高中数学人教版选修1-1(文科) 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.1 椭圆及其标准方程A卷
(人教版)高中数学选修1-1课件：第2章 圆锥曲线与方程2.1.1
数学 选修1-1
第二章 圆锥曲线与方程
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
椭圆的定义
定义 焦点
平面内与两个定点F1，F2的_距__离__之__和__等__于__定__值___( 大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆 两个_定__点___叫做椭圆的焦点
第二章 圆锥曲线与方程
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4．已知椭圆的焦点在 x 轴上，且焦距为 4，P 为椭圆上一点， 且|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项．
(1)求椭圆的方程； (2)若△PF1F2 的面积为 2 3，求 P 点坐标．
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第二章 圆锥曲线与方程
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解析： (1)由题意知，2c＝4，c＝2. 且|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝8， 即 2a＝8， ∴a＝4. ∴b2＝a2－c2＝16－4＝12. 又椭圆的焦点在 x 轴上， ∴椭圆的方程为1x62 ＋1y22 ＝1.
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第二章 圆锥曲线与方程
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(3)a，b，c三个量的关系：椭圆的标准方程中，a表示椭 圆上的点M到两焦点间距离的和的一半，可借助图形帮助记 忆．a，b，c(都是正数)恰是构成一个直角三角形的三条边，a 是斜边，所以a>b，a>c，且a2＝b2＋c2.
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第二章 圆锥曲线与方程
(新课标人教A版)选修1-1数学同步课件：2-1-1《椭圆及其标准方程》
(2)∵椭圆的焦点在 y 轴上，所以设它的标准方程为： y2 x2 a2＋b2＝1(a>b>0)． ∵2a＝26,2c＝10，∴a＝13，c＝5. ∴b2＝a2－c2＝144. y2 x2 ∴所求椭圆方程为：169＋144＝1.
[点评]
x2 y2 y2 x2 在椭圆的标准方程a2＋b2＝1 和a2＋b2＝1 中，
＝1上的点，
F1和F2是焦点，且∠F1PF2＝30°，求△F1PF2的面积．
[解析]
y2 x2 在椭圆 5 ＋ 4 ＝1 中，a＝ 5，b＝2，∴c＝
a2－b2＝1， 又∵点 P 在椭圆上，∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝2 5① 由 余 弦 定 理 知 |PF1|2 ＋ |PF2|2 － 2|PF1|· |PF2|· cos30° ＝ |F1F2|2＝(2c)2＝4② ①式两边平方得|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|· |PF2|＝20③ ③－②得(2＋ 3)|PF1|· |PF2|＝16， ∴|PF1|· |PF2|＝16(2－ 3)， 1 ∴S△PF1F2＝2|PF1|· |PF2|· sin30° ＝8－4 3.
式时，需将它们放在方程的两侧，并使其中一侧只有一个
根式．
1．对椭圆的定义要正确理解、熟练运用，解决过焦点
的问题时，要结合图形看能否运用定义． 2．用待定系数法来求椭圆的标准方程时，要“先定型， 再定量”，不能确定焦点的位置，可进行分类讨论或设为 mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)的形式．
1 ．平面内与两个定点 F1 、 F2 的距离之和等于定长 ( 大
2．在理解椭圆的定义时，要注意到对“常数”的限定，
即常数要大于|F1F2|.这样就能避免忽略两种特殊情况，即： 当常数等于|F1F2|时轨迹是一条线段；当常数小于|F1F2|时点 不存在．
人教版高中数学选修1-1 第二章《圆锥曲线与方程》师用
选修1-1 第二章《圆锥曲线与方程》§2.1.1 椭圆及其标准方程【知识要点】● 椭圆的定义：到两个定点 F 1、F 2的距离之和等于定长（12FF >）的点的轨迹．● 标准方程：（1）()222210x y a b a b+=>>，22c a b =-，焦点是 F 1（－c ，0），F 2（c ，0）；（2）()222210y x a b a b+=>>，22c a b =-，焦点是 F 1（0，－c ），F 2（0，c ）．【例题精讲】【例 1】两个焦点坐标分别是(－4，0)、(4，0)，椭圆上一点 P 到两焦点的距离之和等于 10，写出椭圆的标准方程．【例 2】已知椭圆的两个焦点坐标分别是（0，－2）和（0，2）且过35,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，求椭圆的标准方程．点评：题（1）根据定义求．若将焦点改为(0，－4)、(0，4)其结果如何；题（2）由学生的思考与练习，总结有两种求法：其一由定义求出长轴与短轴长，根据条件写出方程；其二是由已知焦距，求出长轴与短轴的关系，设出椭圆方程，由点在椭圆上的条件，用待定系数的办法得出方程．【例 3】判断下列方程是否表示椭圆，若是，求出 a ，b ，c 的值．【例4】已知ΔABC 的一边BC 的长为6，周长为16，求顶点A 的轨迹方程．【基础达标】1．椭圆221259x y +=上一点 P 到一个焦点的距离为 5，则 P 到另一个焦点的距离为（ ） A ．5 B ．6 C ．4 D ．102．椭圆2211312x y +=上任一点 P 到两个焦点的距离的和为（ ） A ．26 B ．24 C ．2 D ．2133．已知 F 1，F 2是椭圆221259x y +=的两个焦点，过 F 1的直线交椭圆于 M ，N 两点，则△MNF 2周长为（ ）A ．10B ．16C ．20D ．324．椭圆的两个焦点分别是F 1(－8，0)和F 2(8，0)，且椭圆上一点到两个焦点距离之和为 20，则此椭圆的 标准方程为（ ）A ．2212012x y += B ．22140036x y += C ．22110036x y += D ．22136100x y +=5．椭圆2214x y m +=的焦距是 2，则 m 的值为（ ） A ．5或 3 B ．8 C ．5 D ．166．椭圆221169x y +=的焦距是 ，焦点坐标为 ． 7．焦点为（0，4）和（0，－4），且过点()533，-的椭圆方程是 ．1～5 ADCCA【能力提高】8．如果方程 x 2+ky 2=2表示焦点在 y 轴上的椭圆，求实数 k 的取值范围．9．写出适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）a=4，b =3，焦点在x 轴； （2）a =5，c =2，焦点在y 轴上．10．求到定点（2，0）与到定直线x =8的距离之比为22的动点的轨迹方程．§2.1.2 椭圆的简单几何性质（一）【知识要点】● 熟练掌握椭圆的范围，对称性，顶点，离心率等简单几何性质． ● 掌握标准方程中a ，b ，c 的几何意义，以及a ，b ，c ，e 的相互关系． ● 理解、掌握坐标法中根据曲线的方程研究曲线的几何性质的一般方法．【例题精讲】【例 1】已知椭圆的中心在坐标原点 O ，焦点在 x 轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，且离心率为22，求椭圆的方程．【例 2】已知 x 轴上的一定点 A （1，0），Q 为椭圆2214x y +=上的动点，求 A Q 中点 M 的轨迹方程．【例 3】椭圆22110036x y +=上有一点 P ，它到椭圆的左焦点 F 1的距离为 8，求△PF 1F 2的面积．【例 4】设P 是椭圆()22211x y a a+=>短轴的一个端点，Q 为椭圆上的一个动点，求PQ 的最大值．【基础达标】1．已知P 是椭圆22110036x y +=上的一点，若P 到椭圆右焦点的距离是345，则P 点到椭圆左焦点的距离是（ ） A ．165 B ．665 C ．758D ．778 2．若焦点在 x 轴上的椭圆2212x y m+=的离心率为12，则 m =（ ）A ．3B ．32 C ．83 D ．233．已知椭圆的中心在原点，焦点在 x 轴上，且长轴长为 12，离心率为13，则椭圆的方程是（ ）A ．221144128x y += B ．2213620x y += C ．2213236x y += D ．2213632x y += 4．设定点F 1（0，－3）、F 2（0，3），动点P 满足条件()1290PF PF a a a+=+>，则点P 的轨迹是（ ）A ．椭圆B ．线段C ．不存在D ．椭圆或线段 5．若椭圆短轴长等于焦距的3倍，则这个椭圆的离心率为（ ）A ．14 B ．22 C ．24D ．12 6．已知椭圆C 的短轴长为6，焦点F 到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆C 的离心率等于 ． 7．离心率12e =，一个焦点是 F （0，－3）的椭圆标准方程为 ．1～5 BBDDD【能力提高】8．求过点A（－1，－2）且与椭圆22169x y+=的两个焦点相同的椭圆标准方程．9．已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率23e=，短轴长为85，求椭圆的方程．10．设有一颗卫星沿一椭圆轨道绕地球运行，地球恰好位于椭圆轨道的焦点处，当此卫星离地球相距m万千米和43m万千米时，经过地球和卫星的直线与椭圆的长轴夹角分别为2π和3π，求该卫星与地球的最近距离．§2.1.2 椭圆的简单几何性质（二）【知识要点】●掌握椭圆范围、对称性、顶点、离心率、准线方程等几何性质．●能利用椭圆的有关知识解决实际问题，及综合问题．【例题精讲】【例 1】已知椭圆C 的焦点F 1()22,0-和F 2()22,0，长轴长6，设直线y =x +2交椭圆C 于A 、B 两点，求线段AB 的中点坐标．【例 2】椭圆的中心为点E （－1，0），它的一个焦点为F （－3，0），且椭圆的离心率255e =，求这个椭圆的方程．