2020中考数学创新性应用题
中考数学创新性应用题1、近期，海峡两岸关系的气氛大为改善。
大陆相关部门于2005年8月1日起对原产台湾地区的15种水果实施进口零关税措施，扩大了台湾水果在大陆的销售。
某经销商销售了台湾水果凤梨，根据以往销售经验，每天的售价与销售量之间有如下关系：设当单价从50元/千克下调了x元时，销售量为y千克；（1）写出y与x间的函数关系式；（2）如果凤梨的进价是20元/千克，当该经销商把售价定为多少元时，他能获得日最大利润？（3）目前两岸还未直接通航，运输要绕行，需耗时一周（七天），凤梨最长的保存期为一个月（30天），若每天售价不低于30元/千克，问一次进货最多只能是多少千克？解：2、为了迎接2008年北京奥运会的到来，某足球协会举办了一次足球联赛，其记分规则及奖励方案如下表：当比赛进行到14轮结束（每队均需比赛14场）时，甲队积分28分，设甲队胜x场，平y场.⑴用x的代数式表示y；⑵判断甲队胜、平、负各几场？并说明理由；⑶若每赛一场，每名参赛队员均得出场费600元。
设甲队中一名参赛队员所得的奖金与出场费的和为W（元），试求出W的最大值和最小值。
解：3、一座拱桥的轮廓是抛物线型(如图10所示)，拱高6m，跨度20 m，相邻两支柱间的距离均为5 m.图10(1) 将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图11所示)，其表达式是c ax y +=2的形式.请根据所给的数据求出c a ,的值. (2) 求支柱MN 的长度.(3) 拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2 m 的隔离带)，其中的一条行车道能否并排行驶宽2 m 、高3 m 的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)？请说说你的理由.解：图113、随着温州经济的快速发展，温州已越来越吸引外来人员（新温州人）前来淘金创业，下列是市统计局公布的2004年，2006年新温州人相关的数据：2004年，2006年温州新温州人人数统计图 2006年新温州人的温从业情况统计图80.78%3%14.20%务工务农经商服务2006年新温州人在温的居住情况统计表居住场所租赁房屋暂住 单位内部宿舍 暂住当地居民家中工地现场旅店及其他场所 所占比例56.57% 32.53% 3.55% 2.14%5.21%请利用上述统计图表提供的信息回答下列问题:(1)从2004年到2006年温州的“新温州人”增加了多少万人? (2)2006年的“新温州人”中,经商的约为多少万人?(3)请结合2006年“新温州人”在温州的居住情况统计表,谈谈你的看法或建议.解：4、某商场正在热销2008年北京奥运会吉祥物“福娃”玩具和徽章两种奥运商品，根据下图提供的信息，求一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格各是多少元？ 解：共计145元共计280元5、本商店积压了100件某种商品，为使这批货物尽快出售，该商店采取了如下销售方案，先将价格提高到原来的2.5倍，再作三次降价处理；第一次降价30%标出了“亏本价”，第二次降价30%，标出“破产价”，第三次又降价30%,标出“跳楼价”，三次降价处理销售情况如右表。
问：（1）跳楼价占原价的百分比是多少？（2）该商品按新销售方案销售，相比原价全部售完，哪一种方案更盈利，请通过计算加以说明解：6、今年4月2日前,要求高收入的个人申报缴纳个人所得税.个人所得税实行累进税率，计算办法是用全月应纳税所得额分为几个级别，分别乘以累进税率，几个级别税额的总和就是该月应纳个人所得税额。
全月应纳税所得额是用全月收入总额减去免税额(税法规定为800元)个人所得税的税率分为9个级数，下表列举了前５个级数：（１）请将表中的4级表示的部分以及5级的税额补充完整;(2) 张华月收入2700元,那么他应缴纳的个人所得税为: 500×5％+(2700-800-500)×10％=165元;若王明的月收入为2400元,那么他应缴纳的个人所得税是多少元?(3) 若一个人缴纳的月个人所得税为3500元,那么这个人的月收入是多少元?解：7、姚明是我国著名的篮球运动员，他在2005－2006赛季NBA常规赛中表现非常优异．下面是他在这个赛季中，分期与“超音速队”和“快船队”各四场比赛中的技术统计．(1)请分别计算姚明在对阵“超音速”和“快船”两队的各四场比赛中，平均每场得多少分?(2)请你从得分的角度分析，姚明在与“超音速”和“快船”的比赛中，对阵哪一个队的发挥更稳定?(3)如果规定“综合得分”为：平均每场得分×l＋平均每场篮板×1.5十平均每场失误×(－1.5)，且综合得分越高表现越好，那么请你利用这种评价方法，来比较姚明在分别与“超音速”和“快船”的各四场比赛中，对阵哪一个队表现更好?解：8、某公司经营甲、乙两种商品，甲种商品每件进价为12万元，售价为14.5万元；乙种商品每件进价为8万元，售价为10万元，且它们的进价和售价始终不变。
现准备购进甲、乙两种商品共20件，所用进价成本y高于180万元，但不高于190万元。
（1）若设购进甲商品为x件，请补全下表（填在横线上）：（2）请根据题意，列出y关于x的关系式：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；（3）根据（2），试确定该公司有哪几种进货方案？设两种商品全部销出后获得的利润为w万元，问哪种方案可获得最大的利润？并求出w的最大值。
解：9、北京奥组委将分三个阶段向境内公众销售门票．2020年4月至9月为第一阶段，其核心销售政策是“公开认购、抽签确认”．4月15日至6月30日为申购期， 公众可以通过登录北京奥运会官方票务网站或提交纸质订单预订门票． 7至8月票务系统将对全部有效门票预订单进行统计并对申购数量大于售票数量的场次采用电脑抽签系统进行门票分配，一个程序，人民币5000元、3000元、1500元、800元和200元．已知境内可售开幕式门票有Ａ档2000张、Ｂ档4000张、Ｃ档8000张、Ｄ档10000张、Ｅ档16000张． 假设所有境内可售开幕式门票均由100个门票代售网点代售．某网点第一周内开幕式门票的销售情况如图．（1）第一周售出的门票票价的众数和中位数各是多少元?由此能反映什么问题?（2）假设每周所有网点售票情况大致相同．张老师申购了1张A 档门票，试问张老师是否需通过电脑抽签 才能分配到A 档门票?若需要，他分配到A 档门票的 概率大约是多少?(精确到1%)（3）在⑵的假设下，王老师打算下周申购1张B 档门票，他分配到B 档门票的可能性有多大? （4）你认为⑵、⑶的估计是否合理？为什么？档（元）第一周开幕式门票销售情况统计图 0246810 1250003000 1500 800 200解：10、小明家使用的是分时电表，按平时段（6：00－22：00）和谷时段（22：00－次日6：00）分别计费，平时段每度电价与谷时段每度电价是不同的。
小明将家里2006年1月至5月的平时段和谷时段的用电量分别用折线图表示（如下图），同时将前4个月的用电量和相应电费制成表格（如下表）根据上述信息，解答下列问题：(1) 平时段每度电元，谷时段每度电元(2)计算5月份的用电量和相应电费，将所得结果填入表中；(3)小明家这5个月的月平均用电量为度；(4)已知小明家7月份用电量为500度，相应电费为243元，请计算出7月份小明家平时段用电量和谷时段用电量.解：11、为鼓励居民节约用水和保护水资源，A 市城区从2006年3月1日起，对居民生活用水采取按月按户实行阶梯式计量水价收费，其收费标准是：第一阶梯水价为1.28元／3m ；第二阶梯水价为1.92元／3m ．⑴每户人口为4人（含4人）以内的，月用水量332m ≤执行第一阶用电量(度)月份5月4月3月2月1月梯水价，月用水量3>的部分32m．．执行第二阶梯水价．如果某户人口4人，3月份用水量330m，那么应交水费元；4月份用水量335m，那么应交水费元．⑵每户核定人数超过4人的，月用水量≤（38m⨯核定人数）执行第一阶梯水阶，月用水量>（38m⨯核定人数）的部分．．执行第二阶梯水价，若小江家人口有5人，设月用水量3mx，应交水费y元．①请你写出y与x的函数关系式；②若小江家某月交水费60.8元，则该月用水量是多少3m？解：2020年中考创新性应用题答案1、近期，海峡两岸关系的气氛大为改善。
大陆相关部门于2005年8月1日起对原产台湾地区的15种水果实施进口零关税措施，扩大了台湾水果在大陆的销售。
某经销商销售了台湾水果凤梨，根据以往销售经验，每天的售价与销售量之间有如下关系：设当单价从50元/千克下调了x 元时，销售量为y 千克； （1）写出y 与x 间的函数关系式；（2）如果凤梨的进价是20元/千克，当该经销商把售价定为多少元时，他能获得日最大利润？（3）目前两岸还未直接通航，运输要绕行，需耗时一周（七天），凤梨最长的保存期为一个月（30天），若每天售价不低于30元/千克，问一次进货最多只能是多少千克？ 解：（1）402y x =+（2）销售价定位30元/千克时，令日利润为W 元 W=（50-20-x ）（40+2x ）=-2x 2+20x+1200 当x=52ba-=时W 取最大值。
此时此时售价为50-5=45元（ 3）设一次进货最多m 千克 30780m ≤- 1840m ≤ ∴一次进货最多不能超过1840千克。
2、为了迎接2008年北京奥运会的到来，某足球协会举办了一次足球联赛，其记分规则及奖励方案如下表：当比赛进行到14轮结束（每队均需比赛14场）时，甲队积分28分，设甲队胜x 场，平y 场. ⑴用x 的代数式表示y ；⑵判断甲队胜、平、负各几场？并说明理由；图10⑶若每赛一场，每名参赛队员均得出场费600元。
设甲队中一名参赛队员所得的奖金与出场费的和为W （元），试求出W 的最大值和最小值。
解：（1）∵3x+y=28, ∴y=-3x+28(2) ∵ y=28-3x ≥0 ∴x ≤328∵ X+y=28-2x ≤14 ∴x ≥7 ∴整数x =7或8或9∴甲队胜，平，负的场数分别是：胜9场，平1场，负4场或胜8场，平4场，负2场 或胜7场，平7场，负0场。
（3）W=2600x+1600(28-3x)+600(2x-14)=-1000x+36400 当x =7时W 最大为29400元。
当x =9时W 最小为27400元。
3、一座拱桥的轮廓是抛物线型(如图10所示)，拱高6 m ，跨度20m ，相邻两支柱间的距离均为5 m .(1) 将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图11所示)，其表达式是c ax y +=2的形式.请根据所给的数据求出c a ,的值. (2) 求支柱MN 的长度.(3) 拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2 m 的隔离带)，其中的一条行车道能否并排行驶宽2 m 、高3 m 的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)？请说说你的理由.图11解：(1)根据题目条件，A 、B 、C(10,0). 将B 、C的坐标代入c ax y +=2，得⎩⎨⎧+==.1000,6c a c 50所以抛物线的表达式是65032+-=x y . (2) 可设N (5,N y )，于是5.4655032=+⨯-=N y . 从而支柱MN 的长度是5.55.410=-米.(3) 设DE 是隔离带的宽，EG 是三辆车的宽度和，则G 点坐标是(7,0)(7＝2÷2＋2×3).过G 点作GH 垂直AB 交抛物线于H ，则35013675032>+=+⨯-=Hy . 根据抛物线的特点，可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车.3、随着温州经济的快速发展，温州已越来越吸引外来人员（新温州人）前来淘金创业，下列是市统计局公布的2004年，2006年新温州人相关的数据：2004年，2006年温州新温州人人数统计图 2006年新温州人的温从业情况统计图图1180.78%3%14.20%务工务农经商服务2006年新温州人在温的居住情况统计表居住场所租赁房屋暂住 单位内部宿舍 暂住当地居民家中工地现场旅店及其他场所 所占比例56.57% 32.53% 3.55% 2.14%5.21%请利用上述统计图表提供的信息回答下列问题:(1)从2004年到2006年温州的“新温州人”增加了多少万人? (2)2006年的“新温州人”中,经商的约为多少万人?(3)请结合2006年“新温州人”在温州的居住情况统计表,谈谈你的看法或建议.解：（1）276-235=41万 ∴2004年到2006年新温州人增加41万人（2）3%276 =8.28 ∴经商的约为8.28万人 若答案写成8万也不扣分。
2020年中考总复习—经典应用题型汇总(含答案)经典应用题
1、某农作物的生长率p与温度t（℃）有如下关系：如图1，当10≤t≤25时可近似用函数p＝t﹣刻画；当25≤t≤37时可近似用函数p＝﹣（t﹣h）2+0.4刻画．（1）求h的值．（2）按照经验，该作物提前上市的天数m（天）与生长率p满足函数关系：①请运用已学的知识，求m关于p的函数表达式；②请用含t的代数式表示m．（3）天气寒冷，大棚加温可改变农作物生长速度．在（2）的条件下，原计划大棚恒温20℃时，每天的成本为200元，该作物30天后上市时，根据市场调查：每提前一天上市售出（一次售完），销售额可增加600元．因此给大棚继续加温，加温后每天成本w（元）与大棚温度t（℃）之间的关系如图2．问提前上市多少天时增加的利润最大？并求这个最大利润（农作物上市售出后大棚暂停使用）．2、某风景区内的公路如图1所示，景区内有免费的班车，从入口处出发，沿该公路开往草甸，途中停靠塔林（上下车时间忽略不计）.第一班车上午8点发车，以后每隔10分钟有一班车从入口处发车.小聪周末到该风景区游玩，上午7：40到达入口处，因还没到班车发车时间，于是从景区入口处出发，沿该公路步行25分钟后到达塔林。
离入口处的路程y（米）与时间x（分)的函数关系如图2所示.（1）求第一班车离入口处的路程y（米）与时间x（分）的函数表达式（2）求第一班车从人口处到达塔林所蓄的时间。
（3）小聪在塔林游玩40分钟后，想坐班车到草甸，则小聘最早能够坐上第几班车?如果他坐这班车到草甸，比他在塔林游玩结束后立即步行到草甸提早了几分钟?（假设每一班车速度均相同，小聪步行速度不变）3、甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，沿同一条公路相向行驶，相遇后，甲车继续以原速行驶到B地，乙车立即以原速原路返回到B地，甲、乙两车距B地的路程y（km）与各自行驶的时间x（h）之间的关系如图所示．⑴m=________，n=________；⑵求乙车距B地的路程y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；⑶当甲车到达B地时，求乙车距B地的路程4、某出租公司有若干辆同一型号的货车对外出租，每辆货车的日租金实行淡季、旺季两种价格标准，旺季每辆货车的日租金比淡季上涨．据统计，淡季该公司平均每天有10辆货车未出租，日租金总收入为1500元；旺季所有的货车每天能全部租出，日租金总收入为4000元．（1）该出租公司这批对外出租的货车共有多少辆？淡季每辆货车的日租金多少元？（2）经市场调查发现，在旺季如果每辆货车的日租金每上涨20元，每天租出去的货车就会减少1辆，不考虑其它因素，每辆货车的日租金上涨多少元时，该出租公司的日租金总收入最高？5、某工厂用50天时间生产一款新型节能产品，每天生产的该产品被某网店以每件80元的价格全部订购，在生产过程中，由于技术的不断更新，该产品第x天的生产成本y（元/件）与x（天）之间的关系如图所示，第x天该产品的生产量z（件）与x（天）满足关系式z＝﹣2x+120．（1）第40天，该厂生产该产品的利润是元；（2）设第x天该厂生产该产品的利润为w元．①求w与x之间的函数关系式，并指出第几天的利润最大，最大利润是多少？②在生产该产品的过程中，当天利润不低于2400元的共有多少天？6、快车从甲地驶向乙地，慢车从乙地驶向甲地，两车同时出发并且在同一条公路上匀速行驶，途中快车休息1.5小时，慢车没有休息．设慢车行驶的时间为x小时，快车行驶的路程为y1千米，慢车行驶的路程为y2千米．如图中折线OAEC表示y1与x之间的函数关系，线段OD表示y2与x之间的函数关系．请解答下列问题：（1）求快车和慢车的速度；（2）求图中线段EC所表示的y1与x之间的函数表达式；（3）线段OD与线段EC相交于点F，直接写出点F的坐标，并解释点F的实际意义．7、当今，越来越多的青少年在观看影片《流浪地球》后，更加喜欢同名科幻小说，该小说销量也急剧上升．书店为满足广大顾客需求，订购该科幻小说若干本，每本进价为20元．根据以往经验：当销售单价是25元时，每天的销售量是250本；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10本，书店要求每本书的利润不低于10元且不高于18元．（1）直接写出书店销售该科幻小说时每天的销售量y（本）与销售单价x（元）之间的函数关系式及自变量的取值范围．（2）书店决定每销售1本该科幻小说，就捐赠a（0＜a≤6）元给困难职工，每天扣除捐赠后可获得最大利润为1960元，求a的值．8、襄阳市某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜．某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查，这两种蔬菜的进价和售价如下表所示：（1）该超市购进甲种蔬菜10kg和乙种蔬菜5kg需要170元；购进甲种蔬菜6kg和乙种蔬菜10kg 需要200元．求m，n的值；（2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100kg进行销售，其中甲种蔬菜的数量不少于20kg，且不大于70kg．实际销售时，由于多种因素的影响，甲种蔬菜超过60kg的部分，当天需要打5折才能售完，乙种蔬菜能按售价卖完．求超市当天售完这两种蔬菜获得的利润额y（元）与购进甲种蔬菜的数量x（kg）之间的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）在（2）的条件下，超市在获得的利润额y（元）取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出2a元，乙种蔬菜每千克捐出a元给当地福利院，若要保证捐款后的盈利率不低于20%，求a的最大值．9、某商店销售一种商品，童威经市场调查发现：该商品的周销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w（元）的三组对应值如下表：注：周销售利润＝周销售量×（售价－进价）(1)①求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）②该商品进价是_________元/件；当售价是________元/件时，周销售利润最大，最大利润是__________元(2)由于某种原因，该商品进价提高了m元/件（m＞0），物价部门规定该商品售价不得超过65元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足(1)中的函数关系．若周销售最大利润是1400元，求m的值10、在综合与实践活动中，活动小组对学校400米的跑道进行规划设计，跑道由两段直道和两端是半圆弧的跑道组成．其中400米跑道最内圈为400米，两端半圆弧的半径为36米．（π取3.14）．（1）求400米跑道中一段直道的长度；（2）在活动中发现跑道周长（单位：米）随跑道宽度（距最内圈的距离，单位：米）的变化而变化．请完成下表：若设x表示跑道宽度（单位：米），y表示该跑道周长（单位：米），试写出y与x的函数关系式：（3）将446米的跑道周长作为400米跑道场地的最外沿，那么它与最内圈（跑道周长400米）形成的区域最多能铺设道宽为1.2米的跑道多少条？11、某校开展校园艺术节系列活动，派小明到文体超市购买若干个文具袋作为奖品．这种文具袋标价每个10元，请认真阅读结账时老板与小明的对话：（1）结合两人的对话内容，求小明原计划购买文具袋多少个？（2）学校决定，再次购买钢笔和签字笔共50支作为补充奖品，两次购买奖品总支出不超过400元．其中钢笔标价每支8元，签字笔标价每支6元，经过沟通，这次老板给予8折优惠，那么小明最多可购买钢笔多少支？12、某超市拟于中秋节前50天里销售某品牌月饼，其进价为18元/kg．设第x天的销售价格为y（元/kg），销售量为m（kg）．该超市根据以往的销售经验得出以下的销售规律：①当1≤x≤30时，y＝40；当31≤x≤50时，y与x满足一次函数关系，且当x＝36时，y＝37；x＝44时，y＝33．