x −2 < x < 6}
D．{x −2 < x < 5}
2．复数 z = 2i （ i 为虚数单位），则 z 等于（ ） 1−i
A．3
B． 2 2
C．2
D． 2
3．已知 a = (1,3) ， b = (2, 2) ，=c (n, −1) ，若 (a − c) ⊥ b ，则 n 等于（ ）
若{an} 是等比数列，数列{an} 的通项公式 an =
．
y ≥1
15．实数
x
，y
满足
y
≤
2x
−1，如果目标函数
z=
x + y ≤ m
x − y 的最小值为 −2 ，则 y 的最小值为 x
．
16．已知 M 是抛物线 y2 = 2x 上一点，N 是圆 x2 + ( y − 2)2 = 1关于直线 x − y =0 对称的曲线 C 上
D． 2
7．在区间
[−3,
3]
上随机取一个数
x
，使得
3− x x −1
≥
0
成立的概率为等差数列 {an }
的公差，
且 a2 + a6 =−4 ，若 an > 0 ，则 n 的最小值为（ ）
A．8
B．9
C．10
D．11
8．已知函数
f
(x)
=
(a −1)
a
x−6
,
x
+
4,
x≤7 是 R 上的减函数，当 a 最小时，若函数 y=
此
卷
只
装
订
不
密
封 座位号
班级
姓名
准考证号
考场号
2020 届高三第二次模拟考试卷
理 科 数 学（一）
注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形
码粘贴在答题卡上的指定位置。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草
（2）当 b
= 1时，若
y
=
f
(x) 有两个极值点 x1 ， x2 ，且 x1
<
x2 ， a
≥
5 2
，若不等式
f
(x1) ≥
mx2
恒成立，试求实数 m 的取值范围．
23．（10 分）【选修 4-5：不等式选讲】
已知函数 f (x) =16 − 2x −1 ． （1）解不等式 f (x) ≤ x + 2 ； （2）若函数=y f (x) − a 存在零点，求 a 的求值范围．
请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．（10 分）【选修 4-4：坐标系与参数方程】
过点
P (−1, 0)
作倾斜=
3 cosθ (θ为参数) 相交于 M、N 两点．
y = 2 sinθ
（1）写出曲线 C 的一般方程；
好教育云平台 二模测试卷 第 7 页（共 8 页）
C． 2 + 2π 3
D． 4 + 2π 3
10．函数= f (x) 2sin(ω x + ϕ) (ω > 0, 0 < ϕ < π) 的部分图像如图所示，若 AB = 5 ，点 A 的坐标
为 (−1, 2) ，若将函数 f (x) 向右平移 m(m > 0) 个单位后函数图像关于 y 轴对称，则 m 的最小值为
稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的．
{ } { } 1．已知集合 A= x x2 − 3x −10 < 0 ，集合 B= x −1 ≤ x < 6 ，则 A I B 等于（ ）
4．【答案】D
【解析】 tanα = 1 ，= tan 2α 2
= 2 tanα 1− tan2 α
4 ， cos(π + β ) =− 4 =− cos β ， (β ∈ (0, π) ，
3
5
∴cos β = 4 ， sin β = 3 ， tan β = 3 ，
5
5
4
tan(2α −= β )
tan 2α − ta= n β 1+ tan 2α tan β
2
3
3
3
6．【答案】D
【解析】四个顶点形成的四边形的面积
S1
=1 2
×
2a
×
2b
=2ab
，
二模测试卷答案 第 1 页（共 10 页）
四个焦点连线形成的四边形的面积
S2
=1 2
×
2c ×
2c
=2c2
，
所以 S1 = 2ab = ab ≤ ab = 1 ， S2 2c2 a2 + b2 2ab 2
当 S1 取得最大值时有 a = b ， c = 2a ，离心率 e= c= 2 ．
C． (18 , 6) 7
D． (18 , 4) U(4, 6) 7
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13． (1+ x )n 展开式中的系数的和大于 8 而小于 32，则 n =
．
14．已知数列{an} 的各项均为正数，满足 a1 = 1， ak+1 − ak = ai ．（i ≤ k, k = 1, 2, 3,L , n −1) ，
好教育云平台 二模测试卷 第 5 页（共 8 页）
好教育云平台 二模测试卷 第 6 页（共 8 页）
（2）求 PM ⋅ PN 的最小值．
21．（12 分）已知函数 f (x) = bx2 − 2ax + 2 ln x ．
（1）若曲线 y = f (x) 在 (1, f (1)) 处的切线为=y 2x + 4 ，试求实数 a ， b 的值；
x>7
f (x) − kx − 4
恰有两个零点，则实数 k 的取值范围是（ ）
A． ( − 1 , 0) 2
B． (−2, 1) 2
C． (−1,1)
D． (1 ,1) 2
9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
好教育云平台 二模测试卷 第 2 页（共 8 页）
A． 4π 3
B． 5π 3
实根，等价于函数 y = f (x) 与 =y kx + 4 的图像有两个交点．
画出函数 f (x) 的简图如下，而函数 =y kx + 4 恒过定点 (0, 4) ，
数形结合可得 k 的取值范围为 − 1 < k < 0 ． 2
9．【答案】B 二模测试卷答案 第 2 页（共 10 页）
【解析】由三视图可知其是由半个球及半个倒立的圆柱拼接而成，
uuur QA
⋅
uuur QB
4
的值．
（1）将上 2 × 2 列联表补充完整，并请说明在犯错误的概率不超过 0．10 的前提下，认为支付方式 与年龄是否有关？ （2）在使用移动支付的人群中采用分层抽样的方式抽取 10 人做进一步的问卷调查，从这 10 人随机 中选出 3 人颁发参与奖励，设年龄都低于 35 岁（含 35 岁）的人数为 X ，求 X 的分布列及期望．
其中球的半径为
1，其体积为V1
=
1 2
×
4 3
π
×13
=
2 3
π
，
半圆柱的体积为V2 =
1 × π ×12 × 2 = 2
π，
所以总体积V = 5 π ． 3
10．【答案】B
【解析】由于 AB = 5 ，函数最高点与最低点的高度差为 4 ，
所以函数
f
(x)
的半个周期
T 2
=
2020届百校联考高考百日冲刺金卷全国Ⅱ卷数学(理)(一)试题含详解
2020届百校联考高考百日冲刺金卷全国Ⅱ卷 理数（一）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}21,5,100A B x x mx ==+-=，若{}5A B ⋂=，则A B ⋃=（ ） A.{}1,3,5- B.{}1,2,5-- C.{}1,2,5- D.{}1,3,5--2.若m 为实数，且复数()()325z m i i =-+为纯虚数，则m =（ ） A.65- B.65 C.152- D.152 3. 已知某地区在职特级教师、高级教师.中级教师分别有100人，900人，2000人，为了调查该地区不同职称的教师的工资情况，研究人员在该地区按照分层抽样的方法随机抽取了60人进行调查，则被抽取的高级教师有（ ）A.2人B.18人C.40人D.36人4.已知圆C 过点()()()4,6,2,2,5,5--，点,M N 在圆C 上，则CMN ∆面积的最大值为（ ）A.100B.25C.50D.2525.执行如图所示的程序框图，若输入x 的值为256，则输出x 的值为（ ）A.8B.3C.2log 3D.()22log log 36. 《九章算术(卷第五)商功》中有如下问题：“今有冥谷上广二丈，袤七丈，下广八尺，袤四丈，深六丈五尺，问积几何”.译文为：“今有上下底面皆为长方形的墓坑,上底宽2丈,长7丈；下底宽8尺，长4丈，深6丈5尺，问它的容积量是多少?”则该几何体的容积为（注：1丈10=尺）A.45000立方尺B.52000立方尺C.63000立方尺D.72000立方尺7.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若9454,5S a ==，则数列1n S n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭前2019项的和为（ ） A.20182019 B.10091010C.40362019D.20191010 8.()5211232x x x ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数为（ ） A.296 B.296- C.1864- D.1376-9.如图，网格小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A.120+B.120+C.120+D.120+10.已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的右顶点为M ，以M 为圆心作圆，圆M 与直线0bx ay -=交于,A B 两点，若60,23AMB OB AB ∠=︒=u u u r u u u r ，则双曲线C 的离心率为（ ）A.2B.2C.32D.211.定义在R 上函数()f x 的导函数为'()f x ，且'()2()2f x f x -<，若()01f =-，则不等式()22x e f x -<的解集为（ ） A.(),0-∞ B.()0,+∞ C.(),1-∞- D.()1,-+∞12.已知数列{}n a n -前n 项和为n S ，且()21201811,1n i i i i a a n S +=⎡⎤+-==⎣⎦∑，则1a =（ ） A.32 B.12 C.52D.2 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题-第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.。
2020年百校联考高考百日冲刺数学试卷(理科)(一)(含答案解析)
2020年百校联考高考百日冲刺数学试卷(理科)(一)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={x∈R|x>1}，B={x∈R|x2≤4}，则A∪B=()A. [−2,+∞)B. (1,+∞)C. (1,2]D. (−∞,+∞)=()2.若复数z=m(m−1)+(m−1)i是纯虚数，其中m是实数，则1zA. −iB. 2iC. iD. −2i3.某中学共有360名教师，其中一线教师280名，行政人员55人，后勤人员25人，采取分层抽样，拟抽取一个容量为72的样本，则一线教师应该抽取()人．A. 56B. 28C. 11D. 54.过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1,−7)的圆交y轴于M，N两点，则｜MN｜等于()A. 2√6B. 8C. 4√6D. 105.执行如图所示的程序框图，若输入x=2，则输出的S值为()A. 8B. 19C. 42D. 896.《九章算术》卷第五《商功》中，有问题“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈．问积几何？”，意思是：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈；上棱长2丈，无宽，高1丈(如图)．问它的体积是多少？”这个问题的答案是()A. 5立方丈B. 6立方丈C. 7立方丈D. 9立方丈7. 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且a 7=4，则S 13= ( )A. 52B. 39C. 26D. 138. 在(3−x)(x +1)n (n ∈N ∗)的展开式中，已知各项系数之和为64，则x 3的系数是( )A. 10B. 20C. 30D. 409. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是( )A. 323B. 163C. 8√33 D. 16√2310. 如图，已知双曲线C ：x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右顶点为A ，O 为坐标原点，以A 为圆心的圆与双曲线C 的某渐近线交于两点P 、Q ，若∠PAQ =60°，且OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则双曲线C 的离心率为( )A. 2√33 B. √72 C. √396D. √311. 已知定义在R 上的可导函数f(x)的导函数为f′(x)，满足f′(x)<f(x)，且f(0)=12，则不等式f(x)−12e x <0的解集为( )A. (−∞,12)B. (0,+∞)C. (12,+∞)D. (−∞,0)12.已知数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，a2n=n−a n，a2n+1=a n+1，则S100=()A. 1306B. 1308C. 1310D. 1312二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a⃗=(2,1)，b⃗ =(1,−2)，则(a⃗+2b⃗ )⋅a⃗=______ ．14.设变量x，y满足约束条件{y≥xx+2y−2≤0x+2≥0则z=|x−3y|的最大值是．15.函数f(x)=x2−2lnx的单调减区间是________．16.已知函数的部分图象如图所示，则f(0)=__________．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.如图，在梯形ABCD中，已知AD//BC，AD=1，BD=2√10，∠CAD=π4，tan∠ADC=−2，(1)求CD的长；(2)求ΔBCD的面积。
2020年百校大联考高考数学模拟试题(理科)
2020年百校大联考高考数学模拟试题（理科）百校大联考2020届高三上学期联考(一)理科数学试题及答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知全集，集合，则A． B． C． D．2、已知，则的大小关系为A． B． C． D．3、A． B． C． D．4、命题，则是A． B． C． D．5、函数的零点包含于区间A． B． C． D．6、曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为A． B． C．2 D．7、函数，若矩形ABCD的顶点A、D在x轴上，B、C在函数的图象上，且，则点D的坐标为A． B． C． D．8、已知二次函数，若，则在A．上是增函数 B．上是增函数C．上是增函数 D．上是增函数9、已知定义在R上的函数的导函数，若的极大值为，极小值为，则函数的图象有可能是10、已知，命题若；命题若，则，在命题（1）；（2）；（3）；（4）中，证明题的个数为A．1 B．2 C．3 D．411、函数的定义域和值域都是,则A．1 B．2 C．3 D．412、设，其中，若对任意的非零实数，存有的非零实数成立，则k的取值范围为A． B． C． D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。
.13、设函数的图象关于直线对称，则a的值为14、设函数，则15、函数是周期为2的奇函数，当，则16、已知函数在区间内单调递减，则实数a的取值范围三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17、（本小题满分10分）已知全集，集合。
（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围。
18、（本小题满分12分）已知函数（1）求的定义域和值域；（2）若，求实数的取值范围。
19、（本小题满分12分）已知函数在上是单调函数；是的充分不必要条件，若为真，为假，求实数m的取值范围。
20、（本小题满分12分）已知函数，其中为常数（1）根据的不同值，判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）若，判断函数在上的单调性，并说明理由。
百千联考解析版：2020届高三第二次模拟考试卷 理科数学(二)
B． A= U B {x | x < 2}
C． A= I B {x | x < 1}
2．
i
是虚数单位，
z
=
4i 1−i
，则 |
z
|=
（
A． 2
B． 2 2
D． A= I B {x | x < 2}
）
C． 4
D． 4 2
3．已知某公司按照工作年限发放年终奖金并且进行年终表彰．若该公司有工作10 年以上的员工100
13．若 (x + 2)( a − x)5 展开式的常数项等于 80 ，则 a =
．
x
x − y +1≥ 0
14．设
x
，
y
满足约束条件
x
+
y
+
1
≥
0
，则=z
2x − 3y 的最小值是
．
x ≤ 3
15．已知双曲线 C : x2
−
y2 3
= 1 的左右焦点分别为 F1 、F2 ，点
A 在双曲线上，点 M
明理由．
二模测试卷 第 6 页（共 10 页）
21．（12
分）已知函数
f
(x)
=m + x
1 2
ln
x
−1
(m ∈ R) 的两个零点为
x1 ，
x2
( x1
<
x2 )
．
（1）求实数 m 的取值范围；
（2）求证：
1 x1
+
1 x2
>
2 e
．
二模测试卷 第 7 页（共 10 页）
请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
2020届 百师联盟全国 高三模拟考(二)全国Ⅱ卷数学(理)试题(解析版)
