武汉理工大学出版 材料工程基础 答案 徐德龙

）ea
2
a
2 a2
2 a3 ;
y
（ a
2 a3
）ea
2 a
2 a2
2 a3
;
zc
所以：流体运动加速度的拉格朗日描述为
ax
2x 2
a3
2 ea a
2; a
ay
2 y 2
a3
2 ea a
2; a
az 0;
1-3 流体运动的速度由 u x2, y 2, xz 给出，当τ=1时，求质点
x C3 sin k a cos k a
y
bak
cos k
C2 sin k
a k
z C5
1 7 设流体的速度为ux x ,uy y ,uz 0,试求通过x 1, y 1,的流线及 0时
通过x 1, y 1的迹线。
解：（1） 由流线方程
dx dy , 对此积分可得
求得：c1 3;
-1
c2 3e 3 ;
c2 2e2;
求得：
x
2
2
3
y
3e
1 3
(
3
1)
2 1 1
z 2e
所以，流体运动的速度的拉格朗日描述为
u x 4 3;
x
u u
y
3
2e
1 ( 3
3
1)
;
y
z
4
2( 1
e
1)
z
所以，流体运动加速度的拉格朗日描述为
a ux 12 4;
对于4 4断面，P4 P3 汞g3 4 P5 水g5 4 所以， P5 P3 汞g3 4 水g5 4
P0 汞g1 2 水g3 2 汞g3 4 水g5 4
p5 p0 3.9汞g 4.4水g
101.325 476.672 578kPa
11-.1190 设两平板之间的距离为 2h，平板长宽皆为无限大，忽略质量力，如图所示。试用 N S
uy
3y
1
;
dz d
uz
z
1
分别积分得：
所以： x c11 2;
y c21 3
z c31
τ=0时，x=a, y=b z=c ;代入上式有：
所以： c1 a; c2 b; 质点的迹线方程为
c3 c
x a1 2 y b1 3 z c1
1 6 设流体运动的欧拉描述为ux ky, u y kx a , uz 0, 其中k与a为常数，
解：加速度的欧拉描述为：
a dux x d
ux
ux
ux x
uy
ux y
uz
ux z
2 a ax 2
0 0 2
a2x a 2
ay
du y d
u y
ux
u y x
uy
u y y
uz
u y z
2
b2 y b 2
az
duz d
uz
ux
uz x
uy
uz y
uz
0.10Pa / s
dy
1-11 图示为一水平方向运动的木板，其速度为1m/s。平板如在油面上， 平板单位面积上的阻力。
解：
， 油1的0mm 。求 作0用.09在807Pa s
1-12 试确定下列各流场是否满足不可压缩流体的连续条件：
解：由流体的连续性方程 d divu 0得，当流体不可压缩
代入已知条件，当 0时过空间点1，1得：C1 0,C2 0, 所以当 0时过空间点1，1的迹线方程为：
x 1
y 1
18
同样还是习题4
流体速度用u
x
2x 1
,u y
u 0
3y 1
,uz
z 1
描述 中的流体，
求散度和旋度，并判断流体是否可压，流体运动是否有旋。
解：（1） 根据散度和旋度的定义，可得：
y e
z
;
yz b c e
代入上式得速度的欧拉描述：
u x 0;
u e y
yz 2e
e
yz 2e
yz 2
yz 2
z;
u e z
yz 2e
e
yz 2e
yz 2
yz 2
y;
1-2设流体运动的欧拉描述为 ux ax 2,uy by 2,uz 0, 试求流体运 动加速度的欧拉描述和拉格朗日描述（a+b=0）
满足不可压缩的条件
1-13 试确定下列各流场是否满足不可压缩流体的连续条件：
（3） 由题有
wenku.baidu.com
ux k(2x y), uy 2ky, uz 0
x
y
z
ux uy uz k(2x y) 2ky 0 k(2x 3y) 0 x y z
该 流场不满足不可压连续性方程
（4） 由题有
ux ky cos xy, uy kx cos xy, uz 0
解：由流体静压强分布规律及等压面的关系得 ： h4
h1
