北师大版九年级数学下册第三章 圆(3.1-3.3) 同步测试试题(无答案)
北师大版九年级数学下册第三章圆（3.1-3.3）同步测试题
(时间:120分钟、满分:120分）
一、选择题(每小题3分，共24分)
1.若⊙O的半径为10，点O为原点，点P的坐标是(-8，6)，则点P的位置是（）
A.在⊙O内
B.在⊙0上
C.在⊙O外
D.无法确定
2.如图，⊙0的弦AB＝8，M是AB的中点，且OM＝3，则⊙0的半径等于（）
A.8
B.4
C.10
D.5
3.如图，AB是⊙O的直径，BC、CD、DA是⊙0的弦，且BC＝CD＝DA.则∠BCD等于（）
A.100°
B.110°
C.120°
D.135°
4.下列说法:①圆绕圆心旋转任意角度都与原来的图形重合;②圆的任意一条直径都是它的对称轴:③垂直于弦的直线平分于这条弦;④等弧所对的圆心角相等.其中正确的有（）
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
5.已知⊙O的半径为5cm，圆心到直线的距离为OM＝4cm，在直线上有点P，且PM＝3cm，则点P的位置是（）
A.在⊙O外
B.在⊙O上
C.在⊙O内
D.无法确定
6.⊙0的弦AB与半径相等，则弦AB所对的圆心角是（）
A.60°
B.60°或120°
C.30°或150°
D.120°
7.已知⊙O的半径为5cm，弦AB∥弦CD，AB＝6cm，CD＝8cm，则AB、CD之间的距离为( )
A.7cm
B.1cm
C.7cm或1cm
D.8cm
8.如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，sinB=4
5
,⊙O过B、C两点，且⊙0的半径r
＝10，则OA的长是（）
A.3或5
B.5
C.4或5
D.4
二、填空题(每小题3分，共15分)
9.如图，AB是⊙O的直径，则图中弦有________,以B为端点的劣弧有________.
10.如图，在⊙O中，弦AB的长为23，弦AB所对的圆心角为120°，则△AOB
的面积是________.
11.D是半径为5的⊙0的内一点，且OD＝3，则过点D的所有弦中，最大的弦是________,最小弦长是________.
12.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若CD＝6，且AE:BE＝1:3，则AB ＝________.
13.如图，MN为⊙0的直径，A、B是⊙0上的两点，过点A作AC⊥MN于点C，过B作BD⊥MN于点D，P为DC上任一点，若MN＝20，AC＝8，BD＝6，则PA+PB的
最小值为________.
三、解答题(共81分)
14.如图，已知OA、OB是⊙0的半径，C为AB的中点，M、N分别是OA、OB的中点，求证:MC=NC.
15.如图，在⊙0中，AB交⊙O于点C，且OA＝OB，求证:AC＝BD
16.如图，半径为5的⊙P与y轴交于点M(0，-4)，N(O，-10)，双曲线y=k
x
经
过点P，求双曲线的表达式.
17.如图，在⊙0内有折线OABC，其中OA=8，AB＝12，∠A＝∠B＝60°，求弦BC 的长.
18.如图，⊙0的半径OA，OB分别交弦CD于点E，F，且CE＝DF.求证:AE＝BF.
19.如图，AB是半圆O的直径，四边形CDEF是内接正方形.
(1)求证:OC＝OF;
(2)在正方形CDEF的右侧有一正方形FCHK，点G在AB上，H在半圆上，K在EF 上，若正方形CDEF的边长为2，求正方形FCHK的面积。
20.如图，以□ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作圆，交AD，BC于E，F，延长BA交⊙A于G，求证:弧CE＝弧EF
21.如图，MN是⊙0的直径，MN＝2，点A在⊙0上，弧AN的度数为60°，点B 为弧AN的中点，P是直径MN上的一个动点，求PA+PB的最小值。
22.如图，⊙0的直径AB垂直弦CD于E，连接CO并延长交AD于F，若CF平分AD，AB＝2，求CD的长？。
北师大版九年级下册数学第三章圆练习题(带解析)(2021年整理)
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北师大版九年级下册数学第三章圆练习题（带解析) 考试范围:xxx；考试时间：100分钟；命题人:xxx学校:___________姓名:___________班级：___________考号：___________题号一二三四五总分得分注意事项:1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2. 请将答案正确填写在答题卡上分卷I分卷I 注释评卷人得分一、单选题(注释）1、已知两个半径不相等的圆外切，圆心距为，大圆半径是小圆半径的倍，则小圆半径为A．或B．C．D．2、如图，AB是⊙O的切线,B为切点，AO与⊙O交于点C,若∠BAO=400，则∠OCB的度数为【】A．400B．500C．650D．7503、已知⊙O1的半径是3cm,⊙2的半径是2cm，O1O2=cm，则两圆的位置关系是A．相离B．外切C．相交D．内切4、如图所示，在⊙O中，，∠A=30°,则∠B=A．150°B．75°C．60°D．15°5、用半径为6的半圆围成一个圆锥的侧面，则圆锥的底面半径等于A．3B．C．2D．6、在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10．若以点C为圆心,CB为半径的圆恰好经过AB的中点D，则AC=A．5B．C．D．67、如图,AB是⊙O的直径，点C在⊙O上,弦BD平分∠ABC，则下列结论错误的是A．AD=DC B．C．∠ADB=∠ACB D．∠DAB=∠CBA8、如图所示是某公园为迎接“中国﹣﹣南亚博览会"设置的一休闲区．∠AOB=90°,弧AB的半径OA长是6米,C是OA的中点，点D在弧AB上，CD∥OB，则图中休闲区（阴影部分)的面积是A．米2B．米2C．米2D．米2更多功能介绍www.ykw18。
北师大版九年级数学下册第三章 圆 单元测试题
北师大版九年级数学下册第三章圆单元测试题一．选择题1．A、B、C分别表示三个村庄，AB＝1700米，BC＝800米，AC＝1500米，某社区拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P的位置应在（）A．AB的中点B．BC的中点C．AC的中点D．∠C的平分线与AB的交点2．如图，⊙O中，若OA⊥BC、∠AOB＝66°，则∠ADC的度数为（）A．33°B．56°C．57°D．66°3．如图，AB是直径，C、D为圆上的点，已知∠D为30°，则∠CAB的度数为（）A．45°B．50°C．55°D．60°4．如图所示，四边形ABCD是圆O的内接四边形，∠A＝45°，BC＝4，CD＝2，则弦BD的长为（）A．2 B．3C．D．25．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，点C，D在直径AB的两侧．若∠AOC：∠AOD：∠DOB＝2：7：11，CD＝4，则的长为（）A．2πB．4πC．D．π6．设边长为a的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为h、r、R，则下列结论不正确的是（）A．h＝R+r B．R＝2r C．r＝a D．R＝a7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接BD．若，∠BDC＝50°，则∠ADC的度数是（）A．125°B．130°C．135°D．140°8．如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝50°．E是边BC的中点，连接OE并延长，交⊙O于点D，连接BD，则∠D的大小为（）A．55°B．65°C．60°D．75°9．如图，在⊙O中，AB为直径，∠AOC＝80°．点D为弦AC的中点，点E为上任意一点．则∠CED的大小可能是（）A．10°B．20°C．30°D．40°10．如图，已知⊙O的半径为10，A、B是⊙O上的两点，∠AOB＝90°，C是射线OB上一个动点，连结AC并延长交⊙O于点D，过点D作DE⊥OD交OB的延长线于点E．当∠A从30°增大到60°时，弦AD在圆内扫过的面积是（）A．B．C．D．二、填空题11．如图，点A、B、C在⊙O上，∠ACB＝54°，则∠ABO的度数是12．如图，A，B，C都是⊙O上的点，OC与AB交于点E，过点B且与⊙O相切的直线与AC的延长线交于点D．∠BAC＝45°，∠D＝75°，则∠AEC的大小为13．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝BC，∠BAC＝30°，AD是直径，AD＝8，则AC的长为14．如图，在半径为2的⊙O中，半径OC垂直弦AB，D为⊙O上的点，∠ADC＝30°，则AB的长是15．如图，P A、PB切⊙O于A、B两点，连接OP交AB于点C，交弧AB于点D，∠APB ＝70°，点Q为优弧AmB上一点，OQ∥PB，则∠OQA的大小为．16．如图，半径为2cm的⊙O与边长为2cm的正方形ABCD的边AB相切于E，点F为正方形的中心，直线OE过F点．当正方形ABCD沿直线OF以每秒（2﹣）cm的速度向左运动秒时，⊙O与正方形重叠部分的面积为（π﹣）cm2．三．解答题17．如图，已知锐角△ABC的外心为O，线段OA和BC的中点分别为点M，N．若∠ABC ＝4∠OMN，∠ACB＝6∠OMN．求∠OMN的大小．18．如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AB＝10，AC＝6，连结OC，弦AD分别交OC，BC于点E，F，其中点E是AD的中点．（1）求证：∠CAD＝∠CBA．（2）求OE的长．19．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC、AB于点E．F．（1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若BD＝2，BF＝2，求⊙O的半径．20．如图，已知直线P A交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠P AE，过C作CD⊥P A，垂足为D．（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）若CD＝2AD，⊙O的直径为20，求线段AC、AB的长．21．如图，点C在以AB为直径的⊙O上，BD平分∠ABC交⊙O于点D，过D作BC的垂线，垂足为E．（1）求证：DE与⊙O相切；（2）若AB＝5，BE＝4，求BD的长；（3）请用线段AB、BE表示CE的长，并说明理由．22．如图①，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD平分∠CAB，AD与BC交于点F，过点D作DE⊥AB于点E．（1）求证：BC＝2DE；（2）如图②，连接OF，若∠AFO＝45°，半径为2时，求AC的长．23．如图，已知以Rt△ABC的边AB为直径作△ABC的外接圆⊙O，∠B的平分线BE交AC 于D，交⊙O于E，过E作EF∥AC交BA的延长线于F．（1）求证：EF是⊙O切线；（2）若AB＝15，EF＝10，求AE的长．参考答案一．选择题1．A、B、C分别表示三个村庄，AB＝1700米，BC＝800米，AC＝1500米，某社区拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P的位置应在（）A．AB的中点B．BC的中点C．AC的中点D．∠C的平分线与AB的交点【解答】解：∵AB＝1700米，BC＝800米，AC＝1500米，∴BC2+AC2＝AB2，∴∠C＝90°，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出活动中心P的位置应为斜边AB的中点，故选：A．2．如图，⊙O中，若OA⊥BC、∠AOB＝66°，则∠ADC的度数为（）A．33°B．56°C．57°D．66°【解答】解：如图，连接OC，OB．∵OA⊥BC，∴＝，∴∠AOC＝∠AOB＝66°，∴∠ADC＝∠AOC＝33°，故选：A．3．如图，AB是直径，C、D为圆上的点，已知∠D为30°，则∠CAB的度数为（）A．45°B．50°C．55°D．60°【解答】解：∵∠D＝30°，圆周角∠D和∠B都与相对，∴∠B＝∠D＝30°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝180°﹣30°﹣90°＝60°，故选：D．4．如图所示，四边形ABCD是圆O的内接四边形，∠A＝45°，BC＝4，CD＝2，则弦BD的长为（）A．2B．3C．D．2【解答】解：如图，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于E．∵∠A+∠BCD＝180°，∠A＝45°，∴∠BCD＝135°，∴∠DCE＝45°，∵∠E＝90°，CD＝2，∴CE＝ED＝2，BE＝CE+BC＝6，在Rt△BED中，∵∠E＝90°，BE＝6，DE＝2，∴BD＝＝＝2，故选：D．5．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，点C，D在直径AB的两侧．若∠AOC：∠AOD：∠DOB＝2：7：11，CD＝4，则的长为（）A．2πB．4πC．D．π【解答】解：∵∠AOC：∠AOD：∠DOB＝2：7：11，∠AOD+∠DOB＝180°，∴∠AOD＝×180°＝70°，∠DOB＝110°，∠COA＝20°，∴∠COD＝∠COA+∠AOD＝90°，∵OD＝OC，CD＝4，∴2OD2＝42，∴OD＝2，∴的长是＝＝，故选：D．6．设边长为a的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为h、r、R，则下列结论不正确的是（）A．h＝R+r B．R＝2r C．r＝a D．R＝a【解答】解：如图，∵△ABC是等边三角形，∴△ABC的内切圆和外接圆是同心圆，圆心为O，设OE＝r，AO＝R，AD＝h，∴h＝R+r，故A正确；∵AD⊥BC，∴∠DAC＝∠BAC＝×60°＝30°，在Rt△AOE中，∴R＝2r，故B正确；∵OD＝OE＝r，∵AB＝AC＝BC＝a，∴AE＝AC＝a，∴（a）2+r2＝（2r）2，（a）2+（R）2＝R2，∴r＝，R＝a，故C错误，D正确；故选：C．7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接BD．若，∠BDC＝50°，则∠ADC的度数是（）A．125°B．130°C．135°D．140°【解答】解：连接OA，OB，OC，∵∠BDC＝50°，∴∠BOC＝2∠BDC＝100°，∵，∴∠BOC＝∠AOC＝100°，∴∠ABC＝∠AOC＝50°，∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝130°．故选：B．8．如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝50°．E是边BC的中点，连接OE并延长，交⊙O于点D，连接BD，则∠D的大小为（）A．55°B．65°C．60°D．75°【解答】解：连接CD，∵∠A＝50°，∴∠CDB＝180°﹣∠A＝130°，∵E是边BC的中点，∴OD⊥BC，∴BD＝CD，∴∠ODB＝∠ODC＝BDC＝65°，故选：B．9．如图，在⊙O中，AB为直径，∠AOC＝80°．点D为弦AC的中点，点E为上任意一点．则∠CED的大小可能是（）A．10°B．20°C．30°D．40°【解答】解：连接OD、OE，∵OC＝OA，∴△OAC是等腰三角形，∵点D为弦AC的中点，∴∠DOC＝40°，∠BOC＝100°，设∠BOE＝x，则∠COE＝100°﹣x，∠DOE＝100°﹣x+40°，∵OC＝OE，∠COE＝100°﹣x，∴∠OEC＝∠OCE＝40°+x，∵OD＜OE，∠DOE＝100°﹣x+40°＝140°﹣x，∴∠OED＜20°+x，∴∠CED＝∠OEC﹣∠OED＞（40°+x）﹣（20°+x）＝20°，∵∠CED＜∠ABC＝40°，∴20°＜∠CED＜40°故选：C．10．如图，已知⊙O的半径为10，A、B是⊙O上的两点，∠AOB＝90°，C是射线OB上一个动点，连结AC并延长交⊙O于点D，过点D作DE⊥OD交OB的延长线于点E．当∠A从30°增大到60°时，弦AD在圆内扫过的面积是（）A．B．C．D．【解答】解：过点D作AO的垂线，交AO的延长线于F．当∠A＝30°时，∠DOF＝60°，DF＝OD•sin60°＝10×＝5，S弓形ABD＝﹣×10×5＝π﹣25，当∠A＝60°时，过点D'作D'F⊥OA于F'，连接OD'，∠D'OF'＝60°，D'F'＝5，S弓形ABD'＝﹣×10×5＝π﹣25，∴S＝π﹣25﹣（π﹣25）＝π．故选：B．二、填空题11．如图，点A、B、C在⊙O上，∠ACB＝54°，则∠ABO的度数是【解答】解：∵∠ACB＝54°，∴圆心角∠AOB＝2∠ACB＝108°，∵OB＝OA，∴∠ABO＝∠BAO＝（180°﹣∠AOB）＝36°，12．