【例 3】已知椭圆2212x y +=的左焦点为F ，O 为坐标原点，求过点O 、F ，并且与直线l ：x =－2相切的圆的方程．【例 4】如图，把椭圆2212516x y +=的长轴 AB 分成 8等份，过每个分点作 x 轴的垂线交椭圆的上半部分于 P 1，P 2，P 3，P 4，P 5，P 6，P 7七个点，F 是椭圆的一个焦点，则123++PF P F PF +45++P F P F67+P F P F = ．【基础达标】1．椭圆22110036x y +=上的点 P 到它的左焦点的距离是 12，那么点 P 到它的右焦点的距离是（ ） A ．15 B ．12 C ．10 D ．82．已知椭圆()2221525x y a a +=>的两个焦点为F 1、 F 2，且|F 1F 2|=8，弦 A B 过点 F 1，则△ A BF 2的周长为（ ）A ．10B ．20C ．241D ．4413．椭圆221259x y +=的焦点 F 1、F 2，P 为椭圆上的一点，已知 P F 1⊥PF 2，则△ F 1PF 2的 面积为（ ） A ．9 B ．12 C ．10 D ．84．椭圆221164x y +=上的点到直线 x +2y 2-=0 的最大距离是（ ） A ．3 B ．11 C ．22 D ．105．如果椭圆221369x y +=的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是（ ） A ． x －2 y =0 B ． x +2 y －4=0 C ． 2x +3y －12=0 D ． x +2 y －8=06．与椭圆22143x y +=具有相同的离心率且过点（2，3-）的椭圆的标准方程是 ． 7．离心率53e =，一个焦点的坐标为5,03⎛⎫- ⎪⎝⎭的椭圆的标准方程是 ． F1～5 DDBAD 【能力提高】8．已知椭圆22194x y+=上的点P到其右焦点的距离是长轴两端点到右焦点的距离的等差中项，求P点坐标．9．过椭圆22194x y+=内一点D（1，0）引动弦A B，求弦A B的中点M的轨迹方程．10．椭圆221164x y+=上有两点P、Q，O是原点，若O P、OQ斜率之积为14-．求证22OP OQ+为定值．§2.2.1双曲线及其标准方程【知识要点】●掌握双曲线的定义，熟记双曲线的标准方程；●掌握双曲线标准方程的推导，会求动点轨迹方程；● 会按y 2特定条件求双曲线的标准方程； ● 理解双曲线与椭圆的联系与区别．【例题精讲】【例 1】判断下列方程是否表示双曲线，若是，求出三量 a ，b ，c 的值．【例 2】已知双曲线的焦点在y 轴上，中心在原点，且点()13,42P -、29,54P ⎛⎫⎪⎝⎭在此双曲线上，求双曲线的标准方程．【例 3】点 A 位于双曲线()222210,0x y a b a b-=>>上， F 1，F 2是它的两个焦点，求△AF 1F 2的重心G 的轨迹方程．【例 4】已知三点 P （5，2）、 F 1（－6，0）、 F 2（6，0）．（1）求以F 1、F 2为焦点且过点 P 的椭圆的标准方程；（2）设点 P 、F 1、F 2关于直线 y =x 的对称点分别为 P '、F 1'、F 2'，求以F 1'、F 2'为焦点且过点P '的双曲线的标准方程．【基础达标】1．双曲线22221124x y m m-=+-的焦距是（ ） A ．4 B ．22 C ．8 D ．与 m 有关2．椭圆222+134x y n =和双曲线222116x y n -=有相同的焦点，则实数 n 的值是（ ） A ．±5 B ．±3 C ．5 D ．93．若0k a <<，双曲线22221x y a k b k -=-+与双曲线22221x y a b-=有（ ） A ．相同的虚轴 B ．相同的实轴 C ．相同的渐近线 D ．相同的焦点4．过双曲线221169x y -=左焦点 F 1的弦 A B 长为 6，则 △ABF 2（F 2为右焦点）的周长是（ ） A ．28 B ．22 C ．14 D ．125．设F 1，F 2是双曲线2214x y -=的焦点，点 P 在双曲线上，且 ∠F 1PF 2=90°，则点 P 到x 轴的距离为（ ）A ．1B ．55C ．2D ．5 6．到两定点F 1（－3，0）、F 2（3，0）的距离之差的绝对值等于 6的点 M 的轨迹是 ．7．方程22+111x y k k=+-表示双曲线，则 k 的取值范围是 ．1～5 CBDAB【能力提高】8．求与双曲线221164x y -=有公共焦点，且过点（32，2）的双曲线方程．9．如图，某农场在 P 处有一堆肥，今要把这堆肥料沿道路 P A 或 P B 送到庄稼地 A BCD 中去，已知 P A =100 m ，PB =150m ，∠APB =60°．能否在田地 A BCD 中确定一条界线，使位于界线一侧的点，沿道路 P A 送肥较近；而另一侧的点，沿道路 P B 送肥较近? 如果能，请说出这条界线是一条什么曲线，并求出其方程．10．已知点()3,0A -和()3,0B，动点C 到A 、B 两点的距离之差的绝对值为 2，点 C 的轨迹与直线 y =x －2 交于 D 、E 两点，求线段 D E 的长．§2.2.2 双曲线的简单几何性质（一）【知识要点】● 掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质． ● 掌握等轴双曲线，共轭双曲线等概念．【例题精讲】【例 1】求双曲线2214y x -=的顶点坐标、焦点坐标，实半轴长、虚半轴长和渐近线方程．【例 2】求一条渐近线方程是 3x +4y =0，一个焦点是（4，0）的双曲线标准方程，并求此双曲线的离心率．【例 3】求与双曲线221169x y -=共渐近线且过 A (33，－3)的双曲线的方程．【例 4】已知△ABC 的底边 B C 长为 12，且底边固定，顶点 A 是动点，使sin B －sin C =12sin A ，求点 A 的轨迹．【基础达标】1．下列方程中，以x ±2y =0为渐近线的双曲线方程是（ ）A ．221164x y -= B ．221416x y -= C ．2212x y -= D ．2212y x -= 2．已知双曲线的离心率为 2，焦点是(－4，0)，(4，0)，则双曲线方程为（ ）A ．221412x y -= B ．221124x y -= C ．221106x y -= D ．221610x y -= 3．过点（3，0）的直线 l 与双曲线 4x 2－9y 2=36只有一个公共点，则直线 l 共有（ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条4．方程mx 2＋ny 2＋mn =0（m <n <0）所表示的曲线的焦点坐标是（ ）A ．()0m n ±-，B ．()0n m ±-，C ．()0m n ±-，D ．()0n m ±-，5．与双曲线221916x y -=有共同的渐近线，且经过点A (－3，23)的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是（ ）A．8 B．4 C．2 D．16．双曲线9y2－4x2=36的渐近线方程是．7．经过点M（3，－1），且对称轴在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程是．1～5 AACBC【能力提高】8．求一条渐近线方程是3x+4y=0，一个焦点是（5，0）的双曲线标准方程，并求此双曲线的离心率．9．求以椭圆22+16416x y=的顶点为焦点，且一条渐近线的倾斜角为56π的双曲线方程．10．已知双曲线的方程是16x2－9y2=144．（1）求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；（2）设F1和F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|·|PF2|=32，求∠F1PF2的大小．§2.2.2 双曲线的简单几何性质（二）【例题精讲】【例 1】如果双曲线的两个焦点分别为F 1(－3，0)、F 2 (3，0)，一条渐近线方程为2y x =，那么它的离心率是（ ）A ．63B ．4C ．2D ．3【例 2】过双曲线221916x y -=的左焦点F 1，作倾斜角为=4πα的直线与双曲线交于两点A 、B ，求AB的长．【例 3】已知动点 P 与双曲线 x 2－y 2=1的两个焦点F 1，F 2的距离之和为定值，且 c os ∠F 1PF 2的最小值为13-．求动点P 的轨迹方程．【例 4】已知不论 b 取何实数，直线 y =kx +b 与双曲线 x 2－2y 2=1总有公共点，试求实数 k 的取值范围．【基础达标】1．到两定点F 1(－3，0)、F 2 (3，0) 的距离之差的绝对值等于 6的点 M 的轨迹（ ） A ．椭圆 B ．线段 C ．双曲线 D ．两条射线 4．双曲线的两个顶点将焦距三等分，则它的离心率为（ ） A ．32 B ．3 C ．43D ．3 5．已知 m ，n 为两个不相等的非零实数，则方程mx －y +n =0与 n x 2+my 2=mn 所表示的曲线可能是（ ）A B C D6．双曲线22197x y -=的右焦点到右顶点的距离为 ． 7．与椭圆22+11625x y =有相同的焦点，且离心率为355的双曲线方程为 ． 1～5 DDCBC【能力提高】8．设双曲线()222210x y a b a b-=<<的半焦距为c ，直线l 过(a ，0)，(0，b )两点，已知原点到直线lyox yox yox yox的距离为34c ，求此双曲线的离心率．9．求过点M (3，－1)且被点M 平分的双曲线2214x y -=的弦所在直线方程．10．设双曲线 C 1的方程为()222210,0x y a b a b-=>>，A 、B 为其左、右两个顶点，P 是双曲线 C 1上的任意一点，引 Q B ⊥PB ，QA ⊥PA ，AQ 与 B Q 交于点 Q ，求 Q 点的轨迹方程．§2.3.1 抛物线及其标准方程【知识要点】● 掌握抛物线的定义．● 标准方程的不同形式及其推导过程．● 熟练画出抛物线的草图，求出抛物线的标准方程、焦点、准线方程．【例题精讲】【例 1】已知抛物线的标准方程是：（1）y 2=12x ，（2）y =12x 2，求它的焦点坐标和准线方程．【例2】求满足下列条件的抛物线的标准方程：（1）焦点坐标是F（－5，0）；（2）经过点A（2，－3）【例3】直线y=x－3与抛物线y2=4x交于A，B两点，过A，B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P，Q，则梯形A PQB的面积为（）A．48 B．56 C．64 D．