②m与x的关系为m＝5x+50．（1）当31≤x≤50时，y与x的关系式为；（2）x为多少时，当天的销售利润W（元）最大？最大利润为多少？（3）若超市希望第31天到第35天的日销售利润W（元）随x的增大而增大，则需要在当天销售价格的基础上涨a元/kg，求a的最小值．13、为拓展学生视野，促进书本知识与生活实践的深度融合，荆州市某中学组织八年级全体学生前往松滋洈水研学基地开展研学活动．在此次活动中，若每位老师带队14名学生，则还剩10名学生没老师带；若每位老师带队15名学生，就有一位老师少带6名学生，现有甲、乙两种大型客车，它们的载客量和租金如表所示：学校计划此次研学活动的租金总费用不超过3000元，为安全起见，每辆客车上至少要有2名老师．（1）参加此次研学活动的老师和学生各有多少人？（2）既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆车上至少要有2名老师，可知租车总辆数为辆；（3）学校共有几种租车方案？最少租车费用是多少？14、某县积极响应市政府加大产业扶贫力度的号召，决定成立草莓产销合作社，负责扶贫对象户种植草莓的技术指导和统一销售，所获利润年底分红．经市场调研发现，草莓销售单价y（万元）与产量x（吨）之间的关系如图所示（0≤x≤100）．已知草莓的产销投入总成本p（万元）与产量x（吨）之间满足p＝x+1．（1）直接写出草莓销售单价y（万元）与产量x（吨）之间的函数关系式；（2）求该合作社所获利润w（万元）与产量x（吨）之间的函数关系式；（3）为提高农民种植草莓的积极性，合作社决定按0.3万元/吨的标准奖励扶贫对象种植户，为确保合作社所获利润w′（万元）不低于55万元，产量至少要达到多少吨？15、如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别为O（0，0），A（12，0），B（8，6），C（0，6）．动点P从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿边OA向终点A 运动；动点Q从点B同时出发，以每秒2个单位长度的速度沿边BC向终点C运动．设运动的时间为t秒，PQ2＝y．（1）直接写出y关于t的函数解析式及t的取值范围：；（2）当PQ＝3时，求t的值；（3）连接OB交PQ于点D，若双曲线y＝（k≠0）经过点D，问k的值是否变化？若不变化，请求出k的值；若变化，请说明理由．16、甲、乙两台机器共同加工一批零件，一共用了6小时．在加工过程中乙机器因故障停止工作，排除故障后，乙机器提高了工作效率且保持不变，继续加工．甲机器在加工过程中工作效率保持不变．甲、乙两台机器加工零件的总数y（个）与甲加工时间x（h）之间的函数图象为折线OA﹣AB﹣BC，如图所示．（1）这批零件一共有个，甲机器每小时加工个零件，乙机器排除故障后每小时加工个零件；（2）当3≤x≤6时，求y与x之间的函数解析式；（3）在整个加工过程中，甲加工多长时间时，甲与乙加工的零件个数相等？17、为庆祝中华人民共和国七十周年华诞，某校举行书画大赛，准备购买甲、乙两种文具，奖励在活动中表现优秀的师生．已知购买2个甲种文具、1个乙种文具共需花费35元；购买1个甲种文具、3个乙种文具共需花费30元．（1）求购买一个甲种文具、一个乙种文具各需多少元？（2）若学校计划购买这两种文具共120个，投入资金不少于955元又不多于1000元，设购买甲种文具x个，求有多少种购买方案？（3）设学校投入资金W元，在（2）的条件下，哪种购买方案需要的资金最少？最少资金是多少元？18、小明放学后从学校回家，出发5分钟时，同桌小强发现小明的数学作业卷忘记拿了，立即拿着数学作业卷按照同样的路线去追赶小明，小强出发10分钟时，小明才想起没拿数学作业卷，马上以原速原路返回，在途中与小强相遇．两人离学校的路程y（米）与小强所用时间t（分钟）之间的函数图象如图所示．（1）求函数图象中a的值；（2）求小强的速度；（3）求线段AB的函数解析式，并写出自变量的取值范围．19、已知A.B两地之间有一条270千米的公路，甲、乙两车同时出发，甲车以每小时60千米/时的速度沿此公路从A地匀速开往B地，乙车从B地沿此公路匀速开往A地，两车分别到达目的地后停止。
2020年中考数学 中考专题训练——创新题型 (12)
中考数学创新题型复习指要新仟年伊始，伴随着新教材的推广使用，以新《课程标准》的颁布为标志，数学教育迎来了它的新时代。
新教材以培养学生的创新意识和创新精神为宗旨，要求学生要有探究、创新和实践的能力。
如何以新标准考察学生？各地的中考试题都作了大胆尝试，以下尝试对新试题的测试的改革思路做出分析，谨供考生参考。
一．开放题型的引入“开放型”试题是指试题的条件、结论、解题依据、和方法四个要素中缺少一个或两个要素的命题。
例如：1.同学们知道：只有两边和一角对应相等的两个三角形不一定全等，你如何处理和安排这三个条件，使这两个三角形全等。
请你模仿方案（1），写出方案（2）、（3）、（4）。
解：设有两边和一角对应相等的两个三角形，方案（1）：若这角的对边恰好是这两边中的大边，则这两个三角形全等。
方案（2）：方案（3）：方案（4）：2.请写出一个含1这个根且增根为2的分式方程。
3.已知：平面直角坐标系内，点P的纵坐标是横坐标的3倍，请写出过点P的一次函数解析式（至少三个）。
4.老师给出一个函数y=f(x)，甲、乙、丙、丁四位同学各指出这个函数的一个性质：甲：函数图象不经过第三象限；乙：函数图象经过第一象限；丙：当x<2时，y随x的增大而减小；丁：当x<2时，y>0。
已知这四位同学叙述都正确，请构造出满足上述所有性质的一个函数是。
5.在四边形ABCD中，给出下列条件：①AB∥CD，②AD=BC，③∠B=∠D，以其中两个作为题设，另一个作结论，用“如果……，那么……。
”的形式，写出一个真命题是。
6.小红同学编拟了这样一个数学命题：“如果在四边形ABCD中，AB=CD、AC=BD，那么四边形ABCD 一定是平行四边形”。
若你认为这个命题的结论成立，请予以证明；若这个命题的结论不一定成立，请画图举出反例予以说明。
二.归纳法的渗透利用归纳法，通过观察、猜想、推理，总结规律，得到结论，以考察学生的观察、创新能力。
2020年北京市中考二模数学试题分类汇编：创新题
1.（西城10）佩香囊是端午节传统习俗之一.香囊内通常填充一些中草药,有清香、驱虫、开窍的功 效.因地方习俗的差异,香囊常用丝布做成各种不同的形状,形形色色,玲珑夺目. 图1的▱ ABCD 由六个正三角形构成.将它沿虚线折起来,可得图2所示的六面 体形状的香囊.那么在图2这个六面体中,棱 AB 与 CD 所在直线的位置关系为( A)平行 ( B)相交 ( C)异面且垂直 ( D)异面且不垂直 答案B2．（海淀10）为了预防新型冠状病毒的传染，人员之间需要保持一米以上的安全距离.某公司会议室共有四行四列座椅，并且相邻两个座椅之间的距离超过一米，为了保证更加安全，公司规定在此会议室开会时，每一行、每一列均不能有连续三人就座.例如下图中第一列所示情况不满足条件（其中“√”表示就座人员）.根据该公司要求，该会议室最多可容纳的就座人数为（A ）9 （B ）10（C ）11（D ）12答案 C3.（东城10） 函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且它的最小正周期是T ，已知,[0,],4()=,(,],242⎧∈⎪⎪⎨⎪-∈⎪⎩T x x f x T T T x x ()()()g x f x a a R =+∈. 给出下列四个判断：①对于给定的正整数n ，存在∈a R ，使得1()()0ni i T i Tg f n n=⋅⋅=∑成立; ②当=4Ta 时，对于给定的正整数n ，存在(1)∈≠k k R ，使得1()()0ni i T i T g k f n n =⋅⋅=∑成立; ③当=4Ta k(∈k Z )时，函数()()g x f x +既有对称轴又有对称中心; ④当=4T a k (∈k Z )时，()()g x f x +的值只有0或4T.其中正确判断的有(A)1个(B)2个(C) 3个(D)4个 答案 C4.（密云10）10.已知函数()f x的定义域为，且满足下列三个条件： ①对任意的，且，都有；②； ③是偶函数；若，，(2020)c f =，则，，的大小关系正确的是 A ．a b c <<B ．C ．D ．答案 D5.（丰台10） 某中学举行了科学防疫知识竞赛.经过选拔，甲、乙、丙三位选手进入了的最后角逐.他们还将进行四场知识竞赛.规定：每场知识竞赛前三名的得分依次为,,(,a b c a b c >>且,,)N a b c *∈；选手总分为各场得分之和．四场比赛后，已知甲最后得分为16分，乙和丙最后得分都为8分，且乙只有一场比赛获得了第一名，则下列说法正确的是（A ）每场比赛的第一名得分a 为4 （B ）甲至少有一场比赛获得第二名 （C ）乙在四场比赛中没有获得过第二名 （D ）丙至少有一场比赛获得第三名答案C6.（昌平10）一次数学考试共有8道判断题，每道题5分，满分40分.规定正确的画√，错误的画╳.甲、乙、丙、丁四名同学的解答及得分情况如下表所示，则m 的值为（A ）35 （B ）30 （C ）25 （D ）20 答案B7.（昌平15）曲线C :3,点P 在曲线C 上．给出下列三个结论：①曲线C 关于y 轴对称；②曲线C 上的点的横坐标的取值范围是[2,2]-； ③若(1,0)A -,(1,0)B ，则存在点P ,使△PAB 的面积大于32. 其中，所有正确结论的序号是________． 答案①②8.（丰台15）已知集合{}22()|(cos )(sin )40P x y x y θθθ=-+-=≤≤π,,.由集合P 中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”. 给出下列结论： ① “水滴”图形与y 轴相交，最高点记为A ，则点A 的坐标为（0，1）； ②在集合P 中任取一点M ，则M 到原点的距离的最大值为3；③阴影部分与y 轴相交，最高点和最低点分别记为C ，D ，则3CD =+④白色“水滴”图形的面积是116π其中正确的有__________． 答案②③④9. （密云15） 已知集合22{,,A a a x y x y ==-∈∈Z Z}．给出如下四个结论： ①2A ∉，且3A ∈；②如果{|21,}B b b m m ==-∈N*，那么B A ⊆；③如果{|22,}C c c n n ==+∈N*，那么对于c C ∀∈，则有c A ∈； ④如果1a A ∈，2a A ∈，那么12a a A ∈． 其中，正确结论的序号是__________． 答案①②④10.（海淀15）已知函数1,0,()|ln |,0.ax x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩给出下列三个结论：①当2a =-时，函数()f x 的单调递减区间为(,1)-∞； ②若函数()f x 无最小值，则a 的取值范围为(0,)+∞；③若1a <且0a ≠，则b ∃∈R ，使得函数()y f x b =-恰有3个零点1x ,2x ,3x ，且1231x x x =-. 其中，所有正确结论的序号是_______.答案②③11.（东城15）配件厂计划为某项工程生产一种配件，这种配件每天的需求量是200件.由于生产这种配件时其他生产设备必须停机，并且每次生产时都需要花费5000元的准备费，所以需要周期性生产这种配件，即在一天内生产出这种配件，以满足从这天起连续n 天的需求，称n 为生产周期(假设这种配件每天产能可以足够大).配件的存储费为每件每天2元（当天生产出的配件不需要支付存储费，从第二天开始付存储费）.在长期的生产活动中，为使每个生产周期内每天平均的总费用最少，那么生产周期n 为_______. 答案 512.（西城15）已知函数 f ( x )的定义域为R,满足 f ( x +2) =2 f ( x ) ,且当 x ∈( 0, 2]时, ()23xf x =-. 有以下三个结论: ① f (-1)=12—② 当 11,42a ⎛⎤∈⎥⎝⎦时,方程 f ( x )= a 在区间[-4,4]上有三个不同的实根; ③ 函数 f ( x )有无穷多个零点,且存在一个零点 b ∈Z. 其中,所有正确结论的序号是 ______. 答案① ②13. （房山9）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是1C θo，空气的温度是0C θo，经过t 分钟后物体的温度C θo 可由公式010()ektθθθθ-=+-求得，其中k 是一个随着物体与空气的接触状况而定的大于0的常数．现有80C o 的物体，放在20C o 的空气中冷却，4分钟以后物体的温度是40C o ，则k 约等于（参考数据：ln3 1.099≈） （A ）0.6 （B ）0.5 （C ）0.4 （D ）0.3答案D14. （房山10）李明自主创业种植有机蔬菜，并且为甲、乙、丙、丁四家超市提供配送服务，甲、乙、丙、丁四家超市分别需要每隔2天、3天、5天、6天去配送一次．已知5月1日李明分别去了这四家超市配 送，那么整个5月他不用去配送的天数是 （A ）12 （B ）13 （C ）14 （D ）15答案B15. （房山15）对任意两实数a ，b ，定义运算“*”：22,,22,.a b a b a b b a a b -⎧*=⎨-<⎩≥给出下列三个结论：①存在实数a ，b ，c 使得a b b c c a *+**≥成立； ②函数()sin cos f x x x =*的值域为[0,2]； ③不等式2(1)1x x *-*≤的解集是[1,)+∞．答案 ①③16. （朝阳10）设函数()f x 的定义域为D ，如果对任意1∈x D ，都存在唯一的2∈x D ，使得12()()+=f x f x m （m为常数）成立，那么称函数()f x 在D 上具有性质ψm ．现有函数：①()3=f x x ；②()3=xf x ；③3()log =f x x ；④()tan =f x x ．其中，在其定义域上具有性质ψm 的函数的序号是 （A ）①③（B ）①④ （C ）②③（D ）②④ 答案A17. （朝阳15）颗粒物过滤效率η是衡量口罩防护效果的一个重要指标，计算公式为out inout100%C C C η-=⨯，其中outC 表示单位体积环境大气中含有的颗粒物数量（单位：ind./L ），in C 表示经口罩过滤后，单位体积气体中含有的颗粒物数量（单位：ind./L ）．某研究小组在相同的条件下，对两种不同类型口罩的颗粒物过滤效率分别进行了4次测试，测试结果如图所示．图中点i j A 的横坐标表示第i 种口罩第j 次测试时out C 的值，纵坐标表示第i 种口罩第j 次测试时in C 的值(1,2,1,2,3,4)==i j ．该研究小组得到以下结论：① 在第1种口罩的4次测试中，第4次测试时的颗粒物过滤效率最高； ② 在第2种口罩的4次测试中，第3次测试时的颗粒物过滤效率最高；③ 在每次测试中，第1种口罩的颗粒物过滤效率都比第2种口罩的颗粒物过滤效率高；④ 在第3次和第4次测试中，第1种口罩的颗粒物过滤效率都比第2种口罩的颗粒物过滤效率低． 其中，所有正确结论的序号是________．答案②④18.（丰台21）已知无穷集合,A B ,且,A B ⊆⊆N N ，记{},A B a b a A bB +=+∈∈，定义：满足*()A B ⊆+N 时，则称集合,A B 互为“完美加法补集”.（Ⅰ）已知集合{}21,,A a a m m ==+∈N {}2,B b b n n ==∈N .判断2019和2020是否属于集合A B +，并说明理由；（Ⅱ）设集合{}2422024222+2+2++2++2,0,1;0,1,,,N ,i s i s i A x x i s s εεεεεε==⨯⨯⨯⨯==∈L L L{}132121*132121212+2++2++2,0,11,,,N i s i s i B x x i s s εεεεε-----==⨯⨯⨯⨯==∈L L L ；.(ⅰ)求证：集合,A B 互为“完美加法补集”；（ⅱ）记()A n 和()B n 分别表示集合,A B 中不大于*()n n ∈N 的元素个数，写出满足()A n ()1B n n =+的元素n 的集合.（只需写出结果，不需要证明）答案：解: （Ⅰ）由21a m =+，2b n =得2)1a b m n +=++（是奇数， 当210091a =⨯+，20=0b =⨯时，2019a b +=，所以2019A B ∈+，2020A B ∉+. ………4分（Ⅱ）(ⅰ)首先证明：对于任意自然数p 可表示为唯一一数组012i k εεεεε（，，，，，，）L L ，其中0101i i k k ε==∈N ,;,,,,L ， （第15题图）使得1210121+2+2++2+2++20101i i k i i k i p i k k εεεεεεε++=⨯⨯⨯⨯⨯==∈N ,;,,,,，L L L ，由于12112101210+2+2++2+2++22+2++2++221ii k i k k i i k εεεεεε+++≤⨯⨯⨯⨯⨯≤=-L L L L这种形式的自然数p 至多有12k +个，且最大数不超过121k +-.由0101i i k k ε==∈N ,;,,,,L ，每个i ε都有两种可能， 所以这种形式的自然数p 共有1122222k k ++⨯⨯⨯=L 14444244443个个结果.下证1210121+2+2++2+2++2i i k i i k p εεεεεε++=⨯⨯⨯⨯⨯L L 121121+2+2++2+2++2ii k i i kεεεεεε++''''''=⨯⨯⨯⨯⨯L L 其中010101i i i k k εε===∈'N ,；,；,,,,L ，则i i εε'= 假设存在i i εε'≠中，取i 最大数为j ，则12112101210121(+2+2++2+2++2)+2+2++2+2++2()i i k i i k i i k i i k εεεεεεεεεεεε++++''''''⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯-L L L L1001111001111110111111=()+()2++()2()2()+()2++()2()2(+2++2))2(122)1j j j i j j j j j jj j j j j j j εεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεε-------'''--⨯-⨯''''≥-⨯---⨯-⨯''''≥-⨯---⨯-⨯≥-+++=L L L L所以01≥ 不可能.综上，任意正整数p 可唯一表示为1210121+2+2++2+2++2i i k i i k p εεεεεε++=⨯⨯⨯⨯⨯L L 2130213(+2)(2+2+)εεεε=⨯++⨯⨯L L显然2130213(+2)(2+2+)A B εεεε⨯+∈⨯⨯∈,L L ，满足*()A B ⊆+N ，所以集合,A B 互为“完美加法补集”. ………11分（ⅱ）{}*21k n n k =-∈N ,. ………14分19（密云21）设n 为正整数，集合A =12{|(,,,),{0,1},1,2,,}n k t t t t k n αα=∈=L L ．对于集合A 中的任意元素12(,,,)n x x x α=L 和12(,,,)n y y y β=L ，记111122221(,)[(||)(||)(||)]2n n n n M x y x y x y x y x y x y αβ=+-++-+++-+++L ．（Ⅰ）当n =3时，若(0,1,1)α=，(0,0,1)β=，求(,)M αα和(,)M αβ的值； （Ⅱ）当4n =时，对于A 中的任意两个不同的元素,αβ，证明：(,)(,)(,)M M M αβααββ+≤．（Ⅲ）给定不小于2的正整数n ，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意两个不同元素α,β，(,)(,)(,)M M M αβααββ=+．写出一个集合B ，使其元素个数最多，并说明理由．答案：（Ⅰ）解：因为(0,1,1)α=，(0,0,1)β=，所以1(,)[(00|00|)(11|11|)(11|11|)]22M αα=++-+++-+++-=，1(,)[(00|00|)(10|10|)(11|11|)]22M αβ=++-+++-+++-=．（Ⅱ）证明：当4n =时，对于A 中的任意两个不同的元素,αβ，设12341234(,,,)(,,,)x x x x y y y y αβ==，，有12341234(,)(,)M x x x x M y y y y ααββ=+++=+++，．