如图，A，B，C都是⊙O上的点，OC与AB交于点E，过点B且与⊙O相切的直线与AC的延长线交于点D．∠BAC＝45°，∠D＝75°，则∠AEC的大小为【解答】解：∵∠BAC＝45°，∠D＝75°，∴∠ABD＝180°﹣45°﹣75°＝60°，连接OB，∵BD是⊙O的切线，∴∠OBD＝90°，∵∠BAC＝45°，∴∠BOC＝90°，∴∠BOC+∠OBD＝180°，∴OC∥BD，∴∠AEC＝∠ABD＝60°，13．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝BC，∠BAC＝30°，AD是直径，AD＝8，则AC的长为【解答】解：连接CD，∵AB＝BC，∠BAC＝30°，∴∠ACB＝∠BAC＝30°，∴∠B＝180°﹣30°﹣30°＝120°，∴∠D＝180°﹣∠B＝60°，∵AD是直径，∴∠ACD＝90°，∵∠CAD＝30°，AD＝8，∴CD＝AD＝4，∴AC＝＝＝4，14．如图，在半径为2的⊙O中，半径OC垂直弦AB，D为⊙O上的点，∠ADC＝30°，则AB的长是【解答】解：设半径OC⊥弦AB于点E，∴＝，∴∠D＝∠BOC＝30°，∴∠BOC＝60°，∵OB＝2，∴AE＝EB＝OB•sin60°＝，∴AB＝2AE＝2，15．如图，P A、PB切⊙O于A、B两点，连接OP交AB于点C，交弧AB于点D，∠APB ＝70°，点Q为优弧AmB上一点，OQ∥PB，则∠OQA的大小为．【解答】解：如图，连接OA．∵P A，PB是⊙O的切线，∴∠OPB＝∠OP A＝∠APB＝35°，P A⊥OA，∴∠OAP＝90°，∴∠POA＝90°﹣35°＝55°，∵OQ∥PB，∴∠POQ＝180°﹣∠OPB＝145°，∴AOQ＝360°﹣145°﹣55°＝160°，∵OQ＝OA，∴∠OQA＝∠OAQ＝（180°﹣∠AOQ）＝10°，故答案为10°．16．如图，半径为2cm的⊙O与边长为2cm的正方形ABCD的边AB相切于E，点F为正方形的中心，直线OE过F点．当正方形ABCD沿直线OF以每秒（2﹣）cm的速度向左运动秒时，⊙O与正方形重叠部分的面积为（π﹣）cm2．【解答】解：如图1中，当点A，B落在⊙O上时，⊙O与正方形重叠部分的面积为（π﹣）cm2此时，运动时间t＝（2﹣）÷（2﹣）＝1（秒）如图2中，当点C，D落在⊙O上时，⊙O与正方形重叠部分的面积为（π﹣）cm2此时，运动时间t＝[4+2﹣（2﹣）]÷（2﹣）＝（11+6）（秒），综上所述，满足条件的t的值为1秒或（11+6）秒．故答案为1或（11+6）．三．解答题17．如图，已知锐角△ABC的外心为O，线段OA和BC的中点分别为点M，N．若∠ABC ＝4∠OMN，∠ACB＝6∠OMN．求∠OMN的大小．【解答】解：连接OC．设∠OMN＝x，则∠ABC＝4x，∠ACB＝6x；∴∠NOC＝180°﹣10x，∠AOC＝8x，∴∠ONM＝180°﹣（180°﹣10x+8x+x）＝x，∴△MON为等腰三角形，∴；∴∠OBN＝30°，∴180°﹣10x＝60°，∴x＝12°．18．如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AB＝10，AC＝6，连结OC，弦AD分别交OC，BC于点E，F，其中点E是AD的中点．（1）求证：∠CAD＝∠CBA．（2）求OE的长．【解答】（1）证明：∵AE＝DE，OC是半径，∴＝，∴∠CAD＝∠CBA．（2）解：∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵AE＝DE，∴OC⊥AD，∴∠AEC＝90°，∴∠AEC＝∠ACB，∴△AEC∽△BCA，∴＝，∴＝，∴CE＝3.6，∵OC＝AB＝5，∴OE＝OC﹣EC＝5﹣3.6＝1.4．19．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC、AB于点E．F．（1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若BD＝2，BF＝2，求⊙O的半径．【解答】解：（1）线BC与⊙O的位置关系是相切，理由是：连接OD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD平分∠CAB，∴∠OAD＝∠CAD，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AC，∵∠C＝90°，∴∠ODB＝90°，即OD⊥BC，∵OD为半径，∴线BC与⊙O的位置关系是相切；（2）设⊙O的半径为R，则OD＝OF＝R，在Rt△BDO中，由勾股定理得：OB2＝BD2+OD2，即（R+2）2＝（2）2+R2，解得：R＝4，即⊙O的半径是4．20．如图，已知直线P A交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠P AE，过C作CD⊥P A，垂足为D．（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）若CD＝2AD，⊙O的直径为20，求线段AC、AB的长．【解答】证明：（1）连接OC．∵点C在⊙O上，OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∵CD⊥P A，∴∠CDA＝90°，∴∠CAD+∠DCA＝90°，∵AC平分∠P AE，∴∠DAC＝∠CAO，∴∠DCO＝∠DCA+∠ACO＝∠DCA+∠DAC＝90°，∴CD是⊙O切线．（2）作OF⊥AB于F，∴∠OCD＝∠CDF＝∠OFD＝90°，∴四边形CDFO是矩形，∴OC＝FD，OF＝CD，∵CD＝2AD，设AD＝x，则OF＝CD＝2x，∵DF＝OC＝10，∴AF＝10﹣x，在Rt△AOF中，AF2+OF2＝OA2，∴（10﹣x）2+（2x）2＝102，解得x＝4或0（舍弃），∴AD＝4，AF＝6，AC＝4，∵OF⊥AB，∴AB＝2AF＝12．21．如图，点C在以AB为直径的⊙O上，BD平分∠ABC交⊙O于点D，过D作BC的垂线，垂足为E．（1）求证：DE与⊙O相切；（2）若AB＝5，BE＝4，求BD的长；（3）请用线段AB、BE表示CE的长，并说明理由．【解答】（1）证明：连接OD，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，∵BD平分∠ABC，∴∠OBD＝∠CBD，∴∠ODB＝∠CBD，∴OD∥BE，∵BE⊥DE，∴OD⊥DE，∴DE与⊙O相切；（2）解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵BE⊥DE，∴∠ADB＝∠BED＝90°，∵BD平分∠ABC，∴∠OBD＝∠CBD，∴△ABD∽△DBE，∴，∴＝，∴BD＝2；（3）解：结论CE＝AB﹣BE，理由：过D作DH⊥AB于H，∵BD平分∠ABC，DE⊥BE，∴DH＝DE，在Rt△BED与Rt△BHD中，，∴Rt△BED≌Rt△BHD（HL），∴BH＝BE，∵∠DCE＝∠A，∠DHA＝∠DEC＝90°，∴△ADH≌△CDE（AAS），∴AH＝CE，∵AB＝AH+BH，∴AB＝BE+CE，∴CE＝AB﹣BE．22．如图①，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD平分∠CAB，AD与BC交于点F，过点D作DE⊥AB于点E．（1）求证：BC＝2DE；（2）如图②，连接OF，若∠AFO＝45°，半径为2时，求AC的长．【解答】（1）证明：如图①中，延长DE交⊙O于G，连接AG．∵AB⊥DG，AB是直径，∴＝，DE＝EG，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠DAB，∴＝，∴＝，∴BC＝DG＝2DE．（2）解：如图②中，作FR⊥AB于R，OS⊥AD于S．∵AD平分∠CAB，FC⊥AC，FR⊥AB，∴∠CAD＝∠BAD＝x，FC＝FR，∴∠FBO＝90°﹣2x，∵∠AFO＝45°，∴∠FOB＝45°+x，∴∠OFB＝180°﹣（90°﹣2x）﹣（45°+x）＝45°+x，∴∠FOB＝∠OFB∴BF＝BO＝OA，∵∠FRB＝∠ACB＝90°，∠FBR＝∠ABC，∴△BFR∽△BAC，∴＝＝，∴AC＝2FR＝2FC，∴tan∠F AR＝tan∠F AC＝，设SO＝t，AS＝2t，SF＝SO＝t，则t2+4t2＝4，∵t＞0，∴t＝，∴AF＝3t＝，设CF＝m，则AC＝2m，则有5m2＝，∵m＞0，∴m＝，∴AC＝2m＝．23．如图，已知以Rt△ABC的边AB为直径作△ABC的外接圆⊙O，∠B的平分线BE交AC 于D，交⊙O于E，过E作EF∥AC交BA的延长线于F．（1）求证：EF是⊙O切线；（2）若AB＝15，EF＝10，求AE的长．【解答】（1）证明：连接OE，∵∠B的平分线BE交AC于D，∴∠CBE＝∠ABE．∵EF∥AC，∴∠CAE＝∠FEA．∵∠OBE＝∠OEB，∠CBE＝∠CAE，∴∠FEA＝∠OEB．∵∠AEB＝90°，∴∠FEO＝90°．∴EF是⊙O切线．（2）解：在△FEA与△FBE中，∵∠F＝∠F，∠FEA＝∠FBE，∴△FEA∽△FBE，∴＝＝，∴AF•BF＝EF•EF，∴AF×（AF+15）＝10×10，解得AF＝5．∴BF＝20．∴＝，∴BE＝2AE，∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴AE2+BE2＝152，∴AE2+（2AE）2＝225，∴AE＝3．。
北师大版九年级数学下册第三章 圆单元测试题
北师大版九年级数学下册第三章 圆单元测试题一、选择题(本大题共8小题，每题4分，共32分；在每题列出的四个选项中，只要一项契合题意)1．在以下四个命题中：①直径是最长的弦；②每个三角形都有一个内切圆；③三角形的外心到三角形各边的距离都相等；④假设两条弦相等，那么这两条弦所对的弧也相等．其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．如图3－Z －1，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，衔接OC 交⊙O 于点D ，衔接BD ，假定∠C ＝40°，那么∠ABD 的度数是( )A ．30°B ．25°C ．20°D ．15°图3－Z －13．如图3－Z －2，四边形ABCD 内接于⊙O ，假定四边形ABCO 是平行四边形，那么∠DAO ＋∠DCO 的大小为( )图3－Z －2A ．45°B ．50°C ．60°D ．75°4．如图3－Z －3，AB 为⊙O 的直径，弦DC ⊥AB 于点E ，∠DCB ＝30°，EB ＝3，那么弦AC 的长为( )A ．3 3B ．4 3C ．5 3D ．6 3图3－Z －35．如图3－Z －4，四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 和⊙O 区分相切于点L ，M ，N ，P .假定四边形ABCD 的周长为20，那么AB ＋CD 等于()图3－Z －4A ．5B ．8C ．10D ．126．在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图3－Z －5，油面宽AB 为6分米，假设再注入一些油后，油面AB 上升1分米，油面宽变为8分米，那么圆柱形油槽的直径MN 为( )A ．6分米B ．8分米C ．10分米D ．12分米图3－Z －57.如图3－Z －6，某厂消费横截面直径为7 cm 的圆柱形罐头，需将〝蘑菇罐头〞字样贴在罐头正面．为了取得较佳的视觉效果，字样在罐头正面所构成的弧的度数为90°，那么〝蘑菇罐头〞字样的长度为()图3－Z －6A.π4 cmB.7π4cm C.7π2cm D ．7π cm 8．如图3－Z －7，四边形ABCD 是菱形，∠A ＝60°，AB ＝2，扇形BEF 的半径为2，圆心角为60°，那么图中阴影局部的面积是( )图3－Z －7A.2π3－32B.2π3－ 3 C ．π－32D ．π－ 3 二、填空题(本大题共5小题，每题4分，共20分)9．⊙O 的半径为5，点A 在⊙O 外，那么线段OA 的长度的取值范围是________．10．如图3－Z －8，经过原点的⊙P 与x 轴、y 轴区分交于A ，B 两点，C 是劣弧OB 上一点，那么∠ACB 的度数为________．图3－Z －811.如图3－Z －9，在⊙O 中，弦DA ∥BC ，DA ＝DC ，∠AOC ＝160°，那么∠BCO ＝________度．图3－Z －912．如图3－Z －10，正方形ABCD 内接于⊙O ，其边长为4，那么⊙O 的内接正三角形EFG 的边长为________．图3－Z －1013．如图3－Z －11，在Rt △AOB 中，OA ＝OB ＝3 2，⊙O 的半径为1，P 是AB 边上的动点，过点P 作⊙O 的一条切线PQ (Q 为切点)，那么切线PQ 长的最小值为________．图3－Z －11三、解答题(本大题共4小题，共48分)14．(10分)如图3－Z －12，四边形ABCD 内接于⊙O ，衔接BD ，∠BAD ＝105°，∠DBC ＝75°.(1)求证：BD ＝CD ；(2)假定⊙O 的半径为3，求BC ︵的长．图3－Z －1215．(12分)如图3－Z －13，BE 是⊙O 的直径，半径OA ⊥弦BC ，D 为垂足，衔接AE ，EC .(1)假定∠AEC ＝28°，求∠AOB 的度数；(2)假定∠BEA ＝∠B ，BC ＝6，求⊙O 的半径．图3－Z －1316．(12分)如图3－Z －14，⊙O 的半径为4，B 是⊙O 外一点，衔接OB ，且OB ＝6，过点B 作⊙O 的切线BD ，切点为D ，延伸BO 交⊙O 于点A ，过点A 作切线BD 的垂线，垂足为C .(1)衔接AD ，求证：AD 平分∠BAC ；(2)求AC 的长．图3－Z －1417．(14分)如图3－Z －15①，⊙O 的直径AB ＝12，P 是弦BC 上一动点(与点B ，C 不重合)，∠ABC ＝30°，过点P 作PD ⊥OP 交⊙O 于点D .(1)如图②，当PD ∥AB 时，求PD 的长．(2)如图③，当DC ︵＝AC ︵时，延伸AB 至点E ，使BE ＝12AB ，衔接DE . ①求证：DE 是⊙O 的切线；②求PC 的长．图3－Z －15详解详析1．[答案] B2．[解析] B ∵AC 是⊙O 的切线，∴∠BAC ＝90°.又∠C ＝40°，∴∠AOC ＝90°－40°＝50°，∴∠ABD ＝12∠AOC ＝12×50°＝25°.应选B. 3．[解析] C 衔接OD ，∵OA ＝OD ，OD ＝OC ，∴∠DAO ＝∠ODA ，∠DCO ＝∠ODC ，∴∠DAO ＋∠DCO ＝∠ADC .∵四边形ABCO 是平行四边形，∴∠B ＝∠AOC .∵四边形ABCD 是圆内接四边形，∴∠ADC ＋∠B ＝180°.∵∠ADC ＝12∠AOC ，∴∠ADC ＝12∠B ，即3∠ADC ＝180°，∴∠ADC ＝60°， 即∠DAO ＋∠DCO ＝60°.应选C.4．[解析] D 如图，衔接OC ，∵弦DC ⊥AB 于点E ，∠DCB ＝30°，∴∠ABC ＝60°，∴△BOC 是等边三角形．∵EB ＝3，∴OB ＝6，∴AB ＝12.∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°.在Rt △ACB 中，AC ＝12×32＝6 3.应选D. 5．[答案] C6．[答案] C7．[解析] B ∵字样在罐头正面所构成的弧的度数为90°，∴此弧所对的圆心角为90°，由题意可得R ＝72 cm ，那么〝蘑菇罐头〞字样的长为90π×72180＝7π4(cm)． 8．[解析] B 如图，衔接BD .∵四边形ABCD 是菱形，∠A ＝60°，∴∠ADC ＝120°，∴∠1＝∠2＝60°，∴△DAB 是等边三角形，∴AB ＝BD ，∠3＋∠5＝60°.∵AB ＝2，∴△ABD 的高为 3.∵扇形BEF 的圆心角为60°，∴∠4＋∠5＝60°，∴∠3＝∠4.设AD ，BE 相交于点G ，BF ，DC 相交于点H ，在△ABG 和△DBH 中，∠A ＝∠2，AB ＝BD ，∠3＝∠4，∴△ABG ≌△DBH (ASA)，∴S 四边形GBHD ＝S △ABD ，∴S 阴影＝S 扇形EBF －S △ABD ＝60π×22360－12×2×3＝2π3－ 3.应选B. 9．[答案] OA ＞5[解析] ∵⊙O 的半径为5，点A 在⊙O 外，∴线段OA 的长度的取值范围是OA ＞5.故答案为OA ＞5.10．[答案] 90°[解析] ∵∠AOB ＝90°，∴∠ACB ＝∠AOB ＝90°.11．[答案] 30[解析] 衔接AC ，∵∠B ＝12∠AOC ＝80°， ∴∠D ＝180°－∠B ＝100°.∵DA ＝DC ，OA ＝OC ，∴∠DAC ＝∠ACD ＝40°，∠OCA ＝∠OAC ＝10°.∵DA ∥BC ，∴∠ACB ＝∠DAC ＝40°，∴∠BCO ＝30°.12．[答案] 2 6[解析] 衔接AC ，OE ，OF ，过点O 作OM ⊥EF 于点M .∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ＝4，∠ABC ＝90°，∴AC 是直径，AC ＝4 2，∴OE ＝OF ＝2 2.