72【例4】斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线相交于两点A、B，求线段A B 的长．【基础达标】1．抛物线y 2=ax （a ≠0）的准线方程是 （ ） A ．4a x =-B ．4ax = C ．4a x =- D ．4a x = 2．抛物线的顶点在原点，对称轴为 x 轴，焦点在直线 3x －4y －12=0上，此抛物线的方程是（ ） A ．y 2=16x B ．y 2=12x C ．y 2=－16x D ．y 2=－12x 3．焦点在直线 3x －4y －12=0上的抛物线标准方程是（ ） A ．y 2=16x 或 x 2=16y B ．y 2=16x 或 x 2=12y C ．x 2=－12y 或 y 2=16x D ．x 2=16y 或 y 2=－12x4．已知 M （m ，4）是抛物线 x 2=ay 上的点，F 是抛物线的焦点，若|MF |=5，则此抛物线的焦点坐标是（ ）A ．（0，－1）B ．（0，1）C ．（0，－2）D ．（0，2） 5．过抛物线 y 2=4x 的焦点 F 作倾斜角为34π的直线交抛物线于 A 、B 两点，则 A B 的长是（ ） A ．42 B ．4 C ．8 D ．26．顶点在原点，焦点在 y 轴上，且过点 P （4，2）的抛物线方程是 ． 7．平面上的动点P 到点 A （0，－2）的距离比到直线 l ：y =4的距离小 2，则动点P 的轨迹方程 是 ．1～5 AACBC【能力提高】8．点M 到点（0，8）的距离比它到直线 y =－7的距离大 1，求 M 点的轨迹方程．9．抛物线 y 2=16x 上的一点 P 到 x 轴的距离为 12，焦点为 F ，求｜PF ｜的值．10．抛物线拱桥跨度为52米，拱顶离水面6.5米，一竹排上有一4米宽6米高的大木箱，问此木排能否安全通过此桥?§2.3.2 抛物线的简单几何性质（一）【知识要点】● 抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质；● 能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论；注意数与形的结合．【例题精讲】【例 1】已知抛物线关于x 轴为对称轴，它的顶点在坐标原点，并且经过点()2,22M -，求它的标准方程．xy O【例2】过抛物线y2=2px的焦点F任作一条直线m，交这抛物线于A、B两点，求证：以A B为直径的圆和这抛物线的准线相切．【例3】正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2=2px()0p>上，求这个正三角形的边长．【例４】抛物线x2=4y的焦点为F，过点（0，－1）作直线L交抛物线A、B两点，再以A F、BF为邻边作平行四边形F ARB，试求动点R的轨迹方程．【基础达标】1．过抛物线 y 2=4x 的焦点作直线交抛物线于()11,A x y ，()22,B x y 两点，如果126x x +=，那么|AB | =（ ）A ．10B ．8C ．6D ．42．顶点在原点，焦点在 y 轴上，且过点 P （4，2）的抛物线方程是（ ） A ．x 2=8y B ．x 2=4y C ．x 2=2y D ．x 2=12y 3．已知 M 为抛物线y 2=4x 上一动点，F 为抛物线的焦点，定点 P （3，1），则MP MF +的最小值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．64．已知抛物线 y 2=－12x 上一点 P (x 0，y 0)到焦点的距离为 8，则 x 0的值为（ ） A ．－5 B ．5 C ．－4 D ．45．抛物线 y 2=8x 上一点 P 到顶点的距离等于它们到准线的距离，这点坐标是（ ） A ．()2,4 B ．()2,4± C ．()1,22 D ．()1,22± 6．抛物线 2y 2＋5x =0 的准线方程是 ．7．过抛物线焦点 F 的直线与抛物线交于 A 、B 两点，若 A 、B 在准线上的射影是 A 2，B 2，则∠A 2FB 2等于 ．1～5 BABAD【能力提高】8．抛物线顶点在原点，它的准线经过双曲线22221x y a b-=的一个焦点，并且这条准线与双曲线的实轴垂直，又抛物线与双曲线交于点362⎛⎫ ⎪⎝⎭，，求二者的方程．9．顶点在坐标原点，焦点在x轴上的抛物线被直线y=2x+1截得的弦长为15，求抛物线的方程．p>的焦点F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准10．设抛物线y2=2px()0线上，且B C∥轴．证明：直线AC经过原点O．§2.3.2 抛物线的简单几何性质（二）【例题精讲】【例１】过抛物线y2=2x的顶点作互相垂直的二弦O A、OB．（1）求A B中点的轨迹方程．（2）证明：AB与x轴的交点为定点．【例２】已知点 A （2，8），B （x 1，y 1），C （x 2，y 2）在抛物线 y 2=2px 上，△ABC 的重心与此抛 物线的焦点 F 重合．（1）写出该抛物线的方程和焦点F 的坐标； （2）求线段BC 中点 M 的坐标； （3）求 B C 所在直线的方程．【例 3】抛物线 y =－x 2上的点到直线 4x +3y －8=0距离的最小值是（ ）A ．43 B ．75 C ．85D ．3【基础达标】1．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是坐标轴，且焦点在直线 3x －4y －12=0时，则此抛物线的方 程是（ ）A ．y 2=16xB ．x 2=－12yC ．y 2=8x 或x 2=－6yD ． y 2=16x 或x 2=－12y 2．抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，点()5,25-到焦点距离是6，则抛物线的方程为（ ） A ．y 2=－4x B 、y 2=－2x C 、 y 2=2x D 、 y 2=－4x 或x 2=－36y 3．在抛物线 y =x 2上有三点 A 、B 、C ，其横坐标分别为－1，2，3，在y 轴上有一点D 的纵坐标为 6，那么以 A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是（ ）A ．正方形B ．平行四边形C ．菱形D ．任意四边形4．抛物线 y 2=4x 的焦点F ，准线为l ，交 x 轴于 R ，过抛物线上一点 P （4，4）作 P Q ⊥ l 于Q ，则梯形 PFRQ 的面积是（ ）A ．12B ．14C ．16D ．18 5．抛物线 y 2=－4x 关于直线 x +y =2对称的曲线的顶点坐标为（ ）A ．（2，2）B ．（0，0）C ．（－2，－2）D ．（2，0） 6．若动点M （x ，y ）到点F （4，0）的距离比它到直线x +5=0的距离小1，则M 点的轨迹方程 是 ．7．抛物线y 2=4x 的弦AB 垂直于x 轴，若AB 的长为43，则焦点到AB 的距离为 ．1～5 DABBA【能力提高】8．经过抛物线 y 2=－8x 的焦点且和抛物线的对称轴成 60°角的直线与抛物线交 A 、B 两点，求|AB |．9．求过A（－1，1），且与抛物线y=x2+2有一个公共点的直线方程．10．已知抛物线C：y=x2+4x+72，过C上一点M，且与M处的切线垂直的直线称为C在点M的法线．若C在点M的法线的斜率为12-，求点M的坐标（x0，y0）．第二章圆锥曲线复习（一）【知识要点】●椭圆定义，椭圆的标准方程，椭圆的性质．●双曲线的定义，双曲线的标准方程及特点，双曲线的几何性质．●抛物线定义，抛物线的几何性质．【例题精讲】【例1】椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且这个焦点到长轴上较近顶点的距离是105-，求椭圆方程．【例 2】已知双曲线2214x y -=和定点12,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭． （Ⅰ）过 P 点可以做几条直线与双曲线 C 只有一个公共点；（Ⅱ）双曲线C 的弦中，以 P 点为中点的弦 P 1P 2是否存在? 并说明理由．【例 3】已知点 A （0，2）及椭圆22+14x y =，在椭圆上求一点 P 使PA 的值最大．【例 4】己知点P 在抛物线 x 2=y 上运动，Q 点的坐标是（－1，2），O 是原点，OPQR （O 、P 、Q 、R顺序按逆时针）是平行四边形，求 R 点的轨迹方程．【基础达标】1．平面上到定点 A (1，1)和到定直线 l ：x +2 y =5距离相等的点的轨迹为（ ）A．直线B．抛物线C．双曲线D．椭圆2．若椭圆2kx2＋ky2=1 的一个焦点坐标是（0，4），则k的值为（）A．18B．132C．2D．3163．椭圆22+1259x y=上的点M到焦点F1的距离是2，N是M F1的中点，则ON为（）A．4 B．2 C．8 D．3 24．如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么该双曲线的离心率为（）A．32B．62C．32D．25．椭圆22+1259x y=的两焦点F1，F2，过F2引直线L交椭圆于A、B两点，则△ABF1的周长为（）A．5 B．15 C．10 D．206．在抛物线y2=2px上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p的值为．7．若椭圆的两个焦点为F1(－4，0)、F2(4，0)，椭圆的弦A B过点F1，且△ABF2的周长为20，那么该椭圆的方程为．1～5 BBACD【能力提高】8．若双曲线的两条渐进线的夹角为60°，求该双曲线的离心率．9．正方形的一条边A B在直线y=x+4上，顶点C、D在抛物线y2=x上，求正方形的边长．10．若椭圆x2+4（y－a）2=4与抛物线x2=2y有公共点，求实数a的取值范围．第二章 圆锥曲线复习（二）【例题精讲】【例 1】已知直线 l 交椭圆22+12016x y =于 M 、N 两点，B （0，4）是椭圆的一个顶点，若△BMN 的重心恰是椭圆的右焦点，求直线 l 的方程．【例 2】已知倾斜角为4π的直线 l 被双曲线 x 2－4y 2=60截得的弦长82AB =，求直线l 的方程及以AB 为直径的圆的方程．【例 3】已知直线l ：x =－1，点F （1，0），以F 为焦点，l 为准线的椭圆中，短轴一端点为B ，P为FB 的中点．（Ⅰ）求 P 点的轨迹方程，并说明它是什么曲线； （Ⅱ）M （m ，0）为定点，求｜PM ｜的最小值．【例 4】已知两定点A （－2，0），B （1，0），如果动点P 满足2PA PB =，求点P 的轨迹所包围的图形的面积．【基础达标】1．已知 M （－2，0），N （2，0），4P M P N -=，则动点P 的轨迹是（ ）A ．