对于任意的,i i x y ，1,2,3,4i =，当i i x y ≥时，有11(||)[()]22i i i i i i i i i x y x y x y x y x ++-=++-=， 当i i x y ≤时，有11(||)[()]22i i i i i i i i i x y x y x y x y y ++-=+--=． 即1(||)max{,}2i i i i i i x y x y x y ++-=． 所以，有11223344(,)max{,}max{,}max{,}max{,}M x y x y x y x y αβ=+++． 又因为,{0,1}i i x y ∈，所以max{,}i i i i x y x y ≤+，1,2,3,4i =，当且仅当0i i x y =时等号成立． 所以，11223344max{,}max{,}max{,}max{,}x y x y x y x y +++11223344()()()()x y x y x y x y ≤+++++++ 12341234()()x x x x y y y y =+++++++， 即(,)(,)(,)M M M αβααββ≤+，当且仅当0i i x y =（1,2,3,4i =）时等号成立．（Ⅲ）解：由（Ⅱ）问，可证，对于任意的123123(,,,,)(,,,,)n n x x x x y y y y αβ==L L ，，若(,)(,)(,)M M M αβααββ=+，则0i i x y =，1,2,3,,i n =L 成立． 所以，考虑设012312{(,,,,)|,0}n n A x x x x x x x =====L L ， 11231{(,,,,)|1,{0,1},2,3,,}n i A x x x x x x i n ==∈=L L ，对于任意的2,3,,k n =L ，123123121{(,,,,)|(,,,,),0,1}k n n k k A x x x x x x x x A x x x x -=∈=====L L L ．所以01n A A A A =U UL U ．假设满足条件的集合B 中元素个数不少于2n +， 则至少存在两个元素在某个集合k A （1,2,,1k n =-L ）中， 不妨设为123123(,,,,)(,,,,)n n x x x x y y y y αβ==L L ，，则1k k x y ==． 与假设矛盾，所以满足条件的集合B 中元素个数不多于1n +． 取0(0,0,0)e =L ；对于1,2,,1k n =-L ，取123(,,,,)k n k e x x x x A =∈L ，且10k n x x +===L ；n n e A ∈． 令01{,,,}n B e e e =L ，则集合B 满足条件，且元素个数为1n +．故B 是一个满足条件且元素个数最多的集合．20.（西城21）答案解：（Ⅰ）存在表1，使得,100i j b i j =--；不存在表1，使得,i j b 等于2j i -+. ……… 3分 （Ⅱ）因为对于任意的1,2,,391,2,,20i j ==L L ；，都有,1,1i j i j b b +-≥， 所以1,202,201b b -≥，2,203,201b b -≥，L ，39,2040,201b b -≥， 所以1,202,202,203,2039,2040,20(39b b b b b b ---L )+()++()≥，即1,2040,203940b b +=≥. ……………… 6分 又因为对于1,2,,401,2,,19m n ==L L ；，都有,,12m n m n b n +-≥， 所以1,11,22b b -≥，1,21,32b b -≥，L ，1,191,202b b -≥， 所以1,11,21,21,31,191,20(38b b b b b b ---L )+()++()≥， 所以1,11,2038403878b b ++=≥≥.即1,178b ≥. ……………… 8分 （Ⅲ）当表1如下图时：其中，每行恰好有1个0和19个1；每列恰好有2个0和38个1；因此每行的和均为19. 符合题意. 重新排序后，对应表2中，前38行中每行各数均为1，每行的和均为20；后2行各数均为0，因此39k ≥. ……………… 10分以下先证：对于任意满足条件的表1，在表2的前39行中，至少包含原表1中某一行（设为第r 行）的全部实数（即包含,1,2,20,,,r r r a a a L ）.假设表2的前39行中，不能包含原表1中任一行的全部实数. 则表2的前39行中至多含有表1中的4019760⨯=个数， 这与表2中前39行中共有3920780⨯=个数矛盾.所以表2的前39行中，至少包含原表1中某一行（设为第r 行）的全部实数.……………… 12分其次，在表2中，根据重排规则得：当39i ≥时，,39,,i j j r j b b a ≤≤1,2,20j =L （，）， 所以,1,2,20,1,2,2019i i i r r r a b b b a a ++++++L L ≤≤. 所以39k ≤.综上，39k =. ……………… 14分21. （海淀21）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点.对任意的点(,)P x y ，定义||||||||OP x y =+. 任取点1122(,),(,)A x y B x y ，记1221'(,),'(,)A x y B x y ，若此时2222||||||||||'||||'||OA OB OA OB +≥+ 成立，则称点,A B 相关.（Ⅰ）分别判断下面各组中两点是否相关，并说明理由；①(2,1),(3,2)A B -； ②(4,3),C -(2,4)D .（Ⅱ）给定*n ∈N ，3n ≥，点集{(,)|,,,}n x y n x n n y n x y Ω=-≤≤-≤≤∈Z .(ⅰ)求集合n Ω中与点(1,1)A 相关的点的个数；(ⅱ)若n S ⊆Ω，且对于任意的,A B S ∈，点,A B 相关，求S 中元素个数的最大值.答案解：（Ⅰ）①由题知'(2,2),'(3,1)A B -，进而有2222||||||||(2+1)(32)34OA OB +=++=， 2222||'||||'||(2+2)(31)32OA OB +=++=， 所以2222||||||||||'||||'||OA OB OA OB +≥+. 所以,A B 两点相关；②由题知'(4,4),'(2,3)C D -，进而有2222||||||||=4+3)(24)85OC OD +++=（， 2222||'||||'||4+4)(23)89OC OD +=++=（， 所以2222||||||||||'||||'||OC OD OC OD +<+， 所以,C D 两点不相关.（Ⅱ）(ⅰ)设(1,1)A 的相关点为(,)B x y ，,x y ∈Z ，,n x n n y n -≤≤-≤≤,由题意，'(1,)A y ，'(,1)B x .因为点,A B 相关，则222242||||12||12||x y x y y y x x +++≥+++++. 所以||||||||10x y x y --+≥. 所以(||1)(||1)0x y --≥. 当0x =时,{}||0,1y ∈,则(1,1)A 相关点的个数共3个;当||1x =时,则(1,1)A 相关点的个数共42n +个;当||2x ≥时,||1y ≥，则(1,1)A 相关点的个数共4(1)n n -个. 所以满足条件点B 共有24(1)42345n n n n -+++=+(个). (ⅱ)集合S 中元素个数的最大值为81n -.{(0,0),(0,1),(1,1),(1,),(2,),,(,)}S n n n n =±±±±±±±±±L L 符合题意下证：集合S 中元素个数不超过81n -. 设1122(,),(,)A x y B x y ，若点,A B 相关，则2222111122222||||2||||x y x y x y x y +++++2222121221212||||2||||x y x y x y x y ≥+++++.则11221221||||||||x y x y x y x y +≥+. 所以1212(||||)(||||)0x x y y --≥.设集合S 中共有m 个元素，分别为(,)i i i A x y ，1i m ≤≤，*i N ∈， 不妨设12||||||m x x x ≤≤L ，而且满足当1||||i i x x +=，1||||i i y y +≤. 下证：12||||||m y y y ≤≤≤L . 若1||||i i x x +=，1||||i i y y +≤. 若1||||i i x x +<，则必有1||||i i y y +≤.记，11||||||||i i i i i d x y x y ++=+--，11i m ≤≤-，*i ∈N ， 显然，数列{}i d 至多连续3项为0，必有1231i i i i d d d d ++++++≥， 假设81m n >-，则1281123481()21n n d d d d d d d d n --+++=+++++≥-L L . 而12818181||||||||21n n n d d d x x y y n -+++=-+-≥-L , 因此，必有10x =或10y =.可得，12,d d 不可能同时为0，则121d d +≥.所以1281123481()()2n n d d d d d d d d n --+++=+++++≥L L . 必有88||||n n x y n ==，110x y ==. 所以，11d =，230d d ==.因此22||||1x y +=，33||||1x y +=，44||||1x y +=. 若2||1x =，则234,,{(1,0),(1,0)}A A A ∈-，矛盾. 同理，2||1y =，矛盾. 因此，假设不成立. 所以81m n ≤-.所以集合S 中元素个数的最大值为81n -.22.（昌平21）已知有限数列{}n a ，从数列{}n a 中选取第1i 项、第2i 项、⋯、第m i 项12()m i i i <<⋯<，顺次排列构成数列{}k b ，其中k k i b a =，1k m ≤≤，则称新数列{}k b 为{}n a 的长度为m 的子列．规定：数列{}n a 的任意一项都是{}n a的长度为1的子列．若数列{}n a 的每一子列的所有项的和都不相同，则称数列{}n a 为完全数列．设数列{}n a 满足,125,n a n n n =≤≤∈*N .（Ⅰ）判断下面数列{}n a 的两个子列是否为完全数列，并说明由； 数列⑴：3,5,7,9,11；数列⑵：2,4,8,16．（Ⅱ）数列{}n a 的子列{}k b 长度为m ，且{}k b 为完全数列，证明：m 的最大值为6；（Ⅲ）数列{}n a 的子列{}k b 长度5m =，且{}k b 为完全数列，求1234511111b b b b b ++++的最大值．18.（东城21）设数列：12n A a a a ：，，，L ，12n B b b b ：，，，L .已知{}01i j a b ∈，，（,,,;,,,i n j n ==L L 1212），定义n n ⨯数表111212122212()n n n n nn x x x x x x X A B x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭，L LM M M M L ，其中10i j ij i j a b x a b =⎧=⎨≠⎩，，（Ⅰ）若:1,1,1,0A ，:0,1,0,0B ，写出()X A B ，;（Ⅱ）若A B ，是不同的数列，求证：n n ⨯数表()X A B ，满足“=ij ji x x （,,,;,,,;1212==≠L L i n j n i j ）”的充分必要条件为“1(1,2,,)+==k k a b k n L ”;（Ⅲ）若数列A 与B 中的1共有n 个, 求证：n n ⨯数表()X A B ，中1的个数不大于22n .答案解：（Ⅰ）数列⑴不是{}n a 的完全数列；数列⑵是{}n a 的完全数列． …………….2分 理由如下：数列⑴：3,5,7,9,11中，因为3+9=5+7=12，所以数列⑴不是{}n a 的完全数列； 数列⑵：2,4,8,16中，所有项的和都不相等，数列⑵是{}n a 的完全数列．….4分（Ⅱ）假设数列{}k b 长度为7m ≥，不妨设7m =，各项为1237b b b b <<<<L ．考虑数列{}k b 的长度为2,3,,7L 的所有子列，一共有7217120--=个．记数列{}k b 的长度为2,3,,7L 的所有子列中，各个子列的所有项之和的最小值为a ，最大值为A . 所以12a b b =+，12122524232221115A b b b b =++++++=++． 所以其中必有两个子列的所有项之和相同．所以假设不成立． 再考虑长度为6的子列：12，18，21，23，24，25，满足题意.所以子列{}k b 的最大长度为6． …………….9分 （Ⅲ）数列{}n a 的子列{}k b 长度5m =，且{}k b 为完全数列，且各项为1235b b b b <<<<L ．所以，由题意得，这5项中任意i (15)i ≤≤项之和不小于21i -． 即对于任意的15i ≤≤，有1221i i b b b +++-L ≥，即1121242i i b b b -+++++++L L ≥.对于任意的15i ≤≤， 112(1)(2)(20i i b b b --+-++L -)≥，设12i i i c b -=-（(1,2,3,4,5)i =），则数列{}i c 的前j 项和0j D ≥(1,2,3,4,5)j =．下面证明：12345111111111124816b b b b b ++++++++≤． 因为123451111111111)(24816b b b b b ++++-++++() 12345111111111(1)()()()(24816b b b b b =-+-+-+-+-) 351241234541612824816b b b b b b b b b b -----=++++3243541211234524816D D D D D D D D D b b b b b ----=++++5123412233445511111111()()()()022********D D D D D b b b b b b b b b =-+-+-+-+≥， 所以123451111111113112481616b b b b b ++++++++=≤，当且仅当 12i i b -=(1,2,3,4,5)i =时，等号成立．所以1234511111b b b b b ++++的最大值为3116． …………….14分23.（房山21）知集合P 的元素个数为3n ()n ∈*N 且元素均为正整数，若能够将集合P 分成元素个数相同且两两没有公共元素的三个集合A ，B ，C ，即P A B C =U U ，A B =∅I ，A C =∅I ，B C =∅I ，其中12{,,,}n A a a a =L ，12{,,,}n B b b b =L ，12{,,,}n C c c c =L ，且满足12n c c c <<<L ，k k k a b c +=，1,2,,k n =L ，则称集合P 为“完美集合”．（Ⅰ）若集合{1,2,3}P =，{1,2,3,4,5,6}Q =，判断集合P 和集合Q 是否为“完美集合”？并说明理由；（Ⅱ）已知集合{1,,3,4,5,6}P x =为“完美集合”，求正整数x 的值；（Ⅲ）设集合{|13,}P x x n n =∈*N ≤≤，证明：集合P 为“完美集合”的一个必要条件是4n k =或41n k =+()n ∈*N ． 答案（Ⅰ）将P 分为集合{1},{2},{3}满足条件，是完美集合．将Q 分成3个，每个中有两个元素，若为完美集合，则111a b c +=，222a b c +=Q 中所有元素之和为21，1221210.510.5c c ÷==+=，不符合要求；（Ⅱ）若集合{1,4}A =，{3,5}B =，根据完美集合的概念知集合{6,7}C =，若集合{1,5}A =，{3,6}B =，根据完美集合的概念知集合{4,11}C =， 若集合{1,3}A =，{4,6}B =，根据完美集合的概念知集合{5,9}C =，故x 的一个可能值为7,9,11中任一个； （Ⅲ）证明：P 中所有元素之和为 3(31)1232n n n ++++=L 111222n n n a b c a b c a b c =++++++++L1212()n n c c c c -=++++L∵3n c n =∴1213(31)34n n n c c c n -+=++++L ∴1219(1)4n n n c c c --=+++L ，等号右边为正整数，则等式左边9(1)n n -可以被4整除， ∴4n k =或14n k -=()n ∈*N ，即4n k =或41n k =+()n ∈*N ．24. （朝阳21）设集合1234{,,,}=A a a a a ，其中1a ，2a ，3a ，4a 是正整数，记1234=+++A S a a a a ．对于i a ，∈j a A(14)≤<≤i j ，若存在整数k ，满足()+=i j A k a a S ，则称+i j a a 整除A S ，设A n 是满足+i j a a 整除A S 的数对(,)(<)i j i j 的个数．（Ⅰ）若{1,2,4,8}=A ，{1,5,7,11}=B ，写出A n ，B n 的值； （Ⅱ）求A n 的最大值；（Ⅲ）设A 中最小的元素为a ，求使得A n 取到最大值时的所有集合A ． 答案解：（Ⅰ）2=A n ；4=B n ．……………4分 （Ⅱ）不妨设12340<<<<a a a a ．因为1234243411()22=+++<+<+<A A S a a a a a a a a S ，所以24+a a ，34+a a 不能整除A S ． 因为(,)i j 最多有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)六种情况，而(2,4)，(3,4)不满足题意，所以624≤-=A n ．当{1,5,7,11}=A 时，4=A n ，所以A n 的最大值为4．……………9分 （Ⅲ）假设12340<=<<<a a a a a ．由（Ⅱ）可知，当A n 取到最大值4时，12+a a ，13+a a ，14+a a ，23+a a 均能整除A S ． 因为14231max{,}2≤++<A A S a a a a S ，故14231=max{,}2++A S a a a a ， 所以1423+=+a a a a ．设12=+u a a ，13=+v a a ，则u ，v 是2312()2(2)=+=+-A S a a u v a 的因数， 所以v 是12(2)-u a 的因数，且u 是12(2)-v a 的因数． 因为<u v ，所以12(2)22-<<u a u v ， 因为v 是12(2)-u a 的因数，所以124=-v u a ．因为u 是112(2)412-=-v a u a 的因数，所以u 是112a 的因数．因为124<=-u v u a ，所以14>u a ，所以166u a a ==，或11212u a a ==． 故1111{,5,7,11}=A a a a a ，或1111{,11,19,29}=A a a a a ．所以当A n 取到最大值4时，{,5,7,11}=A a a a a ，或{,11,19,29}=A a a a a ．……………14分。
2020中考数学 应用题专项训练(含答案)
