等腰三角形轴对称性
课件：1.5等腰三角形的轴对称性2
的中点M, =_______,理 ②取AB的中点 ,连接 的中点 连接CM,则CM=_______,理 , =_______, 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 由是:__________________. 由是:__________________.
∴DM=BM
M
A
N
又∵N为BD的中点 为 的中点 ∴MN⊥BD ⊥
C
B
拓展提高 如图在△ABC中 M,N分 如图在△ABC中,CF⊥AB,BE⊥AC, M,N分 别是BC EF的中点 试说明： BC与 的中点, 别是BC与EF的中点, 试说明：MN ⊥EF.
A
F
N E
B M
C
●本节课你还有哪些疑问? 本节课你还有哪些疑问?
5
2.如图,在四边形 2.如图,在四边形ABCD中， 如图 中 =∠ADC=900，M、N ∠ABC=∠ =∠ =90 的中点， 分别是AC 分别是 、BD的中点，说明： 的中点 说明： MN⊥BD. ⊥ . ∵∠ABC=∠ADC=90º ∵∠ ∠
D
M为AC的中点 为 的中点 ∴DM=1/2AC，BM=1/2AC
B
2 1
C
2 1
B
AAຫໍສະໝຸດ 2.如图 将纸条沿截线 折叠 在所 如图,将纸条沿截线 折叠,在所 如图 将纸条沿截线AB折叠 仍有∠ ∠ 度量边 度量边AC和 得△ABC中,仍有∠1=∠2.度量边 和BC 中 仍有 的长度,你有什么发现 你有什么发现? 的长度 你有什么发现
在一张薄纸上画线段AB,并在 同 并在AB同 在一张薄纸上画线段 并在 侧利用量角器画两个相等的锐角∠ 侧利用量角器画两个相等的锐角∠BAM 相交于点C,量一量 和∠ABN.设AM与BN相交于点 量一量 设 与 相交于点 AC与BC的长度 或折纸使 ∠BAM与 的长度,或折纸使 与 的长度 与 重合,你和同学所得的结论相同吗 ∠ABN重合 你和同学所得的结论相同吗 重合 你和同学所得的结论相同吗? 如果一个三角形有两个角相等,那么这两 如果一个三角形有两个角相等 那么这两 个角所对的边也相等(简称 等角对等边” 简称“ 个角所对的边也相等 简称“等角对等边”).
等腰三角形有几条对称轴
等腰三⾓形有⼏条对称轴
等腰三⾓形的对称轴：除了等边三⾓形有三条对称轴之外，等腰三⾓形都只有⼀条对称轴。
等腰三⾓形性质
1.等腰三⾓形的两个底⾓度数相等（简写成“等边对等⾓”）。
2.等腰三⾓形的顶⾓平分线，底边上的中线，底边上的⾼相互重合（简写成“等腰三⾓形三线合⼀”）。
3.等腰三⾓形的两底⾓的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的⾼相等）。
4.等腰三⾓形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
5.等腰三⾓形的⼀腰上的⾼与底边的夹⾓等于顶⾓的⼀半。
6.等腰三⾓形底边上任意⼀点到两腰距离之和等于⼀腰上的⾼（需⽤等⾯积法证明）。
7.⼀般的等腰三⾓形是轴对称图形,只有⼀条对称轴，顶⾓平分线所在的直线是它的对称轴。
但等边三⾓形（特殊的等腰三⾓形）有三条对称轴。
每个⾓的⾓平分线所在的直线，三条中线所在的直线，和⾼所在的直线就是等边三⾓形的对称轴。
8.等腰三⾓形中腰长的平⽅等于底边上⾼的平⽅加底的⼀半的平⽅（勾股定理）。
9.等腰三⾓形的腰与它的⾼的关系：腰⼤于⾼；腰的平⽅等于⾼的平⽅加底的⼀半的平⽅。
各个图形的对称轴数量
长⽅形有2条对称轴。
正⽅形有4条对称轴。
等腰梯形有1条对称轴。
圆有⽆数条对称轴。
五⾓星有5条对称轴。
菱形有2条对称轴。
八年级数学上册《等腰三角形的轴对称性》教案、教学设计
