中级微观经济学课件 成本最小化
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第8章 成本最小化与成本曲线
第8章 生产者行为:供给和决策一、本章要点概念（注：*表示中级水平的微观经济学概念，在原教材中没有讲述，但将在补充内容中加以介绍）总成本；固定成本；可变成本；平均成本；平均固定成本；平均可变成本；边际成本；机会成本；短期供给曲线；长期行业供给曲线；外部经济；成本函数*；生产者剩余*；经济租金*；条件要素需求*；要素需求*原理（注：序号m.n ，m 代表第几节，n 代表原理的序号）1.1短期里，成本可区分为固定成本和可变成本。
固定成本不随产量的变化而变化，而可变成本随产量变化而变化。
总成本是固定成本和可变成本的和。
1.2平均成本、平均可变成本以及边际成本都随产量先下降后上升。
边际成本曲线依次穿过平均可变成本和平均成本曲线的最低点。
2.1短期里，当某种产品的市场价格P 低于企业生产该产品的最低平均成本时，企业将停止营业。
停止营业点（短期平均可变成本曲线与短期边际成本曲线的交点）右边部分的边际成本曲线就是短期供给曲线。
3.1行业长期供给曲线是在供给与需求共同发生变化的过程中形成的。
如果外部经济效应占主导，则长期行业供给曲线向右下倾斜。
如果外部经济效应不占主导，则行业长期供给曲线向右上倾斜。
二、补充材料1成本最小化与成本函数假设存在两种生产要素1x 和2x ，价格分别为1w 和2w 。
对于既定的产量y ，厂商希望找到一个最经济的途径去生产，即成本最小化。
这个问题可以表述为：2211,min 21x w x w x x +使得y x x f =),(21求解上述最小化问题，并且用λ表示约束条件的拉格朗日乘子。
我们得到它的一阶条件yx x f f w f w x x ==-=-),(0021'2'121λλ如果知道生产函数的具体形式，那么我们就能够解出要素需求*1x 和*2x ，它们是关于要素价格1w 、2w 和产量y 的函数。
我们把这种要素选择记为*1x =),,(211y w w x 和*2x =),,(212y w w x ，这就是所谓的有条件的要素需求或派生的要素需求。
(上交)微观经济学课件第13讲 成本最小化 PPT文档
收入y单位的最便宜的投入集是
x*1(w1, w2, y), x*2(w1, w2, y)
w2 2w1
2/ 3
y,
2w1 w2
1/3 y
.
一个柯布—道格拉斯成本最小化的例 子
所以公司的总陈本函数是
c(w1, w2, y) w1x*1(w1, w2, y) w2x*2(w1, w2, y)
x2
收入y单位的最便宜的投入集是?
4x1 = x2
x2* = y
x1* = y/4
min{4x1,x2} y’ x1
成本最小化的完全互补的例子
厂商的生产函数是
y min{4x1, x2}
以及这些条件投入需求是
x*1 ( w1 ,
w2, y)
y 4
and x*2(w1, w2, y) y.
成本最小化的完全互补的例子
(a) y (x*1)1/3(x*2 )2/3
(b)
w1 w2
x*2 2x*1
.
成本最小化的道格拉斯例子
(a) y (x*1)1/3(x*2 )2/3
来之于
(b),
x*2
2w1 w2
x*1.
(b)
w1 w2
x*2 2x*1
.
成本最小化的道格拉斯例子
(a) y (x*1)1/3(x*2 )2/3
y min{4x1, x2}
条件投入需求是
x*1 ( w1 ,
w2, y)
y 4
和
x*2(w1, w2, y) y.
所以厂商的总成本函数是
c( w1, w 2, y) w1x*1( w1, w 2, y)
w 2x*2( w1, w 2, y)
x*1(w1, w2, y), x*2(w1, w2, y)
w2 2w1
2/ 3
y,
2w1 w2
1/3 y
.
一个柯布—道格拉斯成本最小化的例 子
所以公司的总陈本函数是
c(w1, w2, y) w1x*1(w1, w2, y) w2x*2(w1, w2, y)
x2
收入y单位的最便宜的投入集是?
