《实数大小的比较》PPT课件
合集下载
八年级数学上册 3.3 实数 第2课时 实数的运算和大小比较课件 (新版)湘教版.pptx
(b+c)a = ba + ca （乘法对于加法的分配律） ；
（9）实数的减法运算规定为 a -b = a + (-b)
；
（10）实数的除法运算（除数b≠ a ÷ b = a·
0)1，规定为 b
；
（11）实数有一条重要性质：如果a≠0，b≠0，那么
ab
≠
0.
4
小提示
实数也可以比较大小：对于实数a，b，如果a-b>0， 则a大于b（或者b小于a），记作a>b（或b<a）；
3.
9
2 5(精确到小数点6, 精确到小数点后面第二位得：3.16.
10
用正方形比较
不用计算器，估计 5 与2哪个大.
解： 5 ，2 分别是5，4的正方形的边长. 容易说明，面积大的正方形，它的边长也大. 因此， 5 > 2 .
5
2
11
小提示
在实数运算中，如果遇到无理数，并且要 求出结果的近似值时，可按要求的精确度用相 应的近似有限小数代替无理数，再进行计算.
12
练习
计算（精确到小数点后面第二位）.
（1） 2 + 3； （2） 5 -1 ； （3） 5 .
≈1.414+1.732≈3.15.
≈2.236-1≈1.24. ≈2.236×3.14≈7.02.
同样地，如果a-b<0，则a<b.还可以得出：正实数大 于一切负实数；两个负实数，绝对值大的数反而小.
从而数轴上右边的点表示的实数比左边的点表示的 实数大.
负实数
原点
正实数
0
<
5
结论
每个正实数有且只有两个平方根，它们互 为相反数;
(河北专版)2022秋八年级数学上册 第14章 实数14.3 实数 3 实数的大小比较课件冀教版
谢谢观赏
You made my day!
综合探究练 1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月5日星期六2022/3/52022/3/52022/3/5
2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于 独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/52022/3/52022/3/53/5/2022 3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/52022/3/5March 5, 2022 4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/52022/3/52022/3/52022/3/5
6．比较下列各组数的大小：
1＋ (1) 4
3，0.5;
解：∵ 3＞ 1＝1，
∴1＋ 3＞2. ∴1＋4 3＞24＝0.5. ∴1＋4 3＞0.5.
(2)3，4，3 50. 解：3＝3 27，4＝3 64. ∵3 27＜3 50＜3 64， ∴3＜3 50＜4.
7．【2019·四川资阳】设x＝ 15，则x的取值范围是
【点拨】∵9<13<16， ∴3< 13 <4， ∴－4<－ 13 <－3， ∴－5<－ 13 －1<－4， ∴[－ 13 －1]＝－5.
19．如图，请将数轴上标有字母的各点与下列实数对 应起来，再把下列各数用“＞”连接起来． 3，－1.5，－ 5，－π，0.4， 10.
解：A：－π ；B：－1.5；C： 10 ；D：0.4；E：－ 5 ； F：3 . 10 ＞ 3＞0.4＞－1.5＞－ 5＞－π.
答案显示
1．【2020·内蒙古赤峰】实数|－5|，－3，0， 4 中，最小
You made my day!
综合探究练 1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月5日星期六2022/3/52022/3/52022/3/5
2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于 独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/52022/3/52022/3/53/5/2022 3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/52022/3/5March 5, 2022 4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/52022/3/52022/3/52022/3/5
6．比较下列各组数的大小：
1＋ (1) 4
3，0.5;
解：∵ 3＞ 1＝1，
∴1＋ 3＞2. ∴1＋4 3＞24＝0.5. ∴1＋4 3＞0.5.
(2)3，4，3 50. 解：3＝3 27，4＝3 64. ∵3 27＜3 50＜3 64， ∴3＜3 50＜4.
7．【2019·四川资阳】设x＝ 15，则x的取值范围是
【点拨】∵9<13<16， ∴3< 13 <4， ∴－4<－ 13 <－3， ∴－5<－ 13 －1<－4， ∴[－ 13 －1]＝－5.
