高一数学(2.1空间点、直线、平面的位置关系(4课时))
2 ．1
空间点、直线、 空间点、直线、平面之间 的位置关系 .1.1 平 面
问题提出
1 5730 p= 2
t
1.点 直线、 1.点、直线、平面是构成空间图形的 三个基本元素，在长方体中，顶点， 三个基本元素，在长方体中，顶点， 棱所在的直线，以及侧面、 棱所在的直线，以及侧面、底面之间存 D′ C′ 在哪些位置关系？ 在哪些位置关系？
a
b
a
b
a a
b b
关于异面直线的定义， 关于异面直线的定义，你认为下列哪个说法 最合适？ 最合适？ 空间中既不平行又不相交的两条直线； A. 空间中既不平行又不相交的两条直线； B. 平面内的一条直线和这平面外的一条直 线； 分别在不同平面内的两条直线； C. 分别在不同平面内的两条直线； D. 不在同一个平面内的两条直线； 不在同一个平面内的两条直线； 不同在任何一个平面内的两条直线. E. 不同在任何一个平面内的两条直线.
A ． B ．
A∈l, B∈l,且 ∈α, B∈α ⇒l ⊂α A
知识探究（ 平面的基本性质2 知识探究（三）：平面的基本性质2
思考1:空间中， 思考1:空间中，经过两点有且只有一条 1:空间中 直线，即两点确定一条直线， 直线，即两点确定一条直线，那么两点 能否确定一个平面？经过三点、 能否确定一个平面？经过三点、四点可 以作多少个平面？ 以作多少个平面？ 思考2:照相机， 2:照相机 思考2:照相机，测量仪等器材的支架为 何要做成三脚架？ 何要做成三脚架？
P ∈l, A∈α
思考8:如果直线l上的所有点都在平面 思考8:如果直线 上的所有点都在平面α内， 8:如果直线 上的所有点都在平面α 就说直线 在平面α 直线l在平面 或者说平面 平面α 就说直线 在平面α内，或者说平面α经过 直线l在平面 直线l，否则，就说直线 在平面α 直线 ，否则，就说直线 在平面α外. 那么 直线l在平面 在平面α 直线l在平面 在平面α “直线 在平面α内”，“直线 在平面α 用集合符号可怎样表示？ 外”， 用集合符号可怎样表示？
思考5:我们常常用平行四边形表示平 思考5:我们常常用平行四边形表示平 5: 当平面水平放置时， 面，当平面水平放置时，平行四边形 的锐角通常画成45º 45º， 的锐角通常画成45º，且横边长等于其 邻边长的2 邻边长的2倍.下列平行四边形表示的 平面的大致位置如何？ 平面的大致位置如何？
思考6:当两个平面相交时， 思考6:当两个平面相交时，你认为下列 6:当两个平面相交时 哪个图形的立体感强？ 哪个图形的立体感强？你能指出其画法 要点吗？ 要点吗？
思考3:直线是否有长短、粗细之分？ 思考3:直线是否有长短、粗细之分？平 3:直线是否有长短 面是否有大小、厚薄之别？ 面是否有大小、厚薄之别？ 思考4:我们不可能把一条直线或一个平 思考4:我们不可能把一条直线或一个平 4: 面全部画在纸上， 面全部画在纸上，在作图时通常用一条 线段表示直线， 线段表示直线，你认为用一个什么图形 表示平面比较合适？ 表示平面比较合适？
(1)画出交线；(2)被遮挡部分画虚线. (1)画出交线；(2)被遮挡部分画虚线. 画出交线 被遮挡部分画虚线
α
说明:为了表示和区分平面， 说明 为了表示和区分平面，我们可以 为了表示和区分平面 用适当的字母作为平面的名称， 用适当的字母作为平面的名称，如
D α A B C
平面α 平面
平面ABCD 平面ABCD 或平面AC 或平面AC 或平面BD 或平面BD
思考7:直线和平面都可以看成点的集合. 思考7:直线和平面都可以看成点的集合. 7:直线和平面都可以看成点的集合 那么“ 在直线l上 ,“点 在平面α 那么“点P在直线 上”,“点A在平面α 用集合符号可怎样表示？ 内”，用集合符号可怎样表示？
P ∈l, A∈α
“点P在直线l外”,“点A在平面α外” 在直线 外 ,“点 在平面α 用集合符号可怎样表示？ 用集合符号可怎样表示？
A' D A B B' C
思考3:我们把上图中直线A′B与直线CD A′B与直线CD叫做 思考3:我们把上图中直线A′B与直线CD叫做
异面直线，一般地， 异面直线，一般地，从字面上怎样理解异面 直线？ 直线？
思考4:为了表示异面直线a 思考4:为了表示异面直线a，b不共面的 4:为了表示异面直线 特点，作图时， 特点，作图时，通常用一个或两个平面 衬托,如图. 衬托,如图.
知识探究（ ）：异面直线的概念 知识探究（一）：异面直线的概念
思考1 思考1：教室内的日光灯管所在的直线与 黑板的左右两侧所在的直线，既不相交， 黑板的左右两侧所在的直线，既不相交， 也不平行；天安门广场上， 也不平行；天安门广场上，旗杆所在的 直线与长安街所在的直线， 直线与长安街所在的直线，它们既不相 也不平行.你还能举出这样的例子吗 你还能举出这样的例子吗? 交，也不平行 你还能举出这样的例子吗?
P∈α,且 ∈β ⇒α ∩ β = l,且 ∈l P P
思考5:你能说一说公理3 思考5:你能说一说公理3有哪些理论作 5:你能说一说公理 用吗？ 用吗？ 确定两平面相交的依据， 确定两平面相交的依据，判断多点共 线的依据. 线的依据.