2020中考数学应用题专项训练（含答案）例题1.（1）某超市销售某种玩具，进货价为20元．根据市场调查：在一段时间内，销售单价是30元时，销售量是400件，而销售单价每上涨1元，就会少售出10件玩具，超市要完成不少于300件的销售任务，又要获得最大利润，则销售单价应定为_______元，最大利润为______元．（2）根据统计经验，若某工厂以x千克/小时的效率生产某种产品（由于生产条件限制，110x≤≤），则每小时可获得的利润是310051xx⎛⎫+-⎪⎝⎭元．如果接到一笔900千克的订单，要使得此笔订单获得的利润最大，则应该以______________千克/小时的效率生产．（3）某电商销售一款夏季时装，进价40元/件，售价110元/件，每天销售20件，每销售一件需缴纳电商平台推广费用a元（0a>）．未来30天，这款时装将开展“每天降价1元”的夏令促销活动，即从第1天起每天的单价均比前一天降1元．通过市场调研发现，该时装单价每降1元，每天销量增加4件．在这30天内，要使每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t（t为正整数）的增大而增大，a的取值范围应为______________．【答案】（1）40，6000；（2）6；（3）06a<<．例题2. 为推进节能减排，发展低碳经济，深化“宜居成都”的建设，我市某“用电大户”用480万元购得“变频调速技术”后，进一步投入资金1520万元购买配套设备，以提高用电效率达到节约用电的目的．已知该“用电大户”生产的产品“草甘磷”每件成本费为40元．经过市场调研发现：该产品的销售单价，需定在100元到300元之间较为合理．当销售单价定为100元时，年销售量为20万件；当销售单价超过100元，但不超过200元时，每件新产品的销售价格每增加10元，年销售量将减少0.8万件；当销售单价超过200元，但不超过300元时，每件产品的销售价格在200元的基础上每增加10元，年销售量将减少1万件．设销售单价为x元，年销售量为y万件，年获利为w万元．（年获利=年销售额-生产成本-节电投资）（1）直接写出y与x间的函数关系式；（2）求第一年的年获利w与x函数关系式，并说明投资的第一年，该“用电大户”是盈利还是亏损？若盈利，最大利润是多少？若亏损，最少亏损是多少？（3）若该“用电大户”把“草甘磷”的销售单价定在超过100元，但不超过200元的范围内，并希望到第二年底，除去第一年的最大盈利（或最小亏损）后，两年的总盈利为1842万元，请你确定此时销售单价．在此情况下，要使产品销售量最大，销售单价应定为多少元？【答案】（1）当100200x <≤，100200.810x y -=-⨯，∴22825y x =-+， 当200300x <≤，把200x =代入22825y x =-+，得：12y =，∴20012110x y -=-⨯，13210y x =-+；（2）当100200x <≤时，(40)(1520480)w x y =--+2(40)28200025x x ⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭221563120255x x =-+-22(195)7825x =---当195x =，=78w -最大当200300x <≤时，(40)(1520480)w x y =--+1(40)32200010x x ⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭2136328010x x =-+-21(180)4010x =---， ∵2025-<，∴当在200300x <≤时，y 随x 的增大而减小，∴80w <-，∴是亏损的，最少亏损为78万元． （3）依题意可知，当100200x <≤时，第二年w 与x 关系为2(40)287825w x x ⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭当总利润刚好为1842万元时，依题意可得2(40)2878184225x x ⎛⎫--+-= ⎪⎝⎭整理，得2390380000x x -+=，解得，1190x =，2200x =∴要使两年的总盈利为1842万元，销售单价可定为190元或200元．∵对22825y x =-+，y 随x 增大而减小∴使销售量最大的销售单价应定为190元．例题3. 九（1）班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x （190x ≤≤）天的售价与销量的相关信息如下表：时间x （天）150x ≤< 5090x ≤≤ 售价（元/件） 40x +90每天销量（件）2002x -已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y 元．（1）求出y 与x 的函数关系式；（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？请直接写出结果． 【答案】（1）当150x ≤＜时，2(2002)(4030)21802000y x x x x =-+-=-++， 当5090x ≤≤时，(2002)(9030)12012000y x x =--=-+，综上所述：221802000(150)12012000(5090)x x x y x x ⎧-++≤<⎨-+≤≤⎩；（2）当150x ≤<时，二次函数开口向下，二次函数对称轴为45x =，当45x =时，22451804520006050y =-⨯+⨯+=最大， 当5090x ≤≤时，y 随x 的增大而减小， 当50x =时，6000y =最大，综上所述，该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元； （3）当150x ≤<时，2218020004800y x x =-++≥，解得2070x ≤≤， 因此利润不低于4800元的天数是2050x ≤＜，共30天； 当5090x ≤≤时，120120004800y x =-+≥，解得60x ≤， 因此利润不低于4800元的天数是5060x ≤≤，共11天，所以该商品在销售过程中，共41天每天销售利润不低于4800元．例题4. 某店因为经营不善欠下38400元的无息贷款的债务，想转行经营服装专卖店又缺少资金．“中国梦想秀”栏目组决定借给该店30000元资金，并约定利用经营的利润偿还债务（所有债务均不计利息）．已知该店代理的品牌服装的进价为每件40元，该品牌服装日销售量y （件）与销售价x （元/件）之间的关系可用图中的一条折线（实线）来表示．该店应支付员工的工资为每人每天82元，每天还应支付其它费用为106元（不包含债务）． （1）求日销售量y （件）与销售价x （元/件）之间的函数关系式；（2）若该店暂不考虑偿还债务，当某天的销售价为48元/件时，当天正好收支平衡（收人=支出），求该店员工的人数； （3）若该店只有2名员工，则该店最早需要多少天能还清所有债务，此时每件服装的价格应定为多少元？ 【答案】（1）当4058x ≤≤时，设y 与x 的函数解析式为11y k x b =+，由图象可得 111140605824k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得112140k b =-⎧⎨=⎩．)件∴2140y x =-+．当5871x <≤时，设y 与x 的函数解析式为22y k x b =+，由图象得 222258247111k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得22182k b =-⎧⎨=⎩，∴82y x =-+，综上所述：2140(4058)82(5871)x x y x x -+≤≤⎧=⎨-+<≤⎩；（2）设人数为a ，当48x =时，24814044y =-⨯+=， ∴(4840)4410682a -⨯=+，解得3a =；（3）设需要b 天，该店还清所有债务， 则：[(40)822106]68400b x y -⋅-⨯-≥，∴68400(40)822106b x y ≥-⋅-⨯-，当4058x ≤≤时，∴26840068400(40)(2140)27022205870b x x x x ≥=--+--+-， 220552(2)x =-=⨯-时，222205870x x -+-的最大值为180，∴68400180b ≥，即380b ≥；当5871x <≤时，26840068400(40)(82)2701223550b x x x x ≥=--+--+-， 当122611(1)x =-=⨯-时，21223550x x -+-的最大值为171，∴68400171b ≥，即400b ≥．综合两种情形得380b ≥，即该店最早需要380天能还清所有债务，此时每件服装的价格应定为55元．例题5. 某服装经销商甲库存有进价每套400元的A 品牌服装1200套，正常销售时每套600元，每月可卖出100套，一年刚好卖完，现市场上流行B 品牌服装，此品牌服装进价每套200元，售出每套500元，每月可卖出120套（两种服装的市场行情相互不受影响），目前有一可进B 品牌服装的机会，若这一机会错过，估计一年内进不到这种服装，可是经销商手头无流动资金可用，只有折价转让A 品牌服装，经与销售商乙协商，达成协议，转让方案一：不转让A 品牌服装，也不经销B 品牌服装； 方案二：全部转让A 品牌服装，用转让得来的资金一次性购入B 品牌服装，经销B 品牌服装； 方案三：为谋求更高利润，部分转让A 品牌服装，用转让来的资金一次性购入B 品牌服装后，经销B 品牌服装，同时也经销A 品牌服装．（1）如经锁商甲选择方案一，则他在一年内能获得多少利润？ （2）如经销商甲选择方案二，则他在一年内能获得多少利润？（3）经锁商甲选择哪种方案可以使自己在一年内获得最大利润？并求出此时他转让经销商乙的A 品牌服装的数量是多少？此时他在这一年内共得利润多少元？ 【答案】（1）方案一得1200(600200)240000⨯-=（元）；（2）方案二得12002401200(240400)(500200)240000200⨯⨯-+⨯-=（元）； （3）设转让数量为x 件，转让价格为y ，有表格关系得：136010y x =-+，则总利润(400)(500200)(1200)(600400)200xyz x y x =-+⨯-+-⨯-2211300240000(600)33000044x x x =-++=--+则转让600件时，利润最大为330000元.例题6. 某公司经营杨梅业务，以3万元/吨的价格向农户收购杨梅后，分拣成A 、B 两类，A类杨梅包装后直接销售；B 类杨梅深加工后再销售．A 类杨梅的包装成本为1万元/吨，根据市场调查，它的平均销售价格y （单位：万元/吨）与销售数量(2)x x ≥之间的函数关系如图；B 类杨梅深加工总费用s （单位：万元）与加工数量t （单位：吨）之间的函数关系是123s t =+，平均销售价格为9万元/吨．（1）直接写出A 类杨梅平均销售价格y 与销售量x 之间的函数关系式；（2）第一次，该公司收购了20吨杨梅，其中A 类杨梅有x 吨，经营这批杨梅所获得的毛利润为w 万元（毛利润=销售总收入-经营总成本）． ①求w 关于x 的函数关系式；②若该公司获得了30万元毛利润，问：用于直销的A 类杨梅有多少吨？ （3）第二次，该公司准备投入132万元资金，请设计一种经营方案，使公司获得最大毛利润，并求出最大毛利润．【答案】 （1）①当28x ≤<时，如图， 设直线AB 解析式为：y kx b =+，将(2,12)A 、(8,6)B 代入得：21286k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得114k b =-⎧⎨=⎩， ∴14y x =-+；②当8x ≥时，6y =．所以A 类杨梅平均销售价格y 与销售量x 之间的函数关系式为： 14(28)6(8)x x y x -+≤<⎧=⎨≥⎩；（2）设销售A 类杨梅x 吨，则销售B 类杨梅(20)x -吨．①当28x ≤<时，2(14)13A w x x x x x =-+-=-+； 9(20)[123(20)]1086B w x x x =--+-=-∴320A B w w w =+-⨯2(13)(1086)60x x x =-++--2748x x =-++； 当8x ≥时，65A w x x x =-=；9(20)[123(20)]1086B w x x x =--+-=- ∴320A B w w w =+-⨯(5)(1086)60x x =+--48x =-+．∴w 关于x 的函数关系式为：2748(28)48(8)x x x w x x ⎧-++≤<=⎨-+≥⎩．②当28x ≤<时，274830x x -++=，解得19x =，22x =-，均不合题意；当8x ≥时，4830x -+=，解得x =18．∴当毛利润达到30万元时，直接销售的A 类杨梅有18吨．（3）设该公司用132万元共购买了m 吨杨梅，其中A 类杨梅为x 吨，B 类杨梅为()m x -吨，则购买费用为3m 万元，A 类杨梅加工成本为x 万元，B 类杨梅加工成本为[123()]m x +-万元， ∴39[123()]132m x m x +++-=，化简得：360x m =-． ①当28x ≤<时，2(14)13A w x x x x x =-+-=-+； 9()[123()]6612B w m x m x m x =--+-=--∴3A B w w w m =+-⨯2(13)(6612)3m x x m x =-++---27312x x m =-++-．将360m x =+代入得：22848(4)64w x x x =-++=--+∴当4x =时，有最大毛利润64万元，此时643m =，523m x -=；②当8x ≥时，65A w x x x =-=；9()[123()]6612B w m x m x m x =--+-=-- ∴3A B w w w m =+-⨯(5)(6612)3m x m x =+---312x m =-+-．将360m x =+代入得：48w =，∴当8x >时，有最大毛利润48万元．综上所述，购买杨梅共643吨，其中A 类杨梅4吨，B 类523吨，公司能够获得最大毛利润，最大毛利润为64万元．例题7.（1）如图7-1，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为_______米．（2）如图7-2，一个横断面为抛物线形的拱桥，当水面宽4m 时，拱顶离水面2m ．当水面下降1m 时，此时水面的宽度增加了______________（结果保留根号）．（3）如图7-3，在水平地面点A 处有一网球发射器向空中发射网球，网球飞行路线是一条抛物线，在地面上落点为B ，有人在直线AB 上点C （靠点B 一侧）竖直向上摆放若干个无盖的圆柱形桶．试图让网球落入桶内，已知4AB =米，3AC =米，网球飞行最大高度5OM =米，圆柱形桶的直径为0.5米，高为0.3米（网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）．当竖直摆放圆柱形桶至少______________个时，网球可以落入桶内．图7-1 图7-2 图7-3【答案】（1）0.5；（2）4)m ；（3）8．例题8. 某物体从P 点运动到Q 点所用时间为7秒，其运动速度v （米每秒）关于时间t （秒）的函数关系如图所示. 某学习小组经过探究发现：该物体前进3秒运动的路程在数值上等于矩形AODB 的面积.由物理学知识还可知：该物体前(37)t t <≤秒运动的路程在数值上等于矩形AODB 的面积与梯形BDNM 的面积之和. 根据以上信息，完成下列问题： （1）当37t <≤时，用含t 的式子表示v ； （2）分别求该物体在03t ≤≤和37t <≤时，运动的路程S (米)关于时间t (秒)的函数关系式；并求该物体从P 点运动到Q 总路程的710时所用的时间． 【答案】（1）由题意得，当37t ≤≤时，v ，t 为一次函数设为v kt b =+；代入点(3,2) (7,10)得到24v t =-，（2）当03t ≤≤时，12S t =，当37t <≤时，2123[2(24)](3)2S t t =⨯++--，即22,40379,3t S t t t t ⎧=⎨-+≤≤<≤⎩，总路程为总面积为62430+=米，7302110⨯=米6>米，令221S =，得24921t t -+=，解得6t =，或2t =-舍，故从P 点运动到Q 总路程的710时所用的时间为6秒．)例题9. 某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y （件）与销售单价x （元）符合一次函数y kx b =+，且65x =时，55y =；75x =时，45y =． （1）求一次函数y kx b =+的表达式；（2）若该商场获得利润为W 元，试写出利润W 与销售单价x 之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x 的范围． 【答案】（1）根据题意得65557545.k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得1k =-，120b =．所求一次函数的表达式为120y x =-+．（2）22(60)(120)1807200(90)900W x x x x x =-⋅-+=-+-=--+， 抛物线的开口向下，∴当90x <时，W 随x 的增大而增大，而6087x ≤≤， ∴当87x =时，2(8790)900891W =--+=．∴当销售单价定为87元时，商场可获得最大利润，最大利润是891元． （3）由500W =，得25001807200x x =-+-，整理得，218077000x x -+=，解得，170x =，2110x =．由图象可知，要使该商场获得利润不低于500元，销售单价应在70元到110元之间，而6087x ≤≤，所以，销售单价x 的范围是7087x ≤≤．例题10. 某大学生利用暑假40天社会实践参与了一家网店经营，了解到一种成本为20元/件（1）请计算第几天该商品的销售单价为35元/件？（2）求该网店第x 天获得的利润y 关于x 的函数关系式．（3）这40天中该网店第几天获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）当120x ≤≤时，令130352x +=，得10x =．当2140x ≤≤时，令5252035x+=，得35x =．即第10天或者第35天该商品的销售单价为35元/件．（2）当120x ≤≤时，2113020(50)1550022y x x x x ⎛⎫=+--=-++ ⎪⎝⎭，当2140x ≤≤时，525262502020(50)525y x x x ⎛⎫=+--=- ⎪⎝⎭．∴2115500(120)226250525(2140)x x x y x x⎧-++⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩≤≤≤≤（3）当120x ≤≤时，221115500(15)612.522y x x x =-++=--+∵102-<，∴当15x =时，y 有最大值1y ，且1612.5y =．当2140x ≤≤时，∵262500>，∴26250x 随着x 的增大而减小，∴21x =时，26250x 最大．于是，21x =时，26250525y x =-有最大值2y ，且22625052572521y =-=．∵12y y <．∴这40天中第21天时该网店获得利润最大，最大利润为725元．例题11. 某通讯器材公司销售一种市场需求较大的新型通讯产品．已知每件产品的进价为40元，每年销售该种产品的总开支（不含进价）总计120万元．在销售过程中发现，年销售量y （万件）与销售单价x （元）之间存在着如图所示的一次函数关系．（1）求y 关于x 的函数关系式；（2）试写出该公司销售该种产品的年获利z （万元）关于销售单价x （元）的函数关系式（年获利=年销售额-年销售产品总进价-年总开支）．当销售单价x 为何值时，年获利最大？并求这个最大值；（3）若公司希望该种产品一年的销售获利不低于．．．40万元，借助（2）中函数的图象，请你帮助该公司确定销售单价的范围．在此情况下，要使产品销售量最大，你认为销售单价应定为多少元？ 【答案】（1）如图可知两点坐标为(60, 5)，(80, 4)代入y kx b =+得1820y x =-+ （2）由题意可得1188401202020z x x x ⎛⎫⎛⎫=-+--+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭整理得21(100)6020z x =--+，故当销售单价100x =时，最大利润为60万元 （3）由题意22140(100)6040(100)40020z x x ≥⇒--+≥⇒-≤ 201002080120x x ∴-≤-≤⇒≤≤要求y 尽可能大，所以x 尽可能小，故当80x =，保证销售最大又达到指标.)例题12. 如图所示，公园要建造圆形的喷水池，水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA ，O恰在水面中心， 1.25m OA =，由柱子顶端A 处喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在OA 距离为1m 处达到距水面最大高度2.25m ．（1）若不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不能落到池外？（2）若水流喷出的抛物线形状与（1）相同，水池的半径为3.5m ，要使水流不落到池外，此时水流最大高度应达多少米？【答案】（1）以O 为原点，顶点为(1, 2.25)，设解析式为2(1) 2.25y a x =-+过点(0, 1.25)，解得1a =-，所以解析式为：2(1) 2.25y x =--+，令0y =，则2(1) 2.250x --+=，解得 2.5x =或0.5x =-（舍去），所以花坛半径至少为2.5m ．（2）根据题意得出：设2y x bx c =-++，把点(0, 1.25) (3.5, 0) ∴ 1.25497042c b c =⎧⎪⎨-++=⎪⎩，解得：22754b c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴2222511729747196y x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭， ∴水池的半径为3.5m ，要使水流不落到池外，此时水流最大高度应达729196米．A O例题13. “城市发展交通先行”，成都市今年在中心城区启动了缓堵保畅的二环路高架桥快速通道建设工程，建成后将大大提升二环路的通行能力．研究表明，某种情况下，高架桥上的车流速度V （单位：千米/时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数，且当028x <≤时，80V =；当28188x <≤时，V 是x 的一次函数. 函数关系如图所示.（1）求当28188x <≤时，V 关于x 的函数表达式；（2）若车流速度V 不低于50千米/时，求当车流密度x 为多少时，车流量P （单位：辆/时）达到最大，并求出这一最大值．（注：车流量是单位时间内通过观测点的车辆数，计算公式为：车流量=车流速度×车流密度）【答案】 （1）设函数解析式为V kx b =+， 则28801880k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：1294k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， 故V 关于x 的函数表达式为：1942V x =-+； （2）由题意得，194502V x =-+≥， 解得：88x ≤，又211949422P Vx x x x x ⎛⎫==-+=-+ ⎪⎝⎭，当088x <≤时，函数为增函数，即当88x =时，P 取得最大，故2max 188948844002P =-⨯+⨯=． 即当车流密度达到88辆/千米时，车流量P 达到最大，最大值为4400辆/时．千米）。
