行波法
波动方程初值问题与行波法
1 x at 1 u d 2 2a x at 1
1 arctan( x at ) arctan( x at ) 2a
例4： 求二阶线性偏微分方程初值问题的解
uxx 2uxy 3u yy 0 2 u | 3 x , u y | y 0 0 y0
2 F 3 x G x 3 x F ' 3 x G ' x 0
1 F 3x G x C 3
9 2 F 3x x C ' 4 G x 3 x 2 C ' 4
P( x, t )
依赖区间
x at
x at
x
区间 [ x at , x at ] 为解的依赖区间。
2.决定区域 该区域中任一点(x, t )的依 赖区间都落在区间[c, d]内 部，因此解在此该区域中的 数值完全由区间[c, d]上的 初始条件决定。
t
x c at
x d at
例5 求二阶线性偏微分方程的通解
uxx 2sin xuxy cos xuyy 0.
2
解：特征方程为
dy
2
2sin xdxdy cos x dx 0
2 2
dy dy 1 sin x 1 sin x 0 dx dx
G(x-at)=G(x0+at-at)=G(x0)
u2 G ( x ) ( t 0)
O
at
u2 G ( x at ) ( t t0 )
x0
x x0 at
x
u1 F ( x at )
行波
一、其他测距的方法？（听诊法，短距长距分别用什么）二、故障测距各方法的优缺点？为什么选择行波法？三、行波法需要解决哪些问题？目的，定位精度等。
四、行波法各种方法的原理？确定使用哪一种？五、行波法市面上使用的产品（程度、问题、技术发展现状）四、行波法各方法原理：A型装置利用故障点产生的行波在测量点到故障点间来回往返的时间与行波波速之积来确定故障位置；B型装置利用故障点产生的行波到达两端的时间差与波速之积来确定故障位置；C型装置是在故障发生时于线路的一端施加高压高频或直流脉冲信号，根据脉冲往返时间来确定故障位置；D型装置是在 B型装置的基础上建立了基于全球定位系统（Global Positioning System，GPS）精确对时的双端行波法，使得行波故障测距的实现既简单又精确稳定，并且有良好的适应性；E型装置出现时间稍晚，它采用单端方式，原理是捕捉线路发生故障后的断路器重合闸产生的电流行波进行定位，它同样可以测量永久短路故障、开路故障以及在健全线路中测量线路全长；F型装置原理（单端测距原理）则利用故障线路在断路器分闸时产生的暂态行波在行波的测量点与产生故障的地点之间往返一次的传播所用的时间与行波的速度积计算发生故障点的距离。
（1）A型行波法原理A型法是一种单端行波测距法，其利用线路故障时自身产生的暂态行波信号实现故障定位。
在牵引网输电线发生故障时，故障产生的行波浪涌在故障点及母线之间来回反射，利用故障线路在测量端感受到的第一个正向行波浪涌与其在故障点反射回的行波信号之间的时间差，计算测量点到故障点之间的距离。
单端A型测距原理示意图设S端为测量端,波速为v，故障初始行波与故障点反射波到达本端母线的时间分别为Ts1,Ts2,则故障距离原理可用公式表示为：当故障点在线路中点以内时,来自故障线路方向的第二个同极性行波波头是故障点反射波,根据它与故障初始行波的时间差△t,利用上式来实现测距。
当故障点在线路中点以外时,来自线路方向的第二个行波波头是来自故障线路对端的反射波,虽然电流行波在对端一般产生正反射以及故障点透射系数为正数,由于向对端运动的故障初始行波与向本侧运动的初始行波反极性,故对端反射波在本侧记录下的行波波形上与故障初始行波反极性。
数学物理方程第三章_行波法和积分变换法
[x − at , x + at ] 上的值,而与其他点上的初始条件无关,这个区间称为点 (x, t ) 的依赖区间,
它是过 ( x, t ) 点分别作斜率为 ±
1 的直线与 x 轴相交所截得的区间,如图 3-2 所示. a
(x,t0)
y
x O x-at0 x+at0
图 3-1
初 始 时 刻 t = 0 时 , 取 x 轴 上 的 一 个 区 间 [x1 , x 2 ] , 过 点 x1 作 斜 率 为
同理可得
2 ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ⎤ 2⎡∂ u = + a + 2 ⎢ 2 ∂ξ∂η ∂η 2 ⎥ ∂t 2 ⎣ ∂ξ ⎦
将其代入式(3.1.1),得
∂ 2u =0 ∂ξ∂η
对 ξ 积分,得
∂u = f (η ) ∂η
对此式再关于η 积分,得
u = ∫ f (η )dη + f1 (ξ ) = f1 (ξ ) + f 2 (η )
第三章 行波法与积分变换法 本章我们介绍两个常用的解题方法：行波法和积分变换法。行波法只用于求解无界区 域上的波动方程定解问题， 积分变换法不受方程类型的限制， 一般应用于无界区域的定界问 题，有时也应用于有界域的定解问题.