双曲线B ．双曲线左支C ．一条射线D ．双曲线右支2．若圆 x 2+y 2=4上每个点的横坐标不变．纵坐标缩短为原来的13，则所得曲线的方程是（ ） A ．22+1412x y = B ．22+1436x y = C ．229+144x y = D ．22+1364x y = 3．已知 F 1，F 2是椭圆22+1169x y =的两焦点，过点F 2的直线交椭圆于点A ，B ，若5AB =，则12AF BF -=（ ）A ．3B ．8C ．13D ．164．曲线()()22346225x y x y ---+-=的离心率为（ ） A ．110 B ．12C ．2D ．无法确定5．抛物线y2=14x 关于直线x－y=0对称的抛物线的焦点坐标是（）A．（1，0）B．116⎛⎫⎪⎝⎭，C．（0，1）D．116⎛⎫⎪⎝⎭，6．与椭圆4x2+ 9y2=36有相同的焦点，且过点(－3，2)的椭圆方程为．7．以双曲线22145x y-=的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是．1～5 C CABD 【能力提高】8．设F1，F2为双曲线2214xy-=的两个焦点，点P在双曲线上且满足∠F1PF2=90°，求△F1PF2的面积．9．设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，求直线l的斜率的取值范围．10．设椭圆22+162x y=和双曲线2213xy-=的公共焦点为F1，F2，P是两曲线的一个公共点，求cos∠F1PF2的值．。
高二文科数学选修1-1圆锥曲线与方程
高二文科数学选修1-1圆锥曲线与方程 第1课 椭圆及其标准方程（一）\一、学习目标理解椭圆的定义；了解椭圆标准方程推导过程，理解椭圆标准方程的结构特征，能够根据所给的条件求椭圆的标准方程. 二、自主学习阅读教材P 32—P 34，解决下列问题： 1. (1) 按教材P 32的探究要求画出图形.(2)观察曲线绘制的过程，思考移动的笔尖（动点）满足的几何条件？(3)提炼：椭圆的定义：(4) 根据椭圆的几何特征，选择适当的坐标系，求椭圆方程.（5）在已建好坐标系的椭圆的图形中找出表示,a c 的线段.2. 若椭圆221259x y +=上一点P 到一个焦点的距离为5，则点P 到另一个焦点的距离是 . 3.若 4,1a b ==，焦点在x 轴上的椭圆标准方程是 .三、课堂互动（一）展示、讨论自主学习问题（二）典例分析例1 经过椭圆2212516x y +=的右焦点2F 作垂直于x 轴的直线AB ，交椭圆于A 、B 两点，1F 是椭圆的左焦点.求1AF B ∆的周长.变式练习：例1中，若AB 不垂直于x 轴，1AF B ∆的周长有变化吗？为什么？例2 已知椭圆的两个焦点坐标分别是(2,0)-，(2,0)，并且经过点53(,)22-，求它的标准方程.变式练习：4,a c ==y 轴上的椭圆标准方程.（三）课堂总结四、课后练习1.如果椭圆22110036x y +=上一点P 到焦点1F 的距离为6，则点P 到另一个焦点2F 的距离是________.2. 已知10,a b c +==，求椭圆的标准方程.3. 求焦点在x 轴上，焦距为4，并且经过点(3,P -的椭圆的标准方程.第2课 椭圆及其标准方程（二）一.学习目标理解椭圆的定义,掌握椭圆标准方程的特征，能运用椭圆的定义与标准方程解答简单问题.二.自主学习阅读教材P 34—P 36，并回答下列问题： 1.已知两定点12(2,0),(2,0)F F -.（1）若动点P 到两定点的距离和为3，则动点P 的轨迹 ；（2）若动点P 到两定点的距离和为4，则动点P 的轨迹方程是 ； （3）若动点P 到两定点的距离和为6，则动点P 的轨迹方程是 . 2.已知两定点12(,0),(,0)F c F c -，若动点P 到两定点的距离和为2a ，则动点P 的轨迹是什么图形？3. 已知12,F F 是定点，12||F F m =，动点P 满足12||||10PF PF +=，若点P 的轨迹是椭圆，则m 的取值范围是 .4.“112a <<”是“方程221x ay +=表示焦点在y 轴上的椭圆”的 （ ） A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件三.课堂互动（一）展示、讨论自主学习问题（二）典例分析例 1 在圆224x y +=上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足,当点P 在圆上运动时，求线段PD 的中点M 的轨迹是什么？变式练习：在圆224x y +=上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足,点M 在DP 的延长线上，且2=DPDM .当点P 在圆上运动时，求点M 的轨迹方程,并说明轨迹的形状.例2 设点A 、B 的坐标分别为(5,0),(5,0)-，直线,AM BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是49-，求点M 的轨迹方程.变式练习：设点A B 、的坐标分别为(1,0),(1,0)-，直线,AM BM 相交于点M ，且直线AM 的斜率与BM 的斜率之商是2，求点M 的轨迹是什么？（三）课堂总结四.课后练习1.已知M 为椭圆221259x y +=上一点，1F 为椭圆的一个焦点，且1||2MF =，N 为1MF 的中点，则||ON = .2.如果点(),M x y 10=，那么点M 的轨迹是 ，其方程是 .3.求中心在原点，且经过两点12(P P 的椭圆的标准方程.第3课 椭圆的简单几何性质（一）一.学习目标理解椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等简单的几何性质；理解标准方程中,,a b c 的几何意义，以及,,,a b c e 的相互关系，能够求解与之相关的简单问题. 二.自主学习阅读教材P 37—P 40，并回答下列问题：1.观察椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的图象形状，思考下面的问题：（1）由22221,1x y a b≤≤可得,x y 的范围是 ，即椭圆位于直线,x a y b=±=±所围成的矩形内. （2）以x -换x ，方程不变，可知椭圆关于 对称；以y -换y ，方程不变，可知椭圆关于 对称；,x y --换,x y 时方程不变，可知椭圆关于 对称.（3）椭圆的长轴长为 ，短轴长为 ，焦距为 ，且满足222a b c =+，焦点在x 轴上时，焦点坐标为 ，椭圆长轴顶点坐标为 ，短轴顶点坐标为 .2.椭圆的离心率e 的定义： .几何意义：由于c e a ==当e 越接近1，b 越小，椭圆越 ，当e 越接近0，b 越大，椭圆越 . 3. 求椭圆16422=+y x 的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点坐标，并画出图形.三.课堂互动（一）展示、讨论自主学习问题（二）典例分析例1 已知椭圆22(3)(0)x m y m m ++=>的离心率2e =，求m 的值及椭圆的长轴和短轴长、焦点坐标、顶点坐标.变式练习：已知方程22141x y m m +=--表示焦点在x 轴上的椭圆，求实数m 的取值范围.例2 求离心率e =(4,的椭圆标准方程.变式练习：求出例2中椭圆的范围.（三）课堂总结四.课后练习1.椭圆2228x y +=的离心率是 .2. 椭圆22936x y +=比2211612x y +=________（更圆或更扁）.3.已知椭圆中心在原点，焦点在x 上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，求此椭圆方程.第4课 椭圆的简单几何性质（二）一、学习目标掌握椭圆的简单几何性质，并能运用于解答简单的实际问题. 二、自主学习阅读教材P 40—P 41，并回答下列问题：1. 已知椭圆2211612x y +=，那么 （1）____,_____,_____,______a b c e ====；（2）中心坐标为 ，焦点坐标为 ，长轴顶点坐标为 ，短轴顶点坐标为 ；（3）x 的取值范围为 ，y 的取值范围为 ； （4）椭圆上的点到焦点的最小距离为 ，最大距离为 .2. 已知ABC ∆的顶点(4,0)A -和(4,0)C ，顶点B 在椭圆221259x y +=上，则s i n s i ns i n A C B+= .三、课堂互动（一）展示、讨论自主学习问题（二）典例分析例 1 一动圆与圆22650x y x +++=外切，同时与圆226910x y x +--=内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么曲线.变式练习：课本第40页例5.例2 点(),M x y 与定点()4,0F -的距离与它到直线25:4l x =-的距离的比是常数45，求点M 的轨迹.变式练习：设12F F 、是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，00(,)P x y 为椭圆上任意一点，试用横坐标0x 表示：1||PF = ；2||PF = .（三）课堂总结四、课后练习1.若焦点在x轴上的椭圆2212x ym+=的离心率为12，则m=（）32C.83D.232.12,F F是椭圆22197x y+=的两个焦点，A为椭圆上一点，且1245AF F∠=,则△12AF F的面积为（）A. 7B.74C.723. 已知12F F、为椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的两个焦点，过2F作椭圆的弦AB，若1AF B∆的周长为16，椭圆的离心率e=，则椭圆的方程是 .4.课本第42页第8题（不抄题，解答过程写在下面）.第5课椭圆的简单几何性质（三）一、学习目标能判定直线和椭圆的位置关系，能解直线与椭圆相交时的简单弦长问题.二、自主学习回顾直线与圆的位置关系，以及相关问题的解法，并回答下列问题：1. 直线320x y-+=与圆229x y+=的位置关系是 .2.直线320x y-+=与椭圆221164x y+=的位置关系是 .3. 直线2y x=+与圆229x y+=相交所得弦的中点坐标是 .4.直线2y x=+与椭圆22194x y+=相交所得弦的中点坐标是 .三、课堂互动（一）展示、讨论自主学习问题（二）典例分析例1 经过椭圆2212xy+=的左焦点1F作倾斜角为3π的直线l，直线l与椭圆相交于A、B两点，求线段AB 的长.变式练习：已知点11,2M ⎛⎫- ⎪⎝⎭为椭圆2212x y +=内一点，求以M 为中点的弦的直线方程.