2020年中考数学二轮专项冲刺复习——创新型、新颖题型(含详细解答)
2020年中考数学二轮专项冲刺复习——创新型、新颖题型1、（2019江西•中考第11题•3分）斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段A B C--横穿双向行驶车道，其中==米，在绿灯亮时，小明共用11秒通过AC，其中通过BC的速度是通过AB速度的1.2倍，AB BC6求小明通过AB时的速度．设小明通过AB时的速度是x米/秒，根据题意列方程得：6611+=．x x1.2【考点】由实际问题抽象出分式方程【分析】设小明通过AB时的速度是x米/秒，根据题意列出分式方程解答即可．【解答】解：设小明通过AB时的速度是x米/秒，可得：6611+=，x x1.2故答案为：6611+=，x x1.22、（2019河北•中考第20题•8分）有个填写运算符号的游戏：在“1□2□6□9”中的每个□内，填入+，﹣，×，÷中的某一个（可重复使用），然后计算结果．（1）计算：1+2﹣6﹣9；（2）若1÷2×6□9＝﹣6，请推算□内的符号；（3）在“1□2□6﹣9”的□内填入符号后，使计算所得数最小，直接写出这个最小数．【考点】有理数的混合运算．【分析】（1）根据有理数的加减法可以解答本题；（2）根据题目中式子的结果，可以得到□内的符号；（3）先写出结果，然后说明理由即可．【解答】解：（1）1+2﹣6﹣9＝3﹣6﹣9＝﹣3﹣9＝﹣12；（2）∵1÷2×6□9＝﹣6，∴1××6□9＝﹣6，∴3□9＝﹣6，∴□内的符号是“﹣”；（3）这个最小数是﹣20，理由：∵在“1□2□6﹣9”的□内填入符号后，使计算所得数最小，∴1□2□6的结果是负数即可，∴1□2□6的最小值是1﹣2×6＝﹣11，∴1□2□6﹣9的最小值是﹣11﹣9＝﹣20，∴这个最小数是﹣20．3、（2019重庆•中考A卷）《道德经》中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”道出了自然数的特征．在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等．现在我们来研究另一种特殊的自然数—“纯数”．定义：对于自然数n，在计算n＋(n＋1)＋(n＋2)时，各个数位都不产生进位，则称这个自然数n为“纯数”．例如：32是“纯数”，因为计算32＋33＋34时，各数位都不产生进位；23不是“纯数”，因为计算23＋24＋25时，个位产生了进位．(1)判断2 019和2 020是否是“纯数”？请说明理由；(2)求出不大于100的“纯数”的个数．解：(1)2 019不是“纯数”，2 020是“纯数”，理由如下：∵在计算2 019＋2 020＋2 021时，个位产生了进位，而计算2 020＋2 021＋2 022时，各个数位都不产生进位，∴2 019不是“纯数”，2 020是“纯数”；(2)当“纯数”n为一位数，n＋(n＋1)＋(n＋2)＝3n＋3＜10，∴0≤n＜73.故n＝0,1,2，即在一位数的自然数中，“纯数”有3个．当“纯数”n为两位数时，设n＝10b＋a(其中1≤b≤9,0≤a≤9，且a，b为自然数)，则n＋(n ＋1)＋(n＋2)＝30b＋3a＋3.此时a，b应满足的条件分别为3a＋3＜10，即a＝0,1,2；1≤b≤3，即b＝1,2,3.∵3×3＝9(个)，∴在两位数的自然数中，“纯数”有9个．∵100＋101＋102＝303，不产生进位，∴100是“纯数”．∴3＋9＋1＝13(个)．故在不大于100的自然数中“纯数”的个数是13.4、（2019自贡•中考）阅读下列材料：小明为了计算1＋2＋22＋…＋22 017＋22 018的值，采用以下方法：设S＝1＋2＋22＋…＋22 017＋22 018，①则2S＝2＋22＋…＋22 018＋22 019.②②－①，得2S－S＝S＝22 019－1.∴S＝1＋2＋22＋…＋22 017＋22 018＝22 019－1.请仿照小明的方法解决以下问题：（1）1＋2＋22＋…＋29＝；（2）3＋32＋…＋310＝；（3）求1＋a＋a2＋…＋a n的和（a＞0，n是正整数，请写出计算过程）.解：（1）210－1；（2）311－1 2；（3）设S＝1＋a＋a2＋…＋a n，①则aS＝a＋a2＋a3＋…＋a n＋a n＋1.②②－①，得（a－1）S＝a n＋1－1.∴S＝a n＋1－1a－1，即1＋a＋a2＋…＋a n＝a n＋1－1a－1.5、（2019河北•中考第18题•4分）如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．示例：即4+3＝7则（1）用含x的式子表示m＝3x；（2）当y＝﹣2时，n的值为 1 ．【考点】列代数式；代数式求值．【分析】（1）根据约定的方法即可求出m；（2）根据约定的方法即可求出n ． 【解答】解：（1）根据约定的方法可得：m ＝x +2x ＝3x ； 故答案为：3x ；（2）根据约定的方法即可求出nx +2x +2x +3＝m +n ＝y ． 当y ＝﹣2时，5x +3＝﹣2． 解得x ＝﹣1．∴n ＝2x +3＝﹣2+3＝1． 故答案为：1．6、（2019济宁•中考 ）阅读下面材料：如果函数y ＝f (x )满足：对于自变量x 的取值范围内的任意x 1，x 2， (1)若x 1＜x 2，都有f (x 1) ＜ f (x 2)，则称f (x )是增函数； (2)若x 1＜x 2，都有f (x 1) ＞ f (x 2)，则称f (x )是减函数． 例题：证明函数f (x )＝6x(x ＞0)是减函数．证明：设0＜x 1＜x 2，f (x 1) － f (x 2)＝6x 1－6x 2＝6x 2－6x 1x 1x 2＝6()x 2－x 1x 1x 2.∵0＜x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0，x 1x 2＞0.∴6()x 2－x 1x 1x 2＞0，即f (x 1) — f (x 2)＞0.∴f (x 1) ＞ f (x 2)，∴函数f (x )＝6x(x ＞0)是减函数．根据以上材料，解答下面的问题： 已知函数f ()x ＝1x2＋x (x ＜0)，f ()－1＝1()－12＋()－1＝0，f ()－2＝1()－22＋()－2＝－74(1)计算：f (－3)＝__f ()－3＝1()－32＋()－3＝－269__, f (－4)＝__f ()－4＝1()－42＋()－4＝－6316__；(2)猜想：函数f ()x ＝1x2＋x (x ＜0)是__增__函数(填“增”或“减”)；(3)请仿照例题证明你的猜想．证明：设x 1＜x 2＜0，f (x 1) － f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x 12＋x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x 22＋x 2＝1x 12－1x 22＋x 1－x 2＝x 22－x 12x 12x 22＋x 1－x 2＝()x 2＋x 1()x 2－x 1x 12x 22－()x 2－x 1＝()x 2－x 1()x 2＋x 1－x 21x 22x 12x 22.∵x 1＜x 2＜0，∴x 2—x 1＞0，x 21x 22＞0，x 2＋x 1－x 21x 22＜0，∴()x 2－x 1()x 2＋x 1－x 21x 22x 12x 22＜0，即f (x 1)－f (x 2)＜0.∴f (x 1) ＜ f (x 2)，∴函数f ()x ＝1x2＋x 是增函数．7、观察下列式子：0×2＋1＝12……① 1×3＋1＝22……② 2×4＋1＝32……③ 3×5＋1＝42……④ ……(1)第⑤个式子__4×6＋1＝52__，第⑩个式子__9×11＋1＝102__； (2)请用含n (n 为正整数)的式子表示上述的规律，并证明．解：第n 个式子为(n －1)(n ＋1)＋1＝n 2，证明：左边＝n 2－1＋1＝n 2，右边＝n 2，∴左边＝右边，即(n －1)(n ＋1)＋1＝n 2.8、【问题背景】在△ABC 内部，有点P 1，可构成3个不重叠的小三角形(如图1)．【探究发现】当△ABC 内的点的个数增加时(见图1～3)，探究三角形内互不重叠的小三角形的个数情况．(1)填表：(2)当△ABC 内部有n 个点(P 1，P 2，……，P n )时，三角形内不重叠的小三角形的个数N ＝2 019时，求n 的值．解：根据以上规律，当△ABC 内有n 个点(P 1，P 2，……，P n )时，可以把△ABC 分割成N ＝2n ＋1个互不重叠的三角形， N ＝2 019时，2n ＋1＝2 019，∴n ＝1 009.9、已知直线y ＝2x ＋2分别与x 轴，y 轴交于点A ，B ，已知点A 1是点A 关于y 轴的对称点，作直线A 1B ，过点A 1作x 轴的垂线l 1，交直线AB 于点B 1；点A 2是点A 关于直线l 1的对称点，作直线A 2B 1，过点A 2作x 轴的垂线l 2，交直线AB 于B 2；点A 3是点A 关于l 2的对称点，作直线A 3B 2……继续这样操作下去，可作直线A n B n －1.(n 为正整数，且n ≥1)(1)填空：①A 1(1,0)，A 2(3,0)，A 3(__7__，__0__)，A n (__2n －1__，__0__)；②B (0,2)，B 1(1,4)，B ，B n －1(__2n －1－1__，(2)求线段A n B n －1的长．A nB n －1＝AA n ＝2n 10、观察：11×2＝1－12，12×3＝12－13，13×4＝13－14，….解答下面的问题：（1）若n 为正整数，请你猜想1n ×（n ＋1）＝ ；（2）若n 为正整数，请你猜想11×2＋12×3＋13×4＋…＋1n ×（n ＋1）＝ ； （3）若x －1＋（xy －2）2＝0，求1xy ＋1（x ＋1）（y ＋1）＋1（x ＋2）（y ＋2）＋…＋1（x ＋2 017）（y ＋2 017）的值.解：（1）1n －1n ＋1；（2）1－1n ＋1；[原式＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1.]（3）∵x －1＋（xy －2）2＝0，∴x －1＝0，xy －2＝0， 解得x ＝1，y ＝2.则原式＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋12 018×2 019 ＝1－12 019 ＝2 0182 019.11、箭头四角形 模型规律如图1，延长CO 交AB 于点D ，则∠BOC ＝∠1＋∠B ＝∠A ＋∠C ＋∠B ．因为凹四边形ABOC 形似箭头，其四角具有“∠BOC ＝∠A ＋∠B ＋∠C ”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”．模型应用(1)直接应用：①如图2，∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＝__2α__.②如图3，∠ABE ，∠ACE 的2等分线(即角平分线)BF ，CF 交于点F ，已知∠BEC ＝120°，∠BAC ＝50°，则∠BFC ＝__85°__.③如图4，BO i ，CO i 分别为∠ABO ，∠ACO 的2 019等分线(i ＝1,2,3，…2 017，2 018)．它们的交点从上到下依次为O 1，O 2，O 3，…，O 2 018.已知∠BOC ＝m °，∠BAC ＝n °，则∠BO 1 000C ＝__⎝ ⎭⎪1 000m ＋1 019n 2 019__度． (2)拓展应用：如图5，在四边形ABCD 中，BC ＝CD ，∠BCD ＝2∠BAD ．O 是四边形ABCD 内一点，且OA ＝OB ＝OD ．求证：四边形OBCD 是菱形．证明：如图，∵OA ＝OB ＝OD ，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.∵凹四边形ABOD 是箭头四角形，∴∠BOD ＝∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝2(∠1＋∠3)＝2∠BAD ．∵∠BCD ＝2∠BAD ，∴∠BOD ＝∠BCD ．连接BD ，OC ，∵BO ＝OD ，BC ＝CD ，∴直线OC 是线段BD 的垂直平分线，∴∠BOC ＝12∠BOD ，∠BCO ＝12∠BCD ，∴∠BOC ＝∠BCO ，∴BO ＝BC ，∴OD ＝BO ＝BC＝CD ，∴四边形OBCD 是菱形．12、一列火车自A城驶往B城，沿途有n个车站（包括起点站A和终点站B），该列火车挂有一节邮政车厢，行驶时需要在每个车站停靠，每停靠一站不仅要卸下已经通过的各车站发给该站的邮包一个，还要装上该站发给后面行程中每个车站的邮包一个.例如，当列车停靠在第x个车站时，邮政车厢上需要卸下已经通过的（x－1）个车站发给该站的邮包（x－1）个，还要装上后面行程中要停靠的（n－x）个车站的邮包（n－x）个.（1）根据题意，完成下表：（表示）；（3）当n＝18时，列车在第几个车站启程时邮车上的邮包个数最多？解：（1）见上表；（2）y＝x（n－x）；（3）当n＝18时，y＝x（18－x）＝－x2＋18x＝－（x－9）2＋81.当x＝9时，y取最大值，所以列车在第9个车站启程时，邮政车厢上的邮包个数最多.。
2020湖南省中考数学专题复习实际应用题
2020湖南省中考数学专题复习实际应⽤题实际应⽤题(郴州必考；衡阳必考；岳阳5考；益阳必考)类型⼀分配问题(郴州2018、2015.21，2014.24；岳阳2019.20，2017、2014.20；益阳2018.24，2014～2016.19)1. (2019资阳)为了参加西部博览会，资阳市计划印制⼀批宣传册，该宣传册每本共10页，由A、B两种彩页构成．已知A种彩页制版费300元/张，B种彩页制版费200元/张，共计2400元．(注：彩页制版费与印数⽆关)(1)每本宣传册A、B两种彩页各有多少张？(2)据了解，A种彩页印刷费2.5元/张，B种彩页印刷费1.5元/张，这批宣传册的制版费与印刷费的和不超过30900元．如果按到资阳展台处的参观者⼈⼿⼀册发放宣传册，预计最多能发给多少位参观者？2. (2020原创)某青春党⽀部在精准扶贫活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送甲、⼄两种树苗让其栽种，已知⼄种树苗价格⽐甲种树苗贵10元，⽤480元购买⼄种树苗的棵数恰好与⽤360元购买甲种树苗的棵数相同．(1)求甲、⼄两种树苗每棵的价格各是多少元？(2)在实际帮扶中，他们决定再次购买甲、⼄两种树苗共50棵．此时，甲种树苗的售价⽐第⼀次购买时降低了10%，⼄种树苗的售价保持不变．如果此次购买两种树苗的总费⽤不超过1500元，那么他们最多可购买多少棵⼄种树苗？3. (2019桂林)为响应国家“⾜球进校园”的号召，某校购买了50个A类⾜球和25个B类⾜球共花费7500元，已知购买⼀个B类⾜球⽐购买⼀个A类⾜球多花30元．(1)求购买⼀个A类⾜球和⼀个B类⾜球各需多少元？(2)通过全校师⽣的共同努⼒，今年该校被评为“⾜球特⾊学校”，学校计划⽤不超过4800元的经费再次购买A类⾜球和B类⾜球共50个，若单价不变，则本次⾄少可以购买多少个A类⾜球？4.(2019烟台)亚洲⽂明对话⼤会召开期间，⼤批的⼤学⽣志愿者参与服务⼯作．某⼤学计划组织本校全体志愿者统⼀乘车去会场，若单独调配36座新能源客车若⼲辆，则有2⼈没有座位；若只调配22座新能源客车，则⽤车数量将增加4辆，并空出2个座位．(1)计划调配36座新能源客车多少辆？该⼤学共有多少名志愿者？(2)若同时调配36座和22座两种车型，既保证每⼈有座，⼜保证每车不空座，则两种车型各需多少辆？5. (2019聊城)某商场的运动服装专柜对A，B两种品牌的运动服分两次采购试销后，效益可观，计划继续采购进⾏销售，已知这两种服装过去两次的进货情况如下表：(1)问A ，B 两种品牌运动服的进货单价各是多少元？(2)由于B 品牌运动服的销量明显好于A 品牌，商家决定采购B 品牌的件数⽐A 品牌件数的32倍多5件，在采购总价不超过21300元的情况下，最多能购进多少件B 品牌运动服？6. (2019孝感)为加快“智慧校园”建设，某市准备为试点学校采购⼀批A 、B 两种型号的⼀体机．经市场调查发现，今年每套B 型⼀体机的价格⽐每套A 型⼀体机的价格多0.6万元，且⽤960万元恰好能购买500套A 型⼀体机和200套B 型⼀体机．(1)求今年每套A 型、B 型⼀体机的价格各是多少万元？(2)该市明年计划采购A 型、B 型⼀体机共1100套，考虑物价因素，预计明年每套A 型⼀体机的价格⽐今年上涨25%，每套B 型⼀体机的价格不变．若购买B 型⼀体机的总费⽤不低于购买A 型⼀体机的总费⽤，那么该市明年⾄少需要投⼊多少万元才能完成采购计划？类型⼆利润问题(郴州2017、2016.21；衡阳2018.24；益阳2019.24，2017.19)1. 夏威夷果果仁营养丰富，不仅含有⼈体必需的8种氨基酸，还富含矿物质和维⽣素．⼝感⾹酥滑嫩可⼝，有独特的奶油⾹味，是世界上品质最佳的⾷⽤⽤果，有“⼲果皇后”，“世界坚果之王”之美称．超市以每千克40元的价格购进夏威夷果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更⼤的优惠，现决定降价销售，已知这种夏威夷果销售量y (千克)与每千克降价x (元) (0＜x ＜20)之间满⾜⼀次函数关系，其图象如图所⽰：(1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)超市要想获利2090元，则这种夏威夷果每千克应降价多少元？第1题图2. (2020原创)平衡车越来越受到中学⽣的喜爱，某公司今年从⼚家以3000元/辆的批发价购进某品牌平衡车300辆进⾏销售，零售价格为4200元/辆．暑期将⾄，公司决定拿出⼀部分该品牌平衡车以4000元/辆的价格进⾏促销．设全部售出获得的总利润为y 元，今年暑假期间拿出促销的该品牌平衡车数量为x 辆，根据上述信息，解答下列问题：(1)求y 与x 之间的函数解析式(也称关系式)，并直接写出x 的取值范围；(2)若以促销价进⾏销售的数量不低于零售价销售数量的14，该公司应拿出多少辆该品牌平衡车促销才能使这批车的销售利润最⼤？并求出最⼤利润．3. (2019绵阳)⾠星旅游度假村有甲种风格客房15间，⼄种风格客房20间．按现有定价：若全部⼊住，⼀天营业额为8500元；若甲、⼄两种风格客房均有10间⼊住，⼀天营业额为5000元．(1)求甲、⼄两种客房每间现有定价分别是多少元？(2)度假村以⼄种风格客房为例，市场情况调研发现：若每个房间每天按现有定价，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加20元时，就会有两个房间空闲．如果游客居住房间，度假村需对每个房间每天⽀出80元的各种费⽤．