3.1 达朗贝尔公式及波的传播 在求解常微分方程的特解时,一般先求出方程的通解,然后利用所给的定解条件去解出 通解中含有的任意常数,最后得到了满足所给条件的特解.这个想法能否推广到求解偏微分方 程的过程中呢?一般情况下,随着自变量个数的增加,偏微分方程的通解非常难求,并且偏微分 方程的通解一般都含有任意函数,这种任意函数很难由定解条件确定为具体的函数.所以在求 解数学物理方程时,主要采用通过分析各类具体的定解问题,直接求出符合定解条件的特解的 方法.但事情没有绝对的,在有些情况下,我们可以先求出含任意函数的通解,然后根据定解条 件确定出符合要求的特解.本节我们研究一维波动方程的求解,就采用这种方式. 3.1.1 达朗贝尔公式 如果我们所考察的弦无限长,或者我们只研究弦振动刚一开始的阶段,且距弦的边界较远 的一段,此时可以认为弦的边界,对此端振动的弦不产生影响.这样,定解问题就归结为如下形 式
波动方程和行波法
f ( x0 , y0 , z0 , t )
其中 f ( x0 , y0 , z0 , t ) 为已知函数。
35
第二类边界条件（Neuman 边界条件）：
规定所研究物理量在边界外法线方向 n 上的
方向导数的数值.
u f n
u f ( x0 , y0 , z0 ) ， n ( x0 , y0 , z0 )
36
第三类边界条件（混合边界条件 也叫 Robin边界条件 ）：规定所研究物理量及其
外法向导数的线性组合在边界上的值
u Hun
( x0 , y0 , z0 )
f ( x0 , y0 , z0 , t )
u f H :常系数 u n
37
以上三类边界条件当 f 0 时，分别称为 第一、二、三类齐次边界条件。
22
应用微积分中值定理:
ux ( x dx, t ) T1ux ( x, t ) uxx dx
dy f ' ( x)dx
ux ( x dx, t ) T1ux ( x, t ) uxx dx
x Fdx dxutt
Tuxx dx Fdx dxutt
39
2 a u tt u xx 0 在这一点无意义.如果,将
l 分成 x x0 ，x x0 两段分别考虑，
在各段上,弦振动方程有意义，但它是一 根弦的两段，并不是各自振动的。从数学
上来讲，不可能在两端上分别列出定解问
题。两段可作为一个整体来研究，两段的 振动是相互关联的。
40
u
F（0,t）
15
即整根弦由相互牵连的质点组成，对每个
行波法和达朗贝尔公式
第二章数学物理方程的解§2.1 行波法 达朗贝尔公式读者已经熟悉常微分方程的常规解法：先不考虑任何附加条件，从方程本身求出通解，通解中含有任意常数（积分常数），然后利用附加条件确定这些常数。
偏微分方程能否仿照这种办法求解呢？ （一）达朗贝尔公式试研究均匀弦的横振动方程（7-1-6）、均匀杆的纵振动方程（7-1-9）、理想传输线方程（7-1-14），它们具有同一形式即（7-4-1）（1）通解方程（7-4-1）的形式提示我们作代换（7-4-2）因为在这个代换下，方程（7-4-1）就成为。
但为了以后的书写便利，把代换（7-4-2）修改为,0 22222=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂u x a t .0 =⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂u x a t x a t , ),(ηξηξ-=+=t a x , x a t x x t t ∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ξξξ, ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂x a tx x t t ηηη0) /(2=∂∂∂u ηξ即在此代换下，方程（7-4-1）化为（7-4-3）就很容易求解了。
先对积分，得（7-4-4）其中是任意函数。
再对积分，就得到通解（7-4-5）其中和都是任意函数。
式（7-4-5）就是偏微分方程（7-4-1）的通解。
不同于常微分方程的情况，式中出现任意函数而不是任意常数。
通解（7-4-5）具有鲜明物理意义。