2020届百师联盟全国高三模拟考（二）全国Ⅱ卷数学（理）试题一、单选题1．集合{2,1,1},{4,6,8},{|,,}A B M x x a b b B x B =--===+∈∈,则集合M 的真子集的个数是 A ．1个 B ．3个C ．4个D ．7个【答案】B【解析】由题意，结合集合,A B ，求得集合M ，得到集合M 中元素的个数，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，集合{2,1,1},{4,6,8}A B =--=，,x A ∈ 则{}{|,,,}4,6M x x a b x A b B x B ==+∈∈∈=， 所以集合M 的真子集的个数为2213-=个，故选B ． 【点睛】本题主要考查了集合的运算和集合中真子集的个数个数的求解，其中作出集合的运算，得到集合M ，再由真子集个数的公式21n -作出计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．2．已知复数z ，满足(34)5z i i -=，则z =（ ） A ．1 B C D ．5【答案】A【解析】首先根据复数代数形式的除法运算求出z ，求出z 的模即可． 【详解】 解：55(34)4334255i i i iz i +-+===-，1z ∴==，故选：A 【点睛】本题考查了复数求模问题，考查复数的除法运算，属于基础题． 3．设命题:p 函数()x x f x e e -=+在R 上递增，命题:q 在ABC ∆中，cos cos A B A B >⇔<，下列为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．()p q ∨⌝C ．()p q ⌝∧D ．()()p q ⌝∧⌝【答案】C【解析】命题p ：函数()x x f x e e -=+在(,0)-∞上单调递减，即可判断出真假．命题q ：在ABC ∆中，利用余弦函数单调性判断出真假． 【详解】解：命题p ：函数()x x f x e e -=+，所以()x x f x e e -=-'，当0x <时，()0f x '<，即函数在(,0)-∞上单调递减，因此是假命题．命题q ：在ABC ∆中，,(0,),cos A B y x π∈=在(0,)π上单调递减，所以cos cos A B A B >⇔<，是真命题．则下列命题为真命题的是()p q ⌝∧． 故选：C ． 【点睛】本题考查了函数的单调性、正弦定理、三角形边角大小关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足122n n S λ+=+，则λ的值是( )A ．4B ．2C ．2-D ．4-【答案】C【解析】利用n S 先求出n a ，然后计算出结果. 【详解】根据题意，当1n =时，11224S a λ==+,142a λ+∴=, 故当2n ≥时，112n n n n a S S --=-=,Q 数列{}n a 是等比数列,则11a =，故412λ+=, 解得2λ=-,故选C.【点睛】本题主要考查了等比数列前n项和nS的表达形式，只要求出数列中的项即可得到结果，较为基础.5．已知131412,log,sin(1)5a b c-===-，则（）A．b c a>>B．a b c>>C．c b a>>D．b a c>>【答案】D【解析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．【详解】解：1030221-<<=Q，14441log log5log415=>=，(0,1),1,sin(1)0a b c∴∈>=-<，即b a c>>，故选：D【点睛】本题考查三个数的大小的比较，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于基础题．6．如图，四边形ABCD为平行四边形，E为AB中点，F为CD的三等分点（靠近D）若AF x AC yDE=+u u u r u u u r u u u r，则y x-的值为（）A．12-B．23-C．13-D．1-【答案】D【解析】使用不同方法用表示出AFu u u r，结合平面向量的基本定理列出方程解出．【详解】解：13AF AD DF AB AD=+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，又11()()()()22AF xAC yDE x AB AD y AB AD x y AB x y AD =+=++-=++-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r1231y x x y ⎧+=⎪∴⎨⎪-=⎩解得5949x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以1y x -=- 故选：D 【点睛】本题考查了平面向量的基本定理及其意义，属于基础题．7．若变量,x y ，满足22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则22x y +的最大值为（ ）A ．3B ．2C ．8113D ．10【答案】D【解析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解最大值即可． 【详解】解：画出满足条件22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩的平面区域，如图示：如图点坐标分别为()()()0,3,3,1,0,2A B C --， 目标函数22xy +的几何意义为，可行域内点(),x y 与坐标原点()0,0的距离的平方，由图可知()3,1B -到原点的距离最大，故()()x2222ma 0311x y++-==.故选：D【点睛】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，属于中档题．8．如图在一个60︒的二面角的棱有两个点,A B ，线段,AC BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于棱AB ，且2,4AB AC BD ===，则CD 的长为（ ）A ．4B ．5C ．2D ．23【答案】A【解析】由CD CA AB BD =++u u u r u u u r u u u r u u u r ，两边平方后展开整理，即可求得2CD u u u r ，则CD 的长可求． 【详解】解：Q CD CA AB BD =++u u u r u u u r u u u r u u u r，∴2222222CD CA AB BD CA AB CA BD AB BD =+++++u u u r u u u r u u u ru u u ru u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rg g g ， Q CA AB ⊥u u u ru u u r，BD AB ⊥u u u r u u u r，∴0CA AB =u u u r u u u r g ，0BD AB =u u u r u u u rg ，1||||cos1202442CA BD CA BD =︒=-⨯⨯=-u u u r u u u r u u u r u u u r g ．∴244162416CD =++-⨯=u u u r，||4CD ∴=u u u r，故选：A ． 【点睛】本题考查了向量的多边形法则、数量积的运算性质、向量垂直与数量积的关系，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 9．已知函数()ln ln(3)f x x x =+-，则（ ） A ．函数()f x 在()0,3上单调递增 B ．函数()f x 在()0,3上单调递减 C ．函数()f x 图像关于32x =对称 D ．函数()f x 图像关于3,02⎛⎫⎪⎝⎭对称 【答案】C【解析】依题意可得(3)()f x f x -=，即函数图像关于32x =对称，再求出函数的导函数，即可判断函数的单调性； 【详解】解：由(3)ln(3)ln[3(3)]ln(3)ln ()f x x x x x f x -=-+--=-+=，(3)()f x f x ∴-=，所以函数图像关于32x =对称， 又1123()3(3)x f x x x x x -'=-=--，()f x 在()0,3上不单调. 故正确的只有C ， 故选：C 【点睛】本题考查函数的对称性的判定，利用导数判断函数的单调性，属于基础题. 10．若函数()3cos 4sin f x x x =+在x θ=时取得最小值，则cos θ=（ ） A ．35B ．45-C ．45D ．35-【答案】D【解析】利用辅助角公式化简()f x 的解析式，再根据正弦函数的最值，求得()f x 在x θ=函数取得最小值时cos θ的值．【详解】解：34()3cos 4sin 5cos sin 5sin()55f x x x x x x α⎛⎫=+=+=+⎪⎝⎭，其中，3sin 5α=，4cos 5α=， 故当22k πθαπ+=-()k ∈Z ，即2()2k k Z πθπα=--∈时，函数取最小值()5fθ=-，所以3cos cos(2)cos()sin 225k ππθπααα=--=--=-=-， 故选：D 【点睛】本题主要考查辅助角公式，正弦函数的最值的应用，属于基础题．11．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三视图的长、宽、高分别为2，a ，b ，且()520,02a b a b +=>>，则此三棱锥外接球表面积的最小值为（ ）A ．174π B ．214π C ．4π D ．5π【答案】B【解析】根据三视图得到几何体为一三棱锥，并以该三棱锥构造长方体，于是得到三棱锥的外接球即为长方体的外接球，进而得到外接球的半径，求得外接球的面积后可求出最小值． 【详解】由已知条件及三视图得，此三棱锥的四个顶点位于长方体1111ABCD A B C D -的四个顶点，即为三棱锥11A CB D -，且长方体1111ABCD A B C D -的长、宽、高分别为2,,a b ，∴此三棱锥的外接球即为长方体1111ABCD A B C D -的外接球，且球半径为22R ==，∴三棱锥外接球表面积为()()222221445124a b a ππππ⎛⎫=++=-+⎪ ⎪⎝⎭， ∴当且仅当1a =，12b =时，三棱锥外接球的表面积取得最小值为214π．故选B ． 【点睛】（1）解决关于外接球的问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离都等于球的半径，同时要作一圆面起衬托作用．（2）长方体的外接球的直径即为长方体的体对角线，对于一些比较特殊的三棱锥，在研究其外接球的问题时可考虑通过构造长方体，通过长方体的外球球来研究三棱锥的外接球的问题．12．已知平行于x 轴的直线分别交曲线2ln 21,21(0)y x y x y =+=-≥于,A B 两点，则4AB 的最小值为（ ） A ．5ln 2+ B ．5ln 2-C ．3ln 2+D ．3ln 2-【答案】A【解析】设直线为1122(0),(,)(,)y a a A x y B x y =>，用a 表示出1x ，2x ，求出4||AB ，令2()2ln f a a a =+-，利用导数求出单调区间和极小值、最小值，即可求出4||AB 的最小值． 【详解】解：设直线为1122(0),(,)(,)y a a A x y B x y =>，则1ln 21a x =+，11(ln 1)2x a ∴=-， 而2x 满足2221a x =-，2212a x +∴=那么()()22211144()4ln 122ln 22a AB x x a a a ⎡⎤+=-=--=+-⎢⎥⎣⎦设2()2ln f a a a =+-，则221()a f a a -'=，函数()f a 在0,2⎛ ⎝⎭上单调递减，在2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，所以min min 242()25ln 22AB f a f ⎛⎫===+ ⎪ ⎪⎝⎭故选：A ． 【点睛】本题考查导数知识的运用：求单调区间和极值、最值，考查化简整理的运算能力，正确求导确定函数的最小值是关键，属于中档题．二、填空题13．5(13)(1)x x -+展开式中3x 项的系数是__________ 【答案】-20【解析】根据二项式定理的通项公式，再分情况考虑即可求解． 【详解】解：555(13)(1)(1(13))x x x x x -=-+++展开式中3x 项的系数： 二项式5(1)x +由通项公式515()r r r T C x -+= 当3r =时，3x 项的系数是3510C =，当2r =时，2x 项的系数是2510C =， 故3x 的系数为3255320C C -=-；故答案为：20- 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，注意分情况考虑，属于基础题．14．如图梯形ABCD 为直角梯形，,AB AD CD AD ⊥⊥，图中阴影部分为曲线2y x =与直线2x x =+围成的平面图形，向直角梯形ABCD 内投入一质点，质点落入阴影部分的概率是_____________【答案】35【解析】联立直线与抛物线方程求出交点坐标，再利用定积分求出阴影部分的面积，利用梯形的面积公式求出ABCD S ，最后根据几何概型的概率公式计算可得；【详解】解：联立22y x y x ⎧=⎨=+⎩解得24x y =⎧⎨=⎩或11x y =-⎧⎨=⎩，即(2,4)B ，(1,1)C -，(1,0)D -，(2,0)A ，()222321111922232S x x dx x x x --⎡⎤∴=+-=+-=⎣⎦⎰阴影，()11514322ABCD S =+⨯⨯=9321552ABCDS P S ∴===阴影故答案为：35【点睛】本题考查几何概型的概率公式的应用以及利用微积分基本定理求曲边形的面积，属于中档题.15．已知双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别关于两渐近线对称点重合，则双曲线的离心率为_____【解析】双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别关于两条渐近线的对称点重合，可得一条渐近线的斜率为1，即b a =，即可求出双曲线的离心率． 【详解】解：Q 双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别关于两条渐近线的对称点重合，∴一条渐近线的斜率为1，即b a =，c ∴=，ce a∴==，． 【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查学生的计算能力，确定一条渐近线的斜率为1是关键，属于基础题．16．电影《厉害了，我的国》于2018年3月正式登陆全国院线，网友纷纷表示，看完电影热血沸腾“我为我的国家骄傲，我为我是中国人骄傲！”《厉害了，我的国》正在召唤我们每一个人，不忘初心，用奋斗书写无悔人生，小明想约甲、乙、丙、丁四位好朋友一同去看《厉害了，我的国》，并把标识为,,,A B C D 的四张电影票放在编号分别为1，2，3，4的四个不同的盒子里，让四位好朋友进行猜测： 甲说：第1个盒子里放的是B ，第3个盒子里放的是C 乙说：第2个盒子里放的是B ，第3个盒子里放的是D 丙说：第4个盒子里放的是D ，第2个盒子里放的是C 丁说：第4个盒子里放的是A ，第3个盒子里放的是C 小明说：“四位朋友你们都只说对了一半” 可以预测，第4个盒子里放的电影票为_________ 【答案】A 或D【解析】分别假设每一个人一半是对的，然后分别进行验证即可． 【详解】解：假设甲说：第1个盒子里面放的是B 是对的， 则乙说：第3个盒子里面放的是D 是对的， 丙说：第2个盒子里面放的是C 是对的， 丁说：第4个盒子里面放的是A 是对的， 由此可知第4个盒子里面放的是A ； 假设甲说：第3个盒子里面放的是C 是对的， 则丙说：第4个盒子里面放的是D 是对的， 乙说：第2个盒子里面放的是B 是对的， 丁说：第3个盒子里面放的是C 是对的， 由此可知第4个盒子里面放的是D ． 故第4个盒子里面放的电影票为D 或A ．故答案为：A 或D 【点睛】本题考查简单的合情推理，考查推理论证能力、分析判断能力、归纳总结能力，属于中档题．三、解答题17．已知,,a b c 分别是ABC ∆内角,,A B C 的对边，满足cos cos )cos 0(C A A B +=（1）求内角B 的大小（2）已知a c =，设点O 是ABC ∆外一点，且24OA OB ==，求平面四边形OACB 面积的最大值.【答案】（1）3B π=（2）8【解析】（1）首先利用诱导公式及两角和的余弦公式得到sin (sin )0A B B =，再由同角三角三角的基本关系得到tan B ，即可求出角B ；（2）由（1）知，ABC ∆是正三角形，设()0,AOB θπ∠=∈，由余弦定理可得：216416cos AB θ=+-，则21sin 23ABC S AB π∆=，142sin 2AOB S θ∆=⨯⨯得到()4sin OACB S θθ=四边形，再利用辅助角公式化简，最后由正弦函数的性质求得最大值； 【详解】解：（1）由cos cos )cos 0(C A A B +-=，cos()(cos )cos 0A B A A B ∴-++-=，cos cos sin sin (cos )cos 0A B A B A A B ∴-++=，sin (sin )0A B B ∴=，sin 0A ≠Q ，tan B ∴=，()0,B π∈Q ， 3B π∴=；（2）由（1）知，ABC ∆是正三角形，设()0,AOB θπ∠=∈， 由余弦定理得：216416cos AB θ=+-，21sin 23ABC S AB πθ∆∴== 142sin 4sin 2AOBS θθ∆=⋅⋅=Q ，()4sin 8sin()3OACB S πθθθ∴=-=-四边形，所以当56πθ=时有最大值8【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系，三角恒等变换公式的应用，三角形面积公式的应用，以及正弦函数的性质，属于中档题.18．健身馆某项目收费标准为每次60元，现推出会员优惠活动：具体收费标准如下：现随机抽取了100为会员统计它们的消费次数，得到数据如下：假设该项目的成本为每次30元，根据给出的数据回答下列问题：（1）估计1位会员至少消费两次的概率（2）某会员消费4次，求这4次消费获得的平均利润；（3）假设每个会员每星期最多消费4次，以事件发生的频率作为相应事件的概率，从会员中随机抽取两位，记从这两位会员的消费获得的平均利润之差的绝对值为X，求X的分布列及数学期望()E X【答案】（1）25（2）22.5（3）见解析，249200【解析】（1）根据频数计算频率，得出概率；（2）根据优惠标准计算平均利润；（3）求出各种情况对应的X的值和概率，得出分布列，从而计算出数学期望．