数学物理方程第三章 行波法
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2011第三章行波法
u
t =0
x=0
= ϕ ( x ) 和 ut
=0
= ψ ( x)
达朗贝尔公式是无限长弦的公式。由于自变量限制为x≥0 达朗贝尔公式是无限长弦的公式。由于自变量限制为 ≥
1 1 u( x , t ) = [ϕ ( x + at ) + ϕ ( x − at )] + 2 2a
x + at x − at
x =0
和
ut
t =0
= ψ ( x)
ux
=0
ϕ ( x ) Φ( x ) = ϕ (− x )
( x ≥ 0) ( x < 0)
ψ ( x ) Ψ( x ) = ψ (− x )
x + at
( x ≥ 0) ( x < 0)
1 1 + u( x , t ) = [Φ( x + at ) + Φ( x − at )] + ∫at Ψ(ξ )dξ 2 2a x −
∂2 ∂2 ( 2 − a2 )u ( x , t ) = 0 2 ∂t ∂x
∂2 u (ξ , η ) = 0 ∂ξ∂η
3
坐标变换
x − at
∂ ∂ 看作如同数一样的算子，可以进行加减乘除： 将 ∂x 和 看作如同数一样的算子，可以进行加减乘除： ∂t ∂ ∂ ∂ ∂ ( +a )( − a )u( x , t ) = 0 ∂t ∂x ∂t ∂x x x + at
x1 ≤ x ≤ x1 + x2 2
x1 + x2 ≤ x ≤ x2 2 x < x1 , x > x2
t4 t3 t2 t1 t=0
ϕ (x)
t =0
x=0
= ϕ ( x ) 和 ut
=0
= ψ ( x)
达朗贝尔公式是无限长弦的公式。由于自变量限制为x≥0 达朗贝尔公式是无限长弦的公式。由于自变量限制为 ≥
1 1 u( x , t ) = [ϕ ( x + at ) + ϕ ( x − at )] + 2 2a
x + at x − at
x =0
和
ut
t =0
= ψ ( x)
ux
=0
ϕ ( x ) Φ( x ) = ϕ (− x )
( x ≥ 0) ( x < 0)
ψ ( x ) Ψ( x ) = ψ (− x )
x + at
( x ≥ 0) ( x < 0)
1 1 + u( x , t ) = [Φ( x + at ) + Φ( x − at )] + ∫at Ψ(ξ )dξ 2 2a x −
∂2 ∂2 ( 2 − a2 )u ( x , t ) = 0 2 ∂t ∂x
∂2 u (ξ , η ) = 0 ∂ξ∂η
3
坐标变换
x − at
∂ ∂ 看作如同数一样的算子，可以进行加减乘除： 将 ∂x 和 看作如同数一样的算子，可以进行加减乘除： ∂t ∂ ∂ ∂ ∂ ( +a )( − a )u( x , t ) = 0 ∂t ∂x ∂t ∂x x x + at
x1 ≤ x ≤ x1 + x2 2
x1 + x2 ≤ x ≤ x2 2 x < x1 , x > x2
t4 t3 t2 t1 t=0
ϕ (x)
数学物理方程第三章_行波法和积分变换法
[x − at , x + at ] 上的值,而与其他点上的初始条件无关,这个区间称为点 (x, t ) 的依赖区间,
它是过 ( x, t ) 点分别作斜率为 ±
1 的直线与 x 轴相交所截得的区间,如图 3-2 所示. a
(x,t0)
y
x O x-at0 x+at0
图 3-1
初 始 时 刻 t = 0 时 , 取 x 轴 上 的 一 个 区 间 [x1 , x 2 ] , 过 点 x1 作 斜 率 为
同理可得
2 ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ⎤ 2⎡∂ u = + a + 2 ⎢ 2 ∂ξ∂η ∂η 2 ⎥ ∂t 2 ⎣ ∂ξ ⎦
将其代入式(3.1.1),得
∂ 2u =0 ∂ξ∂η
对 ξ 积分,得
∂u = f (η ) ∂η
对此式再关于η 积分,得
u = ∫ f (η )dη + f1 (ξ ) = f1 (ξ ) + f 2 (η )
第三章 行波法与积分变换法 本章我们介绍两个常用的解题方法：行波法和积分变换法。行波法只用于求解无界区 域上的波动方程定解问题， 积分变换法不受方程类型的限制， 一般应用于无界区域的定界问 题，有时也应用于有界域的定解问题.