当每间房间定价为多少元时，⼄种风格客房每天的利润w最⼤，最⼤利润是多少元？4.由于雾霾天⽓频发，市场上防护⼝罩出现热销．某医药公司每⽉固定⽣产甲、⼄两种型号的防雾霾⼝罩共20万只，且所有产品当⽉全部售出．原料成本、销售单价及⼯⼈⽣产提成如下表：(1)若该公司五⽉份的销售收⼊为300万元，求甲、⼄两种型号的产量分别是多少万只？(2)公司实⾏计件⼯资制，即⼯⼈每⽣产⼀只⼝罩获得⼀定⾦额的提成．如果公司六⽉份投⼊总成本(原料总成本＋⽣产提成总额)不超过239万元，应怎样安排甲、⼄两种型号的产量，可使该⽉公司所获利润最⼤？并求出最⼤利润(利润＝销售收⼊－投⼊总成本)．5. (2018陕西)经过⼀年多的精准帮扶，⼩明家的⽹络商店(简称⽹店)将红枣、⼩⽶等优质⼟特产迅速销往全国．⼩明家⽹店中红枣和⼩⽶这两种商品的相关信息如下表：根据上表提供的信息，解答下列问题：(1)已知今年前五个⽉，⼩明家⽹店销售上表中规格的红枣和⼩⽶共3000 kg，获得利润4.2万元，求这前五个⽉⼩明家⽹店销售这种规格的红枣多少袋；(2)根据之前的销售情况，估计今年6⽉到10⽉这后五个⽉，⼩明家⽹店还能销售上表中规格的红枣和⼩⽶共2000 kg，其中，这种规格的红枣的销售量不低于600 kg，假设这后五个⽉，销售这种规格的红枣为x(kg)，销售这种规格的红枣和⼩⽶获得的总利润为y(元)，求出y与x之间的函数关系式，并求这后五个⽉，⼩明家⽹店销售这种规格的红枣和⼩⽶⾄少获得总利润多少元．类型三⽅案问题(郴州2017.21，2019.22；衡阳2019、2017.24，2016.23)1.(2019荆州节选)为拓展学⽣视野，促进书本知识与⽣活实践的深度融合，荆州市某中学组织⼋年级全体学⽣前往松滋洈⽔研学基地开展研学活动．在此次活动中，若每位⽼师带队14名学⽣，则还剩10名学⽣没⽼师带；若每位⽼师带队15名学⽣，就有⼀位⽼师少带6名学⽣．现有甲、⼄两种⼤型客车，它们的载客量和租⾦如下表所⽰：学校计划此次研学活动的租⾦总费⽤不超过3000元，为安全起见，每辆客车上⾄少要有2名⽼师．(1)参加此次研学活动的⽼师和学⽣各有多少⼈？(2)既要保证所有师⽣都有车坐，⼜要保证每辆车上⾄少要有2名⽼师，可知租车总辆数为______辆；(3)学校共有⼏种租车⽅案？2.张⽼师计划组织朋友暑假去旅游．经了解，现有甲、⼄两家旅⾏社⽐较合适，报价均为每⼈640元，且提供的服务完全相同．针对组团旅游的游客，甲旅⾏社表⽰，每⼈按⼋五折收费；⼄旅⾏社表⽰，若⼈数不超过20⼈，每⼈都按九折收费，超过20⼈，则超出部分每⼈按七五折收费．假设组团参加甲、⼄两家旅⾏社的⼈数均为x⼈．(1)请分别写出甲、⼄两家旅⾏社收取组团旅游的总费⽤y(元)与x(⼈)之间的函数关系式；(2)若你是张⽼师，在甲、⼄两家旅⾏社中，你怎样选择？说明理由．3.某⼯艺品店准备购进甲、⼄两种⼯艺品．经了解，购进5件甲种⼯艺品和4件⼄种⼯艺品需要2000元，购进10件甲种⼯艺品和3件⼄种⼯艺品需要3000元．(1)甲种⼯艺品和⼄种⼯艺品每件各多少元？(2)实际购买时，发现⼚家有两种优惠⽅案．⽅案⼀：购买甲种⼯艺品超过20件时，超过的部分按原价的8折付款，⼄种⼯艺品没有优惠；⽅案⼆：两种⼯艺品都按原价的9折付款．该⼯艺品店决定购买x(x>20)件甲种⼯艺品和30件⼄种⼯艺品．①求两种⽅案的费⽤y与件数x的函数解析式；②请你帮该⼯艺品店决定选择哪种⽅案更合算．4.(2019温州)某旅⾏团32⼈在景区A游玩，他们由成⼈、少年和⼉童组成．已知⼉童10⼈，成⼈⽐少年多12⼈．(1)求该旅⾏团中成⼈与少年分别是多少⼈？(2)因时间充裕，该团准备让成⼈和少年(⾄少各1名)带领10名⼉童去另⼀景区B游玩，景区B的门票价格为100元/张，成⼈全票，少年8折，⼉童6折，⼀名成⼈可以免费携带⼀名⼉童．①若由成⼈8⼈和少年5⼈带队，则所需门票的总费⽤是多少元？②若剩余经费只有1200元可⽤于购票，在不超额的前提下，最多可以安排成⼈和少年共多少⼈带队？求所有满⾜条件的⽅案，并指出哪种⽅案购票费⽤最少．类型四⼯程、⾏程问题(岳阳2018.21，2016.20)1. (2019岳阳模拟)2019年5⽉，某地迎来了“复兴号”列车，与“和谐号”相⽐，“复兴号”列车时速更快，安全性更好．已知“甲城——⼄城”全程⼤约500千⽶，“复兴号”G 92次列车平均每⼩时⽐某列“和谐号”列车多⾏驶40千⽶，其⾏驶时间是该列“和谐号”列车⾏驶时间的45(两列车中途停留时间均除外)．经查询，“复兴号”G 92次列车从甲城到⼄城，中途只有丙⼀站，停留10分钟．求乘坐“复兴号”G 92次列车从甲城到⼄城需要多长时间．2. 某市政府计划对城区道路进⾏改造，现安排甲、⼄两个⼯程队完成．已知甲队的⼯作效率是⼄队⼯作效率的32倍，甲队改造720⽶的道路⽐⼄队改造同样长的道路少⽤4天．(1)甲、⼄两⼯程队每天能改造道路的长度分别是多少⽶？(2)若甲队⼯作⼀天需付费⽤7万元，⼄队⼯作⼀天需付费⽤5万元，如需改造的道路全长2400⽶，改造总费⽤不超过195万元，⾄少安排甲队⼯作多少天？参考答案类型⼀分配问题1. 解：(1)设每本宣传册A 、B 两种彩页分别有x 张和y 张，根据题意有：x ＋y ＝10300x ＋200y ＝2400，解得?x ＝4y ＝6，答：每本宣传册A 、B 两种彩页分别有4张和6张； (2)设预计最多能发m 位参观者，根据题意有： 4m ×2.5＋6m ×1.5≤30900－2400，解得m ≤1500，答：预计最多能发1500位参观者．2. 解：(1)设甲种树苗每棵的价格是x 元，则⼄种树苗每棵的价格是(x ＋10)元，由题意得， 360x ＝480x ＋10，解得x ＝30，经检验，x ＝30是原分式⽅程的解，且符合题意，∴x ＋10＝40.答：甲种树苗每棵的价格是30元，⼄种树苗每棵的价格是40元；(2)设他们可购买y 棵⼄种树苗；依题意有30×(1－10%)(50－y )＋40y ≤1500，解得y ≤11713，∵y 是整数，∴y 的最⼤值为11，答：他们最多可购买11棵⼄种树苗．3. 解：(1)设购买⼀个A 类⾜球和⼀个B 类⾜球分别需x 元和y 元，依题意得：x ＋30＝y ，50x ＋25y ＝7500，解得?x ＝90，y ＝120. 答：购买⼀个A 类⾜球和⼀个B 类⾜球分别需90元和120元；(2)设购买a 个A 类⾜球，则购买B 类⾜球为(50－a )个(a 为整数)，依题意得： 90a ＋120(50－a )≤4800，解得a ≥40.答：本次⾄少可以购买40个A 类⾜球．4. 解：(1)设计划调配36座新能源客车x 辆，则该⼤学志愿者有(36x ＋2)名，根据题意，得 36x ＋2＝22(x ＋4)－2，解得 x ＝6.∴36x ＋2＝36×6＋2＝218.答：计划调配36座新能源客车6辆，该⼤学共有218名志愿者； (2)设调配⽤36座新能源客车m 辆，22座新能源客车n 辆，依题意得36m ＋22n ＝218，即18m ＋11n ＝109，⼜∵m 、n 为正整数，∴m ＝3, n ＝5.答：调配36座新能源客车3辆，22座新能源客车5辆，既保证每⼈有座，⼜保证每车不空座． 5. 解：(1)设A ，B 两种品牌运动服的进货单价分别是x 元、y 元，根据表格数据可列⽅程组：20x ＋30y ＝10200，30x ＋40y ＝14400，解得?x ＝240，y ＝180.答：A ，B 两种品牌运动服的进货单价分别为240元和180元； (2)设购进A 品牌运动服m 件，则购进B 品牌运动服(32m ＋5)件，根据题意得：240m ＋180(32m ＋5)≤21300，解得m ≤40，∴32m ＋5≤32×40＋5＝65. 答：最多能购进65件B 品牌运动服．6. 解：(1)设今年每套A 型⼀体机的价格为x 万元，每套B 型⼀体机的价格为y 万元，由题意可得y －x ＝0.6，500x ＋200y ＝960，解得?x ＝1.2，y ＝1.8，答：今年每套A 型⼀体机的价格是1.2万元，每套B 型⼀体机的价格是1.8万元；(2)设该市明年购买A 型⼀体机m 套，则购买B 型⼀体机(1100－m )套，需投⼊W 万元，由题意可得 W ＝1.2×(1＋25%)m ＋1.8(1100－m )＝－0.3m ＋1980，∵－0.3＜0，∴W 随m 的增⼤⽽减⼩，由题意可得：1．8(1100－m )≥1.2(1＋25%)m ，解得m ≤600，∴当m ＝600时，W 有最⼩值，最⼩值为－0.3×600＋1980＝1800. 答：该市明年⾄少需投⼊1800万元才能完成采购计划．类型⼆利润问题1. 解：(1)设⼀次函数解析式为y ＝kx ＋b ，∵当x ＝2时，y ＝120；当x ＝4时，y ＝140；∴2k ＋b ＝120，4k ＋b ＝140，解得k ＝10，b ＝100.∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝10x ＋100(0(60－40－x )(10x ＋100)＝2090，整理得x 2－10x ＋9＝0，解得x 1＝1，x 2＝9.∵为了让顾客得到更⼤的优惠，∴x ＝9.答：超市要想获利2090元，则这种夏威夷果每千克应降价9元． 2. 解：(1)根据题意得：y ＝(4000－3000)x ＋(4200－3000)(300－x )＝－200x ＋360000(0≤x ≤300)； (2)根据题意得： x ≥14(300－x )，解得x ≥60，由(1)可知，y ＝－200x ＋360000，∵－200<0，∴y 随x 的增⼤⽽减⼩，∴当x ＝60时，y 的值最⼤，最⼤值为－200×60＋360000＝348000(元)．答：公司应拿出60辆该品牌平衡车促销才能使这批车的销售利润最⼤，最⼤利润为348000元． 3. 解：(1)设甲、⼄两种客房每间现有定价分别是x 元、y 元，根据题意，得：15x ＋20y ＝850010x ＋10y ＝5000，解得?x ＝300y ＝200，答：甲、⼄两种客房每间现有定价分别是300元、200元； (2)设每个房间每天的定价增加了m 个20元，则有2m 个房间空闲，根据题意得：w ＝(20－2m )·(200＋20m －80)＝－40m 2＋160m ＋2400 ＝－40(m －2)2＋2560，∵－40＜0，∴当m ＝2时，w 取得最⼤值，最⼤值为2560，此时房间的定价为200＋2×20＝240元．答：当每间房间定价为240元时，⼄种风格客房每天的利润w 最⼤，最⼤利润是2560元． 4. 解：(1)设甲种型号的产量为x 万只，则⼄种型号的产量为(20－x )万只，由题意可得18x ＋12(20－x )＝300，解得x ＝10，∴20－x ＝10.答：甲种型号的产量为10万只，⼄种型号的产量为10万只； (2)设甲种型号的产量为a 万只，则⼄种型号的产量为(20－a )万只，由题意可得(12＋1)a ＋(8＋0.8)(20－a )≤239，解得a ≤15,设该⽉公司所获利润为y 万元，由题意可得y ＝(18－12－1)a ＋(12－8－0.8)(20－a )＝1.8a ＋64，∵1.8＞0，∴y 随a 的增⼤⽽增⼤，∴当a ＝15时，y 有最⼤值91.答：甲种型号的产量为15万只，⼄种型号的产量为5万只，可使该⽉公司所获利润最⼤，最⼤利润为91万元．5. 解：(1)设前五个⽉⼩明家⽹店销售这种规格的红枣a 袋，销售⼩⽶b 袋，根据题意，得：a ＋2b ＝3000（60－40）a ＋（54－38）b ＝42000，解得a ＝1500b ＝750，答：这前五个⽉⼩明家⽹店销售这种规格的红枣1500袋；(2)设后五个⽉⼩明家⽹店销售这种规格的红枣x kg ，则销售这种规格的⼩⽶(2000－x )kg ，获得的总利润为y 元，由题意得：y ＝(60－40)x ＋（54－38）（2000－x ）2＝20x ＋16000－8x ＝12x ＋16000(600≤x ≤2000)，在y ＝12x ＋16000中，∵12＞0，∴y 随x 的增⼤⽽增⼤，∴当x 取最⼩值时，y 取最⼩值，∵600≤x ≤2000，∴当x ＝600时，y 有最⼩值， y 最⼩＝12×600＋16000＝23200，答：这后五个⽉，⼩明家⽹店销售这种规格的红枣和⼩⽶⾄少获得总利润23200元．类型三⽅案问题1. 解：(1)设参加此次研学活动的⽼师有x ⼈，学⽣有y ⼈，依题意，得14x ＋10＝y 15x －6＝y ，解得?x ＝16y ＝234.答：参加此次研学活动的⽼师有16⼈，学⽣有234⼈； (2)8；【解法提⽰】∵(234＋16)÷35＝7(辆)……5(⼈)，∴最少租8辆车，最多租16÷2＝8(辆) ∴租车总辆数为8辆．(3)设租35座客车m 辆，则需租30座的客车(8－m )辆，依题意，得：35m ＋30（8－m ）≥234＋16，400m ＋320（8－m ）≤3000 解得2≤m ≤112.∵m 为正整数，∴m ＝2，3，4，5，∴共有4种租车⽅案．答：学校共有4种租车⽅案．2. 解：(1)甲旅⾏社的总费⽤y 甲＝640×0.85x ＝544x ；当020时，y ⼄＝640×0.9×20＋640×0.75(x －20)＝480x ＋1920，∴y ⼄＝?576x （0480x ＋1920（x >20）；(2)若0若x ＞20，由于y 甲＝544x ，y ⼄＝480x ＋1920，①当y 甲＜y ⼄时，即544x ＜480x ＋1920，解得x ＜30；故当20＜x ＜30时，选择甲旅⾏社；②当y 甲＝y ⼄时，即544x ＝480x ＋1920，解得x ＝30；故当x ＝30时，两家旅⾏社⼀样；③当y 甲＞y ⼄时，即544x ＞480x ＋1920，解得x ＞30；故当x ＞30时，选择⼄旅⾏社．综上所述，当参加旅游的⼈数少于30⼈时，选择甲旅⾏社；当参加旅⾏的⼈数正好30⼈时，两家都⼀样；当参加旅⾏社的⼈数多于30⼈时，选择⼄旅⾏社．3. 解：(1)设甲种⼯艺品每件x 元，⼄种⼯艺品每件y 元，根据题意可得5x ＋4y ＝200010x ＋3y ＝3000，解得?x ＝240y ＝200，答：甲种⼯艺品每件240元，⼄种⼯艺品每件200元； (2)①⽅案⼀：y 1＝240×20＋240×0.8×(x －20)＋200×30＝192x ＋6960；⽅案⼆：y 2＝(240x ＋200×30)×0.9＝216x ＋5400；②当y 1＝y 2时，即192x ＋6960＝216x ＋5400，解得x ＝65；当y 1即192x ＋6960<216x ＋5400，解得x >65；当y 1>y 2时，即192x ＋6960＞216x ＋5400，解得x <65，∴当购买甲种⼯艺品65件时，两种⽅案⼀样；当购买甲种⼯艺品的件数2065时，选择⽅案⼀更合算．4. 解：(1)设该旅⾏团中成⼈x ⼈，少年y ⼈，根据题意，得：x ＋y ＋10＝32，x ＝y ＋12，解得?x ＝17，y ＝5. 答：该旅⾏团中成⼈17⼈，少年5⼈； (2)①∵成⼈8⼈可免费带8名⼉童，∴所需门票的总费⽤为：100×8＋100×0.8×5＋100×0.6×(10－8)＝1320(元)；②设可以安排成⼈a ⼈、少年b ⼈带队，则1≤a ≤17，1≤b ≤5. 当10≤a ≤17时，(ⅰ)当a ＝10时，100×10＋80b ≤1200，∴b ≤52，∴b 最⼤值＝2，此时a ＋b ＝12，费⽤为1160元； (ⅱ)当a ＝11时，100×11＋80b ≤1200，∴b ≤54，∴b 最⼤值＝1，此时a ＋b ＝12，费⽤为1180元；(ⅲ)当a ≥12时，100a ≥1200，即成⼈门票⾄少需要1200元，不合题意，舍去．当1≤a ＜10时，(ⅰ)当a ＝9时，100×9＋80b ＋60≤1200，∴b ≤3，∴b 最⼤值＝3，此时a ＋b ＝12，费⽤为1200元； (ⅱ)当a ＝8时，100×8＋80b ＋2×60≤1200，∴b ≤72，∴b 最⼤值＝3，此时a ＋b ＝11＜12.不合题意，舍去； (ⅲ)同理，当a ＜8时，a ＋b ＜12，不合题意，舍去；综上所述，最多可以安排成⼈和少年共12⼈带队，有三个⽅案：成⼈9⼈，少年3⼈；成⼈10⼈，少年2⼈；成⼈11⼈，少年1⼈；其中当成⼈10⼈，少年2⼈时购票费⽤最少．类型四⼯程、⾏程问题1. 解：设“复兴号”G 92次列车从甲城到⼄城的⾏驶时间需要x ⼩时，则“和谐号”列车的⾏驶时间需要54x ⼩时，根据题意得：500x ＝50054x ＋40，解得x ＝52，经检验，x ＝52是原分式⽅程的解，且符合实际意义，∴x ＋16＝83.答：乘坐“复兴号”G 92次列车从甲城到⼄城需要83⼩时．2. 解：(1)设⼄⼯程队每天能改造道路的长度为x ⽶，则甲⼯程队每天能改造道路的长度为32x ⽶，根据题意得，720x －72032x ＝4，解得x ＝60，经检验，x ＝60是原分式⽅程的解，且符合题意，∴32x ＝32×60＝90. 答：甲⼯程队每天能改造道路的长度为90⽶，⼄⼯程队每天能改造道路的长度为60⽶； (2)设安排甲队⼯作m 天，则安排⼄队⼯作2400－90 m60天，根据题意得，7m ＋5×2400－90 m60≤195，解得m ≥10.答：⾄少安排甲队⼯作10天．。
2020年中考数学分类专题复习试题：创新应用题精品版
新课标中考数学分类专题复习试题：创新应用题一、解直角三角形的应用问题从近几年全国各省市的中考试题来看，直角三角形的解法及其应用，成为中考的热点，它着重考查学生的应用能力与创新能力。
例1．（）5月22日，媒体广泛报道了我国“重测珠峰高度”的活动，测量人员从六个不同观察点同时对峰顶进行测量(如图1)。
小英同学对此十分关心，从媒体得知一组数据：观察点C 的海拔高度为5200米，对珠峰峰顶A 点的仰角∠ACB=11°34′58″，AC=18174.16米(如图2)，她打算运用已学知识模拟计算。
⑴现在也请你用此数据算出珠峰的海拔高度(精确到0.01米)；⑵你的计算结果与1975年公布的珠峰海拔高度8848.13米相差多少？珠峰是长高了，不是变矮了呢？解：⑴在Rt △ABC 中，∵sin ∠ACB=ACAB∴AB=AC sin ∠ACB=18174.16×sin11°34′58″≈3649.073649.07+5200=8849.07∴珠峰的海拔高度为8849.07米⑵8849.07－8848.13=0.94练习一1．（连云港）如图所示，秋千链子的长度为3m ，静止时的秋千踏板（大小忽略不计）距地面0.5m ．秋千向两边摆动时，若最大摆角（摆角指秋千链子与铅垂线的夹角）约为53，则秋千踏板与地面的最大距离约为多少？(参考数据：53sin ≈0.8,53cos ≈0.6)0.5m533m2、（河北课改）如图，晚上，小亮在广场上乘凉。
图中线段AB 表示站在广场上的小亮，线段PO 表示直立在广场上的灯杆，点P 表示照明灯。
⑴请你在图中画出小亮在照明灯（P ）照射下的影子；⑵如果灯杆高PO=12m ，小亮的身高AB=1.6m ，小亮与灯杆的距离BO=13m ，请求出小亮影子的长度。
3．（北京海淀）如图所示，一根长2a 的木棍（AB ），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON ）上，设木棍的中点为P . 若木棍A 端沿墙下滑，且B 端沿地面向右滑行.（1）请判断木棍滑动的过程中，点P 到点O 的距离是否变化，并简述理由.（2）在木棍滑动的过程中，当滑动到什么位置时，△AOB 的面积最大？简述理由，并求出面积的最大值.APOB4、（锦州）如图，一条渔船某时刻在位置A观测灯塔B、C(灯塔B距离A处较近)，两个灯塔恰好在北偏东65°45′的方向上，渔船向正东方向航行l小时45分钟之后到达D 点，观测到灯塔B恰好在正北方向上，已知两个灯塔之间的距离是12海里，渔船的速度是16海里／时，又知在灯塔C周围18.6海里内有暗礁，问这条渔船按原来的方向继续航行，有没有触礁的危险?5、（宁德）6月以来，我省普降大雨，时有山体滑坡灾害发生。
2020年中考数学一轮复习题型05方案型应用题(原卷版)
