函数的周期性与对称性
函数周期性与对称性
函数周期性与对称性一、函数周期：对任意的x D ∈，都有()()f x T f x +=，则T 叫做函数()f x 的周期 例如：求11()()(),(),()()1()f x f x a f x f x a f x a f x f x -+=-+=+=+的周期 二、对称性：函数关于原点对称即奇函数：()()f x f x -=- 函数关于y 对称即偶函数：()()f x f x -=函数关于直线 x a =对称：()()f x a f a x +=-或()(2)f x f a x =-或 者 (2)()f x a f x +=-函数关于点（a,b ）对称：f(x+a)+f(a-x)=2b1．f(x)是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且f(2)=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是 A ．2； B ．3； C ．4； D ．5 （ ）2．设函数))((R x x f ∈为奇函数，),2()()2(,21)1(f x f x f f +=+=则=)5(f （ ）A ．0B ．1C ．25 D ．53．已知f(x)是R 上的偶函数，对R x ∈都有f(x ＋6)=f(x)＋f(3)成立，若f(1)=2，则f(2011)=( )A 、2005B 、2C 、1D 、04． 设f （x ）是定义在R 上以6为周期的函数，f （x ）在(0,3)内单调递减，且y=f （x ）的图象关于直线x=3对称，则下面正确的结论是 （ ）(A)()()()1.5 3.5 6.5f f f <<； (B )()()()3.5 1.5 6.5f f f <<； (C)()()()6.5 3.5 1.5f f f <<； (D)()()()3.5 6.5 1.5f f f <<5．设函数()f x 与()g x 的定义域是{x R ∈}1x ≠±,函数()f x 是一个偶函数，()g x 是一个奇函数，且1()()1f xg x x -=-，则()f x 等于 A.112-x B.1222-x xC .122-x D.122-x x6.已知定义在R 上的函数f (x )的图象关于)0,43(-成中心对称，且满足f (x )=1)1(),23(=-+-f x f , f (0) = –2，则f (1) + f (2) +…+ f (2010)的值为（ ）A ．–2B ．–1C ．0D ．17.已知函数()f x 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有(1)(1)()xf x x f x +=+，则5(())2f f 的值是 A .0 B.12 C.1 D.528.若()f x 是定义在R 上的奇函数，且当x ＜0时，1()1f x x =+，则1()2f ＝ ．9.()y f x =定义域为R ，且对任意x R ∈都有()()()111f x f x f x ++=-，若()21f =f(2009)=_ 10．设f(x)是定义在R 上的奇函数,且y=f(x)的图象关于直线21=x 对称,则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)= ____。
函数的对称性与周期性
函数的对称性与周期性函数是数学中的重要概念之一，也是实际问题建模时必不可少的工具。
在函数的研究中，对称性和周期性是两个重要的特性，它们在解决问题时具有重要的意义。
一、对称性对称性是指当函数中存在一些特定的点、直线或面对称时，函数会出现相应的特征变化。
在函数研究中，对称性分为奇偶对称性、轴对称性和中心对称性三种类型。
1.1 奇偶对称性在定义域上对函数进行某种变换，若此时函数值不变，则称函数具有对称性。
其中，奇偶对称是一种特殊的对称性。