以而论，改用以速度沿正方向移动的坐标轴，则新旧坐标和时间之间的关系为而与时间T 无关。
这就是说，函数的图象在动坐标系中保持不变，亦即是随着动坐标系以速度沿正方向移动的行波。
同理，是以速度沿负方向移动的行波。
这样，偏微分方程（7-4-1）描写以速度向两方向传播的行波。
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=),(21),(21ηξηξa t x ⎩⎨⎧-=+=.,at x at x ηξ,0 2=∂∂∂ηξuη)( ξξf u=∂∂f ξ),()( )()()()(21212at x f at x f f f f d f u -++=+=+=⎰ηξηξξ1f 2f )(2at x f -a x X ⎩⎨⎧=-=,,t T at x X ),()(22X f at x f =-a x )(1at x f +a x a（2）函数与 的确定通解（7-4-5）中的函数与可用定解条件确定。
波动方程和行波法剖析课件
目录 Contents
• 波动方程的基本概念 • 行波法的基本原理 • 波动方程的解析解法 • 波动方程的数值解法 • 行波法的应用实例
01
波动方程的基本概念
பைடு நூலகம்
波动方程的定义
波动方程
描述波动现象的基本数学模型，通常 用于描述物理场（如声场、电磁场、 水波等）随时间和空间的变化规律。
03
最后，通过迭代求解差分方程 ，得到波在每个网格点上的值 ，从而得到波的传播和演化过 程。
行波法的优缺点
优点
行波法简单易懂，易于编程实现，能够处理复杂的边界条件和初始条件，适用 于求解各种类型的波动方程。
缺点
行波法需要设定初始条件和边界条件，对于某些复杂的波动问题可能需要较高 的计算成本和精度要求。
水波传播的模拟
要点一
总结词
利用行波法模拟水波的传播，有助于研究水波的形成、演 化及对环境的影响。
要点二
详细描述
在水波传播的模拟中，行波法能够模拟水面的波动情况， 包括波浪的生成、传播和消散。通过调整参数，可以研究 不同条件下水波的传播规律，如风速、水深、地形等，对 于水文学、海洋学等领域具有重要意义。
03
波动方程的解析解法
分离变量法
将波动方程的解表示为若干个变量的 乘积或商的形式，以便分别求解。
VS
分离变量法是一种求解波动方程的常 用方法。通过假设波动方程的解可以 表示为若干个变量的乘积或商的形式 ，我们可以将一个复杂的偏微分方程 转化为若干个简单的常微分方程，从 而方便求解。
积分变换法
利用积分变换将波动方程化为易于求解的形式，再进行逆变换得到原方程的解。
地震学
用于模拟地震波的传播和反射，进行地震预 测和地球结构研究。
分离变量法常数变易法、行波法和积分变换法达朗贝尔
分离变量法常数变易法、行波法和积分变换法达朗贝尔设w=u+iV及z=x+iy分别是两个复平面上的点，复函数w=f(z)确定了这两个复平面之间的一个映射，当w=f(z))是一个目数不为零的解析函数时，所对应的映射称为保角映射。
保角映射这种映射必定是一对一的，且具有:(l)伸缩率的不变性，即在某一点Z0上沿不同的方向的曲线微元ds与映射后所得的象ds′的比值都是f′(z0);(2)旋转角的不变性并且保持角的定向，即若把z平面与w平面迭放在一起，且使ZO与W0=f(z0)重合，则过Z0的任一条曲线C到它的象C′的转角为定值。
如果X轴与U轴及y轴与V轴方向相同，这个转角就是Argf'(z0)，因此交手Z0的任意两条曲线C1，C2的夹角与它们的象C1，C2的夹角相等且转向不变。
保角变换方法(conformaltransformationmethod)保角变换是利用复变量解析函数实部和虚部都满足拉普拉斯(Laplace)方程的特点，及通过复平面变换以简化求解二维拉普拉斯方程边值问题的一种方法。
由于在没有电荷分布的空间中静电势满足拉普拉斯方程，故此法可用来求解二维的静电势问题。
通过一适当的解析复变函数f(z)，将复变数平面z=x+iy变换成另一复变数平面z′=f(z)=x′+iy′或z=g(z′)将z平面上位形复杂的边值问题，变换至z′平面上位形简单的相应边值问题，以便容易求出静电势的解φ′(x′,y′)。
由此在z′平面中构成解析的复变函数W′(z′)=φ′+i Ψ′。
