高考数学二轮复习 专题十四 空间向量与立体几何 理
体 置 线线垂直 两直线的方向向量垂直
几 关 线面垂直 判定定理；直线的方向向量与平面的法向量平行
空 何 系 面面垂直 判定定理；两个平面的法向量垂直
间中 向的 量向 与量 立方 体法
空 间 角
空
线线角 θ 两直线方向向量为 a，b, cos θ＝cos 〈a，b〉 线面角 θ 直线的方向向量为 a，平面的法向量为 n，sin θ＝cos 〈a，n〉 二面角 θ 两平面的法向量分别为 n1 和 n2，则|cos θ|＝±cos 〈n1，n2〉
心 知 识 聚
设 AB＝2，则 A1(0，0，2)，B1(2，0，2)，D(0，2，0)，E(1，1， 2)．
设平面 B1A1D 的法向量为 m＝(x，y，z)，则 m·A→1B1＝0 且 m·A→1D
焦 ＝0，可得 x＝0 且 y－z＝0，令 z＝1，得 y＝1，可得平面 B1A1D 的一
个法向量为 m＝(0，1，1)．
面角，所以其余弦值为
6 3.
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第14讲 空间向量与立体几何
—— 教师知识必备 ——
知识必备 空间向量与立体几何
空 重要 共面向量 一组向量在一个平面内或者通过平移能够在同一个平面内
间 概念 空间基底 空间任何三个不共面的向量 a，b，c 都可叫作空间的一个基底
空
向
共线定理
a，b(b≠0 共线⇔存在唯一实数 λ，使 a＝λb
3＝ 30
30 10 .
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第14讲 空间向量与立体几何
4. [2014·四川卷改编] 在正方体 ABCD -A1B1C1D1 中，点 O 为线
核 段 BD 的中点．设点 P 在线段 CC1 上，直线 OP 与平面 A1BD 心 所成角的正弦值的取值范围是________．
知
识 聚 焦
[答案]
核
心
知
识
聚 焦
专题十四
空间向量与立体几
考
何
点
考
向
探
究
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第14讲 空间向量与立体几何
1．[2014·广东卷改编] 向量 a＝(1，0，－1)，b＝(1，－1，
核
0)的夹角是________．
心
知
识
聚
[答案] 60°
焦
[解析] 因为 cos 〈a，b〉＝|aa|·|bb|＝12，所以向量 a ＝(1，0，－1)，b＝(1，－1，0)的夹角是 60°.
间
量
p 与 a，b(a，b 不共线)共面⇔存在唯一的实数对 x，y，使 p＝
向
基本 共面定理
量
定理
xa＋yb
与
a，b，c 不共面，对于空间任意向量 p，存在唯一的有序数组 基本定理
{x，y，z}，使 p＝xa＋yb＋zc 立
体 立体几 线面 方向向量 所在直线与已知直线 l 平行或者重合的非零向量 a 叫作直线 l
以B→E·D→C＝0，所以 BE⊥DC.
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第14讲 空间向量与立体几何
3. [2014·新课标全国卷Ⅱ改编] 直三棱柱 ABC -A1B1C1 中，∠
核 BCA＝90°，M，N 分别是棱 A1B1，A1C1 的中点，BC＝CA＝
心 CC1，则 BM 与 AN 所成角的余弦值是________．
知
识 聚 焦
[答案]
30 10
[解析] 建立如图所示的空间直角坐标系．设
BC＝CA＝CC1＝2，则 A(2，0，2)，N(1，0，0)，
M(1，1，0)，B(0，2，2)，所以A→N＝(－1，0，
－2)，B→M＝(1，－1，－2)，所以 cos 〈A→N，B→M〉
＝AA→→NN·BB→→MM＝－51×＋64＝
3·
f（t）≤
26，所以
6 3
≤ 3· 1f（t）≤1.故直线 OP 与平面 A1BD
所成角的正弦值的取值范围是
36，1.
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第14讲 空间向量与立体几何
5．[2015·安徽卷] 如图 14-4 所示，在多面体 A1B1D1DCBA 中，
核 心
四边形 AA1B1B，ADD1A1，ABCD 均为正方形，E 为 B1D1 的 中点，过 A1，D，E 的平面交 CD1 于 F，则二面角 E -A1D
设平面 EA1D 的法向量为 n＝(x1，y1，z1)，则 n·A→1E＝0 且 n·A→1D
＝0，可得 x1＋y1＝0 且 y1－z1＝0，令 x1＝1，得 y1＝－1，z1＝－1，
可得平面 EA1D 的一个法向量为 n＝(1，－1，－1)．
所以 cos〈m，n〉＝|mm|··n|n|＝－ 36.由于二面角 EA1D B1 为锐二
知 B1 的余弦值为________．
识
聚
焦
图 14-4
[答案]
6 3
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第14讲 空间向量与立体几何
[解析] 由四边形 AA1B1B，ADD1A1，ABCD 均为正方形，可得
AB，AD，AA1 两两垂直，以点 A 为坐标原点，射线 AB，AD，AA1
核 分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系．
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第14讲 空间向量与立体几何
核
＝ 3· （2＋z）22＋－z4（2＋z）＋6＝ 3· 1－2＋41z＋（2＋6 z）2.令
心
知 识
2＋1 z＝t，则14≤t≤12，此时函数 f(t)＝6t2－4t＋1，当 t＝13时取得最小
聚 焦
值；当 t＝12时取得最大值．所以13≤f(t)≤12，
所以 1≤
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第14讲 空间向量与立体几何
2. [2014·天津卷改编] 在四棱锥 P-ABCD 中，PA⊥平面 ABCD，
核 心 知
AD⊥AB，AB∥CD，AD＝DC＝AP＝2AB，点 E 为棱 PC 的中点， 则异面直线 BE 与 DC 的位置关系是________．
识
聚 焦
[答案] 垂直
[解析] 建立如图所示的空间直角 坐标系．设 AB＝1，则 B(1，0，0)， C(2，2，0)，D(0，2，0)，E(1，1，1)， 故B→E＝(0，1，1)，D→C＝(2，0，0)，所
36，1
[解析] 建立如图所示的空间直角坐标系．设正方体的棱 长为 2，显然 n＝(1，1，1)为平面 A1BD 的一个法向量．设
P(2，2，z)，其中 0≤z≤2，则O→P＝(1，1，z)，所以直线 OP 与
平面 A1BD 所成角的正弦值为||nn|·|OO→→PP||＝
2＋z 3· 2＋z2
何中的
的方向向量
几
标志
向量方
何
法向量 所在直线与已知平面 α 垂直的非零向量 n 叫作平面 α 的法向量
法 位置 线线平行
方向向量共线
关系 线面平行
判定定理；直线的方向向量与平面的法向量垂直
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第14讲 空间向量与立体几何
—— 教师知识必备 ——
知识必备 空间向量与立体几何
立 位 面面平行 判定定理；两个平面的法向量平行
高中数学立体几何与空间向量知识点归纳总结
高中数学立体几何与空间向量知识点归纳总结立体几何与空间向量知识点归纳总结一、立体几何知识点1、柱、锥、台、球的结构特征1) 棱柱的定义：有两个面是对应边平行的全等多边形，其余各面都是四边形，且相邻四边形的公共边都平行，由这些面围成的几何体叫棱柱。
棱柱的侧面都是平行四边形，侧棱平行且长度相等。
若侧棱垂直于底面，则为直棱柱；若底面是正多边形，则为正棱柱。
2) 棱锥的定义：有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的几何体叫棱锥。
平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面的距离与高的比。
3) 棱台的定义：用平行于底面的平面截棱锥，截面与底面的部分叫棱台。
上下底面平行且是相似的多边形，侧面是梯形，侧棱交于原棱锥的顶点。
4) 圆柱的定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转，其余三边旋转所围成的几何体叫圆柱。
底面是全等的圆，母线与轴平行，轴与底面圆的半径垂直，侧面展开图是一个矩形。
5) 圆锥的定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴，旋转一周所围成的几何体叫圆锥。
底面是一个圆，母线交于圆锥的顶点，侧面展开图是一个扇形。
6) 圆台的定义：以直角梯形的垂直于底边的腰为旋转轴，旋转一周所围成的几何体叫圆台。
上下底面是两个圆，侧面母线交于原圆锥的顶点，侧面展开图是一个扇环形。
7) 球体的定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形围成的几何体叫球。
球的截面是圆，球面上任意一点到球心的距离等于半径。
2、柱体、锥体、台体的表面积与体积1) 几何体的表面积为各个面的面积之和。
2) 特殊几何体表面积公式：直棱柱侧面积=底面周长×高圆锥侧面积=π×底面半径×母线正棱台侧面积=(上底+下底+侧棱)×高/2圆柱侧面积=2π×底面半径×高正棱锥侧面积=(底面周长1+底面周长2+侧棱)×高/2圆台侧面积=(上底半径+下底半径)×母线×π/2圆柱表面积=2π×底面半径×(底面半径+高)圆锥表面积=π×底面半径×(底面半径+母线)圆台表面积=π×(上底半径²+下底半径²+上底半径×下底半径×(上底半径-下底半径)/母线)3) 柱体、锥体、台体的体积公式：直棱柱体积=底面积×高圆柱体积=底面积×高=π×底面半径²×高圆锥体积=底面积×高/3=π×底面半径²×高/3圆台体积=底面积×高/3=(上底半径²+下底半径²+上底半径×下底半径)×高/3圆台的体积公式为V=(S+S'+√(SS'))h/3，其中S和S'分别为圆台的上下底面积，h为圆台的高。
高考数学空间向量与立体几何
高考数学空间向量与立体几何2017年高考数学空间向量与立体几何导语:没有承受困难的能力，就没有希望了。
下面是小编为大家整理的，数学知识，更多相关信息请关注CNFLA学习网!空间向量一、空间向量知识点1.空间向量的概念：定义：空间向量的定义和平面向量一样，那些具有大小和方向的量叫做向量，并且仍用有向线段表示空间向量，且方向相同、长度相等的有向线段表示相同向量或相等的向量。
具有大小和方向的量叫做向量注：⑴空间的一个平移就是一个向量⑵向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示ⅰ定理：如果三个向量不共面，那么对于空间任一向量，存在唯一的有序实数组x、y、z，使。
且把叫做空间的一个基底，都叫基向量。
ⅱ正交基底：如果空间一个基底的三个基向量是两两相互垂直，那么这个基底叫正交基底。
ⅲ 单位正交基底：当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称为单位正交基底，通常用表示。
ⅳ 空间四点共面：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间中任意一点P，都存在唯一的有序实数组x、y、z，使。
2.空间向量的运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下运算律：⑴加法交换律：⑵加法结合律：⑶数乘分配律：3 共线向量ⅰ定义：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作。
ⅱ规定：零向量与任意向量共线;ⅲ共线向量定理：对空间任意两个向量平行的充要条件是：存在实数λ，使。
表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量.平行于记作.当我们说向量、共线(或//)时，表示、的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线.4.共线向量定理及其推论共线向量定理：空间任意两个向量、(≠)，//的充要条件是存在实数λ，使=λ.推论：如果为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线，那么对于任意一点O，点P在直线上的充要条件是存在实数t满足等式.其中向量叫做直线的方向向量.5.向量与平面平行已知平面和向量，作，如果直线平行于或在内，那么我们说向量平行于平面，记作：.通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量说明：空间任意的两向量都是共面的6.共面向量定理ⅰ定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量;空间的任意两个向量都是共面向量。
