高考数学二轮复习第二部分高考22题各个击破专题二函数与导数2.1函数概念性质图象专项练课件文
1
y= 的定义域与值域均为(0,+∞).故选 D.
5.(2017河南南阳一模,文8)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0
时f(x)=3x+m(m为常数),则f(-log35)的值为( B )
A.4
B.-4 C.6 D.-6
解析:由题意,f(0)=30+m=0,解得m=-1,故当x≥0时f(x)=3x-1,
专题二
函数与导数
2.1 函数概念、性质、图象专项练
1.函数:非空数集A→非空数集B的映射.
(1)求函数定义域的主要依据是使函数表达式有意义.
(2)求函数值域要优先考虑定义域,常用方法有:单调性法;图象法;
基本不等式法;导数法.
2.函数的奇偶性:若函数的定义域关于原点对称,则f(x)是偶函数
⇔f(-x)=f(x)=f(|x|);f(x)是奇函数⇔f(-x)=-f(x).
x=
+
2
,
2 2
对称;都有 f(a-x)=b-f(x),即 f(a-x)+f(x)=b,则 f(x)的图象关于点
对称.
(4)函数的周期性与对称性的关系:①若f(x)的图象有两条对称轴
x=a和x=b(a≠b),则f(x)必为周期函数,且它的一个周期是2|b-a|;
②若f(x)的图象有两个对称中心(a,0)和(b,0)(a≠b),则f(x)必为周期
3.函数的周期性:(1)若f(x)=f(a+x)(a>0),则T=a;(2)若f(x)满足
1
f(a+x)=-f(x),则T=2a;(3)若f(x+a)=± () (a≠0),则T=2a;(4)若
f(x+a)=f(x-b),则T=a+b.
4.判断函数单调性的方法:(1)定义法;(2)导数法;(3)复合函数根据
.
∵0<c<1,
∴对数函数y=logcx在(0,+∞)上为减函数,
1
∴若 0<b<a<1,则 0<logca<logcb,lo g
若 0<b<1<a,则 logca<0,logcb>0,
若 1<b<a,则 logca<logcb<0,
1
lo g
1
lo g
>
>
<
1
lo g
故A不正确;由以上解析可知,B正确;
∴f(-log35)=-f(log35)=-(3log 3 5 -1)=-4.故选 B.
一、选择题
二、填空题
6.若a>b>0,0<c<1,则( B )
A.logac<logbc B.logca<logcb
C.ac<bc
D.ca>cb
1
解析:对于 A,logac=
,logbc=
lo g
1
lo g
2
3
2
3
2
3
函数,所以3 < 4 < 5 ,即 b<a<c.故选 A.
一、选择题
二、填空题
3.(2017河南南阳一模,文5)设x>0,且1<bx<ax,则( C )
A.0<b<a<1
B.0<a<b<1
C.1<b<a
D.1<a<b
解析:∵当x>0时1<bx<ax,
∴b>1,a>1,又bx<ax,
∴
增.因为y=ln t在t∈(0,+∞)内单调递增,依据复合函数单调性的同增
异减原则,可得函数f(x)的单调递增区间为(4,+∞).故选D.
2.已知
4
2
1
a=23 ,b=33,c=253 ,则(
A.b<a<c
B.a<b<c
4
3
2
3
A )
C.b<c<aD.c<a<b
1
3
2
3
2
3
2
3
解析:因为 a=2 = 4 ,c=25 = 5 ,b=3 ,且函数 y= 在[0,+∞)内是增
-
2
,
2
-
2
对称.
对称.
一、选择题
二、填空题
1.(2017全国Ⅱ,文8)函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是( D )
A.(-∞,-2)
B.(-∞,1)
C.(1,+∞)
D.(4,+∞)
解析:由题意可知x2-2x-8>0,解得x<-2或x>4.故定义域为(-∞,2)∪(4,+∞),易知t=x2-2x-8在(-∞,-2)内单调递减,在(4,+∞)内单调递
函数,且它的一个周期是2|b-a|;
③若f(x)的图象有一条对称轴x=a和一个对称中心(b,0)(a≠b),则f(x)
必为周期函数,且它的一个周期是4|b-a|.
6.两个函数图象的对称关系
(1)函数 y=f(a-x)与 y=f(b+x)的图象关于直线 x=
(2)函数 y=f(x-a)与 y=b-f(c-x)关于点
∵a>b>0,∴ca<cb,故D不正确.
一、选择题
二、填空题
7.(2017全国Ⅰ,文9)已知函数f(x)=ln x+ln(2-x),则 ( C )
A.f(x)在(0,2)单调递增
B.f(x)在(0,2)单调递减
C.y=f(x)的图象关于直线x=1对称
同增异减的判定法则.
5.函数图象的几种常见变换
(1)平移变换:左右平移——“左加右减”;上下平移——“上加下
减”.
(2)翻折变换:①将y=f(x)在x轴下方的图象翻折到上方,与y=f(x)在
x轴上方的图象合起来得到y=|f(x)|的图象;②将y=f(x)在y轴左侧部
分去掉,再作右侧关于y轴的对称图象合起来得到y=f(|x|)的图象.
>1,∴ >1,∴a>b.故选 C.
一、选择题
二、填空题
4.下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lg x的定义域和值域
相同的是( D )
AHale Waihona Puke y=xB.y=lg xC.y=2x
D.y=
1
解析:y=10lg x=x,定义域与值域均为(0,+∞).
y=x的定义域和值域均为R;y=lg x的定义域为(0,+∞),值域为R;
(3)对称变换:①若y=f(x)的图象关于直线x=a对称,则有
f(a+x)=f(a-x)或f(2a-x)=f(x)或f(x+2a)=f(-x).
②y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴对称;y=f(x)与y=-f(x)的图象关于
x轴对称.
③y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于原点对称.
④若 y=f(x)对∀x∈R,都有 f(a-x)=f(b+x),则 f(x)的图象关于直线
对于C,∵0<c<1,
1
lo g
1
lo g
,即 logac>logbc;
,即 logac<logbc;
,即 logac>logbc.
一、选择题
二、填空题
∴幂函数y=xc在(0,+∞)上为增函数.
∵a>b>0,∴ac>bc,故C不正确;
对于D,∵0<c<1,∴指数函数y=cx在R上为减函数.
2018年高考数学二轮复习第二部分高考22题各个击破专题二函数与导数2.3函数与导数的应用专项练课件文
'=
������ '(����������)������ '(������) ������ 2 (������ )
[g(x) ≠0].
-3一、选择题 二、填空题
1.函数f(x)=excos x在点(0,f(0))处的切线斜率为( A.0 B.-1 C.1 D.
������ ������ ������ 1 1
1
故 k≥1.故选 D.