3.1 达朗贝尔公式及波的传播 在求解常微分方程的特解时,一般先求出方程的通解,然后利用所给的定解条件去解出 通解中含有的任意常数,最后得到了满足所给条件的特解.这个想法能否推广到求解偏微分方 程的过程中呢?一般情况下,随着自变量个数的增加,偏微分方程的通解非常难求,并且偏微分 方程的通解一般都含有任意函数,这种任意函数很难由定解条件确定为具体的函数.所以在求 解数学物理方程时,主要采用通过分析各类具体的定解问题,直接求出符合定解条件的特解的 方法.但事情没有绝对的,在有些情况下,我们可以先求出含任意函数的通解,然后根据定解条 件确定出符合要求的特解.本节我们研究一维波动方程的求解,就采用这种方式. 3.1.1 达朗贝尔公式 如果我们所考察的弦无限长,或者我们只研究弦振动刚一开始的阶段,且距弦的边界较远 的一段,此时可以认为弦的边界,对此端振动的弦不产生影响.这样,定解问题就归结为如下形 式
第三章行波法(2)
，
显然取 时可以满足边界条件
于是
2．半无限长的杆，其端点受到纵向力 作用，求解杆的纵振动。
解：泛定方程 ，
的初始条件：
边界条件
对 的地方，端点的影响未传到，所以
。
对 的地方，需要考虑端点的影响。对a<0, 和 未定义，现将它们延拓。
其中 和 待定，应用达朗伯公式；
它应满足边界条件
显然，取 而 即可满足条件。
由条件（4）， 。应用衔接条件（5）（6），得
将（8）对t积分，且由于 。
由（7）（9）消去 行
再得 。
所以解为：
反射波
透射波
补充：
4．求解半无限长理想传输线上电报方程的解，端点通过电阻 相接，初始电压分布为 ，初始电流分布 ，在什么条件下端点没有反射（这种情况叫作匹配）？
解：∵是理想传输线，∴ 。因此，定解问题是
球外为零。无论何时，压缩率与速度势的关系为 ，并且速度势满足方程
试对所有的 ，确定压缩率。
解：该问题的定解问题为：
上题的结果有：
讨论：(1)若 点在球外，则 ，所以 ，即 ，此时有
（2）若 点在球内，则 ，
（ⅰ）当 时，更有 ，得
（ⅱ）当当 时，而当 时， ，
（ ）当 ，更有 ，所以， ，此时有：
3．利用泊松公式求解下列定解问题
（1）
故原方程的解为：
补充：
6．应用泊松公式计算下述定解问题的解. ⊿ ，初始速度为零.初始位移在某个单位球内为1，在球外为零。
解：取单位球的球心为坐标原点，则定解问题为：
由泊松公式
（i）当点 （以 为矢径的点简称为点 ，下同）在单位球内时：
a.若 ，球面 完全在单位球内，从而
，
显然取 时可以满足边界条件
于是
2．半无限长的杆，其端点受到纵向力 作用，求解杆的纵振动。
解：泛定方程 ，
的初始条件：
边界条件
对 的地方，端点的影响未传到，所以
。
对 的地方，需要考虑端点的影响。对a<0, 和 未定义，现将它们延拓。
其中 和 待定，应用达朗伯公式；
它应满足边界条件
显然，取 而 即可满足条件。
由条件（4）， 。应用衔接条件（5）（6），得
将（8）对t积分，且由于 。
由（7）（9）消去 行
再得 。
所以解为：
反射波
透射波
补充：
4．求解半无限长理想传输线上电报方程的解，端点通过电阻 相接，初始电压分布为 ，初始电流分布 ，在什么条件下端点没有反射（这种情况叫作匹配）？
解：∵是理想传输线，∴ 。因此，定解问题是
球外为零。无论何时，压缩率与速度势的关系为 ，并且速度势满足方程
试对所有的 ，确定压缩率。
解：该问题的定解问题为：
上题的结果有：
讨论：(1)若 点在球外，则 ，所以 ，即 ，此时有
（2）若 点在球内，则 ，
（ⅰ）当 时，更有 ，得
（ⅱ）当当 时，而当 时， ，
（ ）当 ，更有 ，所以， ，此时有：
3．利用泊松公式求解下列定解问题
（1）
故原方程的解为：
补充：
6．应用泊松公式计算下述定解问题的解. ⊿ ，初始速度为零.初始位移在某个单位球内为1，在球外为零。
解：取单位球的球心为坐标原点，则定解问题为：
由泊松公式
（i）当点 （以 为矢径的点简称为点 ，下同）在单位球内时：
a.若 ，球面 完全在单位球内，从而
，
课件：第三章 行波法
0(3 .1)(3.2)
对于上述初值问题，由于微分方程现定解条件都是 线性的，所以叠加原理同样成立，即如果函数和 分
别是下ux述,0初 值utt问x,题aut2uxx,x0 x (3.3)
(3.4)
•和
uuxtt,0a20u,xux txf,0x((,33t..650))
的解，则 u u1x,t u2x就,t是 原初值问题 (3.1)(3.2)的解，这
1
2 1
2
x x
1
2a 1
2a
x
x0 x
x0
d d
c
2a c
2a
( 3.17)
把它们代入(3.13) 得初值问题(3.3)(3.4)的解
ux, t
x
at
2
x
at
1 2a
xat(3.1d8) xat
这个公式称为无限长弦自由振动的达朗贝尔公式，或称为达 朗贝尔解。这种求解方法称为达朗贝尔解法。
题大
有有
其局
特限
殊 的 优 点
性
， 但 对
，
内 波 动 方 程 的 定
解 问
题 ，
波 法 只 能 用 于 求
解 无
界 区
波解 法定 ，解 二问 是题 积和 分方
变法 换，