最后再由z′平面换回z平面W(z)=W′(f(z))=φ(x,y)+iΨ(x,y)，从而得到欲求的二维拉普拉斯方程边值问题的解。
由于通过解析函数变换时，分别在二复平面中任意二曲线元之间的夹角不变，故此种变换称为保角变换。
保角映射英文术语名:conformaltransformation【保角映射的定义】设f(z)是区域D到G的双射(既是单射又是满射)，且在D内的每一点都具有保角性质，则称f(z)是区域D到G的保角映射，也称为保角变换或者共形映射。
数学物理方法之行波法与达朗贝尔公式
数学物理方法泰山医学院于承斌cbyu@第十四章行波法与达朗贝尔公式14.1 二阶线性偏微分方程的通解对于给定的偏微分方程，一般不能简单的确定通解，但对简单的标准形式的方程或一个标准形式进一步化简后，有的可以得到通解。
例14.1.1 求偏微分方程的通解为:板书讲解P280例14.1.2 求偏微分方程的通解为:板书讲解P28114.2 二阶线性偏微分方程的行波解通解法中有一种特殊的解法――行波法, 即以自变量的线性组合作变量代换，进行求解的一种方法，它对波动方程类型的求解十分有效.1.简单的含实系数的二阶线性偏微分方程为了方便起见，我们首先讨论如下的含实常系数的简单二阶线性偏微分方程xx xy yy au bu cu ++=(14.2.1)方程中的系数,,a b c 为实常数．,,a b c (,)x y （说明：这里我们用了小写字母表示它是实常数，而不是的函数）假设方程的行波解具有下列形式(,)()u x y F y x λ=+代入方程即得2()()()0a F y x b F y x cF y x λλλλλ′′′′′′+++++=需要求方程的非零解，故20a b c λλ++=(14.2.2)''()0F y x λ+≠上述方程变为(i) 240b ac ∆=−>12(,)()()u x y F y x G y x λλ=+++(14.2.3)240b ac ∆=−=(ii) 122b aλλ==−对应于抛物型方程，式(14.2.2)有相等的实根11(,)()()u x y F y x xG y x λλ=+++(14.2.4)对应于双曲型方程，式(14.2.2)有两个不同的实根12,λλ240b ac ∆=−<12i ,i λαβλαβ=+=−(iii) ，对应于椭圆型方程，式（14.2.4），则有两个虚根12(,)()()[()i ][()i ]u x y F y x G y x F y x x G y x x λλαβαβ=+++=++++−(14.2.5)2. 更为一般的含实常系数的偏微分方程如果方程具有更一般的形式222220u u u u u a b c d e fu x x y y x y ∂∂∂∂∂+++++=∂∂∂∂∂∂(14.2.6)其中,,,,,a b c d e f 均为实常数．我们可以令(14.2.7)代入方程（14.2.6）得(14.2.8)(,)mx ny u x y e+=220am bmn cn dm en f +++++=12()()12(,)mx n m y mx n m y u x y c ec e ++=+14.2.92(i) 40,b ac −>双曲型，上述方程有两个不同的实根，则1(),n m 2()n m 2(ii) 40,b ac −=抛物型，上述方程有相等的实根，则12()()n m n m =(14.2.11)2(iii) 40,b ac −<椭圆型，上述方程有两个共轭虚根，则12()(),()()n m i m n m i m αβαβ=+=−[()()][()()]12(,)mx m i m y mx m i m yu x y c e c e αβαβ+++−=+(14.2.10)（注明：上式中的第二项乘以x 是为了保证两根线性独立）12()()12(,)mx n m y mx n m yu x y c e c xe ++=+例题14.2.1 14.2.2 14.2.3 14.2.4 讲解本节以行波解法为依据，介绍求解定解问题的达朗贝尔公式.14.3.1 达朗贝尔公式设有一维无界弦自由振动（即无强迫力）定解问题为14．3 达朗贝尔公式2,0(14.3.1)0(,0)()(.0)()tt xx t x t u a u u x x u x x ϕψ−∞<<+∞>−===容易得知偏微分方程的判别式240a ∆=>，该方程为双曲型．由22a λ−=12 , a aλλ==−泛定方程（14.3.1）的通解为12(,)()()u x t F x at F x at =++−(14.3.2)其中12,F F 是任意两个连续二次可微函数．我们使用初始条件可确定12,F F 函数．注：本问题由于涉及无界弦问题，故没有边界条件，只有初始条件。