-8一、选择题 二、填空题
6.(2017河南郑州三模,文6)已知f'(x)=2x+m,且f(0)=0,函数f(x)的图
象在点 A(1,f(1))处的切线的斜率为 3,数列 S2 017 的值为(
2 017 A. 2 018
1 ������(������)
2.3 函数与导数的应用专项练
-2-
1.导数的几何意义 函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义:函数y=f(x)在点x0处的导 数是曲线y=f(x)在P(x0,f(x0))处的切线的斜率f'(x0),相应的切线方程 是y-y0=f'(x0)(x-x0). 注意:在某点处的切线只有一条,但过某点的切线不一定只有一 条. 2.常用的求导方法 (1)(xm)'=mxm-1,(sin x)'=cos x,(cos x)'=-sin x,(ex)'=ex,
解析:由函数的图象可知f(0)=d>0,排除选项A,B; f'(x)=3ax2+2bx+c, 且由图象知(-∞,x1),(x2,+∞)是函数的减区间,可知a<0,排除D.故选C.
-5一、选择题 二、填空题
3.与直线2x-6y+1=0垂直,且与曲线f(x)=x3+3x2-1相切的直线方程是 ( A ) A.3x+y+2=0 B.3x-y+2=0 C.x+3y+2=0 D.x-3y-2=0
函数与导数综合知识点总结
函数与导数综合知识点总结一、函数的概念与性质1. 函数的基本概念函数是一个从一个集合到另一个集合的映射规则。
通俗地说，函数就是一种输入与输出之间的对应关系。
函数通常用f(x)来表示，其中x是输入，f(x)是输出。
2. 函数的定义域与值域函数的定义域是指所有可能的输入值的集合，值域是指所有可能的输出值的集合。
在数学上，定义域和值域的概念非常重要，因为它们决定了函数的性质。
3. 函数的奇偶性如果对于函数f(x)，有f(-x) = f(x)，那么该函数是偶函数；如果对于函数f(x)，有f(-x) = -f(x)，那么该函数是奇函数。
奇偶函数具有一些特殊的对称性质，在积分和求导的时候非常有用。
4. 函数的周期性如果对于函数f(x)，存在一个正数T，使得对所有的x，有f(x + T) = f(x)，那么该函数是周期函数。
周期函数在数学建模和信号处理中有广泛的应用。
5. 函数的复合如果有两个函数f(x)和g(x)，那么它们的复合函数就是f(g(x))，它是先对输入进行g(x)的处理，然后再对结果进行f(x)的处理。
复合函数在微积分中具有重要的地位。
6. 反函数如果一个函数f(x)的定义域和值域分别为A和B，那么如果存在另一个函数g(y)，它的定义域和值域分别为B和A，并且对任意的x，有g(f(x)) = x，那么g(y)就是f(x)的反函数。
反函数在解方程和求逆矩阵等领域有重要应用。
二、导数的概念与性质1. 导数的定义给定函数f(x)和一点x，如果极限lim(h->0)[f(x + h) - f(x)]/h存在，那么这个极限就是函数f(x)在点x处的导数，用f'(x)或者dy/dx来表示。
导数衡量了函数在某个点处的变化率。
2. 导数的几何意义函数f(x)在点x处的导数f'(x)表示了函数曲线在点x处的切线斜率。
导数的几何意义可以帮助我们理解函数的变化规律。
3. 导数的计算有许多方法可以计算函数的导数，比如极限定义法、泰勒公式法、微分法等。
新课标2022版高考数学总复习第二章函数第一节函数及其表示练习含解析理
高考数学总复习：第一节 函数及其表示学习要求:1.了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域;了解映射的概念.2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数,并能简单应用.1.函数与映射的概念函数映射两集合A 、B设A 、B 是两个① 非空数集 设A 、B 是两个② 非空集合对应关系f :A →B按照某种确定的对应关系f ,使对于集合A中的③ 任意 一个数x ,在集合B 中都有④ 唯一确定 的数f (x )与之对应按某种确定的对应关系f ,使对于集合A 中的⑤ 任意 一个元素x ,在集合B 中都有⑥ 唯一确定 的元素y 与之对应名称 称f :A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数 称对应f :A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射记法y =f (x ),x ∈A 对应f :A →B▶提醒 判断一个对应关系是不是函数关系,就看这个对应关系是否满足函数定义中“定义域内的任意一个自变量的值都有唯一确定的函数值”这个核心点.2.函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域:在函数y =f (x ),x ∈A 中,x 叫做自变量,x 的取值范围A 叫做函数的⑦ 定义域 ;与x 的值相对应的y 值叫做函数值,函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的⑧ 值域 .(2)函数的三要素:⑨ 定义域 、值域和对应关系.(3)相等函数:若两个函数的⑩ 定义域 相同,且 对应关系 完全一致,则这两个函数相等,这是判断两函数相等的依据.(4)函数的表示方法: 解析法 、图象法、列表法.3.分段函数若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的对应关系,这样的函数通常叫做分段函数.分段函数虽然由几部分组成,但它表示的是一个函数.▶提醒一个分段函数的解析式要把每一段写在一个大括号内,各段函数的定义域不可以相交.知识拓展1.常见函数的定义域(1)分式函数中分母不等于0.(2)偶次根式函数的被开方式大于等于0.(3)一次函数、二次函数的定义域为R.(4)y=a x(a>0且a≠1),y=sin x,y=cos x的定义域均为R.(5)y=tan x的定义域为{x|x∈R且x≠xπ+π2,x∈Z}.(6)函数f(x)=x0的定义域为{x|x∈R且x≠0}.(7)y=log a x(a>0,且a≠1)的定义域为{x|x>0}.2.基本初等函数的值域(1)y=kx+b(k≠0)的值域是R.(2)y=ax2+bx+c(a≠0)的值域:当a>0时,值域为[4xx-x24x ,+∞);当a<0时,值域为(-∞,4xx-x24x].(3)y=xx(k≠0)的值域是{y|y≠0}.(4)y=a x(a>0且a≠1)的值域是(0,+∞).(5)y=log a x(a>0且a≠1)的值域是R.1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”).(1)函数y=1与y=x0是同一个函数.()(2)f(x)=√x-3+√2-x是一个函数.()(3)若两个函数的定义域与值域相同,则这两个函数相等.()(4)函数y=f(x)的图象与直线x=1的交点最多有1个.()答案(1)✕(2)✕(3)✕(4)√2.若函数y =f (x )的定义域为M ={x |-2≤x ≤2},值域为N ={y |0≤y ≤2},则函数y =f (x )的图象可能是 ( )答案 B3.(新教材人教A 版必修第一册P65例2改编)函数f (x )=√2x的定义域为 ( )A.(0,+∞)B.[0,+∞)C.(1,+∞)D.[1,+∞) 答案 A 要使f (x )=2x有意义,需满足2x-1>0,解得x >0,∴函数f (x )=2x的定义域为(0,+∞),故选A.4.(2020山东威海一中期中)已知函数f (x )的定义域为(-1,0),则函数f (2x -2)的定义域为( ) A.(-1,1) B.(-1,-12) C.