周期信号的傅里叶变换
第三章――傅里叶变换周期信号的傅里叶级数分析
第三章 傅里叶变换3.1周期信号的傅里叶级数分析（一） 三角函数形式的傅里叶级数满足狄利赫里条件的周期函数()f t 可由三角函数的线性组合来表示，若()f t 的周期为1T ，角频率112T πω=，频率111f T =，傅里叶级数展开表达式为()()()0111cos sin n n n f t a a n t b n t ωω∞==++⎡⎤⎣⎦∑各谐波成分的幅度值按下式计算()0101t T t a f t dt T +=⎰()()0112cos t T n t a f t n t dt T ω+=⎰()()01012sin t T n t b f t n t dt T ω+=⎰其中1,2,n =⋅⋅⋅狄利赫里条件：（1） 在一个周期内，如果有间断点存在，则间断点的数目应是有限个；（2） 在一个周期内，极大值和极小值的数目应是有限个； （3） 在一个周期内，信号是绝对可积的，即()00t T t f t dt +⎰等于有限值。
（二） 指数形式的傅里叶级数周期信号的傅里叶级数展开也可以表示为指数形式，即()()11jn tnn f t F n eωω∞=-∞=∑其中()011011t T jn tn t F f t e dt T ω+-=⎰ 其中n 为从-∞到+∞的整数。
（三） 函数的对称性与傅里叶系数的关系（1） 偶函数由于()f t 为偶函数，所以()()1sin f t n t ω为奇函数，则()()01112sin 0t T n t b f t n t dt T ω+==⎰所以，在偶函数的傅里叶级数中不会含有正弦项，只可能含有直流项和余弦项。
（2） 奇函数由于()f t 为奇函数，所以()()1cos f t n t ω为奇函数，则()0100110t T t a f t dt T +==⎰()()010112cos 0t T n t a f t n t dt T ω+==⎰ 所以，在奇函数的傅里叶级数中不会含有直流项和余弦项，只可能包含正弦项（3） 奇谐函数（()12T f t f t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭）半波对称周期函数的傅里叶级数中，只会含有基波和奇次谐波的正、余弦项，而不会含有偶次谐波项，这也是奇谐函数名称的由来。
周期信号的傅里叶变换
周期信号的傅里叶变换
周期信号的傅里叶变换与傅里叶级数有很大的关系，它与非周期信号的傅里叶不是一回事，非周期傅叶变换对不对用在周期信号上。
先做个铺垫：
虚指函数是一个周期函数，他的傅里叶变换可以从下面的开始考虑
由傅里叶级数可知，一个周期信号可以用
表示，即用一串虚指函数的加权表示。
那么由上式可知：虚指函数的傅里叶变换是02()πδωω-。
一个周期信号x （t ）的傅里叶变换是一个脉冲串，可用表示。
式
中表示的是，发生在第K 次谐波关系的的冲激函数的面积是加权的系数
的2pi 倍。
现在关键在于加权的系数的计算。
这里的就是傅里叶级数中的。
下面是傅里叶级数的表达式：
到此为止，可以计算周期信号的傅里叶变换了！
计算的时候注意，可以尽量先直接化成虚指函数，再根据虚指函数与脉冲这间的关系直接计算求得，如果不行，可以通过计算，再代入.