【详解】解：（1）估计1位会员至少消费两次的概率2510521005p++==；（2）第1次消费利润600.953027⨯-=；第2次消费利润600.903024⨯-=；第3次消费利润600.853021⨯-=；第4次消费利润600.803018⨯-=；这4次消费获得的平均利润：2724211822.54+++=（3）1次消费利润是27，概率是35；2次消费利润是272425.52+=，概率是14；3次消费利润是272421243++=，概率是110；4次消费利润是22.5，概率是120；由题意：390,,3,22X =3311111187(0)554410102020200P X ==⨯+⨯+⨯+⨯=33111119()2()254410102025P X ==⨯+⨯+⨯=311129(3)2()510420200P X ==⨯+⨯=9313()2252050P X ==⨯⨯=故分布列为：X32392P8720092529200350期望为: 87392993249()03200225200250200E X =⨯+⨯+⨯+⨯= 【点睛】本题考查概率、平均利润、离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查古典概型、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．19．如图AB 是圆O 的直径，PA 垂直于圆O 所在的平面，C 为圆周上不同于,A B 的任意一点（1）求证：平面PAC ⊥平面PBC ；（2）设24,PA AB AC D ===为PB 的中点，M 为AP 上的动点（不与A 重合）求二面角A BM C --的正切值的最小值 【答案】（1）见解析（2）163【解析】（1）推导出AC BC ⊥，PA BC ⊥，从而BC ⊥平面PAC ，由面面垂直的判定定理即可得证．（2）过A 作Ax AB ⊥，以A 为坐标原点，建立如图所示空间坐标系，设(0,0,)(0,4]M t t ∈，利用空间向量法表示出二面角的余弦值，当余弦值取得最大时，正切值求得最小值； 【详解】（1）因为PA O ⊥e ，BC ⊂面O ePA BC ∴⊥BC AC ⊥Q ，AC PA A ⋂=，AC ⊂平面PAC ，PA ⊂平面PAC ， BC ∴⊥平面PAC ，又BC ⊂平面PBC ，∴平面PAC ⊥平面PBC ；（2）过A 作Ax AB ⊥，以A 为坐标原点，建立如图所示空间坐标系， 则(0,0,0),3,1,0),(0,4,0)A C B ，设(0,0,)(0,4]M t t ∈，(3,3,0),(0,4,)BC BM t =-=-u u u r u u u u r则平面AMB 的一个法向量为(1,0,0)m =u r设平面BMC 的一个法向量为(,,)n x y z =r则00n BC n BM ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u u v v ，即33040x y y tz -=-+=⎪⎩，令3x 43,1,n t ⎫∴=⎪⎭r如图二面角A BM C --的平面角为锐角，设二面角A BM C --为θ，则234cos 124m n t m nθ⋅==-+⋅u r ru r r ，4t ∴=时cos θ取得最大值，最大值为155，则tan θ16【点睛】本题考查面面垂直的证明，利用空间向量法解决立体几何问题，属于中档题.20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>与抛物线24y x =有共同的焦点，且离心率为22，设12,F F 分别是,A B 为椭圆的上下顶点 （1）求椭圆C 的方程；（2）过点()0,2与x 轴不垂直的直线l 与椭圆C 交于不同的两点,M N ，当弦MN 的中点P 落在四边形12F AF B 内（含边界）时，求直线l 的斜率的取值范围.【答案】（1）2212x y +=（2）61k ≥+61k ≤--【解析】（1）由已知条件得到方程组，解得即可；（2）由题意得直线的斜率存在，设直线方程为11222,(,),(,)y kx M x y N x y =+，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，由>0∆得到2k 的范围，设弦MN 中点坐标为00(,)P x y 则120022,0221x x x y k +==>+，所以P 在x 轴上方，只需位于12AF F ∆内（含边界）就可以，即满足00001010x y x y -+≥⎧⎨+-≤⎩，得到不等式组，解得即可；【详解】解：（1）由已知椭圆右焦点坐标为()1,0，离心率为22，2221121b a a b ⎧⎛⎫-=⎪ ⎪∴⎨⎝⎭⎪-=⎩，21a b ⎧=⎪∴⎨=⎪⎩ 所以椭圆的标准方程为2212x y +=；（2）由题意得直线的斜率存在，设直线方程为11222,(,),(,)y kx M x y N x y =+联立22222x y y kx ⎧+=⎨=+⎩，消元整理得22(21)860k x kx +++=，12122286,2121k x x x x k k ∴+=-=++， 由2264421)60k k ∆=-+⨯>（，解得232k > 设弦MN 中点坐标为00(,)P x y 120022,0221x x x y k +∴==>+， 所以P 在x 轴上方，只需位于12AF F ∆内（含边界）就可以，即满足00001010x y x y -+≥⎧⎨+-≤⎩，即2224102410k k k k ⎧--≥⎨+-≥⎩，解得1k ≥+或1k ≤-- 【点睛】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质，直线与椭圆的综合应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．已知函数2()64ln f x x x x =-+ （1）求()f x 单调区间和极值；（2）若存在实数,,(0)a b c a b c <<<，使得()()()f a f b f c ==，求证：2c a -< 【答案】（1）()()0,12,x ∈⋃+∞时，函数单调递增，(1,2),x ∈，函数单调递减，min max ()4ln 28;()5f x f x --；（2）见解析【解析】（1）求出函数的定义域与导函数，利用导数求函数的单调区间，即可得到函数的极值；（2）易得(4ln 28,5)m ∈--且012a b c <<<<<，要证明2c a -<，即证2c a <+，即证()()(2)f c f a f a =<+，即(2)(2)0f a f a +-+>对()0,1a ∀∈恒成立，构造函数()(2)()g x f x f x =+-，(0,1)x ∈，利用导数研究函数的单调性与最值，即可得证；【详解】解：（1）因为2()64ln f x x x x =-+定义域为()0,∞+， 所以2(1)(2)()x x f x x--'=，()()0,12,x ∴∈⋃+∞时，()0f x '>，即()f x 在()0,1和()2,+∞上单调递增，当(1,2)x ∈时，()0f x '<，即函数()f x 在(1,2)单调递减，所以()f x 在2x =处取得极小值，在1x =处取得极大值；()(2)4ln 28f x f ∴==-极小值，()(1)5f x f ==-极大值；（2）易得(4ln 28,5),012m a b c ∈--<<<<<，要证明2c a -<，即证2c a <+，即证()()(2)f c f a f a =<+ 即证(2)(2)0f a f a +-+>对()0,1a ∀∈恒成立， 令()(2)()g x f x f x =+-，(0,1)x ∈，则224[(1)3]()(2)()02x g x f x f x x x+-'''=+-=>+令()0g x '>，解得11x >>，即()g x在)1,1上单调递增；令()0g x '<，解得01x <<，即()g x在()1上单调递减；则()g x在1x =取得极小值，也就是最小值，min ()1)121)1)g x g ∴==+-124ln 2)0e >+-=从而结论得证.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，利用导数证明不等式，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于中档题．22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为：22t tt te e x e e y --⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩（其中t 为参数），直线l的参数方程为2x m y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（其中m 为参数）（1）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C 的极坐标方程； （2）若曲线C 与直线l 交于,A B 两点，点P 的坐标为()2,0，求PA PB ⋅的值. 【答案】（1）2cos 21((,))44ππρθθ=∈-（2）5【解析】（1）首先消去参数得到曲线的普通方程，再根据cos x ρθ=，sin y ρθ=，得到曲线的极坐标方程；（2）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，利用直线的参数方程中参数的几何意义得解； 【详解】解：（1）曲线C ：22t t t te e x e e y --⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩消去参数t 得到：221(1)x y x -=≥， 由cos x ρθ=，sin y ρθ=， 得2222cos sin 1((,))44ππρθρθθ-=∈-所以2cos 21((,))44ππρθθ=∈-（2）255x m y m ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入221x y -=，233055m m ∴--= 设1PA m =，2PB m =，由直线的参数方程参数的几何意义得：215PA PB m m ∴⋅==【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程、普通方程的互化，以及直线参数方程的几何意义的应用，属于中档题． 23．已知函数()|2|f x x a =-（1）若1a =，不等式(2)(1)2f x f x -+≥的解集； （2）若,(2)2x R f x x ∀∈-≥，求实数a 的取值范围.【答案】（1）1(,][2,)3-∞-⋃+∞（2）(,8]-∞-【解析】（1）依题意可得41|21|2x x --+≥，再用零点分段法分类讨论可得； （2）依题意可得42x a x -≥+对x R ∀∈恒成立，根据绝对值的几何意义将绝对值去掉，分别求出解集，则两解集的并集为R ，得到不等式即可解得； 【详解】解：（1）若1a =，()|21|f x x =-，则(2)(1)2f x f x -+≥，即41|21|2x x --+≥，当12x ≤-时，原不等式等价于14212x x -++≥，解得12x ≤- 当1124x -<<时，原不等式等价于14212x x ---≤，解得13x ≤-，所以1123x -<≤-； 当14x ≥时，原不等式等价于41212x x ---≥，解得2x ≥； 综上，原不等式的解集为[)1,2,3⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦；（2）(2)2f x x -≥即42x a x -≥+，得42x a x -≥+或42x a x -≤--，由42x a x -≥+解得23a x +≥， 由42x a x -≤--解得25a x -≤，要使得(2)2f x x -≥的解集为R ，则2253a a -+≥ 解得8a ≤-，故a 的取值范围是(,8]-∞-. 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，着重考查等价转化思想与分类讨论思想的综合应用，属于中档题．。
2020届江苏省“百校大联考”高三上学期第二次考试数学试题(解析版)
2020届江苏省“百校大联考”高三上学期第二次考试数学试题一、填空题1．已知集合{1,2,4}{,1}A B a a ==+，，若{2}A B =，则实数a 的值为____________． 【答案】2【解析】由集合的交集运算及集合元素的互异性讨论可得解. 【详解】解：由{}2A B ⋂=，得212a a =+=或经检验，当2a =时，}{2A B ⋂=，符合题意， 当12a +=时，}{1,2A B ⋂=，不符合题意， 故a 的值为2． 【点睛】本题考查了集合交集的运算，属基础题.2．函数()f x =_______.【答案】(1,2]【解析】根据幂函数与对数函数的定义域列不等式可得结果. 【详解】要使函数()f x =则()12log 10x -≥,即011x <-≤, 即12x <≤,故函数的定义域为(]1,2,故答案为(]1,2. 【点睛】本题主要考查具体函数的定义域、对数不等式的性质，属于中档题.定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数()f x 的定义域为[],a b ，则函数()()f g x 的定义域由不等式()a g x b ≤≤求出.3．“实数1m =-”是“向量(,1)a m =与向量(2,3)b m =-平行”____________的条件(从“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”“既不充分也不必要”中选择恰当的一个填空) ． 【答案】充分必要【解析】由向量共线的判断及向量共线的坐标运算可得解. 【详解】解：当1m =-时，(1,1),(3,3)ab =-=- ，即3b a =，所以a b ；当a b 时，31(2)0m m ⨯-⨯-=，解得1m =-， 故“1m =-”是“a b ”的充分必要条件． 【点睛】本题考查了共线向量及充分必要条件，属基础题. 4．已知幂函数22()m mf x x -=在区间(0,)+∞上是单调递减函数,则整数m 的取值为____________． 【答案】1【解析】由幂函数的单调性可得：220m m -<，运算可得解. 【详解】解：由题意，得220m m -<，解得02m <<， 故整数m 的值为1． 【点睛】本题考查了幂函数的单调性，属基础题. 5．已知2sin()sin()2pa p a -=+ ，则tan()πα-的值是____________． 【答案】2-【解析】由诱导公式可得tan 2α=，再运算可得解. 【详解】解：由题意可得2cos sin αα-=-，所以tan 2α=， 故tan()tan 2παα-=-=-． 【点睛】本题考查了同角三角函数的关系及诱导公式，属基础题.6．设向量,,a b c 均为单位向量，且||2||a b c +=，则向量,a b 的夹角等于____________． 【答案】90【解析】由平面向量模的运算可得a b ⋅ ＝0，即可得解. 【详解】解：由题意，得22()2a b c +=，即22222a b a b c ++⋅=，又a b c ==， 故a b ⋅ ＝0，故a ，b 的夹角为90°． 【点睛】本题考查了平面向量模及平面向量数量积的运算，属基础题. 7．若函数()sin(2)(||)2f x x p j j =+<的图象向右平移6π个单位长度后关于原点对称，则()4f π=____________．【答案】12【解析】由三角函数图像的平移可得()sin(2)3g x x πϕ=-+，由函数的奇偶性可得3πϕ=，再运算即可得解.【详解】解：将函数()y f x =的图像平移后得到()sin[2()]sin(2)63g x x x ππϕϕ=-+=-+是奇函数，则(0)g ＝sin()3πϕ-+＝0，又2πϕ<，所以3πϕ=，故1()sin()cos 42332f ππππ=+==．【点睛】本题考查了三角函数的图像与性质，属基础题.8．已知函数sin 0()(2)20x x f x f x x π≤⎧=⎨-+>⎩，，，则132f 骣琪琪桫的值为____________．【答案】9【解析】由分段函数求值问题，将自变量代入解析式中求解即可. 【详解】解：1395133()()2()4()6()8sin()89222222f f f f f π=+=+=+=-+=-+=． 【点睛】本题考查了分段函数及函数求值问题，属基础题.9．在ABC △中，设,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，记ABC △的面积为S ，且S BA BC =，4cos 5A =,则cos C 的值为____________．【解析】由正弦定理可得B 3π=，又4cos A 5=，所以3sin A 5=， 再结合两角和的余弦公式求值即可. 【详解】BA BC=⋅1sin B cos B 2ac ca =，即sin B =，tan B =所以B 3π=．又4cos A 5=，所以3sin A 5=，故4cosC cos(A B)cos A cos B sin Asin B 10=-+=-+=． 【点睛】本题考查了正余弦定理与解三角形，属中档题.10．设函数()1x x f x e e -=-+，则不等式2(21)()2f x f x -+<的解集为____________．【答案】1-12⎛⎫ ⎪⎝⎭，【解析】先研究函数()1y f x =-的单调性与奇偶性，再利用函数的性质求解不等式的解集即可. 【详解】 解：令()()1x x g x f x e e -=-=-，显然()g x 为单调递增的奇函数．不等式2(21)()2f x f x -+<，可转化为不等式2(21)1[()1]f x f x --<--，即可得2(21)()()g x g x g x -<-=-．所以221x x -<-，解得112x -<<， 故原不等式解集为(﹣1，12)． 【点睛】本题考查了函数的单调性与奇偶性，属中档题. 11．对任意的(0,)x ∈+∞，不等式213ln 022x a a x +-->恒成立，则实数a 的取值范围是____________． 【答案】(,1)(2,)-∞-+∞【解析】由不等式213ln 022x a a x +-->恒成立，可转化为213()ln 22f x x a a x =+--的最小值大于0，再求函数()f x 的最小值即可得解. 