(-1,0) D.(12,1)答案 D ∵f (x )的定义域为(-1,0),∴-1<2x -2<0,解得12<x <1,∴函数f (2x -2)的定义域为(12,1),故选D .5.已知f (x )是一次函数,且f [f (x )]=x +2,则f (x )= ( )A.x +1B.2x -1C.-x +1D.x +1或-x -1答案 A 因为f (x )是一次函数,所以可设f (x )=kx +b (k ≠0).由f [f (x )]=x +2得k (kx +b )+b =x +2,即k 2x +kb +b =x +2,所以k 2=1,kb +b =2,解得k =1,b =1,则f (x )=x +1.故选A.函数、映射概念的理解典例1 (1)给出下列四个对应:①A =R,B =R,对应关系f :x →y ,y =1x +1,x ∈A ,y ∈B ;②A ={x |12x ∈N *},B ={x |x =1x,x ∈N *},对应关系f :a →b ,b =1x;③A ={x |x ≥0},B =R,对应关系f :x →y ,y 2=x ,x ∈A ,y ∈B ;④A ={x |x 是平面α内的矩形},B ={y |y 是平面α内的圆},对应关系f :每一个矩形都对应它的外接圆. 其中是从A 到B 的映射的为( )A.①③B.②④C.①④D.③④ (2)下列函数中,与函数y =x +1是相等函数的是 ( )A.y =(√x +1)2B.y =√x 33+1C.y =x 2x+1 D.y =√x 2+1答案 (1)B (2)B解析 (1)对于①,当x =-1时,y 的值不存在,所以①不是从A 到B 的映射;对于②,A ,B 是两个集合,分别用列举法表述为A ={2,4,6,…},B ={1,12,13,14,…},由对应关系f :a →b ,b =1x 知,②是从A 到B 的映射;③不是从A 到B 的映射,如A 中的元素1对应B 中两个元素±1;④是从A 到B 的映射.(2)对于A,函数y =(√x +1)2的定义域为{x |x ≥-1},与函数y =x +1的定义域不同,不是相等函数;对于B,两个函数的定义域和对应关系都相同,是相等函数;对于C,函数y =x 2x +1的定义域为{x |x ≠0},与函数y =x +1的定义域不同,不是相等函数;对于D,两个函数的定义域相同,但对应关系不同,不是相等函数,故选B .名师点评1.定义域和值域都相同的两个函数不一定是相等函数.2.判断一个从集合A 到集合B 的对应是不是一个函数(映射)的依据可归纳为可以一对一,也可以多对一,但不能一对多.1.下列对应关系:①A ={1,4,9},B ={-3,-2,-1,1,2,3}, f :x →x 的平方根; ②A =R,B =R, f :x →x 的倒数; ③A =R,B =R, f :x →x 2-2;④A ={-1,0,1},B ={-1,0,1}, f :x →x 2. 其中是A 到B 的映射的是 ( )A.①③B.②④C.③④D.②③ 答案 C2.下列四组函数中,表示相等函数的一组是 ( )A.f (x )=|x |,g (x )=√x 2B.f (x )=√x 2,g (x )=(√x )2C.f (x )=x 2-1x -1,g (x )=x +1D.f (x )=√x +1·√x -1,g (x )=√x 2-1 答案 A函数的定义域角度一 具体函数的定义域典例2 (1)函数f (x )=√x +1+lg(6-3x )的定义域为 ( )A.(-∞,2)B.(2,+∞)C.[-1,2)D.[-1,2] (2)函数f (x )=√4-|x |+lgx 2-5x +6x -3的定义域为 ( )A.(2,3)B.(2,4]C.(2,3)∪(3,4]D.(-1,3)∪(3,6] 答案 (1)C (2)C解析 (1)要使函数f (x )=√x +1+lg(6-3x )有意义,则{x +1≥0,6-3x >0,即-1≤x <2.故函数f (x )的定义域为[-1,2).(2)要使函数f (x )有意义,需满足{4-|x |≥0,x 2-5x +6x -3>0,即{|x |≤4,(x -3)(x -2)x -3>0,解得2<x <3或3<x ≤4,故f (x )的定义域为(2,3)∪(3,4].角度二 已知函数定义域,求参数的取值范围典例3 (1)(2019河北衡水联考)若函数y =xx -1xx 2+4xx +3的定义域为R,则实数m 的取值范围是 ( )A.(0,34]B.(0,34)C.[0,34]D.[0,34)(2)若函数f (x )=√xx 2+xxx +x 的定义域为{x |1≤x ≤2},则a +b 的值为 . 答案 (1)D (2)-92解析 (1)要使函数的定义域为R, 则mx 2+4mx +3≠0恒成立, ①当m =0时,显然满足条件; ②当m ≠0时,由Δ=(4m )2-4m ×3<0, 得0<m <34. 综上可知,0≤m <34.(2)函数f (x )=√xx 2+xxx +x 的定义域是不等式ax 2+abx +b ≥0的解集.由题意知不等式ax 2+abx +b ≥0的解集为{x |1≤x ≤2}, 所以{x <0,1+2=-x ,1×2=xx,解得{x =-32,x =-3, 所以a +b =-32-3=-92. 角度三 抽象函数的定义域典例4 已知函数f (x )的定义域是[0,2],则函数g (x )=f (x +12)+f (x -12)的定义域是 .答案 [12,32]解析 因为函数f (x )的定义域是[0,2],所以函数g (x )=f (x +12)+f (x -12)中的自变量x 需要满足{0≤x +12≤2,0≤x -12≤2,解得12≤x ≤32,所以函数g (x )的定义域是[12,32]. ◆变式探究 若函数y =f (x )的定义域是[0,2],则函数g (x )=x (2x )x -1的定义域是 .答案 [0,1)解析 由题意得{0≤2x ≤2,x -1≠0,解得0≤x <1,所以g (x )的定义域为[0,1).名师点评简单函数定义域的类型及求法(1)已知函数的解析式,构造使解析式有意义的不等式(组)求解. (2)抽象函数:①若已知函数f (x )的定义域为[a ,b ],则函数f [g (x )]的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出; ②若已知函数f [g (x )]的定义域为[a ,b ],则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ,b ]时的值域.1.(1)函数f (x )=√2x -1-1的定义域是 . (2)函数f (x )=(x -12)0√x +2的定义域是 .答案 (1)(1,3] (2)(-2,12)∪(12,+∞) 2.若函数y =的定义域为R,则实数a 的取值范围是 .答案 [0,12)解析 由题意得ax 2-4ax +2>0恒成立, 则a =0或{x >0,x =(-4x )2-4×x ×2<0,解得0≤a <12.3.已知函数y =f (x 2-1)的定义域为[0,2],则函数g (x )=x (2x )x -1的定义域是 .答案 [-12,1)∪(1,32]解析 因为y =f (x 2-1)的定义域为[0,2],所以x ∈[0,2],x 2-1∈[-1,3],所以{-1≤2x ≤3,x -1≠0,解得-12≤x ≤32且x ≠1,所以函数g (x )的定义域是[-12,1)∪(1,32].函数的解析式典例5 (1)已知二次函数f (2x +1)=4x 2-6x +5,求f (x ). (2)已知函数f (x )满足f (-x )+2f (x )=2x,求f (x ). 