∵OM ⊥EF ，∴EM ＝MF .∵△EFG 是等边三角形，∴∠GEF ＝60°.在Rt △OME 中，∵OE ＝2 2，∠OEM ＝12∠GEF ＝30°，∴OM ＝2，EM ＝3OM ＝6，∴EF ＝2 6.13．[答案] 2 2[解析] 如图，衔接OP ，OQ .∵PQ 是⊙O 的切线，∴OQ ⊥PQ ，∴PQ 2＝OP 2－OQ 2，∴当OP ⊥AB 时，OP 最短，那么此时线段PQ 最短．∵在Rt △AOB 中，OA ＝OB ＝3 2，∴AB ＝2OA ＝6，∴OP ＝OA ·OB AB＝3， ∴PQ ＝OP 2－OQ 2＝32－12＝2 2.14．解：(1)证明：∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∴∠DCB ＋∠BAD ＝180°.∵∠BAD ＝105°，∴∠DCB ＝180°－105°＝75°，∴∠DCB ＝∠DBC ，∴BD ＝CD .(2)由(1)可知∠DBC ＝∠DCB ＝75°，∴∠BDC ＝30°.由圆周角定理得BC ︵的度数为60°，故BC ︵的长为60π×3180＝π. 15．[解析] (1)依据垂径定理失掉AC ︵＝AB ︵，依据圆周角定了解答；(2)依据圆周角定理的推论失掉∠C ＝90°，进而失掉∠B ＝30°，依据余弦的定义求出BE 的长即可．解：(1)∵OA ⊥BC ，∴AC ︵＝AB ︵，∴∠BEA ＝∠AEC ＝28°，由圆周角定理，得∠AOB ＝2∠AEB ＝56°.(2)∵BE 是⊙O 的直径，∴∠C ＝90°，∴∠CEB ＋∠B ＝90°.又∵∠BEA ＝∠B ，∠BEA ＝∠AEC ，∴∠B ＝30°，∴BE ＝BC cos B＝4 3， ∴⊙O 的半径为2 3.16．解：(1)证明：衔接OD .∵BD 是⊙O 的切线，∴OD ⊥BD .又∵AC ⊥BD ，∴OD ∥AC ，∴∠CAD ＝∠ODA .∵OA ＝OD ，∴∠OAD ＝∠ODA ，∴∠OAD ＝∠CAD ，即AD 平分∠BAC .(2)∵OD ∥AC ，∴△BOD ∽△BAC ，∴OD AC ＝BO BA ，即4AC ＝610， 解得AC ＝203，即AC 的长为203. 17．解：(1)衔接OD .∵OP ⊥PD ，PD ∥AB ，∴∠POB ＝90°.∵⊙O 的直径AB ＝12，∴OB ＝OD ＝6.在Rt △POB 中，∵∠ABC ＝30°，∴OP ＝OB ·tan30°＝6×33＝2 3. 在Rt △POD 中，PD ＝OD 2－OP 2＝62－〔2 3〕2＝2 6.(2)①证明：衔接OD ，交CB 于点F ，衔接BD .∵DC ︵＝AC ︵，∴∠DBC ＝∠ABC ＝30°，∴∠ABD ＝60°. 又∵OB ＝OD ，∴△OBD 是等边三角形，∴∠DOB ＝60°，那么∠OFB ＝180°－60°－30°＝90°，∴OD ⊥FB ，∴OF ＝DF .又∵BE ＝12AB ，OB ＝12AB ， ∴OB ＝BE ，∴BF ∥DE ，∴∠ODE ＝∠OFB ＝90°，∴DE 是⊙O 的切线．②由①知OD ⊥BC ，∴CF ＝BF ＝OB ·cos30°＝6×32＝3 3. 在Rt △POD 中，∵OF ＝DF ，∴PF ＝错误!OD ＝3，∴PC ＝CF －PF ＝3 错误!－3.。
(完整)北师大版九年级下册数学第三章圆单元测试(含答案),推荐文档
一、选择题第三章圆1. 已知⊙O 的直径为 10，点 P 到点 O 的距离大于 8，那么点 P 的位置（ ）A. 一定在⊙O 的内部B. 一定在⊙O 的外部C. 一定在⊙O 上D. 不能确定2. 乌镇是著名的水乡，如图，圆拱桥的拱顶到水面的距离 CD 为 8m ，水面宽 AB 为 8m ，则桥拱半径 OC 为（ ）A. 4mB. 5mC. 6mD. 8m3. 给出下列说法：①直径是弦；②优弧是半圆；③半径是圆的组成部分；④两个半径不相等的圆中，大的半圆的弧长小于小的半圆的周长．其中正确的有（ ）A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个4. 一个扇形的圆心角是 120°，面积为 3πcm 2， 那么这个扇形的半径是（） A. cm B. 3cmC. 6cmD. 9cm5. 如图，点 A,B,C 均在坐标轴上，AO=BO=CO=1，过 A,O,C 作⊙D ，E 是⊙D 上任意一点，连结 CE, BE ，则的最大值是（ ）A. 4B. 5C. 6D.6. 如图，在⊙O 中，弦 AC与半径OB 平行，若∠BOC=50°，则∠B 的大小为（）A. 25°B. 30°C. 50°D. 60°7.在研究圆的有关性质时，我们曾做过这样的一个操作“将一张圆形纸片沿着它的任意一条直径翻折，可以看到直径两侧的两个半圆互相重合”．由此说明（）A.圆的直径互相平分B.垂直弦的直径平分弦及弦所对的弧C.圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心D.圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴8.如图，AB 为⊙O 的直径，点E、C 都在圆上，连接AE，CE，BC，过点A 作⊙O 的切线交BC 的延长线于点D，若∠AEC=25°，则∠D 的度数为（）A. 75°B. 65°C. 55°D. 74°9.如图，四边形ABCD 内接于圆O，E 为CD 延长线上一点，若∠B=110°，则∠ADE 的度数为（）A. 115°B. 110°C. 90°D. 80°10.已知：⊙O 是△ABC 的外接圆，∠OAB=40°，则∠ACB 的大小为（）A. 20°B. 50°C. 20°或160°D. 50°或130°11.如图，⊙O 内切于四边形ABCD，AB=10，BC=7，CD=8，则AD 的长度为（）A. 8B. 9C. 10D. 1112.如图，在圆心角为45°的扇形内有一正方形CDEF，其中点C、D 在半径OA 上，点F 在半径OB 上，点E 在上，则扇形与正方形的面积比是（）A. π：8B. 5π：8C. π：4D. π：4二、填空题13.PA，PB 分别切⊙O 于A，B 两点，点C 为⊙O 上不同于AB 的任意一点，已知∠P=40°，则∠ACB 的度数是．14.如图，AB 为⊙O 的直径，直线l 与⊙O 相切于点C，AD⊥l，垂足为D，AD 交⊙O 于点E，连接OC、BE．若AE=6，OA=5，则线段DC 的长为．15.如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，∠AOC=40°，D 是BC 弧的中点，则∠ACD= ．16.如图所示，⊙I 是Rt△ABC 的内切圆，点D、E、F 分别是且点，若∠ACB=90°，AB=5cm，BC=4cm，则⊙I 的周长为cm．17.如图，PA，PB 是⊙O 的切线，CD 切⊙O 于E，PA=6，则△PDC 的周长为.18.如图，⊙O 的半径为6cm，B 为⊙O 外一点，OB 交⊙O 于点A，AB=OA，动点P 从点A 出发，以πcm/s 的速度在⊙O 上按逆时针方向运动一周回到点A 立即停止．当点P 运动的时间为时，BP 与⊙O 相切．19.如图，在⊙O 的内接四边形ABCD 中，点E 在DC 的延长线上．若∠A=50°，则∠BCE= .20.如图，△ABC 中，∠BAC=90°，点G 是△ABC 的重心，如果AG=4，那么BC 的长为．21.如图，在△ABC 中，AB=AC=3，∠BAC=120°，以点A 为圆心，1 为半径作圆弧，分别交AB，AC 于点D，E，以点C 为圆心，3 为半径作圆弧，分别交AC，BC 于点A，F．若图中阴影部分的面积分别为S1，S2，则S1﹣S2的值为．22.如图所示，在半圆O 中，AB 为直径，P 为弧AB 的中点，分别在弧AP 和弧PB 上取中点A1和B1，再在弧PA1和弧PB1上分别取中点A2和B2，若一直这样取中点，求∠A n PB n= ．三、解答题23.如图，AB 为⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，D 在AB 的延长线上，且∠DCB=∠A．求证：CD 是⊙O 的切线.24.如图，已知AB 是半圆O 的直径，∠BAC=32°，D 是弧AC 的中点，求∠DAC 的度数．25.如图，ABCD 是⊙O 的内接四边形，DP∥AC，交BA 的延长线于P，求证：AD•DC=PA•BC．26.（2017•通辽）如图，AB 为⊙O 的直径，D 为的中点，连接OD 交弦AC 于点F，过点D 作DE∥AC，交BA 的延长线于点E．（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）连接CD，若OA=AE=4，求四边形ACDE 的面积．参考答案一、选择题B B A BC AD B B D D B二、填空题13. 70°或110°14. 4 15.125°16. 2π17. 1218. 2 秒或5 秒19. 50°20. 1221. - π22. 180°﹣×180°三、解答题23.解：证明：连接OC，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°，∴∠A+∠ABC=90°，又∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，又∵∠DCB=∠A，∴∠A+∠ABC=∠DCB+∠OCB=90°，∴OC⊥DC，∴CD 是⊙O 的切线．24.解：连接BC，∵AB 是半圆O 的直径，∠BAC=32°，∴∠ACB=90°，∠B=90°﹣32°=58°，∴∠D=180°﹣∠B=122°（圆内接四边形对角互补），∵D 是弧的中点，∴∠DAC=∠DCA=（180°﹣∠D）÷2=29°，即∠DAC 的度数是29°．25.证明：如图，连接AC，连接BD．∵DP∥AC，∴∠PDA=∠DAC．∵∠DAC=∠DBC，∴∠PDA=∠DBC．∵四边形ABCD 是圆内接四边形，∴∠DAP=∠DCB．∴△PAD∽△DCB．得PA：DC=AD：BC，即AD•DC=PA•BC．26.（1）证明：∵D 为的中点，∴OD⊥AC，∵AC∥DE，∴OD⊥DE，∴DE 是⊙O 的切线（2）解：连接DC，∵D 为的中点，∴OD⊥AC，AF=CF，∵AC∥DE，且OA=AE，∴F 为OD 的中点，即OF=FD，在△AFO 和△CFD 中，∴△AFO➴△CFD（SAS），∴S△AFO=S△CFD ，∴S 四边形ACDE=S△ODE在Rt△ODE 中，OD=OA=AE=4，∴OE=8，∴DE= =4 ，∴S 四边形ACDE=S△ODE= ×OD×DE= ×4×4 =8 ．“”“”At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!。
北师大版九年级数学下册第三章 圆 单元测试卷
北师大版九年级数学下册第三章圆单元测试卷一、选择题1．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且AB＝10，AC＝CD＝5，则∠ABD的度数为（）A．30°B．45°C．50°D．60°2．如图，AC、BD是⊙O的两条相交弦，∠ACB＝∠CDB＝60°，AC＝2，则⊙O的直径是（）A．2B．4C．D．2 3．如图，⊙O中，弦AB⊥CD，垂足为E，F为的中点，连接AF、BF、AC，AF交CD 于M，过F作FH⊥AC，垂足为G，以下结论：①＝；②HC＝BF：③MF＝FC：④+＝+，其中成立的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．若四边形ABCD的对角线AC，BD相交于O，△AOB，△BOC，△COD，△DOA的周长相等，且△AOB，△BOC，△COD的内切圆半径分别为3，4，6，则△DOA的内切圆半径是（）A．B．C．D．以上答案均不正确5．如图，AB是⊙O的直径，AB＝10，P是半径OA上的一动点，PC⊥AB交⊙O于点C，在半径OB上取点Q，使得OQ＝CP，DQ⊥AB交⊙O于点D，点C，D位于AB两侧，连接CD交AB于点F，点P从点A出发沿AO向终点O运动，在整个运动过程中，△CFP与△DFQ的面积和的变化情况是（）A．一直减小B．一直不变C．先变大后变小D．先变小后变大6．如图，P A、PB是⊙O切线，A、B为切点，AC是直径，∠P＝40°，则∠BAC＝（）A．40°B．80°C．20°D．10°7．如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，且EF＝EB，EF与AB交于点C，连接OF，若∠AOF＝40°，则∠OFE的度数是（）A．30°B．20°C．40°D．35°8．如图，AB是⊙O的直径，C和D是⊙O上两点，连接AC、BC、BD、CD，若∠CDB＝36°，则∠ABC＝（）A．36°B．44°C．54°D．72°9．如图，点D，E分别是⊙O的内接正三角形ABC的AB，AC边的中点，若DE＝1，则⊙O 的直径为（）A．B．C．D．10．如图，已知AB是圆O的直径，弦CD与AB垂直，垂足为M，E是CD延长线上一点，且AB＝10，CD＝8，3DE＝4OM，过F做作圆O的切线EF，BF交CD于G．则以下说法其中正确的是（）A．MB＝3B．EF＝4C．FD∥AB D．EF＝EG二、填空题11．如图，⊙O是△ABC的外接圆，半径为2cm，若BC＝2cm，则∠A的度数为．12．如图，已知⊙O的半径为5，弦AB、CD所对的圆心角分别是∠AOB、∠COD，若∠AOB 与∠COD互补，弦CD＝6，则点O到弦AB的距离为．13．如图，B、C两点在以AD为直径的半圆O上，若∠ABC＝4∠D，且＝3，则∠A 的度数为．14．点P为⊙O外一点，P A为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于点B，∠P＝30°，BP ＝4，则线段AP的长为．15．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，点E，F分别在边AD，BC上，且点B，F关于过点E的直线对称，如果EF与以CD为直径的圆恰好相切，那么AE＝．16．如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，OA＝OB＝2，将扇形OAB绕边OB的中点D 顺时针旋转90°得到扇形O'A'B'，弧A'B′交OA于点E，则图中阴影部分的面积为．三、解答题17．如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点且AP＝AC．（1）求证：P A是⊙O的切线；（2）若AB＝2+，BC＝4，求⊙O的半径．18．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，BC是⊙O的直径，过点O作OF⊥BC，交AC于点E，连接AF，且AF是⊙O的切线．（1）求证：AF＝EF．（2）若⊙O的半径为5，AB＝，求AF的长．19．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，∠BAC＝∠DAC，过点C做直线EF ⊥AD，交AD的延长线于点E，连接BC．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若∠BAC＝∠DAC＝30°，BC＝2，求劣弧的长l．20．如图所示，AB是⊙O的直径，AD和BC分别切⊙O于A，B两点，CD与⊙O有公共点E，且AD＝DE．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AB＝12，BC＝4，求AD的长．21．如图，直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，与⊙O相交于点P，OA＝10．C是直线l上一点，连结CP并延长交⊙O于另一点B，且AB＝AC．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为6，求线段BP的长．22．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是直径，AB＝BC，连接BD，过点D的直线与CA的延长线相交于点E，且∠EDA＝∠ACD．（1）求证：直线DE是⊙O的切线；（2）若AD＝6，CD＝8，求BD的长．23．如图，⊙O为△ABC的外接圆，D为OC与AB的交点，E为线段OC延长线上一点，且∠EAC＝∠ABC．（1）求证：直线AE是⊙O的切线．（2）若D为AB的中点，CD＝6，AB＝16①求⊙O的半径；②求△ABC的内心到点O的距离．参考答案一、选择题1．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且AB＝10，AC＝CD＝5，则∠ABD的度数为（）A．30°B．45°C．50°D．60°【解答】解：连接OC、OD，如图所示：∵OC＝OD＝OA＝AB＝5，AC＝CD＝5，∴OA＝AC＝OC＝CD＝OD，∴△AOC和△COD是等边三角形，∴∠AOC＝∠COD＝60°，∴∠AOD＝60°+60°＝120°，∴∠ABD＝∠AOD＝60°；故选：D．2．如图，AC、BD是⊙O的两条相交弦，∠ACB＝∠CDB＝60°，AC＝2，则⊙O的直径是（）A．