【详解】解：设213()ln 22f x x a a x =+--，则1()x f x x'-=， 得2min 13()(1)122f x f a a ==+-，所以213122a a +-＞0，解得a ＞2或a ＜1，故a 的取值范围是(-∞，1)(2，+∞)．【点睛】本题考查了函数与不等式的关系及不等式恒成立问题，属中档题.12．如图所示，,P Q 两点(可与,A B 两点重合)是在以AB 为直径的上半圆弧上的两点，且460AB PAQ ==?，∠，则AP AQ 的取值范围为____________．【答案】()0,4【解析】先设∠BAQ ＝θ，再将AP AQ 表示为θ 的函数，再利用三角函数求值域即可得解. 【详解】解：设∠BAQ ＝θ，θ∈(0，6π)，则∠BAP ＝θ＋3π． 在Rt △ABP 和Rt △ABQ 中，可得AQ ＝4cos θ，AP ＝4cos(θ＋3π)， 则AP AQ 4cos 4cos()cos8cos cos()333πππθθθθ⋅=⋅+=+2c o s 8c o s (c o s c o ss i n s i n )s i n c o s )332ππθθθθθθ=-=c o s 234(s i n 2)4c o s (2)2223θπθθ+=-=++ 由θ∈(0，6π)，得23πθ+∈(3π，23π)，所以11cos(2)232πθ-<+<． 故AP AQ ⋅∈(0，4)． 【点睛】本题考查了平面向量数量积及三角函数的辅助角公式，属中档题. 13．已知直线l 与曲线sin y x =相切于点(,sin )(0)2A pa a a <<，且直线l 与曲线sin y x =的图象交于点(,sin )B b b ，若a b p -=，则tan α的值为____________． 【答案】2π 【解析】由导数的几何意义可得：曲线在点A 处的切线的方程为sin cos ()y x ααα-=-，又由曲线过点(απ-，sin()απ-)，运算可得解.【详解】解：因为()cos f x x '=，所以在点A 处的切线的方程为sin cos ()y x ααα-=-， 又因为直线l 经过点(απ-，sin()απ-)，所以sin()sin ()cos απααπαα--=--，即2sin cos απα-=-， 故tan 2πα=．【点睛】本题考查了导数的几何意义，属基础题.14．已知函数21,0(),0x x x f x x x e-⎧<⎪=⎨≥⎪⎩.若方程221()2()016f x af x a -+-=有4个不等的实根，则实数a 的取值集合为____________． 【答案】351444⎛⎫⎧⎫⋃⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，【解析】方程221()2()016f x af x a -+-=实根的个数等价于函数()t f x =的图像与直线12,tt t t == 的交点个数，其中12,t t 为方程 2212016t at a -+-=的根，作图观察即可得解. 【详解】解：令()t f x =，方程221112[()][()]01644t at a t a t a -+-=-+--=， 得114t a =+，214t a =-，根据()y f x =的图像，得如下简图：由104a -=，得14a =，此时11142t a =+=，符合题意； 由1141014a a ⎧+>⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得3544a <<．综上，a 的取值集合为(34，54){14}．【点睛】本题考查了函数与方程的相互转化，重点考查了数形结合的思想方法，属中档题.二、解答题15．已知m 为实常数.命题2:(1,2),0;p x x x m ∃∈+-=命题:q 函数()ln f x x mx=-在区间[1,2]上是单调递增函数．（1）若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若命题“p 或q ”为真命题，命题“p 且q ”为假命题，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）26m <<；（2）()1,2,62⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】（1）由命题的真假可得2:(1,2),0;p x x x m ∃∈+-=再由方程有解问题求解即可；（2）由复合命题的真假，结合不等式恒成立问题最值法,列不等式组求解即可得解. 【详解】解：（1）当命题p 为真命题时，即2(1,2),0,x x x m ∃∈+-=因为函数()1,2y f x =在（）为增函数，则(1)0(2)0f f <⎧⎨>⎩，则26m m >⎧⎨<⎩故26m <<，（2）当命题q 为真时，即函数()ln f x x mx =-在区间[1,2]上是单调递增函数．即'1()0f x m x=-≥ 在区间[1,2]恒成立， 即'1(2)02f m =-≥，即12m ≤，又命题“p 或q ”为真命题，命题“p 且q ”为假命题，则命题 p ，q 一真一假，①当p 为真，q 为假时，2612m m <<⎧⎪⎨>⎪⎩则26m <<，②当p 为假，q 为真时，2612m m m ≤≥⎧⎪⎨≤⎪⎩或，则12m ≤， 综上可得实数m 的取值范围为()1,2,62⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．【点睛】本题考查了命题的真假及不等式有解与恒成立问题，属中档题. 16．已知向量(sin,sin()),(cos ,sin())224224x x x x a b p p=+=-，函数()f x a b =⋅． （1）求函数()f x 的单调递增区间； （2）若()f a =，求sin(2)6πα+的值．【答案】（1）3,2,2,44k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭；（2）或0【解析】（1）由平面向量数量积的运算可得：()f x=)24x π- ，再结合三角函数的单调区间的求法可得解；（2）先由已知求出7212x k ππ=+或11212x k ππ=+（k Z ∈）， 再代入运算即可得解. 【详解】（1）解：因为()f x a b =⋅， 所以()sin cos sin()sin()222424x x x x f x ππ=++-=11sin cos sin()2224x x x π-=- ，令22242k x k πππππ-≤-≤+，解得：32244k x k ππππ-≤≤+， 故函数()f x 的单调递增区间为32,244k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（k Z ∈）；（2）因为()f a =，所以sin()244x π-=，即sin()4x π-=即7212x k ππ=+，或11212x k ππ=+（k Z ∈）；所以sin(2)6πα+=4sin(4)3k ππ+=或sin(2)6πα+=sin(42)0k ππ+=故sin(2)6πα+的值为02-．【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算、三角函数的单调性及三角求值问题，属中档题. 17．在ABC ∆中，点D 为边AB 的中点． （1）若43CB CA ==，，求AB CD ⋅； （2）若2AB AC CA CD ??，试判断ABC ∆的形状．【答案】（1）72；（2）直角三角形 【解析】（1）由平面向量基本定理可得：AB CD ⋅ =221()2CB CA -=72;得解；（2）由平面向量数量积运算可得：2,AB ACCA CA CB ?+?即2cos cos AB AC A CA CA CB C =+，再结合余弦定理求解即可得解.【详解】(1)解：因为AB CD ⋅=1()()2CB CA CB CA -⋅- =221()2CB CA -=1692- =72; (2)因为2AB ACCA CD ??，所以22=(),AB AC CA CD CA CA CB CA CA CB ?鬃+=+?所以2cos cos AB AC A CA CA CB C =+， 由余弦定理可得222222222AB AC BCCA CB ABAB ACCA CA CBAB ACCA CB+-+-=+，化简得：222AB AC BC =+ ， 故ABC ∆为直角三角形． 【点睛】本题考查了平面向量基本定理及余弦定理，属中档题.18．如图，在矩形纸片ABCD 中，6AB cm =，12AD cm =，在线段AB 上取一点M ，沿着过M 点的直线将矩形右下角折起，使得右下角顶点B 恰好落在矩形的左边AD 边上．设折痕所在直线与BC 交于N 点,记折痕MN 的长度为l ，翻折角BNM ∠为θ．（1）探求l 与θ的函数关系，推导出用θ表示l 的函数表达式； （2）设BM 的长为xcm ，求x 的取值范围；（3）确定点M 在何处时，翻折后重叠部分的图形面积最小．【答案】（1）23,,sin cos 124l ππθθθ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦；（2）24⎡⎤-⎣⎦；（3）当4BM =时，翻折后重叠部分的图形面积最小【解析】（1）由图可知l 与θ的函数关系式为 l =23sin cos θθ，再求函数定义域的范围即可；（2）由三角函数的性质求函数在区间上的值域即可；（3）由均值不等式求函数的最值，由取等的条件求出BM 的值即可. 【详解】解：（1）设顶点B 翻折到边AD 上的点为'B ，由题意可得'sin BM B M l θ==,sin cos2AM l θθ=，因为sin sin cos26l l θθθ+=，所以()6sin 1cos 2l θθ=+=23sin cos θθ，即l 与θ的函数关系式为 l =23sin cos θθ，由题意有0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，首先利用sin 6l θ≤，可知21cos 2θ≥，解得cos 2θ≥，所以0,4πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，又由cos 12,l ≤，可知1sin 22θ≥，即12πθ≥， 即,124ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 故l 与θ的函数关系式为 l =23sin cos θθ，,124ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦； （2）223sin 3(1tan )cos x l θθθ===+，当,124ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，tan 2θ⎡⎤∈-⎣⎦，所以246x -≤≤，故x 的取值范围为24⎡⎤-⎣⎦；（3）319sin cos 22sin cos S l l θθθθ=⋅= ， 又3sin cos θθ=16≤=（当且仅当23sin θ=2cos θ 即6πθ=时取等号，故当23sin46sin cos 66BM πππ=⋅=时，S=故 4BM =时，S取最小值【点睛】本题考查了三角函数的值域及利用均值不等式求函数最值问题，属难度较大的题型. 19．已知函数21()(1)ln 2f x ax a x x a R =-+-+?，． （1）当[1.5]x Î，且0a ≥时，试求函数()f x 的最小值； （2）若对任意的(0,)()102ax f x ??-?，恒成立，试求a 的取值范围． 【答案】（1）155ln 52a--+；（2）[)0,+∞ 【解析】（1）讨论0a =或0a >，判断函数的单调性，求最值即可； （2）由导数的应用，分别讨论 ①当1a =-时，②当10a -<<时， ③当1a <-时， ④当0a ≥时，函数()f x 的单调性，最值即可得解. 【详解】解：（1）由21()(1)ln 2f x ax a x x a R =-+-+?，， 则2'(1)1(1)(1)()ax a x ax x f x x x-+-++-==-， ①当0a =时，'(1)()x f x x-=-， 当[1.5]x Î时，'()0f x ≤，函数为减函数，所以min ()(5)5ln5f x f ==-+ ，②当0a >时，当[1.5]x Î时，'(1)(1)()0ax x f x x+-=-≤，函数为减函数，即min 15()(5)5ln 52af x f ==--+ ， 综上可得当[1.5]x Î，且0a ≥时，函数()f x 的最小值为155ln 52a--+； （2）①当1a =-且(1,)x ∈+∞ 时，2'(1)()0x f x x-=> ，即函数在()1,+∞为增函数，()1(1)1022a af x f +->+-=，不合题意，②当10a -<<时，函数的单调增区间为()10,1,,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，减区间为11,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，24144444()1()(1)()ln()13ln()2222a a af a a a a a a a a -+-=--+--+-+-=--+--， 由10a -<<，141,4a a->-> ，所以4430,ln()0,02aa a -->->->，故 ()102af x +->，不合题意， ③当1a <-时，函数的单调减区间为1,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以1()1(1)1022a af f a -+->+-=，不合题意， ④当0a ≥时，函数的单调增区间为()0,1，减区间为()1,+∞， 所以()1(1)1022a af x f +-?-=，符合题意， 综上所述，实数a 的取值范围为[)0,+∞. 【点睛】本题考查了导数的综合应用，属综合性较强的题型. 20．已知函数32()3f x x x px q =-++，其中,p q R ∈．（1）若函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为30x y +-=，求,p q 的值； （2）若函数()f x 有两个极值点1212,()x x x x <，证明：12()2()f x p q f x +-，，成等差数列；（3）若函数()f x 有三个零点0,,()m n m n <，对任意的[,]x m n ∈，不等式()14f x p ≤+恒成立，求p 的取值范围．【答案】（1）2p q ==；（2）见解析；（3）[)90,9,02⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】（1）由导数的几何意义可得解； （2）由等差数列的判定，只需证明12()()2(2)f x f x p q +=+-，代入运算即可；（3）由导数的综合应用，求函数的单调性，再求函数的最值，解不等式即可得解. 【详解】解：（1）由函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为30x y +-=， 得'(1)2,()1f f x ==- ，又'2()36f x x x p =-+，即22,31p q p +-=-+=-， 故2p q ==；（2）要证12()2()f x p q f x +-，，成等差数列， 只需证明12()()2(2)f x f x p q +=+-，又函数()f x 有两个极值点1212,()x x x x <，则12122,3px x x x +==，3212111()()3f x f x x x px q +=-+++322223x x px q -++==22121212121212()()33()2()22(2)x x x x x x x x x x p x x q p q ⎡⎤⎡⎤++--+-+++=+-⎣⎦⎣⎦ ， 命题得证；（3）由函数()f x 有三个零点0,,()m n m n <，得(0)0f =，解得0q =且230xx p -+=有两个根为,m n ，于是有9400p p ∆=->⎧⎨≠⎩ ，即()9,00,4p ⎛⎫∈-∞⋃ ⎪⎝⎭，'2()36f x x x p =-+有两个相异的实根，不妨设为1,212()t t t t <，①当90,4p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，20m t n <<<，函数在[]2,m t 为减函数，在[]2,t n 为增函数，又()()0f m f n == 所以max ()()()0f x f m f n ===，故不等式()14f x p ≤+恒成立， ② 当(),0p ∈-∞时，120m t t n <<<< ，函数()f x 在[]12,t t 为减函数，在[]1,t m ， []2,t n 为增函数，由()()0f m f n ==，211360t t p -+=故32max 111()3f x t t pt =-+=12233p p t ⎛⎫-+⎪⎝⎭，对于任意的[,]x m n ∈，不等式()14f x p ≤+恒成立，于是12233p p t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭14p ≤+，又1t =，故2233p p⎛⎫-+ ⎪⎝⎭⎝⎭14p ≤+，令ϕ=()3ϕ>，则22(3)97279ϕϕϕ---≤+， 解得36ϕ<≤，解得36<≤，即90p -≤<， 即[)9,0p ∈-综上可得p 的取值范围为[)90,9,02⎛⎫- ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查了函数的综合应用，属综合性较强的题型.。
2020届百校联盟(全国卷)高三第二次模拟考试数学(理)试题