解析 (1)解法一(待定系数法):因为f (x )是二次函数,所以设f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0),则f (2x +1)=a (2x +1)2+b (2x +1)+c =4ax 2+(4a +2b )x +a +b +c.因为f (2x +1)=4x 2-6x +5,所以{4x =4,4x +2x =-6,x +x +x =5,解得{x =1,x =-5,x =9,所以f (x )=x 2-5x +9(x ∈R). 解法二(换元法): 令2x +1=t (t ∈R),则x =x -12,所以f (t )=4(x -12)2-6·x -12+5=t 2-5t +9(t ∈R),所以f (x )=x 2-5x +9(x ∈R).解法三(配凑法):因为f (2x +1)=4x 2-6x +5=(2x +1)2-10x +4=(2x +1)2-5(2x +1)+9, 所以f (x )=x 2-5x +9(x ∈R).(2)(解方程组法)由f (-x )+2f (x )=2x①, 得f (x )+2f (-x )=2-x②,①×2-②得3f (x )=2x +1-2-x,即f (x )=2x +1-2-x3.故函数的解析式是f (x )=2x +1-2-x3(x ∈R).方法技巧求函数解析式的常用方法(1)配凑法:由已知条件f (g (x ))=F (x ),可将F (x )改写成关于g (x )的式子,然后以x 替代g (x )得f (x )的解析式.(2)换元法:已知函数f (g (x ))的解析式,求f (x )的解析式时可用换元法,即令g (x )=t ,从中解出x ,代入已知解析式进行换元,此时要注意新元的取值范围.(3)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数),则可用待定系数法.(4)解方程组法:已知关于f (x )与f (1x )或f (-x )的等式,可根据已知条件构造出等式,组成方程组,通过解方程组求出f (x )的解析式.(2020河北衡水中学调研)已知f (x )是二次函数,且f (0)=0, f (x +1)=f (x )+x +1.求f (x )的解析式.解析 设f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0), 由f (0)=0知c =0,则f (x )=ax 2+bx ,又由f (x +1)=f (x )+x +1得a (x +1)2+b (x +1)=ax 2+bx +x +1, 即ax 2+(2a +b )x +a +b =ax 2+(b +1)x +1,所以{2x +x =x +1,x +x =1,解得a =b =12,所以f (x )=12x 2+12x (x ∈R).分段函数角度一 分段函数的最值问题典例6 已知函数f (x )={x 2-2xx +9,x ≤1,x +4x +x ,x >1,若f (x )的最小值为f (1),则实数a 的取值范围是 .答案 [2,+∞)解析 当x >1时, f (x )=x +4x +a ≥4+a ,当且仅当x =2时,等号成立.当x ≤1时, f (x )=x 2-2ax +9为二次函数,要想在x =1处取最小值,则函数图象的对称轴要满足x =a ≥1,并且f (1)≤4+a ,即1-2a +9≤a +4,解得a ≥2.角度二 已知函数值,求参数的值(或取值范围)典例7 设函数f (x )={x 2+2x ,x <0,x +1,x ≥0,则f (-1)= ;若f (a )>f (a -1),则实数a 的取值范围是 .答案 -1;(-12,+∞)名师点评分段函数问题的求解策略(1)根据分段函数的解析式求函数值.首先确定自变量的值属于哪个区间,其次选定相应的解析式代入求解.(2)已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时,应根据每一段的解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围.1.(2020辽宁盘锦一中模拟)已知函数f (x )={2e x -1,x <1,x 3+x ,x ≥1,则f (f (x ))<2的解集为 ( )A.(1-ln 2,+∞)B.(-∞,1-ln 2)C.(1-ln 2,1)D.(1,1+ln 2)答案 B 因为当x ≥1时, f (x )=x 3+x ≥2,当x <1时, f (x )=2e x -1<2,所以f (f (x ))<2等价于f (x )<1,即2e x -1<1,解得x <1-ln 2, 所以f (f (x ))<2的解集为(-∞,1-ln 2),故选B.2.(2018课标全国Ⅰ文,12,5分)设函数f (x )={2-x ,x ≤0,1,x >0,则满足f (x +1)<f (2x )的x 的取值范围是 ( )A.(-∞,-1]B.(0,+∞)C.(-1,0)D.(-∞,0)答案 D 函数f (x )={2-x ,x ≤0,1,x >0的图象如图所示:由f (x +1)<f (2x )得{2x <0,2x <x +1,得{x <0,x <1.∴x <0,故选D .3.已知函数f (x )={log 2(3-x ),x ≤0,2x -1,x >0,若f (a -1)=12,则实数a = .答案 log 23解析 由题意知当a -1≤0,即a ≤1时,log 2(3-a +1)=12,解得a =4-√2>1,舍去.当a -1>0,即a >1时,2a -1-1=12,解得a =log 23>1,成立.故a =log 23.微专题——新定义函数的有关计算新定义函数问题是近几年高考中函数的热点题型,解答这类问题的关键在于阅读理解时准确把握新定义、新信息,并把它纳入已有的知识体系之中,用原来的知识和方法来解决新情境下的问题,一般有两方面的考查:(1)利用新函数进行计算;(2)讨论新函数的性质.典例 (2020浙江镇海中学高三模拟)定义符号函数sgn x ={1,x >0,0,x =0,-1,x <0,若f (x )是定义在R 上的减函数,g (x )=f (x )-f (ax )(a >1),则 ( )A.sgn[g (x )]=sgn xB.sgn[g (x )]=-sgn xC.sgn[g (x )]=sgn[f (x )]D.sgn[g (x )]=-sgn[f (x )] 答案 A解析 由题意知g (x )=f (x )-f (ax ),且f (x )是R 上的减函数, 当x >0时,x <ax ,则有f (x )>f (ax ), 则g (x )=f (x )-f (ax )>0, 此时sgn[g (x )]=1;当x =0时,x =ax ,则有f (x )=f (ax ), 则g (x )=f (x )-f (ax )=0, 此时sgn[g (x )]=0;当x <0时,x >ax ,则有f (x )<f (ax ), 则g (x )=f (x )-f (ax )<0, 此时sgn[g (x )]=-1. 综上所述,sgn[g (x )]=sgn x. 故选A.根据新定义得到f (x )的表达式,判断函数f (x )在定义域的单调性,可得结果.1.(2020辽宁大连高三月考)在实数的原有运算法则中,我们定义新运算 “x” 如下:当a ≥b 时,a x b =a ;当a <b 时,a x b =b 2,则函数f (x )=(1x x )·x -(2x x )(x ∈[-2,2])的最大值等于(“·”和“-”仍为通常的乘法和减法) ( )A.-1B.1C.12D.6 答案 D 因为a x b ={x ,x ≥x ,x 2,x <x ,所以f (x )=(1x x )·x -(2x x )={x -2,-2≤x ≤1,x 3-2,1<x ≤2,易知函数f (x )在[-2,2]上单调递增,所以f (x )max =f (2)=6,故选D.2.