空间向量与立体几何知识点和习题(含答案)
空间向量与立体几何【知识要点】1．空间向量及其运算：(1)空间向量的线性运算：①空间向量的加法、减法和数乘向量运算：平面向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则拓广到空间依然成立．②空间向量的线性运算的运算律：加法交换律：a ＋b ＝b ＋a ；加法结合律：(a ＋b ＋c )＝a ＋(b ＋c )；分配律：(λ ＋μ )a ＝λ a ＋μ a ；λ (a ＋b )＝λ a ＋λ b ．(2)空间向量的基本定理：①共线(平行)向量定理：对空间两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ ，使得a ∥λ b ．②共面向量定理：如果两个向量a ，b 不共线，则向量c 与向量a ，b 共面的充要条件是存在惟一一对实数λ ，μ ，使得c ＝λ a ＋μ b ．③空间向量分解定理：如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在惟一的有序实数组λ 1，λ 2，λ 3，使得p ＝λ 1a ＋λ 2b ＋λ 3c ．(3)空间向量的数量积运算：①空间向量的数量积的定义：a ·b ＝|a ｜|b ｜c os 〈a ，b 〉；②空间向量的数量积的性质：a ·e ＝|a ｜c os ＜a ，e ＞；a ⊥b ⇔a ·b ＝0；|a |2＝a ·a ；|a ·b |≤|a ｜|b ｜．③空间向量的数量积的运算律：(λ a )·b ＝λ (a ·b )；交换律：a ·b ＝b ·a ；分配律：(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ．(4)空间向量运算的坐标表示：①空间向量的正交分解：建立空间直角坐标系Oxyz ，分别沿x 轴，y 轴，z 轴的正方向引单位向量i ，j ，k ，则这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底{i ，j ，k ｝，由空间向量分解定理，对于空间任一向量a ，存在惟一数组(a 1，a 2，a 3)，使a ＝a 1i ＋a 2j ＋a 3k ，那么有序数组(a 1，a 2，a 3)就叫做空间向量a 的坐标，即a ＝(a 1，a 2，a 3)．②空间向量线性运算及数量积的坐标表示：设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a ＋b ＝(a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3)；a －b ＝(a 1－b 1，a 2－b 2，a 3－b 3)；λ a ＝(λ a 1，λ a 2，λ a 3)；a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3．③空间向量平行和垂直的条件：a ∥b (b ≠0)⇔a ＝λ b ⇔a 1＝λ b 1，a 2＝λ b 2，a 3＝λ b 3(λ ∈R )；a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0．④向量的夹角与向量长度的坐标计算公式：设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则;||,||232221232221b b b a a a ++==++==⋅⋅b b b a a a;||||,cos 232221232221332211b b b a a a b a b a b a ++++++=>=<⋅b a b a b a 在空间直角坐标系中，点A (a 1，a 2，a 3)，B (b 1，b 2，b 3)，则A ，B 两点间的距离是 .)()()(||233222211b a b a b a AB -+-+-=2．空间向量在立体几何中的应用：(1)直线的方向向量与平面的法向量：①如图，l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线，对空间任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使得a t OA OP +=，其中向量a 叫做直线的方向向量．由此可知，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量惟一确定．②如果直线l ⊥平面α ，取直线l 的方向向量a ，则向量a 叫做平面α 的法向量．由此可知，给定一点A 及一个向量a ，那么经过点A 以向量a 为法向量的平面惟一确定．(2)用空间向量刻画空间中平行与垂直的位置关系：设直线l ，m 的方向向量分别是a ，b ，平面α ，β 的法向量分别是u ，v ，则①l ∥m ⇔a ∥b ⇔a ＝k b ，k ∈R ；②l ⊥m ⇔a ⊥b ⇔a ·b ＝0；③l ∥α ⇔a ⊥u ⇔a ·u ＝0；④l ⊥α ⇔a ∥u ⇔a ＝k u ，k ∈R ；⑤α ∥⇔u ∥v ⇔u ＝k v ，k ∈R ；⑥α ⊥β ⇔u ⊥v ⇔u ·v ＝0．(3)用空间向量解决线线、线面、面面的夹角问题：①异面直线所成的角：设a ，b 是两条异面直线，过空间任意一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，则a ′与b ′所夹的锐角或直角叫做异面直线a 与b 所成的角．设异面直线a 与b 的方向向量分别是v 1，v 2，a 与b 的夹角为θ ，显然],2π,0(∈θ则⋅=><⋅|||||||,cos |212121v v v v v v ②直线和平面所成的角：直线和平面所成的角是指直线与它在这个平面内的射影所成的角．设直线a 的方向向量是u ，平面α 的法向量是v ，直线a 与平面α 的夹角为θ ，显然 ]2π,0[∈θ，则⋅=><⋅|||||||,cos |v u v u v u③二面角及其度量：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．记作α －l－β 在二面角的棱上任取一点O，在两个半平面内分别作射线OA⊥l，OB⊥l，则∠AOB 叫做二面角α －l－β 的平面角．利用向量求二面角的平面角有两种方法：方法一：如图，若AB，CD分别是二面角α －l－β 的两个面内与棱l垂直的异面直线，则二面角AB与的夹角的大小．α －l－β 的大小就是向量CD方法二：如图，m1，m2分别是二面角的两个半平面α ，β 的法向量，则〈m1，m2〉与该二面角的大小相等或互补．(4)根据题目特点，同学们可以灵活选择运用向量方法与综合方法，从不同角度解决立体几何问题．【复习要求】1．了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．2．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．3．掌握空间向量的数量积及其坐标表示；能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直．4．理解直线的方向向量与平面的法向量．5．能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系．6．能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题．【例题分析】例1如图，在长方体OAEB－O1A1E1B1中，OA＝3，OB＝4，OO1＝2，点P在棱AA1上，且AP＝2P A1，点S在棱BB1上，且B1S＝2SB，点Q，R分别是O1B1，AE的中点，求证：PQ∥RS．【分析】建立空间直角坐标系，设法证明存在实数k ，使得.RS k PQ =解：如图建立空间直角坐标系，则O (0，0，0)，A (3，0，0)，B (0，4，0)，O 1(0，0，2)，A 1(3，0，2)，B 1(0，4，2)，E (3，4，0)．∵AP ＝2P A 1， ∴),34,0,0()2,0,0(32321===AA AP ∴⋅)34,0,3(P同理可得：Q (0，2，2)，R (3，2，0)，⋅)32,4,0(S ,)32,2,3(RS PQ =-= ∴RS PQ //，又R ∉PQ ，∴PQ ∥RS ．【评述】1、证明线线平行的步骤：(1)证明两向量共线；(2)证明其中一个向量所在直线上一点不在另一个向量所在的直线上即可．2、本体还可采用综合法证明，连接PR ，QS ，证明PQRS 是平行四边形即可，请完成这个证明．例2 已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，E ，F 分别是棱A 1D 1，A 1B 1，D 1C 1，B 1C 1的中点，求证：平面AMN ∥平面EFBD ．【分析】要证明面面平行，可以通过线线平行来证明，也可以证明这两个平面的法向量平行．解法一：设正方体的棱长为4，如图建立空间直角坐标系，则D (0，0，0)，A (4，0，0)，M (2，0，4)，N (4，2，4)，B (4，4，0)，E (0，2，4)，F (2，4，4)．取MN 的中点K ，EF 的中点G ，BD 的中点O ，则O (2，2，0)，K (3，1，4)，G (1，3，4)．MN ＝(2，2，0)，EF ＝(2，2，0)，AK ＝(－1，1，4)，OG ＝(－1，1，4)，∴MN ∥EF ，OG AK =，∴MN//EF ，AK//OG ，∴MN ∥平面EFBD ，AK ∥平面EFBD ，∴平面AMN ∥平面EFBD ．解法二：设平面AMN 的法向量是a ＝(a 1，a 2，a 3)，平面EFBD 的法向量是b ＝(b 1，b 2，b 3)． 由,0,0==⋅⋅AN AM a a得⎩⎨⎧=+=+-,042,0423231a a a a 取a 3＝1，得a ＝(2，－2，1)． 由,0,0==⋅⋅BF DE b b得⎩⎨⎧=+-=+,042,0423132b b b b 取b 3＝1，得b ＝(2，－2，1)．∵a ∥b ，∴平面AMN ∥平面EFBD ．注：本题还可以不建立空间直角坐标系，通过综合法加以证明，请试一试．例3 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 是棱A 1B 1，B 1B 的中点，求异面直线AM 和CN 所成角的余弦值．解法一：设正方体的棱长为2，如图建立空间直角坐标系，则D (0，0，0)，A (2，0，0)，M (2，1，2)，C (0，2，0)，N (2，2，1)． ∴),1,0,2(),2,1,0(==CN AM 设AM 和CN 所成的角为θ ，则,52||||cos ==⋅CN AM CNAM θ ∴异面直线AM 和CN 所成角的余弦值是⋅52 解法二：取AB 的中点P ，CC 1的中点Q ，连接B 1P ，B 1Q ，PQ ，PC ．易证明：B 1P ∥MA ，B 1Q ∥NC ，∴∠PB 1Q 是异面直线AM 和CN 所成的角．设正方体的棱长为2，易知,6,52211=+===QC PC PQ Q B P B∴,522cos 11221211=-+=⋅Q B P B PQ Q B P B Q PB ∴异面直线AM 和CN 所成角的余弦值是⋅52【评述】空间两条直线所成的角是不超过90°的角，因此按向量的夹角公式计算时，分子的数量积如果是负数，则应取其绝对值，使之成为正数，这样才能得到异面直线所成的角(锐角)．例4 如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为a ，侧棱长为a 2，求直线AC 1与平面ABB 1A 1所成角的大小．【分析】利用正三棱柱的性质，适当建立空间直角坐标系，写出有关点的坐标．求角时有两种思路：一是由定义找出线面角，再用向量方法计算；二是利用平面ABB 1A 1的法向量求解．解法一：如图建立空间直角坐标系，则A (0，0，0)，B (0，a ，0)，),2,0,0(1a A ⋅-)2,2,23(1a a a C 取A 1B 1的中点D ，则)2,2,0(a a D ，连接AD ，C 1D ． 则),2,0,0(),0,,0(),0,0,23(1a AA a AB a DC ==-= ,0,0111==⋅⋅AA DC AB DC∴DC 1⊥平面ABB 1A 1，∴∠C 1AD 是直线AC 1与平面ABB 1A 1所或的角．),2,2,0(),2,2,23(1a a AD a a a AC =-= 23||||cos 111==∴⋅AD AC ADAC AD C ， ∴直线AC 1与平面ABB 1A 1所成角的大小是30°．