满足狄里赫利条件的周期信号都可以用傅里叶级数的形式表示，即虚指函数的加权；虚指函数的频谱为脉冲02()πδωω-，那么所有可以用傅里叶级数表示的周期信号的频谱都是脉冲串。
如正弦函数的频谱是在+wo 和-wo 处的脉冲。
周期信号的傅里叶变换
第17讲 周期信号的傅里叶变换
周期信号进行傅里叶变换的目的
将周期信号用傅里叶级数展开得到周期信号的离散 频谱，令周期信号的周期趋近无穷大引出非周期信 号，从傅里叶级数在周期趋于无穷大的极限导出傅 里叶变换，由周期信号的离散谱过渡到连续谱，引 出频谱密度函数的概念
周期信号进行傅里叶变换的目的
f ( t )
F n . e j n 1t
n
根据傅里叶变换的线性和频移特性
F T [ f (t)] 2 Fn ( n1 )
n
3.一般的周期信号的傅立叶变换
F ( j) 2 Fn( n1)
n
周期信号的频谱是离散的，而傅里叶变换反映 的是频谱密度的概念，因此周期信号的傅里叶 变换不同于其傅里叶系数，它不是有限值，而 是冲激函数，这表明在谐波频率点处,即无穷小 的频带范围内取得了无穷大的频谱值。
1.复指数信号的傅里叶变换
因为
1 2 ()
对于复指数
f (t) e j0t
由频移特性，可知
e j0t 2 ( 0)
2. 余弦和正弦信号信号的傅里叶变换
对于正弦和余弦信号，根据欧拉公式，并利用
e j0t 2 ( 0)
得到其频谱函数分别为
cos0t [ ( 0 ) ( 0 )]
sin0t j[ ( 0 ) ( 0 )]
3.一般的周期信号的傅立叶变换
F( j) 2 Fn ( n1)
n
周期信号的傅里叶变换是由无穷多个频域上的 冲激函数组成，这些冲激函数位于信号的各谐
波频率 n1处，其强度为相应傅里叶级数系数
Fn 的 2 倍。
4、周期单位冲激序列的傅里叶变换
T (t)
n
(t nT1)
常用信号的傅里叶变换
常用信号的傅里叶变换傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的数学工具。
对于任意一个周期信号，傅里叶变换可以将其表示成一系列正弦波的叠加形式，从而更好地理解和处理信号。
在实际应用中，有很多信号都需要进行傅里叶变换。
下面介绍一些常用信号的傅里叶变换。
1. 正弦信号正弦信号是一种最基本的周期信号，其函数形式为y=sin(wt)，其中w为角频率。
通过傅里叶变换，可以将正弦信号表示为一组频率为w的正弦波的叠加形式，即：y(t) = A1*sin(wt) + A2*sin(2wt) + A3*sin(3wt) + …其中，An为振幅，表示第n个正弦波的幅度。
2. 方波信号方波信号是一种由周期为T的矩形波形组成的信号，其函数形式为：y(t) = sgn(sin(wt))其中，sgn表示符号函数，即当sin(wt)>0时，sgn(sin(wt))=1，否则sgn(sin(wt))=-1。
通过傅里叶变换，可以将方波信号表示为一组频率为w的正弦波的叠加形式，即：y(t) = (4/pi)*[sin(wt) + (1/3)*sin(3wt) + (1/5)*sin(5wt) + …]3. 带限信号带限信号是指信号的频率范围有限，通常是指截止频率为一定值的信号。
通过傅里叶变换，可以将带限信号表示为一组频率在一定范围内的正弦波的叠加形式，即：y(t) = (1/2*pi)*Int[-w0,w0]{F(w)*e^(jwt)dw}其中，F(w)为信号的频谱，w0为信号的截止频率，Int表示积分运算。
以上三种信号只是常用信号中的一部分，实际应用中还有很多其他类型的信号需要进行傅里叶变换。
傅里叶变换不仅可以分析信号的频域特性，还可以用于信号的滤波、压缩、编码等方面，具有广泛的应用价值。
傅里叶变换常用公式
傅里叶变换常用公式1. 简介傅里叶变换是一种重要的数学工具，用于将一个信号从时域转换到频域。
它常被应用于信号处理、图像处理、通信等领域。
本文将介绍傅里叶变换的基本概念和常用公式。
2. 傅里叶级数傅里叶级数是傅里叶变换的基础，它用于将周期信号表示为一系列正弦和余弦函数的和。
傅里叶级数的公式如下：傅里叶级数公式傅里叶级数公式在上述公式中，f(t)表示周期为T的函数，a0是直流成分，ak和bk是傅里叶系数。
3. 傅里叶变换傅里叶变换是将非周期信号表示为一组连续的频谱的过程。
傅里叶变换的公式如下：傅里叶变换公式傅里叶变换公式在上述公式中，F(w)表示频域信号，f(t)表示时域信号，j是虚数单位。
4. 反傅里叶变换反傅里叶变换是将频域信号恢复为时域信号的过程。
反傅里叶变换的公式如下：反傅里叶变换公式反傅里叶变换公式在上述公式中，F(w)表示频域信号，f(t)表示时域信号。