4.培养学生的空间想象能力，为高中阶段的立体几何学习打下基础。
在教学过程中，教师要关注学生的个体差异，充分调动学生的学习积极性，鼓励学生主动探究、积极思考，使学生在掌握知识的同时，提高综合素养。
二、学情分析
八年级学生对几何图形具有一定的认识和了解，但在轴对称性方面的知识掌握程度不同。大部分学生已经掌握了等腰三角形的定义和基本性质，但对等腰三角形轴对称性的理解尚不深入。在学习本章节时，学生可能面临以下情况：
2.课后思考题：
a.请举例说明等腰三角形的轴对称性质在实际生活中的应用；
b.运用等腰三角形的性质，设计一个美丽的轴对称图案，并简要说明设计思路。
通过思考题，激发学生的创新意识，培养学生的几何审美观念。
3.小组合作探究题：
a.探讨等腰三角形与等边三角形的区别与联系；
b.分析等腰三角形在几何图形中的应用，如等腰三角形在建筑、艺术等方面的运用。
（五）总结归纳，500字
1.教师引导学生回顾本节课所学内容，总结等腰三角形的轴对称性质及其应用。
2.学生分享自己的学习心得，总结自己在学习过程中遇到的困难和解决方法。
3.教师对本节课的重点知识进行梳理，强调等腰三角形与等边三角形的区别与联系。
4.布置课后作业，要求学生在课后对所学知识进行巩固，提高自己的几何素养。
3.设计多样化的课堂活动，如小组讨论、合作交流，让学生在互动中深入理解等腰三角形的性质；
4.强化练习环节，针对教学难点设计梯度性练习题，帮助学生巩固所学知识；
5.创设实际问题情境，引导学生运用轴对称性质解决实际问题，培养学生的应用意识和创新意识；
6.注重课堂反馈，及时发现学生存在的问题，给予个性化指导。
5.3.1等腰三角形的轴对称性(教案)
一、教学内容
本节课选自《初中数学课程标准》七年级下册第五章第三节第一部分“5.3.1等腰三角形的轴对称性”。教学内容主要包括以下两点：
1.等腰三角形的定义及其性质：通过观察和分析，让学生掌握等腰三角形的定义，了解等腰三角形两腰相等、底角相等的特点。
2.等腰三角形的轴对称性：引导学生探索等腰三角形沿着底边中点所在的直线进行对折时，两腰及两底角的变化规律，从而得出等表达：如何让学生从具体的实例中抽象出轴对称性的数学表达，并用准确的语言进行描述。
难点突破方法：
-通过实际操作，如让学生动手折叠等腰三角形，观察对折后的图形，亲身体验轴对称性的特点。
-引导学生运用数学语言描述轴对称性，如对称轴、对称点等概念，并给出具体的例子进行解释。
-设计一些有关等腰三角形轴对称性的实际问题，让学生运用所学知识解决问题，如求解等腰三角形的高、中线等。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调等腰三角形的定义和轴对称性这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与等腰三角形轴对称性相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。通过折叠等腰三角形，观察其对折后的形状，从而验证轴对称性。
-等腰三角形的轴对称性：讲解等腰三角形沿着底边中点所在的直线进行对折时，两腰及两底角的变化规律，明确轴对称性的概念。
举例解释：
在讲解等腰三角形的性质时，可以通过绘制不同类型的等腰三角形，如等腰直角三角形、等腰锐角三角形、等腰钝角三角形等，让学生观察并总结两腰相等、底角相等的规律。
2.教学难点
-理解并运用轴对称性：学生在理解等腰三角形的轴对称性过程中，可能会对“轴对称”这一概念感到困惑，不知道如何在实际问题中运用这一性质。
2.52等腰三角形的轴对称性(2)
B
G
D
C
例3、如图，已知0B、OC为△ABC的 角平分线，DE∥BC，（1）说明： DE=BD+CE （2）△ADE的周长为10， BC长为8，求△ABC的周长.