理论迁移
如图,在正方体ABCD ABCD例1 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中， 判断下列命题是否正确，并说明理由. 判断下列命题是否正确，并说明理由. 直线AC 在平面A （1）直线AC1在平面A1B1C1D1内； 设正方体上、 （2）设正方体上、下底面中心分别为 O、 则平面AA 与平面BB O1，则平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线为 OO1； 由点A 可以确定一个平面； （3）由点A，O，C可以确定一个平面； 平面AB 与平面AC 重合. （4）平面AB1C1与平面AC1D重合.
思考2:如图, 长方体ABCD A′B′C′D′中 ABCD思考2:如图, 长方体ABCD-A′B′C′D′中， 2:如图 线段A′B所在直线分别与线段CD′所在直线， A′B所在直线分别与线段CD′所在直线 线段A′B所在直线分别与线段CD′所在直线， 线段BC所在直线，线段CD BC所在直线 CD所在直线的位置关 线段BC所在直线，线段CD所在直线的位置关 系如何? D' 系如何? C'
2.1.2
空间中直线与直线之间的 位置关系
第一课时 异面直线的有关概念和原理
问题提出
1 5730 p= 2
t
1.同一平面内的两条直线有哪几种位 1.同一平面内的两条直线有哪几种位 置关系? 置关系? 2.空间中的两条不同直线除了平行和 2.空间中的两条不同直线除了平行和 相交这两种位置关系外， 相交这两种位置关系外，还有什么位 置关系呢? 置关系呢?
A′ D A B B′ C
2.空间中， 2.空间中，点、直线、平面之间有哪些 空间中 直线、 基本位置关系？ 基本位置关系？我们将从理论进行分析 和探究. 和探究.
知识探究(一 平面的概念、 知识探究 一): 平面的概念、画法及表示
思考1:生活中有许多物体通常呈平 思考1:生活中有许多物体通常呈平 面 1: 你能列举一些实例吗？ 形，你能列举一些实例吗？ 思考2:将一条线段向两端无限伸展得到 思考2:将一条线段向两端无限伸展得到 2: 的图形是什么？将课桌面、平静的水面、 的图形是什么？将课桌面、平静的水面、 田径场地面向四周无限伸展得到的图形 是什么？ 是什么？
C O D C1 D1
O1
B A B1 A1
如图，用符号表示下列图形中点、 例2 如图，用符号表示下列图形中点、 直线、平面之间的位置关系. 直线、平面之间的位置关系.
a
α A l B β P a l b β α
(1)
(2)
作业: 作业:
P43练习： 做书上）， P43练习：1，2， 3（做书上）， 4. 练习 P51习题2.1A组 P51习题2.1A组：1，2. 习题2.1A
B
α
A
A
．
A ∈ l , B ∈ l , 且A ∈ α , B ∈ α ⇒ l ⊂ α
思考3:如图，当点A 落在平面α内时， 思考3:如图，当点A、B落在平面α内时， 3:如图 直线l上其余各点与平面 上其余各点与平面α 直线 上其余各点与平面α的位置关系 如何？由此可得什么结论？ 如何？由此可得什么结论？ α 公理1 公理1 如果一条直线上的两点在一个平 面内,那么这条直线在此平面内 这条直线在此平面内. 面内,那么这条直线在此平面内 思考4 公理1如何用符号语言表述？ 思考4：公理1如何用符号语言表述？ 它有什么理论作用？ 它有什么理论作用？
知识探究（ ）：三线平行公理 知识探究（二）：三线平行公理
知识探究（ 平面的基本性质3 知识探究（四）:平面的基本性质3
思考1:如图， 思考1:如图，把三角板的一个角立在 1:如图 课桌面上， 课桌面上，三角板所在的平面与桌面 所在的平面是否只相交于一点B 所在的平面是否只相交于一点B？为什 么？ 思考2:如果两条不重合 思考2:如果两条不重合 2: B α 的直线有公共点， 的直线有公共点，则其 公共点只有一个. 公共点只有一个.如果两个不重合的平面 有公共点，其公共点有多少个？ 有公共点，其公共点有多少个？这些公 共点的位置关系如何？ 共点的位置关系如何？
B
思考3:根据上述分析可得什么结论？ 思考3:根据上述分析可得什么结论？ 3:根据上述分析可得什么结论
β
α
P
l
公理3 公理3 如果两个不重合的平面有一个 公共点， 公共点，那么它们有且只有一条过该 点的公共直线. 点的公共直线.
思考4:若两个平面有一条公共直线， 思考4:若两个平面有一条公共直线， 4:若两个平面有一条公共直线 则称这两个平面相交 两个平面相交， 则称这两个平面相交，这条公共直线 叫做这两个平面的交线 平面α 交线. 叫做这两个平面的交线.平面α与平面 相交于直线l， β相交于直线 ，可记作 α ∩ β = l ，那么 公理3用符号语言可怎样表述? 公理3用符号语言可怎样表述?
空间点、直线、 空间点、直线、平面之间 的位置关系 .1.1 平 面
问题提出
1 5730 p= 2
t
1.点 直线、 1.点、直线、平面是构成空间图形的 三个基本元素，在长方体中，顶点， 三个基本元素，在长方体中，顶点， 棱所在的直线，以及侧面、 棱所在的直线，以及侧面、底面之间存 D′ C′ 在哪些位置关系？ 在哪些位置关系？
a
b
a
b
a a
b b
关于异面直线的定义， 关于异面直线的定义，你认为下列哪个说法 最合适？ 最合适？ 空间中既不平行又不相交的两条直线； A. 空间中既不平行又不相交的两条直线； B. 平面内的一条直线和这平面外的一条直 线； 分别在不同平面内的两条直线； C. 分别在不同平面内的两条直线； D. 不在同一个平面内的两条直线； 不在同一个平面内的两条直线； 不同在任何一个平面内的两条直线. E. 不同在任何一个平面内的两条直线.
