必修4任意角课件
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1.1任意角课件 新人教a版必修4
思考4：在直角坐标系中，135°角的终边在 什么位置？ 终边在该位置的角一定是135°吗？
y
x o
探究新知
思考5：与135°角终边相同的角有多少个？ 这些角与135°角在数量上相差多少？ 思考6：所有与135°角终边相同的角，连同 135°角在内，可构成一个集合S，你能用描 y 述法表示集合S吗？
y x o y 210° x o 405° o y x o －200° y x y x
－50°
o
－450°
探究新知
思考1：锐角是第几象限的角？钝角？直角？ 思考2：第一象限的角一定是锐角吗？ 思考3：第二象限的角一定比第一象限的角
大吗？
象限角只能反映角的终边所在象限， 不能反映角的大小.
探究新知
11
y12
1
10
4320
2
3 4 7 6 5
9 8
0
x
3.象限角
在直角坐标系中，角的顶点与原点重合, 角的始边与x轴的非负半轴重合. y 如果角的终边在第几象限， 我们就说这个角是第几象限 的角； o x 如果角的终边在坐标轴上， 就认为这个角不属于任何 象限，或称这个角为轴线角.
练习：
指出下列各角：-50°，405°， 210°,-200°，－450°分别是第几象 限的角？
课后作业
P9 A组 1、2 、 3
高一年级数学必修4
第一章 1.1 三角函数 任意角
探究新知
2002年11月22日，在匈牙利德布勒森 举行的第36届世界体操锦标赛中，“李小 鹏跳”——“踺子后手翻转体180度接直 体前空翻转体900度”，震惊四座，这里 的转体180度、转体900度就是一个角的概 念.
探究新知
1.1.1《任意角》课件(人教A版必修4)
5.与1 991°终边相同的最小正角是_____. 【解析】∵与1 991°终边相同的角β=1 991°+ k²360°,（k∈Z）,∴0°＜1 991°+k²360°≤360°
191 ＜k≤ 191 又k∈Z, 即 -5 -4 , 360 360 ∴k=-5,∴与1 991°终边相同的最小正角是
)
(B)钝角是第二象限角
(C)终边相同的角一定相等 (D)不相等的角，它们的终边必不相同 【解析】选B.因为钝角α满足90°＜α＜180°，所以角α的 终边一定在第二象限.
3.若α 是第四象限角，则180°+α 一定是（ (A)第一象限角 (B)第二象限角
）
(C)第三象限角
(D)第四象限角
【解析】选B.方法一：∵α是第四象限角 ∴-90°+k²360°＜α＜k²360° ∴90°+k²360°＜180°+α＜180°+k²360°（k∈Z） 方法二：由角的运算知，角α与角180°+α关于原点对称，即
∴θ=120°或240°.
7.在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并 判断它们是第几象限角： （1）918°;(2)-624°18′. 【解析】(1)∵918°=2〓360°+198°,
而198°∈(180°,270°），
∴918°与198°的终边相同，是第三象限角. (2)∵-624°18′=-2〓360°+95°42′, 又95°42′∈(90°,180°）， ∴-624°18′与95°42′的终边相同，是第二象限角.
n²360°,
∴ 是第三象限角. 3 答案：一、三、四
4.（15分）若集合A={α ｜k²180°+30°<α <k²180°+90°, k∈Z}，集合B={β ｜k²360°-45°<β <k²360°+45°， k∈Z}，求A∩B.
1.1 任意角和弧度制 课件(34张PPT) 高中数学必修4(人教版A版)
圆心角为30°时
圆心角为60° 时
结论：圆心角不变则比值不变
比值的大小只与角度大小有关， 我们可以利用这个比值来度量 角，这就是度量角的另外一种 单位制——弧度制。
弧度制的定义
定义：长度等于半径 长的圆弧所对的圆心 角叫做弧度的角，用 符号1 rad表示，读 作1弧度。这种以弧 度为单位来度量角的 制度叫做弧度制。
3、终边相同的角
一般地，所有与角α 终边相同的角，连同角 α 在内，可构成一个集合
S { | k 360 , k Z}
0
即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与 整数个周角的和. 注意：1 、α是任意的角（可以是正的，可以 是负的，也可以是0o） 2、k取整数
例l、在0°～360°范围内，找出与下列各角终 边相同的角，并判定它们是第几象限角： ①480° ② -150° ③ 665° ④-950° 解：① 480°=120°+1×360° 与120°的角终边相同，是第二象限角 ② -150°=210°+(-1)×360° 与210°的角终边相同，是第三象限角 ③ 665°=305°+360° 与305°的角终边相同，是第四象限角 ④ -950° =130°+(-3)×360° 与130°的角终边相同，是第二象限角
B' R B O A r L A'
l
即时问答：下列四个图中的圆心角的弧度数 分别是多少？
问题：
（1）若弧是一个半圆，圆心角所对的 弧度数是多少？若是一个圆呢？
（2）正角的弧度数是什么数？负角呢？ 零角呢？角的正负由什么决定？
角度制与弧度制不同之处
1.定义方式不同：弧度制是以“弧度”为单 位的度量角的单位制，角度制是以“度”为 单位来度量角的单位制；1°≠1 弧度； 2. 进位制不同：弧度制是十进制，而角度 制是六十进制.