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1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
例7、求下面柯西问题的解：
2u x 2
2
2u xy
2u 3 y 2
0
u
y0
3x 2 ,
u y
y0 0
解：特征方程为：
dy2 2dxdy 3dx2 0
特征线方程为：3x y C1, x y C2
引入阶跃函数：
H
(x)
0( x 0) 1(0 x )
则： H (x) (x)
所以定解问题的解可以进一步表达为：
u(x,t) I
2a
xx0 at ( )d
xx0 at
I
2a
H ( )
xx0 at xx0 at
I
2a
H
x
x0
at
H
x
x0
at
8
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
(一)、无界域上波动方程定解问题求解
1、达朗贝尔公式
无限长细弦的自由横振动的齐次定解问题为：
utt a2uxx (x R,t 0)
u t0 (x) ut t0 (x)
(1) 由第2章第4节的方法，求出泛定方程通解为：
u(x,t) f1(x at) f2 (x at)
t 0
xa(t ) xa(t )
f
(, )d d
15
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
例4、求定解问题：
utt uxx cos x(x R, t 0) u t0 cos x , ut t0 xex
解：这可以看为一般强迫振动问题，所以有：
x
,
0
x
ux 0, t 0
求解思路 ：
设法把半无界弦处理成相应的无界弦情形： 只要无界弦在x≥0满足对应的半无界弦的边界条 件，无界弦的限制在x≥0的解就是半无界弦的解。
25
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
1、端点固定情形 ：
utt u(x,
令：
3x y x y
22
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
变换原方程化成标准型： 2u 0
通解为 :
u f2 ( ) f2 () f1(3x y) f2 (x y)
代入条件得：
f1(3x) f2 (x) 3x2 f1 (3x) f2 (x) 0
a2uxx
0)
0,
x
0 x ,ut x,
,t
0
0 x,
0
x
u 0,t 0
设对应的无界长弦的自由振动为：
utt a2uxx 0, x ,t 0
u ( x,
0)
x
,
ut
x,
0
x
由达朗贝尔公式：
u(x,
t)
1 2
x
at
x
at
1 2a
.xat
d
.xat
26
1
0.5 n 0
t
f (x, )
9
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
作变换： t t
则齐次化问题为：
Wtt a2Wxx (x R, t 0)
W t0 0 ,Wt t0 f (x, )(x R)
由达朗贝尔公式得：
W (x,t, ) 1
xat
2
17
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
于是，原定解问题的解为：
u(x, t)
cos
x
1 2
( x
t
1)e x t
(x
t
1)e x t
4、无限长弦的有阻尼振动定解问题 例5、求无限长弦的有阻尼振动定解问题：
utt a2uxx 2ut 2u 0(x R,t 0) u t0 (x), ut t0 (x)
3