19．如图，请将数轴上标有字母的各点与下列实数对 应起来，再把下列各数用“＞”连接起来． 3，－1.5，－ 5，－π，0.4， 10.
解：A：－π ；B：－1.5；C： 10 ；D：0.4；E：－ 5 ； F：3 . 10 ＞ 3＞0.4＞－1.5＞－ 5＞－π.
答案显示
1．【2020·内蒙古赤峰】实数|－5|，－3，0， 4 中，最小
实数的大小比较PPT教学课件
章末巩固复习考题
专题一 实数的大小比较 实数进行大小比较的原则是：数轴上右边的点表示的实数 比左边的点表示的实数大；两个负数进行大小比较时，先比较 它们的绝对值，绝对值大的反而小；两个正实数的大小比较一 般采用作差法、作商法、平方法等．
【例 1】估计 52－1与 0.5 的大小关系．
解：因为 52－1－0.5＝ 52－2，而 5－2＞0，
A．0 C．－12
B． 2 D．0.3
专题二 非负数的问题
如下几种形式的非负数在近几年的中考试题中经常出现： (1)a2；(2)|a|；(3) a(a≥0)．
以下非负数的性质可以作为解决此类问题的理论依据： (1)非负数之和仍为非负数； (2)非负数的算术平方根仍为非负数； (3)若干个非负数的和为零，其中每个非负数都为零．
所以
52－2＞0，即
52－1－0.5＞0，所以
5－1 2 >0.5.
随堂小练 1．(2010 年江苏宿迁)有理数、在数轴上的位置如图 2－1， 则 a＋b 的值( A )
A．大于 0 B．小于 0 C．小于 a D．大于 b
图 2－1
2．(2010 年浙江温州)给出四个数 0， 2，－12，0.3 其中最 小的是( C )
网络构建
热点关
热点考向 1.常见铁､铜､铝合金的主要性能及应用｡ 2.结合基本理论比较金属活动性顺序｡ 3.结合实验推断合金组成或计算合金质量分数｡
热点探究 热点1 金属活动顺序表及其应用
金属活动 K Ca Na Mg Al
性顺序表
Zn
Fe Sn Pb(H)
Cu Hg Pt Au Ag
原子失 由大到小,还原性由强到弱 电子能力
图 2－2 解：从数轴上可反映出 b<a<0，于是判断出 a－b>0，a＋b<0， ∴原式＝a－b－(a＋b)＝a－b－a－b＝－2b.
专题一 实数的大小比较 实数进行大小比较的原则是：数轴上右边的点表示的实数 比左边的点表示的实数大；两个负数进行大小比较时，先比较 它们的绝对值，绝对值大的反而小；两个正实数的大小比较一 般采用作差法、作商法、平方法等．
【例 1】估计 52－1与 0.5 的大小关系．
解：因为 52－1－0.5＝ 52－2，而 5－2＞0，
A．0 C．－12
B． 2 D．0.3
专题二 非负数的问题
如下几种形式的非负数在近几年的中考试题中经常出现： (1)a2；(2)|a|；(3) a(a≥0)．
以下非负数的性质可以作为解决此类问题的理论依据： (1)非负数之和仍为非负数； (2)非负数的算术平方根仍为非负数； (3)若干个非负数的和为零，其中每个非负数都为零．
所以
52－2＞0，即
52－1－0.5＞0，所以
5－1 2 >0.5.