A
D
0
E
B
C
已知△ABC中AB=AC，D，E分别是 AB和 BC上的点，连接DE并延长，且与 AC的延长线交于点F，若DE=EF，试说 A 明BD=CF
A
D B C E
例3.如图,△ABC和△CDE都是等边三角 形,且点A,C,E在一条直线上. 试说明: CM=CN
B
D M N A
C
E
例4.如图,△ABC和△CDE都是等边三角 形,且点A,C,E在一条直线上. 试说明: △CMN 是等边三角形
B
D M N A
C
E
例1如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=1200, AD⊥AB, AE⊥AC. ⑴图中,等于300的有__________,等于 600的角有 ; ⑵△ADE是等边三角形吗?为什么? A
问题：
⊿ABC中，∠B= ∠C，AB等 于AC吗？为什么？
A
B
D
C
等腰三角形的判定:
如果一个三角形有两个角相等， 则这两个角所对的边也相等。 (简写“等角对等边”)
A
∵∠B＝∠C ∴ AB=AC (等角对等边)
B C
AC和BC有什么数量关系
C A
1
2
B
如图，AB=AC，D是AB上一点， DE⊥BC于E，DE的延长线交CA的延长 线于F，那么⊿ADF是等腰三角形吗？ 说明理由。
A N M
B
C
3.如图,在△ABC中，∠C=900， ∠ABD=2∠EBC，AD∥BC， 求证:DE=2AB.
等腰三角形的轴对称性
归纳 如果一个三角形有两个角相等,那么这两 个角所对的边也相等(简称”等角对等 边”) A 如图,在△ABC中,若 ∠B=∠C,则AB=AC
B C
例1 如图在△ABC中,AB=AC,角平 分线BD、CE相交于O点.OB于 OC相等吗?请说明理由.
A
E B
O
D C
（1）等腰三角形是轴对称图形，这与其顶角的大 小无关，或者说，这与等腰三角形是锐角三角形 或者钝角三角形或者直角三角形无关，并且对称 轴一定是顶角平分线所在的直线，而不是任意角 的平分线所在的直线。
（2）“等边对等角”仅限于同一个三角形中。
（3）“三线合一”是等腰三角形的重要性质，它 是说明线段相等，角相等，垂直关系的重要依据 之一。
例题分析
例1 如图,在△ABC中,AB=AC,点D在BC上, 且AD=BD.找出图中相等的角并说明理由. 解: ∠C=∠B=∠1,∠3=∠BAC A 根据“等边对等角”, 1 2 ∵AB=AC,AD=BD, 3 ∴∠C=∠B,∠B=∠1. B C D 从而∠C=∠1. ∵∠3是△ADC的外角, ∴∠3=∠C+∠2. 而∠C=∠1, ∴∠3=∠1+∠2=∠BAC
C
3.等腰三角形一个底角为75°,它的另外两 75°,30° 个角为_______. 4.等腰三角形一个角为70°,它的另外两个 角为___________________. 70°,40°或55°,55°
5.等腰三角形一个角为110°,它的另外两 35°,35° 个角为________. ④0°＜顶角＜180° 结论:在等腰三角形中, ⑤0°＜底角＜90° ① 顶角+2×底角=180° ② 顶角=180°－2×底角 ③ 底角=（180°－顶角）÷2
例2. 已知：如图，房屋的顶角 ∠BAC=100°，过屋顶A的立柱AD⊥BC， 屋椽AB=AC, 求顶架上∠B、∠C、∠BAD、 ∠CAD的度数,并说明理由。
等腰三角形的轴对称性质
化学实验
生物学实验
在生物学实验中，等腰三角形可用于 模拟生物体的形态和结构，如细胞结 构和生物体的平衡。
在化学实验中，等腰三角形可用于表 示化学反应中的物质变化和能量转化。
04
等腰三角形与其他几何图形的关系
与直角三角形的关系
直角三角形可以是等腰的，即两个锐 角相等，两腰也相等。
等腰直角三角形是一种特殊的等腰三 角形，它的两个锐角都是45度，两腰 相等，并且斜边是两腰的平方和的平 方根。
THANK YOU
感谢聆听
角度判定
如果一个三角形有两个底角相 等，则它是等腰三角形。
综合判定
如果一个三角形同时满足边长 相等和角度相等，则它是等腰 三角形。
02
等腰三角形的轴对称性
轴对称的定义
轴对称
如果一个平面图形关于某一直线对称 ，那么这个图形叫做轴对称图形，这 条直线叫做对称轴。
轴对称的性质
轴对称图形是全等图形，对称轴两侧 的图形可以完全重合。
角度相等
等腰三角形的两个底角相等，顶角与底角也相等。
等腰三角形的性质
80%
轴对称
等腰三角形是轴对称图形，其对 称轴是穿过顶角的高线。
100%
角度恒定
等腰三角形的角度恒定，即两个 底角相等，顶角与底角也相等。
80%
面积恒定
等腰三角形的面积恒定，可以通 过底和高计算面积。
等腰三角形的判定
边长判定