5. 常见傅里叶变换公式下面列举了一些常见的傅里叶变换公式：5.1 正弦函数的傅里叶变换正弦函数的傅里叶变换的公式如下：正弦函数的傅里叶变换公式正弦函数的傅里叶变换公式在上述公式中，f(t)是正弦函数，F(w)是其频域信号。
5.2 余弦函数的傅里叶变换余弦函数的傅里叶变换的公式如下：余弦函数的傅里叶变换公式余弦函数的傅里叶变换公式在上述公式中，f(t)是余弦函数，F(w)是其频域信号。
5.3 矩形脉冲的傅里叶变换矩形脉冲的傅里叶变换的公式如下：矩形脉冲的傅里叶变换公式矩形脉冲的傅里叶变换公式在上述公式中，f(t)是矩形脉冲，F(w)是其频域信号。
5.4 高斯函数的傅里叶变换高斯函数的傅里叶变换的公式如下：高斯函数的傅里叶变换公式高斯函数的傅里叶变换公式在上述公式中，f(t)是高斯函数，F(w)是其频域信号。
6. 结论傅里叶变换是一种非常强大的数学工具，用于将信号从时域转换到频域。
本文介绍了傅里叶级数、傅里叶变换和反傅里叶变换的基本公式，并列举了一些常见的傅里叶变换公式。
傅里叶变换公式
连续时间周期信号傅里叶级数：⎰=T dt t x Ta )(1⎰⎰--==T tTjkT tjk k dt et x Tdt et x Ta πω2)(1)(1离散时间周期信号傅里叶级数：[][]()∑∑=-=-==Nn nN jk Nn njkwk e n x Ne n x Na /2110π连续时间非周期信号的傅里叶变换：()⎰∞∞--=dt e t x jw Xjwt )(连续时间非周期信号的傅里叶反变换：()dw e jw X t x jwt ⎰∞∞-=π21)(连续时间周期信号傅里叶变换：∑+∞-∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=k k kw a jw X T 22)(πδπ连续时间周期信号傅里叶反变换：()dw e w w t x jwt ⎰∞∞--=0221)(πδπ离散时间非周期信号傅里叶变换：∑∞-∞=-=nnj e n x eX ωωj ][)(离散时间非周期信号傅里叶反变换：⎰=π2d e )(e π21][ωωωn j j X n x离散时间周期信号傅里叶变换：∑+∞-∞=-=kk k a X )(π2)e (0j ωωδω离散时间周期信号傅里叶反变换：[]ωωωδωd e n n j ⎰--=π20πl)2(π2π21][x拉普拉斯变换：()dt e t s Xst -∞∞-⎰=)(x拉普拉斯反变换：()()s j21t x j j d e s X st ⎰∞+∞-=σσπZ 变换：∑∞-∞=-=nnz n x X ][)z (Z 反变换： ⎰⎰-==z z z X r z X n x n nd )(πj21d )e ()(π21][1j π2ωω。
周期信号傅里叶变换和采样
抽样 频率 应满 足w0
100, 即T
1 50
(3)H
(
jw)
2 w0
,
0,
w wc ,50 wc w0 50 w wc
应满足采样频率w0
2wm，或者说抽样周期T
wm
。
二 利用内插从样本重建信号
线性内插 显然，简单的将相邻样本点用直线连接起来不能完全精确的重 建原始信号
fs (t) f (nT )(t nT )
n
f (t)
Fs
(
jw
)
1 T
F[
n
j(w
n)]
F ( jw)
频域离散性
分析比较两种思路的结论：
fT (t) 2 Fn (w nw0 )
n
fT (t) w0 F ( jnw0 ) (w nw0 )
n
2 Fn w0 F( jnw0 )
Fn－周期信号fT(t)的傅里叶级数； F(jw)－ fT(t)主周期f(t)的傅里叶变换。
周期信号的傅里叶变换
fT (t) 2 Fn (w nw0 )
n
周期信号的傅里叶变换是一系列强度为2Fn，延迟为nw0的冲 激串的线性组合，仍是离散谱。
w－连续变量，但只在w＝ nw0的离散频率上取值。
周期信号的傅里叶变换 fT (t) 2 Fn (w nw0 )
Sa
nw0
2
(w
nw0 )
T
n
Sa
第4章_6周期信号的傅立叶变换
4.13bc 4.207
4.14e
4.23
4.41 4.45 4.48
上式表明，周期信号的傅里叶变换（或频谱密度函
数）由无穷多个冲激函数组成，这些冲激函数位于信
号的各谐波角频率 n(n 0,1,2, )处，其强度
为各虚指数分量相应幅度 Fn 的 2 倍。
例4.6-1 求周期性矩形脉冲信号 PT (t) 的频谱函数。
pT t
1
解：
Fn
Sa( n
2
)
(
n)
n
2 s in(n
2 n
)
(
n)
ℱ[pT(t)]
-Ω 0 Ω
图 4.6-2 周期矩形脉冲的傅立叶变换 T 4