解法二：如图建立空间直角坐标系，则A (0，0，0)，B (0，a ，0)，A 1(0，0，a 2)，)2,2,23(1a a a C -，从而⋅-===)2,2,23(),2,0,0(),0,,0(11a a a AC a AA a AB 设平面ABB 1A 1的法向量是a ＝(p ，q ，r )， 由,0,01==⋅⋅AA AB a a 得⎩⎨⎧==,02,0ar aq 取p ＝1，得a ＝(1，0，0)．设直线AC 1与平面ABB 1A 1所成的角为],2π,0[,∈θθ .30,21|||||||,cos |sin 111 ===〉〈=⋅θθa a a AC AC AC 【评述】充分利用几何体的特征建立适当的坐标系，再利用向量的知识求解线面角；解法二给出了一般的方法，即先求平面的法向量与斜线的夹角，再利用两角互余转换．例5 如图，三棱锥P －ABC 中，P A ⊥底面ABC ，AC ⊥BC ，P A ＝AC ＝1，2=BC ，求二面角A －PB －C 的平面角的余弦值．解法一：取PB 的中点D ，连接CD ，作AE ⊥PB 于E ．∵P A ＝AC ＝1，P A ⊥AC ，∴PC ＝BC ＝2，∴CD ⊥PB ．∵EA ⊥PB ， ∴向量EA 和DC 夹角的大小就是二面角A －PB －C 的大小．如图建立空间直角坐标系，则C (0，0，0)，A (1，0，0)，B (0，2，0)，P (1，0，1)，由D 是PB 的中点，得D ⋅)21,22,21( 由,3122==AB AP EB PE 得E 是PD 的中点，从而⋅)43,42,43(E ∴)21,22,21(),43,42,41(---=--=DC EA ∴⋅=>=<⋅33||||,cos DC EA DCEA DC EA 即二面角A －PB －C 的平面角的余弦值是⋅33 解法二：如图建立空间直角坐标系，则A (0，0，0)，)0,1,2(B ，C (0，1，0)，P (0，0，1)，).1,1,0(),0,0,2(),0,1,2(),1,0,0(-====CP CB AB AP设平面P AB 的法向量是a ＝(a 1，a 2，a 3)，平面PBC 的法向量是b ＝(b 1，b 2，b 3)． 由,0,0==⋅⋅AB AP a a 得⎪⎩⎪⎨⎧=+=,02,0213a a a 取a 1＝1，得).0,2,1(-=a 由0,0==⋅⋅CP CB b b 得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,0,02321b b b 取b 3＝1，得b ＝(0，1，1)． ∴⋅-=>=<⋅33||||,cos b a b a b a ∵二面角A －PB －C 为锐二面角，∴二面角A －PB －C 的平面角的余弦值是⋅=-33|33| 【评述】1、求二面角的大小，可以在两个半平面内作出垂直于棱的两个向量，转化为这两个向量的夹角；应注意两个向量的始点应在二面角的棱上．2、当用法向量的方法求二面角时，有时不易判断两个平面法向量的夹角是二面角的平面角还是其补角，但我们可以借助观察图形而得到结论，这是因为二面角是锐二面角还是钝二面角一般是明显的．例6 如图，三棱锥P －ABC 中，P A ⊥底面ABC ，P A ＝AB ，∠ABC ＝60°，∠BCA ＝90°，点D ，E 分别在棱PB ，PC 上，且DE ∥BC ．(Ⅰ)求证：BC ⊥平面P AC ；(Ⅱ)当D 为PB 的中点时，求AD 与平面P AC 所成角的余弦值；(Ⅲ)试问在棱PC 上是否存在点E ，使得二面角A －DE －P 为直二面角?若存在，求出PE ∶EC 的值；若不存在，说明理由．解：如图建立空间直角坐标系．设P A ＝a ，由已知可得A (0，0，0)，).,0,0(),0,23,0(),0,23,21(a P a C a a B - (Ⅰ)∵),0,0,21(),,0,0(a BC a AP == ∴,0=⋅BC AP ∴BC ⊥AP ．又∠BCA ＝90°，∴BC ⊥AC ．∴BC ⊥平面P AC ．(Ⅱ)∵D 为PB 的中点，DE ∥BC ，∴E 为PC 的中点． ∴⋅-)21,43,0(),21,43,41(a a E a a a D 由(Ⅰ)知，BC ⊥平面P AC ，∴DE ⊥平面P AC ，∴∠DAE 是直线AD 与平面P AC 所成的角． ∴),21,43,0(),21,43,41(a a AE a a a AD =-= ∴,414||||cos ==∠⋅AE AD AEAD DAE即直线AD 与平面P AC 所成角的余弦值是⋅414 (Ⅲ)由(Ⅱ)知，DE ⊥平面P AC ，∴DE ⊥AE ，DE ⊥PE ，∴∠AEP 是二面角A －DE －P 的平面角．∵P A ⊥底面ABC ，∴P A ⊥AC ，∠P AC ＝90°．∴在棱PC 上存在一点E ，使得AE ⊥PC ，这时，∠AEP ＝90°，且⋅==3422AC PA EC PE 故存在点E 使得二面角A －DE －P 是直二面角，此时PE ∶EC ＝4∶3．注：本题还可以不建立空间直角坐标系，通过综合法加以证明，请试一试．练习1-3一、选择题：1．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是BB 1的中点，则二面角E －A 1D 1－D 的平面角的正切值是( ) (A)2 (B)2 (C)5 (D)222．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，直线AD 1与平面A 1ACC 1所成角的大小是( )(A)30° (B)45° (C)60° (D)90°3．已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面边长都相等，A 1在底面ABC 内的射影为△ABC的中心，则AB 1与底面ABC 所成角的正弦值等于( ) (A)31 (B)32 (C)33 (D)32 4．如图，α ⊥β ，α ∩β ＝l ，A ∈α ，B ∈β ，A ，B 到l 的距离分别是a 和b ，AB 与α ，β所成的角分别是θ 和ϕ，AB 在α ，β 内的射影分别是m 和n ，若a ＞b ，则下列结论正确的是( )(A)θ ＞ϕ，m ＞n(B)θ ＞ϕ，m ＜n (C)θ ＜ϕ，m ＜n (D)θ ＜ϕ，m ＞n二、填空题：5．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别为AA 1，AB ，BB 1，B 1C 1的中点，则异面直线EF 与GH 所成角的大小是______．6．已知正四棱柱的对角线的长为6，且对角线与底面所成角的余弦值为33，则该正四棱柱的体积等于______．7．如图，正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为______．8．四棱锥P －ABCD 的底面是直角梯形，∠BAD ＝90°，AD ∥BC ，==BC AB AD 21，P A ⊥底面ABCD ，PD 与底面ABCD 所成的角是30°．设AE 与CD 所成的角为θ ，则cos θ ＝______． 三、解答题：9．如图，正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝4，点E 在CC 1上，且C 1E ＝3EC ．(Ⅰ)证明：A 1C ⊥平面BED ；(Ⅱ)求二面角A 1－DE －B 平面角的余弦值．10．如图，在四棱锥O －ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的菱形，4π=∠ABC ，OA ⊥底面ABCD ，OA ＝2，M 为OA 的中点，N 为BC 的中点．(Ⅰ)证明：直线MN ∥平面OCD ；(Ⅱ)求异面直线AB 与MD 所成角的大小．11．如图，已知直二面角α －PQ －β ，A ∈PQ ，B ∈α ，C ∈β ，CA ＝CB ，∠BAP ＝45°，直线CA 和平面α 所成的角为30°．(Ⅰ)证明：BC ⊥PQ ；(Ⅱ)求二面角B －AC －P 平面角的余弦值．习题1一、选择题：1．关于空间两条直线a 、b 和平面α ，下列命题正确的是( ) (A)若a ∥b ，b ⊂α ，则a ∥α (B)若a ∥α ，b ⊂α ，则a ∥b (C)若a ∥α ，b ∥α ，则a ∥b (D)若a ⊥α ，b ⊥α ，则a ∥b 2．正四棱锥的侧棱长为23，底面边长为2，则该棱锥的体积为( ) (A)8(B)38(C)6 (D)23．已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱长与底面边长相等，则直线AB 1与侧面ACC 1A 1所成角的正弦值等于( ) (A)46 (B)410 (C)22 (D)23 4．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何 体的体积是( )(A)3cm 34000(B)3cm 38000(C)2000cm 3 (D)4000cm 35．若三棱柱的一个侧面是边长为2的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为60° 的菱形，则该棱柱的体积等于( ) (A)2(B)22(C)23 (D)24二、填空题：6．已知正方体的内切球的体积是π34，则这个正方体的体积是______．7．若正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面边长为1，AB 1与底面ABCD 成60°角，则直线AB 1和BC 1所成角的余弦值是______． 8．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是______． 9．连结球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦AB 、CD 的长度分别等于3472、，每条弦的两端都在球面上运动，则两弦中点之间距离的最大值为______．10．已知AABC 是等腰直角三角形，AB ＝AC ＝a ，AD 是斜边BC 上的高，以AD 为折痕使∠BDC 成直角．在折起后形成的三棱锥A －BCD 中，有如下三个结论： ①直线AD ⊥平面BCD ； ②侧面ABC 是等边三角形；③三棱锥A －BCD 的体积是.2423a 其中正确结论的序号是____________．(写出全部正确结论的序号) 三、解答题：11．如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 是BC 的中点，AB ＝AA 1．(Ⅰ)求证：AD ⊥B 1D ；(Ⅱ)求证：A 1C ∥平面A 1BD ；(Ⅲ)求二面角B －AB 1－D 平面角的余弦值．12．如图，三棱锥P －ABC 中，P A ⊥AB ，P A ⊥AC ，AB ⊥AC ，P A ＝AC ＝2，AB ＝1，M 为PC 的中点．(Ⅰ)求证：平面PCB ⊥平面MAB ；(Ⅱ)求三棱锥P －ABC 的表面积．13．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝AA 1＝2，M 、N 分别是A 1C 1、BC 1的中点．(Ⅰ)求证：BC 1⊥平面A 1B 1C ； (Ⅱ)求证：MN ∥平面A 1ABB 1； (Ⅲ)求三棱锥M －BC 1B 1的体积．14．在四棱锥S －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD ，2=AD ，DC ＝SD＝2．点M 在侧棱SC 上，∠ABM ＝60°．(Ⅰ)证明：M 是侧棱SC 的中点；(Ⅱ)求二面角S －AM －B 的平面角的余弦值．练习1-3一、选择题：1．B 2．A 3．B 4．D 二、填空题：5．60° 6．2 7．548．42三、解答题：9．以D 为坐标原点，射线DA 为x 轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系D －xyz ．依题设，B (2，2，0)，C (0，2，0)，E (0，2，1)，A 1(2，0，4)．),0,2,2(),1,2,0(==DB DE ).4,0,2(),4,2,2(11=--=DA C A(Ⅰ)∵,0,011==⋅⋅DE C A DB C A ∴A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥DE ． 又DB ∩DE ＝D ，∴A 1C ⊥平面DBE ．(Ⅱ)设向量n ＝(x ，y ，z )是平面DA 1E 的法向量，则.,1DA DE ⊥⊥n n∴⎩⎨⎧=+=+.042,02z x z y 令y ＝1，得n ＝(4，1，－2)．⋅==⋅4214||||),cos(111C A C A C A n n n ∴二面角A 1－DE －B 平面角的余弦值为⋅4214 10．作AP ⊥CD 于点P ．如图，分别以AB ，AP ，AO 所在直线为x ，y ，z 轴建立坐标系．