如果一个三角形有两边长度相 等，则它是等腰三角形。
绘画和雕塑
等腰三角形在绘画和雕塑 中常被用来表现形式美感 和立体感，如人体结构和 自然形态。
服装设计
在服装设计中，等腰三角 形可以作为设计元素，用 于服装的款式和图案设计。
《等腰三角形的判定》轴对称
判定定理法
判定定理
等腰三角形的判定定理为“在一个三 角形中，如果有两个角相等，则这两 个角所对的边也相等”。
判定方法
通过比较三角形的两个角的大小，如 果两个角相等，则该三角形是等腰三 角形。
03
等腰三角形与轴对称的应用
几何图形中的应用
等腰三角形的性质
等腰三角形具有对称性，其两条等腰边关于底边所在的直线对称 。
综合练习题
组合题
将等腰三角形和轴对称图形的知识进行 组合，设计一些综合性的题目。例如， 让学生判断一个图形是否既是等腰三角 形又是轴对称图形，或者让学生求一个 轴对称图形的对称轴和对称点等。
VS
拓展题
将等腰三角形和轴对称图形的知识进行拓 展，设计一些拓展性的题目。例如，让学 生研究一些特殊的等腰三角形和轴对称图 形，如正三角形、正方形等。
等腰三角形两腰相等，两个底角 相等，并且底边上的中点到两腰 的距离相等。此外，等腰三角形 有一个对称轴，即底边的中线。
分类与特点
等腰三角形的分类
根据顶角和底角的不同，等腰三角形可以分为锐角等腰三角 形、直角等腰三角形和钝角等腰三角形。锐角等腰三角形是 最常见的类型。
等腰三角形的特点
等腰三角形具有稳定性，因为它的两边长度相等，所以它不 容易变形。此外，等腰三角形在几何学中有着广泛的应用， 如建筑设计、工程绘图和计算机图形学等领域。
3
代数式与等腰三角形的关系
等腰三角形的代数式表示与代数式的对称性有密 切关系。
实际生活中的应用
建筑学中的应用
工程学中的应用
等腰三角形在建筑学中具有广泛应用 ，如金字塔、埃菲尔铁塔等建筑物的 设计都利用了等腰三角形的性质。
在工程学中，可以利用等腰三角形的 性质进行测量、计算等工作，提高工 作效率和精度。
八年级数学上册 2.5《等腰三角形的轴对称性》等腰三角形要点全析素材 (新版)苏科版
要点全析：等腰三角形1．等腰三角形（isosceles triangle）有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．如图14-3-1，△ABC中，AB＝AC，则△ABC是等腰三角形．相等的两条边叫腰，另一条边BC叫底边，两腰所夹的角叫顶角，如∠BAC，底边和腰的夹角∠ABC和∠ACB叫底角．如图14-3-2中，∠C＝90°，AC＝BC，那么，AC、BC为腰，AB边为底，∠A、∠B为底角，∠C为顶角．【说明】要理解等腰三角形的定义，需注意以下几点：（1）等腰三角形的底不一定在下方，而顶角不一定在上方，如图14-3-2中，AB为底，∠C为顶角．它是根据两腰的位置来确定的．（2）等腰三角形的三边仍要满足条件：任意两边之和大于第三边（或任意两边之差小于第三边）．若图14-3-1中，AB＝AC＝m，BC＝a，则2m＞a，即m>a/2时，才能构成三角形，否则不成立．如边长分别为2，2.5的三条线段不能构成三角形，因为2＋2＜5．例如：（1）下列各组数据为边长时，能否组成三角形？①a＝2，b＝3，c＝5；②a＝4，b＝3，c＝2；③a＝1，b＝2，c＝2；④a＝2 005，b＝2 004，c＝2 008．（2）已知等腰三角形的两边为6 cm，7 cm，求其周长．（3）已知等腰三角形的两边长为2 cm，7 cm，求其周长．解：（1）①由于2＋3＝5，即a＋b＝c，而不满足a＋b＞c，∴不能组成三角形．②由于2＋3＝5＞4，即b＋c＞a，所以a、b、c可以组成三角形．③由于1＋2＞2，即a＋b＞c，所以a、b、c可以组成三角形．④由于a＋b＞c，因此a、b、c可以组成三角形．（2）因等腰三角形的两边长分别为6 cm、7 cm当腰长为6 cm时，周长为6＋6＋7＝19（cm）当腰长为7 cm时，周长为6＋7＋7＝20（cm）．∴等腰三角形的周长为19 cm或20 cm．（3）因等腰三角形的两边长分别为2 cm，7 cm，所以腰长为7 cm，而不能是2 cm．若为2 cm，则2＋2＝4＜7，不能组成三角形．因此周长为7＋7＋2＝16（cm），∴等腰三角形的周长为16 cm．2．等腰三角形的性质1等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）如图14-3-3，△ABC中，AB＝AC，则∠B＝∠C证法一：（利用轴对称）过点A作△ABC的对称轴AD．∵AB＝AC，∴点A在BC的垂直平分线上．又∵AD为△ABC的对称轴，∴△ABD≌△ACD（轴对称性质）．