A ． B ．
A∈l, B∈l,且 ∈α, B∈α ⇒l ⊂α A
知识探究（ 平面的基本性质2 知识探究（三）：平面的基本性质2
思考1:空间中， 思考1:空间中，经过两点有且只有一条 1:空间中 直线，即两点确定一条直线， 直线，即两点确定一条直线，那么两点 能否确定一个平面？经过三点、 能否确定一个平面？经过三点、四点可 以作多少个平面？ 以作多少个平面？ 思考2:照相机， 2:照相机 思考2:照相机，测量仪等器材的支架为 何要做成三脚架？ 何要做成三脚架？
P ∈l, A∈α
思考8:如果直线l上的所有点都在平面 思考8:如果直线 上的所有点都在平面α内， 8:如果直线 上的所有点都在平面α 就说直线 在平面α 直线l在平面 或者说平面 平面α 就说直线 在平面α内，或者说平面α经过 直线l在平面 直线l，否则，就说直线 在平面α 直线 ，否则，就说直线 在平面α外. 那么 直线l在平面 在平面α 直线l在平面 在平面α “直线 在平面α内”，“直线 在平面α 用集合符号可怎样表示？ 外”， 用集合符号可怎样表示？
思考5:我们常常用平行四边形表示平 思考5:我们常常用平行四边形表示平 5: 当平面水平放置时， 面，当平面水平放置时，平行四边形 的锐角通常画成45º 45º， 的锐角通常画成45º，且横边长等于其 邻边长的2 邻边长的2倍.下列平行四边形表示的 平面的大致位置如何？ 平面的大致位置如何？
思考6:当两个平面相交时， 思考6:当两个平面相交时，你认为下列 6:当两个平面相交时 哪个图形的立体感强？ 哪个图形的立体感强？你能指出其画法 要点吗？ 要点吗？
思考3:直线是否有长短、粗细之分？ 思考3:直线是否有长短、粗细之分？平 3:直线是否有长短 面是否有大小、厚薄之别？ 面是否有大小、厚薄之别？ 思考4:我们不可能把一条直线或一个平 思考4:我们不可能把一条直线或一个平 4: 面全部画在纸上， 面全部画在纸上，在作图时通常用一条 线段表示直线， 线段表示直线，你认为用一个什么图形 表示平面比较合适？ 表示平面比较合适？
(1)画出交线；(2)被遮挡部分画虚线. (1)画出交线；(2)被遮挡部分画虚线. 画出交线 被遮挡部分画虚线
α
说明:为了表示和区分平面， 说明 为了表示和区分平面，我们可以 为了表示和区分平面 用适当的字母作为平面的名称， 用适当的字母作为平面的名称，如
D α A B C
平面α 平面
平面ABCD 平面ABCD 或平面AC 或平面AC 或平面BD 或平面BD
思考7:直线和平面都可以看成点的集合. 思考7:直线和平面都可以看成点的集合. 7:直线和平面都可以看成点的集合 那么“ 在直线l上 ,“点 在平面α 那么“点P在直线 上”,“点A在平面α 用集合符号可怎样表示？ 内”，用集合符号可怎样表示？
P ∈l, A∈α
“点P在直线l外”,“点A在平面α外” 在直线 外 ,“点 在平面α 用集合符号可怎样表示？ 用集合符号可怎样表示？
A' D A B B' C
思考3:我们把上图中直线A′B与直线CD A′B与直线CD叫做 思考3:我们把上图中直线A′B与直线CD叫做
异面直线，一般地， 异面直线，一般地，从字面上怎样理解异面 直线？ 直线？
思考4:为了表示异面直线a 思考4:为了表示异面直线a，b不共面的 4:为了表示异面直线 特点，作图时， 特点，作图时，通常用一个或两个平面 衬托,如图. 衬托,如图.
知识探究（ ）：异面直线的概念 知识探究（一）：异面直线的概念
思考1 思考1：教室内的日光灯管所在的直线与 黑板的左右两侧所在的直线，既不相交， 黑板的左右两侧所在的直线，既不相交， 也不平行；天安门广场上， 也不平行；天安门广场上，旗杆所在的 直线与长安街所在的直线， 直线与长安街所在的直线，它们既不相 也不平行.你还能举出这样的例子吗 你还能举出这样的例子吗? 交，也不平行 你还能举出这样的例子吗?
P∈α,且 ∈β ⇒α ∩ β = l,且 ∈l P P
思考5:你能说一说公理3 思考5:你能说一说公理3有哪些理论作 5:你能说一说公理 用吗？ 用吗？ 确定两平面相交的依据， 确定两平面相交的依据，判断多点共 线的依据. 线的依据.
理论迁移
如图,在正方体ABCD ABCD例1 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中， 判断下列命题是否正确，并说明理由. 判断下列命题是否正确，并说明理由. 直线AC 在平面A （1）直线AC1在平面A1B1C1D1内； 设正方体上、 （2）设正方体上、下底面中心分别为 O、 则平面AA 与平面BB O1，则平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线为 OO1； 由点A 可以确定一个平面； （3）由点A，O，C可以确定一个平面； 平面AB 与平面AC 重合. （4）平面AB1C1与平面AC1D重合.
思考2:如图, 长方体ABCD A′B′C′D′中 ABCD思考2:如图, 长方体ABCD-A′B′C′D′中， 2:如图 线段A′B所在直线分别与线段CD′所在直线， A′B所在直线分别与线段CD′所在直线 线段A′B所在直线分别与线段CD′所在直线， 线段BC所在直线，线段CD BC所在直线 CD所在直线的位置关 线段BC所在直线，线段CD所在直线的位置关 系如何? D' 系如何? C'
2.1.2
空间中直线与直线之间的 位置关系
第一课时 异面直线的有关概念和原理
问题提出
1 5730 p= 2
t
1.同一平面内的两条直线有哪几种位 1.同一平面内的两条直线有哪几种位 置关系? 置关系? 2.空间中的两条不同直线除了平行和 2.空间中的两条不同直线除了平行和 相交这两种位置关系外， 相交这两种位置关系外，还有什么位 置关系呢? 置关系呢?