则A (0，0，0)，B (1，0，0)，)0,22,22(),0,22,0(-D P ，O (0，0，2)，M (0，0，1)，⋅-)0,42,421(N (Ⅰ)⋅--=-=--=)2,22,22(),2,22,0(),1,42,421(OD OP MN 设平面OCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则,0,0==⋅⋅OD OP n n即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=-.022222,0222z y x z y 取,2=z ，得).2,4,0(=n ∵,0=⋅n MN ∴MN ∥平面OCD ． (Ⅱ)设AB 与MD 所成的角为θ ，,3π,21||||||cos ),1,22,22(),0,0,1(=∴==∴--==⋅θθMD AB MD AB MD AB 即直线AB 与MD 所成角的大小为⋅3π11．(Ⅰ)证明：在平面β 内过点C 作CO ⊥PQ 于点O ，连结OB ．∵α ⊥β ，α ∩β ＝PQ ，∴CO ⊥α ． 又∵CA ＝CB ，∴OA ＝OB ．∵∠BAO ＝45°，∴∠ABO ＝45°，∠AOB ＝90°，∴BO ⊥PQ ，又CO ⊥PQ ， ∴PQ ⊥平面OBC ，∴PQ ⊥BC ．(Ⅱ)由(Ⅰ)知，OC ⊥OA ，OC ⊥OB ，OA ⊥OB ，故以O 为原点，分别以直线OB ，OA ，OC 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系(如图)．∵CO ⊥α ，∴∠CAO 是CA 和平面α 所成的角，则∠CAO ＝30°． 不妨设AC ＝2，则3=AO ，CO ＝1．在Rt △OAB 中，∠ABO ＝∠BAO ＝45°，∴.3==AO BO∴).1,0,0(),0,3,0(),0,0,3(),0,0,0(C A B O).1,3,0(),0,3,3(-=-=AC AB设n 1＝(x ，y ，z )是平面ABC 的一个法向量，由⎪⎩⎪⎨⎧==⋅⋅,0,0AC AB n n 得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-,03,033z y y x 取x ＝1，得)3,1,1(1=n ． 易知n 2＝(1，0，0)是平面β 的一个法向量．设二面角B －AC －P 的平面角为θ ，∴,55||||cos 2121==⋅⋅n n n n θ即二面角B －AC －P 平面角的余弦值是⋅55 习题1一、选择题：1．D 2．B 3．A 4．B 5．B 二、填空题： 6．324 7．438．9π 9．5 10．①、②、③ 三、解答题：11．(Ⅰ)证明：∵ABC －A 1B 1C 1是正三棱柱，∴BB 1⊥平面ABC ，∴平面BB 1C 1C ⊥平面ABC ．∵正△ABC 中，D 是BC 的中点，∴AD ⊥BC ，∴AD ⊥平面BB 1C 1C ， ∴AD ⊥B 1D ．(Ⅱ)解：连接A 1B ，设A 1B ∩AB 1＝E ，连接DE ． ∵AB ＝AA 1， ∴ 四边形A 1ABB 1是正方形，∴E 是A 1B 的中点，又D 是BC 的中点，∴DE ∥A 1C ．∵DE ⊂平面A 1BD ，A 1C ⊄平面A 1BD ，∴A 1C ∥平面A 1BD ．(Ⅲ)解：建立空间直角坐标系，设AB ＝AA 1＝1， 则⋅-)1,0,21(),0,23,0(),0,0,0(1B A D 设n 1＝(p ，q ，r )是平面A 1BD 的一个法向量， 则,01=⋅AD n 且,011=⋅D B n 故.021,023=-=-r P q 取r ＝1，得n 1＝(2，0，1)．同理，可求得平面AB 1B 的法向量是).0,1,3(2-=n 设二面角B －AB 1－D 大小为θ ，∵,515||||cos 2121==⋅n n n n θ∴二面角B －AB 1－D 的平面角余弦值为⋅51512．(Ⅰ)∵P A ⊥AB ，AB ⊥AC ，∴AB ⊥平面P AC ，故AB ⊥PC ．∵P A ＝AC ＝2，M 为PC 的中点，∴MA ⊥PC ．∴PC ⊥平面MAB ， 又PC ⊂平面PCB ，∴平面PCB ⊥平面MAB ．(Ⅱ)Rt △P AB 的面积1211==⋅AB PA S ．Rt △P AC 的面积.2212==⋅AC PA S Rt △ABC 的面积S 3＝S 1＝1．∵△P AB ≌△CAB ，∵PB ＝CB ，∴△PCB 的面积.632221214=⨯⨯==⋅MB PC S ∴三棱锥P －ABC 的表面积为S ＝S 1＋S 2＋S 3＋S 4＝.64+13．(Ⅰ)∵ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，∴BB 1⊥平面A 1B 1C 1，∴B 1B ⊥A 1B 1．又B 1C 1⊥A 1B 1，∴A 1B 1⊥平面BCC 1B 1，∴BC 1⊥A 1B 1． ∵BB 1＝CB ＝2，∴BC 1⊥B 1C ，∴BC 1⊥平面A 1B 1C ．(Ⅱ)连接A 1B ，由M 、N 分别为A 1C 1、BC 1的中点，得MN ∥A 1B ， 又A 1B ⊂平面A 1ABB 1，MN ⊄平面A 1ABB 1，∴MN ∥平面A 1ABB 1．(Ⅲ)取C 1B 1中点H ，连结MH ．∵M 是A 1C 1的中点，∴MH ∥A 1B 1，又A 1B 1⊥平面BCC 1B 1，∴MH ⊥平面BCC 1B 1，∴MH 是三棱锥M －BC 1B 1的高， ∴三棱锥M －BC 1B 1的体积⋅=⨯⨯⨯==⋅⋅∆321421313111MH S V B BC 14．如图建立空间直角坐标系，设A (2，0，0)，则B (2，2，0)，C (0，2，0)，S (0，0，2).(Ⅰ)设)0(>=λλMC SM ， 则),12,12,2(),12,12,0(λλλλλ++--=++BM M 又.60,),0,2,0( >=<-=BM BA BA 故,60cos ||||. BA BM BA BM = 即,)12()12()2(14222λλλ+++-+-=+解得λ ＝1． ∴M 是侧棱SC 的中点．(Ⅱ)由M (0，1，1)，A (2，0，0)得AM 的中点⋅)21,21,22(G 又),1,1,2(),1,1,0(),21,23,22(-=-=-=AM MS GB ∴,,,0,0AM MS AM GB AM MS AM GB ⊥⊥∴==⋅⋅ ∴cos 〉MS ,GB 〈等于二面角S －AM －B 的平面角． ,36||||),cos(-==⋅MS GB MS GB MS GB 即二面角S －AM －B 的平面角的余弦值是－36．。
2023年高考之立体几何和空间向量考点解读
3
=
2
1
1
|AB|·|BC|=
×2×
2
2
1
所 以 VP-ABC = S△ABC ·|PM|=
2 2=2 2,
3
1
26
。
×2 2× 3=
3
3
考查,
一是空间线面关系 的 命 题 真 假 的 判 断,
以选填题的形式考查,
属 于 基 础 题;
二是空间
线线、
线面、
面面平行和垂 直 关 系 交 汇 的 综 合
命题,
(
2)若 ∠POF =1
2
0
°,求 三 棱 锥 PABC
|A1A| -|AM| =
2
6
。
2
2
1
2=
2
解 析:(
1)连 接 DE ,
OF ,设 |AF|=
→
→
→
则 B→
t|AC|,
F =BA + AF = (
1-t)
BA +
→
→
所求体积 V =
76
。
=
6
1
6
×(
4+1+ 4×1)
×
3
2
考点解读:空 间 几 何 体 的 结 构 特 征 是 立
则该圆锥的
1
2
0
°,
4
体积为(
胡银伟
33
2
=
2
-
3
2
2
|PC| -|OC|
2
2
=
= 6。所以圆锥的体积 V
1
1
2
2
π×|OA| ×|PO|= π× (3)× 6=
空间向量与立体几何例题和知识点总结
空间向量与立体几何例题和知识点总结在高中数学的学习中，空间向量与立体几何是一个重要且具有一定难度的板块。
通过空间向量的方法，我们能够更加简便地解决立体几何中的许多问题。
接下来，让我们一起通过一些例题来深入理解，并总结相关的知识点。
一、空间向量的基本知识点1、空间向量的概念：空间中具有大小和方向的量称为空间向量。
2、空间向量的表示：可以用有向线段表示，也可以用坐标表示。
3、空间向量的运算：包括加法、减法、数乘以及数量积。
加法和减法满足三角形法则和平行四边形法则。
数乘：λ(a ＋ b) ＝λa ＋λb数量积：a·b ＝｜a|·｜b|·cosθ（θ为两向量的夹角）二、空间向量在立体几何中的应用1、证明线线平行设直线 l₁和 l₂的方向向量分别为 a 和 b，如果 a ＝λb（λ 为非零实数），则 l₁∥ l₂。
例 1：在长方体 ABCD A₁B₁C₁D₁中，E，F 分别为棱 AA₁，CC₁的中点，求证：BE ∥ DF 。
解：以 D 为原点，分别以 DA，DC，DD₁所在直线为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系。
设长方体的长、宽、高分别为 a，b，c 。
则 B(a，b，0)，E(a，0，c/2)，D(0，0，0)，F(0，b，c/2)BE ＝（0，b，c/2)，DF ＝（0，b，c/2)因为 BE ＝ DF ，所以 BE ∥ DF 。
2、证明线线垂直设直线 l₁和 l₂的方向向量分别为 a 和 b，如果 a·b ＝ 0，则 l₁⊥l₂。
例 2：在正方体 ABCD A₁B₁C₁D₁中，M，N 分别为棱 AB，CC₁的中点，求证：DM ⊥ MN 。
解：以 D 为原点，分别以 DA，DC，DD₁所在直线为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系。
设正方体的棱长为 2。
则 D(0，0，0)，M(2，1，0)，N(0，2，1)DM ＝（2，1，0)，MN ＝（－2，1，1)DM·MN ＝－4 ＋ 1 ＋ 0 ＝－3 ≠ 0 ，所以 DM 与 MN 不垂直。
高中数学 2空间向量与立体几何(带答案)
空间向量与立体几何一．空间向量及其运算1．空间向量及有关概念（1）共线向量定理：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。
a 平行于b 记作a ∥b。
推论：如果l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a的直线，那么对任一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，满足等式 A O P O =a t+①其中向量a叫做直线l 的方向向量。
在l 上取a AB =，则①式可化为.)1(OB t OA t OP +-=②当21=t 时，点P 是线段AB 的中点，则 ).(21OB OA OP += ③①或②叫做空间直线的向量参数表示式，③是线段AB 的中点公式。
（2）向量与平面平行：如果表示向量a 的有向线段所在直线与平面α平行或a在α平面内，我们就说向量a 平行于平面α，记作a ∥α。
注意：向量a∥α与直线a ∥α的联系与区别。
共面向量：我们把平行于同一平面的向量叫做共面向量。
共面向量定理：如果两个向量a 、b 不共线，则向量p与向量a 、b 共面的充要条件是存在实数对x 、y ，使.b y a x p+=①推论：空间一点P 位于平面MAB 内的充要条件是存在有序实数对x 、y ，使,MB y MA x MP +=④或对空间任一定点O ，有.MB y MA x OM OP ++=⑤在平面MAB 内，点P 对应的实数对（x, y ）是唯一的。
①式叫做平面MAB 的向量表示式。
又∵.,OM OA MA -=.,OM OB MB -=代入⑤，整理得.)1(OB y OA x OM y x OP ++--= ⑥由于对于空间任意一点P ，只要满足等式④、⑤、⑥之一（它们只是形式不同的同一等式），点P 就在平面MAB 内；对于平面MAB 内的任意一点P ，都满足等式④、⑤、⑥，所以等式④、⑤、⑥都是由不共线的两个向量MA 、MB （或不共线三点M 、A 、B ）确定的空间平面的向量参数方程，也是M 、A 、B 、P 四点共面的充要条件。
空间向量与立体几何复习课ppt课件
一、空间向量及其运算
（一）基本概念 1. 空间向量：空间中具有大小和方向的量 叫做向量． 2. 空间向量也用有向线段表示，并且同向且 等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．
3. 向量的模：向量的大小叫向量的长度或 模。即表示向量的有向线段的长度。 4. 单位向量：模是 1 的向量。
5. 零向量：模是 0 的向量。零向量的方向 是任意的。有向线段的起点与终点重合。
a b
2.共面向量定理:如果两个向量 a 、b 不共线,则向 量 p 与向量 a 、b 共面的充要条件是存在唯一的有 序实数对 ( x, y) 使 p xa yb .