例 2 已知椭圆2213x y +=，直线:2360l x y +-=.椭圆上是否存在一点，它到直线l 的距离最小？最小距离是多少？变式练习：已知椭圆22142x y +=，点(5,0)M .过M 作椭圆的切线，求切线方程.（三）课堂总结四、课后练习1. 椭圆2224x y +=，以(1,1)为中点的弦的弦长为 .2. 椭圆的焦点为12,F F ，过1F 的最短弦PQ 的长为10，2PF Q ∆的周长为36，则此椭圆的离心率为 .3. 椭圆221164x y +=上的点到直线20x y +的最大距离是（ ）A. 3 C.*4. 椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，过其右焦点F 作斜率为1的直线l 交椭圆于A 、B 两点，若椭圆上存在一点C ，使OA OB OC +=. （1）求椭圆的离心率；（2）若||15AB =，求这个椭圆的方程.第6课 双曲线及其标准方程（一）一.学习目标了解双曲线的定义及标准方程；会按特定条件求双曲线的标准方程. 二.自主学习阅读教材P 45—P 47，解决下列问题：1. 平面内与两个定点12,F F 的距离和等于常数（大于12||F F ）的点的轨迹叫做椭圆.那么，平面内与两个定点12,F F 的距离的差等于常数（小于12||F F ）的点的轨迹又是什么呢？2.观察分析： 观察拉链绘制曲线的过程，思考移动的笔尖（动点）满足的几何条件？提炼定义：双曲线的定义：方程推导：根据双曲线的几何特征，选择适当的坐标系，推导双曲线的方程.3.,,a b c 的几何意义： 在已建好坐标系的双曲线的图形中找出表示,a c 的线段.三.课堂互动（一）展示、讨论自主学习问题（二）典例分析例 1 求适合下列条件的双曲线的标准方程：（1）以椭圆221259x y +=的长轴端点为焦点，过点P ；（2）14,10a b c +==.变式练习：求适合下列条件的双曲线的标准方程：（1）焦点在x 轴上，经过点(,⎝；（2）焦点为()()0,6,0,6-，且经过点()2,5-.例2 已知ABC ∆的底边BC 的长为12，且底边固定，顶点A 是动点，并且满足1sin sin sin 2B C A -=，求点A 的轨迹.变式练习：已知ABC ∆的底边BC 的长为12，且底边固定，顶点A 是动点，并且满足 sin sin 2sin B C A +=，求点A 的轨迹.（三）课堂总结四.课后练习1. 已知两定点12(5,0),(5,0)F F -，动点P 满足12||||2PF PF a -=，3a =和5a =时，点P 的轨迹分别是 （ ）A .双曲线和一条直线B .双曲线和一条射线C .双曲线的一支和一条射线D .双曲线的一支和一条直线2.已知双曲线的左、右焦点分别为1F 、2F ，在左支上过1F 的弦AB 长为5，若28a =，那么2ABF ∆的周长是（ ）A. 16B. 18C. 21D. 263.求经过点(3,P 和(7)Q --的双曲线的标准方程.第7课 双曲线及其标准方程（二）一.学习目标理解双曲线的定义及标准方程，能够运用于解答简单的实际问题. 二.自主学习重读教材P 45—P 47，解决下列问题：1. 焦点在x 轴上，4,3a b ==的双曲线的标准方程是 .2. 焦点在y 轴上，4,5a c ==的双曲线的标准方程是 .3.已知1F 、2F 是双曲线221916x y -=的左、右焦点，点P 在此双曲线上，若110PF =，则2______PF =.三、课堂互动（一）展示、讨论自主学习问题（二）典例分析例1 求经过两点(()7,,B --的双曲线的标准方程.变式练习：求焦点在x 轴上，a =()5,2A -的双曲线的标准方程.例 2 已知A 、B 两点相距1200m ，在A 地听到炮弹爆炸声比B 地晚3s ，且声速为340/m s ，求炮弹爆炸点的轨迹方程.变式练习：如果A 、B 两地同时听到爆炸声，那么爆炸点在什么曲线上？为什么？（三）课堂总结四.课后练习1.已知方程22121x y m m -=++表示双曲线，则实数m 的取值范围是 . 2.若椭圆22214x y a +=与双曲线2212x y a -=有相同的焦点，则a = .3.已知12,F F 是双曲线221169x y -=的左，右焦点，PQ 是过焦点1F 且与左支相交的弦，那么22||||||PF QF PQ +-的值为 .4.课本第54页第5题（不抄题，解题过程写在下面）.第8课 双曲线的简单几何性质（一）一、学习目标理解双曲线的简单几何性质，能够求“四量、四点、四线”及标准方程. 二、自主学习阅读教材P 49—P 51，解决下列问题：1. 观察双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的图象形状，思考下面的问题：（1）x 的取值范围是 ；（2）以x -换x ，y -换y ，,x y --换,x y 时方程不变可知双曲线关于 对称. （3）双曲线的实轴长为 ，虚轴长为 ，焦距为 ，且满足222a cb =-，实轴顶点坐标为 ，虚轴端点坐标为 . (4)渐近线方程为 .(5)离心率e = ，且e 越大，双曲线开口越 .2. 双曲线22832x y -=的实轴长为 ，虚轴长为 ，顶点坐标是 ，焦点坐标是 ，离心率 ，渐近线方程为 .3.2214925x y -=- 的实轴长为 ，虚轴长为 ，顶点坐标是 ，焦点坐标是 ，离心率 ，渐近线方程为 . 三、课堂互动（一）展示、讨论自主学习问题（二）典例分析例1 求双曲线22916144x y -=的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程，并作出草图.变式练习：求双曲线22916144x y -=-的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程，并作出草图.例 2 求适合下列条件的双曲线的标准方程：（1）实轴长为8，焦点在x 轴上，且离心率54e =；（2）与双曲线2212x y -=有共同的渐近线，且过点(2,2)P -.变式练习：求适合条件：实轴长是虚轴长的2倍，且过点(3,1)P 的双曲线的标准方程.（三）课堂总结四、课后练习1.双曲线2233x y -=的渐近线方程是 .2.以椭圆22185x y +=的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程是 . 3.已知双曲线的离心率为2，焦点是(4,0)-、(4,0)，则双曲线的方程是 .4.已知双曲线2214x y m -=的一条渐近线方程为2y x =，则实数m = . 5.双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为12F F 、，且012120F MF ∠=，则双曲线的离心率e = .第9课 双曲线的简单几何性质（二）一.学习目标理解双曲线的简单几何性质，与定义、标准方程结合，能够运用于解答与焦点三角形相关的问题. 二.自主学习阅读教材P 51—P 53，解决下列问题：1.双曲线22816x y -=的实轴长为____，虚轴长为____，顶点坐标为___________，焦点坐标为___________，离心率为___________；渐近线为___________. 2. 双曲线的两个顶点将焦距三等分，则它的离心率为( )A. 32B. 3C. 433. 过双曲线的一个焦点2F 作垂直于实轴的弦1,PQ F 是另一焦点，若12PF Q π∠=,则双曲线的离心率e 等于（ ）112 三.课堂互动（一）展示、讨论自主学习问题（二）典例分析例 1 设P 为双曲线22112y x -=上的一点，12F F 、是该双曲线的两个焦点.若12||:||3:2PF PF =，求12F PF ∆的面积.变式练习：设P 为双曲线22112y x -=上的一点，12F F 、是该双曲线的两个焦点， 若01290F PF ∠=，求12F PF ∆的面积.例2 点(),M x y 到定点()5,0F -的距离和它到直线16:5l x =-的距离的比是常数54，求点M 的轨迹.变式练习：点(,)M x y 到定点(3,0)F 的距离和它到定直线5:3l x =的距离的比是常数5，点M 的轨迹方程是 ，轨迹是 .（三）课堂总结四、课后练习1.设P 是双曲线222212x y b-=上一点，双曲线的一条渐近线方程为320x y -=，1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点.若1||3PF =，则2||PF = .2.双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率= .3.已知定点,A B ，且||4AB =，动点P 满足||||3PA PB -=，则||PA 的最小值是 .4.求经过点()3,1A -，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程.第10课 双曲线的简单几何性质（二）一.学习目标会判定直线和双曲线的位置关系，能够解答直线与双曲线相交时的弦长等问题. 二.自主学习重读教材P 49—P 53，解决下列问题：1.直线:21l y x =-与双曲线22:981C x y -=的位置关系是__________.2. 经过点1(,2)2且与双曲线2241x y -=仅有一个公共点的直线方程是 .3.过双曲线16322=-y x 的左焦点1F ，倾斜角为4π的直线交双曲线于A,B 两点，则_______AB =.三.课堂互动（一）展示、讨论自主学习问题（二）典例分析例1 已知点1(,2)2P 与双曲线2241x y -=，求以P 为中点的弦所在的直线方程.变式练习：已知点1(,2)2P 与双曲线2241x y -=，求过点P 、倾斜角为4π的直线被此双曲线所截得的弦长.例2 过点(0,2)的直线l 与双曲线226x y -=的左支交于不同的两点，求直线l 的斜率的取值范围变式练习：过点(0,2)的直线l 与双曲线226x y -=的交于不同的两点，求直线l 的斜率的取值范围（三）课堂总结四.课后练习1.已知双曲线22:22C x y -=，(1,1)Q ，试判断以Q 为中点的弦是否存在.2.已知椭圆1C 的方程为2214x y +=，双曲线2C 的左右焦点分别是1C 的左右顶点，而2C 的左右顶点分别是1C 的左右焦点.（1）求双曲线2C 的方程；*（2）若直线:l y kx =+2C 恒有两个不同的交点A 和B ，且2OA OB >（其中O 为原点），求k 的取值范围.第11课 抛物线及其标准方程一.学习目标理解抛物线的定义、标准方程.能够应用于求解标准方程和简单的应用性问题. 二.自主学习阅读教材P 56—P 59，解决下列问题：1.抛物线的定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l （F 不在l 上）的距离相等的点的轨迹叫做 ；点F 为 ；直线l 为 .2. 