若函数$f(x)$满足$f(-x)=f(x)$，即对于定义域上任意一个$x$，都有$f(-x)=f(x)$成立，则函数$f(x)$具有奇函数对称性。
若函数$f(x)$满足$f(-x)=f(x)$且$f(x)$具有偶函数性质，即对于定义域上任意$x$都有$f(-x)=f(x)$，且对于定义域上任意$x$都有$f(-x)=f(x)$成立，则$f(x)$具有偶函数对称性。
1.2 轴对称性对于定义域上的任意一个$x$，若函数$f(x)$等于一个定值减去该点处的函数值，则称函数$f(x)$具有轴对称性。
定义域上的这条轴称为对称轴。
轴对称性表明函数$f(x)$在对称轴两侧的函数值相等。
1.3 中心对称性对于定义域的任意一个$x$，若函数$f(x)$与以坐标系原点为中心的另一个点对称，则称函数$f(x)$具有中心对称性。
中心对称性表明函数$f(x)$在以原点为中心的圆形中的两侧具有对称性。
二、周期性周期性是指函数具有在某一定量级范围内重复的规律性。
对于函数$f(x)$，若存在正数$T$，使得对于定义域上的任何一个$x$，都有$f(x+T)=f(x)$成立，则函数$f(x)$是周期函数，其中最小正周期为$T$。
具有周期性的函数，其解析式通常为三角函数式。
结论函数在解决实际问题时，对称性和周期性的特性具有重要的意义。
它们可以用来研究函数的性质、求函数的极值、判别函数的奇偶性、求证某些理论结论等。
函数对称性与周期性的关系
函数对称性与周期性的关系首先，我们先来明确对称性的概念。
在数学中，对称性是指在其中一种变换下保持不变的性质。
常见的对称性有关于点、直线、平面、中心等不同的类型。
对于函数而言，对称性通常指的是关于坐标轴或者一些点对称的性质。
具体而言，函数f(x)在一些点a处具有对称性，意味着当x=a 时，有f(a+h)=f(a-h)，其中h为任意实数。
这表明函数在点a处的函数值关于a对称。
对于关于坐标轴对称的函数，还满足函数在坐标轴两侧的函数值相等的性质。
接下来，我们来看周期性的概念。
周期性是指函数在一定范围内的数学性质重复出现的性质。
通常用来描述函数f(x)存在一个正数T，对于任意的x，有f(x+T)=f(x)，其中T称为函数的周期。
具有周期性的函数在周期内的性质是相同的，因此周期性可以用来分析函数在不同时间或者空间位置上的行为。
对称性和周期性在一定程度上是有关联的。
事实上，一个函数的周期性往往与函数的对称性密切相关。
具体而言，如果一个函数具有对称性，那么它可能是周期性的。
例如，正弦函数和余弦函数是具有周期性的函数，并且它们之间满足平移对称性。
具体来说，正弦函数sin(x)和余弦函数cos(x)都具有以2π为周期的性质，即sin(x + 2π) = sin(x)和cos(x+ 2π) = cos(x)。
同时，它们的图像也具有关于y轴的对称性，即sin(-x) = -sin(x)和cos(-x) = cos(x)。
这些对称性的存在使得正弦函数和余弦函数能够在整个实数轴上不断重复。
另一个例子是带有偶函数或者奇函数性质的函数。
一个函数f(x)被称为偶函数，如果对于任意的x，有f(-x)=f(x)。
相反，如果一个函数f(x)满足f(-x)=-f(x)，那么它被称为奇函数。
偶函数和奇函数的图像都具有关于y轴的对称性，因此它们都是对称性的一种特殊形式。
此外，偶函数和奇函数的周期往往是偶数或者无限大。
例如，指数函数e^x是一个偶函数，并且不存在周期性。
函数的周期性与对称性
【例2】 f（x）是定义在R上的以3 为周期的奇函数，且 f （ 2 ）＝ 0 ， 则方程 f （ x ）＝ 0 在区间（ 0 ， 6 ） 内解的个数的最小值是 ( ) A．2
C．4
B．3
D． 5
【解析】
∵ f （ x ）为奇函数， ∴ f （ 0 ）＝ 0 ，又 函数f（x）以3为周期，且f（2）＝0， ∴f（－2）＝0，f（1）＝0，f（4）＝ 0，f（3）＝0，f（5）＝0， ∴在区间（0，6）内的解有1，2，3， 4，5.故选D.