∴∠B＝∠C证法二：（作顶角平分线）过点A作AD平分∠BAC交BC于D，如图14-3-3，在△ABD和△ACD中⎪⎩⎪⎨⎧∠∠ADADCADBADACAB＝＝＝∴△ABD≌△ACD（SAS）．∴∠B＝∠C【说明】还可以作底边BC的中线和高来证明．3．等腰三角形的性质2（简称“三线合一”）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线相互重合．如图14-3-6，在△ABC中，AB＝AC，AD为顶角的平分线，那么AD既是中线，又是高线，这三条线重合．在使用时，在这三条线段中，只要作出其中一条，另外两条也就可以认为作出来了．即△ABC中，AB＝AC，若AD平分∠BAC，则AD⊥BC，BD＝CD；若BD＝CD，则AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD；若AD⊥BC，则BD＝DC，∠BAD＝∠CAD．因此，等腰三角形中的这条线非常重要，一旦作出，边、角的等量关系就都有了．【说明】（1）“三线合一”仅限于等腰三角形中才有，其他三角形中没有．（2）在一般三角形中，这三条线是不会重合的．如图14-3-7，在△ABC中，AD为高，AE为中线，AF平分∠BAC，因此，这三条线不重合．只有等腰时，三条线才会重合；反过来，若某一三角形中三线重合，则该三角形为等腰三角形．（3）在今后的证明题中，经常会使用“三线合一”进行证明．例如：△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC交AC于D，如图14-3-8．求证：∠BAC＝2∠DBC证法一：在△BCD中，∵BD⊥AC，∴∠BDC＝90°．∴∠DBC＝90°－∠C．在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．∴∠BAC＝180°－（∠ABC＋∠ACB）＝180°－2∠ACB＝2（90°－∠C）．∴∠BAC＝2∠DBC证法二：借助于三线合一的性质，过A作AM⊥BC于M，则AM平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠BAM＝2∠CAM.又∵BD⊥AC交AC于D，AM⊥BC交BC于M，∴∠DBC＝90°－∠C又∵AM⊥BC，∴∠CAM＝90°－∠C，∴∠DBC＝∠CAM4．等腰三角形的性质3（轴对称性）等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在的直线就是它的对称轴．如图14-3-9，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，则△ABC的对称轴为AD所在的直线，△ABD≌△ACD．过D作DE⊥AB，交AB于E，作DF⊥AC，交AC于F．由△ABD≌△ACD可知DE＝DF．同理，过D分别作AB、AC边上的中线和角平分线，它们都相等．因此，得到等腰三角形的一个重要结论．重要结论：过等腰三角形底边的中点向两腰所作的高线、中线以及角平分线，其与两腰所截得的线段都分别对应相等．5．等腰三角形的性质4（两腰上的对应线段相等）等腰三角形两腰上的中线、高线和两底角平分线对应相等．例如：如图14-3-10，△ABC中，AB＝AC，若BD、CE分别为AC、AB边上的高线，则BD ＝CE．证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB（等边对等角）．又∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠BDC＝∠CEB＝90°．在△BCD和△CBE中，⎪⎩⎪⎨⎧∠∠∠∠，＝，＝，＝CBBCCEBBDCCBEBCD∴△BCD≌△CBE（AAS）．∴BD＝CE．或S△ABC＝0.5×AB·CE＝0.5×AC·BD．∵ AB＝AC，∴BD＝CE．此法较为简便．同样道理，可分别作出两腰上的中线，两底角的平分线，也分别对应相等．6．等腰三角形的判定定理（等角对等边）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．例如：如图14-3-11，△ABC中，若∠B＝∠C，则AB＝AC证明：过点A作AD平分∠BAC，交BC于点D，则∠BAD＝∠CAD．在△ABD和△ACD中，∴△ABD≌△ACD（AAS）．∴AB＝AC因此，这一结论可直接利用．【说明】（1）在使用“等边对等角”或“等角对等边”时，一定要注意是在同一个三角形中才有这一对应关系，不在同一三角形中的边、角没有这一对应关系．（2）有了这一结论，为今后证明线段相等又添了一种重要的解题途径．