2020届百校联盟（全国卷）高三第二次模拟考试数学试题（理科）★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题（每小题5分，共60分） 1．i是虚数单位，41i z i=- 则||z =( )A. 2B.C. 4D. 2．集合{}|2lg 1A x x =<，{}2|90B x x =-≤，则A B =( )A.[3,3]-B.(C.(]0,3D.⎡-⎣3．已知向量2a =，1b =，2)2(=-⋅b a a,则a 与b 的夹角为 ( )A.o 30B.o 60C.o 90D.o 1504.为了解户籍、性别对生育二胎选择倾向的影响, 某地从育龄人群中随机抽取了容量为200的调查样本, 其中：城镇户籍与农村户籍各100人；男性120,女性80人, 绘制不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图（如图所示）, 其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例, 则下列叙述中错误的是（ ）A ．是否倾向选择生育二胎与户籍有关B ．是否倾向选择生育二胎与性别无关C ．倾向选择生育二胎的人群中, 男性人数与女性人数相同D ．倾向选择不生育二胎的人群中, 农村户籍人数少于城镇户籍人数5.设变量y x ,满足约束条件,042001⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥+≤--y x y x y x 则y x z 2-=的最大值为 （ ） A.23B.-12C.0D. 1 6.正项等差数列}{a n 的前n 项和为n S ，已知==+-+92573,015S a a a 则( )A.35B.36C.45D.547.b a ,是两条不同的直线,βα,是两个不同的平面,βα⊥⊂b a , ,则 “βα//”是 “b a ⊥”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.已知实轴长为22的双曲线)0,0(1:2222>>=-b a b y a x C 的 左,右焦点分别为)0,2(),0,2(21F F - 点B 为双曲线C 虚轴上的一个端点，则21F BF ∆的重心到双曲线C 的渐近线的距离为 （ ） A.32 B. 32 C. 33D. 31 9．将函数f （x ）＝sinx 的图象向右平移π4个单位长度后得到函数y ＝g （x ）的图象，则函数y ＝f （x ）g （x ）的最大值为( )C.1D.1210.在ABC ∆中，C B A ,,所对的边分别为,2,3,,,-=⋅=B c b a π且满足,sin 2sin sin B C A =+则该三角形的外接圆的半径为（ ）A.334 B.332 C.3 D. 11.已知点A 是抛物线y x 42= 的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线的焦点，点P 在抛物线上且满足PF m PA = ，若m 取得最大值时，点P 恰好在以F A ,为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为（ ）A.13-B.12-C.215- D.212-12.已知函数a x x ax x f +-=221ln )(有且只有一个极值点，则实数a 构成的集合是 （ ）A. {}0<a aB. {}0>a aC. {}1<a aD. {}1>a a 二、填空题（每小题5分，共20分）13．二项式51)x的展开式中2-x 的系数是_______________.14.已知)(x f 为奇函数，当0≤x 时，,3)(2x x x f -=则曲线)(x f y =在点)4,1(-处的切线方程为_______________.15.已知数列{}n a 满足()24cos πn a n n n =+，则{}n a 的前50项的和为_______________.16. 三棱锥P ABC -中，底面ABC ∆满足BA BC =，2ABC π∠=，P 在面ABC 的射影为AC 的中点，且该三棱锥的体积为92，当其外接球的表面积最小时，P 到面ABC 的距离为_______________.三、解答题17．（本小题满分12分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1A A ABCD ⊥底面,AB AC ⊥,1AB =,12,AC AA AD CD ===且点M 和N 分别为11C D B D 和的中点.（I ）求证：MN//平面ABCD ； （II ）求二面角11D -AC B -的正弦值18. （本小题满分12分）支付宝宣布在肯德基的KPRO 餐厅上线刷脸支付，也即用户可以不用手机，单单通过刷脸就可以完成支付宝支付，这也是刷脸支付在全球范围内的首次商用试点.某市随机抽查了每月用支付宝消费金额不超过3000元的男女顾客各300人，调查了他们的支付宝使用情况，得到如下频率分布直方图：若每月利用支付宝支付金额超过2千元的顾客被称为“支付宝达人”， 利用支付宝支付金额不超过2千元的顾客称为“非支付宝达人”.（I ）若抽取的“支付宝达人”中女性占120人，请根据条件完成上面的列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“支付宝达人”与性别有关.（II ）支付宝公司为了进一步了解这600人的支付宝使用体验情况和建议，从“非支付宝达人” “支付宝达人”中用分层抽样的方法抽取8人.若需从这8人中随机选取2人进行问卷调查，求至少有1人是“支付宝达人”的概率. 附：参考公式与参考数据如下，其中.19.（本小题满分12分） 已知数列}{n a 满足n n n n n a b N n a a a a 4112321log ),(2222=∈=++++*+- （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列}b 1{1n +⋅n b 的前n 项和n T ．20．（本小题满分12分）椭圆2222: 1 (0)x y E a b a b +=>>过点(0,1)P 做斜率为k 的直线l ，椭圆E 与直线l 交于,A B 两点，当直线l 垂直于y 轴时||AB =． （Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）当k 变化时，在x 轴上是否存在点(,0)M m ，使得AMB ∆是以AB 为底的等腰三角形，若存在求出m 的取值范围，若不存在说明理由．21.（本小题满分12分） 已知).ln()(2a x ex f x++=.（Ⅰ）当1a =时，①求()f x 在()0,1处的切线方程；②当0≥x 时，求证：()()21f x x x ++≥.（Ⅱ）若存在[)00,x ∈+∞，使得()()20002ln f x x a x ++＜成立，求实数a 的取值范围.选考题：本小题满分共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答. 22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知极点为直角坐标系的原点，极轴为x 轴正半轴且单位长度相同的极坐标系中曲线1:1C ρ=，).(1212:2为参数t t y t x C ⎪⎩⎪⎨⎧+=-=（Ⅰ）求曲线1C 上的点到曲线2C 距离的最小值；（Ⅱ）若把1C 上各点的横坐标都扩大原来为原来的2倍，得到曲线1C '.设()1,1P -，曲线2C 与1C '交于A ，B 两点，求PA PB +.23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数.,322)(R m m x x x f ∈+++= （Ⅰ）当2-=m 时，求不等式3)(≤x f 的解集；（Ⅱ）),0,(-∞∈∀x 都有xx x f 2)(+≥恒成立，求m 的取值范围.数学试题（理科答案）1B 2C 3B 4C 5A 6C 7A 8D 9A 10B 11B 12A 13.-10 14.5x+y-1=0 15.1375 16.3.17【解析】(I)证明：依题意，可得(0,0,1)n =为平面ABCD 的一个法向量，50,,02MN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 由此可得，0MN n ⋅=，又因为直线MN ⊄平面ABCD ，所以//MN 平面ABCD (II)1(1,2,2),(2,0,0)AD AC =-=，设1(,,)n x y z =为平面1ACD 的法向量，则1110n AD n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22020x y z x -+=⎧⎨=⎩，不妨设1z =，可得1(0,1,1)n =，设2(,,)n x y z =为平面1ACB 的一个法向量，则2120n AB n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，又1(0,1,2)AB =，得2020y z x +=⎧⎨=⎩，不妨设1z =，可得2(0,2,1)n =- 因此有12121210cos ,n n n n n n ⋅==-⋅，于是123sin,n n =所以二面角11D AC B --. 18(1)(2)2813 19（Ⅰ）当1n =时，41=a 当2n ≥时由132121+23222n nn a a a a +-+++=- 312122+23222nn n a a a a --+++=- 两式相减得122nn n a -=，即212n n a -=………………………4分 且上式对于1n =时不成立．所以数列{}n a 的通项公式⎩⎨⎧≥==-2,21,412n n a n n …… 6分 （Ⅱ）因为2122,111-=≥==n b n b n n 时，当时，，…………………………………………8分114112()(21)(21)2121n n b b n n n n +==--+-+所以12231111n n n T b b b b b b +=+++=12234+-n …………………………………………12分20（Ⅰ）由已知椭圆过点⎫⎪⎪⎝⎭，可得22222271143a b a b c c a⎧+=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=⎪⎩，.………………………………………………3分 解得229,4a b ==所以椭圆的E 方程为22194x y +=. ……………5分（Ⅱ）设1122(,),(,)A x y B x y ，AB 的中点00(,)C x y由221194y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得22(49)18270k x kx ++-=，所以120002294, 124949x x k x y kx k k +-===+=++. …………………7分 当0k ≠时，设过点C 且与l 垂直的直线方程22194()4949k y x k k k =-++++ 将(,0)M m 代入得：549m k k=-+……………………………9分若0k >，则49k k +≥， 若0k <，则449[(9)]12k k k k -+=-+-≤- 所以5012m -≤<或5012m <≤………………………………………11分当0k =时，0m =综上所述，存在点M 满足条件,m 取值范围是551212m -≤≤.……………12分 21．（1）1a =时，2()ln(1)xf x e x =++，21()21xf x e x '=++--------1分 ①(0)1f =，1(0)231f '=+=，所以()f x 在(0,1)处的切线方程为31y x =+--------3分 ②设()()22()ln(1)10x F x e x x x x =++-+-≥()'21()22111x F x e x x =+-+-+--------4分 ()''222222l l ()42210(1)(1)x x x x F x e e e e x x ⎡⎤=--=-+-+>⎢⎥++⎣⎦ 所以，()'F x 在[)0,+∞上递增，所以''()(0)0F x F ≥=--------6分所以，()F x 在[)0,+∞上递增，所以()(0)0F x F ≥=--------7分（2）原问题00x ⇔∃≥使得02200ln()0x e x a x -+-<设22()ln()x u x e x a x =-+-21()22x u x e x x a'=--+ 221()420x u x e x a '=+->+（） ()u x '∴在[0,)+∞单调增1()(0)2u x u a''∴≥=- 1当12a ≥时，1(0)20u a'=-≥ ()u x ∴在[0,)+∞单调增，min ()(0)1ln 0u x u a ∴==-<a e ∴> --------10分 2当12a <时，1ln()ln()2x a x +<+ 设11()ln(),(0)22h x x x x =--+> 112()11122x h x x x -'=-=++ 另11()0,()0022h x x h x x ''>⇒><⇒<< ()h x ∴在1(0,)2单调递减，在1(,)2+∞单调递增1()()02h x h ∴≥= 设221()(),(0)2x g x e x x x =--->2()221x g x e x '=-- 2()42420x g x e ''=->-> ()g x '∴在(0,)+∞单调递增 ()(0)10g x g ''∴>=>()g x ∴在(0,)+∞单调递增()(0)0g x g ∴>>2211ln()ln()22x e x x x x a ∴->->+>+ ∴当12a <时，2()2ln()f x x a x >++恒成立，不合题意--------12分 22．（1）221:1C x y +=，圆心为(0,0)，半径为1；2:2C y x =+--------2分圆心到直线距离d ==分 所以1C 上的点到2C1.--------5分（2）伸缩变换为2x x y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩，所以221:143x y C '''+=--------7分 将2C 和1C '联立，得27100t +-=.因为120t t <--------8分1212||||||||||7PA PB t t t t ∴+=+=-=-----23.解：当m=-2时，, 当解得当恒成立 当解得 此不等式的解集为.当时，当时，不等式化为.由当且仅当即时等号成立.，.当时，不等式化为.，令，.，在上是增函数.当时，取到最大值为..综上.。
2020届百校联考高考百日冲刺金卷全国Ⅱ卷(一)数学(理)试题(解析版)
2020届百校联考高考百日冲刺金卷全国Ⅱ卷（一）数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}{}21,5,100A B x x mx =-=+-=，若{}5A B =I ，则A B =U （ ）A ．{}1,3,5-B ．{}1,2,5--C ．{}1,2,5-D ．{}1,3,5--【答案】B【解析】由题意，5是方程2100x mx +-=的解，可得3m =-，求出集合B ，即得A B U .【详解】{}5A B =Q I ，5∴是方程2100x mx +-=的解，255100m ∴+-=，3m ∴=-.解方程23100x x --=，得5x =或2x =-，{}5,2B ∴=-. 故{}1,2,5A B ⋃=--. 故选：B . 【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题.2．若m 为实数，且复数()()325z m i i =-+为纯虚数，则m =（ ） A ．65-B ．65C ．152-D ．152【答案】C【解析】根据复数的分类，实部为0，虚部不为0的复数是纯虚数，可得m 的值. 【详解】依题意()()()()3252561521556z m i i m mi i m m i =-+=+-+=++-为纯虚数，故2150560m m +=⎧⎨-≠⎩，则152m =-.故选：C. 【点睛】本题考查复数的分类，属于基础题.3．已知某地区在职特级教师、高级教师、中级教师分别有100人，900人，2000人，为了调查该地区不同职称的教师的工资情况，研究人员在该地区按照分层抽样的方法随机抽取了60人进行调查，则被抽取的高级教师有（ ） A ．2人 B ．18人C ．40人D ．36人【答案】B【解析】求出该地区在职特级教师、高级教师、中级教师的比例，从而得到高级教师的比例，即可得答案； 【详解】依题意，该地区在职特级教师、高级教师、中级教师的比例为1:9:20， 则随机抽取60人，高级教师有9601830⨯=人. 故选：B. 【点睛】本题考查分层抽样的特点，考查数据处理能力，属于基础题.4．已知圆C 过点()()()4,6,2,2,5,5--，点,M N 在圆C 上，则CMN ∆面积的最大值为（ ） A ．100 B ．25C ．50D ．252【答案】D【解析】设圆C 的方程为220x y Dx Ey F ++++=，将()()()4,6,2,2,5,5--代入，求出圆C 的方程，即可求出CMN ∆面积的最大值. 【详解】设圆C 的方程为220x y Dx Ey F ++++=，将()()()4,6,2,2,5,5--代入可得，52460822050550D E F D E F D E F +++=⎧⎪--+=⎨⎪+++=⎩，解得2,4,20D E F =-=-=-. 故圆C 的一般方程为2224200x y x y +---=，即()()221225x y -+-=，故CMN ∆的面积11125sin 55sin 5512222S CM CN MCN MCN =∠=⨯⨯∠≤⨯⨯⨯=. CMN ∴∆面积的最大值为252.故选：D . 【点睛】本题主要考查圆的一般方程，属于基础题.5．执行如图所示的程序框图，若输入x 的值为256，则输出x 的值为（ ）A ．8B ．3C ．2log 3D ．()22log log 3【答案】C【解析】根据程序框图一步一步往下执行，即可得答案； 【详解】运行该程序，第一次，8y =，2n =，8x =； 第二次，3y =，3n =，3x =；第三次，2log 3y =，4n =，2log 3x =；第四次，()22log log 3y =，5n =，()22log log 3x =； 第五次，()22log log 322log 3y ==，6n =，2log 3x =；第六次，()22log log 3y =，7n =，()22log log 3x =； 第七次()22log log 322log 3y ==，8n =，2log 3x =，此时输出x 的值为2log 3. 故选：C. 【点睛】本题考查程序框图中的循环结构，考查运算求解能力，属于基础题.6．《九章算术（卷第五）·商功》中有如下问题：“今有冥谷上广二丈，袤七丈，下广八尺，袤四丈，深六丈五尺，问积几何”.译文为：“今有上下底面皆为长方形的墓坑，上底宽2丈，长7丈；下底宽8尺，长4丈，深6丈5尺，问它的容积量是多少？”则该几何体的容积为（ ）（注：1丈10=尺.）A ．45000立方尺B ．52000立方尺C ．63000立方尺D ．