A′ D A B B′ C
2.空间中， 2.空间中，点、直线、平面之间有哪些 空间中 直线、 基本位置关系？ 基本位置关系？我们将从理论进行分析 和探究. 和探究.
知识探究(一 平面的概念、 知识探究 一): 平面的概念、画法及表示
思考1:生活中有许多物体通常呈平 思考1:生活中有许多物体通常呈平 面 1: 你能列举一些实例吗？ 形，你能列举一些实例吗？ 思考2:将一条线段向两端无限伸展得到 思考2:将一条线段向两端无限伸展得到 2: 的图形是什么？将课桌面、平静的水面、 的图形是什么？将课桌面、平静的水面、 田径场地面向四周无限伸展得到的图形 是什么？ 是什么？
C O D C1 D1
O1
B A B1 A1
如图，用符号表示下列图形中点、 例2 如图，用符号表示下列图形中点、 直线、平面之间的位置关系. 直线、平面之间的位置关系.
a
α A l B β P a l b β α
(1)
(2)
作业: 作业:
P43练习： 做书上）， P43练习：1，2， 3（做书上）， 4. 练习 P51习题2.1A组 P51习题2.1A组：1，2. 习题2.1A
B
α
A
A
．
A ∈ l , B ∈ l , 且A ∈ α , B ∈ α ⇒ l ⊂ α
思考3:如图，当点A 落在平面α内时， 思考3:如图，当点A、B落在平面α内时， 3:如图 直线l上其余各点与平面 上其余各点与平面α 直线 上其余各点与平面α的位置关系 如何？由此可得什么结论？ 如何？由此可得什么结论？ α 公理1 公理1 如果一条直线上的两点在一个平 面内,那么这条直线在此平面内 这条直线在此平面内. 面内,那么这条直线在此平面内 思考4 公理1如何用符号语言表述？ 思考4：公理1如何用符号语言表述？ 它有什么理论作用？ 它有什么理论作用？
知识探究（ ）：三线平行公理 知识探究（二）：三线平行公理
知识探究（ 平面的基本性质3 知识探究（四）:平面的基本性质3
思考1:如图， 思考1:如图，把三角板的一个角立在 1:如图 课桌面上， 课桌面上，三角板所在的平面与桌面 所在的平面是否只相交于一点B 所在的平面是否只相交于一点B？为什 么？ 思考2:如果两条不重合 思考2:如果两条不重合 2: B α 的直线有公共点， 的直线有公共点，则其 公共点只有一个. 公共点只有一个.如果两个不重合的平面 有公共点，其公共点有多少个？ 有公共点，其公共点有多少个？这些公 共点的位置关系如何？ 共点的位置关系如何？
B
思考3:根据上述分析可得什么结论？ 思考3:根据上述分析可得什么结论？ 3:根据上述分析可得什么结论
β
α
P
l
公理3 公理3 如果两个不重合的平面有一个 公共点， 公共点，那么它们有且只有一条过该 点的公共直线. 点的公共直线.
思考4:若两个平面有一条公共直线， 思考4:若两个平面有一条公共直线， 4:若两个平面有一条公共直线 则称这两个平面相交 两个平面相交， 则称这两个平面相交，这条公共直线 叫做这两个平面的交线 平面α 交线. 叫做这两个平面的交线.平面α与平面 相交于直线l， β相交于直线 ，可记作 α ∩ β = l ，那么 公理3用符号语言可怎样表述? 公理3用符号语言可怎样表述?
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高中数学《第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系》19PPT课件
面内的直线的位置关系如何？
例题讲解
例：下列命题中正确的个数是（ ） ① 若一条直线有无数个点不在一个平面内，则这条直
线与这个平面平行 ② 若一条直线与一个平面平行，则这条直线与这个平
面内的任意一条直线都平行 ③ 如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么
另一条直线也与这个平面平行 ④ 若一条直线与一个平面平行，这这条直线与这个平
异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点
情境创设
问题1：把一支笔和一张纸分别看作一条直线和一 个平面，那么这条直线和这个平面会有怎样的位 置关系呢？ 问题2：如图，线段A'B'所在直线与长方体ABCDA'B'C'D'的六个面所在平面有几种位置关系？
一、空间中直线与平面的位置关系
互动探究
平行于同一平面的两条直线一定平行吗？ 过平面外一点可以作多少条直线与这个平面平行？ 若一条直线平行一个平面，则这条直线与这个平
② 要证明直线与平面相交，只需说明直线与平面 只有一个公共点；
③ 要证明直线与平面平行，则必须说明直线与平 面没有公共点。
平面与平面位置关系的判断方法 ① 要证明两个平面平行，只要说明两个平面没有 公共点；
② 两个平面只要有一个公共点，那么它们就有一 条过该公共点的直线，这两个平面相交。
综合应用
面内的任意一条直线都没有公共点
A.0 B.1 C.2
D.3
针对训练
a 若直线 不平行于平面 ，且 a，则下
列结论成立的是（ ）
A. 内的所有直线与 a 异面 B. 内不存在与 a 平行的直线 C. 内存在唯一的直线与 a 平行 D. 内的直线与 a 都相交
情境创设
问题1：两张不重合的纸所在的平面可能有几种位 置关系？
例题讲解
例：下列命题中正确的个数是（ ） ① 若一条直线有无数个点不在一个平面内，则这条直
线与这个平面平行 ② 若一条直线与一个平面平行，则这条直线与这个平
面内的任意一条直线都平行 ③ 如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么
另一条直线也与这个平面平行 ④ 若一条直线与一个平面平行，这这条直线与这个平
异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点
情境创设
问题1：把一支笔和一张纸分别看作一条直线和一 个平面，那么这条直线和这个平面会有怎样的位 置关系呢？ 问题2：如图，线段A'B'所在直线与长方体ABCDA'B'C'D'的六个面所在平面有几种位置关系？
一、空间中直线与平面的位置关系
互动探究
平行于同一平面的两条直线一定平行吗？ 过平面外一点可以作多少条直线与这个平面平行？ 若一条直线平行一个平面，则这条直线与这个平
② 要证明直线与平面相交，只需说明直线与平面 只有一个公共点；
③ 要证明直线与平面平行，则必须说明直线与平 面没有公共点。
平面与平面位置关系的判断方法 ① 要证明两个平面平行，只要说明两个平面没有 公共点；
② 两个平面只要有一个公共点，那么它们就有一 条过该公共点的直线，这两个平面相交。
综合应用
面内的任意一条直线都没有公共点
A.0 B.1 C.2
D.3
针对训练
a 若直线 不平行于平面 ，且 a，则下
列结论成立的是（ ）
A. 内的所有直线与 a 异面 B. 内不存在与 a 平行的直线 C. 内存在唯一的直线与 a 平行 D. 内的直线与 a 都相交
情境创设
问题1：两张不重合的纸所在的平面可能有几种位 置关系？
高中数学《第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系》845PPT课件
小结
（1）二面角的定义 ； （2）二面角平面角的定义；
利用二面角的平面角来刻画二面角的大小 （3）求解简单的二面角.