3.空间向量基本定理:如果两个向量 a 、b、c 不共面, 则对空间中的任意向量 p ，存在唯一的有序实数对 (x, y , z) 使 p xa yb zc .
(二)、空间角的向量方法：
设直线 l, m 的方向向量分别为 a, b ，平面 ,
的法பைடு நூலகம்量分别为 u, v ，则
两直线 l , m 所成的角为 ( 0 ≤ ≤ ), cos cosa b ；
2
直线 l 与平面 所成角 ( 0 ≤ ≤ ), sin cosa u ；
2
二面角 ─l ─ 的为 ( 0≤ ≤ ), cos cosu v.
中国历史上吸烟的历史和现状、所采 取的措 施以及 由此带 来的痛 苦和灾 难，可 以进一 步了解 吸烟对 人民健 康的危 害，提 高师生 的控烟 意识
理论知识点
一、空间向量及其运算
1、基本概念；
2、空间向量的运算；
3、三个定理；
4、坐标表示。
二、立体几何中的向量方法
1、判断直线、平面间的位置关系； 2、求解空间中的角度； 3、求解空间中的距离。
高考理科数学《立体几何-空间向量及其应用》专项复习
高考理科数学《立体几何-空间向量及其应用》专项复习一、考纲解读1.空间向量及其运算.（1）了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；（2）掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；（3）掌握空间向量的数量积及其表示，能用向量的数量积判断向量的共线与垂直. 2.空间向量的应用.（1）理解直线的方向向量与平面的法向量；（2）能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系；（3）能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）；（4）能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究几何问题中的应用.二、命题趋势探究立体几何试题中，证明线面、面面的位置关系一般利用传统方法（非向量法）证明，对于空间角和距离的计算，既可用传统方法解答，也可以用向量法解答，而且多数情况下向量法会更容易一些.三、知识点精讲(一).空间向量及其加减运算1.空间向量在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模.空间向量也可用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，若向量a 的起点是A ，终点是B ，则向量a 也可以记作AB ，其模记为a 或AB . 2.零向量与单位向量规定长度为0的向量叫做零向量，记作0.当有向线段的起点A 与终点B 重合时，0AB =. 模为1的向量称为单位向量. 3.相等向量与相反向量方向相同且模相等的向量称为相等向量.在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量.空间任意两个向量都可以平移到同一个平面，成为同一平面内的两个向量. 与向量a 长度相等而方向相反的向量，称为a 的相反向量，记为a -. 4.空间向量的加法和减法运算（1）OC OA OB a b =+=+，BA OA OB a b =-=-.如图8-152所示.（2）空间向量的加法运算满足交换律及结合律 a b b a +=+，()()a b c a b c ++=++ (二).空间向量的数乘运算 1．数乘运算实数λ与空间向量a 的乘积a λ称为向量的数乘运算.当0λ>时，a λ与向量a 方向相同；当0λ<时，向量a λ与向量a 方向相反. a λ的长度是a 的长度的λ倍.2.空间向量的数乘运算满足分配律及结合律()a b a b λλλ+=+，()()a a λμλμ=. 3.共线向量与平行向量如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，a 平行于b ，记作//a b . 4.共线向量定理对空间中任意两个向量a ，b ()0b ≠，//a b 的充要条件是存在实数λ，使a b λ=. 5.直线的方向向量如图8-153所示，l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线.对空间任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使OP OA ta =+①，其中向量a 叫做直线l 的方向向量，在l 上取AB a =，则式①可化为()()1OP OA t AB OA t OB OA t OA tOB =+=+-=-+②①和②都称为空间直线的向量表达式，当12t =，即点P 是线段AB 的中点时，()12OP OA OB =+，此式叫做线段AB 的中点公式. 6.共面向量如图8-154所示，已知平面α与向量a ，作OA a =，如果直线OA 平行于平面α或在平面α内，则说明向量a 平行于平面α.平行于同一平面的向量，叫做共面向量.7.共面向量定理如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(),x y ，使p xa yb =+.推论：（1）空间一点P 位于平面ABC 内的充要条件是存在有序实数对(),x y ，使AP xAB y AC =+；或对空间任意一点O ，有OP OA xAB y AC -=+，该式称为空间平面ABC 的向量表达式.（2）已知空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，满足向量关系式OP xOA yOB zOC =++（其中1x y z ++=）的点P 与点A ，B ，C 共面；反之也成立. (三).空间向量的数量积运算 1.两向量夹角已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA a =，OB b =，则AOB ∠叫做向量a ，b 的夹角，记作,a b ，通常规定0,a b π≤≤，如果,2a b π=，那么向量a ，b 互相垂直，记作a b ⊥. 2.数量积定义已知两个非零向量a ，b ，则cos ,a b a b 叫做a ，b 的数量积，记作a b ⋅，即cos ,a b a b a b ⋅=.零向量与任何向量的数量积为0，特别地，2aa a ⋅=.Aa图 8-1543.空间向量的数量积满足的运算律： ()()a b a b λλ⋅=⋅，a b b a ⋅=⋅（交换律）； ()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅（分配律）.四、空间向量的坐标运算及应用（1）设()123,,a a a a =，()123,,b b b b =，则()112233,,a b a b a b a b +=+++；()112233,,a b a b a b a b -=---； ()123,,a a a a λλλλ=； 112233a b a b a b a b ⋅=++；()112233//0,,a b b a b a b a b λλλ≠⇒===； 1122330a b a b a b a b ⊥⇒++=.（2）设()111,,A x y z ，()222,,B x y z ，则()212121,,AB OB OA x x y y z z =-=---.这就是说，一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示该向量的有向线段的终点的坐标减起点的坐标.（3）两个向量的夹角及两点间的距离公式.①已知()123,,a a a a =，()123,,b b b b =，则221a a a ==+221b b b ==+； 112233a b a b a b a b ⋅=++；cos ,a b =；②已知()111,,A x y z ，()222,,B x y z ，则(AB x =或者(),d A B AB =.其中(),d A B 表示A 与B 两点间的距离，这就是空间两点的距离公式.（4）向量a 在向量b 上的射影为cos ,a b a a b b⋅=.（5）设()0n n ≠是平面M 的一个法向量，AB ，CD 是M 内的两条相交直线，则0n AB ⋅=，由此可求出一个法向量n （向量AB 及CD 已知）.（6）利用空间向量证明线面平行：设n 是平面的一个法向量，l 为直线l 的方向向量，证明0l n ⋅=，（如图8-155所示）.已知直线l （l α⊄），平面α的法向量n ，若0l n ⋅=，则//l α.（7）利用空间向量证明两条异面直线垂直：在两条异面直线中各取一个方向向量a ，b ，只要证明a b ⊥，即0a b ⋅=.（8）利用空间向量证明线面垂直：即证平面的一个法向量与直线的方向向量共线.（9（10）空间角公式.①异面直线所成角公式：设a ，b 分别为异面直线1l ，2l 上的方向向量，θ为异面直线所成角的大小，则cos cos ,a b a b a bθ⋅==.②线面角公式：设l 为平面α的斜线，a 为l 的方向向量，n 为平面α的法向量，θ为nl α图 8-155l 与α所成角的大小，则sin cos ,a n a n a nθ⋅==.③二面角公式：设1n ，2n 分别为平面α，β的法向量，二面角的大小为θ，则12,n n θ=或12,n n π-（需要根据具体情况判断相等或互补），其中1212cos n n n n θ⋅=.（11）点A 到平面α的距离为d ，B α∈，n 为平面α的法向量，则AB n d n⋅=.五、解答题题型总结 核心考点一:垂直问题【例1】如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，PA ⊥底面ABCD ，2PA =，45PDA ∠=︒，点E 、F 分别为棱AB 、PD 的中点． ⑴求证：AF ∥平面PCE ； ⑵求证：平面PCE ⊥平面PCD ；【追问】PC 上是否存在一点H ，使得AC ⊥面EFH ？ 【解析】 以A 为坐标原点，建立如图所示的坐标系A xyz -．⑴ ()002P ，，，()020D ，，，()200B ，，，()220C ，，， 则()011F ，，，()100E ，，， 于是，()011AF =，，，()102EP =-，，，()120EC =，， 因为()12AF EP EC =+，所以AF 与EP EC ，共面．PFEDCBA又AF ⊄面ECP ，所以AF ∥平面PCE ．⑵ 因为()022PD =-，，，所以0AF PD ⋅=，即AF PD ⊥； 又()200DC =，，，所以0AF DC ⋅=，即AF DC ⊥． 于是AF ⊥面PCD ，由⑴AF ∥平面PCE ， 则面PCE ⊥面PCD ． 【追问】，则(2AC =，，(1EF =-，，，EH x ⎛=- 易知0AC EF ⋅=，由(2AC EH x ⋅=【例2】如图，正方形ABCD 所在平面与平面四边形ABEF 所在平面互相垂直，ABE △是等腰直角三角形，AB AE =，FA FE =，45AEF ∠=︒． ⑴求证：EF ⊥平面BCE ；⑵设线段CD 的中点为P ，在直线AE 上是否存在一点M ，使得∥PM 平面BCE ？若存在，请指出点M 的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由；【解析】 ⑴ ∵ABE △为等腰直角三角形，AB AE =，∴AE AB ⊥． 又∵面ABEF ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABEF ，平面ABEF 平面ABCD AB =， ∴AE ⊥平面ABCD ．∴AE AD ⊥．因此，AD ，AB ，AE 两两垂直，以A 为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系A xyz -．设1AB =，则1AE =，(010)B ，，，(100)D ，，，(001)E ，，，(110)C ，，．∵FA FE =，45AEF ∠=︒，∴0EF ⎛= ，，(0BE =，，(10BC =，0EF BE ⋅=+，0EF BC ⋅=．