2B．4C．D．2【解答】解：连接OB，作OE⊥BC于E，如图所示：∵∠A＝∠CDB＝60°，∠ACB＝∠CDB＝60°，∴∠A＝∠ACB＝60°，∴△ACB为等边三角形，∴BC＝AC＝2，∠OBE＝30°，∵OE⊥BC，∴BE＝BC＝，∴OE＝BE＝1，OB＝2OE＝2，∴⊙O的直径＝2OB＝4；故选：B．3．如图，⊙O中，弦AB⊥CD，垂足为E，F为的中点，连接AF、BF、AC，AF交CD 于M，过F作FH⊥AC，垂足为G，以下结论：①＝；②HC＝BF：③MF＝FC：④+＝+，其中成立的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：∵F为的中点，∴＝，故①正确，∴∠FCM＝∠F AC，∵∠FCG＝∠ACM+∠GCM，∠AME＝∠FMC＝∠ACM+∠F AC，∴∠AME＝∠FMC＝∠FCG＞∠FCM，∴FC＞FM，故③错误，∵AB⊥CD，FH⊥AC，∴∠AEM＝∠CGF＝90°，∴∠CFH+∠FCG＝90°，∠BAF+∠AME＝90°，∴∠CFH＝∠BAF，∴＝，∴HC＝BF，故②正确，∵∠AGF＝90°，∴∠CAF+∠AFH＝90°，∴的度数+的度数＝180°，∴的度数+的度数＝180°，∴+＝+＝+＝+，故④正确，故选：C．4．若四边形ABCD的对角线AC，BD相交于O，△AOB，△BOC，△COD，△DOA的周长相等，且△AOB，△BOC，△COD的内切圆半径分别为3，4，6，则△DOA的内切圆半径是（）A．B．C．D．以上答案均不正确【解答】解：设△DOA的内切圆半径为r，△AOB，△BOC，△COD，△DOA的周长为L，则S△AOB＝L•3＝L，S△BOC＝L•4＝2L，S△COD＝L•6＝3L，S△DOA＝Lr，∵S△AOB•S△COD＝S△COD•S△DOA，∴L•3L＝2L•Lr，∴r＝．故选：A．5．如图，AB是⊙O的直径，AB＝10，P是半径OA上的一动点，PC⊥AB交⊙O于点C，在半径OB上取点Q，使得OQ＝CP，DQ⊥AB交⊙O于点D，点C，D位于AB两侧，连接CD交AB于点F，点P从点A出发沿AO向终点O运动，在整个运动过程中，△CFP与△DFQ的面积和的变化情况是（）A．一直减小B．一直不变C．先变大后变小D．先变小后变大【解答】解：连接OC，OD，PD，CQ．设PC＝x，OP＝y，OF＝a，∵PC⊥AB，QD⊥AB，∴∠CPO＝∠OQD＝90°，∵PC＝OQ，OC＝OD，∴Rt△OPC≌Rt△DQO，∴OP＝DQ＝y，∴S阴＝S四边形PCQD﹣S△PFD﹣S△CFQ＝（x+y）2﹣•（y﹣a）y﹣（x+a）x＝xy+a（y ﹣x），∵PC∥DQ，∴＝，∴＝，∴a＝y﹣x，∴S阴＝xy+（y﹣x）（y﹣x）＝（x2+y2）＝故选：B．6．如图，P A、PB是⊙O切线，A、B为切点，AC是直径，∠P＝40°，则∠BAC＝（）A．40°B．80°C．20°D．10°【解答】解：连接OB，∵P A、PB是⊙O切线，A、B为切点，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∵∠P＝40°，∴∠AOB＝360°﹣∠OAP﹣∠P﹣∠OBP＝140°，∵OA＝OB，∴∠BAC＝∠OBA＝（180°﹣∠AOB）＝20°，故选：C．7．如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，且EF＝EB，EF与AB交于点C，连接OF，若∠AOF＝40°，则∠OFE的度数是（）A．30°B．20°C．40°D．35°【解答】解：如图，连接BF，OE．∵EF＝EB，OE＝OE，OF＝OB，∴△OEF≌△OEB（SSS），∴∠OFE＝∠OBE，∵OE＝OB＝0F，∴∠OEF＝∠OFE＝∠OEB＝∠OBE，∠OFB＝∠OBF，∵∠ABF＝∠AOF＝20°，∴∠OFB＝∠OBE＝20°，∵∠OFB+∠OBF+∠OFE+∠OBE+∠BEF＝180°，∴4∠EFO+40°＝180°，∴∠OFE＝35°，故选：D．8．如图，AB是⊙O的直径，C和D是⊙O上两点，连接AC、BC、BD、CD，若∠CDB＝36°，则∠ABC＝（）A．36°B．44°C．54°D．72°【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠A＝∠D＝36°，∴∠ABC＝90°﹣36°＝54°，故选：C．9．如图，点D，E分别是⊙O的内接正三角形ABC的AB，AC边的中点，若DE＝1，则⊙O 的直径为（）A．B．C．D．【解答】解：连接OB、OC，作OF⊥BC于F，则BF＝CF＝BC，∵点D，E分别AB，AC边的中点，∴BC＝2DE＝2，由圆周角定理得，∠BOC＝2∠A＝120°，∴∠OBF＝30°，∴OB＝＝＝，∴⊙O的直径为，故选：D．10．如图，已知AB是圆O的直径，弦CD与AB垂直，垂足为M，E是CD延长线上一点，且AB＝10，CD＝8，3DE＝4OM，过F做作圆O的切线EF，BF交CD于G．则以下说法其中正确的是（）A．MB＝3B．EF＝4C．FD∥AB D．EF＝EG【解答】解：连接OC，∵AB是圆O的直径，弦CD与AB垂直，∴∠OMC＝90°，CM＝DM，∵AB＝10，CD＝8，∴OC＝5，CM＝4，∴OM＝3，∴BM＝2，故A选项错误；连接AF，OF，∴∠AFB＝90°，∵过F作圆O的切线EF，∴∠OFE＝90°，∴∠AFO＝∠EFG，∵∠A+∠B＝∠B+∠BGM＝90°，∴∠BGM＝∠A，∵∠A＝∠AFO，∠BGM＝∠DGF，∴∠EFG＝∠EGF，∴EF＝EG，故D选项正确；∵3DE＝4OM，∴DE＝4，CE＝12，∴EF2＝DE•CE＝48，∴EF＝4，故B选项错误；连接AD，则∠BAD＝∠BFD，∵GM＝EM﹣EG＝8﹣4，∴tan∠MBG＝＝4﹣2，tan∠BAD＝＝＝≠tan∠MBG，∴∠BAD≠∠MBG，∠MBF≠∠BFD，∴FD与AB不平行，故C选项错误，故选：D．一．填空题11．如图，⊙O是△ABC的外接圆，半径为2cm，若BC＝2cm，则∠A的度数为．【解答】解：连接OB和OC，∵圆O半径为2，BC＝2，∴OB＝OC＝BC，∴△OBC为等边三角形，∴∠BOC＝60°，∴∠A＝∠BOC＝30°，12．如图，已知⊙O的半径为5，弦AB、CD所对的圆心角分别是∠AOB、∠COD，若∠AOB 与∠COD互补，弦CD＝6，则点O到弦AB的距离为．【解答】解：延长CO交⊙O于E，连接DE，过O作OF⊥DE于F，OH⊥CD于H，OG⊥AB于G，线段OG的长是点O到弦AB的距离，∵∠COD和∠DOE互补，∠COD和∠AOB互补，∴∠DOE＝∠AOB，∴DE＝AB，OF＝OG，∵OH⊥DC，CD＝6，OH过O，∴DH＝HC＝DC＝3，∠OHD＝∠OHC＝90°，由勾股定理得：OH＝＝＝4，∵OC＝OE，DH＝HC，OH＝4，∴DE＝2OH＝8，∵OF⊥DE，OF过O，∴DF＝EF＝DE＝4，在Rt△DFO中，由勾股定理得：OF＝＝＝3，∴OG＝OF＝3，即点O到AB的距离是3，13．如图，B、C两点在以AD为直径的半圆O上，若∠ABC＝4∠D，且＝3，则∠A 的度数为．【解答】解：连接OC，OB．∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC＝4∠D，∴∠D＝36°，∵OC＝DO，∴∠OCD＝∠D＝36°，∴∠DOC＝180°﹣36°﹣36°＝108°，∵＝3，∴∠COD＝3∠BOC，∴∠BOC＝36°，∴∠BOD＝36°+108°＝144°，∴∠A＝∠DOB＝72°，14．点P为⊙O外一点，P A为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于点B，∠P＝30°，BP ＝4，则线段AP的长为．【解答】解：连接OA，如图：∵P A为⊙O的切线，∴P A⊥OA，∴∠OAP＝90°，∵∠P＝30°，∴OP＝2OA＝2OB，AP＝OA，∴OA＝OB＝BP＝4，∴AP＝4；15．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，点E，F分别在边AD，BC上，且点B，F关于过点E的直线对称，如果EF与以CD为直径的圆恰好相切，那么AE＝．【解答】解：如图，设⊙O与EF相切于M，连接EB，作EH⊥BC于H．由题意易知四边形AEHB是矩形，设AE＝BH＝x，由切线长定理可知，ED＝EM，FC＝FM，∵B、F关于EH对称，∴HF＝BH＝x，ED＝EM＝8﹣x，FC＝FM＝8﹣2x，EF＝16﹣3x，在Rt△EFH中，∵EF2＝EH2+HF2，∴42+x2＝（16﹣3x）2，解得x＝6﹣或6+（舍弃），∴AE＝6﹣，故答案为：6﹣．16．如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，OA＝OB＝2，将扇形OAB绕边OB的中点D 顺时针旋转90°得到扇形O'A'B'，弧A'B′交OA于点E，则图中阴影部分的面积为．【解答】解：延长EO交O'A'于P，则由∠AOB＝90°，OA＝OB＝2，D为OB中点，可得S阴影OPO′＝12﹣＝1﹣；∵O′P＝OE，∠EPO'＝90°，∴cos∠EO'P＝，∴∠EO'P＝60°，EP＝∴S阴影A′PE＝S扇形O′A′E﹣S△O′PE＝﹣××1＝﹣∴S阴影═1﹣+﹣＝1﹣+．故答案为1﹣+．二．解答题17．如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点且AP＝AC．（1）求证：P A是⊙O的切线；（2）若AB＝2+，BC＝4，求⊙O的半径．【解答】（1）证明：连接OA，∵∠B＝60°，∴∠AOC＝2∠B＝120°，又∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝30°，又∵AP＝AC，∴∠P＝∠ACP＝30°，∴∠OAP＝∠AOC﹣∠P＝90°，∴OA⊥P A，∴P A是⊙O的切线；（2）解：过点C作CE⊥AB于点E．在Rt△BCE中，∠B＝60°，BC＝4，∴BE＝BC＝2，CE＝2，∵AB＝2+，∴AE＝AB﹣BE＝，在Rt△ACE中，AC＝＝3，在Rt△P AO中，OA＝AP＝，∴⊙O的半径为．18．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，BC是⊙O的直径，过点O作OF⊥BC，交AC于点E，连接AF，且AF是⊙O的切线．（1）求证：AF＝EF．（2）若⊙O的半径为5，AB＝，求AF的长．【解答】解：（1）如图，连接OA，∵AF为⊙O的切线，∴∠OAC+∠F AC＝90°，∵∠FEA＝∠OEC，OF⊥BC，∴∠OEC+∠OCE＝90°，∵∠OCE＝∠OAC，∴∠F AC＝∠FEA，∴AF＝EF；（2）∵⊙O的半径为5，∴BC＝10，在Rt△ABC中，AB＝，根据勾股定理，得AC＝＝3，∵∠ECO＝∠BCA，∠EOC＝∠CAB＝90°，∴△EOC∽△BAC，∴＝，即＝，解得OE＝，由（1）可知：AF＝EF，设AF＝EF＝x，∴OF＝EF+OE＝x+，在Rt△AOF中，根据勾股定理，得AF2+OA2＝OF2，即x2+52＝（x+）2，解得x＝．答：AF的长为．19．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，∠BAC＝∠DAC，过点C做直线EF ⊥AD，交AD的延长线于点E，连接BC．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若∠BAC＝∠DAC＝30°，BC＝2，求劣弧的长l．【解答】（1）证明：连接OC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠DAC，∴∠DAC＝∠OCA，∴AD∥OC，∵∠AEC＝90°，∴∠OCF＝∠AEC＝90°，∴EF是⊙O的切线；（2）解：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠BAC＝∠DAC＝30°，BC＝2，∴∠BOC＝60°，AB＝2BC＝4，∴OB＝AB＝2，∴的长＝＝π．20．如图所示，AB是⊙O的直径，AD和BC分别切⊙O于A，B两点，CD与⊙O有公共点E，且AD＝DE．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AB＝12，BC＝4，求AD的长．【解答】（1）证明：连接OD，OE，∵AD切⊙O于A点，AB是⊙O的直径，∴∠DAB＝90°，∵AD＝DE，OA＝OE，OD＝OD，∴△ADO≌△EDO（SSS），∴∠OED＝∠OAD＝90°，∴CD是⊙O的切线；（2）解：过C作CH⊥AD于H，∵AB是⊙O的直径，AD和BC分别切⊙O于A，B两点，∴∠DAB＝∠ABC＝∠CHA＝90°，∴四边形ABCH是矩形，∴CH＝AB＝12，AH＝BC＝4，∵CD是⊙O的切线，∴AD＝DE，CE＝BC，∴DH＝AD﹣BC＝AD﹣4，CD＝AD+4，∵CH2+DH2＝CD2，∴122+（AD﹣4）2＝（AD+4）2，∴AD＝9．21．如图，直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，与⊙O相交于点P，OA＝10．C是直线l上一点，连结CP并延长交⊙O于另一点B，且AB＝AC．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为6，求线段BP的长．【解答】（1）证明：如图，连结OB，则OP＝OB，∴∠OBP＝∠OPB＝∠CP A，AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC，而OA⊥l，即∠OAC＝90°，∴∠ACB+∠CP A＝90°，即∠ABP+∠OBP＝90°，∴∠ABO＝90°，OB⊥AB，故AB是⊙O的切线；（2）解：由（1）知：∠ABO＝90°，而OA＝10，OB＝OP＝6，由勾股定理，得：AB＝8，过O作OD⊥PB于D，则PD＝DB，∵∠OPD＝∠CP A，∠ODP＝∠CAP＝90°，∴△ODP∽△CAP，∴，又∵AC＝AB＝8，AP＝OA﹣OP＝4，∴PC＝＝4，∴PD＝＝，∴BP＝2PD＝．22．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是直径，AB＝BC，连接BD，过点D的直线与CA的延长线相交于点E，且∠EDA＝∠ACD．（1）求证：直线DE是⊙O的切线；（2）若AD＝6，CD＝8，求BD的长．【解答】（1）证明：连接OD，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∵AC是直径，∴∠ADC＝90°，∵∠EDA＝∠ACD，∴∠ADO+∠ODC＝∠EDA+∠ADO＝90°，∴∠EDO＝∠EDA+∠ADO＝90°，∴OD⊥DE，∵OD是半径，∴直线DE是⊙O的切线．（2）过点B作BH⊥BD交DC延长线于点H．∴∠DBH＝90°，∵AC是直径，∴∠ABC＝90°，∵∠ABD＝90°﹣∠DBC∠CBH＝90°﹣∠DBC，∴∠ABD＝∠CBH，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠BAD+∠BCD＝180°，∵∠BCD+∠BCH＝180°，∴∠BAD＝∠BCH，∵AB＝CB，∴△ABD≌△CBH（ASA），∴AD＝CH，BD＝BH，∵AD＝6，CD＝8，∴DH＝CD+CH＝14，在Rt△BDH中，∵BD2＝DH2﹣BH2＝98，∴．23．如图，⊙O为△ABC的外接圆，D为OC与AB的交点，E为线段OC延长线上一点，且∠EAC＝∠ABC．（1）求证：直线AE是⊙O的切线．（2）若D为AB的中点，CD＝6，AB＝16①求⊙O的半径；②求△ABC的内心到点O的距离．【解答】解：（1）证明：连接AO，并延长AO交⊙O于点F，连接CF∵AF是直径∴∠ACF＝90°∴∠F+∠F AC＝90°，∵∠F＝∠ABC，∠ABC＝∠EAC ∴∠EAC＝∠F∴∠EAC+∠F AC＝90°∴∠EAF＝90°，且AO是半径∴直线AE是⊙O的切线．（2）①如图，连接AO，∵D为AB的中点，OD过圆心，∴OD⊥AB，AD＝BD＝AB＝8，∵AO2＝AD2+DO2，∴AO2＝82+（AO﹣6）2，∴AO＝，∴⊙O的半径为；②如图，作∠CAB的平分线交CD于点H，连接BH，过点H作HM⊥AC，HN⊥BC，∵OD⊥AB，AD＝BD∴AC＝BC，且AD＝BD∴CD平分∠ACB，且AH平分∠CAB∴点H是△ABC的内心，且HM⊥AC，HN⊥BC，HD⊥AB∴MH＝NH＝DH在Rt△ACD中，AC＝＝＝BC，∵S△ABC＝S△ACH+S△ABH+S△BCH，∴×16×6＝×10×MH+×16×DH+×10×NH，∴DH＝，∵OH＝CO﹣CH＝CO﹣（CD﹣DH），∴OH＝﹣（6﹣）═5．。
九年级数学下册第3章圆3.1圆测试北师大版(2021年整理)