例 已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 ，求 （3）二面角 C1-BD-C 的大小； （4）二面角 C1-BD-A 的大小．
例 已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 ，求 （3）二面角 C1-BD-C 的大小； （4）二面角 C1-BD-A 的大小．
例 已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 ，求 （3）二面角 C1-BD-C 的大小； （4）二面角 C1-BD-A 的大小．
例 已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 ，求 （3）二面角 C1-BD-C 的大小； （4）二面角 C1-BD-A 的大小．
例 已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 ，求 （3）二面角 C1-BD-C 的大小； （4）二面角 C1-BD-A 的大小．
例 已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 ，求 （3）二面角 C1-BD-C 的大小； （4）二面角 C1-BD-A 的大小．
例 已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 ，求 （1）二面角 A-BC-B1 的大小； （2）二面角 A-BC-D1 的大小；
例 已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 ，求 （1）二面角 A-BC-B1 的大小； （2）二面角 A-BC-D1 的大小；
例 已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 ，求 （1）二面角 A-BC-B1 的大小； （2）二面角 A-BC-D1 的大小；
定义：在二面角的棱 AB 上任取一点 O，
过 O 分别在面 和 上作棱 AB 的垂线
OM 和 ON，射线 OM 和 ON 所组成的
角叫做二面角 -AB- 的平面角.
高中数学《第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系》821PPT课件
b
O
a’
a
α
六、例题讲解
例1、判断下列命题是否正确。 (1)梯形可以确定一个平面
()
六、例题讲解
例1、判断下列命题是否正确。 (1)梯形可以确定一个平面 (2)圆心和圆上两点可以确定一个平面
() ()
六、例题讲解
例1、判断下列命题是否正确。 (1)梯形可以确定一个平面
()
(2)圆心和圆上两点可以确定一个平面
(4)若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，则这 条直线与另一个平面的位置关系是_______.
(5)已知两条相交直线a,b，a//平面α，则b与α的位置关系 是_________.
(6)设直线a,b分别是长方体相邻两个面的对角线所在的直 线，则a,与b的位置关系是________
例3、如图，正方体ABCD A'B'C'D' 中，AB的中点为M,
(1)已知a,b,c是三条直线，且a//b,a与c的夹角为θ，那么 b与c的夹角为________
(2)AA'是长方体的一条棱，这个长方体中与AA'垂直的棱 共有____条。
(3)如果a,b是异面直线，直线c与a,b都相交，那么这三条 直线中的两条所确定的平面共有____个。
(4)若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，则这 条直线与另一个平面的位置关系是_______.
空间点、直线、平面之间 的位置关系
（习题2.1）
一、空间直线与直线之间的位置关系
按是否在 同一平面内分
相交直线 同在一个平面内
平行直线
不同在任何一个平面内: 异面直线
按公共点个数分
有一个公共点: 相交直线
平行直线 面有三种位置关系：
O
a’
a
α
六、例题讲解
例1、判断下列命题是否正确。 (1)梯形可以确定一个平面
()
六、例题讲解
例1、判断下列命题是否正确。 (1)梯形可以确定一个平面 (2)圆心和圆上两点可以确定一个平面
() ()
六、例题讲解
例1、判断下列命题是否正确。 (1)梯形可以确定一个平面
()
(2)圆心和圆上两点可以确定一个平面
(4)若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，则这 条直线与另一个平面的位置关系是_______.
(5)已知两条相交直线a,b，a//平面α，则b与α的位置关系 是_________.
(6)设直线a,b分别是长方体相邻两个面的对角线所在的直 线，则a,与b的位置关系是________
例3、如图，正方体ABCD A'B'C'D' 中，AB的中点为M,
(1)已知a,b,c是三条直线，且a//b,a与c的夹角为θ，那么 b与c的夹角为________
(2)AA'是长方体的一条棱，这个长方体中与AA'垂直的棱 共有____条。
(3)如果a,b是异面直线，直线c与a,b都相交，那么这三条 直线中的两条所确定的平面共有____个。
(4)若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，则这 条直线与另一个平面的位置关系是_______.
空间点、直线、平面之间 的位置关系
（习题2.1）
一、空间直线与直线之间的位置关系
按是否在 同一平面内分
相交直线 同在一个平面内
平行直线
不同在任何一个平面内: 异面直线
按公共点个数分
有一个公共点: 相交直线
平行直线 面有三种位置关系：
高一数学点直线平面之间的位置关系
例2 在下列四个正方体中，A，B为
正方体的顶点，M，N，P分别为其所在棱
的中点，试判断在哪几个图形中，有
AB∥平面MNP.