∴EF BE ⊥，EF BC ⊥．∵BE ⊂平面BCE ，BC ⊂平面BCE ，BC BE B =， ∴EF ⊥平面BCE ．⑵ 存在点M ，当M 为AE 中点时，PM ∥平面BCE ．．从而1PM ⎛=- PFEDCBA由1PM EF ⎛⋅=- 即M 为AE 中点时，PM FE ⊥，又EF ⊥平面BCE ，直线PM 不在平面BCE 内， 故PM ∥平面BCE ．【例3】如图，四棱锥S ABCD -的底面是正方形，每条侧棱的长倍，P 为侧棱SD 上的点．⑴ 求证：AC SD ⊥；⑵ 若SD ⊥平面PAC ，侧棱SC 上是否存在一点E ，使得BE ∥平面PAC ．若存在，求:SE EC 的值；若不存在，试说明理由．【解析】 ⑴ 连BD ，设AC 交BD 于O ，连接SO ，由题意知SO ⊥平面ABCD ． 以O 为坐标原点，OB ，OC ，OS 分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立坐标系O xyz -如图．设底面边长为a ，0OC ⎛= ，，2SD ⎛=- 0OC SD ⋅=，故OC SD ⊥．从而AC SD ⊥．⑵ 在棱SC 上存在一点E 使BE ∥平面PAC ．P BAS由题设知，22DS ⎛= 设CE tCS =，则由0CS ⎛= ，，BC ⎛=- BE BC CE BC tCS ⎛=+=+=- 而0BE DS ⋅=⇔即当21SE EC =∶∶时，BE DS ⊥． 而BE 不在平面PAC 内，故BE ∥平面PAC ． 核心考点二:角度与距离【例1】如图，正四棱锥P ABCD -的底面边长与侧面棱长都是2，M 是PC 的中点． ⑴ 求异面直线AD 和BM 所成角的大小． ⑵ 求异面直线AM 和PD 所成角的余弦值．【解析】 ⑴ 解法一：∵AD BC ∥，∴AD 和BM 所成的角就是BC 和BM 所成的角； ∵PBC △是正三角形，∴30MBC ∠=︒； ∴AD 和BM 所成的角为30︒． 解法二：设P 在底面的射影为O ，由于P ABCD -为正四棱锥，所以O 为底面正方形的中心；以O 点为原点，DA 方向为x 轴正方向，DC 方向为y 轴正方向，OP 为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -；由于四棱锥侧面都是边长为2的正三角形，，(2AD =-，，32BM ⎛=- 32AD BM AD BM AD BM⋅==⋅，∴向量AD 与向量BM 所成的角为30︒，即直线AD 和BM 所成的角为30︒． 由⑴解法二得(1PD =-，，32AM ⎛=- 10AM PD AM PD AM PD⋅==-⋅，所成角只能在【例2】如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的菱形，π4ABC ∠=，OA ⊥底面ABCD ，2OA =，M 为OA 的中点，N 为BC 的中点．⑴ 证明：直线MN ∥平面OCD ； ⑵ 求异面直线AB 与MD 所成角的大小； ⑶ 求点B 到平面OCD 的距离．【解析】 作AP CD ⊥于点P ，如图，分别以AB 、AP 、AO 所在直线为x 、y 、z 轴建NM ODCBA立空间直角坐标系．1MN ⎛=- ，0OP ⎛= ，，OD ⎛=- 设平面OCD 的法向量为()n x y z =，，，则00n OP n OD ⋅=⋅=，，解得(04n =，，∵1MN n ⎛⋅=-∴MN ∥平面OCD ．⑵ 设AB 与MD 所成的角为θ， ∵()21002AB MD ⎛==-，，，12AB MDAB MD ⋅=⋅，，即AB 与MD 为OB 在平面影的绝对值；由(10OB =，23OB n n⋅=，OCD 的距离为【例3】如图，已知棱锥S ABCD -的底面是边长为4的正方形，S 在底面的射影O 落在正方形ABCD 内，且O 到AB 、AD 的距离分别是2、1． ⑴ 求证：AB SC ⋅是定值；⑵ 已知P 是SC 的中点，且3SO =，问在棱SA 上是否存在一点Q ，使异面直线OP 与BQ 所成的角为90︒？若不存在，说明原因；若存在，则求AQ 的长．【解析】 ⑴ 以点O 为坐标原点，OS 所在的直线为z 轴，过点O 且与AD 平行的直线为x 轴，过点O 且与AB 平行的直线为y 轴，建立如图的空间直角坐标系． 设高OS h =，则由已知得()()()000210230O A B -，，，，，，，，，()()23000C S h -，，，，，，()()04023AB SC h ==--，，，，，，则()()0243012AB SC h ⋅=⨯-+⨯+⨯-=，即AB SC ⋅是定值． ⑵ 在棱SA 上任取一点()000Q x y z ，，， 使01AQ AS λλ=，≤≤．O SPACD1OP ⎛=- ，，，(2AS =-由AQ AS λ=得()()00021213x y z λ-+=-，，，，， 从而022x λ=-，01y λ=-，03z λ=，()00023BQ x y z =--，，． 则0OP BQ ⋅=，(3344AQ AS ==【例4】如图，已知点P 在正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上，60PDA ∠=︒． ⑴ 求DP 与1CC 所成角的大小；⑵ 求DP 与平面11AA D D 所成角的大小．【解析】 如图，以D 为原点，DA 为单位长建立空间直角坐标系D xyz -． 则(100)DA =，，，1(001)CC =，，．连结BD ，11B D ． 在平面11BB D D 中，延长DP 交11B D 于H ．D 1C 1B 1A 1DC BA P设(1)(0)DH m m m =>，，， 由已知60DH DA 〈〉=︒，， 由cos DA DH DA DH DA DH ⋅=〈〉， ，所以22DH ⎛= 122DH CC 〈〉=，所以145DH CC 〈〉=︒，． 即DP 与1CC 所成的角为45︒．⑵ 平面11AA D D 的一个法向量是(010)DC =，，． 22DH DC 〈〉=，所以60DH DC 〈〉=︒，． 可得DP 与平面11AA D D 所成的角为30︒．【例5】如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D-中，P 是侧棱1CC 上的一点，且CP m =，⑴试确定m ，使得直线AP 与平面11BDD B 所成角的正切值为；⑵在线段11A C 上是否存在一个定点Q ，使得对任意的m ，1D Q 在平面1APD 上的射影垂直于AP ？并证明你的结论．【解析】 ⑴ 建立如图所示的空间直角坐标系，则()100A ，，，()110B ，，，A BC DA 1B 1C 1D 1()01P m ，，，()010C ，，，()000D ，，，()1111B ，，，()1001D ，，，所以()110BD =--，，，()1001BB =，，，()11AP m =-，，，()110AC =-，，，又由0AC BD ⋅=，10AC BB ⋅=知AC 为平面11BB D D 的一个法向量， 设AP 与平面11BB D D 所成的角为θ，2AP AC AP AC ⋅=⨯()2232=⑵若在11A C 上存在这样的点Q ，设此点的横坐标为x ，则()11Q x x -，，，()110D Q x x =-，，，依题意，对任意的m 要使1D Q 在平面1APD 上的射影垂直于AP ， 10AP D Q ⇔⋅=⇔即Q 为11A C 的中点时，满足题设要求．【例6】如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AB BB =，D 为AC 的中点，1AC ⊥平面1A BD ． ⑴ 求证：11B C ⊥平面11ABB A ；⑵设E 是1CC 的中点，试求出1A E 与平面1A BD 所成角的正弦值．【解析】 ⑴ 连接1AB ，∵1AB B B =，∴四边形11ABB A 为正方形，∴11A B AB ⊥．又∵1AC ⊥面1A BD ，∴11AC A B ⊥，∴1A B ⊥面11AB C ， ∴111A B B C ⊥．又111BB B C ⊥，∴11B C ⊥平面11ABB A ． ⑵ 在矩形11ACC A 中，由11AC A D ⊥可知11~A AD ACC △△，建立如图的空间直角坐标系，不妨设2AB =，则()200A ，，，()1202A ，，，()1022C ，，，()021E ，，， 可得()1222AC =-，，，()1221A E =--，，． 由题意可知1AC 即为平面1A BD 的一个法向量， 设1A E 与平面1A BD 所成的角为θ，【例7】如图，在三棱锥P ABC -中，PA PB =，PA PB ⊥， AB BC ⊥，30BAC ∠=︒，平面PAB ⊥平面ABC ．⑴ 求证：PA ⊥平面PBC ； ⑵ 求二面角P AC B --的余弦值； ⑶ 求异面直线AB 和PC 所成角的余弦值．【解析】 在平面PAB 中作PO AB ⊥于点O ，E A 1B 1C 1ABCDPA∵平面PAB ⊥平面ABC ，∴PO ⊥平面ABC ．过点O 作BC 的平行线，交AC 于点D ．如图，以O 为原点，直线OD OB OP ，，分别为x 轴， y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系．∵30AB BC BAC ⊥∠=︒，， ∴tan302BC AB =⋅︒=．∵(0PA =，，(2BC =，∴0PA BC ⋅=，∴PA BC ⊥． 又∵PA PB ⊥， ∴PA ⊥平面PBC ．由⑴知，(0OP =，设(n x y =，，∵(2AC =，32n PA y n AC x ⎧⋅=-⎪⎨⋅=+⎪⎩，则(3n =-，3n OP n OP n OP⋅-==⨯⨯，由图象知，二面角P AC --∵()(02302AB PC ==，，，，3010AB PC AB PC AB PC⋅〈〉==，和PC 所成角的余弦值是。
2014高考数学理(真题讲练 规律总结 名师押题)热点专题突破：第十四讲 空间向量与立体几何
第十四讲空间向量与立体几何空间向量及运算空间向量的数乘运算空间向量的加减运算空间向量的数量积运算平行与垂直的条件向量的模与两向量的夹角空间向量的坐标运算立体几何中的向量方法直线的方向向量与平面的法向量求空间角用空间向量证明平行与垂直问题1．(用法向量判断平行或垂直)若平面α、β的法向量分别为n1＝(2，－3,5)，n2＝(3,7,3)，则平面α与平面β的位置关系是________．【解析】n1·n2＝2×3－3×7＋5×3＝0，即n1⊥n2.则平面α⊥平面β.【答案】垂直2．(空间向量平行的充要条件)若空间三点A(1,5，－2)，B(2,4,1)，C(p,3，q＋2)共线，则p＋q＝________.【解析】∵A，B，C三点共线，则AB→＝λAC→，即(1，－1,3)＝λ(p－1，－2，q＋4)．∴求得p＝3，q＝2，即p＋q＝5.【答案】 53．(异面直线所成的角)如图4－3－1所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是________．图4－3－1【解析】 以BC 为x 轴，BA 为y 轴，BB 1为z 轴，建立空间直角坐标系．设AB ＝BC ＝AA 1＝2，则C 1(2,0,2)，E (0,1,0)，F (0,0,1)， 则EF →＝(0，－1,1)，BC 1→＝(2,0,2)． ∴EF →·BC 1→＝2.∴cos<EF →，BC 1→>＝22×22＝12.∴EF 和BC 1所成的角为60°. 【答案】 60°4．(空间向量的数量积)已知ABCD —A 1B 1C 1D 1为正方体，①(A 1A →＋A 1D 1→＋A 1B 1→)2＝3A 1B 1→2；②A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝0；③向量AD 1→与向量A 1B →的夹角是60°；④正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的体积为|AB →·AA 1→·AD →|.其中正确命题的序号是________．