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《圆》分层练习◆基础题1．下列说法错误的是（）A．直径是圆中最长的弦B．长度相等的两条弧是等弧C．面积相等的两个圆是等圆D．半径相等的两个半圆是等弧2．把地球和篮球的半径都增加一米,那么地球和篮球的大圆的周长也都增加了，谁增加得多一些呢( )A．地球多B．篮球多C．一样多D．不能确定3．如图，一枚半径为r的硬币沿着直线滚动一圈，圆心经过的距离是（）A．4πr B．2πr C．πr D．2r4．已知线段AB长3厘米，经过A，B两点,以半径2厘米作圆，则( ) A．可作1个B．可作2个C．可作无数个D．无法作出5．到点O的距离等于8的点的集合是．6．已知⊙O的半径为5cm,则圆中最长的弦长为cm．7．过圆内的一点（非圆心)有条直径．8．在同一平面内，1个圆把平面分成2个部分,2个圆把平面最多分成4个部分，3个圆把平面最多分成8个部分，4个圆把平面最多分成14个部分，那么10个圆把平面最多分成个部分．9．已知线段AB=3cm，用图形表示到点A的距离小于2cm，且到点B的距离大于2cm的所有点的集合．10．实践探究：有一个周长62.8米的圆形草坪，准备为它安装自动旋转喷灌装置进行喷灌，现有射程为20米、15米、10米的三种装置，你认为应选哪种比较合适?安装在什么地方?◆能力题1．由所有到已知点O的距离大于或等于3,并且小于或等于5的点组成的图形的面积为（）A．4πB．9πC．16πD．25π2．如图，在⊙O中，弦的条数是（）A．2 B．3 C．4 D．以上均不正确3．下列说法：①弧分为优弧和劣弧；②半径相等的圆是等圆；③过圆心的线段是直径;④长度相等的弧是等弧；⑤半径是弦，其中错误的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．54．战国时的《墨经》就有“圆,一中同长也”的记载．它的意思是圆上各点到圆心的距离都等于．5．已知,圆A的周长是圆B的周长的4倍，那么圆A的面积是圆B的面积的倍．6．线段AB=10cm，在以AB为直径的圆上，到点A的距离为5cm的点有个．7．已知线段AB=4cm，以3cm长为半径作圆,使它经过点A、B，能作几个这样的？请作出符合要求的图．8．如图，CD是⊙O的直径，点A在DC的延长线上，∠A=20°，AE交⊙O于点B，且AB=OC．(1）求∠AOB的度数．（2）求∠EOD的度数．◆提升题1．如图中正方形、矩形、圆的面积相等，则周长L的大小关系是( ）A．L A＞L B＞L C B．L A＜L B＜L C C．L B＞L C＞L A D．L C＜L A＜L B2．如图是公园的路线图，⊙O1,⊙O2,⊙O两两相切，点A,B，O分别是切点,甲乙二人骑自行车，同时从点A出发，以相同的速度，甲按照“圆”形线行驶，乙行驶“8字型”线路行驶．若不考虑其他因素,结果先回到出发点的人是（）A．甲B．乙C．甲乙同时D．无法判定3．如图甲，圆的一条弦将圆分成2部分；如图乙,圆的两条弦将圆分成4部分；如图丙，圆的三条弦将圆分成7部分．由此推测，圆的四条弦最多可将圆分成11 部分；圆的十九条弦最多可将圆分成部分．4．如图，A是硬币圆周上一点，硬币与数轴相切于原点O（A与O点重合）．假设硬币的直径为1个单位长度，若将硬币沿数轴正方向滚动一周，点A恰好与数轴上点A′重合,则点A′对应的实数是．5．如图所示，最外侧大圆的面积是半径为2厘米的小圆面积的几倍？阴影部分的面积是半径为3厘米的圆的面积的多少？6．如图，圆心为点M的三个半圆的直径都在x轴上，所有标注A的图形面积都是S A，所有标注B的图形面积都是S B．（1)求标注C的图形面积S C；（2）求S A:S B．答案和解析◆基础题1．【答案】B解:A、直径是圆中最长的弦，所以A选项的说法正确；B、在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧,所以B选项的说法错误;C、面积相等的两个圆的半径相等，则它们是等圆，所以C选项的说法正确；D、半径相等的两个半圆是等弧,所以D选项的说法正确．2．【答案】C解：根据圆的周长公式为2πr,假设地球的半径为R，篮球的半径为r，地球和篮球的半径都增加一米，那么地球和篮球的大圆的周长将变为:2π（R+1)和2π（r+1），即2π（R+1）=2πR+2π，2π(r+1）=2πr+2π，∴周长都增加了2π．3．【答案】B解:圆心经过的距离就是圆的周长，所以是2πr．4．【答案】B解：如图，分别以A、B为圆心、2cm为半径作圆，两圆相交于点C、D，然后分别以C、D为圆心,2cm为半径作圆，则⊙C和⊙D为所求．5．【答案】以点O为圆心，以8为半径的圆解：到点O的距离等于8的点的集合是：以点O为圆心，以8为半径的圆．6．【答案】10解:∵⊙O的半径为5cm，∴⊙O的直径为10cm，即圆中最长的弦长为10cm．7．【答案】且只有一解:过圆内的一点（非圆心）有且只有一条直径．8．【答案】92解：∵1个圆把平面分成部分=2，2个圆把平面最多分成的部分=2+2=4，3个圆把平面最多分成的部分=2+2+4=2+2（1+2）=8，4个圆把平面最多分成的部分=2+2（1+2+3）=14，∴10个圆把平面最多分成的部分=2+2(1+2+3+4+5+6+7+8+9）=92．9．解:如图:阴影部分就是到点A的距离小于2cm，且到点B的距离大于2cm的所有点组成的图形10．解：设圆形草坪的半径为r，则由题意知，2πr=62.8，解得：r≈10m．所以选射程为10米的喷灌装置,安装在圆形草坪的中心处．◆能力题1．【答案】C解：由所有到已知点O的距离大于或等于3，并且小于或等于5的点组成的图形的面积是以5为半径的圆与以3为半径的圆组成的圆环的面积，即π×52﹣π×32=16π．2．【答案】C解：如图,在⊙O中，有弦AB、弦DB、弦CB、弦CD．共有4条弦．3．【答案】C解：①根据半圆也是弧，故此选项错误,符合题意；②由等圆的定义可知,半径相等的两个圆面积相等、周长相等,所以为等圆,故此选项正确，不符合题意；③过圆心的线段是直径，根据圆的直径的含义可知：通过圆心的线段，因为两端不一定在圆上,所以不一定是这个圆的直径,故此选项错误，符合题意;④长度相等的弧不为等弧，因为等弧就是能够重合的两个弧，而长度相等的弧不一定是等弧，所以等弧一定是同圆或等圆中的弧，故此选项错误，符合题意．4．【答案】半径解:战国时期的《墨经》一书中记载：“圜(圆）,一中同长也”．表示圆心到圆上各点的距离都相等，即半径都相等；5．【答案】16解：设圆A的半径为a,圆B的半径为b．由题意2πa=4×2πb，∴a=4b，∴⊙A的面积：⊙B的面积=π•（4b）2：πb2=16:1．6．【答案】2解:如图所示：到点A的距离为5cm的点有2个．7．解：这样的圆能画2个．如图:作AB的垂直平分线l，再以点A为圆心，3cm为半径作圆交l于O1和O2，然后分别以O1和O2为圆心，以3cm为半径作圆，则⊙O1和⊙O2为所求圆．8．解:(1)连OB，如图，∵AB=OC，OB=OC，∴AB=BO，∴∠AOB=∠1=∠A=20°；（2）∵∠2=∠A+∠1,∴∠2=2∠A，∵OB=OE,∴∠2=∠E，∴∠E=2∠A,∴∠DOE=∠A+∠E=3∠A=60°．◆提升题1．【答案】D解:设面积是S S L A S16S S长方形的一边长x,则另一边长为Sx，则周长L B=2（x+Sx）,∵（x+Sx)2≥0,∴x +S x≥L B ≥L B L C =2π×，∴L C ＜L A ＜L B ．2．【答案】C解：设⊙O 1的半径是r ，则⊙O 2的半径是r ,⊙O 的半径是2r ．则延“8字型”线路行驶时：路线长是4πr ．同样按“圆”形线行驶的路线长4πr ．因而两人同时到达．3．【答案】191解:一条弦将圆分成1+1=2部分，二条弦将圆分成1+1+2=4部分，三条弦将圆分成1+1+2+3=7部分，四条弦将圆分成1+1+2+3+4=11部分，…n 条弦将圆分成1+1+2+3+…+n =1+()12n n +部分，当n =19时，1+()12n n +=191部分． 4．【答案】π解：将硬币沿数轴正方向滚动一周，点A 恰好与数轴上点A ’重合，则转过的距离是圆的周长是π，因而点A '对应的实数是π．5．解：3+2=5（厘米），（3.14×52)÷（3。
北师大版九年级数学下《3.1圆》同步习题含答案
九年级数学下册第三章圆 3.1圆同步俩习题一、选择题(7分×3＝21分)1．如图，一枚直径为4cm的圆形古钱币沿着直线滚动一周，圆心移动的距离是( )A．2πcm B．4πcm C．8πcm D．16πcm2．在直角坐标系中，⊙A、⊙B的位置如图所示，下列四个点中，在⊙A 外部且在⊙B内部的是()A．(1，2) B．(2，1) C．(2，－1) D．(3，1)3．如图，点P是以O为圆心，AB为直径的半圆上的动点，AB＝2.设弦AP 的长为x，△APO的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是()二、填空题(7分×4＝28分)4．如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上．已知∠BOC＝70°，AD∥OC，则∠AOD＝_____________．,第4题图),第5题图)5．如图，半圆的直径AB＝____________．6．下列图形中：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形；⑤等腰梯形．其中四个顶点在同一圆上的有___________（只填序号即可)．7．在同一平面内，点P到圆上的点的最大距离为10cm，最小距离为4cm，则此圆的半径为_________________．三、解答题(14分＋17分＋20分＝51分)8．如图所示，AB是⊙O的弦，半径OC、OD分别交AB于点E、F，且AE＝BF.请你找出线段OE与OF的数量关系，并给予证明．9．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线相交于点E.已知AB＝2DE，∠E＝18°.试求∠AOC的度数．10．如图所示，在⊙O上有一点C(C不与A、B重合)，在直径AB上有一个动点P(P不与A、B重合)．试判断PA、PC、PB的大小关系，并说明理由．答案：1. B2. C3. A4. 40°5. 226. ②④⑤7. 4cm或3cm8. 解：OE＝OF.证明：连接OA、OB，∵OA、OB是⊙O的半径，∴OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB，又∵AE＝BF，∴△OAE≌△OBF，∴OE＝OF.9. 解：连接OD，∵AB＝2DE，AB＝2OD，∴OD＝DE，∴∠DOE＝∠E，∴∠ODC＝2∠E＝36°，∵OC＝OD，∴∠C＝∠ODC＝36°，∴∠AOC＝∠C－∠E＝54°10. 解：当点P与点O重合时，P A＝PB＝PC，当点P在OA上时，P A＜PC＜PB.理由：连接OC，在△POC中，OC－OP＜PC＜OP＋OC，∵OA＝OB＝OC，∴OA－OP＜PC＜OP＋OB，∴P A＜PC＜PB，同理，当P点在OB上时，PB＜PC＜P A.。
2022年北师大版九年级数学下册第三章 圆综合测试试题(含答案解析)
北师大版九年级数学下册第三章圆综合测试考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）∠=（）1、如图，AB是O的直径，C、D是O上的两点，若130∠=︒，则ADCBOCA．15°B．20°C．25°D．30°2、小明设计了如图所示的树型图案，它是由4个正方形、8个等边三角形和5个扇形组成，其中正方形的边长、等边三角形的边长和扇形的半径均为3，则图中扇形的弧长总和为（）A．8πB．172πC．192πD．12π3、如图，正六边形ABCDEF的边长为6，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则图中阴影部分图形的周长为（）A．2πB．4πC．2π+12D．4π+124、如图，边长为）A ．B ．23πC ．D ． 5、如图，直线334y x =--交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，点P 是x 轴上一动点，以点P 为圆心，以1个单位长度为半径作⊙P ，当⊙P 与直线AB 相切时，点P 的坐标是（ ）A ．7(,0)3-B ．17(,0)3- C ．7(,0)3-或17(,0)3- D ．（﹣2，0）或（﹣5，0）6、如图，等边△ABC 内接于⊙O ，D 是BC 上任一点（不与B 、C 重合），连接BD 、CD ，AD 交BC 于E ，CF 切⊙O 于点C ，AF ⊥CF 交⊙O 于点G ．下列结论：①∠ADC ＝60°；②DB 2＝DE •DA ；③若AD ＝2，则四边形ABDC CF ＝83π．正确的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7、如图，AB 是⊙O 的直径，BD 与⊙O 相切于点B ，点C 是⊙O 上一点，连接AC 并延长，交BD 于点D ，连接OC ，BC ，若∠BOC ＝50°，则∠D 的度数为（ ）A ．50°B ．55°C ．65°D ．75°8、如图，ABC 内接于⊙O ，110,40ABC BCA ∠=︒∠=︒，BD 为⊙O 的直径，且BD ＝2，则DC ＝（ ）A ．1B ．12CD 9、如图，O 中，90AOC ︒∠=，则ABC ∠等于（ ）A ．35︒B ．40︒C ．45︒D ．50︒10、如图，在O 中，AB BC CD ==，连接AC ，CD ，则AC 与CD 的关系是（ ）．A ．2AC CD =B ．2AC CD < C ．2AC CD > D ．无法比较第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，在ABC 中，4BC =，以点A 为圆心，2为半径的A 与BC 相切于点D ，交AB 于点E ，交AC 于点F ，点P 是A 上一点，且40EPF ∠=°，则图中阴影部分的面积是______．2、如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点H ，若AB =10，CD =8，则OH 的长为__________3、如图，A 是⊙O 上的一点，且AB 是⊙O 的切线，CD 是⊙O 的直径，连接AC 、AD ．若∠BAC ＝30°，CD ＝2，则AD 的长为 _____．4、如图，圆锥的底面半径OC ＝1，高AO ＝2，则该圆锥的侧面积等于 _____．5、如图，AB 是O 的直径，AC 是O 的切线，切点为A ，BC 交O 于点D ，点E 是AC 的中点．若O 的半径为2，50B ∠=， 4.8AC =，则阴影部分的面积为________．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、尝试：如图①，ABC 中，将ABC 绕点A 按逆时针方向旋转一定角度得到AB C ''，点B 、C 的对应点分别为B ′、C '，连接BB '、CC '，直接写出图中的一对相似三角形_______；拓展：如图②，在ABC 中，90C ∠=︒，AC BC =，将ABC 绕点A 按逆时针方向旋转一定角度得到AB C ''，点B 、C 的对应点分别为B ′、C '，连接BB '、CC '，若8BB '=，求CC '的长；应用：如图③，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，2AB =，30ABC ∠=︒，将ABC 绕点A 按逆时针方向旋转一周，在旋转过程中，当点B 的对应点B ′恰好落在Rt ABC △的边所在的直线上时，直接写出此时点C 的运动路径长．2、问题背景如图（1），△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，直线l 绕着点A 顺时针旋转，过B ，C 两点分别向直线l 作垂线BD ，CE ，垂足为D ，E ，此时△ABD 可以由△CAE 通过旋转变换得到，请写出旋转中心、旋转方向及旋转角的大小（取最小旋转角度）．尝试应用如图（2），△ABC 为等边三角形，直线l 绕着点A 顺时针旋转，D 、E 为直线l 上两点，∠BDA ＝∠AEC ＝60°．△ABD 可以由△CAE 通过旋转变换得到吗？若可以，请指出旋转中心O 的位置并说明理由；拓展创新如图（3）在问题背景的条件下，若AB ＝2，连接DC ，直接写出CD 的长的取值范围．3、如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示．（1）画出ABC 关于y 轴对称的111A B C △；（2）画出将ABC 绕点O 顺时针方向旋转90 得到的222A B C △；（3）在（2）的旋转变换中，求线段BC 扫过的面积．4、在一块大铁皮上裁剪如图所示圆锥形的烟囱帽，它的底面直径为80cm，母线为50cm．，求裁剪的面积．5、如图，已知等边ABC内接于⊙O，D为BC的中点，连接DB，DC，过点C作AB的平行线，交BD 的延长线于点E．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若AB的长为6，求CE的长．-参考答案-一、单选题1、C【分析】根据圆周角定理得到∠BDC的度数，再根据直径所对圆周角是直角，即可得到结论．【详解】解：∵∠BOC=130°，∴∠BDC=12∠BOC=65°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠ADC=90°-65°=25°，故选：C．