对与等压面B-B，pB p1 汞gh2 p2 水gh2
h3
A
A
所以，
h2
p2 p1 汞gh2 水gh2 汞 水 gh2 0 p2 p1
B
B
2、3断面符合等压面的条件 静止、连续的同种流体，又在同一水平面上
所以， p2 p3
p p0 gh
和 等压面的关系得：
p2 2gZ2 p1 1gZ1
而左端为真空，即 p2 =0 所以： p1 2gZ2 13.6103 9.8 0.05 6664Pa
Z1
2 gZ2 1g
13.6103 9.8 0.05 1000 9.8
0.68m
17
习题
1-116.3 水管上安装一复式水银测压计，如图 1.3 所示。问 p1, p2, p3, p4 哪个最大？哪个最小？ 那些相等？为什么？
uy
y
b1 3
3b1 2;
uz
z
c1
c
所以, 拉格朗日描述的加速度：
ax
ux
2a;
ay
u y
6b1 ;
az
z
0
（3）由流线方程得：
dx 2x
dy 3y
dz z
1 1 1
1
1
1
即x 2 1 y3
c1;
x2 z
c2 ;
y3 z
c3;
质点的迹线方程为：
因：
dx d
ux
2x
1
;
dy d
p(1,3,2)的速度及加速度（即求速度和加速度的拉格朗日描述）
解：由题意，流体运动的速度的欧拉描述为
u u u x2 ; y 2; xz
x
y
z
dx d
ux
x2 ;
dy d
uy
y 2;
dz d
uz
xz
积分得：x
2
2
c1;
3
y c2e 3 ;
2
z c3e
代入已知条件τ=1时刻，质点p的坐标为（1，3，2）
x
a a uy
3
e
1 3
(
3
1)
(2
3
);
uz
8
2( 1 1)
e
(
1
1)
y
z 3
2x
3y
z
1-4
流体运动的速度由
ux
1
,uy
1
, uz
1
描述
（1）求其加速度的欧拉描述
（2）求矢径r=r(a,b,c,τ)的表达式和加速度的拉格朗日描述
（3）求流线和迹线
解：（1）加速度的欧拉描述为
a
所以：x [C1k cos k C2k sin k a]d
C3 sin k C4 cos k a x C3 sin k C4 cos k a
则欧拉描述的迹线为：
y
C1
cos
k
C2
sin
k
a k
z C5
代入
0时，x
a, y
b, z
c的已知条件可求的
：C 4
a, C1
b
a k
所以，在（a,b,c）处 流体质点的迹线为
1-1流体质点的位置用x
a,
y
e
b
2
c
e
b
2
c
,
z
e
b
2
c
e
b
2
c
, 表 示 ，求其速
度的拉格朗日描述与欧拉描述。
解：速度的拉格朗日描述
u u u x 0; y e b c e b c ; z e b c e b c ;
x
y
2
2 z 2
2
由已知条件得：a x;
bc
0.136m
19
1-18 复式测压计中各液面高称为1 3.0m，2 0.6m，3 2.5m，4 1.0m， 5 3.5m，求P5。
解：由流体静压强分布规律及等压面的关系得 ：
对于2 2断面，P2 P0 汞g1 2 P3 水g3 2
所以，
P3 P0 汞g1 2 水g3 2
x y
nx ny C x y ec C
代入过空间点1，1得：1 1 C C 1 2
则通过空间点1，1的流线为：x y 1 2
（2） 由迹线方程 dx x , dy y , dz 0 对此积分可得
d
d
d
x C1e 1, y C2e 1
解：由流体静压强分布规律及等压面的关系得 ：
p p0 gh
p3 p0 水g(1 3)
p3 p0 水银g(2 3)
得： 水银g(2 3) 水g(1 3)
3
水银 g2 水银 g
水g1 水g
13.6103 9.8 0.2 1103 9.81 13.6103 9.8 1103 9.8
divu
u
ux
uy
uz
2
3
1
6
x y z 1 1 1 1
i jk
rot
u
u
x
y
z
uz y
u y z
i
ux z
uz x
j
u y x
ux y
k
0
ux uy uz