【解析】 设正方体的棱长为1，①中(A 1A →＋A 1D 1→＋A 1B 1→)2＝3(A 1B 1→)2＝3，故①正确；②中A 1B 1→－A 1A →＝AB 1→，由于AB 1⊥A 1C ，故②正确；③中A 1B 与AD 1两异面直线所成的角为60°，但AD 1→与A 1B →的夹角为120°，故③不正确；④中|AB →·AA 1→·AD →|＝0.故④也不正确．【答案】 ①②5．(二面角)过正方形ABCD 的顶点A ，引P A ⊥平面ABCD .若P A ＝BA ，则平面ABP 和平面CDP 所成的二面角的大小是________．图4－3－2【解析】 建立如图所示的空间直角坐标系，不难求出平面APB 与平面PCD 的法向量n 1＝(0,1,0)，n 2＝(0,1,1)，故平面ABP 与平面CDP 所成二面角(锐角)的余弦值为|n 1·n 2||n 1||n 2|＝22，故所求的二面角的大小是45°.【答案】 45°【命题要点】 ①利用空间向量求线线角；②利用空间向量求线面角.(2013·郑州模拟)如图4－3－3，已知点P 在正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′的对角线BD ′上，∠PDA ＝60°.图4－3－3(1)求DP 与CC ′所成角的大小；(2)求DP 与平面AA ′D ′D 所成角的大小．【思路点拨】 (1)建立空间直角坐标系，延长DP 交B ′D ′于H ，求DH →的坐标． (2)DC →是平面AA ′D ′D 的一个法向量，求DP →与DC →的夹角余弦值．【自主解答】 如图，以D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，建立空间直角坐标系D —xyz ，设正方体棱长为1，则DA →＝(1,0,0)，CC ′→＝(0,0,1)．连结BD ，B ′D ′，在平面BB ′D ′D 中，延长DP 交B ′D ′于H . 设DH →＝(m ，m,1)(m ＞0)， 由已知〈DH →，DA →〉＝60°，由DA →·DH →＝|DA →||DH →|cos 〈DH →，DA →〉， 可得2m ＝2m 2＋1.解得m ＝22，所以DH →＝⎝⎛⎭⎫22，22，1.(1)因为cos 〈DH →，CC ′→〉＝22×0＋22×0＋1×11×2＝22，所以〈DH →，CC ′→〉＝45°. 即DP 与CC ′所成的角为45°.(2)平面AA ′D ′D 的一个法向量是DC →＝(0,1,0)． 因为cos 〈DH →，DC →〉＝22×0＋22×1＋1×01×2＝12，所以〈DH →，DC →〉＝60°.可得DP 与平面AA ′D ′D 所成的角为30°.1．解答本题的关键是求向量DH →的坐标，也可根据点P 在线段BD ′上直接求点P 的坐标．2．利用空间向量求两异面直线所成的角，直线与平面所成的角的方法及公式为：(1)异面直线所成角θ(0°＜θ≤90°)设a，b分别为异面直线a，b的方向向量，则：cos θ＝|cos〈a，b〉|＝|a·b||a|·|b|.(2)线面角θ(0°≤θ≤90°)设a是直线l的方向向量，n是平面的法向量，则sin θ＝|cos〈a，n〉|＝|a·n||a|·|n|.变式训练1(2013·课标全国卷Ⅰ)如图4－3－4，三棱柱ABC—A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.(1)证明：AB⊥A1C；图4－3－4(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．【解】(1)证明如图(1)，取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B.因为CA＝CB，所以OC⊥AB.图(1)由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°，故△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB.因为OC∩OA1＝O，所以AB⊥平面OA1C.又A 1C ⊂平面OA 1C ，故AB ⊥A 1C .(2)解：由(1)知OC ⊥AB ，OA 1⊥AB ，又平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，交线为AB ，所以OC ⊥平面AA 1B 1B ，故OA ，OA 1，OC 两两相互垂直．以O 为坐标原点，OA →的方向为x 轴的正方向，|OA →|为单位长，建立如图(2)所示的空间直角坐标系O —xyz .图(2)由题设知A (1,0,0)，A 1(0，3，0)，C (0,0，3)，B (－1,0,0)，则BC →＝(1,0，3)，BB 1→＝AA 1→＝(－1，3，0)，A 1C →＝(0，－3，3)．设n ＝(x ，y ，z )是平面BB 1C 1C 的法向量，则⎩⎨⎧n ·BC →＝0，n ·BB 1→＝0，即⎩⎨⎧x ＋3z ＝0，－x ＋3y ＝0.可取n ＝(3，1，－1)，故cos 〈n ，A 1C →〉＝n ·A 1C →|n ||A 1C →|＝－105.所以A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值为105.【命题要点】 ①利用空间向量求二面角；②已知二面角的大小求参数的值.(2013·湖北高考)如图4－3－5，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A ，B 的点，直线PC ⊥平面ABC ，E ，F 分别是P A ，PC 的中点．图4－3－5(1)记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，试判断直线l 与平面P AC 的位置关系，并加以证明．(2)设(1)中的直线l 与圆O 的另一个交点为D ，且点Q 满足DQ →＝12CP →.记直线PQ 与平面ABC 所成的角为θ，异面直线PQ 与EF 所成的角为α，二面角E －l －C 的大小为β，求证：sin θ＝sin αsin β.【思路点拨】 (1)从EF ∥AC 入手，利用线面平行的判定定理与性质定理进行判断与证明；(2)建立空间直角坐标系，利用向量法求解．【自主解答】 (1)直线l ∥平面P AC .证明如下：连接EF ，因为E ，F 分别是P A ，PC 的中点，所以EF ∥AC . 又EF ⊄平面ABC ，且AC ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC . 而EF ⊂平面BEF ，且平面BEF ∩平面ABC ＝l ， 所以EF ∥l .因为l ⊄平面P AC ，EF ⊂平面P AC ， 所以直线l ∥平面P AC .(2)如图所示，由DQ →＝12CP →，作DQ ∥CP ，且DQ ＝12CP .连接PQ ，EF ，BE ，BF ，BD .由(1)可知交线l 即为直线BD .以点C 为原点，向量CA →，CB →，CP →所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设CA ＝a ，CB ＝b ，CP ＝2c ，则有C (0,0,0)，A (a,0,0)，B (0，b,0)，P (0,0,2c )，Q (a ，b ，c )，E ⎝⎛⎭⎫12a ，0，c ，F (0,0，c )．于是FE →＝⎝⎛⎭⎫12a ，0，0，QP →＝(－a ，－b ，c )，BF →＝(0，－b ，c )， 所以cos α＝|FE →·QP →||FE →||QP →|＝aa 2＋b 2＋c 2，从而sin α＝1－cos 2α＝b 2＋c 2a 2＋b 2＋c 2.取平面ABC 的一个法向量为m ＝(0,0,1)， 可得sin θ＝|m ·QP →||m ||QP →|＝ca 2＋b 2＋c 2 .设平面BEF 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )． 由⎩⎨⎧n ·FE →＝0，n ·BF →＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧12ax ＝0，－by ＋cz ＝0，取n ＝(0，c ，b )．于是|cos β|＝|m·n ||m ||n |＝bb 2＋c2， 从而sin β＝1－cos 2β＝cb 2＋c 2.故sin αsin β＝b2＋c2a2＋b2＋c2·cb2＋c2＝ca2＋b2＋c2＝sin θ，即sin θ＝sin αsin β.1．本题中线段CA、CB、CP的长度关系不确定，因此应分别设出后，再求点的坐标．2．求二面角最常用的办法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．其计算公式为：设m，n分别为平面α，β的法向量，则θ与〈m，n〉互补或相等，|cosθ|＝|cos〈m，n〉|＝|m·n| |m||n|.变式训练2(2013·浙江高考)如图4－3－6，在四面体A—BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD＝22，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC.(1)证明：PQ∥平面BCD；(2)若二面角C—BM—D的大小为60°，求∠BDC的大小．图4－3－6【解】(1)证明如图所示，取BD的中点O，以O为原点，OD，OP所在射线为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系O—xyz.由题意知A (0，2，2)，B (0，－2，0)，D (0，2，0)． 设点C 的坐标为(x 0，y 0,0)， 因为AQ →＝3QC →，所以Q ⎝⎛⎭⎫34x 0，24＋34y 0，12.因为点M 为AD 的中点，故M (0，2，1)． 又点P 为BM 的中点，故P ⎝⎛⎭⎫0，0，12， 所以PQ →＝⎝⎛⎭⎫34x 0，24＋34y 0，0.又平面BCD 的一个法向量为a ＝(0,0,1)，故PQ →·a ＝0. 又PQ ⊄平面BCD ，所以PQ ∥平面BCD . (2)设m ＝(x ，y ，z )为平面BMC 的一个法向量． 由CM →＝(－x 0，2－y 0,1)，BM →＝(0,22，1)，知⎩⎨⎧－x 0x ＋(2－y 0)y ＋z ＝0，22y ＋z ＝0.取y ＝－1，得m ＝⎝⎛⎭⎪⎫y 0＋2x 0，－1，22.又平面BDM 的一个法向量为n ＝(1,0,0)，于是 |cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n ||m ||n |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 0＋2x 09＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 0＋2x 02＝12，即⎝⎛⎭⎪⎫y 0＋2x 02＝3.①又BC ⊥CD ，所以CB →·CD →＝0，故(－x 0，－2－y 0,0)·(－x 0，2－y 0,0)＝0，即x 20＋y 20＝2.②联立①②，解得⎩⎨⎧x 0＝0，y 0＝－2(舍去)或⎩⎨⎧x 0＝±62，y 0＝22.所以tan ∠BDC ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 02－y 0＝ 3.又∠BDC 是锐角，所以∠BDC ＝60°.【命题要点】 ①探索线面位置关系是否成立；②探索空间角的大小是否成立.(2013·长沙模拟)如图4－3－7所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E是棱DD 1的中点．图4－3－7(1)求直线BE 和平面ABB 1A 1所成的角的正弦值；(2)在棱C 1D 1上是否存在一点F ，使B 1F ∥平面A 1BE ？证明你的结论． 【思路点拨】 (1)建立空间直角坐标系后，用向量法求解． (2)假设存在点F ，证明B 1F →与平面A 1BE 的法向量垂直即可．