【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．2、C【分析】如图（见解析），先分别求出扇形①、②、③、④和⑤的圆心角的度数，再利用弧长公式即可得．【详解】解：如图，扇形①、③和⑤的圆心角的度数均为360906060150︒-︒-︒-︒=︒，扇形②和④的圆心角的度数均为180606060︒-︒-︒=︒，则图中扇形的弧长总和1503603151932218018022πππππ⨯⨯⨯+⨯=+=， 故选：C ．【点睛】 本题考查了求弧长，熟记弧长公式（180n r l π=，其中l 为弧长，n ︒为圆心角的度数，r 为扇形的半径）是解题关键．3、D【分析】根据正多边形的外角求得内角FAB ∠的度数，进而根据弧长公式求得FB l ，即可求得阴影部分的周长．【详解】 解：正六边形ABCDEF 的边长为6，1180360120,66FAB AF AB ∴∠=︒-⨯︒=︒== ∴FB l 12064180ππ⨯== ∴阴影部分图形的周长为412FB AF AB l π++=+ 故选D【点睛】本题考查了求弧长公式，求正多边形的内角，牢记弧长公式和正多边形的外角与内角的关系是解题的关键．4、A【分析】正三角形的面积加上三个小半圆的面积，再减去中间大圆的面积即可得到结果．【详解】解：正三角形的面积为：162⨯=三个小半圆的面积为：(213182ππ⨯⨯⨯=，中间大圆的面积为：2416ππ⋅=，所以阴影部分的面积为：18162πππ-=，故选：A【点睛】本题考查了正多边形与圆，圆的面积的计算，正三角形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键．5、C【分析】由题意根据函数解析式求得A （-4，0），B （0．-3），得到OA =4，OB =3，根据勾股定理得到AB =5，设⊙P 与直线AB 相切于D ，连接PD ，则PD ⊥AB ，PD =1，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】 解：∵直线334y x =--交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，∴令x =0，得y =-3，令y =0，得x =-4，∴A （-4，0），B （0，-3），∴OA =4，OB =3，∴AB =5，设⊙P 与直线AB 相切于D ，连接PD，则PD⊥AB，PD=1，∵∠ADP=∠AOB=90°，∠PAD=∠BAO，∴△APD∽△ABO，∴PD AP OB AB=，∴135AP =，∴AP= 53，∴OP= 73或OP=173，∴P7(,0)3-或P17(,0)3-，故选：C．【点睛】本题考查切线的判定和性质，一次函数图形上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，正确的理解题意并运用数形结合思维分析是解题的关键．6、C【分析】如图1，△ABC是等边三角形，则∠ABC＝60°，根据同弧所对的圆周角相等∠ADC＝∠ABC＝60°，所以判断①正确；如图1，可证明△DBE∽△DAC，则DB DEDA DC=，所以DB•DC＝DE•DA，而DB与DC不一定相等，所以判断②错误；如图2，作AH⊥BD于点H，延长DB到点K，使BK＝CD，连接AK，先证明△ABK≌△ACD，可证明S四边形ABDC＝S△ADK，可以求得S△ADK3，连接OA、OG、OC、GC，由CF切⊙O于点C得CF⊥OC，而AF⊥CF，所以AF∥OC，由圆周角定理可得∠AOC＝120°，则∠OAC＝∠OCA＝30°，于是∠CAG＝∠OCA＝30°，则∠COG＝2∠CAG＝60°，可证明△AOG 和△COG都是等边三角形，则四边形OABC是菱形，因此OA∥CG，推导出S阴影＝S扇形COG，在Rt△CFG中根据勾股定理求出CG 的长为4，则⊙O 的半径为4，可求得S 阴影＝S扇形COG ＝2604360⨯π＝83π，所以判断④正确，所以①③④这3个结论正确．【详解】解：如图1，∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC ＝60°，∵等边△ABC 内接于⊙O ，∴∠ADC ＝∠ABC ＝60°，故①正确；∵∠BDE ＝∠ACB ＝60°，∠ADC ＝∠ABC ＝60°，∴∠BDE ＝∠ADC ，又∠DBE ＝∠DAC ，∴△DBE ∽△DAC ， ∴DB DE DA DC =, ∴DB •DC ＝DE •DA ，∵D 是BC 上任一点，∴DB 与DC 不一定相等，∴DB •DC 与DB 2也不一定相等，∴DB 2与DE •DA 也不一定相等，故②错误；如图2，作AH⊥BD于点H，延长DB到点K，使BK＝CD，连接AK，∵∠ABK+∠ABD＝180°，∠ACD+∠ABD＝180°，∴∠ABK＝∠ACD，∴AB＝AC，∴△ABK≌△ACD（SAS），∴AK＝AD，S△ABK＝S△ACD，DK，∴DH＝KH＝12∵∠AHD＝90°，∠ADH＝60°，∴∠DAH ＝30°，∵AD ＝2，∴DH ＝12AD ＝1，∴DK ＝2DH ＝2，AH =∴S △ADK ＝12AH DK ⋅=∴S 四边形ABDC ＝S △ABD +S △ACD ＝S △ABD +S △ABK ＝S △ADK故③正确；如图3，连接OA 、OG 、OC 、GC ，则OA ＝OG ＝OC ，∵CF 切⊙O 于点C ，∴CF ⊥OC ，∵AF ⊥CF ，∴AF ∥OC ，∵∠AOC ＝2∠ABC ＝120°，∴∠OAC ＝∠OCA ＝12×（180°﹣120°）＝30°，∴∠CAG ＝∠OCA ＝30°，∴∠COG ＝2∠CAG ＝60°，∴∠AOG ＝60°，∴△AOG 和△COG 都是等边三角形，∴OA ＝OC ＝AG ＝CG ＝OG ，∴四边形OABC 是菱形，∴OA ∥CG ，∴S △CAG ＝S △COG ，∴S 阴影＝S 扇形COG ，∵∠OCF ＝90°，∠OCG ＝60°，∴∠FCG ＝30°，∵∠F ＝90°，∴FG ＝12CG ，∵FG 2+CF 2＝CG 2，CF ＝∴（12CG ）2+（2＝CG 2，∴CG ＝4，∴OC ＝CG ＝4，∴S 阴影＝S 扇形COG ＝2604360⨯π＝83π， 故④正确，∴①③④这3个结论正确，故选C ．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，圆切线的性质，圆周角定理，全等三角形的性质与判定，菱形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．7、C【分析】首先证明∠ABD＝90°，由∠BOC＝50°，根据圆周角定理求出∠A的度数即可解决问题．【详解】解：∵BD是切线，∴BD⊥AB，∴∠ABD＝90°，∵∠BOC＝50°，∠BOC＝25°，∴∠A＝12∴∠D＝90°﹣∠A＝65°，故选：C．【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，属于中考常考题型．8、C【分析】根据三角形内角和定理求得A ∠，根据同弧所对的圆周角相等可得30D A ∠=∠=︒，根据直径所对的圆周角是直角，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理即可求得DC 的长【详解】 解：110,40ABC BCA ∠=︒∠=︒30A ∴∠=︒BC BC =∴30D A ∠=∠=︒ BD 为⊙O 的直径，90BCD ∴∠=︒在Rt BCD ，30D ∠=︒， BD ＝2， ∴12BC BD ==1DC ∴故选C【点睛】本题考查了三角形内角和定理，同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，求得30D A ∠=∠=︒是解题的关键．9、C【分析】由题意直接根据圆周角定理进行分析即可得出答案.【详解】解：∵∠ABC 和∠AOC 是弧AC 所对的圆周角和圆心角，90AOC ︒∠=，∴∠ABC =12∠AOC =45︒.故选：C.【点睛】本题考查圆周角定理，注意掌握同弧（等弧）所对的圆周角是圆心角的一半．10、B【分析】连接AB ，BC ，根据AB BC CD ==得AB BC CD ==，再根据三角形三边关系可得结论．【详解】解：连接AB ，BC ，如图，∵AB BC CD ==∴AB BC CD ==又AB BC AC +>∴2AC CD <故选：B【点睛】本题考查了三角形三边关系，弧、弦的关系等知识，熟练掌握上述知识是解答本题的关键．二、填空题1、849π-【分析】连接AD ，由圆周角定理可求出80EAF ∠=︒，即可利用扇形面积公式求出EAF S 扇形．由切线的性质可知AD BC ⊥，即可利用三角形面积公式求出ABC S ．最后根据ABC EAF S S S =-阴扇形，即可求出结果．【详解】如图，连接AD ．∵40EPF ∠=°，∴280EAF EPF ∠=∠=︒， ∴22808028==3603609EAF AE S πππ⨯⨯=扇形． ∵BC 是⊙O 切线，且切点为D ，∴AD BC ⊥，2AD =， ∴1124422ABC S AD BC =⋅=⨯⨯=△． ∵ABCEAF S S S =-阴扇形， ∴849S π=-阴．故答案为：849π-． 【点睛】 本题考查圆周角定理，切线的性质，扇形的面积公式．连接常用的辅助线是解答本题的关键． 2、3【分析】 根据垂径定理可得12CH CD =，进而利用勾股定理解直角三角形即可求得OH 的长【详解】 解： AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点H ，若AB =10，CD =8，114,522CH CD OC AB ∴====在Rt OHC △中，3OH =故答案为：3【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．3、23π 【分析】连接OA ，由切线的性质得出AO ⊥AB ，得出△OAC 是等边三角形，求出∠AOD ＝120°，由弧长公式可得出答案．【详解】解：连接OA ，∵AB 是⊙O 的切线，∴AO ⊥AB ，∴∠OAB ＝90°，∵∠BAC ＝30°，∴∠OAC ＝60°，∵OA ＝OC ，∴△OAC 是等边三角形，∴∠C ＝∠AOC ＝60°，∴∠AOD ＝120°，∵CD ＝2，∴AD 的长为1201180⋅⨯π＝23π．故答案为23π． 【点睛】 本题考查了切线的性质以及弧长公式，切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径；弧长公式：180n R l π=（n ︒为圆心角的度数，R 表示圆的半径）．4【分析】根据底面半径和高利用勾股定理得AC =【详解】解：∵1OC =，2OA =，90AOC ∠=︒∴AC =∴圆锥的侧面积为1S rl π===．【点睛】本题主要考查圆锥的侧面积，熟练掌握圆锥的侧面积计算公式是解题的关键．5、241059π- 【分析】根据题意先得出△AOE ≌△DOE ,进而计算出∠AOD =2∠B =100°，利用四边形ODEA 的面积减去扇形的面积计算图中阴影部分的面积．【详解】解：连接EO 、DO ，∵点E 是AC 的中点，O 点为AB 的中点，∴OE ∥BC ，∴∠AOE =∠B ，∠EOD =∠BDO ，∵OB =OD ，∴∠B =∠BDO ，∴∠AOE =∠EOD ，在△AOE 和△DOE 中OA OD AOE DOE OE OE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△AOE ≌△DOE ，∵点E 是AC 的中点，∴AE =12AC =2.4，∵∠AOD =2∠B =2×50°=100°， ∴图中阴影部分的面积=2•12×2×2.4-21002360π⋅⋅=241059π-. 故答案为：241059π-. 【点睛】 本题考查切线的性质以及圆周角定理和扇形的面积公式和全等三角形判定性质，注意掌握圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．三、解答题1、尝试：''ABB ACC △△；拓展：'CC =；应用：点C 的运动路径长为3π或43π或23π或π或2π． 【分析】尝试：根据AB C ''△是由△ABC 旋转得到的，可得到=BAC B AC ''∠∠，AB AB '=，AC AC '=，即可推出=BAB CAC ''∠∠，1AB AC AB AC ==''，则ABB ACC ''△∽△； 拓展：由AC =BC ，∠ACB=90°，可得AB =，同（1）可证ABB ACC ''△∽△，得到AB BB AC CC =''，由此求解即可；应用：分点'B 在AC 延长线上时，点'B 在CA 的延长线上时，当点'B 落在边BC 所在直线上时，当点'B 落在边AB 所在直线上时，当点'B 与点B 重合时，点C 旋转一周时，五种情况讨论求解即可得到答案．【详解】解：尝试：ABB ACC ''△∽△，理由如下：∵AB C ''△是由△ABC 旋转得到的，∴=BAC B AC ''∠∠，AB AB '=，AC AC '=，∴=BAC CAB B AC CAB ''''++∠∠∠∠，即=BAB CAC ''∠∠，1AB AC AB AC ==''， ∴ABB ACC ''△∽△；故答案为：ABB ACC ''△∽△；拓展：∵AC =BC ，∠ACB =90°，∴AB ，同（1）原理可证ABB ACC ''△∽△， ∴AB BB AC CC =''，∴AC BB CC AB '⋅'== 应用：∵在Rt ABC 中，2AB =，30ABC ∠=︒， ∴112AC AB ==，60BAC ∠=︒， 当点'B 落在AC 所在直线上时，有两种情况：①若点'B 在AC 延长线上时，如图①所示： 由旋转的旋转可得：'60CAC BAC ∠=∠=︒，∴点C 运动的路径即为CC '，∴6011803CC ππ⨯'==； ②若点'B 在CA 的延长线上时，如图②所示，此时点B ，'C ，'B 三点共线，∴点C 运动的路径即为CC '，由旋转的性质可得'60B AC BAC '∠=∠=︒，∴'180120CAC B AC ''∠=︒-=︒∠∴旋转角360240CAC '=︒-=︒∠， ∴弧240141803'CC ππ⨯==；当点'B 落在边BC 所在直线上时，如图③所示，∴点C 运动的路径即为CC '，由旋转的性质可得'60B AC BAC '∠=∠=︒，∴'18060CAB B AC BAC ''∠=︒--=︒∠∠，∴120CAC CAB B AC =''''∠=∠+∠︒ ∴弧120121803CC'ππ⨯==；当点'B 落在边AB 所在直线上时，如图④所示，此时点C ，A ，'C 三点共线，旋转角为180︒， ∴弧1801180CC'ππ⨯==． 当点'B 与点B 重合时，点C 旋转一周，∴弧'22CC AC ππ=⨯=．∴当点B 的对应点'B 恰好落在Rt ABC 的边所在直线上时，点C 的运动路径长为3π或43π或23π或π或2π． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，求弧长，相似三角形的性质与判定，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握相似三角形的性质与判定条件，以及弧长公式．2、（1）旋转中心为BC边的中点O，旋转方向为逆时针，旋转角度为90°；（2）可以，旋转中心为为等边△ABC三边垂直平分线的交点O，理由见解析；（311≤≤CD【分析】问题背景（1）根据等腰直角三角形的性质，以及旋转的性质确定即可；尝试应用（2）首先通过证明△ABD和△CAE全等说明点A和点B对应，点C和点A对应，从而作AB 和AC的垂直平分线，其交点即为旋转中点；拓展创新（3）首先确定出D点的运动轨迹，然后结合点与圆的位置关系，分别讨论出CD最长和最短时的情况，并结合勾股定理进行求解即可．【详解】解：问题背景（1）如图所示，作AO⊥BC，交BC于点O，由等腰直角三角形的性质可知：∠AOC=90°，OA=OC，∴点A是由点C绕点O逆时针旋转90°得到，同理可得，点B是由点A绕点O逆时针旋转90°得到，点D是由点E绕点O逆时针旋转90°得到，∴△ABD可以由△CAE通过旋转变换得到，旋转中心为BC边的中点O，旋转方向为逆时针，旋转角度为90°；尝试应用（2）∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°，∵∠DAC=∠DAB+∠BAC=∠AEC+∠EAC，∠BAC=∠AEC=60°，∴∠DAB=∠ECA，在△ABD 和△CAE 中，BDA AEC DAB ECA AB CA ∠⎪∠⎧=∠∠=⎪⎨⎩= ∴△ABD ≌△CAE (AAS )，∴△ABD 的A 、B 、D 三点的对应点分别为△CAE 的C 、A 、E 三点，则AC 、AB 分别视作两组对应点的连线，此时，如图所示，作AC 和AB 的垂直平分线交于点O ，∵△ABC 为等边三角形，∴由等边三角形的性质可知，OC =OA =OB ，∠AOC =120°，∴△ABD 可以由△CAE 通过旋转变换得到，旋转中心为为等边△ABC 三边垂直平分线的交点O ；拓展创新（3）由（1）知，在直线l 旋转的过程中，总有∠ADB =90°，∴点D 的运动轨迹为以AB 为直径的圆，如图，取AB 的中点P ，连接CP ，交⊙P 于点Q ，则当点D 在CP 的延长线时，CD 的长度最大，当点D 与Q 点重合时，CD 的长度最小，即CQ 的长度，∵AB =AC ，AB =2，∴AP =1，AC =2，在Rt △APC 中，CP由圆的性质，PD =AP =1，∴PD =PQ =1，∴1CD CP PD =+=，1CQ CP PQ =-=，∴CD 11CD ≤≤．