A
M
N
A
N B
P
(1)
B
P M
(2)
M
M
A
A
P
P
N
NHale Waihona Puke B (3)B (4)
【问题2】空间线面平行与垂直的证明
例3 求证：三个两两垂直的平面的交 线也两两垂直.
c
γ
b
m
β
a l α
学习目标
了解空间点、线、面的位置关系的 四个公理和一个定理，理解线线平行、 线面平行、面面平行、线线垂直、线面 垂直、面面垂直的判定与性质，运用已 获得的结论证明一些空间位置关系的简 单命题.
【问题1】空间线面平行与垂直的判定
例1 已知直线a、b和平面α，判断下
列命题是否正确：
（1）若a⊥α， ，则a⊥b. （√） （2）若a∥α， ，则a∥b. （×） （3）若a⊥b，b⊥α，则a∥α. （×） （4）若a∥b， ，则a∥α. （×） （5）若a∥b，a⊥α，则b⊥α. （√） （6）若a∥α，b∥α，则a∥b. （×）
高中数学学业水平考试总复习 必修2 第二章
空间点、直线、平面之间的位置关系 第一课时
空间线面位置关系分析
便在脑海中幻想着自己亲手 制作小木雕的场景，迫不及待的想要把它们变成现实。 幻想着自己成了能工巧匠，一块木头不一会儿就被做成了一只栩栩如生， 非常可爱的小狗。忽然感觉自己就 好像是＂神笔马良＂一样，也拥有一把神奇的 雕刻笔，相信任何木头都能让它变得形态逼真，活灵活现的。 我将去年暑假收集的雪糕棍全部找了出来，用铅笔和直尺开始了绘图，我 想要做一把 小木剑：用直尺量出了木条宽的中点，又在两边找到了两个合适的 点，平移做成了一个长方条，和刚才的点连接后，剑的大致轮廓就做出来了， 剑柄也在十分钟后完工。 这一切都进行的顺顺 利利，我便开始了雕刻，每一步我都小心让学生通过模仿操作，掌握ｆｏｒ语 句和ｒｅｐｅａｔ语句． ｖ教学重点： 通过实例，使学生理解循环语句的 表示方法，结构和用法，进一步体会 算法的基本思想． ｖ 教学难点： 将程序框图转化教学重点——建立并合理解释数学模型 教学难点——实际问题数学化过程 突破点：利用丰富的素材，充分感知，实 现数学化过程。 图 ２６．２．４ ３ ２ 题型分析： （一）抛物线与ｘ轴、ｙ轴的交点急所构成 的面积 例１：填空： （１）抛物线ｙ＝ｘ２－３ｘ＋２与ｙ轴的交点 ３ ２ 坐标是＿＿＿（＿０，＿２＿） ＿＿＿＿＿＿，与ｘ轴的交 点坐标是＿＿（＿１，＿０＿）和＿＿（２＿，０＿）＿＿＿； （２）抛物线 ｙ＝－２ｘ２＋５ｘ－３与ｙ轴的交 点坐标是＿＿＿＿＿（０＿，＿－３＿）＿＿＿＿，与ｘ轴的 交点坐标是＿＿＿＿＿＿（１＿，０＿），＿（＿３ ＿，０＿） ． ２ 例２：已知抛物线ｙ＝ｘ２－２ｘ－８， （１）求证：该抛物线与ｘ轴一定有两个交点； （２）若该抛物线与ｘ轴的两个交点分别为Ａ、 Ｂ，且它的顶点为Ｐ，求△ＡＢＰ的面积。 （１）证明：∵△＝２２－４＊（－８）＝３６＞０ ∴该抛物线与ｘ轴一定有两个交点 ｙ （２）解：∵抛物线与ｘ轴相交时 Ａ Ｂｘ Ｐ ｘ２－ ２ｘ－８＝０ 解方程得：ｘ１＝４， ｘ２＝－２ ∴ＡＢ＝４－（－２）＝６ 而Ｐ点坐标是（１，－９） ∴Ｓ ＝２７ （二）根据函数性质判定函数图象之间的 位置关系 例３：在同一直角坐标系中，一次函数 ｙ＝ａｘ＋ｃ和二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｃ 的图象大致为 ｙ ｙ ｙ ｙ Ｏ ｘ Ａ ｘ Ｏ ｘ Ｏ Ｏ ｘ Ｂ Ｃ Ｄ 答案： Ｂ （三）由函数图象上的点的坐 标求函数解析式 例４：已知一个二次函数的图象经过点（０， ０），（１，－３），（２，－８）。 （１）求 这个二次函数的解析式； （２）写出它的对称轴和顶点坐标。 答案：（１）ｙ＝－ｘ２－２ｘ （２）对称轴：ｘ＝－１ 顶点坐标（－１，１） （四）实践与探索题 例５：某企业投资１００万元引进一条产品加工生产线， 若 不计维修、保养费用，预计投产后每年可创利３３万。 该生产线投产后，从第１年到第ｘ年的维修、保养费用 累计为ｙ（万元），且ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ，若第１年的维修、保养 费用为２万元，第２年为４万元。 （１）求ｙ的解析式； （２）投产后，这个企业在第几年就能收回投资？ 解：（１）由题意，ｘ＝１时，ｙ＝２；ｘ＝２时，ｙ＝２＋４＝６，分 别代入ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ，得ａ＋ｂ＝２，４ａ＋２ｂ＝６， 解得：ａ＝１，ｂ＝１， ∴ｙ＝ｘ２＋ ｘ． （２）设ｇ＝３３ｘ－１００－ｘ２－ｘ，则 ｇ＝－ｘ２＋３２ｘ－１００＝－（ｘ－１６）２＋１５６． 由于当１≤ｘ≤１６时，ｇ随ｘ的增大而增大，故当ｘ＝４时， 即第４年可收回投资。 练习题： 已知二次函数的图象的顶点坐 标为 （－２，－３），且图象过点（－３，－２）。 （１）求此二次函数的解析式； （２）设此二次函数的图象与ｘ轴交于Ａ，Ｂ两 点，Ｏ为坐标原点，求线段ＯＡ，ＯＢ的长度之 和。 作业 作业本（１） Ｐ １１－－１３ 板书设计 二次函数的应用： 一． 二． 三． 四． 范例讲解： 常见数学思成功的必经之路。和他们相比，我的这些困难又算得了什 么。 想到这里我又重新鼓起勇气，拿起铅笔从头开 始，计算、绘图、修改…… 开始雕刻时，我深吸一口气，静下心来仔细的雕刻着，顺着铅笔的痕迹， 一点一点的雕刻着
高中数学《第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系》97PPT课件
a与α相交
a与α平行
有且仅一个公共点
没有公共点
符号表示aຫໍສະໝຸດ a∩＝Aa∥图形表示
【学习目标】
1、了解空间中平面与平面的位置关系。 2、培养学生的空间想象能力。
【重、难点】 1、空间平面与平面之间的位置关系。 2、用图形表达平面与平面的位置关系。
二、探究思考
（1）拿出两本书，看作两个平面，上下、左右移 动和翻转，它们之间的位置关系有几种变化？
2.1.4 平面与平面之 间的位置关系
主讲人：王乐乐
一、复习回顾
1、空间中两直线的位置关系
位置关系
共面情况
相交直线1、空 间中两直线的
位置关系
平行直线