题型05 方案型应用题一、单选题1．学校计划购买A和B两种品牌的足球，已知一个A品牌足球60元，一个B品牌足球75元．学校准备将1500元钱全部用于购买这两种足球（两种足球都买），该学校的购买方案共有（）A．3种B．4种C．5种D．6种2．小明要去超市买甲、乙两种糖果，然后混合成5千克混合糖果，已知甲种糖果的单价为a元/千克，乙种糖果的单价为b元/千克，且a＞b.根据需要小明列出以下三种混合方案：（单位：千克）A．方案1 B．方案2C．方案3 D．三个方案费用相同3．小明去商店购买A B、两种玩具，共用了10元钱，A种玩具每件1元，B种玩具每件2元．若每种玩具至少买一件，且A种玩具的数量多于B种玩具的数量．则小明的购买方案有（）A．5种B．4种C．3种D．2种4．某电信公司有A、B两种计费方案：月通话费用y（元）与通话时间x（分钟）的关系，如图所示，下列说法中正确的是（）A．月通话时间低于200分钟选B方案划算B．月通话时间超过300分钟且少于400分钟选A方案划算C．月通话费用为70元时，A方案比B方案的通话时间长D．月通话时间在400分钟内，B方案通话费用始终是50元5．图为歌神KTV的两种计费方案说明．若嘉淇和朋友们打算在此KTV的一间包厢里连续欢唱6小时，经服务员试算后，告知他们选择包厢计费方案会比人数计费方案便宜，则他们同一间包厢里欢唱的人数至少有( )A．6人B．7人C．8人D．9人6．某商店搞促销：某种矿泉水原价每瓶5元，现有两种优惠方案：（1）买一赠一；（2）一瓶按原价，其余一律四折．小华为同学选购，则至少买（）瓶矿泉水时，第二种方案更便宜．A．5 B．6 C．7 D．87．某种肥皂零售价每块2元，当购买数量不少于2块时，商场有两种优惠方案：第一种，一块肥皂按原价，其余按原价的七折销售；第二种，全部按原价的八折优惠，在购买相同数量的肥皂的情况下，要使第一种方案比第二种方案合算，最少需要购买肥皂（）A．3块B．4块C．5块D．6块8．某乒乓球馆有两种计费方案，如下图表．李强和同学们打算周末去此乒乓球馆连续打球4小时，经服务生测算后，告知他们包场计费方案会比人数计费方案便宜，则他们参与包场的人数至少为（）9．购买甲、乙两种笔记本共用70元．若甲种笔记本单价为5元，乙种笔记本单价为15元，且甲种笔记本数量是乙种笔记本数量的整数倍，则购笔记本的方案有（）A．2种B．3种C．4种D．5种10．某超市推出如下优惠方案:(1)一次性购物不超过100元不享受优惠;(2)一次性购物超过100元,但不超过300元一律9折;(3)一次性购物超过300元一律8折.李明两次购物分别付款80元,252元.如果李明一次性购买与这两次相同的物品,则应付款()A．288元B．332元C．288元或316元D．332元或363元二、填空题11．某学校决定用1200元购买篮球和排球，其中篮球每个120元，排球每个90元，至少买一个排球，在购买资金恰好用尽的情况下，购买方案有_____种．12．某班组织20名同学去春游，同时租用两种型号的车辆，一种车每辆有8个座位，另一种车每辆有4个座位．要求租用的车辆不留空座，也不能超载．有种租车方案．13．某学校计划用34件同样的奖品全部用于奖励在“经典诵读”活动中表现突出的班级，一等奖奖励6件，二等奖奖励4件，则分配一、二等奖个数的方案有（）A．4种B．3种C．2种D．1种14．某宾馆有单人间、双人间和三人间三种客房供游客租住，某旅行团有18人准备同时租用这三种客房共9间，且每个房间都住满，则租房方案共有______种.15．为丰富学生的体育活动，某校计划使用资金2000元购买篮球和足球（两种球都买且钱全部花光）.若每个篮球80元，每个足球50元，则该校的购买方案个数为_________.16．有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求:每个房间只用一种颜色的涂料，且三个房间的颜色各不相同. 三个房间的粉刷面积和三种颜色的涂料费用如下表:17．现有边长相等的正三角形、正方形、正六边形的地砖，要求至少用两种不同的地砖作平面镶嵌(两种地砖的不同拼法视作为同一种组合)，则共有组合方案_____种．18．如图，小明做了一个长方形框架，发现很容易变形，请你帮他选择一个最好的加固方案是________．19．小明家准备春节前举行80人的聚餐，需要去某餐馆订餐．据了解餐馆有10人坐和8人坐两种餐桌，要使所订的每个餐桌刚好坐满，则订餐方案共有______种．20．某地突发地震期间，为了紧急安置房屋倒塌的30名灾民，需要搭建可容纳6人或4人的帐篷若干个，若所搭建的帐篷恰好（既不多也不少）能容纳这30名灾民，则不同的搭建方案有__种．三、解答题21．有甲、乙两种客车，2辆甲种客车与3辆乙种客车的总载客量为180人，1辆甲种客车与2辆乙种客车的总载客量为105人．（1）请问1辆甲种客车与1辆乙种客车的载客量分别为多少人？（2）某学校组织240名师生集体外出活动，拟租用甲、乙两种客车共6辆，一次将全部师生送到指定地点．若每辆甲种客车的租金为400元，每辆乙种客车的租金为280元，请给出最节省费用的租车方案，并求出最低费用．22．某小微企业为加快产业转型升级步伐，引进一批A，B两种型号的机器．已知一台A型机器比一台B 型机器每小时多加工2个零件，且一台A型机器加工80个零件与一台B型机器加工60个零件所用时间相等．（1）每台A，B两种型号的机器每小时分别加工多少个零件？（2）如果该企业计划安排A，B两种型号的机器共10台一起加工一批该零件，为了如期完成任务，要求两种机器每小时加工的零件不少于72件，同时为了保障机器的正常运转，两种机器每小时加工的零件不能超过76件，那么A，B两种型号的机器可以各安排多少台？23．某社区购买甲、乙两种树苗进行绿化，已知甲种树苗每棵30元，乙种树苗每棵20元，且乙种树苗棵数比甲种树苗棵数的2倍少40棵，购买两种树苗的总金额为9000元．(1)求购买甲、乙两种树苗各多少棵？(2)为保证绿化效果，社区决定再购买甲、乙两种树苗共10棵，总费用不超过230元，求可能的购买方案？24．某出租汽车公司计划购买A型和B型两种节能汽车，若购买A型汽车4辆，B型汽车7辆，共需310万元；若购买A型汽车10辆，B型汽车15辆，共需700万元．(1)A型和B型汽车每辆的价格分别是多少万元？(2)该公司计划购买A型和B型两种汽车共10辆，费用不超过285万元，且A型汽车的数量少于B型汽车的数量，请你给出费用最省的方案，并求出该方案所需费用．25．某商店购进A、B两种商品，购买1个A商品比购买1个B商品多花10元，并且花费300元购买A商品和花费100元购买B商品的数量相等．（1）求购买一个A商品和一个B商品各需要多少元；（2）商店准备购买A、B两种商品共80个，若A商品的数量不少于B商品数量的4倍，并且购买A、B 商品的总费用不低于1000元且不高于1050元，那么商店有哪几种购买方案？26．为拓展学生视野，促进书本知识与生活实践的深度融合，荆州市某中学组织八年级全体学生前往松滋洈水研学基地开展研学活动．在此次活动中，若每位老师带队14名学生，则还剩10名学生没老师带；若每位老师带队15名学生，就有一位老师少带6名学生，现有甲、乙两种大型客车，它们的载客量和租金如表所示：（1）参加此次研学活动的老师和学生各有多少人？（2）既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆车上至少要有2名老师，可知租车总辆数为辆；（3）学校共有几种租车方案？最少租车费用是多少？27．某旅行团32人在景区A 游玩，他们由成人、少年和儿童组成．已知儿童10人，成人比少年多12人． （1）求该旅行团中成人与少年分别是多少人?（2）因时间充裕，该团准备让成人和少年（至少各1名）带领10名儿童去另一景区B 游玩．景区B 的门票价格为100元/张，成人全票，少年8折，儿童6折，一名成人可以免费携带一名儿童． ①若由成人8人和少年5人带队，则所需门票的总费用是多少元?②若剩余经费只有1200元可用于购票，在不超额的前提下，最多可以安排成人和少年共多少人带队?求所有满足条件的方案，并指出哪种方案购票费用最少．28．甲、乙两个批发店销售同一种苹果．在甲批发店，不论一次购买数量是多少，价格均为6元/kg ．在乙批发店，一次购买数量不超过元50kg 时，价格为7元/kg ；一次购买数量超过50kg 时，其中有50kg 的价格仍为7元/kg ，超出50kg 部分的价格为5元/kg ．设小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为 kg x (0)x ． （Ⅰ）根据题意填表：（Ⅱ）设在甲批发店花费1元，在乙批发店花费2元，分别求1，2关于的函数解析式； （Ⅲ）根据题意填空：①若小王在甲批发店和在乙批发店一次购买苹果的数量相同，且花费相同，则他在同一个批发店一次购买苹果的数量为____________kg ；②若小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为120kg ，则他在甲、乙两个批发店中的________批发店购买花费少；③若小王在同一个批发店一次购买苹果花费了360元，则他在甲、乙两个批发店中的________批发店购买数量多．29．为庆祝中华人民共和国七十周年华诞，某校举行书画大赛，准备购买甲、乙两种文具，奖励在活动中表现优秀的师生．已知购买2个甲种文具、1个乙种文具共需花费35元；购买1个甲种文具、3个乙种文具共需花费30元．（1）求购买一个甲种文具、一个乙种文具各需多少元？（2）若学校计划购买这两种文具共120个，投入资金不少于955元又不多于1000元，设购买甲种文具x个，求有多少种购买方案？（3）设学校投入资金W元，在（2）的条件下，哪种购买方案需要的资金最少？最少资金是多少元？30．为了节能减排，我市某校准备购买某种品牌的节能灯，已知3只A型节能灯和5只B型节能灯共需50元，2只A型节能灯和3只B型节能灯共需31元．（1）求1只A型节能灯和1只B型节能灯的售价各是多少元？（2）学校准备购买这两种型号的节能灯共200只，要求A型节能灯的数量不超过B型节能灯的数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．。
2020中考数学精选例题解析：应用问题(2)
（2）每件衬衫应降价多少元时，商场平均每天盈利最多？
分析：（1）设每件衬衫应降价x 元，则由盈利1200)220)(40(=+-x x 可解出x 但要注意“尽快减少库存”决定取舍。
（2）当x 取不同的值时，盈利随x 变化，可配方为：1250)15(22+--x 求最大值。
但若联系二次函数的最值求解，可设：
)220)(40(x x y +-=⇒800
6022++-=x x y 结合图象用顶点坐标公式解，思维能力就更上档次了。
所以在应用问题中要发散思维，自觉联系学过的所有数学知识，灵活解决问题。
答案：（1）每件衬衫应降价20元；（2）每件衬衫应降价15元时，商场平均每天盈利最高。
探索与创新：
【问题一】现计划把甲种货物1240吨和乙种货物880吨用一列货车运往某地，已知这列货车挂有A 、B 两种不同规格的货车车厢共40节，使用A 型车厢每节费用为6000元，使用B 型车厢每节费用为8000元。
（1）设运送这批货物的总费用为y 万元，这列货车挂A 型车厢x 节，试写出y 与x 之间的函数关系式；
（2）如果每节A 型车厢最多可装甲种货物35吨和乙种货物15吨，每节B 型车厢最多可装甲种货物25吨和乙种货物35吨，装货时按此要求安排A 、B 两种车厢的节数，那么共有哪几种安排车厢的方案？
（3）在上述方案中，哪种方案运费最省，最少运费为多少元？
略解：（1）设用A 型车厢x 节，则用B 型车厢)40(x -节，总运费为y 万元，则： 32
2.0)40(8.06.0+-=-+=x x x y （2）依题意得：⎩⎨⎧≥-+≥-+880
)40(35151240
)40(2535x x x x 解得：24≤x ≤26。
2020年中考数学 中考新题型 实际应用型(含解答)-
中考新题型 实际应用型命题思路导航近年来，在全国各地的中考试卷中，都有一些密切联系实际的应用型题．强调“学习数学在于应用”这一导向已受到广泛的关注和肯定，为了有效地解答中考应用型题．应当对此进行深入的研究，从近几年的中考“应用问题”来看，始终贯穿着一条主线——将生产、生活实际问题转化为数学问题，数学问题的解答就可能是生产、生活实际问题的解答．一般地应用问题的解答包括三个环节：一是将生产、生活实际问题转化成纯数学问题；二是对数学问题作出解答，得出数学问题的解法；三是检验数学问题作出的解是否符合实际问题．在这三个环节中最关键的环节就是“如何将实际问题转化成数学问题”，我们认为解决这类问题的有效方法之一就是撇开试题中非本质的东西，抓住题目的本质要素，建立数学模型．典型例题解析例1 农作物栽植时在株距相等的条件下，一般选用菱形或正方形两种栽植方式，如图所示，试比较两种栽植方式的优劣．（a ） （b ）分析：可以从两种栽植方式的土地利用率，栽植密度，采光面积分析比较，并将问题转化为几何量的计算．解：（1）土地利用率设AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝a ，A ′B ′＝B ′C ′＝C ′D ′＝D ′A ′＝a ，∴ S 菱形＝2S △ABC ＝2·243a ＝223a ，S 正方形＝a 2， ∴ 正方形菱形S S ＝23≈0.866． 即菱形种植方式的占地面积小，只占正方形种植方式的86．6%．（2）栽植密度显然：AD ＝23AB ≈0.866A ′B ′． 即正方形种植方式的7行，可改菱形种植方式的8行，大面积栽植时每行达数百棵，假设为300棵．正方形栽植方式的700行，可改为菱形栽植800行，即多栽植300×100＝30000棵．（3）采光面积作物生长中叶子的截面大体面圆形，充分长大后相邻两圆外切，因而阴影部分有面积减少，作物采光面积增大．图（a ）中阴影部分的面积S 1为：S 1＝2·21a ·23a －π22⎪⎭⎫ ⎝⎛a ＝24π23a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-． 图（b ）中阴影部分面积S 2为：S 2＝a 2－π22⎪⎭⎫ ⎝⎛a ＝24π1a ⎪⎭⎫ ⎝⎛- ∴ 12S S ＝224π234π1a a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-＝π32π4--≈2.56， 即菱形种植方式作物采光面积比正方形种植方式作物采光面积大得多．综上所述，菱形种植方式较好．剖析：我国国土资源十分珍贵，特别是温室大棚寸土寸金，因此研究作物栽培方式具有现实意义，从而培养学生环保意识．例2 为了巩固1998年抗洪抢险的胜利成果，进一步增强长江大堤的防洪能力，经专家测算，长江某段堤坝（断面为如图所示的ABCD ）的水坡面还需加宽1米，沿背水面由原来的坡度1︰1改建成坡度为1︰3，即∠EFG ＝30°，已知坝高10米，堤长1000米（参考数据2＝1.41，3＝1.73）（1）求坝底增加的宽度（如图中AF 的长）；（2）若某工程队平均每天完成4500立方米的筑坝任务，问该工程队完成这一次任务至多要多少天？分析：该题以抗洪抢险为背景，立意于环境保护，科教兴国，是一道解直角三角形，梯形和工程问题的综合应用题，解答时应熟悉坡度概念，需要空间观念，会进行直角三角形、梯形中的有关计算从而求出所需土方数．解：（1）由DH ︰AH ＝1︰1，DH ＝10，得AH ＝10，故AB ＝AH －GH ＝9．又由Rt △EFG 中，FG ＝EG ·cot30°＝103；得AF ＝FG －AG ＝（103－9）米．（2）S 梯形AFED ＝21（AF ＋DE ）×EG ＝21×（103－9＋1）×10 ＝5（103－8）得V ＝5·（103－8）×1000＝（500003－40000）（m 3），则所需天数为：V ÷4500≈11（天），所以至多需要11天．例3 某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A 、B 两种产品50件．生产一件A 产品需要甲种原料9千克，乙种原料3千克，可获利润700元；生产一件B 产品，需要甲种原料4千克，乙种原料10千克，可获利润1200元．（1）按要求安排A 、B 两种产品的生产件数，有哪几种方案，请你设计出来．（2）设生产A 、B 两种产品获总利润为y 元，其中一种的生产件数为x ，试写出y 与x 之间的函数关系，并利用函数的性质说明（1）中哪种生产方案获总利润最大？最大利润是多少？分析：设安排生产A 种产品x 件，则生产B 种产品（50－x ）件．安排生产方案的建模条件是：甲种原料用料不超过360千克，乙种原料用料不超过290千克，所以生产方案满足的数学模型是 ()⎩⎨⎧≤-+≤-+290)50(1033605049x x x x 而获得利润是由函数y ＝700x ＋1200（50－x ）所决定的，问题转化为上述函数在闭区间内的最值问题．解：（1）解不等式组：()⎩⎨⎧≤-+≤-+290)50(1033605049x x x x 解得30≤x ≤32．∵ x 为整数．∴ x 只取30，31，32．∵ A 、B 两种生产方案有三种：生产A 产品30件，B 产品20件；或者生产A 产品31件，B 种产品19件；或者生产A 产品32件，B 产品18件．（2）在每种确定的生产方案下所获利最大利润为y ＝700x ＋1200（50－x ）＝－500x ＋60000．因y 随x 的增大而减小，因此当x ＝30时，y 取得最大值，此时y ＝－500×30＋60000＝45000（元）．剖析：此题涉及利润、生产、决策等市场经济方面的应用题，富有时代气息，既考查了学生的构建函数、不等式数学模型解决实际问题的能力，也增强了学生的经济意识和决策意识．例4 我国为了缩小个人收入差异，采取了征缴个人所得税政策，某地规定：月收入不超过100元的不纳税；月收入超过1100元就必须纳税，纳税标准为：超过1100元的部分不多于500元的按超过部分5%纳税；超过1100元的部分多于500元而不多于2000元的，超过的500元按5%比例，超过部分中的其余部分按10%的比例纳税．若某人六月份缴纳个人所得税为85元．问此人六月份的收入为多少元．分析：由500×5%＝25，500×55＋（200－50）×10%＝175，25＜85＜175，故知此人收入超过1100元部分多于500元而不多于2000元，设此人六月份收入为x 元，于是可得方程：500×5%＋（x －1100－500）×10%＝85，解得x ＝2200（元）；所以此人六月份的收入为2200元．剖析：本题涉及收入与纳税，着重考查学生运用一元一次方程解决实际问题的能力，增强依法纳税意识．例5 （吉林省）某初一学生在做作业时，不慎将墨水瓶打翻，使一道作业题只看到如下字样：“甲、乙两地相距40千米，摩托车的速度为45千米／时，运货汽车的速度为35千米／时，？”（涂黑部分表示被墨水覆盖的若干文字）请将这道作业题补充完整，并列方程解答．解：下面仅给出一例供评分时对照参考．补充部分：若两车分别从两地同时开出，相向而行，经几小时两车相遇?解：经x 小时两车相遇．依题可得45x ＋35x ＝40，∴ x ＝21． 答：经半小时两车相遇．剖析：此题有多种解法．本文只给出一种解法，这种问题以及前面涉及的自编题均属于命题方式上为“开放题“，其解法、结论均不惟一．例6 （山西省）某市场计划投入一笔资金采购一批紧俏商品，经过市场调查发现，如果月初出售，可获利15%，并可用本和利再投资其他商品，到月末又可获利10%；如果月末出售可获利30%，但要付出仓储费用700元，请问根据商场的资金状况，如何购销获利较多？解：设商场投资x 元，在月初出售，到月末可获利y 1元；在月末出售可获利y 2元． 根据题意，得y 1＝15%＋10%（x ＋15%x ）＝0.265x ，y 2＝30%x －700＝0.3x －700．（1）当y 1＝y 2时，0.265x ＝0.3x －700，x ＝20000；（2）当y 1＜y 2时，0.265x ＜0.3x －700，x ＜20000；（3）当y 1＞y 2时，0.265x ＞0.3x －700，x ＞20000．答：当商场投资为20000元时，两种销售方式获利相同；当商场投资超过20000元时，第二种销售方式获利多；当商场投资不足20000元时，第一种销售方式获利较多．剖析：此类属于探索型试题，此类试题通过转换情景，让考生站在决策的高度解决问题，综合考查了学生运用所学知识综合解题的能力．例7 （1）据《北京日报》2000年5月16日报道：北京市人均水资源占有量只有300立方米，仅是全国人均占有量的81，世界人均占有量的321．问：全国人均水资源占有量有多少立方米？世界人均水资源占有量是多少立方米？（2）北京市一年漏掉的水，相当于新建一个自来水厂，据不完全统计，全市至少有6×105个水龙头、2×105个抽水马桶漏水，如果一个关不紧的水龙头，一个月能漏掉a 立方米水；一个漏水马桶，一个月漏掉b 立方米水，那么一个月造成的水流失量至少是多少立方米？（用含a 、b 的代数式表示）（3）水源透支令人担忧，节约迫在眉睫，针对居民用水浪费现象，北京市将制定居民用水标准，规定三口之家楼房每月标准用水量，超标部分加价收费，假设不超标部分每立方米水费1.3元，超标部分每立方米水费2.9元，某住楼房的三口之家某月用水12立方米，交消费22元，请你通过列方程求出北京市规定三口之家楼房每月标准用水量为多少立方米．解：（1）300÷81＝2400，300÷321＝9600． 答：全国人均水资源占有量是2400立方米，世界人均水资源占有量是9600立方米． （2）一个月造成的流失量至少为（6×105a ＋2×105b ）立方米．（3）设北京市规定三口之家楼房每月标准用水为x 立方米，依题意，得1.3x ＋2.9（12－x ）＝22，解这个方程，得x ＝8．答：北京市规定三口之家楼房每月标准用水量为8立方米．剖析：此类阅读理解试题结合社会上的一些热点或考生所熟悉的生活设置问题的场景，编拟新颖，使试题密切贴近生活，突出了时代感，此类问题通常伴有大量的阅读理解，因此解这种问题的关键在于认真审题，准确理解，将身边的生活问题转化成数学问题．