【自主解答】 设正方体的棱长为1，如图所示，以AB →，AD →，AA 1→为单位正交基底建立空间直角坐标系．(1)依题意，得B (1,0,0)，E ⎝⎛⎭⎫0，1，12，A (0,0,0)，D (0,1,0)， 所以BE →＝⎝⎛⎭⎫－1，1，12，AD →＝(0,1,0)．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，因为AD ⊥平面ABB 1A 1，所以AD →是平面ABB 1A 1的一个法向量，设直线BE 和平面ABB 1A 1所成的角为θ，则sin θ＝|BE →·AD →||BE →|·|AD →|＝132×1＝23.即直线BE 和平面ABB 1A 1所成的角的正弦值为23.(2)依题意，得A 1(0,0,1)，BA 1→＝(－1,0,1)，BE →＝⎝⎛⎭⎫－1，1，12. 设n ＝(x ，y ，z )是平面A 1BE 的一个法向量，则由n ·BA 1→＝0，n ·BE →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋z ＝0，－x ＋y ＋12z ＝0. 所以x ＝z ，y ＝12z ，取z ＝2，得n ＝(2,1,2)．设F 是棱C 1D 1上的点，则F (t,1,1)(0≤t ≤1)． 又B 1(1,0,1)，所以B 1F →＝(t －1,1,0)． 而B 1F ⊄平面A 1BE ，于是B 1F ∥平面A 1BE ⇔B 1F →·n ＝(t －1,1,0)·(2,1,2)＝0⇔2(t －1)＋1＝0⇔t ＝12⇔F 为C 1D 1的中点，这说明在棱C 1D 1上存在点F (C 1D 1的中点)，使B 1F ∥平面A 1BE .1．解答本题(2)时先假设在棱C 1D 1上存在一点F ，则向量B 1F →与平面A 1BE 的法向量垂直，从而列方程求解．2．空间向量最适合于解决这类立体几何中的探索性问题，它无需进行复杂的作图、论证、推理，只需通过坐标运算进行判断．解题时，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围的解”等，所以使问题的解决更简单、有效，应善于运用这一方法解题．变式训练3 (2013·潍坊模拟)已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ＝2，AA 1＝3，点D 为AC 的中点，点E 在线段AA 1上．图4－3－8(1)当AE ∶EA 1＝1∶2时，求证DE ⊥BC 1；(2)是否存在点E ，使二面角D —BE —A 等于60°，若存在求AE 的长；若不存在，请说明理由．【解】 (1)证明：连结DC 1，因为ABC —A 1B 1C 1为正三棱柱，所以△ABC 为正三角形， 又因为D 为AC 的中点，所以BD ⊥AC ，又平面ABC ⊥平面ACC 1A 1，所以BD ⊥平面ACC 1A 1， 所以BD ⊥DE .因为AE ∶EA 1＝1∶2，AB ＝2，AA 1＝3，所以AE ＝33，AD ＝1， 所以在Rt △ADE 中，∠ADE ＝30°，在Rt △DCC 1中，∠C 1DC ＝60°， 所以∠EDC 1＝90°，即ED ⊥DC 1，所以ED ⊥平面BDC 1，BC 1⊂面BDC 1，所以ED ⊥BC 1. (2)假设存在点E 满足条件，设AE ＝h .取A 1C 1的中点D 1，连结DD 1，则DD 1⊥平面ABC ，所以DD 1⊥AD ，DD 1⊥BD ， 分别以DA 、DB 、DD 1所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系D —xyz ，则A (1,0,0)，B (0，3，0)，E (1,0，h )，所以DB →＝(0，3，0)，DE →＝(1,0，h )，AB →＝(－1，3，0)，AE →＝(0,0，h )， 设平面DBE 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎨⎧n 1·DB →＝0，n 1·DE →＝0，⎩⎨⎧3y 1＝0，x 1＋hz 1＝0，令z 1＝1，得n 1＝(－h,0,1)，同理，平面ABE 的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎨⎧n 2·AB →＝0，n 2·AE →＝0，⎩⎨⎧－x 2＋3y 2＝0，hz 2＝0.∴n 2＝(3，1,0)．∴cos〈n1，n2〉＝|－3h|h2＋1·2＝cos 60°＝12.解得h＝22＜3，故存在点E，当AE＝22时，二面角D—BE—A等于60°.建立空间直角坐标系后用空间向量求空间角是高考重点考查内容，但已知空间角求相关量的题目，体现了逆向思维，更能考查学生分析问题和解决问题的能力，对此我们应高度重视．利用空间向量求解空间角问题(12分)如图4－3－9所示，正方形ADEF 与梯形ABCD 所在平面互相垂直，AD ⊥CD ，AB ∥CD ，AB ＝AD ＝12CD ＝2，点M 在线段EC 上且不与E 、C 重合．图4－3－9(1)当点M 是EC 中点时，求证：BM ∥平面ADEF ； (2)当平面BDM 与平面ABF 所成锐二面角的余弦值为66时，求三棱锥M —BDE 的体积． 【规范解答】 (1)以DA 、DC 、DE 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系． 则A (2,0,0)，B (2,2,0)，C (0,4,0)，E (0,0,2)，M (0,2,1)，2分 ∴BM →＝(－2,0,1)，平面ADEF 的一个法向量DC →＝(0,4,0)．∵BM →·DC →＝0，∴BM →⊥DC →，∴BM ⊥DC ， 即BM ∥平面ADEF .4分(2)依题意设M ⎝⎛⎭⎫0，t ，2－t2(0＜t ＜4)，设平面BDM 的法向量n 1＝(x ，y ，z )，则DB →·n ＝2x ＋2y ＝0，DM →·n ＝ty ＋⎝⎛⎭⎫2－t2z ＝0， 令y ＝－1，则n 1＝⎝⎛⎭⎫1，－1，2t4－t .平面ABF 的法向量n 2＝(1,0,0).6分∵|cos 〈n 1，n 2〉|＝|n 1·n 2||n 1|·|n 2|＝12＋4t2(4－t )2＝66， 解得t ＝2.8分∴M (0,2,1)为EC 的中点，S △DEM ＝12S △CDE ＝2，B 到平面DEM 的距离h ＝2，∴V M —BDE ＝V B —DEM ＝13·S △DEM ·h ＝43.12分【阅卷心语】易错提示 (1)解答本题(2)时，易因设不出点M 的坐标而无法求解． (2)不能把条件“平面BDM 与平面ABF 所成锐二面角的余弦值为66”转化为方程，从而求出点M 的坐标，导致无法求解．防范措施 (1)欲要设出在线段上某点的坐标，可利用三点共线向量满足的条件，求出该点坐标，如本例中，可设EM →＝tEC →从而求出点M 的坐标(用t 表示)．(2)已知空间角的大小和求空间角的大小，在解题思路上完全一致，不同点是“已知空间角大小”最后应列出一个方程求参数的值．1．直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，∠BAC ＝30°，BC ＝1，AA 1＝6，M 是CC 1的中点，则异面直线AB 1与A 1M 所成的角为________．【解析】 建立坐标系如图所示， 易得M ⎝⎛⎭⎫0，0，62，A 1(0，3，0)， A (0，3，6)，B 1(1,0,0)， 所以AB 1→＝(1，－3，－6)， A 1M →＝⎝⎛⎭⎫0，－3，62.所以AB 1→·A 1M →＝1×0＋3－62＝0，所以AB 1→⊥A 1M →，即AB 1⊥A 1M . 【答案】 90°2．在如图4－3－10所示的几何体中，△ABC 是边长为2的正三角形，AE ＞1，AE ⊥平面ABC ，平面BCD ⊥平面ABC ，BD ＝CD ，且BD ⊥CD .图4－3－10(1)若AE ＝2，求证：AC ∥平面BDE ； (2)若二面角A —DE —B 为60°，求AE 的长．【解】 (1)分别取BC ，BA ，BE 的中点M ，N ，P ，连接DM ，MN ，NP ，DP ，则MN ∥AC ，NP ∥AE ，且NP ＝12AE ＝1.因为BD ＝CD ，BC ＝2，M 为BC 的中点， 所以DM ⊥BC ，DM ＝1. 又因为平面BCD ⊥平面ABC ， 所以DM ⊥平面ABC . 又AE ⊥平面ABC ， 所以DM ∥AE ，所以DM ∥NP ，且DM ＝NP ，因此四边形DMNP 为平行四边形， 所以MN ∥DP ，所以AC ∥DP ，又AC ⊄平面BDE ，DP ⊂平面BDE ， 所以AC ∥平面BDE .(2)由(1)知DM ⊥平面ABC ，AM ⊥MB ， 建立如图所示的空间直角坐标系M —xyz .第 21 页 共 21 页设AE ＝h ，则M (0,0,0)，B (1,0,0)，D (0,0,1)，A (0，3，0)，E (0，3，h )，BD →＝(－1,0,1)，BE →＝(－1，3，h )．设平面BDE 的法向量n 1＝(x ，y ，z )．则⎩⎨⎧ BD →·n 1＝0，BE →·n 1＝0.所以⎩⎨⎧－x ＋z ＝0，－x ＋3y ＋zh ＝0. 令x ＝1，所以n 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1－h 3，1， 又平面ADE 的法向量n 2＝(1,0,0)，所以cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝112＋12＋(1－h )23＝12. 解得h ＝6＋1，即AE ＝6＋1.。
高考数学二轮总复习专题14空间向量在立体几何中的应用(共59张PPT)
=
=-1,a4 与 a 的夹角为 180° ,不合题意,故选 关闭
3
解析
答案
-4能力目标解读 热点考题诠释
1 2 3
2.(2014 课标全国Ⅱ高考,理 11)直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠ BCA=90° ,M,N 分别是 A1B1,A1C1 的中点,BC=CA=CC1,则 BM 与 AN 所成角 的余弦值为( ) A.
不妨设 DC=DA=DD1=1,则 D(0,0,0),B(1,1,0),A1(1,0,1),O 点 P(0,1,t)且 0≤t≤1. 则������������ = - , ,t , ������1 D=(-1,0,-1),������1 B=(0,1,-1).
2 2 1 1
1 1 2 2
, ,0 ,并设
解析:如图,以点 C1 为坐标原点,C1B1,C1A1,C1C 所在的直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系,
不妨设 BC=CA=CC1=1, 可知点 A(0,1,1),N 0, ,0 ,B(1,0,1),M
2 1 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2
, ,0 .
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专题14
空间向量在立体几何 中的应用
-2能力目标解读 热点考题诠释
本部分主要考查利用空间向量工具解决立体几何中平行、垂直的证 明,距离的求解,空间角的求解,并且此类问题常以解答题的形式出现.若出 现在客观题中,一般以求线线角、线面角或距离问题为主. 对于立体几何中的平行、垂直的证明一般利用传统的几何知识和相 关的性质或定理进行证明,但如果所给的载体结构容易建系和求出相关点 的坐标,可选用空间向量证明. 对于距离的求解可以利用等体积法,也可以利用向量解决,对于空间角, 在大多数情况下,传统的几何法、向量法都可以解决,但首先应选用向量法, 这样降低了思维的难度,但对运算能力有较高的要求. 本部分主要考查学生的空间想象能力、化归能力、逻辑推理能力和 运算求解能力,预测在 2015 年的高考中,本部分内容仍以解答题形式出现, 难度中档,其中向量工具求空间角仍然是重点,对于探索类问题也要引起足 够的重视.