随堂小练 1．(2010 年江苏宿迁)有理数、在数轴上的位置如图 2－1， 则 a＋b 的值( A )
A．大于 0 B．小于 0 C．小于 a D．大于 b
图 2－1
2．(2010 年浙江温州)给出四个数 0， 2，－12，0.3 其中最 小的是( C )
网络构建
热点关
热点考向 1.常见铁､铜､铝合金的主要性能及应用｡ 2.结合基本理论比较金属活动性顺序｡ 3.结合实验推断合金组成或计算合金质量分数｡
热点探究 热点1 金属活动顺序表及其应用
金属活动 K Ca Na Mg Al
性顺序表
Zn
Fe Sn Pb(H)
Cu Hg Pt Au Ag
原子失 由大到小,还原性由强到弱 电子能力
图 2－2 解：从数轴上可反映出 b<a<0，于是判断出 a－b>0，a＋b<0， ∴原式＝a－b－(a＋b)＝a－b－a－b＝－2b.
2.1.1实数的大小课件-高一上学期高教版中职数学基础模块(上册)
3cm
4cm
3cm
3cm
2cm
2cm
3cm
4cm
2.1.1 实数的大小
一般地，对于任意实数a,b，如果a-b>0,那么称a大于b（或b小于a）
由此可知：比较两个实数（或代数式）的大小，可转化为比较它们 的差与0的大小，这种比较方法称为作差比较法。
2.1.1 实数的大小B来自Aba
a>b
数轴上的数是从左到右依次增大的
A
B
a
b
a<b
A(B) a(b)
a=b
典型例题
例1
巩固练习
练习1、比较下列各组实数的大小
典型例题
例2
巩固练习
练习2、
探究与发现
巩固练习
练习3、
课堂小结
(1)如何比较两个实数的大小： (2)作差比较法的含义； (3)不等式的三条公理。
第二章 不等式
章导语
华罗庚（1910--1985） 数学家，中 国科学院院士，美国国家科学院外籍 院士，第三世界科学院院士，联邦德 国巴伐利亚科学院院士，中国科学院 数学研究所研究员、原所长。
柯西（Cauchy，Augustin Louis 1789-1857）， 出生于巴黎。由于家庭的原因，柯西本人是一位 虔诚的天主教徒。并在数学领域，有很高的建树 和造诣。很多数学的定理和公式也都以他的名字 来称呼，如柯西不等式、柯西积分公式。
2.1.1 实数的大小
学习目标：
1.通过情景问题理解作差法的含义，知道可以通过 作差法比较两个数（代数式）的大小并会运用作差 比较法解决问题 2.通过实例，体会由实际问题上升为数学概念和数 学知识的过程培养学生善于将复杂问题简单化的思 维品质
实数的大小比较课件--2023学年沪科版数学七年级下册
例题精讲 利用数轴比较实数的大小
例题 请将图中数轴上标有A'B'C' 字母的各点与下列实数对应起来，再把下列各数用 “>”连接起来.
3, 1.5, 5, π, 0.4, 10.
AE B D F C -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 分析： 用“>”连接起来，从大到小排列
将所有数表示在数轴上
根据被开方数越大，对应的算术平方根也越大，可知： ab0 a b
主要用于含有根号的无理数的大小比较.
知识梳理
一、利用作差法、平方法、数轴或特殊值法比较实数的大小 （3）利用数轴比较实数的大小
① 数轴上右边的实数总比左边的实数大； ② 离原点越远的数的绝对值越大．
a
0b
表示数a的点位于表示数b的点左侧 形
数形结合
a< b
数
知识梳理
一、利用作差法、平方法、数轴或特殊值法比较实数的大小 （4）利用特殊值法比较实数的大小
当0< x <1时，比较-x，-x2， x大小时，
不易直接比较时，可以根据题目的要求取特殊值进行判断更简单．
例题精讲 利用作差法比较实数的大小
例题 比较 5 1和 1 的大小 A'B'C'
a< b
数
取特殊值法
当遇到选择填空题，不易直接比较大小时， 有时候用特殊值法更简单
再见
比较平方后结果的大小
例题精讲 利用平方法比较实数的大小
例题 讲授完本节，在小结时总A'B'C' 结了这样一句话：“对于任意两个整数a、b，如果a＞b，
那么
a.”然 后b讲了下面一个例题：比较 和 2 3的大3 小2.