3、关于点(a,0)对称
练习：求函数y=f(x)关于点（a,0)对称的解析 式 答案：y=-f(2a-x) 结论：⑴-f(2a-x)与f(x)的图形关于点(a,0)对称
⑵一个函数y=f(x)本身关于点(a,0)对称，有 f(x)=-f(2a-x)即f(x)+f(2a-x)=0
函数周期性解题的一道经典试题
2、关于直线y=b对称 ⑴函数y=f(x)关于x轴（y=0)对称的函数是y=-f(x)
⑵求函数y=f(x)关于直线y=b对称的函数解析式
解：设(x,y)是所求曲线上任意一点，它关于直 线y=b的对称点为(x,y1),从而y1=f(x)而 y1-b=b-y故y1=2b-y,于是y=2b-f(x) 结论：f(x)与g(x)的图象关于直线y=b对称，则 f(x)+g(x)=2b反之也成立
区间上单调性相反
⑵求函数y=f(x)关于直线x=a对称的函数解析 式 解：用相关点法，设(x,y)是所求曲线上任意 一点，则它关于直线x=a的对称点为（x1,y) 在函数y=f(x)图象上，故y=f(x1),而 x1-a=a-x所以x1=2a-x,于是y=f(2a-x)即为 所求 结论：y=f(x)与y=f(2a-x)的图象关于直线x=a 对称
函数的对称性和周期性
函数的对称性和周期性（一）函数的奇偶性定义：1．偶函数一般地，对于函数()f x 的定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么()f x 就叫做偶函数．2．奇函数一般地，对于函数()f x 的定义域的任意一个x ，都有()()f x f x -=-，那么()f x 就叫做奇函数．（二）函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称）若()()f x a f x b +=±+，则()f x 具有周期性；若()()f a x f b x +=±-，则()f x 具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。
1、)()(x b f x a f -=+ ⇔)(x f y =图象关于直线22)()(b a x b x a x +=-++=对称 推论1：)()(x a f x a f -=+ ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称推论2、)2()(x a f x f -= ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称推论3、)2()(x a f x f +=- ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称如果他们是不同函数，那他们又关于什么对称？2、c x b f x a f 2)()(=-++ ⇔)(x f y =的图象关于点),2(c b a +对称 推论1、b x a f x a f 2)()(=-++ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称推论2、b x a f x f 2)2()(=-+ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称推论3、b x a f x f 2)2()(=++- ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称（三）．定义：若T 为非零常数，对于定义域内的任一x ，使)()(x f T x f =+恒成立则f(x)叫做周期函数，T 叫做这个函数的一个周期。
重要结论1、()()f x f x a =+，则()y f x =是以T a =为周期的周期函数；2、 若函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x)(a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。
(完整版)函数周期性与对称性常见结论
(完整版)函数周期性与对称性常见结论