选择不同的坐标系得到不同形式的抛物线标准方程如下表：3. 焦点是(3,0)F 的抛物线的标准方程是 .4.22x y =的焦点坐标是 ，准线方程是 . 三.课堂互动（一）展示、讨论自主学习问题（二）典例分析例1 （1）已知抛物线的方程是2250y x +=，求它的焦点坐标和准线方程；（2）求抛物线的焦点在y 轴上，抛物线上一点(,4)M a -到焦点F 的距离为5的标准方程.变式练习：（1）已知抛物线的焦点是)2,0(-F ，求它的标准方程；（2）求过点(2,4)P -的抛物线的标准方程.例2 一种卫星接收天线的轴截面如课本图2.33-.卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处.已知接收天线的口径为5.0m ，深度为0.6m .试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标.变式练习：课本第63页练习第3题.（三）课堂总结四.课后练习1.抛物线22(0)y px p =>上一点M 到焦点距离是()2p a a >,则点M 到准线的距离是 ，点M 的横坐标是 .2.抛物线2430x y +=的准线方程是 .3.已知抛物线焦点到准线的距离为4，焦点在x 轴上，则其标准方程是 .4. 点M 到点(4,0)F 的距离比它到直线:50l x +=（点F 不在直线l 上）的距离小1，求点M 的轨迹方程.*5.研究性学习：试探究抛物线223y x x =--的顶点、焦点坐标.第12课 抛物线的简单几何性质（一）一.学习目标理解抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质；能根据抛物线的几何性质解答与标准方程、焦准梯形相关的问题.二.自主学习阅读教材P 60—P 61，解决下列问题：1. 根据抛物线的方程22(0)y px p =>，研究它的几何性质：（1）范围： （2）对称性：（3）顶点： （4）离心率：（5）通径： （6）p 的几何意义：2. 准线方程为2=x 的抛物线的标准方程是 .3. 抛物线x y 82=上到焦点的距离等于6的点的坐标是 .三.课堂互动（一）展示、讨论自主学习问题（二）典例分析例 1 已知抛物线关于x 轴对称，顶点在坐标原点，并且经过点(2,M --，求该抛物线的方程，并用描点法画出图形.变式练习：顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，并且经过点(2,M -的抛物线有几条？求出它们的标准方程.例2 已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5.（1）求抛物线方程；（2）过焦点F 作倾斜角为045的直线，交抛物线于,A B 两点，求AB 的中点C 到抛物线焦点的距离.变式练习：例2（3）试判断以AB 为直径的圆与此抛物线准线的位置关系.（三）课堂总结四.课后练习1. 抛物线062=-x y 的焦点坐标是 ，准线方程是 .2. 顶点在原点，对称轴是y 轴，并经过点)3,6(--P 的抛物线的标准方程是 .3. 抛物线的顶点在原点，以坐标轴为对称轴，过焦点且与y 轴垂直的弦长为16，抛物线的方程为 .4. 过抛物线24y x =的焦点作直线交抛物线于1122(,),(,)A x y B x y 两点，如果126x x +=，那么||AB 等于 .5. 抛物线)0(22>=p px y 上一点M 到焦点F 的距离p MF 2||=，求点M 的坐标. 第12课 抛物线的简单几何性质（一）一.学习目标理解抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质；能根据抛物线的几何性质解答与标准方程、焦准梯形相关的问题.二.自主学习阅读教材P 60—P 61，解决下列问题：1. 根据抛物线的方程22(0)y px p =>，研究它的几何性质：（1）范围： （2）对称性：（3）顶点： （4）离心率：（5）通径： （6）p 的几何意义：2. 准线方程为2=x 的抛物线的标准方程是 .3. 抛物线x y 82=上到焦点的距离等于6的点的坐标是 .三.课堂互动（一）展示、讨论自主学习问题（二）典例分析例 1 已知抛物线关于x 轴对称，顶点在坐标原点，并且经过点(2,M --，求该抛物线的方程，并用描点法画出图形.变式练习：顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，并且经过点(2,M -的抛物线有几条？求出它们的标准方程.例2 已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5.（1）求抛物线方程；（2）过焦点F 作倾斜角为045的直线，交抛物线于,A B 两点，求AB 的中点C 到抛物线焦点的距离.变式练习：例2（3）试判断以AB 为直径的圆与此抛物线准线的位置关系.（三）课堂总结四.课后练习1. 抛物线062=-x y 的焦点坐标是 ，准线方程是 .2. 顶点在原点，对称轴是y 轴，并经过点)3,6(--P 的抛物线的标准方程是 .3. 抛物线的顶点在原点，以坐标轴为对称轴，过焦点且与y 轴垂直的弦长为16，抛物线的方程为 .4. 过抛物线24y x =的焦点作直线交抛物线于1122(,),(,)A x y B x y 两点，如果126x x +=，那么||AB 等于 .5. 抛物线)0(22>=p px y 上一点M 到焦点F 的距离p MF 2||=，求点M 的坐标. 第14课 章节复习一.学习目标建立本章知识结构图，掌握圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质，掌握直线与圆锥曲线位置关系判断与相关问题的解法，体会其中蕴涵的坐标法思想和数形结合思想.二.自主学习1.阅读教材P 66—P 67，填充第67页表格.2.列出本章基本题型及其解法：三.课堂互动（一）展示、讨论自主学习问题（二）典例分析例1 双曲线的离心率为2，且与椭圆22194x y +=有公共焦点，求此双曲线的方程.例2 课本第68页A 组第1题.()()2212121212 1124cos 11()23x y C F F Q F QF A A Q A Q k k A Q +=∠∈--例3已知椭圆：，、是其左、右焦点．Ⅰ若为椭圆上的动点，求的最小值；Ⅱ若、分别是椭圆长轴的左、右端点，为椭圆上的动点，设直线的斜率为，且，，求直线的斜率的取值范围．（三）课堂总结四.课后练习1.设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值范围是__________.2．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率是__________.3.设椭圆2222:1(0x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，上顶点为A ，过点A 作垂直于AF 的直线交椭圆C 于另外一点P ，交x 轴正半轴于点Q ， 且85AP PQ =.（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）若过A 、Q 、F 三点的圆恰好与直线l ：053=-+y x 相切，求椭圆C 的方程.。
(人教版)高中数学选修1-1课件：第2章 圆锥曲线与方程2.1.2.1
合作探究 课堂互动
由方程确定椭圆的性质
•
已知椭圆的方程为4x2＋9y2＝36.
• (1)求椭圆的顶点坐标、焦点坐标、长轴长、短轴长以及离心率；
• (2)结合椭圆的对称性，运用描点法画出这个椭圆．
[思路点拨] (1) 化为标准方程 → 求出a，b，c → 焦点位置 → 得其几何性质
(2) 将方程变形 → 列表 → 描点 → 得出图形
__ay_22＋__bx_22＝__1_(a_>_b_>_0_) ____
图形
范围 ___－__a_≤__x_≤__a_，__－__b_≤__y_≤__b____ －__b_≤__x≤__b_，__－_a_≤__y≤__a_
顶点
___(_±__a_,0_)_，__(0_，__±__b_)___
____(_0_，__±__a_)，__(_±__b_,_0_) __
焦点的位置，这样便于直观地写出a，b的数值，进而求出c，求出椭圆的长轴和短
轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标等几何性质．
• (2)本题在画图时，利用了椭圆的对称性，利用图形的几何性质，可以简化画 图过程，保证图形的准确性．
1．已知椭圆 x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率 e＝ 23，求 m
的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．
(2)将方程变形为 y＝±23 9－x2(－3≤x≤3)． 由 y＝23 9－x2，在 0≤x≤3 的范围内计算出一些点的坐标(x， y)，列表如下：
x0123 y 2 1.9 1.5 0 先用描点法画出椭圆在第一象限内的部分图象，再利用椭圆 的对称性画出整个椭圆．
•
(1)求椭圆的性质时，应把椭圆化为标准方程，注意分清楚
新版高中数学人教A版选修1-1课件：第二章 圆锥曲线与方程 2.1.2.1
-1-
M 目标导航 UBIAODAOHANG
Z 知识梳理 HISHI SHULI
Z 重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
D 典例透析 IANLI TOUXI
1.掌握椭圆的范围、对称性、离心率等几何性质. 2.会根据椭圆的标准方程画出它的几何图形,能根据几何性质解 决一些简单的问题.
Z 知识梳理 HISHI SHULI
Z 重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
D 典例透析 IANLI TOUXI
可结合下列图形加强对上述说法的理解.
知识拓展 椭圆的离心率在一定程度上刻画了椭圆的扁平程度.
M 目标导航 UBIAODAOHANG
题型一 题型二 题型三 题型四
Z 知识梳理 HISHI SHULI
题型一 题型二 题型三 题型四
Z 知识梳理 HISHI SHULI
Z 重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
D 典例透析 IANLI TOUXI
解:把已知方程化成标准方程为
������2 25
+
������2
=
1,
这里a=5,b=1,所
以 c= 25-1 = 2 6.