1.2.1任意角的三角函数课件高中数学人教A版必修4第一章
反思与感悟
利用诱导公式一可把负角的三角函数
化为0到2π间的三角函数，也可把大于2π的角的三
角函数化为0到2π间的三角函数，即实现了“负化
正，大化小”.同时要熟记特殊角的三角函数值.
明目标、知重点
跟踪训练3
求下列各式的值：
23π
(1)cos－ 3 ＋tan
解
17π
4 ；
π
π
原式＝cos3＋－4×2π＋tan4＋2×2π
角为自变量，以比值为函数值的函数， 角的概念推广
后，这样的三角函数的定义明显不再适用，如何对三角
函数重新定义，这一节我们就来一起研究这个问题.
明目标、知重点
探究点一 锐角三角函数的定义
思考1 如图， Rt△ABC中，∠C＝90°，若已知
a＝3，b＝4，c＝5，试求sin A，cos B，sin B，
反思与感悟
准确确定三角函数值中角所在象限是基
础，准确记忆三角函数在各象限的符号是解决这类问
题的关键.可以利用口诀“一全正、二正弦、三正切、
四余弦”来记忆.
明目标、知重点
跟踪训练2
已知cos θ·tan θ<0，那角θ是( C )
A.第一或第二象限角
B.第二或第三象限角
C.第三或第四象限角
D.第一或第四象限角
明目标、知重点
； 叫做α的正切，记作
②终边定义法：
设角α终边上任意一点的坐标为(x，y)，它与原点的距离为r，则
2
2
x
＋y
有sin α＝
，cos α＝
，tan α＝
苏教版高中数学必修4《任意角》参考课件1
330 30 360 390 30 (1) • 360
30 --3245K24 • 360 K Z
| 30 k • 360 , k Z
象限角的表示
第一象限 | k 360 90 k 360, k Z
第二象限
| 90 k 360 180 k 360 , k Z
| 225 k • 360 , k Z
S＝S1 S2
| 90 n •180 , n Z
写出终边在直线Y=X上的角的集合
Y
X O
写出终边在直线Y=X上的角的集合
S＝S1 S2
| 45 k • 360 , k Z | 225 k • 360 , k Z
1.1.1 任意角
在初中阶段我们是如何定义 角这个平面图形的？
具有公共端点的两条射线所组成的 图形----角的静态定义
学习过哪些不同范围的角？
锐角
直角
钝角
平角
角与角度值
周角
从旋转的角度描述一下怎样可以得到一个角？
旋转游戏
1.初始时面朝的方向相同吗？
2.终止时面朝的方向怎样？
3.旋转的圈数不同有没有区别？
| 90 n •180 , n Z
终边在直线Y=X上的角的集合
| 45 n •180 , n Z
Y
O
X
Y X
O
写出终边在坐标轴上的角的集合
| 0 n • 90, n Z | n • 90, n Z
Y
X O
可以写出其它与-30 角的终边相同的角吗？
角图形
角的大小
实数
写出终边在Y轴上的角的集合
S1 | 90 k • 360 , k Z | 90 2k •180 , k Z
30 --3245K24 • 360 K Z
| 30 k • 360 , k Z
象限角的表示
第一象限 | k 360 90 k 360, k Z
第二象限
| 90 k 360 180 k 360 , k Z
| 225 k • 360 , k Z
S＝S1 S2
| 90 n •180 , n Z
写出终边在直线Y=X上的角的集合
Y
X O
写出终边在直线Y=X上的角的集合
S＝S1 S2
| 45 k • 360 , k Z | 225 k • 360 , k Z
1.1.1 任意角
在初中阶段我们是如何定义 角这个平面图形的？
具有公共端点的两条射线所组成的 图形----角的静态定义
学习过哪些不同范围的角？
锐角
直角
钝角
平角
角与角度值
周角
从旋转的角度描述一下怎样可以得到一个角？
旋转游戏
1.初始时面朝的方向相同吗？
2.终止时面朝的方向怎样？
3.旋转的圈数不同有没有区别？
| 90 n •180 , n Z
终边在直线Y=X上的角的集合
| 45 n •180 , n Z
Y
O
X
Y X
O
写出终边在坐标轴上的角的集合
| 0 n • 90, n Z | n • 90, n Z
Y
X O
可以写出其它与-30 角的终边相同的角吗？
角图形
角的大小
实数
写出终边在Y轴上的角的集合
S1 | 90 k • 360 , k Z | 90 2k •180 , k Z
高中数学必修四：1.1.1《任意角》 PPT课件 图文
精讲领学
例题1 写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中在 360~720范围的角写出来.