初中数学实数大小比较的10种方法讲解ppt
7.取中间值：当两个数都比较接近某一个中间数时，若一个数比中 间数大，另一个数比中间数小，就可以比较出两个数的大小；
8.二次根式：被开方数越大，二次根式的值越大； 9.取特值法 10.缩放法 11.其它放法。
实数大小比较10种中的隐含条件
解析：
小结：该法适用于被开方数中含有字母的二次 根式和三次根式的大小比较．实质上此题是运 用了一个基本事实，即正数>负数
基本思路是：要比较的两个数都接近于一 个中间数，其中一个数大于中间数，另一 个数小于中间数，就可以比较出两个数的 大小
456 748 例5：比较998 和 1084 的大小
456 1 748 1 解： 998 ＜2 ， 1084 ＞2
456 748 所以：998 ＜ 1084
平方法的基本是思路是先将要比较的两个数分别平方， 再根据
小数－大数<0, 即a－b<0,则a<b; 4.a、b都为正数，则两数的商与两数的大小有下面的关系：
a/b>1,则a>b; a/b=1,则a=b; a/b<1,则a<b; 5.分数大小的比较： 分母相同，分子越大分数越大；分子相同，分母越小分数越大。
6.倒数法：对于正数a、b倒数大的反而小。 即：a>0,b>0,若1/a>1/b,则a<b.
差值比较法的基本思路是设a，b为 任意两个实数，先求出a与b的差， 再根据
当a-b﹥0时，得到a﹥b； 当a-b﹤0时，得到a﹤b。 当a-b＝0时，得到a=b。
商值比较法的基本思路是设a，b为任意两个正 实数，先求出a与b得商。
倒数法的基本思路是设a，b为任意 两个正实数，先分别求出a与b的倒 数，再根据
注：这种方法常用于比较无理数的大小
8.二次根式：被开方数越大，二次根式的值越大； 9.取特值法 10.缩放法 11.其它放法。
实数大小比较10种中的隐含条件
解析：
小结：该法适用于被开方数中含有字母的二次 根式和三次根式的大小比较．实质上此题是运 用了一个基本事实，即正数>负数
基本思路是：要比较的两个数都接近于一 个中间数，其中一个数大于中间数，另一 个数小于中间数，就可以比较出两个数的 大小
456 748 例5：比较998 和 1084 的大小
456 1 748 1 解： 998 ＜2 ， 1084 ＞2
456 748 所以：998 ＜ 1084
平方法的基本是思路是先将要比较的两个数分别平方， 再根据
小数－大数<0, 即a－b<0,则a<b; 4.a、b都为正数，则两数的商与两数的大小有下面的关系：
a/b>1,则a>b; a/b=1,则a=b; a/b<1,则a<b; 5.分数大小的比较： 分母相同，分子越大分数越大；分子相同，分母越小分数越大。
6.倒数法：对于正数a、b倒数大的反而小。 即：a>0,b>0,若1/a>1/b,则a<b.
差值比较法的基本思路是设a，b为 任意两个实数，先求出a与b的差， 再根据
当a-b﹥0时，得到a﹥b； 当a-b﹤0时，得到a﹤b。 当a-b＝0时，得到a=b。
商值比较法的基本思路是设a，b为任意两个正 实数，先求出a与b得商。
倒数法的基本思路是设a，b为任意 两个正实数，先分别求出a与b的倒 数，再根据
注：这种方法常用于比较无理数的大小
实数的大小比较PPT课件
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结
CONTENTS
2
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结
实数的大小比较
问题1 利用数轴，我们可以比较两个有理数的大小.在数轴上表示的数， 右边的数总比左边的数大．
因为在数轴上3在2的右边，所以3>2，－2在－3的右边，所以 －2_＞__－3；
因为在数轴上 3 在 2的右边，所以 3 _＞__ 2 ，－ 2 在－ 3 的右边， 所以－ 2 _＞___－ 3 ，同理：0_＞___－ 3 ；－ 5 _＞___－ 7 .