4x1 = x2
x2* = y
x1* = y/4
min{4x1,x2} y’ x1
成本最小化的完全互补的例子
厂商的生产函数是
y min{4x1, x2}
以及这些条件投入需求是
x*1 ( w1 ,
w2, y)
y 4
and x*2(w1, w2, y) y.
成本最小化的完全互补的例子
(a) y (x*1)1/3(x*2 )2/3
(b)
w1 w2
x*2 2x*1
.
成本最小化的道格拉斯例子
(a) y (x*1)1/3(x*2 )2/3
来之于
(b),
x*2
2w1 w2
x*1.
(b)
w1 w2
x*2 2x*1
.
成本最小化的道格拉斯例子
(a) y (x*1)1/3(x*2 )2/3
y min{4x1, x2}
条件投入需求是
x*1 ( w1 ,
w2, y)
y 4
和
x*2(w1, w2, y) y.
所以厂商的总成本函数是
c( w1, w 2, y) w1x*1( w1, w 2, y)
w 2x*2( w1, w 2, y)
(精品) 微观经济学课件：成本最小化
x2
4x1 = x2
产出为y’的最小成本 投入束位于何处？
x2* = y
x1* = y/4
min{4x1,x2} y’ x1
成本最小化的完全互补品的例子
厂商的生产函数为：
y min{4x1, x2}
条件要素需求函数为：
x*1( w1,
w2,
y)
y 4
且
x*2( w1, w 2, y) y.
成本最小化的完全互补品的例子
厂商的生产函数为：
y min{4x1, x2}
条件要素需求函数为：
x*1( w1,
w2,
y)
y 4
且
x*2( w1, w 2, y) y.
厂商的总成本函数为：
c( w1, w 2, y) w1x*1( w1, w 2, y)
w 2x*2 ( w1, w 2 , y)
成本最小化的完全互补品的例子
2/ 3
y
w
2
2w1 w2
1/ 3
y
12
2/ 3
w11/ 3 w
2/ 2
3y
21/ 3
w11/
3w
2/ 2
3y
3
w1w 4
2 2
1/ 3
y.
成本最小化的完全互补品的例子
厂商的生产函数为：
y min{4x1, x2}.
给定投入要素价格w1 和 w2 。 厂商对于要素1和2的条件需求为多少？ 厂商的中成本函数为什么？
)1/ 3
2w1 w2
x*1
2/3
2w1 w2
2/3
x*1.
成本最小化的柯布-道格拉斯例子
(a) y (x*1 )1/3(x*2 )2/3
中级微观成本最小化
短期要素需求函数与长期要素需求函数之间的 关系
如果厂商所选择的固定要素使用量恰好使长期 成本最小化，那么长期内使成本最小化的可变 要素使用量就是厂商短期内所选择的使用量。
x1(w1 , w2 , y) x1s[w1, w2 , x2 ( y), y]
22
示例：
厂商的生产函数为y＝ALαKβ。生产要素L 和K的价格分别为wL，wK。
4
成本最小化
构造拉格朗日函数求解:
wx ( y f ( x))
一阶条件：wi
f ( xi ) , i xi
1,, n
任取其中的两种投入,变化后可得：
f ( x) / xi wi f ( x) / x j w j
5
边际替代率等于要素价格比率
成本最小化
等成本线斜率等于等产量线斜率，即
y f (x1*, x2*)
s.t. f (x1, x 2) y
短期要素需求：x1 =x1s(w1,w2 ,x2 ,y),x2 =x2
19
长期成本与短期成本
长期成本函数 长期成本函数指在一切生产要素都可调整的情况
下，生产既定产量的最小成本。 长期成本函数数学表述为：
c( y) min w1x 1w2 x2 s.t. f (x1, x 2) y
成本曲线
思考： 一家厂商在两家工厂生产相同的产品。如果 第一家工厂的边际成本大于第二家工厂的边 际成本，在两个工厂边际成本递增的情况下， 这家厂商该如何减少成本并维持相同的产量？
39
成本曲线的移动
要素价格 技术进步 税收政策 学习效应
40
成本曲线的移动
当要素价格呈比例变动，成本也将呈比例 变动
3
成本最小化
一个厂商的成本最小化问题可表示为：
如果厂商所选择的固定要素使用量恰好使长期 成本最小化，那么长期内使成本最小化的可变 要素使用量就是厂商短期内所选择的使用量。
x1(w1 , w2 , y) x1s[w1, w2 , x2 ( y), y]
22
示例：