72000立方尺【答案】B【解析】对几何体进行分割得到()112A A MNE AMN DPQ D PQFD BCGH ADFE V V V V V ----=+++，再利用体积公式计算，即可得到答案. 【详解】进行分割如图所示，面AEFD ⊥面1111A B C D ，AN EF ⊥，DQ EF ⊥，11AM A D ⊥，11DP A D ⊥，连结,PQ MN ，面//AEFD 面BCGH ，故()112A A MNE AMN DPQ D PQFD BCGH ADFE V V V V V ----=+++11(820)652156652651584032252000+⨯⎛⎫=⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭立方尺.故选：B. 【点睛】本题考查利用割补法求多面体的体积，考查转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力.7．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若954S =，45a =，则数列1n S n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭前2019项的和为（ ） A ．20182019B ．10091010C ．40362019D ．20191010【答案】D【解析】求出数列1n S n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的通项公式，再利用裂项相消法求和.【详解】由等差数列性质可知，95954S a ==，解得56a =；而45a =，故1d =，则1432a a d =-=，故2(1)3222n n n n nS n -+=+=， 2121121n S n n n n n ⎛⎫==- ⎪-++⎝⎭， 设1n S n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的前n 项和为n T ，则111111112212233411121n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫=+-+-+-=-=⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭-+L ， 故2019220192019201911010T ⨯==+. 故选：D. 【点睛】本题考查等差数列基本量运算、裂项相消法求和，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 8．()5211232x x x ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数为（ ） A ．296 B ．296-C ．1864-D ．1376-【答案】C【解析】写出二项式()532x -展开式的通项，即可求出2x 的系数. 【详解】二项式()532x -展开式的通项为()()51532rrrr T C x -+=-，所以2x 的系数为()()()3523252355532221327206410801864C C C ⨯⨯-+⨯--⨯⨯⨯-=---=-.故选：C . 【点睛】本题考查二项式定理的通项公式，属于基础题.9．如图，网格小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．1208286++B ．12085+C ．1208246++D ．120162+【答案】C【解析】根据三视图，画出几何体的直观图，即可求表面积. 【详解】在长方体中，沿平面ABD 和平面BCD 进行切割，得到该几何体的直观图为多面体ABD BCD EFGH --，如图所示则()14416,484242EFGH ADEH S S =⨯==⨯+⨯=, ()()1146420,6842822DEFC BCFG S S =⨯+⨯==⨯+⨯=,18432,442822ABGH ABD S S ∆=⨯==⨯⨯=12243462BCD S ∆=⨯=故所求表面积16242028328246S =+++++1208246=+. 故选：C . 【点睛】本题考查空间几何体的三视图，考查学生的空间想象能力，属于中档题.10．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右顶点为M ，以M 为圆心作圆，圆M 与直线0bx ay -=交于,A B 两点，若60,23AMB OB AB ∠=︒=u u u r u u u r，则双曲线C 的离心率为（ ）A B C ．32D 【答案】B【解析】由60,AMB AM BM ∠=︒=，得AMB ∆为正三角形. 设圆M 的半径为r ，由23OB AB =u u u r u u u r ，得2r OA =u u u r .由勾股定理得222+2r r a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，解得r =再根据点(),0M a 到直线0bx ay -=2r =，整理可求双曲线C 的离心率. 【详解】因为60,AMB AM BM ∠=︒=，故AMB ∆为正三角形.设圆M 的半径为r ，则圆心M 到直线AB 的距离2d=. 由23OB AB =u u u r u u u r，得3OB OA =u u u r u u u r ，故2r OA =u u u r .因为OM a =u u u u r ，由勾股定理得222+r a ⎫=⎪⎪⎝⎭，解得r =又点(),0M a 到直线0bx ay -===化简可得2243b a =，故2c e a ===.故选：B . 【点睛】本题考查双曲线的离心率，属于中档题. 11．定义在R 上函数()f x 的导函数为'()f x ，且'()2()2f x f x -<，若()01f =-，则不等式()22xef x -<的解集为（ ）A ．(),0-∞B ．()0,∞+C ．(),1-∞-D ．()1,-+∞【答案】A 【解析】令2()2(),xf xg x x R e+=∈，可求函数()g x 在R 上单调递减. 由2()2x e f x -<，可得()1g x >，从而可求不等式()22xe f x -<的解集.【详解】令2()2(),x f x g x x R e +=∈，则''2()2()4()xf x f xg x e--=， 由'()2()2f x f x -<，得'()42()0f x f x --<，'()0g x ∴<，∴函数()g x 在R 上单调递减.由2()2xef x -<，可得2()2x f x e +>，2()21xf x e +∴>， 即()()(0)(01,1,)g x g g x g =∴>>Q ， 又函数()g x 在R 上单调递减，0x ∴<. 故不等式2()2xe f x -<的解集为(),0-∞.故选：A . 【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，属于中档题. 12．已知数列{}n a n -的前n 项和为n S ，且211(1)ni i i i aa n +=⎡⎤+-=⎣⎦∑，20181S =，则1a =（ ） A ．32B ．12C ．52D ．2【答案】A【解析】依题意，221(1)(1)21n n n a a n n n ++-=--=-，对n 分奇数和偶数进行讨论，利用数列的前n 项和公式可得关于1a 的方程，解方程即可得到答案. 【详解】依题意，221(1)(1)21n n n a a n n n ++-=--=-，故当n 为奇数时，12121,21,n n n n a a n a a n +++-=-⎧⎨+=+⎩22n n a a ++=， 当n 为偶数时，12121,21,n n n n a a n a a n ++++=-⎧⎨-=+⎩24n n a a n ++=， 2018122018(122018)1S a a a =+++-+++=L L ，即1220182018(12018)11009201912a a a ⨯+++⋅⋅⋅+=+=⨯+，又122018a a a ++⋅⋅⋅+()()13520172462018a a a a a a a a =+++++++++L L(12504(1620164)2504)2a a ⨯+⨯⎛⎫=+⨯++ ⎪⎝⎭([]112504)1252(1620164)a a =+⨯+++⨯+⨯11210082021a =++⨯，所以，11009201911210082021a ⨯+=++⨯，110092019100820212a ⨯-⨯=10082019201910082021322⨯+-⨯==.故选：A. 【点睛】本题考查数列递推关系的运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解的关键是对关系211(1)ni i i i aa n +=⎡⎤+-=⎣⎦∑的灵活运用.二、填空题13．已知向量()()2,3,24,7m m n =-+=-u r u r r ，则,m n u r r夹角的余弦值为_________.【答案】65【解析】求出,,n m n r u r r ，根据cos ,m n m n m n=u r ru r r g u r r 即得. 【详解】()()2,3,24,7,m m n m =-+=-=u r u r r u rQ()()21,2,52m n mn n +-∴==-=u r r u r r r，2132865cos ,135m n m n m n⨯+-⨯-∴===⨯u r ru r r g u r r .故答案为：865. 【点睛】本题考查两向量的夹角公式，属于基础题.14．已知实数,x y 满足1121x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎨⎪≤+⎩，则3z x y =+的最小值为_________.【答案】1【解析】画出可行域，根据目标函数的几何意义即求z 的最小值. 【详解】作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示由3z x y =+，可得3y x z =-+，则z 为直线在y 轴上的截距.平移直线3y x z =-+，当直线过可行域内的点()0,1A 时，3z x y =+最小，最小值为1. 故答案为：1. 【点睛】本题考查简单的线性规划，属于基础题.15．当120x x m <<<时，不等式2112x x x x <恒成立，则实数m 的最大值为_________. 【答案】e【解析】设ln ()x f x x =，由2112ln ln x x x x <，得1212ln ln x x x x <，得函数ln ()x f x x=在()0,m 上为增函数，即求m 的最大值.【详解】设ln ()x f xx=，由2112ln lnx x x x<，得1212ln lnx xx x<，即当120x x m<<<时，都有()()12f x f x<，∴函数ln()xf xx=在()0,m上为增函数，'21ln()0xf xx-∴=≥，0x e∴<≤.故m的最大值为e.故答案为：e.【点睛】本题主要考查利用导数解决不等式恒成立问题，属于中档题.16．已知函数()sin()f x A xωϕ=+（0A>，0>ω）的部分图象如图所示，其中,33Mπ⎛⎫⎪⎝⎭是图象的一个最高点，4,03Nπ⎛⎫⎪⎝⎭是图象与x轴的交点，将函数()f x的图象上所有点的横坐标缩短到原来的112后，再向右平移4π个单位长度，得到函数()g x的图象，则函数()g x的单调递增区间为________.【答案】5,93183k kππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦（k∈Z）【解析】根据图像得到()f x的解析式，再根据伸缩变换和平移变换得到()g x的解析式，进而求出单调区间.【详解】依题意，3A=，4433Tπππ=-=，即4Tπ=，故12ω=，1()3sin2f x xϕ⎛⎫=+⎪⎝⎭；将,33π⎛⎫⎪⎝⎭代入()f x 中，可知12232k ππϕπ⨯+=+，k ∈Z ，故23k πϕπ=+，k ∈Z ；不妨设0k =，故函数1()3sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭；将函数()f x 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的112后， 得到3sin 63y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，再向右平移4π个单位长度， 得到()3sin 643g x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦33sin 63cos 6233x x πππ⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 令26223k x k πππππ+≤+≤+（k ∈Z ），解得593183k k x ππππ+≤≤+（k ∈Z ），故函数()g x 的单调递增区间为5,93183k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）. 故答案为：5,93183k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）. 【点睛】本题考查三角函数的图像与性质、伸缩变换与平移变换、单调区间，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.三、解答题17．在ABC ∆中，4BAC π∠=，2AB =，2BC =，M 是线段AC 上的一点，且tan AMB ∠=-（1）求AM 的长度； （2）求BCM ∆的面积.【答案】（1）12AM =（2 【解析】（1）利用同角三角函数的基本关系可得sin AMB ∠，cos AMB ∠的值，再利用正弦定理求得AM 的长度；（2）根据AMB CMB π∠+∠=可得sin CMB ∠，再利用正弦定理求得BM ，进一步利用余弦定理求得CM ，最后代入三角形的面积公式，即可得答案； 【详解】（1）因为sin tan cos AMBAMB AMB∠∠==-∠且22sin cos 1AMB AMB ∠+∠=，联立两式，解得sin 3AMB ∠=，1cos 3AMB ∠=-，故sin sin()ABM AMB A ∠=∠+1432326-=-⨯=， 由正弦定理sin sin AM ABABM AMB =∠∠，所以sin 1sin 2AB ABM AM AMB ⋅∠==∠. （2）因为AMB CMB π∠+∠=，故1cos cos()cos 3CMB AMB AMB π∠=-∠=-∠=，所以sin 3CMB ∠=， 在ABM ∆中，由正弦定理sin sin BM ABA AMB=∠， 故sin 3sin 2AB A BM AMB ⋅==∠，在BCM ∆中，由余弦定理2222cos BC BM CM BM CM CMB =+-⋅⋅∠， 得21793124423CM CM =+-⨯⨯⨯， 解得2CM =或1CM =-（舍去）.所以BCM ∆的面积113sin 22223S BM CM CMB =⋅⋅∠=⨯⨯⨯=【点睛】本题考查三角形的内角和、诱导公式、正余弦定理解三角形，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.18．如图所示，在三棱锥S BCD -中，平面SBD ⊥平面BCD ，A 是线段SD 上的点，SBD ∆为等边三角形，30BCD ∠=︒，24CD DB ==.（1）若SA AD =，求证：SD CA ⊥； （2）若直线BA 与平面SCD 所成角的正弦值为419565，求AD 的长. 【答案】（1）见解析（2）12AD =或32. 【解析】（1）利用面面垂直性质定理可得BC ⊥平面SBD ，从而推出BC SD ⊥，再证明BA SD ⊥，进一步利用线面垂直的判定定理证明线面垂直，即可得到线线垂直； （2）以B 为坐标原点，BC ，BD 所在直线为x 轴，y 轴，过点B 作平面BCD 的垂线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设(0,3),(01)DA DS λλλλ==-≤≤u u u r u u u r，平面SCD 的一个法向量3,1)m =u r，利用向量的夹角公式，即可得答案；【详解】（1）依题意，2BD =，在BCD ∆中，4CD =，30BCD ∠=︒， 由余弦定理可求得，23BC = ∴222CD BD BC =+，即BC BD ⊥，又平面SBD ⊥平面BCD ，平面SBD I 平面BCD BD =，BC ⊂平面BCD ， ∴BC ⊥平面SBD BC SD ⇒⊥， 等边SBD ∆中，SA AD =， 则BA SD ⊥，且BC BA B =I ， ∴SD ⊥平面BCA ，∴SD CA ⊥.（2）以B 为坐标原点，BC ，BD 所在直线为x 轴，y 轴，过点B 作平面BCD 的垂线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求出则(0,0,0)B ，(23,0,0)C ，(0,2,0)D ，3)S ，故(23,2,0)CD =-u u u r ，(0,1,3)SD =u u u r，设平面SCD 的一个法向量为(,,)m x y z =u r，则0,0,m CD m SD ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v 即2320,30,x y y z ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩ 取1x =，则3y =1z =，所以3,1)m =u r，设(0,3),(01)DA DS λλλλ==-≤≤u u u r u u u r，故(0,23)A λλ-，则(0,23)BA λλ=-u u u r，故||sin cos ,||||m BA m BA m BA θ⋅==⋅u r u u u ru r u u u r u r u u u r 2223334195655(2)3λλλλ==⋅-+，解得14λ=或34，则12AD =或32. 【点睛】本题考查线面垂直判定定理、面面垂直性质定理的应用、已知线面角求线段长，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力.19．