B．5和6之间
C．6和7之间
D．7和8之间
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结
实数的运算
归纳： 在实数范围内，进行加、减、乘、除、乘方和开方运算时， 有理数的运算法则和运算律仍然适用；实数混合运算的运算顺序 与有理数的混合运算顺序一样，先算乘方、开方，再算乘除，最 后算加减，同级运算按照自左向右的顺序进行，有括号的先算括 号里面的．
A．在1和2之间
B．在2和3之间
C．在3和4之间
D．在4和5之间
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结
4.计算： （1）2 2 3 2； （2） 2 3 2 2. 解：
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结
CONTENTS
4
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结
实数的大小比较
实数
实数的估算
2
8 2 3
64 9
,
2
63
7 7 ,
9
而 64 63 , 所以
99
64 9
7,
即 22 3
7.
(2)因为( 10 )2＝10，π2＝(3.141 5…)2，而10＞3.152＞π2，所以
人教版七年级数学下册《实数》专题PPT课件
为 2 的整数是 1，将这个数减去其整数部分，差就是 2 的小数部分，又例如：∵22＜( 7)2＜32，即2＜ 7＜3，
∴ 7的整数部分为2，小数部分为( 7 2).
请解答：
(1) 如果 5 的整数部分为a， 13 的整数部分为b，
求(a b)2 b(a 1)的立方根； (2) 若- 5 x y，其中 x 是整数，且0＜y＜1， 求 x、y 的值； (3) 在(1)(2)的条件下求(x a)(1 b y)的值.
a b 3 ( 13 3) a b 6 13
【应对策略】估算 a (a＞0)在哪两个整 数之间及整数、小数的部分：根据算术平 方根的定义，有 m2＜a＜n2，其中 m，n 是 连续非负整数，则m＜ a＜n，则 a 的整 数部分为 m，小数部分为 a m .
练一练
阅读下面的文字，解决问题：大家知道 2 是无理数， 而无理数是无限不循环小数，因此 2 的小数部分我们 不可能全部地写出来，于是小明用 2 1 来表示 2 的 小数部分，事实上，小明的表示方法是有道理的，因
第六章 实数
综合专题讲解
专题目录 专题一：算术平方根的非负性 专题二：实数的估算 专题三：比较实数大小的方法
专题一：算术平方根的非负性
例1 若 a 4 2b 10 0 互为相反数，求 a+b 的
算术平方根.
算术平方根有什么性质呢？
分析：算术平方根具有非负性 两式都为 0
a4
a-4 = 0
a=4
2b 10 2b-10 = 0 b = 5
a b 9 a+b 的算术平方根为 3
例2 如果 a 1 与 2 b 互为相反数，那么 a+b 的绝
对值为____2___1__. 算术平方根和绝对值有什 么性质呢？
∴ 7的整数部分为2，小数部分为( 7 2).
请解答：
(1) 如果 5 的整数部分为a， 13 的整数部分为b，
求(a b)2 b(a 1)的立方根； (2) 若- 5 x y，其中 x 是整数，且0＜y＜1， 求 x、y 的值； (3) 在(1)(2)的条件下求(x a)(1 b y)的值.
a b 3 ( 13 3) a b 6 13
【应对策略】估算 a (a＞0)在哪两个整 数之间及整数、小数的部分：根据算术平 方根的定义，有 m2＜a＜n2，其中 m，n 是 连续非负整数，则m＜ a＜n，则 a 的整 数部分为 m，小数部分为 a m .
练一练
阅读下面的文字，解决问题：大家知道 2 是无理数， 而无理数是无限不循环小数，因此 2 的小数部分我们 不可能全部地写出来，于是小明用 2 1 来表示 2 的 小数部分，事实上，小明的表示方法是有道理的，因
第六章 实数
综合专题讲解
专题目录 专题一：算术平方根的非负性 专题二：实数的估算 专题三：比较实数大小的方法
专题一：算术平方根的非负性
例1 若 a 4 2b 10 0 互为相反数，求 a+b 的
算术平方根.