厂商的生产函数为y＝ALαKβ。生产要素L 和K的价格分别为wL，wK。
4
成本最小化
构造拉格朗日函数求解:
wx ( y f ( x))
一阶条件：wi
f ( xi ) , i xi
1,, n
任取其中的两种投入,变化后可得：
f ( x) / xi wi f ( x) / x j w j
5
边际替代率等于要素价格比率
成本最小化
等成本线斜率等于等产量线斜率，即
y f (x1*, x2*)
s.t. f (x1, x 2) y
短期要素需求：x1 =x1s(w1,w2 ,x2 ,y),x2 =x2
19
长期成本与短期成本
长期成本函数 长期成本函数指在一切生产要素都可调整的情况
下，生产既定产量的最小成本。 长期成本函数数学表述为：
c( y) min w1x 1w2 x2 s.t. f (x1, x 2) y
成本曲线
思考： 一家厂商在两家工厂生产相同的产品。如果 第一家工厂的边际成本大于第二家工厂的边 际成本，在两个工厂边际成本递增的情况下， 这家厂商该如何减少成本并维持相同的产量？
39
成本曲线的移动
要素价格 技术进步 税收政策 学习效应
40
成本曲线的移动
当要素价格呈比例变动，成本也将呈比例 变动
3
成本最小化
一个厂商的成本最小化问题可表示为：
ch13 成本最小化
等产量线
存在一个内部的成本最小的组合
x2
f(x’1,x2’)=y’
等成本线斜率等于等产量线斜率
w1 w2
TRS
MP
1
MP2
在 （X1*, x2*)
X’2 X’1
f(x1,x2)=y’ x1
成本最小化
• Cobb-Douglas 生产函数：
12 33
y x1 x2
• 求出有条件的投入品需求函数？
• 一个企业的平均（总）成本是随着产出 水平的变化而变化，其变化的方式是由 这个企业的技术的规模报酬特性决定的。
• 问题：一个企业现在生产y个单位的产 品，那么当这个企业生产2y个单位的产 品的时候，这个企业的平均生产成本将 会如何变化呢？
规模报酬与平均生产成本
（一）固定规模报酬：企业产出的倍增要 求企业的投入品倍增。这表明当产出倍 增的时候，这个企业的总成本也倍增。 企业的平均生产成本不变。
成本最小化
• 一个企业成本最小化问题可以表示为：
▪成本最小的最优解组合是： x1*(w1,w2,y)和 x2*(w1,w2,y) ▪生产产品y的可能最小成本是：
C1(w1,w2,y)=w1 x1*(w1,w2,y)+w2x2*(w1,w2,y)
成本最小化
问题：给定投入品的价格和产出水平， • 如何确定成本最小的投入品组合呢？ • 我们如何获得总成本函数呢？等
企业的总成本函数是：
C(w1, w2 ,
Hale Waihona Puke y)w1y 4
w2 y
(
w1 4
w2) y
平均（总）生产成本
• 给定一个正的产出水平，一个企业生产 y个单位产品的平均（总）生产成本 （average total production cost） 是：
存在一个内部的成本最小的组合
x2
f(x’1,x2’)=y’
等成本线斜率等于等产量线斜率
w1 w2
TRS
MP
1
MP2
在 （X1*, x2*)
X’2 X’1
f(x1,x2)=y’ x1
成本最小化
• Cobb-Douglas 生产函数：
12 33
y x1 x2
• 求出有条件的投入品需求函数？
• 一个企业的平均（总）成本是随着产出 水平的变化而变化，其变化的方式是由 这个企业的技术的规模报酬特性决定的。
• 问题：一个企业现在生产y个单位的产 品，那么当这个企业生产2y个单位的产 品的时候，这个企业的平均生产成本将 会如何变化呢？
规模报酬与平均生产成本
（一）固定规模报酬：企业产出的倍增要 求企业的投入品倍增。这表明当产出倍 增的时候，这个企业的总成本也倍增。 企业的平均生产成本不变。
成本最小化
• 一个企业成本最小化问题可以表示为：
▪成本最小的最优解组合是： x1*(w1,w2,y)和 x2*(w1,w2,y) ▪生产产品y的可能最小成本是：
C1(w1,w2,y)=w1 x1*(w1,w2,y)+w2x2*(w1,w2,y)
成本最小化
问题：给定投入品的价格和产出水平， • 如何确定成本最小的投入品组合呢？ • 我们如何获得总成本函数呢？等
企业的总成本函数是：
C(w1, w2 ,
Hale Waihona Puke y)w1y 4
w2 y
(
w1 4
w2) y
平均（总）生产成本