为了感谢消费者对超市的购物支持，超市老板决定对超市积分卡上积分超过10000分的消费者开展年终大回馈活动，参加活动之后消费者的积分将被清空.回馈活动设计了两种方案：方案一：消费者先回答一道多选题，从第二道开始都回答单选题； 方案二：消费者全部选择单选题进行回答；其中单选题答对得2分，多选题答对得3分，无论单选题还是多选题答错得0分；每名参赛的消费者至多答题3次，答题过程中得到3分或3分以上立刻停止答题，得到超市回馈的奖品.为了调查消费者对方案的选择，研究人员在有资格参与回馈活动的500名消费者中作出调研，所得结果如下所示：（1）是否有99%的把握认为消费者的性别与方案的选择有关；（2）小明回答单选题的正确率为0.8，多选题的正确率为0.75.（ⅰ）若小明选择方案一，记小明的得分为X，求X的分布列以及期望；（ⅱ）如果你是小明，你觉得通过哪种方案更有可能获得奖品，请通过计算说明理由.附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，n a b c d=+++.【答案】（1）没有99%的把握认为消费者的性别与方案的选择有关.（2）（ⅰ）见解析，3.05（ⅱ）方案一，见解析【解析】（1）直接根据卡方公式将数据代入计算，并与6.635比较大小，即可得到结论；（2）（ⅰ）X的所有可能取值为0，2，3，4，求出概率值，进而得到分布列和期望；（ⅱ）分别计算两种方案获得奖品的概率，即可得答案；【详解】（1）依题意，完善列联表如下所示：22500(150********) 4.8312302703002006.635K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，故没有99%的把握认为消费者的性别与方案的选择有关. （2）（ⅰ）X 的所有可能取值为0，2，3，4， 则1111(0)455100P X ==⨯⨯=， 1148(2)2455100P X ==⨯⨯⨯=，375(3)4100P X ===，14416(4)455100P X ==⨯⨯=，故X 的分布列为：所以187516305()0234 3.05100100100100100E X =⨯+⨯+⨯+⨯==. （ⅱ）小明选择方案一获得奖品的概率为1751691(3)0.91100100100P P X =≥=+==， 小明选择方案二获得奖品的概率为214444112896(3)20.896555551251000P P X =≥=⨯⨯⨯+⨯===，因为21P P <，所以小明选择方案一更有可能获得奖品. 【点睛】本题考查独立性检验思想的应用、卡方公式计算、随机变量的分布列和期望，考查阅读理解能力、运算求解能力.20．已知椭圆22:143x y C +=的左、右焦点分别为12,F F .（Ⅰ）若124PF PF +=，求点P 到点1,02M ⎛⎫⎪⎝⎭距离的最大值；（Ⅱ）若过点()4,0且不与坐标轴垂直的直线与椭圆C 分别交于,E F 两点，点()()0,,0,A B A y B y 分别在直线22,F E F F 上，比较22,F A F B 的大小关系，并说明理由.【答案】（Ⅰ）最大值52；（Ⅱ）22F A F B =，见解析. 【解析】（Ⅰ）根据122PF PF a +=，得点P 在椭圆C 上. 设点()00,P x y ，则2200143x y +=，可得[]220002,2113,44PM x x x =-+∈-，可求PM 最大值；（Ⅱ）设直线EF 的方程为()4y k x =-，()()1122,,,E x y F x y （11x ≠且21x ≠）.把直线EF 的方程代入椭圆的方程，利用韦达定理证明220AF BF k k +=，可得22OF A OF B ∠=∠，即得线段22,F A F B 的大小关系.【详解】（Ⅰ）依题意，点P 在椭圆C 上.设点()00,P x y ，则2200143x y +=，故()22222220000000011311319322444444PM x y x x x x x x ⎛⎫=-+=-++-=-+=-+ ⎪⎝⎭，其中[]02,2x ∈-， 故当02x =-时，2max254PM=， PM ∴的最大值为52.（Ⅱ）设直线EF 的方程为()4y k x =-，()()1122,,,E x y F x y （11x ≠且21x ≠）.由()224143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，得()2222433264120k x k x k +-+-=.依题意()()()22223244364120kk k ∆=--⨯+->，即2104k <<，则212221223243641243k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩. 因为2222121211AF BF EF FF y yk k k k x x +=+=+-- ()()()()()1212121212258441111k x x x x k x k x x x x x -++⎡⎤--⎣⎦=+=---- ()()2222126412322584343011k k k k k x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--+⎢⎥ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎣⎦==-- 所以直线2AF 的倾斜角与直线2BF 的倾斜角互补，即22OF A OF B ∠=∠. 因为2OF AB ⊥，所以22F A F B =. 【点睛】本题考查椭圆定义的应用，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的运算能力，属于难题.21．已知函数2()f x x m =+（Ⅰ）若12=-m ，证明：函数()f x 在区间()2,3上有且仅有1个零点；（Ⅱ）若关于x 的不等式22()f x m ≥在[]1,2上恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）⎡⎣.【解析】（Ⅰ）先判断函数()f x 在区间()2,3上的单调性，再根据零点存在定理即可证明；（Ⅱ）令()2()g x f x =，由题意只需[]2min )1,2(,g x m x ∈≥.对m 分类讨论即求.【详解】（Ⅰ）证明：函数()f x 的定义域为()0,∞+. 当12=-m 时，22()ln 6ln 2mf x x x x x =+=-， 则()('2622()23f x x x x x x x x=-=-=， 当()2,3x ∈时，'()0f x >，∴函数()f x 在()2,3上单调递增，又()()()()2346ln 296ln30f f =--<， 故函数()f x 在()2,3上有且仅有1个零点.（Ⅱ）令2()2()2ln g x f x x m x ==+，则[]2'4()4,1,2m x mg x x x x x+=+=∈；当16m ≤-时，'()0g x ≤对[]1,2x ∈恒成立，()g x ∴在[]1,2上单调递减，2min ()(2)8ln 2g x g m m ∴==+≥，又16m ≤-Q ，不等式无解，m ∴∈∅；当4m ≥-时，'()0g x ≥对[]1,2x ∈恒成立，()g x ∴在[]1,2上单调递增，2min ()(1)2g x g m ∴==≥，又4m ≥-Q，m ≤≤当16m -<<-4时，令'()0g x =，得()1,22x =，当12x <<时，'()0g x <；当22x <<时，'()0g x >， ()g x ∴在⎛ ⎝⎭上单调递减，在2⎫⎪⎪⎝⎭上单调递增， ()2min ln 224m m m g x g m ⎛⎫∴==-+-≥ ⎪⎝⎭⎝⎭，11ln 242m m ⎛⎫∴-+-≤ ⎪⎝⎭； 令4m t =-()14t <<，则114ln 22t t +≤， 易知14ln 2y t t =+在()1,4t ∈上单调递增， 则14ln 2t t +4>，从而114ln 22t t +≤不可能成立，舍去. 综上所述，实数m的取值范围为⎡⎣.【点睛】本题考查零点存在定理，考查导数在函数中的应用，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为3x y θθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（θ为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为6cos ρα=.（Ⅰ）求曲线1C 的极坐标方程以及曲线2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线12,C C 交于,M N 两点，求直线MN 的极坐标方程以及,M N 的极坐标（要求写出的极径非负，极角在[)0,2π上）.【答案】（Ⅰ）26sin 360ρρθ--=；2260x y x +-=；（Ⅱ）极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,M N 的极坐标为()7,6,04M N π⎛⎫⎪⎝⎭或()76,0,4M N π⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【解析】（Ⅰ）先把曲线1C 的参数方程化为普通方程，再把普通方程化为极坐标方程.由6cos ρα=得26cos ρρα=，即得曲线2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）由曲线12,C C 的直角坐标方程求出直线MN 的直角坐标方程，再化为极坐标方程；先求出,M N 两点的直角坐标，再化为极坐标.【详解】（Ⅰ）依题意，曲线()221:345C x y +-=，故22636x y y +-= 即曲线1C 的极坐标方程为26sin 360ρρθ--=；曲线2C :26cos ρρα=，即2260x y x +-=，则曲线2C 的直角坐标方程为2260x y x +-=.（Ⅱ）联立222263660x y y x y x ⎧+-=⎨+-=⎩， 两式相减可得6-=x y ，即cos sin 6ρθρθ-=cos 64θπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即直线MN 的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 联立22660x y x y x -=⎧⎨+-=⎩故29180x x -+=，解得33x y =⎧⎨=-⎩或60x y =⎧⎨=⎩ 故,M N的极坐标为()7,6,04M N π⎛⎫ ⎪⎝⎭或()76,0,4M N π⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程和直角坐标方程的互化，属于中档题.23．已知函数()324f x x x =++-（1）求不等式()8f x >的解集；（2）若关于x 的不等式2()3f x m x x +>+-的解集为R ，求实数m 的取值范围.【答案】（1）()(),13,-∞-+∞U ；（2）()3,-+∞.【解析】（1）根据零点分段讨论求解不等式的解集；（2）分离参数等价转化为224m x x >---恒成立，求解2()24g x x x =---的值域即可得解.【详解】（1）依题意，3248x x ++->当3x <-时，原式化为3428x x --+->， 故73x <-，解得3x <-； 当32x -≤≤时，原式化为3248x x ++->故3x >，解得3x >；综上所述，不等式()8f x >的解集为()(),13,-∞-+∞U（2）依题意，23243x x m x x ++-+>+- 即224m x x >--- 224m x x >---Q 对x ∈R 恒成立 令2()24g x x x =---=()()222213,224,224,215,2x x x x x x x x x x ⎧---≤⎧-+-≤⎪=⎨⎨--+>-++>⎩⎪⎩ max ()(1)3,3g x g m ∴==->-故实数m 的取值范围是()3,-+∞【点睛】此题考查解绝对值不等式，根据不等式恒成立求参数取值范围，关键在于等价转化，通过求函数最值解决问题.。
2020年百校联考高考百日冲刺数学试卷(理科)(一)(全国Ⅰ卷) (含答案解析)
2020年百校联考高考百日冲刺数学试卷(理科)(一)(全国Ⅰ卷)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={x|2≤x<4}，B={x|x−1≥2}，则A∩B=()A. [2,3)B. [3,4)C. (3,4)D. [2,4)2.已知在复平面内，复数z对应的点为(1,−1)，则z2=()A. 1−2iB. 1+2iC. 2iD. −2i3.某校有高级教师26人，中级教师104人，其他教师若干人，为了了解该校教师的工资收入情况，从该校的所有教师中抽取56人进行调查，若按分层抽样，已知从其他教师中共抽取了16人，则该校共有教师()人．A. 180B. 170C. 172D. 1824.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右顶点为M，离心率为√3，过点M与点(0,−2)的直线与双曲线的一条渐近线平行，则双曲线的方程为()A. x24−y22=1 B. x24−y23=1 C. x22−y24=1 D. x22−y2=15.执行如图所示的程序框图，若输入x=−1，则输入y的值为()A. −1B. 0C. 1D. 26.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有曲池，上中周二丈，外周四丈，广一丈，下中周一丈四尺，外周二丈四尺，广五尺，深，丈，问积几何？”其意思为：“今有上下底面皆为扇形的水池，上底中周2丈，外周4丈，宽1丈；下底中周1丈4尺，外周长2丈4尺，宽5尺；深1丈．问它的容积是多少？”则该曲池的容积为()立方尺(1丈=10尺，曲池：上下底面皆为扇形的土池，其容积公式为)A.56503B. 1890C.56303D.566037. 若数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，且a 1=2a 5−1，则S 17=( )A. −17B. −172C. 172D. 178. 已知某几何体的三视图如下所示，若网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的最短棱长为( )A. 2B. 2√2C. 2√3D. 49. 设(2−x)5=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 5x 5，那么a 0+a 2+a 4a 1+a 3的值为( )A. −122121B. −6160C. −244241D. −110. 抛物线C ：y 2=2px(p >0)的焦点F 到准线l 的距离为2，则C 的焦点坐标为( )A. (4,0)B. (2,0)C. (1,0)D. (12,0)11. 已知f(1−x 1+x)=1−x 21+x 2，则曲线y =f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为( )A. y =−xB. y =xC. y =2xD. y =−2x12. 已知数列{a n }满足：a 1=1,a n+1+a n =3n +1，则数列{1a2n−1a 2n+1}(n ∈N ∗)的前30项的和为( )A. 2990B. 2988C. 1093D. 3091二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 如图，在边长为2的菱形ABCD 中，，E 为CD 中点，则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =______________．14. 已知实数x ，y 满足{x −2y +1≥0x +y −1≥0x <2，则z =2x −y 的取值范围是______．15. 已知函数f(x)=2sin(ωx +φ)(ω>0，且|φ|<π2)的部分图象如图所示，则函数f(x)的单调递增区间是________．16. 已知直线l 1:y =2x +3a ，l 2:y =(a 2+1)x +3，若l 1//l 2，则a =__________． 三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17. 如图，在四边形ABCD 中，AB =5，AD =CD =4，BC =3，A =60∘．(1)求tan∠ABD 的值； (2)求ΔBCD 的面积．18.如图，在三棱锥A−BCD中∠BAC=∠BAD=∠DAC=60°，AC=AD=2，AB=3．(1)证明：AB⊥CD；(2)求CD与平面ABD所成角的正弦值．19.“中国式过马路”存在很大的交通安全隐患．某调查机构为了解路人对“中国式过马路”的态度是否与性别有关，从马路旁随机抽取30名路人进行了问卷调查，得到了如下列联表：男性女性总计反感10不反感8总计30．已知在这30人中随机抽取1人抽到反感“中国式过马路”的路人的概率是815(1)请将上面的列联表补充完整(直接写结果，不需要写求解过程)，并据此资料分析反感“中国式过马路”与性别是否有关？(2)若从这30人中的女性路人中随机抽取2人参加一活动，记反感“中国式过马路”的人数为X，求X的分布列和均值．．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)20.设A是圆O：x2+y2=16上的任意一点，l是过点A且与x轴垂直的直线，B是直线l与x轴的交点，点Q在直线l上，且满足4|BQ|=3|BA|.当点A在圆O上运动时，记点Q的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程；(2)已知直线y=kx−2(k≠0)与曲线C交于M，N两点，点M关于y轴的对称点为M′，设P(0,−2)，证明：直线M′N过定点，并求△PM′N面积的最大值．21.函数(1)当−2<a<0时，求f(x)在(0,1)上的极值点；(2)当m≥1时，不等式f(2m−1)≥2f(m)−f(1)恒成立，求实数a的取值范围．22.平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为{x=√3+2cosα(α为参数)，在以坐标原点O为极y=1+2sinα上，且点P到极点O的距离为4．