异面直线
在同一平面内
在同一平面内 不同在任何一
个平面内
公共点个数 有且只有一个
没有 没有
2、直线与平面的位置关系
位置 关系
公共点
a在α内 有无数个公共点
四、课堂练习
1、 （2007 重庆）若三个平面两两相交，且三条交线 互相平行，则这三个平面把空间分成（C ）
A. 5部分 B. 6部分 C. 7部分 D. 8部分
【解析】可用三线a,b,c表示三个平面，如图，a
将空间分成7个部分。
bc
2、下列说法正确的是（ B ）
A.如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与 平面内任何一条直线平行。 B.如果一条直线与一个平面相交，那么这条直线 与平面内无数条直线垂直。
符号语言
α∥β
β
两个平面有一公共直线两个 平面相交
I l
α
六、作业
教材P51页 习题2.1 A组 4、6
B组 2、3
b
两直线不共面且无公 共点两直线异面
高中数学《第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系》46PPT课件
问题五、什么是两异面直线所成 的角
例题：已知正方体ABCD-A’B’C’D’。（1）哪些棱所在的直 线与直线BA’是异面直线？（2）直线BA’和CC’的夹角是 多少？哪些棱所在的直线与直线AA’垂直？
D'
C'
A'
B'
D A
C B
问题六、直线与平面的位置关系是什么？
1.思考：（1）一支笔所在的直线与一个作业本所在的平 面，可能有几种位置关系？ （2）如图，线段A’B所在直线与长方体ABCD-A’B’C’D’的六 个面所在平面有几种位置关系？
2.经过上述的思考，你能总结出直线与平面有哪几种位置 关系？这几种位置关系如何用图形表示？如何用符号表示？
问题六、直线与平面的位置关系是什么？
例题：下列命题中正确的个数是（ ） 若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α. 若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行。
如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这 个平面平行。 ④若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共 点。
例1:如图所示，用符号表示下列图形中点、直线、平面之 间的位置关系。
例题与练习
问题三、空间中直线与直线之间的位 置关系有哪些？
1.观察思考：如图，长方体ABCD-A'B'C'D'中，线段A'B所 在直线与线段C'C所在直线的位置关系如何？
2.什么是异面直线？如何画异面直线？
问题三、空间中直线与直线之间的位 置关系有哪些？
D'
C'
A' D
B' C
A
B
2. 联系其他相应事实，可以归纳出以下公理：平行于同一 条直线的两条直线互相平行。该公理说明了什么事实？ 并请用符号语言描述这个公理。
高中数学《第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系》792PPT课件
(1) 这两条直线共面吗？
(2) 直线 a与平面相交吗？
a
b
直线与平面平行的判定定理：
直线与平面平行的判定定理：
平面外的一条直线与此平面内的一 条直线平行，则该直线与此平面平行.
直线与平面平行的判定定理： 平面外的一条直线与此平面内的一
条直线平行，则该直线与此平面平行.
a
b
直线与平面平行的判定定理：
(3)与直线AA1平行的 D1
平面是:
A1
D
A
C1 B1
C B
小试身手
例2. 如图，长方体的六个面都是矩形，则 (1)与直线AB平行的平面是:
平面A1C1和平面DC1
(2)与直线AD平行的平面是: 平面BC1和平面A1C1
(3)与直线AA1平行的 D1
平面是:
A1
D
C1 B1
C
A
B
小试身手
例2. 如图，长方体的六个面都是矩形，则
小试身手 例2. 如图，长方体的六个面都是矩形，则 (1)与直线AB平行的平面是:
(2)与直线AD平行的平面是:
(3)与直线AA1平行的 D1
平面是:
A1
D
A
C1 B1
C B
小试身手 例2. 如图，长方体的六个面都是矩形，则 (1)与直线AB平行的平面是:
平面A1C1和平面DC1
(2)与直线AD平行的平面是:
(1)与直线AB平行的平面是: 平面A1C1和平面DC1
(2)与直线AD平行的平面是: 平面BC1和平面A1C1
(3)与直线AA1平行的 D1
平面是:
A1
平面BC1和
D
平面DC1
A
C1 B1
人教版高中数学课件 2.1空间点-直线-平面之间的位置关系--平面 课件
公理2 经过不在同一条直线上的三点,有且只有 一个平面。 B C A
A, B, C不共线 A, B, C确定一平面
公理2的三条推论:
王新敞
奎屯 新疆
1.经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平 面 2.经过两条相交直线,有且只有一个平面
3.经过两条平行直线,有且只有一个平面
平面公理
把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平面 与桌面所在平面是否只相交于一点B？为什么？
（2）集合关系：
图形 符号语言
A a, A , a ,
文字语言(读法)
A
A
a
a
A a A a
点在直线上
点不在直线上
点在平面内 点不在平面内 直线a、b交于点A
A
A
A
b a
A A
a b A
图形
符号语言
a
a
a
a //
文字语言(读法)
a
A
a A
c ,
说明：画图的顺序:先画大件(平面),再画 小件(点、线)
平面公理 观察长方体，你能发现长方体的两个相交平 面有没有公共直线吗？
D
A
C
B
D
A B
C
这条公共直线B’C’叫做这 两个平面A’B’C’D’和平面 BB’C’C的交线． 另一方面，相邻两个平面有一 个公共点，如平面A’B’C’D’ 和平面BB’C’C有一个公共点 B’，经过点B有且只有一条过该 点的公共直线B’C’.