• 给定一个正的产出水平，一个企业生产 y个单位产品的平均（总）生产成本 （average total production cost） 是：
中级微观经济学课件 成本最小化共100页
中级微观经济学课件 成本最小化
21、静念园林好，人间良可辞。 22、步步寻往迹，有处特依依。 23、望云惭高鸟，临木愧游鱼。 24、结庐在人境，而无车马喧；问君 何能尔 ？心远 地自偏 。 25、人生归有道，衣食固其端。
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
25、学习是劳动，是充满思Biblioteka 的劳动。——乌申斯基谢谢！
21、静念园林好，人间良可辞。 22、步步寻往迹，有处特依依。 23、望云惭高鸟，临木愧游鱼。 24、结庐在人境，而无车马喧；问君 何能尔 ？心远 地自偏 。 25、人生归有道，衣食固其端。
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
25、学习是劳动，是充满思Biblioteka 的劳动。——乌申斯基谢谢！
中级微观经济学-f第六章 利润最大化与成本最小化
20
利用显示盈利能力考察技术
➢利用实际数据可反推产生这些数据的技术的性质（生产函数）。
The firm’s technology set must lie under all the
iso-profit lines
y
y w x
pp y
y
( w ,p )
(w', p')
(w" , p" )
y f(x)
1
y*
p 3w1
2
1
x22
长期
( x1* , x2* , y* )
p3
p3
p2
27w12
w2
,
27w1w22
,
9w1w2
2020/3/23
第六章 利润最大化与成本最小化
22
第二节 成本最小化
➢成本最小化 ➢显示成本最小化 ➢规模报酬和成本函数 ➢短期成本和长期成本
2020/3/23
是可变投入，x2是不变投入，利润最大化问题可以表示为：
y f ( x1, x2 )
py w1x1 w2 x2
固定成本？？？
y
w1 p
x1
w2 x2 p
y
➢ 等利润线就是产生固 定利润水平的投入品 和产出品的所有组合。
y f (x1, x2)
Slopes w1 p
➢ 利润最大化条件：
max x1
max x1
pf
(x1, x2 ) 1x1
2 x2
pf (x1*, x2 ) w1 或 pMP1(x1*, x2 ) w1
生产要素的边际产品价值应当等于生产要素的价格。
2020/3/23
第六章 利润最大化与成本最小化
成本最小化(范里安微观经济)
斜率 = c(2y’)/2y’ = AC(2y’).
斜率 = c(y’)/y’ = AC(y’).
y’
2y’ y
$ c(2y’)
c(y’)
c(y)
y’
2y’ y
递增的规模报酬和总成本
$ c(2y’)
c(y’)
斜率 = c(2y’)/2y’ = AC(2y’).
斜率 = c(y’)/y’ = AC(y’).
y’
2y’ y
$
c(y)
c(2y’)
c(y’)
y’
2y’ y
不变的规模报酬和总成本
$ c(2y’) =2c(y’)
c(y’)
c(y)
斜率 = c(2y’)/2y’ = 2c(y’)/2y’ = c(y’)/y’
AC(y’) = AC(2y’).
y’
2y’ y
19.4 长期成本和短期成本
Long-Run & Short-Run Total Costs
长期成本
x2
长期产量扩展曲线
x2 x2 x2
x1 x1x1
y’’’ y’’ y’
x1
x2
长期产量扩展曲线
c(y) w1x1 w2x2
x2 x2
c(y) w1x1 w2x2 y’’’ c(y) w1x1 w2x2
x2
y’’
y’
x1 x1x1
x1
短期成本
x2
短期产量扩展曲线
x2 x2 x2
19、成本最小化
Cost Minimization
19.1 成本最小化 （Cost Minimization）
min w1x1 w2x2
x1 ,x 2 0
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第20章
2013-7-8 中级微观经济学
第21章
第22章
4
回顾
利润（长期）最大化问题就是：
max pf ( x1 , x2 ) w1 x1 w2 x2 .