因此,椭圆的长轴和短轴的长分别是2a=10和2b=2,两个焦点分别
D 典例透析 IANLI TOUXI
【做一做 2】 椭圆 x2+4y2=1 的离心率为( )
A.
3 2
B.
3 4
C.
2 2
D.
2 3
解析:椭圆方程化为标准形式是
x2+
������2
1
=
1, 则a2=1,b2=
1 4
,
高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.1 椭圆及其标准方程课件3 新人教A版选修1-1.ppt
x b
2 2
＝1
表示焦点在y轴上的椭圆，即焦点在哪个轴上相应的那个项的分母就
大．
17
【过关小练】 1.已知焦点坐标为(0,-4),(0,4),且a=6的椭圆方程是( )
x2 A.
y2
1
36 20
x2 y2 C. 1
36 16
x2 B.
y2
1
20 36
x2 y2 D. 1
16 36
【解析】选B.由条件知,椭圆的焦点在y轴上,且c=4,a=6,
13
➡根据以上探究过程，试着写出椭圆的标准方程：
1.焦点在x轴上：_xa_22___by_22__1__(a>b>0). 2.焦点在y轴上：__ay_22 __xb_22___1_(a>b>0).
14
【合作探究】 1.在推导椭圆方程时，为何要设|F1F2|=2c，常数为2a？为何令a2c2=b2？ 提示：在求方程时，设椭圆的焦距为2c(c>0)，椭圆上任意一点到两 个焦点的距离的和为2a(a>0)，这是为了使焦点及长轴两个端点的坐 标不出现分数形式，以便使推导出的椭圆的方程形式简单.令a2-c2=b2 是为了使方程的形式整齐而便于记忆.
8
【过关小练】 1.已知命题甲：动点P到两定点A，B的距离之和|PA|+|PB|=2a，其中 a为大于0的常数；命题乙：P点轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的
() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
9
【解析】选B.若P点轨迹是椭圆，则一定有|PA|+|PB|=2a(a>0，为常 数).所以甲是乙的必要条件.反过来，若|PA|+|PB|=2a(a>0，为常数)， 当2a>|AB|时，P点轨迹是椭圆；当2a=|AB|时，P点轨迹是线段AB；当 2a<|AB|时，P点的轨迹不存在，所以甲不是乙的充分条件.综上，甲 是乙的必要不充分条件.
高中数学新人教A版选修1-1课件：第二章圆锥曲线与方程2.1.1椭圆及其标准方程
离相等时,a,b,c(都是正数)恰好构成一个直角三角形的三条边,a是
斜边,所以a>b,a>c,且a2=b2+c2(如图所示).
2
2.两椭圆 2
2
+ 2=1, 2
2
+
2
2 =1(a>b>0)的比较
相同点:它们的形状、大小都相同,都有 a>b>0,a2=b2+c2;
探究一
探究二
探究三
思维辨析
自主解答:(1)因为椭圆的焦点在 x 轴上,所以设它的标准方程为
2
2
+
2
2 =1(a>b>0).
因为 2a= (5 + 4)2 + (5-4)2 =10,所以 a=5.
又 c=4,因此 b2=a2-c2=25-16=9.
2
2
故所求椭圆的标准方程为 + =1.
25
+ 6 > 0,
< -2 或 > 3,
所以
所以 a>3 或-6<a<-2.
> -6,
答案:D
2
探究一
探究二
探究三
思维辨析
求椭圆的标准方程
【例3】根据下列条件,求椭圆的标准方程:
(1)两个焦点的坐标分别为(-4,0)和(4,0),且椭圆经过点(5,0);
(2)焦点在y轴上,且经过两个点(0,2)和(1,0);
【做一做 2】 (1)椭圆方程 4y2+9x2=36 中,长半轴长为
短半轴长为
人教版数学高二同步文科选修1-1第二章椭圆的简单几何性质(二)
2．1.2椭圆的简单几何性质(二)[教材研读]预习课本P41例6，思考以下问题1．点与椭圆的位置关系如何判断？2．直线与椭圆的位置关系如何判断？[要点梳理]1．点与椭圆的位置关系点P(x0，y0)与椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的位置关系：点P在椭圆上⇔x20a2＋y20b2＝1；点P在椭圆内部⇔x20a2＋y20b2<1；点P在椭圆外部⇔x20a2＋y20b2>1.2．直线与椭圆的位置关系直线y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的位置关系判断方法：联立⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y 2b 2＝1.消去y 得到一个关于x 的一元二次方程．3.弦长公式设直线方程为y ＝kx ＋m (k ≠0)，曲线方程f (x ，y )＝0，直线与曲线的两个交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2， ∴|AB |＝(x 1－x 2)2＋(kx 1－kx 2)2 ＝1＋k 2(x 1－x 2)2＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2， 或|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1k y 1－1k y 22＋(y 1－y 2)2＝1＋1k 2(y 1－y 2)2＝1＋1k 2(y 1＋y 2)2－4y 1y 2.其中，x 1＋x 2，x 1x 2或y 1＋y 2，y 1y 2的值，可通过由直线方程与曲线方程联立消去y (或x )后得到关于x (或y )的一元二次方程求得．[自我诊断]判断(正确的打“√”，错误的打“×”)1．直线y ＝x ＋2与椭圆x 2m ＋y 23＝1有两个公共点，则m 的取值范围是m >1.( )2．椭圆2x 2＋3y 2＝m (m >0)的离心率为33.( )3．点A (2,2)在椭圆x 2＋4y 2＝36的内部．( ) [答案] 1.× 2.√ 3.√题型一 直线与椭圆的位置关系思考1：如何判断直线与椭圆的位置关系？ 提示：联立直线与椭圆方程，求解的个数． 思考2：如何求椭圆上的点到直线的最小距离？提示：把点到直线的距离转化为过该点的直线与已知直线的两平行直线间的距离．在椭圆x 24＋y 27＝1上求一点P ，使它到直线l ：3x －2y－16＝0的距离最短，并求出最短距离．[思路导引] 找点较难，所以找与直线l 平行且与椭圆相切的直线．[解] 设与椭圆相切并与l 平行的直线方程为 y ＝32x ＋m ， 代入x 24＋y 27＝1，并整理得4x 2＋3mx ＋m 2－7＝0，Δ＝9m 2－16(m 2－7)＝0⇒m 2＝16⇒m ＝±4， 故两切线方程为y ＝32x ＋4和y ＝32x －4， 显然y ＝32x －4距l 最近， d ＝|16－8|32＋(－2)2＝813＝81313， 切点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－74.本题将求最小距离问题转化为直线与椭圆的位置关系问题．解此类问题的常规解法是直线方程与椭圆方程联立，消去y 或x 得到关于x 或y 的一元二次方程，则(1)直线与椭圆相交⇔Δ>0；(2)直线与椭圆相切⇔Δ＝0；(3)直线与椭圆相离⇔Δ<0.所以判定直线与椭圆的位置关系，方程及其判别式是最基本的工具．[跟踪训练]已知椭圆x 2＋8y 2＝8，在椭圆上求一点P ，使P 到直线l ：x －y ＋4＝0的距离最短，并求出最短距离．[解] 设与直线x －y ＋4＝0平行且与椭圆相切的直线为x －y ＋a＝0，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋8y 2＝8，x －y ＋a ＝0，得9y 2－2ay ＋a 2－8＝0，Δ＝4a 2－36(a 2－8)＝0， 解得a ＝3或a ＝－3，∴与直线l 距离较近的切线方程为x －y ＋3＝0， 最小距离为d ＝|4－3|2＝22.由{ x 2＋8y 2＝8，x －y ＋3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－83，y ＝13，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－83，13.题型二 直线与椭圆的相交弦问题思考1：直线与椭圆的中点弦问题如何解决？ 提示：注意韦达定理的应用．思考2：如何求直线被圆锥曲线截得的弦长？提示：会应用弦长公式．已知点P (4,2)是直线l 被椭圆x 236＋y 29＝1所截得的线段的中点．(1)求直线l 的方程．(2)求直线l 被椭圆截得的弦长．[思路导引] 待定系数法，联立方程组，再由韦达定理求参数k ，然后由弦长公式求弦长．[解] (1)由题意可设直线l 的方程为y －2＝k (x －4)， 而椭圆的方程可以化为x 2＋4y 2－36＝0. 将直线方程代入椭圆方程有(4k 2＋1)x 2－8k (4k －2)x ＋4(4k －2)2－36＝0. 所以x 1＋x 2＝8k (4k －2)4k 2＋1＝8.所以k ＝－12.满足Δ>0.所以直线l 的方程为y －2＝－12(x －4)， 即x ＋2y －8＝0.(2)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －8＝0x 2＋4y 2＝36∴x 2－8x ＋14＝0，则x 1＋x 2＝8，x 1·x 2＝14，代入弦长公式 |AB |＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝10研究直线与椭圆相交的关系问题的通法是通过解直线与椭圆构成的方程，利用根与系数的关系或中点坐标公式解决．涉及弦的中点，还可使用点差法：设出弦的两端点坐标，代入椭圆方程，两式相减即得弦的中点与斜率的关系．[跟踪训练]已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交椭圆于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则椭圆E 的方程为__________________．[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入椭圆方程，有x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，两式相减得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2＝12，∵线段AB 的中点坐标为(1，－1)，∴b 2a 2＝12，∵右焦点为F (3,0)，c ＝3，∴a 2＝18，b 2＝9，∴椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1.[答案] x 218＋y 29＝1题型三 椭圆中的最值(范围)问题已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m .(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围； (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．[思路导引] 联立方程组，由解的个数确定m 的取值范围，再由韦达定理得弦长关于m 的函数．[解] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧4x 2＋y 2＝1，y ＝x ＋m得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0， 因为直线与椭圆有公共点， 所以Δ＝4m 2－20(m 2－1)≥0， 解得－52≤m ≤52.(2)设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点， 由(1)知：5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0， 所以x 1＋x 2＝－2m 5，x 1x 2＝15(m 2－1)， 所以|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝2(x 1－x 2)2＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝ 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤4m 225－45(m 2－1) ＝2510－8m 2.