定义符号函数sgn x ={1,x >0,0,x =0,-1,x <0,则当x ∈R 时,不等式x +2>(2x -1)sgn x的解集为 .答案 {x |-3-√334<x <3}解析 当x >0时,不等式可转化为x +2>2x -1,解得0<x <3; 当x =0时,不等式可转化为2>1,不等式成立;当x <0时,不等式可转化为x +2>12x -1①,因为2x -1<0,所以①等价于(x +2)(2x -1)<1,即2x 2+3x -3<0,解得-3-√334<x <0.综上所述,不等式的解集为 {x |-3-√334<x <3}.A 组 基础达标1.下列各组函数中,表示同一个函数的是 ( )A.f (x )=x 2和f (x )=(x +1)2B.f (x )=(√x )2x和f (x )=(x )2C.f (x )=log a x 2和f (x )=2log a xD.f (x )=x -1和f (x )=√(x -1)2答案 B2.函数y =ln(x 2-x )+√4-2x 的定义域为 ( )A.(-∞,0)∪(1,+∞)B.(-∞,0)∪(1,2]C.(-∞,0)D.(-∞,2)答案 B 由已知得{x 2-x >0,4-2x≥0,解得{x <0或x >1,x ≤2,即x ∈(-∞,0)∪(1,2],故选B.3.已知函数f (x )的定义域为(-1,0),则函数f (2x +1)的定义域为( ) A.(-1,1) B.(-1,-12)C.(-1,0)D.(12,1)答案 B4.已知函数f (x +1)=3x +2,则f (x )= ( )A.3x +2B.3x +1C.3x -1D.3x +4 答案 C5.已知f (10x)=x ,则f (5)= ( )A.105B.510C.log 510D.lg 5 答案 D6.(2020湖南湘潭一中模拟)已知函数f (x )={x +1x -2,x >2,x 2+2,x ≤2,则f (f (1))= ( )A.-12 B.2 C.4 D.11 答案 C ∵函数f (x )={x +1x -2,x >2,x 2+2,x ≤2,∴f (1)=12+2=3,∴f (f (1))=f (3)=3+13-2=4.故选C.7.已知函数f (x )={3-x +1(x ≤0),x x +2(x >0),若f (f (-1))=18,则实数a 的值是 ( )A.0B.1C.2D.3 答案 C8.设函数f :R →R 满足f (0)=1,且对任意的x ,y ∈R 都有f (xy +1)=f (x )·f (y )-f (y )-x +2,则f (2 017)= ( ) A.0 B.1 C.2 017 D.2 018答案 D 令x =y =0,则f (1)=f (0)·f (0)-f (0)-0+2=1×1-1-0+2=2,令y =0,则f (1)=f (x )·f (0)-f (0)-x +2,将f (0)=1, f (1)=2代入得f (x )=1+x ,所以f (2 017)=2 018,故选D .9.(2020湖南郴州二中模拟)设x ∈R,用[x ]表示不超过x 的最大整数,则y =[x ]称为高斯函数.例如:[-2.1]=-3,[3.1]=3,已知函数f (x )=2x +32x +1,则函数y =[f (x )]的值域为 ( )A.{0,1,2,3}B.{0,1,2}C.{1,2,3}D.{1,2} 答案 D f (x )=2x +32x+1=2x +1+22x+1=1+22x+1,∵2x>0,∴1+2x>1,∴0<22x+1<2,∴1<1+22x +1<3,即1<f (x )<3.当1<f (x )<2时,[f (x )]=1;当2≤f (x )<3时,[f (x )]=2.综上,函数y =[f (x )]的值域为{1,2},故选D.B 组 能力拔高10.已知函数f (x )={(x -1)x +4-2x ,x <1,1+log 2x ,x ≥1,若f (x )的值域为R,则实数a 的取值范围是( )A.(1,2]B.(-∞,2]C.(0,2]D.[2,+∞)答案 A 当x ≥1时, f (x )=1+log 2x ≥1;当x <1时, f (x )=(a -1)x +4-2a 必须是增函数,且值域区间的右端点的值大于或等于1,才能满足f (x )的值域为R,可得{x -1>0,x -1+4-2x ≥1,解得1<a ≤2.11.(2020江苏苏州一中期中)已知函数f (x )={2x ,x ≤1,log 3(x -1),x >1,且f (x 0)=1,则x 0=( )A.0B.4C.0或4D.1或3 答案 C 当x 0≤1时,由f (x 0)=2x 0=1得x 0=0(满足x 0≤1);当x 0>1时,由f (x 0)=log 3(x 0-1)=1得x 0-1=3,得x 0=4(满足x 0>1),故选C. 12.(2020北京,11,5分)函数f (x )=1x +1+ln x 的定义域是 .答案 (0,+∞)解析 要使函数f (x )有意义,则{x +1≠0,x >0,故x >0,因此函数f (x )的定义域为(0,+∞). 13.(2019湖南衡阳模拟)已知函数f (x )=xxx -1,若f (x )+f (1x )=3,则f (x )+f (2-x )= .答案 6 解析 ∵f (x )=xx x -1, f (x )+f (1x)=3, ∴f (x )+f (1x )=xx x -1+xx 1x-1=xx x -1-x x -1=x (x -1)x -1=3,解得a =3,∴f (x )=3x x -1,∴f (x )+f (2-x )=3x x -1+6-3x 2-x -1=6(x -1)x -1=6.C 组 思维拓展14.(2020广东珠海一中模拟)已知x 为实数,用[x ]表示不超过x 的最大整数,例如[1.2]=1,[-1.2]=-2,[1]=1.对于函数f (x ),若存在m ∈R 且m ∉Z,使得f (m )=f ([m ]),则称函数f (x )是Ω函数. (1)判断函数f (x )=x 2-13x ,g (x )=sin πx 是不是Ω函数(只需写出结论);(2)已知f (x )=x +x x,请写出a 的一个值,使得f (x )为Ω函数,并给出证明. 解析 (1)f (x )=x 2-13x 是Ω函数,g (x )=sin πx 不是Ω函数. (2)a =32.证明:设k ∈N *,取a ∈(k 2,k 2+k ),令[m ]=k ,m =x x ,则一定有m -[m ]=xx -k =x -x 2x∈(0,1),且f (m )=f ([m ]),所以f (x )是Ω函数.。
2018年高考数学二轮复习第二部分高考22题各个击破专题二函数与导数2.4.2导数与不等式及参数范围课件文
∵f'(x)=a-������ ,∴k=f'(x0)=a-������ ,
0
1
1
即直线的切线方程为 y-ax0+ln x0= ������-
1 ������ 0
(x-x0),
又切线过原点O, 所以-ax0+ln x0=-ax0+1, 由ln x0=1,解得x0=e,所以切点的横坐标为e.
x>1 时,a≥ 即 h(x)��
恒成立,令 h(x)=
ln ������
������ 2 -������
.
又 x>1 时,ln x<x-1<x(x-1),
ln ������ ������ 2 -������
<1(x>1)恒成立,
综上所述a≥1.
-8-
解 (1)f(x)的定义域为(0,+∞). 1 当a=4时,f(x)=(x+1)ln x-4(x-1),f'(x)=ln x+ ������ -3,f'(1)=-2,f(1)=0.曲线 y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为2x+y-2=0.