算术平方根有什么性质呢？
分析：算术平方根具有非负性 两式都为 0
a4
a-4 = 0
a=4
2b 10 2b-10 = 0 b = 5
a b 9 a+b 的算术平方根为 3
例2 如果 a 1 与 2 b 互为相反数，那么 a+b 的绝
对值为____2___1__. 算术平方根和绝对值有什 么性质呢？
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
实际上是比较它们的值的大小，可以通 过作差． 变形． 判断差值正负来得出结 论. 从而把比较两个实数大小的问题转化 为实数的运算符号问题．
解: ∵ (a+3) (a-5) - (a+2) (a-4)
= a2-2a-15- (a2-2a-8) = -7<0
∴ (a+3) (a-5) < (a+2) (a-4)
例3.已知a >0、 b > 0，比较a3 + b3与a2b + ab2的大小. 分析: (1) 作差、变形: a3 + b3-a2b - ab2
=(a3-a2b)- (ab2-b3)
=a2(a-b) -b2(a-b)
=(a-b)2 (a+b) (2)判断差值正负: ∵ (a-b)2≥0 a+b ＞0
例2.比较(3x-2)(x+1)与(2x+5)(x1)的大小.
分析: (1)作差．合并同类项： (3x-2)(x+1)-(2x+5)(x1)
= ( 3x2+ x-2)- (2x2+3x-5 ) = x2-2x+3
(2)变形．比较大小:
x2-2x+3= (x1)2+2＞0. (3)得出结论:
(3x-2)(x+1)＞(2x+5)(x1).
当b > a
abba <
a>ab0时b ；，ab
<
1,a-b
<
0,故
(ab)
a-b
>
1,此时
综上,对于任意a >0,b > 0, 总有 abba ≤aabb
变式训练：
a+b
2.已知a >b > 0,比较gt;
a+b
(ab) 2
)
小结：
本节研究了如何比较两个实数或代 数式的大小，其具体解题步骤可归纳为：
1、作差判断两个实数大小的充要条件： 对于任意两个实数a、b，判断其
大小的充要条件是：
a > b a b > 0； a < b a b < 0； a = b a b = 0； 由此可见，要比较两个实数的大小，只 要考察它们的差的符号就可以了 .
例题讲解
例1. 比较(a+3)(a5)与(a+2)(a4)的大小. 分析:此题属于两代数式比较大小，
解:∵a >0 ,b > 0,∴ ab , ba , aa , bb 均大于0.
aabb abba
=
aa-bbb-a =
aa-bb-(a-b)=
(ba)
a-b
当a > b > 0时，ab>1,a-b>0,故(ab) a-b>1, 此时
abba < aabb ；
当a =b ≠ 0时，显然abba = aabb；
∴ (a-b)2 (a+b) ≥0
(3)得出结论：a3 + b3 ≥ a2b + ab2
点拨： 例1、例2、例3是用作差比较法 来比较两个实数或代数式的大小，其一 般步骤是： 作差——变形——判断变形结果的符号
① 常数 (直接判断) ② 一元二次式 （配方后判断） ③ 若干个因式的积或商（分析各因式符号）
课后思考
当a < 0，b < 0时,如何用作商法判断a 、
b的大小
作业
1.教材P4习题1.1中第 2、3题. 2.已知a >0 ,b > 0,用作差法比较abba与
aabb 大小.
1. 第一步：作差并化简，其目标应是 n个因式之积或完全平方式或常数的形式；
2. 第二步：判断差值与零的大小关系， 必要时须进行讨论；
3. 第三步：得出结论．
简言之就是： 作差→变形→定号→结论． 在某些特殊情况下, 还可考虑运
用作商法比较大小．它与作差法的 区别在于第二步，作商法是判断商 值与1的大小关系．
这样，就把两个数或代数式的大小 问题转化为判断它们差的符号问题，至 于差本身是多少，在此无关紧要．
变式训练：
设x≠0， 求 证： ( x2+1) 2 > x4+x2+1
2、作商判断两个正实数大小的充要条件：
当a > 0，b > 0时.
a b
>1
a>b；
a b
<1
a
<
b；
a b
=1
a
=
b
.