（2） 由连续性方程得，当流体不可压时应满足：
又因
u
6
0
1
又因由上面得rot
u
0
所以流体可压缩 所以流体无旋
1-110.1 一块面积为 40 45cm2 ，高为1cm 的木块，质量为 5kg ，沿着涂有润滑油的斜面等速向
dy d
uy
3y
1
;
dz d
uz
z
1
所以： x c11 2;
y c21 3
z c31
（2）由题意得： τ=0时，x=a, y=b z=c ;代入上式有：
所以： c1 a; c2 b; c3 c
x a1 2 y b1 3 z c1
所以：
ux
x
a1 2
2a1 ;
x
y
z
ux uy uz ky cos xy (kx cos xy) 0 k( y x) cos xy 0 x y z
该 流场不满足不可压连续性方程
1-115.2 在封闭端完全真空的情况下，水银柱差 Z2 50mm ，求盛水容器液面绝对压强 p1 和液
柱高度 Z1 。
解 ：由流体静压强分布规律：
下运动。已知 u 1m / s, 1mm ，求润滑油的动力粘性系数。
解： 根据牛顿粘性定律： F A du
dy
A 0.40.45 0.18m2
du 0 1 dy 1103 0 1000 1/ s
F mg sin 59.8 5 18.84N
13
F A du
18.84 0.18 (1000)
1 2
对 （2）式求二阶导数
d2y
d 2
k
dx
d
a
dx ky d
又因
dz
d
uz
0
3
d2y
d 2
k 2
y
ka
二阶线性非齐次 常微分方程
9
所以，求得其通解为 y
C1
cos
k
C2
sin
k
a k
代入（1）式得：
dx
d
ux
ky
C1
k
cos k
C2
k sin k
a
C1k
cos k
C2k sin k
uz z
0
由
dx d
ux
ax
2, dy d
uy
by 2, dz d
uz
0
积分得：
x
c1ea
2 a
2 a2
2 a3
;
y
c2eb
2 b
2 b2
2 b3
;
当 0时刻，x a, y b, z c 代入上式得：
z c3
c1
a
2 a3
c2
b
2 b3
又因：a b 0
c3 c
x
（a
2 a3
ax
dux d
ux
ux
ux x
uy
ux y
uz
ux z
2x
1 2
4x
1 2
2x
1 2
a y
du y d
u y
ux
u y x
uy
u y y
uz
u y z
6y
1 2
az
duz d
uz
ux
uz x
uy
uz y
uz
uz z
0
分别对速度的欧拉描述进行积分得：
因：
dx d
ux
2x
1
;
求 1 时刻的流线方程；
2 0时在a,b, c处流体质点的迹线。
解：（1） 由流线方程
dx ky
k
dy
x a
kx a dx kydy
1 kx2 kax 1 ky2 C
1 2
x2 y2
2
ax C1
2
（2） 由迹线方程定义可写出
dx
d ux ky;
dy
d
uy
kx a ;
对于等压面A A，pA p3 汞gh3 p4 水gh3, p4 p3 汞gh3 水gh3 0 p4 p3
所题以中：， p1 最小， p2 和 p3 相等，而 p4 最大。
18
习题
1-117.4 封闭水箱各测压管的液面高程为： 1 100cm, 2 20cm,4 60cm ，问 3 为多少？
时，
d
divu 0 即：ux uy uz 0
x y z
（1）
ux x2 y2 uy 2xy uz 0
所以：divu ux uy uz 2x 2x 0 0 x y z
满足不可压缩的条件
（2）
ux y2 z2 uy z2 x2 uz x2 y2
所以：divu ux uy uz 0 0 0 0 x y z
方程推导不可压恒定流体的流速分布。
解：由N－S方程：
常数
du dt
Fb
p
2u
1 3
( u)
由连续性方程： divu(z u) 00
t z
因为为恒定流，且平板长宽皆为无限大，ux 0,uy 0 忽略质量力 粘性不变 ， 且因为不可压，
根 据以上条件，N－S方程与连续性方程可化为：