-4-
(2)当 x∈(1,+∞)时,f(x)>0 等价于 ln 设 g(x)=ln x则
1 g'(x)= − ������ (������+1)2 ������(������-1) , ������+1 2������ ������2 +2(1-������)������+1 ������(������+1)
2
高三函数和导数知识点汇总
高三函数和导数知识点汇总在高三数学学习中，函数和导数是一个非常重要的知识点，既是数学基础，也是高考考点之一。
下面将对高三函数和导数的知识点进行详细的汇总和总结。
一、函数的定义与性质函数是一种特殊的关系，它将输入和输出联系起来。
函数可用来描述各种实际问题，同时也为我们提供了解决问题的工具和方法。
1. 函数的定义：函数是一个对应关系，将自变量的取值映射到因变量的取值上。
一个函数可以用公式、图像、表格等形式表示。
函数通常用f(x)、y等符号表示，其中x为自变量，f(x)或y为对应的因变量。
2. 函数的性质：函数的增减性、奇偶性、周期性等是函数的一些重要性质。
其中，增减性是指函数在定义域内的增减关系；奇偶性是指函数关于坐标原点对称或不对称；周期性是指函数在一定范围内的重复性。
二、常见函数类型及其性质在实际问题中，常见的函数类型包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数以及三角函数等。
了解和熟悉这些函数类型的性质对于解题非常有帮助。
1. 线性函数：线性函数的表达式通常为f(x) = kx + b，其中k和b为常数。
线性函数的图像为一条直线，具有像平移、伸缩等性质。
线性函数的导数恒为k，即f'(x) = k。
2. 二次函数：二次函数的表达式一般为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数且a≠0。
二次函数的图像为开口向上或向下的抛物线，其顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。
二次函数的导数为f'(x) = 2ax + b。
3. 指数函数：指数函数的表达式为f(x) = a^x，其中a为常数且a>0，a≠1。
指数函数的图像为单调递增或递减的曲线，其特点是过点(0, 1)。
指数函数的导数为f'(x) = a^x * ln(a)。
4. 对数函数：对数函数的表达式一般为f(x) = logₐx，其中a为常数且a>0，a≠1，x>0。
对数函数的图像对称于直线y = x，具有水平渐近线y = 0。
2021年高考数学总复习第二部分高考22题各个击破2.4.1导数与函数的单调性、极值、最值课件文
当a>0时,f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增.
-5-
解题策略一
解题策略二
2
1
(2)由(1),知 f(x)min=f(a)=a- -a ln- 2
1
即 g(a)=a-aln a- .
1
要证 g(a)<1,即证 a-aln a-<1,
1
1
即证:1-ln a- 2 < .
1
1
令 h(a)=ln a+ + 2 -1,
1
1
则只需证 h(a)=ln a+ + 2-1>0.
1
1
2
2 --2
(-2)(+1)
h'(a)= − 2 − 3 = 3 =
,
3
=a-aln
1
a- ,
当 a∈(0,2)时,h'(a)<0,h(a)单调递减;
故g(x)有最小值g(ln(a+1))=a+1-(a+1)ln(a+1).
1
所以f(x)≥ x2+ax+b等价于
2
b≤a+1-(a+1)ln(a+1).②
因此(a+1)b≤(a+1)2-(a+1)2ln(a+1).
-17-
解题策略一
解题策略二
解题策略三
设h(a)=(a+1)2-(a+1)2ln(a+1),
难点突破
高考数学二轮复习 函数与导数 课时考点1 函数的性质及应用
课时考点1 函数的性质及应用高考考纲透析：（1）了解映射的概念，理解函数的概念。
(2)了解函数单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法。
(3)了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数的反函数。
(4)理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质.掌握指数函数的概念、图像和性质。
(5)理解对数的概念，掌握对数的运算性质；掌握对数函数的概念、图像和性质。
(6)能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题。
高考风向标：映射与函数的概念、函数单调性、奇偶性、周期性、函数的值域与最值、反函数、函数图象、指数函数、对数函数、二次函数、函数的综合应用。
尤其是函数的单调性、奇偶性、周期性、反函数复现率较高。
高考试题选：1. 若)(x f 和g(x)都是定义在实数集R 上的函数，且方程0)]([=-x g f x 有实数解，则)]([x f g 不可能．．．是 （A ）512-+x x （B ）512++x x （C ）512-x （D ）512+x 2. 若函数)1,0)(1(log )(≠>+=a a x x f a 的定义域和值域都是[0，1]，则a=（ ）(A)31(B)2(C)22 (D)23. 函数]1,0[)1(log )(2在++=x a x f a 上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为（ ）A ．41 B ．21 C ．2 D ．4 4. 设)(),(x g x f 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0<x 时，,0)()()()(>'+'x g x f x g x f且,0)3(=-g 则不等式0)()(<x g x f 的解集是（ ）A ．),3()0,3(+∞⋃-B ．)3,0()0,3(⋃-C ．),3()3,(+∞⋃--∞D ．)3,0()3,(⋃--∞5. 已知函数223)(x ax x f -=的最大值不大于61，又当.81)(,]21,41[≥∈x f x 时 （1）求a 的值； （2）设.11.),(,21011+<∈=<<++n a N n a f a a n n n 证明 6. )(x f 是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且0)2(=f 在区间（0，6）内解的个数的最小值是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5热点题型1 对数函数与二次函数复合而成的复合函数的性质例1：是否存在实数a ，使函数)(log )(2x ax x f a -=在区间]4,2[上是增函数？如果存在，说明a 可取哪些值；如果不存在，请说明理由。
高考数学二轮复习第二部分高考22题各个击破专题二函数与导数2.4.3导数与函数的零点及参数范围课件文
4
2
故当 a>0 时,f'(x)存在唯一零点.
(2)证明 由(1),可设f'(x)在(0,+∞)的唯一零点为x0,当x∈(0,x0)
时,f'(x)<0;当x∈(x0,+∞)时,f'(x)>0.
故f(x)在(0,x0)单调递减,在(x0,+∞)单调递增,
所以当x=x0时,f(x)取得最小值,最小值为f(x0).
存在性定理进行判断.
2
2
(2)证明 f(x)≥2a+aln ⇔证明 f(x)max≥2a+aln .
2
(1)解 f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=2e
− (x>0).当
a≤0
时,f'(x)>0,f'(x)没有零点,当 a>0 时,因为e 单调递增,- 单调递增,所
1
以 f'(x)在(0,+∞)单调递增.又 f'(a)>0,当 b 满足 0<b< 且 b< 时,f'(b)<0,
4
(2)当x∈(1,+∞)时,g(x)=-ln x<0,从而h(x)=min{f(x),g(x)}≤g(x)<0,
故h(x)在(1,+∞)无零点.