【点睛】本题主要考查旋转三要素的确定，以及旋转的性质，主要涉及等腰直角三角形和等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，以及动点最值问题，掌握旋转的性质，确定出动点的轨迹，熟练运用圆的相关知识点是解题关键．3、（1）见解析；（2）见解析；（3）2π【分析】（1）根据题意画出即可；关于y 轴对称点的坐标纵坐标不变，横坐标互为相反数；（2）根据网格结构找出点A 、B 、C 以点O 为旋转中心顺时针旋转90°后的对应点，然后顺次连接即可；（3）利用△ABC 旋转时BC 线段扫过的面积扇形BOB 2−扇形COC 2即可求出．【详解】解：（1）111A B C ∆如图．（2）222A B C ∆如图．（3）线段BC 2π=【点睛】 本题考查了利用旋转变换作图，轴对称和扇形面积公式等知识，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．4、2000π 2cm【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则利用扇形的面积公式计算出圆锥的侧面积即可．【详解】×80π×50=2000π（cm2）．解：根据题意，圆锥的侧面积为：12【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．5、（1）见解析；（2）3【分析】（1）由题意连接OC，OB，由等边三角形的性质可得∠ABC=∠BCE=60°，求出∠OCB=30°，则∠OCE=90°，结论得证；BC＝3．（2）根据题意由条件可得∠DBC=30°，∠BEC=90°，进而即可求出CE=12【详解】解：（1）证明：如图连接OC、OB．∵ABC∆是等边三角形∴ 60∠=∠=A ABCAB CE∵//∴ 60∠=∠=BCE ABC︒=又∵OB OC∴30∠=∠=OBC OCB︒∴90OCE OCB BCE ︒∠=∠+∠=∴OC CE ⊥∴CE 与⊙O 相切；（2）∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∴180A BCD ︒∠+∠=∴120BDC ︒∠=∵D 为BC 的中点，∴30DBC BCD ∠=∠=︒∴90ABE ABC DBC ∠=∠+∠=︒∵//AB CE∴90E ∠=︒ ∴11322CE BC AB === 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、圆周角定理、圆内接四边形的性质、切线的判定以及直角三角形的性质等知识．解题的关键是正确作出辅助线，利用圆的性质进行求解．。
(完整word)北师大版九年级数学下册第三章圆练习题
北师大版九年级数学下册第三章圆练习题第三章圆1．如图 3－ Y － 1， AB 是⊙ O 的直径，CD 是⊙ O 的弦，∠ACD ＝ 30°，则∠ BAD 的度数为 ()A ． 30°B． 50°C． 60° D ． 70°图 3－ Y － 1图 3－ Y－ 22．如图 3－ Y － 2，在⊙ O 中，半径 OC 与弦 AB 垂直于点D，且 AB＝ 8， OC＝5，则CD 的长是 ()A ． 3 B． 2.5 C． 2 D ． 13．如图 3－ Y－ 3，已知直线AD 是⊙ O 的切线，A 为切点，OD 交⊙ O 于点 B，点 C 在⊙O 上，且∠ ODA ＝ 36°，则∠ ACB 的度数为 ()A ． 54°B． 36°C． 30° D ． 27°图 3－ Y － 3图 3－ Y － 44．如图 3－ Y－ 4，在半径为13 cm 的圆形铁片上切下一块高为8 cm 的弓形铁片，则弓形弦 AB 的长为 ()A． 10 cm B． 16 cm C． 24 cm D． 26 cm5如图 3－ Y－5，⊙ O 的直径 AB ＝ 4，BC 切⊙ O 于点 B ，OC 平行于弦 AD ，OC＝ 5，则 AD 的长为 ()68723A.5B.5C. 5D.5图 3－Y－ 5图 3－Y－ 66．如图 3－ Y－ 6， AT 切⊙ O 于点 A ， AB 是⊙ O 的直径，若∠ ABT ＝40°，则∠ ATB ＝________° .7．如图 3－ Y－ 7，正六边形 ABCDEF 内接于⊙ O，⊙O 的半径为 6，则这个正六边形的边心距 OM 的长为 ________．8．如图 3－ Y－ 8，在扇形 AOB 中，AC 为弦，∠ AOB ＝ 130°，∠CAO ＝60°，OA ＝︵6，则 BC 的长为 ________．图 3－ Y－ 7图 3－ Y－ 89．如图 3－Y－ 9，AB 是⊙ O 的直径，AB ＝ 4，M 是 OA 的中点，过点 M 的直线与⊙ O 交于 C，D 两点．若∠ CMA ＝ 45°，则弦 CD 的长为 ________．图 3－Y － 9图 3－ Y － 1010． 如图 3－ Y － 10，直线 AB 与 CD 分别与⊙ O 相切于 B ， D 两点，且 AB ⊥CD ，垂足为 P ，连结 BD. 若 BD ＝ 4，则暗影部分的面积为 ________．11． 如图 3－ Y － 11，已知⊙ O 的内接正方形 ABCD ，E 为边 CD 上一点 ，且 DE ＝ CE ，延伸 BE 交⊙ O 于点 F ，连结 FC ，若正方形的边长为 1，求弦 FC 的长．图 3－ Y － 1112． 如图 3－ Y － 12，在 Rt △ ABC 中， ∠ ABC ＝ 90°， 以 AB 为直径的⊙ O 与 AC 交于点 D ，E 是 BC 的中点 ，连结 BD ， DE.AD1 (1)若 AB ＝3，求 sinC ； (2)求证： DE 是⊙ O 的切线．图 3－Y － 1213．如图 3－Y－ 13，△ ABC 内接于⊙ O，且 AB 为⊙ O 的直径，OD⊥AB ，与 AC 交于点E，与过点 C 的⊙ O 的切线交于点 D.(1)若 AC ＝ 4，BC＝ 2，求 OE 的长；(2)试判断∠ A 与∠ CDE 的数目关系，并说明原因．图3－Y－ 1314．如图 3－Y－ 14，C， D 是半圆 O 上的三平分点，直径 AB ＝ 4，连结 AD ， AC ， DE ⊥AB ，垂足为 E，DE 交 AC 于点 F.(1)求∠ AFE 的度数；(2)求暗影部分的面积(结果保存π和根号 )．图3－Y－ 1415．如图 3－Y－ 15，PA， PB 是⊙ O 的切线， A ， B 为切点，∠ APB ＝ 60°，连结PO 并延伸与⊙ O 交于点 C，连结 AC ，BC.(1)求证：四边形ACBP 是菱形；(2)若⊙ O 的半径为1，求菱形 ACBP 的面积．图3－Y－ 151． C [ 分析 ] 如图，连结 BD，∵∠ ACD＝ 30°，∴∠ ABD＝ 30° .∵ AB 为⊙ O 的直径，∴∠ ADB ＝ 90°，∴∠ BAD＝ 90°－∠ ABD ＝60° .应选 C.2． C [ 分析 ] 如图，连结 OA，设 CD ＝ x，∵OA＝ OC＝5，∴ OD＝ 5－ x.∵OC⊥AB ，∴由垂径定理，得AD＝4，由勾股定理，得 52＝42＋ (5－ x)2，∴x＝ 2，∴ CD ＝ 2.应选 C.3． D[ 分析 ] ∵ AD 为⊙ O 的切线，∴AD⊥ OA，即∠ OAD ＝ 90° .∵∠ ODA＝ 36°，∴∠ AOD ＝ 54°，1∴∠ ACB＝∠ AOD＝ 27° .应选 D.4．C [ 分析 ] 过点 O 作 OC⊥ AB 于点 D ，交⊙ O 于点 C.∵ OB＝ 13 cm，CD ＝ 8 cm，∴OD＝ 5 cm.在 Rt△BOD 中， BD ＝OB2－ OD 2＝12 cm，∴ AB＝ 2BD ＝ 24 cm.5． B [ 分析 ] 如图，连结 BD.∵AB 是⊙ O 的直径，∴∠ ADB ＝ 90°.∵OC∥AD ，∴∠ A＝∠ BOC，∴cosA＝ cos∠ BOC.∵BC 切⊙ O 于点 B，∴OB⊥ BC，OB2∴ cos∠ BOC＝＝，2∴ cosA＝5.AD又∵ cosA＝AB， AB＝ 4，8∴ AD＝5.应选 B.6． 507． 3 3 [分析 ] 如图，连结 OB，∵六边形 ABCDEF 是⊙ O 的内接正六边形，∴∠ BOM ＝360°＝ 30°，6× 2∴ OM＝ OB·cos∠ BOM ＝ 6×3＝ 3 3. 2故答案为： 3 3.78.3π[ 分析 ] 连结 OC，如图，∵OA＝ OC，∴∠ OCA＝∠ CAO＝ 60°，∴∠ AOC＝ 60°，∴∠ BOC＝ 130°－ 60°＝ 70°，︵70×π× 6＝7π .∴ BC的长为18037故答案为：3π .9.14 [分析 ] 连结 OD，过点 O 作 OE⊥ CD 于点 E，以下图．则CE＝ DE.∵ AB 是⊙ O 的直径， AB＝ 4， M 是 OA 的中点，∴OD＝ OA＝ 2， OM ＝ 1.∵∠ OME ＝∠ CMA ＝45°，∴△ OEM 是等腰直角三角形，22∴ OE＝2OM ＝2 .在 Rt△ODE 中，由勾股定理，得 DE ＝22－（2）2＝14，22∴ CD＝2DE ＝ 14.故答案为：14.10．2π－ 4 [ 分析 ] 如图 ，连结 OB ，OD.∵直线 AB 与 CD 分别与⊙ O 相切于 B ，D 两点， ∴ AB ⊥ OB ， PC ⊥ OD.∵ AB ⊥ CD ，∴四边形 BODP 是矩形．又 OB ＝ OD ， ∴四边形 BODP 是正方形．∴⊙ O的半径 r ＝22 BD ＝ 2 2.∴ S＝ SBOD － S121暗影 扇形BOD ＝4×π×(22) －2×2 2× 2 2＝ 2π－ 4.△11． 解：如图 ，连结 BD ，则 BD 为⊙ O 的直径．1 1 15∵ CE ＝ 2×1＝ 2， ∴BE ＝ （ 2） 2＋ 12＝ 2 .在 Rt △ABD 中，BD ＝ 12＋ 12＝ 2.∵∠ DBE ＝∠ FCE ，∠ CFE ＝∠ BDE ，∴△ DEB ∽△ FEC ，5BDBE2210 ∴FC＝CE ， ∴FC ＝1 ，∴ FC ＝5.212． 解： (1) ∵AB 为⊙ O 的直径 ，∴∠ ADB ＝ 90° ， ∴∠ ABD ＋∠ BAD ＝ 90° .∵∠ ABC ＝ 90° ，∴∠ C ＋∠ BAC ＝90° ，∴∠ C ＝∠ ABD.AD 111∵AB＝3，∴ sin ∠ABD ＝3，∴ sinC＝3.(2)证明：如图，连结 OD ，∵AB 是⊙ O 的直径，∴∠ ADB ＝ 90°，∴∠ BDC＝ 90°.∵E 为 BC 的中点，∴ DE＝ BE＝ CE，∴∠ EDB＝∠ EBD .∵OD＝ OB，∴∠ ODB＝∠ OBD .∵∠ ABC＝ 90°，∴∠ EDO＝∠ EDB ＋∠ ODB＝∠ EBD ＋∠ OBD ＝∠ ABC＝ 90°，∴OD⊥ DE.∵ OD 是⊙ O 的半径，∴ DE 是⊙ O 的切线．13．解： (1) ∵AB 是⊙ O 的直径，∴∠ ACB＝ 90° .在 Rt△ABC 中，由勾股定理，得 AB＝AC2＋ BC2＝42＋ 22＝ 25，1 1∴AO＝2AB＝2× 2 5＝ 5.∵OD⊥ AB，∴∠ AOE＝∠ ACB ＝90° .又∵∠ A＝∠ A，∴△ AOE∽△ ACB ，OE AO BC·AO 2 55∴BC ＝AC，∴ OE＝AC＝4＝ 2.(2)∠ CDE ＝ 2∠ A.原因以下：以下图，连结 OC.∵OA＝ OC，∴∠ 1＝∠ A.∵CD 是⊙O 的切线，∴ OC⊥CD ，∴∠ OCD ＝ 90°，∴∠ 2＋∠ CDE＝ 90° .∵OD⊥ AB，∴∠ 2＋∠ 3＝ 90° .∴∠ 3＝∠ CDE .∵∠ 3＝∠ A＋∠ 1＝ 2∠A，∴∠ CDE ＝ 2∠ A. 14．解： (1) 连结 OD ，OC，∵ C， D 是半圆 O 上的三平分点，︵︵︵∴AD＝ CD ＝BC ，∴∠ AOD＝∠ DOC ＝∠ COB ＝ 60°，∴∠ CAB＝ 30° .∵ DE⊥ AB，∴∠ AEF ＝ 90°，∴∠ AFE ＝90°－ 30°＝ 60°.(2)由 (1) 知，∠ AOD＝ 60° .∵ OA＝ OD， AB＝ 4，∴△ AOD 是等边三角形， OA＝ 2.∵ DE⊥ AO，∴ DE ＝3，∴ S 暗影＝ S 扇形AOD－ S△AOD＝60×π×221× 2×3＝2π－ 3.－3602311 / 1215．解： (1) 证明：如图，连结 AO， BO，∵ PA， PB 是⊙ O 的切线，∴∠ OAP＝∠ OBP＝ 90°，PA＝PB，∠ APO ＝∠ BPO＝12∠APB＝ 30°，∴∠ AOP＝ 60°，∴∠ ACO＝∠ OAC＝ 30°，∴∠ ACO＝∠ APO，∴ AC＝ AP.同理 BC ＝BP，∴AC＝ BC＝ BP＝ AP，∴四边形 ACBP 是菱形．(2)如图，连结 AB 交 PC 于点 D，易得 AD ⊥PC.∵OA＝ 1，∠ AOP ＝60°，333∴ AD＝2 OA＝2，∴PD ＝2，∴ PC＝ 3，AB ＝3，∴菱形ACBP 的面积＝133 AB·PC＝2.212 / 12。
2021-2022学年北师大版九年级数学下册第三章 圆单元测试试题(含详细解析)
北师大版九年级数学下册第三章 圆单元测试考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，O 中，90AOC ︒∠=，则ABC ∠等于（ ）A ．35︒B ．40︒C ．45︒D ．50︒2、如图，在圆内接五边形ABCDE 中，425C CDE E EAB ∠+∠+∠+∠=︒，则CDA ∠的度数为（ ）A ．75︒B ．65︒C ．55︒D ．45︒3、如图，AB 为O 的直径，C 、D 为O 上两点，30CDB ∠=︒，3BC =，则AB 的长度为（ ）A ．6B ．3C ．9D ．124、如图，点A ，B ，C 在O 上，OAB 是等边三角形，则ACB ∠的大小为（ ）A ．60°B ．40°C ．30°D ．20°5、如图，有一个弓形的暗礁区，弓形所含的圆周角50C ∠=︒，船在航行时，为保证不进入暗礁区，则船到两个灯塔A ，B 的张角ASB ∠应满足的条件是（ ）A ．sin sin 25ASB ∠>︒B ．sin sin50ASB ∠>︒C ．sin sin55ASB ∠>︒D ．cos cos50ASB ∠>︒6、下列说法正确的是（ ）A ．等弧所对的圆周角相等B ．平分弦的直径垂直于弦C ．相等的圆心角所对的弧相等D ．过弦的中点的直线必过圆心7、如图，ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点D 是边AC 上一动点，连接BD ，以CD 为直径的圆交BD 于点E ．若AB 长为4，则线段AE 长的最小值为（ ）A 1B ．2C ．D 8、已知⊙O 的半径为5，若点P 在⊙O 内，则OP 的长可以是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．79、如图，△ABC 内接于⊙O ，∠BAC ＝30°，BC ＝6，则⊙O 的直径等于（ ）A ．10B ．C ．D ．1210、小明设计了如图所示的树型图案，它是由4个正方形、8个等边三角形和5个扇形组成，其中正方形的边长、等边三角形的边长和扇形的半径均为3，则图中扇形的弧长总和为（ ）A．8πB．172πC．192πD．12π第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以A为圆心，AC的长为半径画弧，得EC，连接AC，AE，则图中阴影部分的面积为________．2、已知某扇形的半径为5cm，圆心角为120°，那么这个扇形的弧长为 _____cm．3、如图1所示的铝合金窗帘轨道可以直接弯曲制作成弧形．若制作一个圆心角为160°的圆弧形窗帘轨道（如图2）需用此材料800 mm，则此圆弧所在圆的半径为________mm．4、在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，4AC AB ==，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，若等腰Rt ADE △绕点A 逆时针旋转，得到等腰11Rt AD E ，记直线1BD 与1CE 的交点为P ，则点P 到AB 所在直线的距离的最大值为________．5、如图，五边形ABCDE 是⊙O 的内接正五边形，则ODC ∠的度数是____．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、已知：如图，ABC ∆中，AB AC =，以AB 为直径的O 交BC 于点P ，PD AC ⊥于点D ．（1）求证：PD 是O 的切线；（2）若120CAB ∠=︒，6AB =，求BC 的值．2、如图，AB 为⊙O 的切线，B 为切点，过点B 作BC ⊥OA ，垂足为点E ，交⊙O 于点C ，连接CO 并延长CO 与AB 的延长线交于点D ，连接AC ．