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
(2) 把通解代入初始条件得：
f1x f2x x af1 x af2 x x
于是得：
f1
x
f2
x
x
f1
x
f2
x
1 a
x
x0
d
f1(x0 )
f2 (x0 )
由此求得：
f1
x
1 2
(x)
1 2a
例3、求定解问题：
uxx uyy 8(x R, y 0) u y0 0, uy y0 0
解：这可以看为纯强迫振动问题，所以有：
u(x, y) 1 2a
y 0
xa( y ) xa( y )
(ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ)d
d
4 y2
12
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
utt a2uxx x at(x R,t 0) u t0 0 , ut t0 0
解：这是纯强迫振动问题，所以有：
u(x,t) 1 2a
t 0
xa(t ) xa(t )
(
a
)d
d
11
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
xt2 at3 26
分析：
18
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
泛定方程与自由弦振动相比较，多了阻尼项，因此， 不能直接使用达朗贝尔公式求解。对于阻尼振动， 常常可以表示为其解中带一个随时间成指数衰减的 因子，所以可以令：
u(x,t) etV (x,t)( 0)
将其代入阻尼振动方程得：
Vtt a2Vxx 2( )Vt ( 2 2 2 )V 0
取β=ε，可得：
19
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
Vtt a2Vxx 0(x R,t 0)
V t0 (x),ut t0 (x) (x)
f1 ( x)
1 4
x2
C
f
2
(
x)
3 4
x2
C
23
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
u(x, y) 1 (3x y)2 3 (x y)2 3x2 y 2
4
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(二)、半无界域上波动方程定解问题求解
讨论半无界弦自由振动问题：半无界弦是有界真实 弦的抽象。物理意义是考虑靠近一端的那段弦，而 认为另一端的影响还未传到。所以，边界条件只有 一个，该边界分为固定与自由情形。
f (, )d
2a xat
即：
W (x,t, ) 1
xa(t )
f (, )d
2a xa(t )
10
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
由齐次化原理得：
u(x,t) 1 2a
t 0
xa(t ) xa(t )
f (, )d d
例2、求定解问题：
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
Vtt a2Vxx (x R, t 0)
u t0 (x) ut t0 (x)
(1)
Wtt a2Wxx f (x, t)(x R, t 0) W t0 0 Wt t0 0
(2)
(1)的解为：
V
(x,
t)
1 2
x
at
x
at
1 2a
.xat
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
让该解满足半无界弦边界条件得：
解：定解问题为：
uutt
t
0
a2uxx
0,
0, x x
ut
t0
I
x
x0
,
x
可直接代入达朗贝尔公式求解
u(x,t) 1 2a
xat I
xat
x0
d
I xx0 at ( )d
2a xx0 at
7
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
2、无限长弦的纯强迫振动定解问题
无限长弦在纯强迫力f(x,t)引起的振动定解问题为：