( 1 ) 6 0 ;( 2 ) 2 1 ;( 3 ) 3 6 3 1 4
解: ( 1 ) S {| k 3 6 0 6 0 , k Z }300,60,420
( 2 ) S {| k 3 6 0 2 1 , k Z }21,339,699
2、下列角中终边与330°相同的角是（ ） A．30° B．-30° C．630° D．-630°
3、把－1485°转化为α＋k·360° （0°≤α＜360°, k∈Z）的形式是（ ） A．45°－4×360° B．－45°－4×360° C．－45°－5×360° D．315°－5×360°
反馈固学
1.1.1 任意角
第一课时
（1）推广角的概念；理解并掌握正角、负角、零角的定义； （2）理解任意角以及象限角的概念； （3）掌握所有与角终边相同的角（包括角）的表示方法； （4）树立运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念；
思考：那么工人在拧紧或拧松螺丝时，转动的角度 如何表示才比较合适？
逆时 针
4、下列结论中正确的是( ) A.小于90°的角是锐角 B.第二象限的角是钝角 C.相等的角终边一定相同 D.终边相同的角一定相等
5：任意两个角的数量大小可以相加、相减.
例如50°＋80°=130°, 50°－80°=－30°， 你能解释一下这两个式子的几何意义吗？
130°是以50°角的终边为始边，逆时针旋转80°所成的角. －30°是以50°角的终边为始边，顺时针旋转80°所成的角.
注3：(1) 为任意角 (2) k Z这一条件必不可少；
(3) 终边相同的角不一定相等， 终边相等的角有无数多个，它们相差3600的整数倍.
数学必修ⅳ苏教版1.1 任意角、弧度-任意角 课件4
3. k 360 90 k 360 , k z 4. | 90
巩固练习1:
1. | 0 90
（）锐角 1
（2） 0 到90 的角
（3）第一象限角
（4）小于90 的角
2、若角、 满足下列条件， 求它们的关系式？ k 360 (k z) （）终边关于 1 x轴对称 180 k 360 (k z) （2）终边关于y轴对称 (2k 1)180 (k z ) （3）终边互为反向延长线 180 k 360 (k z )
α是第一第二或第三象限的角
180 2k 360 2 360 2k 360 , k z
y
α是第三.第四象限或y轴的非正半 轴上的角 o x
例4：已知集合A 30 k 180 90 k 180 , k z
B 45 k 360 45 k 360 , k z
(2k 1)180 (k z )
例2:写出下面直角坐标系中阴影部分表示 的角的集合 2. 60 k 360 120 k 360 , k z
y y
60
o
0
60
x
0
o
x
1. 60 k 180 90 k 180 , k z
60
x
y
y
y
o
| k 90 , k z | 45 k 180 , k z | 45 k 180 , k z | 45 k 90 , k z
x
o
x
o y
x
o
x
1.写出下列关于角的集合 2. | 0 90
巩固练习1:
1. | 0 90
（）锐角 1
（2） 0 到90 的角
（3）第一象限角
（4）小于90 的角
2、若角、 满足下列条件， 求它们的关系式？ k 360 (k z) （）终边关于 1 x轴对称 180 k 360 (k z) （2）终边关于y轴对称 (2k 1)180 (k z ) （3）终边互为反向延长线 180 k 360 (k z )
α是第一第二或第三象限的角
180 2k 360 2 360 2k 360 , k z
y
α是第三.第四象限或y轴的非正半 轴上的角 o x
例4：已知集合A 30 k 180 90 k 180 , k z
B 45 k 360 45 k 360 , k z
(2k 1)180 (k z )
例2:写出下面直角坐标系中阴影部分表示 的角的集合 2. 60 k 360 120 k 360 , k z
y y
60
o
0
60
x
0
o
x
1. 60 k 180 90 k 180 , k z
60
x
y
y
y
o
| k 90 , k z | 45 k 180 , k z | 45 k 180 , k z | 45 k 90 , k z
x
o
x
o y
x
o
x
1.写出下列关于角的集合 2. | 0 90
高中数学必修4《第一章三角函数》精品课件：1.1.1任意角
S={α|α=45°＋k·180°，k∈Z}.