中考真题演练1．（武汉市）今年入夏以来，湖北部分地区旱情严重，为缓解甲、乙两地旱情，某水库计划向甲、乙两地送水，甲地需水量为180万立方米，乙地需水量为120万立方米，现已两次送水：往甲地送水3天，乙地送水2天，共送水48万立方米；往甲地送水2天，乙地送水3天，共送水81万立方米．问：完成往甲地、乙地送水任务还各需多少天？2．（吉林省）一年期定期储蓄年利率为2.25%，所得利息要交纳20%的利息税，例如：存入一年期100元，到期储户纳税后所得利息的计算公式为：税后利息＝100×2.25%－100×2.25%×20%＝100×2.25%（1－20%）．已知某储户有一笔一年期定期储蓄到期纳税后得利息450元，问该储户存入多少本金？3．（云南省）在直径为AB 的平面内，．划出一块三角形区域．使三角形一边为AB ，顶点C 在半圆上，其他两边分别为6和8，现要建造一个内接于△ABC 的矩形水池DEFN ，其中，DE 在AB 上，如图的设计方案是使AC ＝8，BC ＝6，（1）求△ABC 中AB 上的高h ；（2）设DN ＝x ，当x 取何值时，水池DEFN 的面积最大？（3）实际施工时，发现在AB 上距B 点1.85的M 处有一棵大树，问：这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？如果在，为保护大树，请设计出另一种方案，使内接于满足条件的三角形中欲建的最大矩形水池能避开大树．4.（宁夏回族自治区）列方程解应用题:（1）某同学勤工俭学挣的100元钱，按活期存入银行，如果月息是0.15%，数月后本金与利息的和为100.9元，那么该同学的钱在银行存了几个月？（2）王老师把500元钱按一年定期存入银行，到期后，取出了300元捐给了灾区，剩下的200元和应得利息又全部按一年期存入，由于利息下调，第二次的年利率是第一年存款年利率的53，这样到期后可得利息15元，求第一次存款的年利率（144＝12）．5．（连云港市）有一座抛物线形拱桥，正常水位在桥下面宽度为20米，拱顶距离水面4米.（1）在如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的解析式；（2）在正常水位的基础上，当水位上升h （米）时，桥下水面的宽度为d （米），试求出将d 表示为h 的函数解析式；（3）设正常水位时桥下的水深为2米，为保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18米，求水深超过多少米时就分影响过往船只在桥下顺利航行6．（北京市东城区）商场出售的A 型冰箱每台令售价2190元，每日耗电量为1千瓦·时，而B 型节能冰箱每台售价虽比A 型冰箱高出10%，但每日耗电量却为0.55千瓦·时，现将A 型冰箱打折出售（打一折后的售价为原价的101），问商场至少打几折，消费者购买才合算（按使用期为10年．每年365天，每千瓦·时电0.40元计算）？7．（沈阳市）某县位于沙漠边缘地带，治理沙漠、绿化家乡是全县人民的共同愿望．到1998年底，全县沙漠的绿化率已达30%，此后，政府计划在近几年内，每年将当年年初未绿化的沙漠面积的m%栽上树进行绿化，到2000年底，全县沙漠的绿化率已达43.3%，求m 值．已被绿化的沙漠总面积注：沙漠的绿化率＝被绿化的部分）原有沙漠总面积（含已8．（安徽省）目前，包括长江与黄河等七大流域在内，全国水土流失面积达到367万平方千米，其中长江与黄河流域的水土流失总面积占全国的32.4%，而长江流域的水土流失问题更为严重，它的水土流失面积比黄河流域的水土流失面积还要多29万平方千米，问长江流域的水土流失面积是多少？（结果保留整数）9．（福州市）如图为某地的等高线示意图，图中a、b、c为等高线，海拔最低的一条为60米，等高距为10米，结合地理知识写出等高线a为________米，b为_________米，c 为_________米．10．（安徽省）我们知道，溶液的酸碱度由pH确定．当pH＞7时，溶液呈碱性，当pH＜7时，溶液呈酸性．若将给定的HCL溶液加水稀释，那么在下列图象中，能反映HCL溶液的pH与所加水的体积（v）的变化关系的是（）A B C D11．（四川省）某种商品进价为a元，商店将价格提高30%作零售价销售．在销售旺季过后，商店又以8折（即售价的80%）的价格开展促销活动．这时一件该商品的售价为（）（A）a元（B）0.8a元（C）1.04a元（D）0.92a元12．（新疆乌鲁木齐）今年世界杯足球赛的积分方法如下：赢一场得3分，平一场得1分，输了一场得0分．某小组四个队进行单循环赛后，其中一队积7分．若该队赢了x场，平了y场，则（x，y）是（）（A）（1，4）（B）（2，1）（C）（0，7）（D）（3，1）13．（安微省）据报载，我省人均耕地已从1951年的2.93亩减少到1999年的1.02亩，平均每年约减少0.04亩．若不采取措施，继续按此速度减下去，若干年后我省将无地可耕．无地可耕的情况最早会发生在（）（A）2022年（B）2023年（C）2024年（D）2025年14．（北京市东城区）某音乐厅五月初决定在暑假期间举办学生专场音乐会，入场券分为团体票和零售票，其中团体票占总票数的32．若提前购票，则给予不同程度的优惠．在五月份内，团体票每张12元，共售出团体票数的52；零售票每张16元，共售出零售票数的一半．如果在六月份内，团体票按每张16元出售，并计划在六月份内售出全部余票，那么零售票应按每张多少元定价才能使这两个月的票款收入持平?15．（北京市西城区）在北京市“危旧房改造”中，小强一家搬进了回龙观小区．这个小区冬季用家庭燃气炉取暖．为了估算冬季取暖第一个月使用天燃气的开支情况，从11月15日起，小强连续八天每天晚上记录了天燃气表显示的读数，如下表[注：天燃气表上先后两次显示的读数之差就是这段时间内使用天燃气的数量（单位：米3）]：小强的妈妈11月15日买了一张面值600元的天燃气使用卡，已知每立方米天燃气1.70元，请你估算这张卡够小强家用一个月（按30天计算）吗?为什么?16．（河北省）某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克．针对这种水产品的销售情况，请解答以下问题：（1）当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润；（2）设销售单价为每千克x 元，月销售利润为y 元，求y 与x 的函数关系式（不必写出x 的取值范围）；（3）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少?17．（沈阳市）某书店老板去批发市场购买某种图书．第一次购书用100元，按该书定价2.8元出售，并很快售完．由于该书畅销，第二次购书时，每本的批发价已比第一次高0.5元，用去了150元，所购书数量比第一次多10本．当这批书售出54时，出现滞销，便以定价的5折售完剩余的图书．试问该老板第二次售书是赔钱了，还是赚钱了（不考虑其他因素）?若赔线，赔多少?若赚钱，赚多少?18．（哈尔滨市）哈市移动通讯公司开设了两种通讯业务：“全球通”使用者先缴50元月基础费，然后每通话1分钟，再付电话费0.4元．“神州行”不缴月基础费，每通话1分钟，付话费0.6元（这里均指市内通话）．若一个月内通话x 分钟，两种通讯方式的费用分别为1y 元和2y 元．（1）1y 、2y 与x 之间的函数关系式；（2）一个月内通话多少分钟，两种通讯方式的费用相同?（3）若某人预计一个月内使用话费200元，则应选择哪种通讯方式较合算? 19．（山东省）如图，是凸透镜成像的光路图，已知AB ⊥l ，l B A ⊥''，EO ⊥l ，它们的垂足分别是A 、A '、O ；BE ∥l ，f f OF O F AF ,211===为凸透镜的焦距．利用数学知识证明B A ''＝AB ．20．（山东省）如图表示近5年来某市的财政收入情况．图中x轴上1，2，…，5依次表示第1年，第2年，…，第5年，即1997年，1998年，…，2001年．可以看出，图中的折线近似于抛物线的一部分．（1）请你求出过A、C、D三点的二次函数的解析式；（2）分别求出当x=2和x=5时（1）中的二次函数的函数值；并分别与B、E两点的纵坐标相比较；（3）利用（1）中的二次函数的解析式预测今年该市的财政收入．21．（江西省）有一个只允许单向通过的窄道口，通常情况下，每分钟可以通过9人．一天，王老师到达道口时，发现由于拥挤，每分钟只能3人通过道口，此时，自己前面还有36个人等待通过（假定先到的先过，王老师过道口的时间忽略不计），通过道口后，还需7分钟到达学校．（1）此时，若绕道而行，要15分钟到达学校．从节省时间考虑，王老师应选择绕道去学校，还是选择通过拥挤的道口去学校?（2）若在王老师等人维持下，几分钟后，秩序恢复正常（维持秩序期间，每分钟仍有3人通过道口），结果王老师比拥挤的情况下提前了6分钟通过道口，问维持秩序的时间是多少?22．（长沙市）某商场经营一批进价为2元一件的小商品，在市场营销中发现此商品的日销售单价xx 3 5 9 11y 18 14 6 2（1）在直角坐标系中①根据表中提供的数据描出实数对（x，y）的对应点；②猜测并确定日销售量y件与日销售单价x元之间的函数关系式，并画出图象．（2）设经营此商品的日销售利润（不考虑其他因素）为 P元，根据日销售规律：①试求日销售利润P元与日销售单价x元之间的函数关系式，并求出日销售单价x为多少元时，才能获得最大日销售利润．试问日销售利润P是否存在最小值?若有，试求出，若无，请说明理由；②在直角坐标系中，画出日销售利润P元与日销售单价x元之间的函数图象的简图，观察图象，写出x与P的取值范围．参考答案1．设完成往甲地送水任务还需x 天，完成往乙地送水任务还需y 天．根据题意得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅++⋅+=⋅++⋅+813512025180842512035180y x y x ，整理得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++95405407520545y x y x解之是⎩⎨⎧==35y x ，经检验⎩⎨⎧==35y x 是原方程组的解．答：完成往甲地送水任务还需5天，完成往乙地送水任务还需3天．2．设存入x 元本金，根据题意，得：2.25%（1－20%）x ＝450． 解之得x ＝25000（元）． 3．（1）∵ C 点是半圆周上的点，∴ ∠ACB ＝90°，从而知△ABC 是直角三角形， ∴ AB ＝22BC AC +＝10，∵ 10h ＝48， ∴ h ＝4.8；（2）设NF ＝y ，∵ △CNF ∽△CAB ，∴ 108.48.4yx =-， ∴ y ＝10－1225x ，∴ S 矩形DEFN ＝1225x 2＋10x （0＜x ＜4.8）∴ 当x ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛-1225210x ＝2.4时，S 矩形DEFN 的值最大，即此时水池DEFN 的面积最大．（3）在现设计方案中，欲判断大树是否位于水池边上，需求EB 的值． ∵ 当水池DEFN 的面积最大时，DN ＝2.4，∴ 此时F 是BC 的中点，在Rt △FEB 中，EF ＝2.4，BF ＝3．∴ EB ＝22EF BF -＝24.29-＝1.8∵ BM ＝1.85，∴ BM ＞EB ，从而在现设计方案中有BM ＞EB ，知大树必位于欲修建的水池边上，故应重新设计施工方案．∵ 当x ＝2.4时，DE ＝5，∴ AD ＝AB －（DE ＋BE ）＝3.2由圆的对称性知满足题设条件的另外设计方案是将最大面积的水池建成使AC ＝6，图略（注，不要求作图） 4．（1）设该同学的钱在银行存了x 个月．根据题意，得100＋100×0.15%·x ＝100.9，解这个方程，得x ＝6． 答：略，（2）设第一次存款的年利率为x根据题意得［500（1＋x ）－300］·x 53＝15， 整理，得20x 2＋8x －1＝0 解得x ＝101＝10%，x ＝－105（不符合题意舍去） 答：第一次存款的年利率为10%． 5．（1）设抛物线的解析式为y ＝ax 2，在正常水位时，B 点坐标为B （10，－4），将它代入解析式得：－4＝a ·102，∴ a ＝－251， ∴ 解析式为y ＝－251 x 2． （2）水位上升h （米）时，D 点的纵坐标为－（4－h ）．设D 点横坐标为x （x ＞0），则－（4－h ）＝－251x 2， 解得x ＝5h -4， ∴ d ＝2h ＝10h -4，（3）当桥下水面宽度为18米时，得18＝10h -4，2581＝4－h ， h ＝4－2581＝2519＝0.76． ∴ 桥下水深超过2.76米时就影响过往船只在桥下顺利航行． 6．设商场将A 型冰箱打x 折出售，消费者购买才合算． 依题意，有2190×10x＋365×10×1×0.4≤2190×（1＋10%）＋365×10×0.55×0.4 2190×⎪⎭⎫⎝⎛-1.110x ≤365×10×0.4×（0.55－1）解这个不等式得x ≤8,答：商场应将A 型冰箱至少打八折出售，消费者购买才合算． 7．依题意：（1－30%）（1－m%）＝（1－43.3%） 整理，得（－m%）2＝0.81，1－m%＝±0.9，m 1＝10，m 2＝190，m 2＝190不合题意，舍去，所以m ＝10． 答：m 的值为10．8．设长江流域的水土流失面积为x 万平方千米，根据题意得 x ＋（x －29）＝367×32.4%，解得x ≈74．答：长江流域的水土流失面积约是74万平方千米． 9．60，8010．C 11．C 12．B 13．D14．设总票数为a 张，六月份零售票应按每张x 元定价． 五月份：团体票售出数为,523253a a =⨯票款收入为a a 524325312=⨯⨯（元）； 零售票售出票数为a a 613121=⨯，票款收入为a a 386116=⨯（元）．六月份：团体票所剩票数为a a 1543252=⨯，可收入a a 156415416=⨯（元）； 零售票所剩票数为a a 613121=⨯，可收入ax x a 6161=⨯（元）．依题意，得ax a a a 61156438524+=+．解这个方程，得x ＝19.2答：六月份零售票应按每张19.2元定价．15．小强家这一周平均每天用天燃气10立方米．由此估计小强家冬季取暖第一个月使用天燃气约为300立方米． ∵ 1.7×300＝510＜600，∴ 估计这张卡够小强家用一个月． 16．（1）当销售单价定为每千克55元时，月销售量为：500―（55―50）×10＝450（千克）， 所以月销售利润为：（55－40）×450＝6750（元）．（2）当销售单价为每千克x 元时，月销售量为：[500―（x ―50）×10]千克， 而每千克的销售利润是：（x ―40）元， 所以月销售利润为：y ＝（x ―40）[500―（x ―50）×10]＝（x ―40）（1000－10x ）＝－10x 2＋1400x －40000（元），∴ y 与x 的函数解析式y ＝－10x 2＋1400x －40000． （3）要使月销售利润达到8000元，即y ＝8000， ∴ －10x 2＋1400x －40000＝8000，即：x 2－140x ＋4800＝0，解得x 1＝60，x 2＝80．当销售单价定为每千克60元时，月销售量为： 500―（60―50）×10＝400（千克）， 月销售成本为：40×400＝16000（元）；当销售单价定为每千克80元时，月销售量为： 500―（80―50）×10＝200（千克） 月销售成本为：40×200＝8000（元）；由于8000＜10000＜16000，而月销售成本不能超过10000元， 所以销售单位应定为每千克80元．17．解法一：设第二次购书x 本，则第一次购书（x －10）本．由题意，得xx 1502110100=+-， 整理得x 2－110x+3000＝0，解得x 1＝50，x 2＝60． 经检验，x 1＝50，x 2＝60都是原方程的根．当x ＝50时，每本书的批发价为150÷50＝3（元），高于书的定价，不合题意，舍去．当x ＝60时，每本书的批发价为150÷60＝2.5（元），低于书的定价，符合题意．因此第二次购书60本．⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯+⨯⨯218.2608.25460－150＝151.2－150＝1.2（元）答：该老板第二次售书赚了1.2元钱．解法二：设第一次购书的批发价为x 元，则第二次的批发价为（x ＋0.5）（元）．由题意，得5.015010100+=+x x ， 整理得2x 2－9x ＋10＝0，解得x 1＝2.5，x 2＝2． 经检验，x 1＝2.5，x 2＝2都是原方程的根．当x ＝2.5时，第二次的批发价为2.5＋0.5＝3（元）高于书的定价，不舍题意，舍去．当x ＝2时，第二次的批发价为2＋0.5＝2.5（元）低于书的定价，符合题意． 因此第二次购书：150÷（2＋0.5）x ＋60（本）．以下解法同解法一．解法三：设第一次购书x 本，则第二次购书（x ＋10）本．由题意，得1015021100+=+x x ， 整理得x 2－90 x ＋2000＝0，解得x 1＝40，x 2＝50． 经检验，x 1＝40，x 2＝50都是原方程的根．当x ＝40每本书的批发价为100÷40＝2.5（元）， 第二次的批发价为2.5＋0.5＝3（元），高于书的定价，不合题意，舍去． 当x ＝50时，每本书的比发价为100÷50＝2（元），第二次的比发价为2.0＋0.5＝2.5（元）低于书的定价，符合题意．因此第一次购书本．第二次购书50＋10＝60（本）．以下解法同解法一．18．y 1＝50＋0.4x （x ≥0的整数）．y 2＝0.6x （x ≥0的整数）． （2）若两种通讯费用相同，则50＋0.4x ＝0.6．∴ x ＝250． 答：一个月内通话250分钟，两种移动通讯费用相同． （3）当y 1＝200时，即200＝50＋0.4x ，则x ＝375（分）． 当y 2＝200时，即200＝0.6x 则x ＝33331（分）． ∴ “全球通”可通话375分钟，“神州行”可通话33331分钟． 答：选择“全球通”较合算． 19．∵ AB ⊥l ，EO ⊥l ，∴ AB ∥EO ，又∵ BE ∥l ，∴ 四边形AOEB 是矩形．∵ AF 1＝F 1O ＝OF 2＝f ， ∴ BE ＝AO ＝2f ， ∴ O F 2＝21BE ，即BE OF 2＝21．∵E B O O ''2＝BE OF 2＝21，即B 'O ＝BO ， 又∠B 'O A '＝∠BOA ，∴ Rt △B 'O A '≌Rt △BOA ， ∴ A 'B '＝AB ．20．（1）设所求二次函数的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，得⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++54168.3396.2c b a c b a c b a ，解这个方程组，得a ＝0.2，b ＝－0.2，c ＝2.6，因此，所求二次函数的解析式为：y ＝0.2x 2－0.2x ＋2.6．（*）（2）由（*）式，当x ＝2时，y ＝3，此时所求函数值与B 点纵坐标的误差为0（亿元）． 当x ＝5时，y ＝6.6，此时所求函数值与E 点纵坐标的误差为0.3（亿元）（3）把x ＝6代入（*）式，得y ＝8.6，所以预测2002年该市的财政收入约为8.6亿元．21．（1）∵ 7336+＝19＞15， ∴ 王老师应选择绕道而行去学校． （2）设维持秩序时间为t ．则⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-9336336t t ＝6，解之得t ＝3（分）． 答：维持好秩序的时间是3分钟．22．（1）①准确描出四点位置②猜测它是（3，18），（5，14）代入上式求得k ＝－2，b ＝24则有y ＝－2x+24时，（9，6），（11，2）代入知同样满足∴ 所求是y ＝－2x+24由实际意义知所求y ＝－2x+24（*） （0≤x ＜12和y ＝0（x ≥12）画出图象（2）①因为销售利润＝售出价－进货价， 则P ＝xy －2y将（1）中（*）式代入,则P ＝y （x －2）＝（24―2x ）（x ―2）＝－2x 2＋28x －48＝―2（x ―7）2＋50． 当x ＝7时，日销售利润获得最大值为50元．又当x ＞12时，即销售单价大于是2元时，此时无人购买，所以此时利润P ＝0（x ≥12）由实际意义知，当销售价x ＝0，即亏本卖出此时利润P ＝－48，即为最小值．②根据实际意义，有：0≤x＜2时亏本卖出当x＝2或x＝12时利润P＝0，当x＞12时，即高价卖出无人购买P＝0 故作出图象，知：x≥0，－48≤P≤50。