5
当 x=1 时,若 a≥- ,
5
4
则 f(1)=a+ ≥0,h(1)=min{f(1),g(1)}=g(1)=0,故 x=1 是 h(x)的零点;
5
4
若 a<- ,则 f(1)<0,h(1)=min{f(1),g(1)}=f(1)<0,故 x=1 不是 h(x)的零
考点01 函数的概念及性质-2022年高考数学(理)一轮复习小题多维练(全国通用)(解析版)
考点01 函数的概念及性质1．（2021·浙江高二期末）函数()f x =的定义域是（ ） A ．(2,0]- B ．(2,1]-C ．(,2)(2,0]-∞--D ．(,2)(2,1]-∞--【答案】A 【分析】由偶次根式的被开方式大于等于0，及分式的分母不等于0即可求解. 【详解】解：由题意，12020x x ⎧-≥⎨+>⎩，即02x x ≤⎧⎨>-⎩，所以20x -<≤，所以函数()f x 的定义域为(]2,0-， 故选：A.2．（2021·全国高三月考（理））已知函数()()()22log 1,23,2x x f x f x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩，则()()4f f =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A 【分析】由内向外，代入分段函数求值，先计算()4f ，再计算()()4f f .【详解】由题意，()224(1)log (11)1==+=f f ，所以()()224(1)log (11)1==+=ff f .故选：A.3．（2021·浙江高一期末）()f x 是定义在[6,6]-上的偶函数，且(0)(6)f f <，则下列各式一定成立的是（ ）A ．(0)(6)f f <-B ．(3)(1)f f ->C ．(2)(3)f f <D ．(1)(0)f f ->【答案】A 【分析】根据偶函数的性质，可得(6)(6)f f -=，即可得解.【详解】由()f x 是定义在[6,6]-上的偶函数， 所以(6)(6)f f -=，由(0)(6)f f <，则(0)(6)f f <-，其它的不能确定， 故选：A4．（2021·四川高三月考）已知函数()[]()22,61f x x x =∈-，则（ ） A ．()f x 是单调递增函数 B ．()f x 是奇函数 C ．函数()f x 的最大值为()2fD ．()()()345f f f <<【分析】由函数的解析式判断函数的单调性，由其自变量区间知非奇非偶函数，进而可知其最大值及()()()3,4,5f f f 的大小关系.【详解】A ：由解析式知：()f x 是单调递减函数，错误；B ：由[]2,6x ∈，显然不关于原点对称，()f x 不是奇函数，错误；C ：由A 知：在[]2,6x ∈上()max (2)2f x f ==，正确；D ：由A 知：()()()345f f f >>，错误. 故选：C.5．（2020·全国高三其他模拟）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足()(1)f x f x =-，则(2018)(2019)(2020)f f f ++=（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】B 【分析】根据()f x 是R 上的奇函数，且()(1)f x f x =-即可得出()f x 的周期为2，从而可求出(2018)0f =，并且可得出(2019)(2020)0f f +=，这样即可得出答案.解：∵()f x 是R 上的奇函数，且()(1)f x f x =-， ∵(1)()()f x f x f x +=-=-， ∵(2)()f x f x +=， ∵()f x 的周期为2，∵(2018)(021009)(0)0f f f =+⨯==，且(2019)(2020)(2019)((12020)2019)(2019)0f f f f f f +=+-=-=， ∵(2018)(2019)(2020)0f f f ++=. 故选：B. 【点睛】本题考查了函数的奇偶性周期性，题目中基本是奇偶性和对称性相结合推出函数的周期性，最后根据周期性求出对应的函数值，或者根据奇函数的性质求解，需要在备考过程中多总结.6．（2020·全国高三其他模拟）已知函数()22()lg 911f x x x =++-，则满足()331log log 2f x f x ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭的x 的取值范围是（ ）A ．(]0,3B ．10,[3,)3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．[)3,+∞D ．1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D 【分析】首先根据已知条件得到()f x 为偶函数，()11f =，利用偶函数和对数的性质将()331log log 2f x f x ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭转化为()()3log 1f x f ≤，再解不等式即可. 【详解】因为()22()lg 911f x x x =++-，所以()22()lg 911()f x x x f x -=++-=，即()f x 为偶函数，当0x ≥时，()f x 单调递增，且()11f =，()331log log 2f x f x ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭可得()()33log log 2f x f x +-≤，即()32log 2f x ≤，所以()3log 1f x ≤，即()()3log 1f x f ≤. 所以3log 1x ≤，解得133x ≤≤. 故选：D.7．（2021·北京高三其他模拟）下列函数中，既是奇函数，又满足值域为R 的是（ ） A ．1y x=B ．1y x x=+C ．1y x x=-D ．sin y x =【答案】C 【分析】由函数的奇偶性和值域直接判断可排除A 、B 、D ，对C ，采用导数法，函数函数图象可判断正确 【详解】对A ，1y x=为奇函数，值域为0y ≠，故A 错； 对B 、1y x x=+，函数为“对勾函数”因为0x ≠，所以0y ≠，故B 错误；对C ，1y x x =-为奇函数，当0x >时，因为21'10y x =+>，故1y x x=-在0x >为增函数，1x =时，函数值为0，当0x +→时，y →-∞，,→+∞→+∞x y ，画出图形如图：所以y R ∈，故C 正确；对D ，sin y x =，函数为奇函数，值域为[]1,1-，故D 错误；故选：C 【点睛】本题考查函数的奇偶性与值域的判断，属于基础题 ∵判断函数奇偶性除了定义法外，还可采用口诀进行判断： 奇函数=奇函数±奇函数=奇函数()⨯÷ 偶函数；∵对于常见函数类型，应熟记于心，比如反比例函数，对勾函数； ∵对于复杂函数，研究值域时，可采用导数进行研究8．（2021·云南民族大学附属中学高三月考（理））已知20222020a =，20212021b =，20202022c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c a b <<B ．a c b <<C ．c b a <<D ．a b c << 【答案】C 【分析】由ln 2020ln 2021ln 2021ln 2022a b =，设2ln ()(e )1xf x x x =≥+，求出导函数得出单调性，从而可得(2020)(2021)0f f >>，即ln 1ln ab>，得出,a b 大小，同理可得,b c 大小，得出答案. 【详解】∵ln 2020ln 2022ln 20202021ln 2021ln 2021ln 20212022a b ==， 构造函数2ln ()(e )1xf x x x =≥+，2(1)ln ()(1)x x x f x x x +-'=+， 令()(1)ln g x x x x =+-，则()ln 0g x x '=-<， ∵()g x 在2[e ,)+∞上单减，∵22()(e )1e 0g x g ≤=-<，故()0f x '<，所以()f x 在2[e ,)+∞上单减，∵ln 2020ln (2020)2021(2020)(2021)01ln ln ln 2021ln (2021)2022a f f f ab a b b f >>⇒==>⇒>⇒>， 同理可得ln ln b c b c >⇒>，故a b c >>， 故选：C. 【点睛】关键点睛：本题考查构造函数，利用导数得出函数单调性，利用单调性比较指数幂的大小，解答本题的关键是设设2ln ()(e )1xf x x x =≥+，得出()f x 在2[e ,)+∞上单减，，从而可得(2020)(2021)0f f >>，即ln 1ln ab>，得出,a b 大小，同理可得,b c 大小，属于中档题.9．（2021·全国高考真题（理））设函数()f x 的定义域为R ，()1f x +为奇函数，()2f x +为偶函数，当[]1,2x ∈时，2()f x ax b =+．若()()036f f +=，则92f ⎛⎫=⎪⎝⎭（ ） A ．94- B ．32-C ．74 D ．52【答案】D 【分析】通过()1f x +是奇函数和()2f x +是偶函数条件，可以确定出函数解析式()222f x x =-+，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案． 【详解】因为()1f x +是奇函数，所以()()11f x f x -+=-+∵；因为()2f x +是偶函数，所以()()22f x f x +=-+∵．令1x =，由∵得：()()()024f f a b =-=-+，由∵得：()()31f f a b ==+， 因为()()036f f +=，所以()462a b a b a -+++=⇒=-，令0x =，由∵得：()()()11102f f f b =-⇒=⇒=，所以()222f x x =-+．思路一：从定义入手．9551222222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1335112222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 511322=2222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=--+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以935222f f ⎛⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 思路二：从周期性入手由两个对称性可知，函数()f x 的周期4T=．