法一 。是
本 章 我 们 将 介
绍 另 外
两 个
引 言
3.2 达朗贝尔（D’Alembert）公式 波的传播
• 本章我们将介绍另外两个求解定解问题和方法， 一是行波法，二是积分变换法。行波法只能用于 求解无界区域内波动方程的定解问题，虽然有很 大有局限性，但对于波动问题有其特殊的优点， 所以该法是数理方程的基本之一。我们只注重解 决问题的思路，导出形式解，不追求分析的条件 与验证。积分变换法不受方程的类型限制，主要 用于无界区域，但对于有界区域也能应用
数学物理方程：第3章 波动问题的行波法
第3章 波动问题的行波法§3.1 二阶线性方程的分类与化简本节讨论：①两个自变量方程的分类与化简，②多个自变量方程的分类与化简⒈ 两个自变量方程的分类与化简二阶方程的一般形式 二阶变系数方程可写为1112220(,)2(,,,,)(,)xx xy yy x y Lu x y a u a u a u x y u u u f x y =+++Φ= (3.1.1)式中：11a 、12a 、22a 为x 、y 的函数，0(,,,,)x y x y u u u Φ为低阶导数项。
公式关于二阶导数项为线性的，即称方程为准线性的。
若0(,,,,)x y x y u u u Φ关于u 及其x u 、y u 为线性的，则称方程为线性的。
方程的变换 为了简化上述方程，作可逆变换：(,)(,)x y x y ξξηη=⎧⎨=⎩， (,)0(,)J x y ξη∂=≠∂， (,)(,)x x y y ξηξη=⎧⎨=⎩(3.1.2) 代入方程中，不难得到：11122212(,,,,)(,)Lu A u A u A u u u u f ξξξηηηξηξηξη=+++Φ= (3.1.3)式中： 22111112222x x y yA a a a ξξξξ=++ (3.1.4) 12111222()x x x y y x y y A a a a ξηξηξηξη=+++ (3.1.5)22221112222x x y yA a a a ηηηη=++ (3.1.6) 我们化简的目的是使得二次项的项数尽量少，并且值尽量为简单（如0ij A =或1ij A =±）。
顾及ij A 的表达式，取关于z 的一阶非线性偏微分方程2211122220x x y y a z a z z a z ++= (3.1.7)若该方程有解),(1y x z ϕ=、),(2y x z ψ=，则110A =及220A =；公式大大简化了。
数学物理方程-3
其中ϕ(x, y, z) 和 ψ (x, y, z) 均为已知函数。
u
3-3 高维波动方程的初值问题
平均值法：不考虑函数 平均值法：不考虑函数 u(x, y, z, t) 本 身，而是研究u(x, y, z, t)在以点 M(x, y, z) 为球心，以r 为球心，以r为半径的球面上的平 均值 u ，当暂时选定 M(x, y, z) 后， u 就是关于r 就是关于r，t的函数。当我们很方 便地求出 u (r, t) 后，令 r →0 则 u(r, t) →u(x, y, z, t) ，问题就得到了 解决。
第3章 行波法与积分变换法
原柯西问题的通解为 u = f1 (x + at) + f2 (x − at) 初始条件代入其中，有 ϕ(x) = f1 (x) + f 2 (x) ′ ψ (x) = af1′(x) − af 2 (x) 无界弦振动的柯西问题的解（达朗贝尔解 无界弦振动的柯西问题的解（达朗贝尔解 ） 1 1 x+at 为： u(x, t) = [ϕ(x + at) +ϕ(x − at)] + ∫ ψ (ξ )dξ
3-2 延拓法求解半无限长振动问题
延拓后的定解问题：
2 ∂2v 2 ∂ v + F(x, t) (−∞ < x < +∞, t > 0) 2 =a 2 ∂x ∂t ∂v v(x,0) = Φ(x), |t=0 = Ψ(x) ∂t v(0, t) = 0
x >0 ϕ(x), Φ(x) = −ϕ(−x), x < 0
x >0 ψ (x), Ψ(x) = −ψ (−x), x < 0
x >0 f (x, t), F(x, t) = − f (−x, t), x < 0
Chapter3.1 行波法
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u 例2 − 3 2 = 0, y > 0,−∞ < x < +∞ 2 +2 ∂x ∂x∂y ∂y − x 2 ∂u ( x,0) u ( x,0) = e , = 0, − ∞ < x < +∞ ∂y 解 dy 2 − 2dxdy − 3dx 2 = (dy − 3dx)(dy + dx) = 0 ∂ 2u =0 η 令 ξ = y − 3 x， = y + x ∂ξ∂η
结论：从D`Alembert公式可以看出，前半部分表示由初始 位移激发的行波，t=0时的波形为 ϕ ( x), 以后分成两部 分，独立地以速率a向左右传播；后半部分表示由位移 速度激发的行波， t=0时的速度为ψ ( x), t时刻它将左右 扩散到 [x-at, x+at]的范围，速率为a.