函数周期性与对称性是数学中一种基本的类型，可以用来描述函数的特征。
这种性质
极大地影响着函数的曲线形状，对于函数研究也是非常重要的。
本文为读者介绍函数周期
性与对称性常见的结论。
一、周期性
1. 可以说函数f(x+T)与f(x)的图像有周期性，T<>0是一个常数，也称为函数的周期，它可以定义一个函数的曲线；
2. 周期性循环是一种规律，表明函数的值随着参数的改变而不断变化，但最终又会
回到原来的状态；
3. 一般情况下，定义域内的函数都具有周期性，当x的取值超出定义域时，函数f(x)也可能有周期性；
4. 一个周期性函数的周期T是其变化模式的重要特征，其变化规律如果舍弃它，函
数f(x)就不再具有周期性；
5. 若函数f(x)具有周期性，那么它的最小正周期Tc就定义了整个函数的曲线，可以视为一种最基本的形状。
二、对称性
1. 当函数f(x)满足f(-x)=f(x)的性质时，称此函数具有对称性；
2. 一个函数的平行四边形对称性表明，函数f(-x)和f(x)的图像是完全一模一样的，而不管x的取值为多少；
3. 一些函数具有点对称性，点对称性表明f(-x0)=f(x0)，即对称中心为x0的函数图像；
4. 如果一个函数的图象可以通过给定的任意角度旋转而不失真，则称其为角度对称性；
5. 对称性可有效描述函数f(x)的特征，常用于应用函数研究中。
函数对称性与周期性
函数对称性与周期性知识归纳：一．函数自身的对称性结论结论1. 函数 y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是f (x) + f (2a －x) = 2b证明：（必要性）设点P(x ,y)是y = f (x)图像上任一点，∵点P( x ,y)关于点A (a ,b)的对称点P‘（2a－x，2b－y）也在y = f (x)图像上，∴2b －y = f (2a－x)即y + f (2a－x)=2b故f (x) + f (2a－x) = 2b，必要性得证。
（充分性）设点P(x0,y0)是y = f (x)图像上任一点，则y0 = f (x0)∵ f (x) + f (2a－x) =2b∴f (x0) + f (2a－x0) =2b，即2b－y0 = f (2a－x0) 。
故点P‘（2a－x0，2b－y0）也在y = f (x) 图像上，而点P与点P‘关于点A (a ,b)对称，充分性得征。
推论1：函数y = f (x)的图像关于原点O对称的充要条件是f (x) + f (－x) = 0推论2：的图象关于点对称．推论3：的图象关于点对称．推论4：的图象关于点对称．结论2. 若函数 y = f (x)满足f (a +x) = f (b－x)那么函数本身的图像关于直线x = 对称，反之亦然。
证明：已知对于任意的都有f(a+) =f(b－)=令a+=, b－=则Ａ（，），Ｂ（，）是函数y=f(x)上的点 显然，两点是关于x= 对称的。
反之，若已知函数关于直线x = 对称， 在函数y = f (x)上任取一点Ｐ（）那么（）关于x = 对称点（a+ b－,）也在函数上故f()=f(a+ b－)f(a+(-a))=f(b-(-a))所以有f (a +x) = f (b－x)成立。
推论1：函数y = f (x)的图像关于直线x = a对称的充要条件是f (a +x) = f (a－x) 即f (x) = f (2a－x)推论2：函数 y = f (x)的图像关于y轴对称的充要条件是f (x) = f (－x)结论3. ①若函数y = f (x) 图像同时关于点A (a ,c)和点B (b ,c)成中心对称（a≠b），则y = f (x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期。
高中数学函数图像的对称与周期性
高中数学函数图像的对称与周期性在高中数学中，函数图像的对称性和周期性是一个非常重要的概念。
对称性是指函数图像关于某个轴或点对称，而周期性是指函数在一定区间内以某个固定的周期重复。
一、对称性1. 关于y轴对称当一个函数图像关于y轴对称时，意味着对于函数中的任意一点(x, y)，点(-x, y)也在函数图像上。