例如：如图14-3-12，△ABC中，AB＝AC，BD、CE相交于O点．且BE＝CD求证：OB＝OC．证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB（等边对等角）．在△BCE和△CBD中⎪⎩⎪⎨⎧∠∠，＝，＝，＝CBBCDCBEBCCDBE∴△BCE≌△CBD（SAS）．∴∠BCE＝∠CBD，即∠OBC＝∠BCO∴OB＝OC（等角对等边）．【说明】证两条线段相等，若这两条线段在同一个三角形中，可利用等腰三角形的判定定理来证明．7．已知底边和底边上的高，求作等腰三角形已知线段a、b，求作等腰三角形ABC，使底边BC＝a，高为b．作法：（1）作线段BC＝a；（2）作线段BC的垂直平分线MN与BC交于点D；（3）在MN上截取AD＝b；（4）连接AB、AC，△ABC就是所求的等腰三角形．【说明】（1）由作法知MN为BC的垂直平分线，∴AB＝AC∴△ABC为等腰三角形，如图14-3-13．（2）以前所作的三角形分别为：已知三边，两边夹角，两角夹边和已知斜边、直角边求作三角形，今天又学习了已知底边和底边上的高求作等腰三角形，共有五种情况，今后还将学习一些更为复杂的作法，都是以这五种为基础进行作图的．8．等边三角形（equilateral triangle）（1）定义：三条边都相等的三角形，叫等边三角形．如图14-3-14，△ABC中，AB＝BC ＝CA，则△ABC为等边三角形．（2）性质：①等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°．如图14-3-14中，若△ABC 为等边三角形，则∠A＝∠B＝∠C＝60°．②除此之外，还具有等腰三角形的一切性质，如三线合一，轴对称等．（3）判定：①三个角都相等的三角形是等边三角形．②有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．下面证明以上两条判定．判定①：如图14-3-15，已知△ABC中，∠A＝∠B＝∠C求证：△ABC是等边三角形．证明：∵∠B＝∠C，∴AB＝AC又∵∠A＝∠B∴AC＝BC∴AB＝AC＝BC，∴△ABC是等边三角形．判定②：如图14-3-15，已知△ABC中，AB＝AC，∠B＝60°．求证：△ABC是等边三角形．证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．又∵∠B＝60°，∴∠B＝∠C＝60°．又∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠A＝180°－（∠B＋∠C）＝60°．∴∠A＝∠B＝∠C，∴AB＝BC＝AC．∴△ABC为等边三角形．（4）应用：例如：如图14-3-16，△ABC为等边三角形，D、E为直线BC上的两点，且BD＝BC＝CE，求∠DAE的度数．分析：要求∠DAE的度数，需分开求，先求∠BAC，再求∠DAB和∠CAE，由△ABC为等边三角形知∠BAC＝60°，又∵BD＝BC，而BC＝BA，则BD＝BA，∴△ABD为等腰三角形，∴∠D＝∠DAB＝0.5×∠ABC＝30°．同理可知，∠CAE＝30°．解：∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°．又∵BD＝BC，∴BD＝BC＝AB．∴∠DAB＝∠D，又∵∠ABC＝∠D＋∠DAB，∴∠ABC＝2∠DAB＝60°，∴∠DAB＝30°．同理，∠CAE＝30°．∴∠DAE＝∠DAB＋∠BAC＋∠CAE＝30°＋60°＋30°＝120°．【说明】本题中用到了等边三角形的性质．再如：如图14-3-17，已知△ABC为等边三角形，D、E、F分别为△ABC三边上的点，且BD＝CE＝AF，直线AD、BE、CF两两相交于点R、Q、P．求证：△PQR是等边三角形．分析：本题既用到了等边三角形的性质，又用到了其判定．要证△PQR为等边三角形，证三边相等难度较大，可考虑证其三角相等．也可先证∠PQR＝60°，而∠PQR＝∠ACQ＋∠QAC，又因为∠ACQ＋∠BCF ＝60°，只需证∠BCF＝∠DAC，由此可联想证△BCF与△CAD全等．证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝∠ABC＝∠BCA＝60°，AB＝BC＝CA．又∵BD＝CE＝AF，∴BF＝DC＝AE在△ABE和△BCF和△CAD中，⎪⎩⎪⎨⎧∠∠∠，＝＝，＝＝，＝＝CDBFAEDCAFBCBAECABCAB∴△ABE≌△BCF≌△CAD（SAS）．∴∠ABE＝∠BCF＝∠CAD．