例4.6-2 求周期性单位冲激函数序列 T (t)的频谱。
T (t) (t mT ) ( m为整数) n T(t )
周期冲激序列的傅立叶变换
可见：时域中周期为 T 的单位冲激序列，在频域中是
周期为 ，强度为
的冲激序列。其中
2
T
方法二
设周期信号 fT (t)，从该信号中截取一个周期信号，
令其为 f0 (t) 。
fT (t) f0(t)T (t)
fT (t ) F0 ( j ) ( )
2
T
F0( jn) (
n
n)
Fn
1 T
F0 (
j ) n
可见，周期信号的傅里叶系数等于F0 ( j ) 在n处
的值乘上 1 。 T
傅里叶变换的许多性质也可适用于傅里叶级数，这提 供了求周期信号傅里叶系数的另一种方法。
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F(ω) 抽样前
Fs(ω)
抽样后
1/Ts
- ωm ωm
ω
- ωs
ωs ω
*频域抽样
f (t) F () F1() F () ()
其中 () ( n1) n 1 f1(t) 1 n f (t nT1)
f1(t)
1
1
fs(t)
Ts h(t)
Ts f(t)
Ts
Fs(ω)
t
H(ω) ωm ωs 1
卷积
F(ω)
ωc
相 乘
ωm
频域抽样定理
一个时限信号f(t),如果集中于 |t|≤tm,则其频谱F(ω)可以唯一由其 均匀频率间隔fs (fs≤1/(2tm))上的 抽样值F(nωs)确定.
时域抽样与频域抽样的对称性
f(t) Ts F(ω) 以ωs为周期重复 F(ω) ωs f(t) 以Ts为周期重复
✓若f(t)被等间隔T取样,将等效于F(ω)以 ωs=2/T为周期重复;
✓而F(ω)被等间隔ωs取样,则等效于f(t)以T 为周期重复.
➢因此,在时域中进行抽样的过程,必然导致 频域中的周期函数;在频域中进行抽样的过 程,必然导致时域中的周期函数。
作业: 3-41
改 f2 (t) Sa(1000 t)
(2) f (t)为奇函数 : f (t) bn sin( n1t) n 1
bn
4 T1
T1 2
0
f (t) sin( n1t)dt
(3) f (t)为奇谐函数 : f (t) (an cos n1t bn sin n1t) n1
an和bn公式同上,且n为所有的奇数
2.位于信号的谐频处.
3.大小不是有限值,而是无穷小频带内 有无穷大的频谱值.
周期信号的傅立叶变换存在条件
1.周期信号不满足绝对可积条件. 2.引入冲激信号后,冲激的积分是有意义
的. 3.在以上意义下,周期信号的傅立叶变换
是存在的. 4.周期信号的频谱是离散的,其频谱密度,
即傅立叶变换是一系列冲激.
ns
2
F (
ns )
理想抽样 : Fs ()
1 Ts
F (
n
ns )
频域抽样信号的FT
1
f1 (t )
1
f
n
(t
nT1 )
时域抽样定理
| | m
fs
2 fm或Ts
1 2 fm
频域抽样定理
|t
| tm
Ts
2tm或f s
F1() F2 ()
Parseval定理 : f 2 (t)dt | F ( f ) |2 df
1 | F () |2 d
2
一般周期信号的FT
FT[ f (t)] Fn FT[e jn1t ] n
2 Fn ( n1) n
3.9 周期信号的傅里叶 变换
正弦/余弦信号的傅里叶变换 一般周期信号的傅里叶变换
正弦/余弦信号的傅里叶变换
1 2() cos(1t) [ ( 1) ( 1)]
sin( 1t) j[ ( 1) ( 1)]
一般周期信号的傅里叶变换
F (n1 )e jn1t
n
F (n1)
Fn
1 T1
t0 T1 t0
f (t )e jn1t dt
其中n为所有的整数
函数f(t)的对称性与FS系数关系
(1)
f
(t )为偶函数
:
f
(t )a0 2Fra bibliotek
an
n1
cos n1t
an
4 T1
T1 2
0
f (t) cos n1tdt
下次课包括4.1-4.5节的内容， 请预先做好听课准备。
第三章总结 及习题课
知识点回顾:
周期信号傅里叶级数分析 非周期信号的傅里叶变换
周期信号的傅里叶变换
典型周期信号的FS
典型非周期信号的FT 傅里叶变换基本性质 抽样信号的FT 抽样定理
傅里叶级数(FS)
三角形式 :
f
(t )
a0 2
周期信号f (t)的FS与取其一个周期f (t) GT1 (t) 形成的非周期信号的FT之间的关系:
f (t) Fne jn1t n
Fn
1 T1
T1
2 T1
f (t)e jn1t dt
2
令f0 (t) f (t) GT1 (t)
T1
F0 ()
2 T1
问: 对于什么样的n值,才保证an 0?