这种对称性可以用来简化函数图像的绘制和分析。
例如，考虑函数y = x^2，它是一个二次函数，具有关于y轴对称的性质。
我们可以通过绘制函数图像的一部分，再利用对称性得到完整的图像。
2. 关于x轴对称当一个函数图像关于x轴对称时，意味着对于函数中的任意一点(x, y)，点(x, -y)也在函数图像上。
这种对称性也可以用来简化函数图像的绘制和分析。
例如，考虑函数y = sin(x)，它是一个正弦函数，具有关于x轴对称的性质。
我们可以通过绘制函数图像的一部分，再利用对称性得到完整的图像。
3. 关于原点对称当一个函数图像关于原点对称时，意味着对于函数中的任意一点(x, y)，点(-x, -y)也在函数图像上。
这种对称性同样可以用来简化函数图像的绘制和分析。
例如，考虑函数y = x^3，它是一个三次函数，具有关于原点对称的性质。
我们可以通过绘制函数图像的一部分，再利用对称性得到完整的图像。
二、周期性1. 周期函数周期函数是指在一定区间内以某个固定的周期重复的函数。
周期函数的图像具有一定的规律性，可以通过观察周期来简化函数图像的绘制和分析。
例如，考虑函数y = sin(x)，它是一个周期为2π的正弦函数。
我们可以通过绘制一个周期内的函数图像，再利用周期性得到完整的图像。
2. 非周期函数非周期函数是指在任意区间内不以固定周期重复的函数。
非周期函数的图像通常没有明显的规律性，需要通过其他方法进行分析和绘制。
例如，考虑函数y = x^2，它是一个非周期函数。
我们需要根据函数的性质和变化规律来绘制函数图像。
三、举一反三通过对函数图像的对称性和周期性的分析，我们可以得到一些解题技巧和方法。
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第5炼函数得对称性与周期性一、基础知识(一)函数得对称性1、对定义域得要求:无论就是轴对称还就是中心对称,均要求函数得定义域要关于对称轴(或对称中心)对称2、轴对称得等价描述:(1)关于轴对称(当时,恰好就就是偶函数)(2)关于轴对称在已知对称轴得情况下,构造形如得等式只需注意两点,一就是等式两侧前面得符号相同,且括号内前面得符号相反;二就是得取值保证为所给对称轴即可。
例如:关于轴对称,或得到均可,只就是在求函数值方面,一侧就是更为方便(3)就是偶函数,则,进而可得到:关于轴对称。
①要注意偶函数就是指自变量取相反数,函数值相等,所以在中,仅就是括号中得一部分,偶函数只就是指其中得取相反数时,函数值相等,即,要与以下得命题区分:若就是偶函数,则:就是偶函数中得占据整个括号,所以就是指括号内取相反数,则函数值相等,所以有②本结论也可通过图像变换来理解,就是偶函数,则关于轴对称,而可视为平移了个单位(方向由得符号决定),所以关于对称。
在已知对称中心得情况下,构造形如得等式同样需注意两点,一就是等式两侧与前面得符号均相反;二就是得取值保证为所给对称中心即可。
例如:关于中心对称,或得到均可,同样在求函数值方面,一侧就是更为方便(3)就是奇函数,则,进而可得到:关于中心对称。
①要注意奇函数就是指自变量取相反数,函数值相反,所以在中,仅就是括号中得一部分,奇函数只就是指其中得取相反数时,函数值相反,即,要与以下得命题区分:若就是奇函数,则:就是奇函数中得占据整个括号,所以就是指括号内取相反数,则函数值相反,所以有②本结论也可通过图像变换来理解,就是奇函数,则关于中心对称,而可视为平移了个单位(方向由得符号决定),所以关于对称。
4、对称性得作用:最突出得作用为“知一半而得全部”,即一旦函数具备对称性,则只需要分析一侧得性质,便可得到整个函数得性质,主要体现在以下几点:(1)可利用对称性求得某些点得函数值(2)在作图时可作出一侧图像,再利用对称性得到另一半图像(3)极值点关于对称轴(对称中心)对称(4)在轴对称函数中,关于对称轴对称得两个单调区间单调性相反;在中心对称函数中,关于对称中心对称得两个单调区间单调性相同(二)函数得周期性1、定义:设得定义域为,若对,存在一个非零常数,有,则称函数就是一个周期函数,称为得一个周期2、周期性得理解:可理解为间隔为得自变量函数值相等3、若就是一个周期函数,则,那么,即也就是得一个周期,进而可得:也就是得一个周期4、最小正周期:正由第3条所说,也就是得一个周期,所以在某些周期函数中,往往寻找周期中最小得正数,即称为最小正周期。