∴当m ＝0时，|AB |最大，即被椭圆截得的弦最长，此时直线方程为y ＝x .解析几何中的综合性问题很多，而且可与很多知识联系在一起出题，例如不等式、三角函数、平面向量以及函数的最值问题等．解决这类问题需要正确地应用转化思想、函数与方程思想和数形结合思想．其中应用比较多的是利用方程根与系数的关系构造等式或函数关系式，这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件．[跟踪训练]如图，点A 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的短轴位于y 轴下方的端点，过点A 且斜率为1的直线交椭圆于点B ，若P 在y 轴上，且BP ∥x 轴，AB →·AP →＝9.(1)若点P 的坐标为(0,1)，求椭圆C 的标准方程； (2)若点P 的坐标为(0，t )，求t 的取值范围． [解] ∵直线AB 的斜率为1，∴∠BAP ＝45°， 即△BAP 是等腰直角三角形，|AB →|＝2|AP →|. ∵AB →·AP →＝9，∴|AB →||AP →|cos45°＝2|AP →|2cos45°＝9，∴|AP →|＝3. (1)∵P (0,1)，∴|OP →|＝1，|OA →|＝2， 即b ＝2，且B (3,1)．∵B 在椭圆上，∴9a 2＋14＝1，得a 2＝12， ∴椭圆C 的标准方程为x 212＋y 24＝1.(2)由点P 的坐标为(0，t )及点A 位于x 轴下方，得点A 的坐标为(0，t －3)，∴t －3＝－b ，即b ＝3－t .显然点B 的坐标是(3，t )，将它代入椭圆方程得：9a 2＋t 2(3－t )2＝1，解得a 2＝3(3－t )23－2t. ∵a 2>b 2>0，∴3(3－t )23－2t>(3－t )2>0. ∴33－2t >1，即33－2t －1＝2t 3－2t>0， ∴所求t 的取值范围是0<t <32.课堂归纳小结解决直线与椭圆的位置关系问题，经常利用设而不求的方法，解题步骤为(1)设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)；(2)联立直线与椭圆的方程；(3)消元得到关于x 或y 的一元二次方程；(4)利用根与系数的关系设而不求；(5)把题干中的条件转化为x 1＋x 2，x 1·x 2或y 1＋y 2，y 1·y 2，进而求解.1．直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定[解析] ∵直线y －1＝k (x －1)，即直线恒过(1,1)点，又∵19＋14<1，∴点(1,1)在椭圆内，所以选B.[答案] B2．椭圆mx 2＋ny 2＝1与直线y ＝1－x 交于M ，N 两点，过原点与线段MN 中点所在直线的斜率为22，则m n 的值是( ) A.22 B.233 C.922 D.2327[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧ mx 2＋ny 2＝1，y ＝1－x 消去y 得，(m ＋n )x 2－2nx ＋n －1＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 中点为(x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝2n m ＋n，∴x 0＝n m ＋n ，代入y ＝1－x 得y 0＝m m ＋n .由题意y 0x 0＝22，∴m n ＝22，选A.[答案] A3．若直线mx ＋ny ＝4和⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( )A ．2个B ．至多一个C ．1个D ．0个[解析] ∵直线mx ＋ny ＝4与圆x 2＋y 2＝4没有交点，∴4m 2＋n2>2，即m 2＋n 2<4，又∵m 29＋n 24<m 29＋4－m 24＝1－5m 236<1，∴点P 在椭圆内．故直线与椭圆有2个交点．[答案] A4．已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )A ．(0,1)B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 [解析] ∵MF 1→⊥MF 2→，∴点M 在以F 1F 2为直径的圆上，又点M在椭圆内部，∴c <b ，∴c 2<b 2＝a 2－c 2，即2c 2<a 2，∴c 2a 2<12，即c a <22.又e >0，∴0<e <22.[答案] C 5．已知斜率为1的直线l 过椭圆x 24＋y 2＝1的右焦点，交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长．[解] ∵a 2＝4，b 2＝1，∴c ＝a 2－b 2＝3， ∴右焦点F (3，0)，∴直线l 的方程y ＝x － 3.由⎩⎨⎧ y ＝x －3，x 24＋y 2＝1，消去y 并整理，得5x 2－83x ＋8＝0. 设直线l 与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝835，x 1x 2＝85， ∴|AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝ 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫8352－4×85＝85， 即弦AB 的长为85.。
人教版A版高中数学选修1-1第二章 圆锥曲线与方程2.1 椭圆 信息技术应用《几何画板》探究点的轨迹---椭圆教
x2 a2
+
y2 b2
=1
(a>b>0)
y2 a2
+
x2 b2
=1(a>b>0)
3.椭圆的几何性质：
e c (0 e 1) a
课件名
用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆
概念重温
1.如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内 一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与 OM交于点P，则点P的轨迹是
课课件件名 名
用《几何画板》探用究《几点何画的板》轨探迹究点：的轨椭迹：圆椭圆
焦半径公式：
焦点在x轴：｜MF1| = a + ex , 左加右减
|MF2| = a - ex
焦点在y轴：｜MF1| = a + ey , 下加上减
|MF2| = a - ey
课课件件名 名
用《几何画板》探用究《几点何画的板》轨探迹究点：的轨椭迹：圆椭圆
椭圆的第二定义
1、定义：平面内到一个定点F和一条定直线 l
（F不在 l上） 的距离的比为常数e(0<e<1)的点
M的轨迹，叫椭圆。定点F叫焦点，定直线 l 叫准 线。
2、定义式：
_|_M___F__1_|_ d1
=e
_|_M___F__2_|_ d2
=e
左对左，右对右
课件名
用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆
椭圆的方程与准线方程
x2 a2
+
y2 b2
=1
左对左，右对右
右准线 方程：
x=
a2 c
左准线 方程：
x=-ac2
左准线 左准线 右准线
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高中数学人教版选修1-1（文科）第二章圆锥曲线与方程 2.1.1 椭圆及其标准方程
A卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共8题；共16分)
1. （2分） (2017高二上·临淄期末) 已知椭圆C1： =1（a＞b＞0）与双曲线C2：x2﹣ =1有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点．若C1恰好将线段AB三等分，则（）
A . a2=
B . a2=3
C . b2=
D . b2=2
2. （2分） (2016高二上·黄石期中) 双曲线 =1和椭圆 =1（a＞0，m＞b＞0）的离心率互为倒数，那么以a，b，m为边长的三角形是（）
A . 锐角三角形
B . 钝角三角形
C . 直角三角形
D . 等腰三角形
3. （2分） (2016高二上·临漳期中) 已知椭圆的两个焦点是（﹣3，0），（3，0），且点（0，2）在椭圆上，则椭圆的标准方程是（）
A .
B .
C .
D .
4. （2分）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则p的值为（）
A . －2
B . 2
C . －4
D . 4
5. （2分）如果表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（）
A . (0，+∞)
B . (0,2)
C . (1，+∞)
D . (0,1)
6. （2分）椭圆=1的焦点为F1 ，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标是（）
A .
B .
C .
D .
7. （2分）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆的圆心在（）
A . 一个椭圆上
B . 一条抛物线上
C . 双曲线的一支上
D . 一个圆上
8. （2分）(2016·潮州模拟) 设F1 ， F2为椭圆C： +y2=1的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=2|PF2|，则cos∠F1PF2=（）
A .
B .
C . ﹣
D . ﹣
二、填空题 (共3题；共3分)
9. （1分） (2017高二上·西安期末) 曲线（θ为参数）上一点P到点A（﹣2，0）、B（2，0）距离之和为________．
10. （1分） (2018高二下·陆川月考) 已知椭圆的左、右焦点分别为，椭圆上的点P满足，则的面积为________.
11. （1分） (2017高二上·绍兴期末) 设F1 ， F2分别为椭圆 +y2=1的焦点，点A，B在椭圆上，若
=5 ；则点A的坐标是________．
三、解答题 (共3题；共35分)
12. （10分）(2019·新乡模拟) 设椭圆的右顶点为，上顶点为 .已知椭圆的焦
距为，直线的斜率为 .
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线（）与椭圆交于，两点，且点在第二象限. 与延长线交于点，若的面积是面积的倍，求的值.
13. （10分） (2018高二上·寿光月考) 已知长方形，， .以的中点为原点建立如图所示的平面直角坐标系 .
（1）求以、为焦点，且过、两点的椭圆的标准方程；
（2）过点的直线交（1）中椭圆于、两点，是否存在直线，使得弦为直径的圆恰好过原点？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.
14. （15分） (2018高一上·大连期末) 已知两个定点，动点P满足 .设动点P的轨迹为曲线E，直线 .
（1）求曲线E的轨迹方程；
（2）若l与曲线E交于不同的C,D两点，且（O为坐标原点），求直线l的斜率；
（3）若是直线l上的动点，过Q作曲线E的两条切线QM,QN，切点为M,N，探究：直线MN是否过定点.
参考答案一、选择题 (共8题；共16分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
二、填空题 (共3题；共3分)
9-1、
10-1、
11-1、
三、解答题 (共3题；共35分)
12-1、
12-2、13-1、
13-2、14-1、14-2、
14-3、。