点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，点P在射线l：θ=π3(1)求圆C的普通方程与点P的直角坐标；(2)求△OCP的面积．23.已知函数f(x)=|x−2|−|x+1|．(Ⅰ)解不等式f(x)>−x；(Ⅱ)若关于x的不等式f(x)≤a2−2a的解集为R，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：本题考查描述法、区间的定义，以及交集的运算，属于基础题．先解出集合B，然后进行交集的运算即可．解：B={x|x≥3}，∴A∩B={x|3≤x<4}=[3,4)．故选：B．2.答案：D解析：本题考查了复数的化简与运算问题，是基础题目．先求出z=1−i，再根据复数的运算法则，进行化简计算即可．解：复数z的对应点为(1,−1)，∴z=1−i．∴z2=(1−i)2=−2i．故选D．3.答案：D解析：本题考查了分层抽样，属于基础题．根据各层所占的抽样比相等进行列式求解即可．解：设该校其他教师共有n人，由已知得16n =5626+104+n，解得n=52．∴该校共有教师26+104+52=182人．故选D．4.答案：C解析：本题考查了双曲线的性质，属于基础题．根据斜率公式、渐近线方程求出b，根据离心率计算a，从而得出答案．解：双曲线的右顶点为M(a,0)，渐近线方程为：y=±bax．∴过M与点(0,−2)的直线斜率为2a =ba，∴b=2，又e=ca =√a2+b2a=√3，∴a=√2．∴双曲线的方程为x22−y24=1．故选C．5.答案：B解析：解：模拟程序运行可知程序框图的功能是求分段函数y={|x|+1,x<−1x2−1,x=−1x,x>−1的值，代入x=−1，可得y=0，故选：B．模拟程序运行可知程序框图的功能是求分段函数y={|x|+1,x<−1x2−1,x=−1x,x>−1的值，代入x=−1，即可得解．本题主要考查了程序框图和算法，模拟程序运行正确得到程序框图的功能是解题的关键，属于基本知识的考查．6.答案：A解析：本题考查几何体的体积，比较基础．根据已知容积公式求解即可．解：根据已知容积公式可得该曲池的容积为[(2×10+5)×20+402+(2×5+10)×14+242]6×10=56503．故选A．7.答案：D解析：本题考查等差数列的性质及求和问题，属于较易题．求得a9后根据等差数列的性质即可求解，解：因为数列{a n}为等差数列，S n为其前n项和，且a1=2a5−1，所以a1=2(a1+4d)−1，所以a1+8d=1，即a9=1，所以S17=17×(a1+a17)2=17a9=17.故选D．8.答案：B解析：本题考查的知识点棱锥的几何特征，简单几何体的三视图，难度中档．作出直观图，计算各棱长，即可得出结论．解：如图所示，该几何体是三棱锥P−ABC，故可得PC=AB=2√2,BC=4,PA=4√2,PB=AC=2√6，故该几何体的最短棱长为2√2，故选B．9.答案：B解析：本题主要考查二项式定理的应用，是给变量赋值的问题，关键是根据要求的结果，选择合适的数值代入，属于中档题．令x=1，可得a0+a1+a2+a3+a4+a5=1，再令x=−1可得a0−a1+a2−a3+a4−a5=35.解得a0+a2+a4和a1+a3+a5的值，结合a5=−1，即可求得要求式子的值．解：令x=1，可得a0+a1+a2+a3+a4+a5=1，再令x=−1可得a0−a1+a2−a3+a4−a5=35，两式相加除以2可得a0+a2+a4=122，两式相减除以2可得a1+a3+a5=−121，结合a5=C55(2)0(−x)5=−1，故a0+a2+a4a1+a3=122−120=−6160，故选B．10.答案：C解析：本题考查抛物线的性质，属于基础题．根据p的几何意义，即焦点F到准线l的距离是p进行求解．解：∵焦点F到准线l的距离为2，∴p=2．抛物线方程为y2=4x，∴焦点F的坐标为(1,0)．故选：C．11.答案：C解析：本题考查函数的解析式的求法以及利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，属中档题．先求函数的解析式，再求导函数，最后求切线方程．解：令1−x1+x =t得x=1−t1+t，则f(t)=1−(1−t1+t)21+(1−t1+t)2=4t2+2t2=2tt2+1，所以f(x)=2xx+1，所以f′(x)=2−2x 2(x2+1)2，∴f′(0)=2，又f(0)=0，故切线方程为y =2x ． 故选C ．12.答案：D解析：解：已知数列{a n }满足：a 1=1，由a n+1+a n =3n +1，得a n+2+a n+1=3n +4， 作差得a n+2−a n =3，故奇数项和偶数项都为以3为公差的等差数列， 由a 1=1，所以a 2k−1=1+(k −1)3=3k −2， 又1a2n−1⋅a 2n+1=13(1a 2n−1−1a 2n+1)，所以数列{1a2n−1a 2n+1}(n ∈N ∗)的前30项的和S 30=13[(1a 1−1a 3)+(1a 3−1a 5)+⋯+(1a 59−1a 61)]=13(1−191)=3091． 故选：D ．已知数列{a n }满足：a 1=1，由a n+1+a n =3n +1，得a n+2+a n+1=3n +4，作差得a n+2−a n =3，故奇数项和偶数项都为以3为公差的等差数列，求出a 2k−1=1+(k −1)3=3k −2，利用裂项求和法求出结果即可．本题考查了递推公式求通项公式，裂项相消法求数列的前n 项和，考查运算能力，中档题．13.答案：1解析：本题考查了向量的数量积和向量的加减法，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )，计算即可．解：AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=22−12×2×2×cos60°−12×22=1，故答案为1．14.答案：[0,5)解析：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键，属于基础题． 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义即可得到结论． 解：画出不等式组所表示的区域，如图阴影部分所示，做直线l ：2x −y =0，平移l 可知过C 时z 最小，过B 时z 最大， 联立{x −2y +1=0x +y −1=0得C(13,23)，同理B(2,−1)，即z 的取值范围是[0,5)． 故答案为：[0,5)．15.答案：[kπ−π12,kπ+5π12]，k ∈Z解析： 本题考查函数的图像与性质的应用，属于基础题．首先，根据函数图象，确定所给函数的解析式f(x)，然后结合三角函数的单调性求解其单调增区间即可． 解：根据函数的部分图象，可得14⋅T =14⋅2πω=2π3−5π12=π4，求得ω=2，所以函数，再把(5π12,2)代入函数的解析式，可得，所以，而|φ|<π2，故φ=−π3，故函数，令，求得，故答案为[kπ−π12,kπ+5π12]，k∈Z．16.答案：−1解析：因为l1//l2，所以a2+1=2，a2=1，所以a=±1，又两直线l1与l2不能重合，则3a≠3，即a≠1，故a=−1．17.答案：解：(1)由已知，在△ABD中，由余弦定理有，所以BD=√21，由正弦定理有，所以sin∠ABD=ADBD ·sinA=2√77，因为BD>AD，所以∠ABD为锐角，所以cos∠ABD=√217,tan∠ABD=2√33；(2)在△BCD中，，因为C∈(0,π)，所以，所以ΔBCD的面积．解析：本题考查正弦定理余弦定理及面积公式，同时考查同角关系式．(1)由余弦定理，求出BD，然后结合正弦定理和同角关系式求解即可；(2)由余弦定理求出cos C，得sin C，然后由面积公式求解即可．18.答案：证明：(1)∵在三棱锥A−BCD中，∠BAC=∠BAD=∠DAC=60°，AC=AD=2，AB=3．∴△ABD≌△ABC，∴BC=BD，取CD的中点E，连结AE，BE，∴AE⊥CD，BE⊥CD，∵AE∩BE=E，∴CD⊥平面ABE，∵AB⊂平面ABE，∴CD⊥AB．解：(2)在△ABD中，根据余弦定理得：BD2=AB2+AD2−2AB⋅AD⋅cos60°=7，∴BD=√7，∵DE=1，∴BE=√6，AE=√3，∴AB2=BE2+AE2，∴AE⊥BE，设CD到平面ABD的距离为h，CD与平面ABD所成的角为α，∵V A−BCD=V C−ABD，∴13×CD×S△ABE=13×ℎ×S△ABD，∴ℎ=CD×S△ABES△ABD =2×12×√6×√312×3×3×sin60°=2√63，∴sinα=ℎCD =√63．∴CD与平面ABD所成角的正弦值为√63．解析：(1)推导出△ABD≌△ABC，从而BC=BD，取CD的中点E，连结AE，BE，从而AE⊥CD，BE⊥CD，进而CD⊥平面ABE，由此能证明CD⊥AB．(2)由余弦定理求出BD=√7，从而AE⊥BE，设CD到平面ABD的距离为h，CD与平面ABD所成的角为α，由V A−BCD=V C−ABD，求出ℎ=2√63，由此能求出CD与平面ABD所成角的正弦值．本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．19.答案：解(1)由已知数据得K2的观测值k=30×(10×8−6×6)216×14×16×14≈1.158<2.706．所以，没有充足的理由认为反感“中国式过马路”与性别有关．(2)X的可能取值为0，1，2，P(X=0)=C82C142=413，P(X=1)=C61C81C142=4891，P(X=2)=C62C142=1591．所以X的分布列为X的均值为E(X)=0×413+1×4891+2×1591=67．解析：本题考查独立检验思想的应用，离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查计算能力．(1)利用已知条件填写联列表，然后代入公式计算观测值，与观测值表中的数据比较即可；(2)依题意可知X的可能取值为0，1，2，求出相应的概率，写出分布列，然后根据期望公式求解即可．20.答案：解：(1)设Q(x,y)，A(x0,y0)，∵4|BQ|=3|BA|，Q在直线l上，∴x0=x，|y0|=43|y|.①∵点A在圆x2+y2=16上运动，∴x02+y02=16.②将①式代入②式即得曲线C 的方程为x 216+y 29=1．证明：(2)设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)， 则M′(−x 1,y 1)，联立{x 216+y 29=1y =kx −2，得(16k 2+9)x 2−64kx −80=0，Δ>0， ∴x 1+x 2=64k 16k 2+9，x 1x 2=−8016k 2+9．∵直线M′N 的斜率k M′N =y 2−y1x 2+x 1，∴直线M′N 的方程为y −y 1=y 2−y1x 2+x 1(x +x 1).令x =0，得y =y 2x 1+y 1x 2x 2+x 1=(kx 2−2)x 1+(kx 1−2)x 2x 2+x 1=2kx 1x 2x 2+x 1−2=−92，∴直线M′N 过定点D(0,−92).△PM′N 面积S △PM ‘N =12|PD|⋅|x 1+x 2| =54×|64k16k 2+9|=8016|k |+9|k|≤2√16|k |×9|k|=103，当且仅当16|k|=9|k |，即k =±34时取等号， ∴△PM′N 面积的最大值为103．解析：本题考查曲线方程的求法，考查直线过定点的证明，考查三角形的面积的最大值的求法，考查椭圆、直线方程、韦达定理、三角形面积公式、均值不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是较难题．(1)点A 在圆x 2+y 2=16上运动，引起点Q 的运动，我们可以由4|BQ|=3|BA|，得到点A 和点Q 坐标之间的关系式，并由点A 的坐标满足圆的方程得到点Q 坐标所满足的方程；(2)设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，则M′(−x 1,y 1)，联立{x 216+y 29=1y =kx −2，得(16k 2+9)x 2−64kx −80=0，利用直线的斜率，求直线M′N 的方程，即可求得直线M′N 所过定点，并求出△PM′N 面积的最大值．21.答案：解：(1)∵f′(x)=x +1+ax (x >0)，令g(x)=x 2+x +a ，∵−2<a <0，∴g(x)的判别式△=1−4a>0，令f′(x)=0，得x=−1+√1−4a2．当−2<a<0时，0<−1+√1−4a2<1，所以f(x)在(0,−1+√1−4a2)上单调递减，在(−1+√1−4a2,1)上单调递增，即f(x)在(0,1)上有1个极值点x0=−1+√1−4a2．(2)不等式f(2m−1)≥2f(m)−f(1)⇔−(2m−1)+aln(2m−1)≥−m2+2alnm，即−(2m−1)+aln(2m−1)≥−m2+alnm2，令g(x)=−x+alnx．∵m2≥2m−1≥1，∴要使不等式−(2m−1)+aln(2m−1)≥−m2+alnm2恒成立，只需g(x)=−x+alnx在[1,+∞)上单调递减，g′(x)=−1+ax，令g′(x)≤0，即a≤x在[1,+∞)上恒成立，可得实数a的取值范围是(−∞,1]．解析：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想、转化思想，是一道中档题．(1)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的极值点即可；(2)令g(x)=−x+alnx，根据m2≥2m−1≥1，问题转化为g(x)=−x+alnx在[1,+∞)上单调递减，根据函数的单调性求出a的范围即可．22.答案：解：(1)曲线C的普通方程为(x−√3)2+(y−1)2=4，点P的极坐标为(4,π3)，直角坐标为(2,2√3)．(2)(方法一)圆心C(√3,1)，直线OC的方程为：y=√33x⇒x−√3y=0，点P到直线OC的距离d=|2−√3⋅2√3|2=2，且|OC|=2，所以S△OCP=12|OC|⋅d=2．(方法二)圆心C(√3,1)，其极坐标为(2,π6)，而P(4,π3)，结合图形利用极坐标的几何含义，可得∠COP=π3−π6=π6，|OC|=2，|OP|=4，所以S△OCP=12|OC|⋅|OP|sin∠COP=12⋅2⋅4⋅sinπ6=2．解析：本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的进行转换．(2)利用点到直线的距离公式的应用和三角形的面积公式的应用求出结果．23.答案：解：(Ⅰ)不等式f(x)>−x，即为|x−2|−|x+1|>−x，当x≥2时，x−2−x−1>−x，解得x>3，即x>3；当x≤−1时，2−x+x+1>−x，解得x>−3，即−3<x≤−1；当−1<x<2时，2−x−x−1>−x，解得x<1，即−1<x<1，综上可得原不等式的解集为{x|x>3或−3<x<1}；(Ⅱ)关于x的不等式f(x)≤a2−2a的解集为R，即有a2−2a≥f(x)的最大值，由|x−2|−|x+1|≤|x−2−x−1|=3，当且仅当x≤−1时，等号成立，可得a2−2a≥3，解得a≥3或a≤−1．所以实数a的取值范围是(−∞,−1]∪[3,+∞)解析：本题考查绝对值不等式的解法，以及绝对值不等式的性质，不等式恒成立问题解法，考查分类讨论思想和化简运算能力，属于中档题．(Ⅰ)讨论当x≥2时，当x≤−1时，当−1<x<2时，去掉绝对值，解不等式求并集，即可得到所求解集；(Ⅱ)由题意可得a2−2a≥f(x)的最大值，运用绝对值不等式的性质可得最大值，由二次不等式的解法可得a的范围．。
2020年全国高考理科数学模拟练习卷(含答案和解析)(百师联盟2020届高三练习题(一)全国II卷)
百师联盟2020届高三练习一全国卷 理科数学试卷注言事项：L 答卷祁,君生务必将白己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
Z 冋答远择題时,选出铮小题答案n,Hi®笔把答题R 上对应题口的答案标号涂黑,如需 改动,用橡皮慷干療后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时,将答案场在答题卡上。
丐在本 试卷上无效。
3. 羽试给束后,将本试卷和答题卡一并交回。
考试时间120分钟•满分150分」一、选择题:本题共12小题，毎小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合題目要求的。
L 集合力={xlZ τ2-x-3≤0},βχ{xl -2<Λ<1}.贝IMrl£ =A. {xl -2 <x < -* 1}B. {x ∖ -1 < 1} G "今}严-y + 2 NO.2-若X.yifli 足约朿条件< 2X +Λ-2^0,则“2戈-3）的授人值为 3x -y— 3≤∏,A.2B. -23.已知 LatIa=-3^i ∣J 2sh ζα~11 的值等丁COSZa + 15.等差数列仏}中,若α3+αj +α∣1+αu = 10,则心-Ya ln 的值是丄 2 B.4 C.56. LL 知圆 C ： J + (>• - 1 )2 =K(r>O),设p ：(JVrV3/2 ；g ： [S] C 上至多有 2 个点到H 线 Λ + y ÷ 3 = O的距离为②则"是Q 的A.充分不必耍条件 R 必耍不充分条件 C.充更条件D.既不充分也不必要条件第】页(宾4页)114D.丄-亠丄D.6A. -4氏-24. ^aJ^C 均为正数,且3“=5—45「,则7. 已知定虑4(-】,0),点B 在圆C ：? + Γ-2x-15=0上运动,C 为圆心,线段AB 的垂直半分 线交SC F 点P,则动点P 的轨迹方程为9. 2 2 > 2 2 2A ∙ v+⅛ = lB. V + y 1 = >C ・ v+Λ1 = lD ∙ v+j V = i4 34 Z 4 4 3已知定义征R 上的函数/ (%)满足：/ ( -X) = /(χ),当0 <知V 七时Ux 1 -χ2) I/ (V I ) - / (A 2) J >0,« - - ⅝^.6 J> -2(I Λ,Γ ^0.玖则 ∕α),∕(E,∕(r)的人小顺庁为 λ.f{a)<f(b}<f(c) B. /(c)<∕(δ)<∕(α) C. ./ (C) </(«)</(/>)a∕(5)<∕(c)<∕(α)斐波那契燻旋线T 也称“黄金缥 旋”，是根据雯波那契数列画治 来的嫖旋曲线，Fl 然界中行在 许多斐波那契摞淀线的1冬1案， 是自然界录完天的经典黄金比 例.作圏规则是在以更波那契数为边的正方形拼成 的氏方形屮匝一个圆心角为90。