x1 , x2
一阶条件是：
f ( x1*, x2 *) p w1 0. x1 f ( x1*, x2 *) p w2 0. x2
等成本线
x2 斜率 = -w1/w2.
c” w1x1+w2x2 c’ w1x1+w2x2
c’ < c” x1
2013-7-8 中级微观经济学 19
等产量线
x2
所有产出为y’ 的投入要素的集合。 哪一个最便宜？
f(x1,x2) y’
x1
2013-7-8 中级微观经济学 20
成本最小化问题
2013-7-8
中级微观经济学
3
研究思路
第19章的思路（直接分析利润最大化）
利润最大化 生产函数 要素需求函数 供给函数
第20-22章的思路（间接的思考方法， 先研究既定产量下的成本最小化问
题（第20、21章）；然后，再研究最有利可图的产量水平（第22章） ） 成本最小化 生产函数 有条件的 要素需求函数 成本函数 （成本曲线） 供给函数 （供给曲线）
2013-7-8
中级微观经济学
30
成本最小化 Cobb-Douglas 的例子
生产给定产量成本最小化的投入要素组合 (x1*,x2*) 满足 (a) y ( x* )1/ 3 ( x* ) 2/ 3 1 2
w1 y / x1 (b) w2 y / x2
* 2 / 3 * 2 / 3 (1 / 3)( x1 ) (x2 ) * 1/ 3 * 1/ 3 ( 2 / 3)( x1 ) ( x 2 ) x* 2 . 2x* 1
2013-7-8
中级微观经济学
c(w 1,w 2 ,y) = w x (w 1,w 2 ,y) + w 2x (w 1,w 2 ,y).
* 1 1
* 2
2013-7-8
中级微观经济学
14
成本最小化问题
给定w1, w2 和 y, 如何确定最小成本的投入 组合1、2的位置？ 厂商的总成本函数如何计量?
比较消费者理论中的消费者最优选择问题！
31
2013-7-8
中级微观经济学
成本最小化：C-D技术的例子
* 1/ 3 * 2/ 3 (a) y ( x1 ) ( x 2 )
w 1 x* 2 . (b) w 2 2x* 1
2013-7-8
中级微观经济学
32
成本最小化：C-D技术的例子
* 1/ 3 * 2/ 3 (a) y ( x1 ) ( x 2 )
2013-7-8 中级微观经济学 5
对于C-D函数
f ( x1 , x2 ) x x
a b 1 2
a b 1 2
利润最大化问题是：
max x1 , x2
一阶条件是：
px x w1 x1 w2 x2
a 1 b 1 2
pax x w1 0 pbx x
2013-7-8
a b 1 1 2
f(x1,x2) y’
x1
2013-7-8 中级微观经济学 23
成本最小化问题
x2
所有产出为y’ 的投入要素的集合。 哪一个最便宜？
x 2*
f(x1,x2) y’
x 1* x1
中级微观经济学 24
2013-7-8
成本最小化问题
x2
在一个成本最小化的内点解上： (a) f ( x* , x* ) y 1 2
* 1/ 3 2w 1 * y ( x1 ) x1 w2 2/ 3
2w 1 w2
2/ 3
x* . 1
2013-7-8
中级微观经济学
34
成本最小化：C-D技术的例子
w 1 x* * 1/ 3 * 2/ 3 2 . (a) y ( x1 ) ( x 2 ) (b) w 2 2x* 1 2w 1 * * x1 . 代入(a)得： 由(b)可得, x 2 w2
w2 0
6
中级微观经济学
一阶条件是：
pax x w1 0
pbx x w2 0
a 1 b 1 2 a b 1 1 2
将第一个方程两边乘以 1 , 第二个方程两边乘以 2 , x x
b 并代入y x1a x2 , 上式可以写作:
pay w1 x1 pay w2 x2
x 2*
f(x1,x2) y’
x 1* x1
中级微观经济学 25
2013-7-8
成本最小化问题
x2
在一个成本最小化的内点解上： (a) f ( x* , x* ) y 且 1 2 (b) 等成本线的斜率等于等产量线的斜率
x 2*
f(x1,x2) y’
x 1* x1
中级微观经济学 26
f ( x1 , x2 ) y 0 整理, 并用第一个方程除以第 二个方程, 就可以得到: w1 f ( x1 , x2 ) / x1 w2 f ( x1 , x2 ) / x2
2013-7-8 中级微观经济学 29
成本最小化 Cobb-Douglas 的例子
一个具有 Cobb-Douglas 生产技术厂商的生 产函数为 y f ( x1 , x 2 ) x1/ 3x 2/ 3 . 1 2 厂商面临给定的要素价格 w1 、 w2。 厂商的有条件的要素需求函数是什么?