例4.已知a >0 ,b > 0,比较abba与aabb 大小.
解: ∵ (a+3) (a-5) - (a+2) (a-4)
= a2-2a-15- (a2-2a-8) = -7<0
∴ (a+3) (a-5) < (a+2) (a-4)
例3.已知a >0、 b > 0，比较a3 + b3与a2b + ab2的大小. 分析: (1) 作差、变形: a3 + b3-a2b - ab2
=(a3-a2b)- (ab2-b3)
=a2(a-b) -b2(a-b)
=(a-b)2 (a+b) (2)判断差值正负: ∵ (a-b)2≥0 a+b ＞0
例2.比较(3x-2)(x+1)与(2x+5)(x1)的大小.
分析: (1)作差．合并同类项： (3x-2)(x+1)-(2x+5)(x1)
= ( 3x2+ x-2)- (2x2+3x-5 ) = x2-2x+3
(2)变形．比较大小:
x2-2x+3= (x1)2+2＞0. (3)得出结论:
(3x-2)(x+1)＞(2x+5)(x1).
当b > a
abba <
a>ab0时b ；，ab
<
1,a-b
<
0,故
(ab)
a-b
>
1,此时
综上,对于任意a >0,b > 0, 总有 abba ≤aabb
变式训练：
a+b
2.已知a >b > 0,比较gt;
a+b
(ab) 2
)
小结：
本节研究了如何比较两个实数或代 数式的大小，其具体解题步骤可归纳为：
1、作差判断两个实数大小的充要条件： 对于任意两个实数a、b，判断其
大小的充要条件是：
a > b a b > 0； a < b a b < 0； a = b a b = 0； 由此可见，要比较两个实数的大小，只 要考察它们的差的符号就可以了 .
例题讲解
例1. 比较(a+3)(a5)与(a+2)(a4)的大小. 分析:此题属于两代数式比较大小，
解:∵a >0 ,b > 0,∴ ab , ba , aa , bb 均大于0.
aabb abba
=
aa-bbb-a =
aa-bb-(a-b)=
(ba)
a-b
当a > b > 0时，ab>1,a-b>0,故(ab) a-b>1, 此时
abba < aabb ；
当a =b ≠ 0时，显然abba = aabb；
∴ (a-b)2 (a+b) ≥0
(3)得出结论：a3 + b3 ≥ a2b + ab2
点拨： 例1、例2、例3是用作差比较法 来比较两个实数或代数式的大小，其一 般步骤是： 作差——变形——判断变形结果的符号
① 常数 (直接判断) ② 一元二次式 （配方后判断） ③ 若干个因式的积或商（分析各因式符号）
课后思考
当a < 0，b < 0时,如何用作商法判断a 、
b的大小
作业
1.教材P4习题1.1中第 2、3题. 2.已知a >0 ,b > 0,用作差法比较abba与
aabb 大小.
1. 第一步：作差并化简，其目标应是 n个因式之积或完全平方式或常数的形式；
2. 第二步：判断差值与零的大小关系， 必要时须进行讨论；
3. 第三步：得出结论．
简言之就是： 作差→变形→定号→结论． 在某些特殊情况下, 还可考虑运
用作商法比较大小．它与作差法的 区别在于第二步，作商法是判断商 值与1的大小关系．
这样，就把两个数或代数式的大小 问题转化为判断它们差的符号问题，至 于差本身是多少，在此无关紧要．
变式训练：
设x≠0， 求 证： ( x2+1) 2 > x4+x2+1
2、作商判断两个正实数大小的充要条件：
当a > 0，b > 0时.
a b
>1
a>b；
a b
<1
a
<
b；
a b
=1
a
=
b
.
例4.已知a >0 ,b > 0,比较abba与aabb 大小.