S={ －315°，-135°，45°，225°， 405°，585°}
课堂小结
Office组件之word2007
1.角的概念推广 正角、负角、零角、象限角
2.终边相同的角
3.终边在x轴、y轴上的角的表示
4.终边在各个象限上的角的表示
Office组件之word2007
思考2：终边在x轴上的角的集合表示
终边在x轴上：S={α|α=k·180°，k∈Z}；
新课教学
Office组件之word2007
思考3：终边在y轴非正半轴、非负半轴
上的角分别如何表示？
y轴非负半轴:α= 90°＋k·360°，k∈Z ； y轴非正半轴:α= 270°＋k·360°，k∈Z .
思考4：终边在y轴上的角的集合表示
y
x o
知识探究（三）：终边相同的角 Office组件之word2007
思考1：－32°，328°，－392°是第几 象限的角？这些角有什么内在联系？
y
328° o
－392° x
－32°
新课教学
Office组件之word2007
思考2：与－32°角终边相同的角有多 少个？这些角与－32°角在数量上相 差多少？
Office组件之word2007
1.1.1 任意角
知识探究（一）：角的概念的推广
Office组件之word2007
复习：角的定义 角是由平面内一条射线绕其端点从
一个位置旋转到另一个位置所组成的 图形（如图）.
B
始边
终边
A O
顶点
新课教学
Office组件之word2007
思考1：你认为将一条射线绕其端点按逆时针方向旋
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四、与 终边相同的角的集合为
S { | k 360 , k Z}
o
注:（1） K ∈ Z
（3）K· 360°与 之间是“+”号， （4）终边相同的角不一定相等，但相等的 角终边一定相同，终边相同的角有无数多个， 它们相差360°的整数倍。
（2） 是任意角
• 写出终边在X轴上的角的集合 • 写出终边在坐标轴上的角的集合
o o o o
例3、写出终边在下列阴影部分内的角的集合
问题2、你的手表慢了10分钟，你应该怎样将它校准？ 如果你的手表快了10分钟你应该怎么做？如果你的 手表快了1.5个小时，你又如何将它校准？
二、角的分类 逆时针旋转得到的角叫 正角 顺时针旋转得到的角叫 负角
不发生旋转得到的角叫 零角
三、在坐标系中讨论角—象限角
如果角的终边落在了坐标轴上， 就认为这个角不属于任何象限。
必修4
1.1.1 任意角
一、 “角”的定 B 义：
顶 点
终边 B
α
o
A
始边
O
A
（1）由一个顶点发出的两条射线所组成的图形（静态定义）
（2）一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置 所组成的图形. （动态定义）
记法：角α或 ∠A0B，也可简记为α
问题1、初中学过的角，范围是什么？（00，3600]
（1）锐角一定是第一象限角； （2）第一象限角一定是锐角； （3）第一象限角一定小于第二象限角； （4）小于90°的角都是锐角。
思考：将角放在坐标系中，给定一个角，就 有唯一的一条终边与之对应。反之，对于坐 标系中的任意一条射线，以它为终边的角是 否唯一？如果不唯一，那么终边相同的角有 什么关系？
打开课本第9页
象限角的表示法
第一象限角 第二象限角 第三象限角 第四象限角
{x | k 360 x k 360 90 , k Z}
o o o
{x | k 360o 90o x k 360o 180o , k Z}
{x | k 360o 180o x k 360o 270o , k Z} {x | k 360 270 x k 360 360 , k Z}
1)置角的顶点于原点 2)始边重合于X轴的非负半轴 终边落在第几象限就是第几象限角
例1、在直角坐标系中画出下列角，并指出分别 是第几象限角? （1） 60°, -60°,120°, 420°, －150° （2） 300°,480°,-300°,540°,-1080°
例2、判断正误：