20 成本最小化
Cost Minimization
2013-7-8
中级微观经济学
1
本章要点
成本最小化 规模报酬和成本函数 长期成本和短期成本
关键词：成本函数
2013-7-8 中级微观经济学 2
研究思路
我们的目标是研究利润最大化的厂商的行为。在 上一章（第19章），我们从直接分析利润最大化 问题开始，着手分析了竞争环境下利润最大化的 厂商的行为。 可以换一种间接的思考方法，把利润最大化问题 分割为两部分：首先，考虑既定产量下的成本最 小化问题（第20、21章）；然后，再研究最有利 可图的产量水平（第22章）。
（第5章）
2013-7-8
中级微观经济学
15
等成本线（Iso-cost Lines）
等成本线是所有耗费相同成本的投入要素 组合点的集合。 例如：给定 w1 和 w2, 数量为$100 的等成 本线方程为
w1x1 w 2x 2 100.
2013-7-8
中级微观经济学
16
等成本线
一般而言，在给定w1 和 w2 的条件下，耗费 成本$c的等成本线表示为
2013-7-8
中级微观经济学
10
成本最小化（Cost Minimization）
当厂商面对给定的要素价格 w = (w1,w2,…,wn) 总成本函数为： c(w1,…,wn,y).
成本函数度量的是当要素价格为 (w1,w2,…,wn) ， 生产y单位产量时的最小成本!
2013-7-8
中级微观经济学
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成本最小化问题
x2
在一个成本最小化的内点解上： (a) f ( x* , x* ) y 且 1 2 (b) 等成本线的斜率等于等产量线的斜率 即 w1 MP1 * *
在 ( x1 , x2 )，
w2
TRS
MP2
x 2*
f(x1,x2) y’
x 1* x1
2w 1 * * x1 . 由(b)可得, x 2 w2
w 1 x* 2 . (b) w 2 2x* 1
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成本最小化：C-D技术的例子
w 1 x* * 1/ 3 * 2/ 3 2 . (a) y ( x1 ) ( x 2 ) (b) w 2 2x* 1 2w 1 * * x1 . 代入(a)得： 由(b)可得, x 2 w2
求解，得到要素需求函数：
apy x w1 bpy x2 w2
1
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中级微观经济学
将求解得到要素需求函数代入生产函数：
yx x bpy x2 w2 apy x1 w1
a b 1 2
a
pay a pby b y( ) ( ) w1 w2
可以得到柯布-道格拉斯厂商的供给函数为：
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成本最小化问题
相切条件的推导方法（教材295页）： 1、直接代入法 2、拉格朗日法
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min w1 x1 w2 x2 x1 , x2 s.t. f ( x1 , x2 ) y 建立拉格朗日函数: L w1 x1 w2 x2 ( f ( x1 , x2 ) y ) 对x1 , x2 , 求导, 得到一阶条件: w1 w2 f ( x1 , x2 ) 0 x1 f ( x1 , x2 ) 0 x2
w1x1 w 2x 2 c
w1 c x1 . 重新排列得到 x 2 w2 w2
等成本线的斜率为- w1/w2,,纵截距为c/w2.
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等成本线
x2
c” w1x1+w2x2 c’ w1x1+w2x2
c’ < c” x1
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成本最小化问题 （The Cost-Minimization Problem）