所以91352222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 故选：D ． 【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果． 10．（2021·全国高考真题（理））设函数1()1xf x x-=+，则下列函数中为奇函数的是（ ） A ．()11f x -- B ．()11f x -+C ．()11f x +-D ．()11f x ++【答案】B 【分析】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可. 【详解】由题意可得12()111x f x x x-==-+++，对于A ，()2112f x x--=-不是奇函数； 对于B ，()211f x x-=+是奇函数； 对于C ，()21122f x x +-=-+，定义域不关于原点对称，不是奇函数； 对于D ，()2112f x x ++=+，定义域不关于原点对称，不是奇函数. 故选：B 【点睛】本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题. 11．（2021·浙江高考真题）已知函数21(),()sin 4f x xg x x =+=，则图象为如图的函数可能是（ ）A ．1()()4y f x g x =+-B ．1()()4y f x g x =--C ．()()y f x g x =D ．()()g x y f x =【答案】D 【分析】由函数的奇偶性可排除A 、B ，结合导数判断函数的单调性可判断C ，即可得解. 【详解】对于A ，()()21sin 4y f x g x x x =+-=+，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A ；对于B ，()()21sin 4y f x g x x x =--=-，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B ； 对于C ，()()21sin 4y f x g x x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，则212sin cos 4y x x x x ⎛⎫'=++ ⎪⎝⎭，当4x π=时，210221642y ππ⎛⎫'=⨯++⨯> ⎪⎝⎭，与图象不符，排除C.故选：D.12．（2020·北京高考真题）已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是（）．A ．(1,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(0,1)D ．(,0)(1,)-∞⋃+∞【答案】D【分析】作出函数2x y =和1y x =+的图象，观察图象可得结果.【详解】因为()21x f x x =--，所以()0f x >等价于21x x >+，在同一直角坐标系中作出2x y =和1y x =+的图象如图：两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2)，不等式21x x >+的解为0x <或1x >.所以不等式()0f x >的解集为：()(),01,-∞⋃+∞.故选：D.【点睛】本题考查了图象法解不等式，属于基础题.13．（2020·海南高考真题）若定义在R 的奇函数f (x )在(,0)-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是（ ）A ．[)1,1][3,-+∞B ．3,1][,[01]--C ．[1,0][1,)-⋃+∞D ．[1,0][1,3]-⋃【答案】D【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数()f x 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.【详解】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =，所以()f x 在(0,)+∞上也是单调递减，且(2)0f -=，(0)0f =，所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃时，()0f x >，当(2,0)(2,)x ∈-+∞时，()0f x <，所以由(10)xf x -≥可得： 0210x x <⎧⎨-≤-≤⎩或0012x x >⎧⎨≤-≤⎩或0x = 解得10x -≤≤或13x ≤≤，所以满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是[1,0][1,3]-⋃，故选：D.【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.14．（2021·浙江高考真题）已知R a ∈，函数24,2()3,2,x x f x x a x ⎧->⎪=⎨-+≤⎪⎩若3f f ⎡⎤=⎣⎦，则a =___________.【答案】2【分析】由题意结合函数的解析式得到关于a 的方程，解方程可得a 的值.【详解】()()642233f f f f a ⎡⎤=-==-+=⎣⎦，故2a =， 故答案为：2.15．（2021·全国高考真题）已知函数()()322x x x a f x -=⋅-是偶函数，则a =______.【答案】1【分析】利用偶函数的定义可求参数a 的值.【详解】因为()()322x x x a f x -=⋅-，故()()322x x f x x a --=-⋅-，因为()f x 为偶函数，故()()f x f x -=，时()()332222x x x x x a x a --⋅-=-⋅-，整理得到()()12+2=0x x a --，故1a =，故答案为：116．（2020·全国高考真题（理））关于函数f （x ）=1sin sin x x +有如下四个命题： ∵f （x ）的图象关于y 轴对称．∵f （x ）的图象关于原点对称．∵f （x ）的图象关于直线x =2π对称． ∵f （x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________．【答案】∵∵【分析】利用特殊值法可判断命题∵的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题∵的正误；利用对称性的定义可判断命题∵的正误；取0x π-<<可判断命题∵的正误.综合可得出结论.【详解】对于命题∵，152622f π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，152622f π⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭，则66f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，函数()f x 的图象不关于y 轴对称，命题∵错误；对于命题∵，函数()f x 的定义域为{},x x k k Z π≠∈，定义域关于原点对称， ()()()()111sin sin sin sin sin sin f x x x x f x x x x ⎛⎫-=-+=--=-+=- ⎪-⎝⎭， 所以，函数()f x 的图象关于原点对称，命题∵正确；对于命题∵，11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭， 11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫+=++=+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭，则22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，函数()f x 的图象关于直线2x π=对称，命题∵正确；对于命题∵，当0x π-<<时，sin 0x <，则()1sin 02sin f x x x=+<<， 命题∵错误.故答案为：∵∵.【点睛】 本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.。
高三第二轮知识点总结数学
高三第二轮知识点总结数学一、函数与导数1. 函数的概念函数是自变量与因变量之间的对应关系。
如果每个自变量对应唯一的因变量，并且每个因变量都由自变量确定，则称这种对应关系为函数。
2. 函数的性质（1）定义域：一个函数的定义域是指所有可能的自变量的取值，是函数的合法输入值的范围。
（2）值域：一个函数的值域是指所有可能的因变量的取值，是函数的合法输出值的范围。
3. 导数的概念函数的导数，简称导数，是函数在某一点处的变化率。
导数表示了函数在某一点的瞬时变化率，例如速度，加速度等。
如果函数y=f(x)在点x=x0处可导，则称函数在该点可导。
如果函数在某一点处可导，那么导数就是这个点处函数的斜率。
4. 导数的计算导数的计算是通过极限的概念来定义的。
对于一个函数y=f(x)，它的导数$f'(x)$可以通过以下公式来计算：$$f'(x) = \lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$5. 导数的性质（1）导数与函数的关系：如果函数f(x)在任意一点可导，则称f(x)是可导的。
（2）可导函数的性质：如果函数f(x)在某一点可导，则它在该点处必然连续。
6. 导数的应用导数在很多实际问题中都有着重要的应用，如切线与切线方程、极值与最优化问题、微分与微分方程等。
二、不等式1. 绝对值不等式（1）绝对值函数：$|x|$表示x的绝对值。
绝对值函数的性质有：a. $|x|\geq 0$；b. $|ab|=|a|\cdot |b|$；c. $|x-y|\leq |x|+|y|$。
（2）绝对值不等式：绝对值不等式是带有绝对值的不等式，解题时会对不等式的两边取绝对值，然后分类讨论。
2. 一元二次不等式一元二次不等式是指一元二次函数的不等式，它的解法主要通过构造零点法，求不等式的根，或者使用图像法，构造抛物线的图像来求解。
3. 二元一次不等式二元一次不等式是指两个变量的一次不等式，通常使用图像法，分析直线在坐标轴上的位置以及不等式的解集。