（1）求证：AC 为⊙O 的切线；（2）若⊙O 半径为2，OD ＝4．求线段AD 的长．3、已知：如图，△ABC 为锐角三角形，AB ＝AC求作：一点P ，使得∠APC ＝∠BAC作法：①以点A 为圆心， AB 长为半径画圆；②以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，交⊙A 于点C ，D 两点；③连接DA 并延长交⊙A 于点P点P即为所求（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明证明：连接PC，BD∵AB＝AC，∴点C在⊙A上∵BC＝BD，∴∠_________＝∠_________∠CAD∴∠BAC＝12∵点D，P在⊙A上，∴∠CPD＝1∠CAD（______________________）（填推理的依据）2∴∠APC＝∠BAC4、如图，在▱ABCD中，∠D＝60°，对角线AC⊥BC，⊙O经过点A、点B，与AC交于点M，连接AO并延长与⊙O交于点F，与CB的延长线交于点E，AB＝EB．（1）求证：EC是⊙O的切线；O的半径．（2）若AD＝5、如图，在△ABC中，∠C＝90°，点O为边BC上一点．以O为圆心，OC为半径的⊙O与边AB相切于点D．（1）尺规作图：画出⊙O，并标出点D（不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）所作的图中，连接CD，若CD＝BD，且AC＝6．求劣弧CD的长．-参考答案-一、单选题1、C【分析】由题意直接根据圆周角定理进行分析即可得出答案.【详解】解：∵∠ABC和∠AOC是弧AC所对的圆周角和圆心角，90∠=，AOC︒∴∠ABC=1∠AOC=45︒.2故选：C.【点睛】本题考查圆周角定理，注意掌握同弧（等弧）所对的圆周角是圆心角的一半．2、B【分析】先利用多边的内角和得到540EAB B C CDE E ∠+∠+∠+∠+∠=︒，可计算出115B ∠=︒，然后根据圆内接四边形的性质求出CDA ∠的度数即可.【详解】解：∵五边形ABCDE 的内角和为()52180540-⨯︒=︒，∴540EAB B C CDE E ∠+∠+∠+∠+∠=︒，∵425EAB C CDE E ∠+∠+∠+∠=︒，∴540425115B ∠=︒-︒=︒，∵四边形ABCD 为O 的内接四边形，∴180B CDA ∠+∠=︒，∴18011565CDA ∠=︒-︒=︒.故选：B.【点睛】本题主要考查了多边形的内角和与圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的性质是解答本题的关键.3、A【分析】连接AC ，利用直角三角形30°的性质求解即可．【详解】解：如图，连接AC ．∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∵∠CAB=∠CDB=30°，∴AB=2BC=6，故选：A．【点睛】本题考查圆周角定理，含30°角的直角三角形的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．4、C【分析】由OAB∆为等边三角形，得：∠AOB=60°，再根据圆周角定理，即可求解．【详解】解：∵OAB∆为等边三角形，∴∠AOB=60°，∴ACB∠=12∠AOB =12×60°=30°．故选C．【点睛】本题主要考查圆周角定理，掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解题的关键．5、D【分析】本题利用了三角形外角与内角的关系和圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．【详解】如图，AS交圆于点E，连接EB，由圆周角定理知，∠AEB=∠C=50°，而∠AEB是△SEB的一个外角，由∠AEB＞∠S，即当∠S＜50°时船不进入暗礁区．所以，两个灯塔的张角∠ASB应满足的条件是∠ASB＜50°．∴cos∠ASB＞cos50°，故选：D．【点睛】本题考查三角形的外角的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．6、A【分析】根据圆周角定理，垂径定理的推论，圆心角、弧、弦的关系，对称轴的定义逐项排查即可．【详解】解：A. 同弧或等弧所对的圆周角相等，所以A选项正确；B.平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，所以B选项错误；C 、在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所以C 选项错误；D .圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，所以D 选项错误.故选A.【点睛】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系,轴对称图形，垂径定理，圆周角定理等知识点．灵活运用相关知识成为解答本题的关键．7、D【分析】如图，连接,CE 由CD 为直径，证明E 在以BC 的中点O 为圆心，BC 为直径的O 上运动，连接,AO 交O 于点,E 则此时AEAO OE 最小，再利用锐角的正弦与勾股定理分别求解,AO OE ，即可得到答案.【详解】解：如图，连接,CE 由CD 为直径，90,CED BECE ∴在以BC 的中点O 为圆心，BC 为直径的O 上运动，连接,AO 交O 于点,E 则此时AE AO OE 最小，90ACB ∠=︒，AC BC =，4,AB =45,ABC BAC ∴∠=∠=︒AC BC AB OB OC OEsin4522,2,22AO22210,AE10 2.故选D【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，圆外一点与圆的最短距离的理解，锐角的正弦的应用，掌握“圆外一点与圆的最短距离求解线段的最小值”是解本题的关键.8、A【分析】根据点与圆的位置关系可得5OP<，由此即可得出答案．【详解】解：O的半径为5，点P在O内，∴<，5OP观察四个选项可知，只有选项A符合，故选：A．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系（圆内、圆上、圆外）是解题关键．9、D【分析】连接OB，OC，根据圆周角定理求出∠BOC的度数，再由OB=OC判断出△OBC是等边三角形，由此可得出结论．【详解】解：连接OB，OC，∵∠BAC=30°，∴∠BOC=60°．∵OB=OC，BC=6，∴△OBC是等边三角形，∴OB=BC=6．∴⊙O的直径等于12．故选：D．【点睛】本题考查的圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出等边三角形是解答此题的关键．10、C【分析】如图（见解析），先分别求出扇形①、②、③、④和⑤的圆心角的度数，再利用弧长公式即可得．【详解】解：如图，扇形①、③和⑤的圆心角的度数均为360906060150︒-︒-︒-︒=︒，扇形②和④的圆心角的度数均为180606060︒-︒-︒=︒，则图中扇形的弧长总和150********322 18018022πππππ⨯⨯⨯+⨯=+=，故选：C．【点睛】 本题考查了求弧长，熟记弧长公式（180n r l π=，其中l 为弧长，n ︒为圆心角的度数，r 为扇形的半径）是解题关键．二、填空题1、2π【分析】由正六边形ABCDEF 的边长为2，可得AB =BC =2，∠ABC =∠BAF =120°，进而求出∠BAC =30°，∠CAE =60°，过B 作BH ⊥AC 于H ，由等腰三角形的性质和含30°直角三角形的性质得到AH =CH ，BH =1，在Rt △ABH 中，由勾股定理求得AH AC 分的面积【详解】解：∵正六边形ABCDEF 的边长为2，()6218021206AB BC ABC BAF -⨯︒∴==∠=∠==︒， =120°，∵∠ABC +∠BAC +∠BCA =180°，∴∠BAC =12（180°-∠ABC ）=12×（180°-120°）=30°，过B 作BH ⊥AC 于H ，∴AH =CH ，BH =12AB=12×2=1，在Rt △ABH 中， AH =22AB BH - =22231-=，∴AC =23 ，同理可证，∠EAF =30°，∴∠CAE =∠BAF -∠BAC -∠EAF =120°-30°-30°=60°，∴()260?232360CAE S ππ==扇形∴图中阴影部分的面积为2π，故答案为：2π．【点睛】本题考查的是正六边形的性质和扇形面积的计算、等腰三角形的性质、勾股定理，掌握扇形面积公式是解题的关键．2、103π 【分析】根据弧长公式代入求解即可．【详解】解：∵扇形的半径为5cm ，圆心角为120°，∴扇形的弧长＝120510=1803ππ︒⨯⨯︒． 故答案为：103π．【点睛】 此题考查了扇形的弧长公式，解题的关键是熟练掌握扇形的弧长公式：180n r π，其中n 是扇形圆心角的度数，r 是扇形的半径．3、900【分析】由弧长公式l =180n R π得到R 的方程，解方程即可． 【详解】解：根据题意得，800π=160180R π，解得，R =900（mm ）． 答：这段圆弧所在圆的半径R 是900 mm ．故答案是：900．【点睛】本题考查了弧长的计算公式：l =180n R π，其中l 表示弧长，n 表示弧所对的圆心角的度数．4、1##【分析】首先作PG ⊥AB ，交AB 所在直线于点G ，则D 1，E 1在以A 为圆心，AD 为半径的圆上，当BD 1所在直线与⊙A 相切时，直线BD 1与CE 1的交点P 到直线AB 的距离最大，此时四边形AD 1PE 1是正方形，进而求出PG 的长．【详解】解：如图，作PG ⊥AB ，交AB 所在直线于点G ，∵D 1，E 1在以A 为圆心，AD 为半径的圆上，当BD 1所在直线与⊙A 相切时，直线BD 1与CE 1的交点P 到直线AB 的距离最大，此时四边形AD 1PE 1是正方形，∵∠CAB =90°，AC =AB =4，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，∴AD =AE 1=AD 1=PD 1=2，则BD1=故∠ABP =30°，则PB∴PG =12PB =1，故点P 到AB 所在直线的距离的最大值为：PG =1故答案为：1+【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及等腰腰直角三角形的性质和勾股定理以及切线的性质等知识，根据题意得出PG 的最长时P 点的位置是解题关键．5、54︒【分析】根据圆内接正五边形的定义求出∠COD ，利用三角形内角和求出答案．【详解】解：∵五边形ABCDE 是⊙O 的内接正五边形，∴∠COD=360725︒=︒， ∵OC=OD ，∴ODC ∠=(180)5412COD ︒-∠=︒，故答案为：54︒．【点睛】此题考查了圆内接正五边形的性质，三角形内角和定理，同圆的半径相等的性质，熟记圆内接正五边形的性质是解题的关键．三、解答题1、（1）见解析；（2）BC =【分析】（1）根据等腰三角形的性质证得OPB C ∠=∠，进而证得OP ∥AC ，再根据平行线的性质和切线的判定即可证得结论；（2）连接AP ，根据圆周角定理和等腰三角形的性质可得90APB ∠=︒，BP CP =，30B ∠=︒，再根据含30°角的直角三角形性质求出BP 即可求解．【详解】（1）证明：AB AC =，B C ∴∠=∠，OP OB =，B OPB ∴∠=∠，OPB C ∴∠=∠，∴OP ∥AC ，PD AC ⊥，OP PD ∴⊥，又OP 是半径， PD ∴是O 的切线；（2）解：连接AP ，如图， AB 为直径，90APB ∴∠=︒，∵AB=AC ，∠CAB =120°， BP CP ∴=，(180120)230B ∠=-÷=︒， 在Rt△APB 中，6AB =，30B ∠=︒， 132AP AB ∴==，BP ∴=2BC BP ∴==【点睛】本题考查等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、切线的判定、圆周角定理、含30°角的直角三角形性质、三角形内角和定理，熟练掌握这些知识的联系与运用是解答的关键．2、（1）见解析；（2）【分析】（1）连接OB，证明△AOB≌△AOC（SSS），可得∠ACO＝∠ABO＝90°，即可证明AC为⊙O的切线；（2）在Rt△BOD中，勾股定理求得BD，根据sin D＝OBOD＝ACAD，代入数值即可求得答案【详解】解：（1）连接OB，∵AB是⊙O的切线，∴OB⊥AB，即∠ABO＝90°，∵BC是弦，OA⊥BC，∴CE＝BE，∴AC＝AB，在△AOB 和△AOC 中，AB AC AO AO BO CO =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ∴△AOB ≌△AOC （SSS ），∴∠ACO ＝∠ABO ＝90°，即AC ⊥OC ，∴AC 是⊙O 的切线；（2）在Rt△BOD 中，由勾股定理得，BD∵sin D ＝OB OD ＝AC AD ，⊙O 半径为2，OD ＝4． ∴24解得AC ＝∴AD ＝BD +AB ＝【点睛】本题考查了切线的性质与判定，正弦的定义，三角形全等的性质与判定，勾股定理，掌握切线的性质与判定是解题的关键．3、（1）见解析；（2）BAC =BAD ，圆周角定理或同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半【分析】（1）根据按步骤作图即可；（2）根据圆周角定理进行证明即可解：（1）如图所示，（2）证明：连接PC，BD∵AB＝AC，∴点C在⊙A上∵BC＝BD，∴∠BAC=∠BAD∠CAD∴∠BAC＝12∵点D，P在⊙A上，∠CAD（圆周角定理）（填推理的依据）∴∠CPD＝12∴∠APC＝∠BAC故答案为：BAC=BAD，圆周角定理或同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半本题考查了尺规作图作圆，圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．4、（1）见详解；（2）4．【分析】（1）连接OB，根据平行四边形的性质得到∠ABC=∠D=60°，求得∠BAC=30°，根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质得到∠ABO=∠OAB=30°，于是得到结论；，过O作OH⊥AM于H，则四边形OBCH是矩形，解直角（2）根据平行四边形的性质得到BC=AD三角形即可得到结论．【详解】（1）证明：连接OB，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠D=60°，∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°，∴∠BAC=30°，∵BE=AB，∴∠E=∠BAE，∵∠ABC=∠E+∠BAE=60°，∴∠E=∠BAE=30°，∵OA=OB，∴∠ABO=∠OAB=30°，∴∠OBC=30°+60°=90°，∴OB⊥CE，∴EC是⊙O的切线；（2）解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BC =AD，过O 作OH ⊥AM 于H ，则四边形OBCH 是矩形，∴OH =BC∴OA =sin 60OH ︒=4， ∴ ⊙O 的半径为4．【点睛】本题考查了切线的判定，平行四边形的性质，矩形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．5、（1）作图见解析；（2 【分析】（1）由于D 点为⊙O 的切点，即可得到OC =OD ，且OD ⊥AB ，则可确定O 点在∠A 的角平分线上，所以应先画出∠A 的角平分线，与BC 的交点即为O 点，再以O 为圆心，OC 为半径画出圆即可；（2）连接CD 和OD ，根据切线长定理，以及圆的基本性质，求出∠DCB 的度数，然后进一步求出∠COD 的度数，并结合三角函数求出OC 的长度，再运用弧长公式求解即可．【详解】解：（1）如图所示，先作∠A 的角平分线，交BC 于O 点，以O 为圆心，OC 为半径画出⊙O 即为所求；（2）如图所示，连接CD 和OD ，由题意，AD 为⊙O 的切线，∵OC⊥AC，且OC为半径，∴AC为⊙O的切线，∴AC=AD，∴∠ACD=∠ADC，∵CD=BD，∴∠B=∠DCB，∵∠ADC=∠B+∠BCD，∴∠ACD=∠ADC=2∠DCB，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠DCB=90°，即：3∠DCB=90°，∴∠DCB=30°，∵OC=OD，∴∠DCB=∠ODC=30°，∴∠COD=180°-2×30°=120°，∵∠DCB=∠B=30°，∴在Rt△ABC中，∠BAC=60°，∵AO平分∠BAC，∴∠CAO=∠DAO=30°，∴在Rt△ACO中，tan6=∠==OC AC CAO∴CD==．【点睛】本题考查复杂作图-作圆，以及圆的基本性质和切线长定理等，掌握圆的基本性质，切线的性质以及灵活运用三角函数求解是解题关键．。