然而并非所有得周期函数都有最小正周期,比如常值函数5、函数周期性得判定:(1):可得为周期函数,其周期(2)得周期分析:直接从等式入手无法得周期性,考虑等间距再构造一个等式:所以有:,即周期注:遇到此类问题,如果一个等式难以推断周期,那么可考虑等间距再列一个等式,进而通过两个等式瞧能否得出周期(3)得周期分析:(4)(为常数)得周期分析:,两式相减可得:(5)(为常数)得周期(6)双对称出周期:若一个函数存在两个对称关系,则就是一个周期函数,具体情况如下:(假设)①若得图像关于轴对称,则就是周期函数,周期分析:关于轴对称关于轴对称得周期为②若得图像关于中心对称,则就是周期函数,周期③若得图像关于轴对称,且关于中心对称,则就是周期函数,周期7、函数周期性得作用:简而言之“窥一斑而知全豹”,只要了解一个周期得性质,则得到整个函数得性质。
(1)函数值:可利用周期性将自变量大小进行调整,进而利用已知条件求值(2)图像:只要做出一个周期得函数图象,其余部分得图像可利用周期性进行“复制+粘贴”(3)单调区间:由于间隔得函数图象相同,所以若在上单调增(减),则在上单调增(减)(4)对称性:如果一个周期为得函数存在一条对称轴(或对称中心),则存在无数条对称轴,其通式为证明:关于轴对称函数得周期为关于轴对称注:其中(3)(4)在三角函数中应用广泛,可作为检验答案得方法二、典型例题:例1:设为定义在上得奇函数,,当时,,则__________思路:由可得:得周期,考虑将用中得函数值进行表示:,此时周期性已经无法再进行调整,考虑利用奇偶性进行微调: ,所以答案:例2:定义域为得函数满足,当时,,则( )A、 B、 C、 D、思路:由,可类比函数得周期性,所以考虑将向进行转化:答案:D小炼有话说:虽然不就是周期函数,但函数值关系与周期性类似,可理解为:间隔2个单位得自变量,函数值呈2倍关系。
所以在思路上仍可沿用周期性得想法,将自变量向已知范围进行靠拢。
例3:定义在上得函数对任意,都有,则等于( )A、 B、 C、 D、思路:由及所求可联想到周期性,所以考虑,所以就是周期为4得周期函数,故,而由已知可得,所以答案:D例4(2009山东):定义在上得函数满足,则得值为( )A、B、C、D、思路:所给得特点为才有解析式能够求值,而只能通过减少自变量得取值,由所求可联想到判断就是否具有周期性,时,,则有,两式相加可得:,则,即在时周期就是6,故,而答案:C小炼有话说:(1)本题得思路依然就是将无解析式得自变量通过函数性质向含解析式得自变量靠拢,而数较大,所以考虑判断函数周期性。
(2)如何快速将较大自变量缩至已知范围中？可利用带余除法除以周期,观察余数。
则被除数得函数值与余数得函数值相同,而商即为被除数利用周期缩了多少次达到余数。
例如本题中,从而(3)本题推导过程中也有其用处,其含义就是间隔为3得自变量函数值互为相反数,相比周期,它得间隔更小,所以适用于利用周期缩小自变量范围后,进行“微调”从而将自变量放置已知区间内例5:函数就是周期为得偶函数,当时,,则不等式在上得解集为___________思路:从已知出发可知时,为增函数,且,所以时,,时,,由偶函数可得:时,,时,。
从而可作出草图。
由所解不等式可将分为两部分,当时,,所以,当时,,所以,综上解集为:答案:例6:已知就是定义在上得函数,满足,当时,,则函数得最小值为( )A、 B、 C、 D、思路:由可得就是周期为2得周期函数,所以只需要求出一个周期内得最值即可。
由可得为奇函数,所以考虑区间,在时,,所以,而由于为奇函数,所以在时,,所以即为在得最小值,从而也就是在上得最小值答案:B例7:已知定义域为得函数满足,且函数在区间上单调递增,如果,且,则得值( )A、可正可负B、恒大于0C、可能为0D、恒小于0思路一:题目中给了单调区间,与自变量不等关系,所求为函数值得关系,从而想到单调性,而可得,因为,所以,进而将装入了中,所以由可得,下一步需要转化,由可得关于中心对称,所以有。