∵∠ACQ＋∠BCF＝60°，∴∠ACQ＋∠CAQ＝60°．∴∠AQF＝∠ACQ＋∠CAQ＝60°，即∠PQR＝60°．同理，∠RPQ＝∠PRQ＝60°．∴△PQR为等边三角形．【说明】（1）此题证明思路比较清晰，只是步骤书写较繁，书写应认真；（2）在证明过程中用到了三个三角形全等的连等形式，可仿照两个三角形全等的方式使用．9．含30°角的直角三角形的性质在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．如图14-3-18，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，则BC＝0.5×AB，这一性质反过来也成立．即在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝0.5×AB，则∠A＝30°．因此Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝30° BC＝AB/2这一性质在解题中经常用到．例如：如图14-3-19，在Rt△ABC中，∠BAC为直角，高AD交BC于D，∠B＝30°，BC ＝12米，求CD，BD的长．解：∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，∴∠C＝60°，BC＝2AC∴AC＝BC/2＝6（米）．在Rt△ACD中，∵AD⊥BC，∠C＝60°，∴∠CAD＝30°．∴DC＝AC/2＝0.5××6＝3（米）．∴BD＝BC－DC＝9－6＝12－3＝9（米）．【说明】在本题中两次用到直角三角形的这一性质，并且用的方式都一样．。
等腰三角形的性质与应用
等腰三角形的性质与应用知识点1、等腰三角形的性质（1）等腰三角形有两边相等；（2）对称性：等腰三角形是轴对称图形,等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴,或底边上的高所在的直线是它的对称轴,或顶角的平分线所在的直线是它的对称轴.（3）三线合一：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.（4）等边对等角：等腰三角形的两个底角相等.知识点2、等腰三角形的判定定理定理：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）.知识点3、等边三角形的性质与判定1.等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°.2.等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴.3.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.4.拓展：等边三角形是一种特殊的三角形，容易知道等边三角形的三条高（或三条中线、三条角平分线）都相等.知识点4、等腰三角形性质的应用（1）等腰三角形两底角的平分线相等；（2）等腰三角形两腰上的中线相等；（3）等腰三角形两腰上的高相等；（4）等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等.知识点5、等腰三角形中常用的辅助线等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，要视具体情况来定。
经典例题例1.如图，已知在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC延长线上一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M.求证：M是BE的中点.例2.如图，已知：中，，D是BC上一点，且，求的度数.例3.已知：如图，中，于D.求证：.例 4.如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分别为∠ABC与∠ACB的角平分线，且相交于点F，则图中的等腰三角形有（ ）A. 6个B. 7个C. 8个D. 9个例5.已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F分别是垂足.求证：AE＝AF.例6.如图，△ABC中，AB＝AC，D，E分别是BC，AC上的点，∠BAD与∠CDE满足什么条件时AD＝AE？写出你的推理过程．例7.如图，延长△ABC的各边，使得BF＝AC，AE＝CD＝AB，顺次连结D，E，F，得到△DEF为等边三角形．求证：(1)△AEF≌△CDE；(2)△ABC为等边三角形．