典型例题
例1 如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面 之间的位置关系．
a
A l
空间点、直线、平面之间位置关系 课件(共19张PPT)-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
思考：分别在两个平面内的两条直线是否一定异面？
新知讲解
问题： 我们该怎么画异面直线？
两直线异面的判别: （1）两条直线 既不相交、又不平行，（2）两条直线不同在任何一个平面内。
通常用一个或两个平面来衬托异面直线不同在任何一个平面内的特点
共3对：AB与CD，AB与GH，EF与GH
练习：如图所示的是一个正方体的平面展开图，如果以阴影部分为底面将它还原为正方体，那么，AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有几对？
√
2.说出长方体中下列各对线段所在的直线以及线段所在的直线与平面的位置关系：
异面
相交
异面
平行
平行
相交
在平面内
一、直线与直线的位置关系
①共面直线
平行直线：在同一平面内，没有公共点；
相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点；
②异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点
二、直线与平面的位置关系：
1.直线在平面内——有无数个公共点（交点）；
直线在平面外
直线和平面相交或平行的情况统称为直线在平面外。
判断直线与平面的位置关系关键在于—判断直线与平面的交点个数。
探究 空间中两平面的位置关系
观察 ：教室里的地面与桌面、黑板面所在墙面与地面之间有哪些关系？
直观感觉：桌面与地面 墙面与地面
探究 空间中两条直线的位置关系
观察黑板两侧所在的直线与课桌边沿所在直线是什么位置关系？
既不平行又不相交
立交桥中的两条路线呢？
既不平行又不相交
我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.
我们把既不平行又不相交的两条直线叫做异面直线.
定义
探究 空间中两条直线的位置关系
新知讲解
问题： 我们该怎么画异面直线？
两直线异面的判别: （1）两条直线 既不相交、又不平行，（2）两条直线不同在任何一个平面内。
通常用一个或两个平面来衬托异面直线不同在任何一个平面内的特点
共3对：AB与CD，AB与GH，EF与GH
练习：如图所示的是一个正方体的平面展开图，如果以阴影部分为底面将它还原为正方体，那么，AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有几对？
√
2.说出长方体中下列各对线段所在的直线以及线段所在的直线与平面的位置关系：
异面
相交
异面
平行
平行
相交
在平面内
一、直线与直线的位置关系
①共面直线
平行直线：在同一平面内，没有公共点；
相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点；
②异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点
二、直线与平面的位置关系：
1.直线在平面内——有无数个公共点（交点）；
直线在平面外
直线和平面相交或平行的情况统称为直线在平面外。
判断直线与平面的位置关系关键在于—判断直线与平面的交点个数。
探究 空间中两平面的位置关系
观察 ：教室里的地面与桌面、黑板面所在墙面与地面之间有哪些关系？
直观感觉：桌面与地面 墙面与地面
探究 空间中两条直线的位置关系
观察黑板两侧所在的直线与课桌边沿所在直线是什么位置关系？
既不平行又不相交
立交桥中的两条路线呢？
既不平行又不相交
我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.
我们把既不平行又不相交的两条直线叫做异面直线.
定义
探究 空间中两条直线的位置关系
空间点、直线、平面之间的位置关系课件-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
新知导学 素养启迪
新知导学·素养启迪 课堂探究·素养培育
1.点与直线、点与平面的位置关系 (1)点在直线上和点在直线外. (2)点在平面内和点在平面外. 2.空间中直线与直线的位置关系 (1)异面直线:我们把 不同在任何一个平面内的 两条直 线叫做异面直线.
新知导学·素养启迪 课堂探究·素养培育
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(4)异面直线的判定方法. 与一个平面相交的直线和这个平面内不经过交点的直线是异面直 线(如图). 符号表示:AB∩α=A,B∉α,a⊂α,A∉a⇒直线AB与a是异面直线.
思考1:判断两条直线的位置关系的关键是什么? 答案:判断两条直线的位置关系的关键是看两条直线是否在同一平 面内,有没有公共点.
4.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,判断下列位置关系: (1)AD1所在直线与平面BCC1的位置关系是 平行 ;
解析:(1)AD1所在直线与平面BCC1的位置关系是平行.
1 2 3 4 5 新知导学·素养启迪 课堂探究·素养培育
(2)平面A1BC1与平面ABCD的位置关系是 相交 .
解析:(2)平面A1BC1与平面ABCD的位置关系是相交.因为 平面A1BC1与平面ABCD有一个交点B,由基本事实3知,如 果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有 一条经过该点的公共直线.所以平面A1BC1与平面ABCD 相交.
解析:(1)在正方体AC1中,A1D1∥BC,所以A1,D1,B,C共面, 又A1D1=BC,所以四边形A1BCD1是平行四边形,故A1B∥D1C.
(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是 异面 ;
解析:(2)直线B1C⊂平面BCC1B1,而A1∉平面BCC1B1,B∈平面BCC1B1, B∉直线B1C,根据异面直线的判定方法知,A1B和B1C是异面直线.