代入可得,从而思路二:本题运用数形结合更便于求解。
先从分析出关于中心对称,令代入到可得。
中心对称得函数对称区间单调性相同,从而可作出草图。
而,即得中点位于得左侧,所以比距离更远,结合图象便可分析出恒小于0答案:D小炼有话说:(1)本题就是单调性与对称性得一个结合,入手点在于发现条件得自变量关系,与所求函数值关系,而连接它们大小关系得“桥梁”就是函数得单调性,所以需要将自变量装入同一单调区间内。
而对称性起到一个将函数值等价转化得作用,进而与所求产生联系(2)数形结合得关键点有三个:第一个就是中心对称图像得特点,不仅仅就是单调性相同,而且就是呈“对称”得关系,从而在图像上才能瞧出得符号;第二个就是,进而可知;第三个就是,既然就是数形结合,则题中条件也要尽可能转为图像特点,而表现出中点得位置,从而能够判断出距离中心对称点得远近。
例8:函数得定义域为,若与都就是奇函数,则( )A、就是偶函数B、就是奇函数C、D、就是奇函数思路:从已知条件入手可先瞧得性质,由为奇函数分别可得到:,所以关于中心对称,双对称出周期可求得,所以不正确,且由已知条件无法推出一定符合。
对于选项,因为,所以,进而可推出关于中心对称,所以为图像向左平移个单位,即关于对称,所以为奇函数,正确答案:D例9:已知定义域为得函数在上有与两个零点,且与都就是偶函数,则在上得零点个数至少有( )个A、B、C、D、思路:已知区间仅就是,而所求区间为,跨度如此之大,需要函数性质。
从条件入手为偶函数可得关于轴对称,从而判断出就是周期函数,且,故可以考虑将以10为周期分组,先判断出一个周期内零点得个数,再乘以组数,加上剩余部分得零点即可解:为偶函数关于轴对称为周期函数,且将划分为关于轴对称在中只含有四个零点而共组所以在中,含有零点共两个所以一共有806个零点答案:C小炼有话说:(1)周期函数处理零点个数时,可以考虑先统计一个周期得零点个数,再瞧所求区间包含几个周期,相乘即可。
如果有不满一个周期得区间可单独统计(2)在为周期函数分段时有一个细节:“一开一闭”,分段得要求时“不重不漏”,所以在给周期函数分段时,一端为闭区间,另一端为开区间,不仅达到分段要求,而且每段之间保持队型,结构整齐,便于分析。
(3)当一个周期内含有对称轴(或对称中心)时,零点得统计不能仅限于已知条件,而要瞧就是否由于对称产生新得零点。
其方法一就是可以通过特殊值得代入,二就是可以通过图像,将零点与对称轴标在数轴上,瞧就是否有由对称生成得零点(这个方法更直观,不易丢解)例10:设函数就是定义在上以1为周期得函数,若在区间上得值域为,则函数在上得值域为( )A 、B 、C 、D 、思路:设,则,因为为周期函数,故以为突破口,()()()()()0000002222g x n f x n x n f x x n g x n +=+-+=--=-,考虑在中,所以,在中,所以,所以在得值域为答案:B三、近年模拟题题目精选1、(2014,庆安高三期中)已知函数就是R 上得偶函数,且满足,当时,,则得值为( )A.0、5B.1、5C.D.12、(2014,安徽)设函数满足,当时,,则( )A、B、C、D、3、(2014,四川)设就是定义在上得周期为2得函数,当时,,则_________4、(2014,新课标全国卷I)设函数得定义域都为,且就是奇函数,就是偶函数,则下列结论中正确得就是( )A、就是偶函数B、就是奇函数C、就是奇函数D、就是奇函数5、(2014,会宁县校级月考)已知,方程在内有且只有一个,则在区间内根得个数为( )A、B、C、D、6、已知定义在上得函数满足:,当时,,则______________7、已知定义在上得函数满足,且时,,则( )A、 B、 C、 D、8、已知就是定义在上得奇函数,且对任意实数,恒有,当时,,求习题答案:1、答案:B解析:由可得:,两式相减可得:,所以得周期,再由就是偶函数可得:2、答案:A解析:由可知,,,所以可得:3、答案:1解析:4、答案:C解析:为奇函数,可知为偶函数,所以根据奇偶性得规律可得:为奇函数,就是偶函数,就是奇函数,就是偶函数,故C正确5、答案:D解析:,可得关于轴对称,因为在内有且只有一个零点,所以由对称性可得在只有两个零点。