解:
f (t)的基波频率 : 1
2
Τ
12
f (t)通过理想低通滤波器后,输出的
是其本身,这意味着f (t)所有频率分量都
在低通滤波器的通带内.
f (t)是周期信号,其高次谐波可表示为
12n.因此有 | | 100 |12n | 100
E f 2 (t)dt e2atdt 1
0
2a
从频域计算,因为该信号有
F ( ) 1 j a
根据Parseval定理
E 1
|F ( ) |2 d 1
0
0
2
1
a2
d
1
1
arctg( )
a
a 0 2a
f1(t)
f2 (t)
1
1
0
T
t
0
1 T
t
解 :由函数对称性可知 f (t) f1(t) f2 (t)
f (t)
2
1 T t
例题2 : 试求信号eatu(t)的能量,并确定
频率0 (弧度 / 秒),使得在0以下所有频谱
分量的能量贡献为信号总能量的95%.
解 :由定义,从时域中计算
G
(t )
Sa(
2
)
e a|t|
2a
a2 2
T1 (t) 1 ( n1) n
sgn( t) 2 cos0t [ ( 0) ( 0)] j sin 0t j[ ( 0) ( 0)]
非周期信号的FT的性质
n
f
(t
nT1)
上式表明： 若f(t)的频谱F(ω)被间隔为ω1的
冲激序列在频域中抽样，则在时域 中等效于f(t)以抽样间隔为周期而 平移。从而也就说明了“周期信号 的频谱是离散的”这一规律。
3.11 抽样定理
时域抽样定理 频域抽样定理
时域抽样定理
一个带限信号f(t),如果频谱|ω|≤ωm,则信 号f(t)可以唯一地由其均匀时间间隔 Ts≤1/(2fm)上的抽样值f(nTs)确定. 且抽样频率fs≥2fm(ωs≥2ωm). 而fs=2fm称为奈奎斯特(Nyquist)频率; Ts=1/(2fm)称为奈奎斯特间隔.
Pn
1 Ts
Ts
2 Ts
2
p(t)e jnst dt
E
Ts
Sa ns
2
Fs ()
E
Ts
n
Sa
ns
2
F (
ns )
上式表明:
信号在时域被抽样后,它的频谱Fs(ω)是连 续信号的频谱F(ω)以抽样频率ωs为间隔周 期地重复而得到的.在重复过程中,幅度被抽 样脉冲p(t)的傅立叶系数所加权,加权系数 取决于抽样脉冲序列的形状.
f (t)e jt dt
2
则Fn与F0 ()之间关系为:
Fn
1 T1
F0 ()
n1
1 [
T1
T1
2 T1
2
f (t)e jt dt]
n1
周期单位序列的傅里叶变换：
T1 (t) (t nT1) 1 ( n1)
n
尺度变换 : f (at) 1 F ( )
|a| a
时移 : f (t t0 ) F ( )e jt0 频移 : f (t)e j0t F ( 0 )
时域微分 : f (n) (t) ( j)n F () 频域微分 : ( jt)n f (t) F (n) ()
令周期信号周期为T1,
角频率为1.其傅里叶级数为
f (t) Fne jn1t n
FT[ f (t)] Fn FT[e jn1t ] n
2 Fn ( n1) n
小 1.由结一F:n些冲T1激1 组T2T121成f (离t)散e频jn谱1t d.t
Fn
1 T1
T1
2 T1
f (t)e jn1t dt
2
周期信号的FS与其单周期信号的FT之间的关系
Fn
1 T1
F0 ( )
n1
时域抽样信号的FT
Fs ( ) Pn F ( ns ) n
自然抽样 :
Fs ()
E
Ts
Sa n
n
p147 例3 10
3.10 抽样信号的傅里 叶变换
时域抽样 频域抽样
连续 信号
f(t)
抽样
抽样
信号 fs(t)