例8.数学课上，李老师出示了如下框中的题目．小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：(1)特殊情况，探索结论当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE DB(填“>”、“<”或“=”)．(2)特例启发，解答题目题目中，AE与DB的大小关系是：AEDB（填“>”、“<”或“=”）．理由如下：如图2，过点E作交AC于点F（请你完成以下解答过程）例9.如图，在四边形ABDC中，AB=2AC，试判断DC与AC的位置关系，并证明你的结论．例10.已知为不等边三角形，于D点，求证：D点到AB、AC边的距离必不相等．例11.如图，为等边三角形，D、E分别是AC、BC上的点，且AD=CE，AE 与BD相交于点P，于F.求证：BP=2PF.。
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等腰三角形的轴对称性（1）
教学目标：
1、知识技能：理解掌握等腰三角形的性质；利用等腰三角形的性质进行证明和计算。
2、过程与方法：通过实践、观察、证明等腰三角形的性质，发展学生合情推理能力和演绎推理能力。
3、解决问题：通过观察等腰三角形的对称性，培养学生观察、分析、归纳问题的能力，提高运用知识和技能解决问题的能力，发展应用意识。
4、情感态度和价值观：通过引导学生对图形的观察、发现，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心。
教学重点与难点：
重点：等腰三角形的性质的探索和应用。
难点：等腰三角形的性质的验证。
教学过程：
1、教师导学：
【教师活动】：1、观察图中的等腰三角形ABC，分别说出它们的腰、底边、顶角和底角．
2、展示精美的图片，引出本节课的课题-我们这节课来探究等腰三角形的性
质。
２、交流互学：
【教师活动】：①拿出课下在透明纸上画出的等腰三角形，它是轴对称图形吗？对称轴是谁？用你手中的纸片说明你的看法？②等腰三角形沿对称轴折叠后，你能得到哪些结论？（看谁得到的结论多）
【学生活动】：①动手操作、实践。
分组讨论。
(看哪一组气氛最活跃,结论又对又多.) 然后小组代表发言，交流讨论结果。
【教师活动】：你能猜想得到等腰三角形具有什么性质？你能用文字语言归纳一下吗？教师展示折叠动态图让学生通过观察折叠后重叠的线段和角总结归纳得出性质1，2。
对变式练习（1）、（2）学生得出正确的结果就有困难，容易漏解，让学生把变式题与例1进行比较两题的条件，让学生认识等腰三角形在没有明确顶角和底角时，应分类讨论：变式1（如图）①当∠A=50°为顶角时，则∠B=65°，∠C=65°。
②当∠A=50°为底角时,则∠B =50°，∠C =80°；或∠B =80°，∠C =50°。
变式2①当∠A=100°为顶角时，则∠B=40°，∠C=40°。
②当∠A=100°为底角时，则△ABC不存在。
由此得出，等腰三角形中已知一个角可以求出另两个角（顶角和底角的取值范围：0°＜顶角＜180°, 0°＜底角＜90°）。
例二：在等腰△ABC中，AB =5，AC = 6，则△ABC的周长=_______ 变式练习：在等腰△ABC中，AB =5，AC = 12，则△ABC的周长=______ 设计意图：此例题的重点是运用等腰三角形的定义，以及等腰三角形腰和底边的关系，并强调在没有明确腰和底边时，应该分两种情况讨论。
如例二，①当AB=5为腰时，则三边为5，5，6；②当AB=5为底时，则三边为6，6，5。
变式练习①：当AB=5为腰时，三边为5，5，12；②当AB=5为底时，三边为12，12，5。
此时同学们就会毫不犹豫地得出三角形的周长，这时老师就可以提出质疑，让同学们之间讨论（学生容易忽视三角形三边关系，看能否构成一个三角形）。
【教师活动】：
例2、如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，且AD＝BD，
求证: ∠ADB＝∠BAC．
【学生活动】
小组交流，教师点拨。
成功的情感体验，同时培养学生分析问题和解决问题的能力，更加说明了合情推理和演绎推理是相辅相成的。
5、课堂小结：不仅仅是知识点的总结，而是让学生从知识上，思想方法上，以及辅助线的做法上等方面具体总结一下。
然后教师结合学生的回答完善本节知识结构。
学生对于自己的疑惑提出小组内交流，还没解决则全班交流。
6、布置作业：
分选做和必做两类
设计意图：进一步巩固所学知识，及时反馈，查漏补缺，分层次布置作业，满足不同学生的发展需求，体现层次性和开放性。