u ( x, t ) = f1 ( x + at ) + f 2 ( x − at ) f1 ( x + at )表示一个以速度a沿x轴负方向传播的行波，称为左行波 f 2 ( x − at )表示一个以速度a沿x轴正方向传播的行波，称为右行波
f1 (3 x) 由第二式积分可得 − + f 2 ( x) = C 3 9x2 3x2 从 而 可 得 f1 (3 x ) = − C ', f2 ( x) = + C '. 4 4
3x2 x2 即 f1 ( x ) = − C ' , f2 ( x) = + C '. 4 4
1 3 2 从而 u ( x, y ) = (3x − y ) + ( x + y ) 2 =3x 2 + y 2 4 4
行波法
+ c2 e
px +α y − iβ y
(12)
3．1 达朗贝尔公式
本节以行波解法为依据，介绍求解定解问题的达朗贝尔公式.
例子. 一维波动方程的达朗贝尔公式
设有一维无界弦自由振动（即无强迫力）定解问题为
泛定方程 u tt − a 2 u xx = 0 初始条件
(1) (2) (3)
u t =0 = ϕ ( x ), ut
第三章 行波法与积分变换法 3.0 二阶线性偏微分方程的行波解
通解法中有一种特殊的解法―行波法, 即以 自变量的线性组合作变量代换，进行求解 的一种方法，它对波动方程类型的求解十 分有效.
1.简单的含实系数的二阶线性偏微分方程 为了方便起见，我们首先讨论如下的含实常系数的 简单二阶线性偏微分方程
au xx + bu xy + cu yy = 0
，则
u( x, y) = c1e
2
px+q1 ( p ) y
+ c2e
px+q2 ( p ) y (10)
(ii) b − 4ac = 0, 抛物型，上述方程有相等的实根
q1 ( p ) = q2 ( p )
，则
u(x, y) = c1e
px+q1 ( p) y
+ c2 xe
px+q1 ( p) y
（11）
⎧ 根据(10)得 ⎪0,( x ≤ x1 ) ⎪ x 1 ⎪1 Φ( x) = ∫−∞ψ (ξ )dξ = ⎨ 2a ( x − x1 )ψ 0 ,( x1 ≤ x ≤ x2 ) 2a ⎪ ⎪1 ⎪ 2a ( x2 − x1 )ψ 0 ,,( x ≥ x2 ) ⎩
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(1.7)
f 1 ( ), f 2 ( )是待定的任意二次连续 可微函数 .
u( x,0) f 1 ( x) f 2 ( x) ( x)
u ( x) - x (1.2) t t 0
x
1 f ( x ) f ( x ) ( )d 1 2 u( x ,0) a0 af 1( x ) af 2( x ) ( x ) t x 1 1 x f 1 ( x ) ( x ) ( )d 1 2 2a 0 f 1 ( x ) f 2 ( x ) ( )d
第三章 行波法
• • • • • 主要内容 掌握一维弦振动的解 掌握类比方法求三维、二维问题的解 了解偏微分方程的分类 会求偏微分方程的特征线
§1 弦振动的初值问题
无限长均匀细杆的振动问题，就可以表达成如下形式
2 2u 2 u x , t 0 (1.1) 2 a 2 x t u ( x ) - x (1.2) u(0, x ) ( x ), t t 0
(1.8)
（1.8）称作达朗贝尔公式。这种求解方法也称达朗贝尔解法或行波法（特征线法）。 这种方法对一般的偏微分方程来说是十分困难的。因此只适合波动方程定解问题的求解。
1.2 达朗贝尔公式的物理意义
达朗贝尔公式的物理意义
u( x, t ) f 1 ( x at) f 2 ( x at) (1.7) 先考察 u2 ( x, t ) f 2 ( x at) 的意义
2 2u u 2 a 波 动 方 程 ， 双 曲 型 方 .程 2 2 t x 2 u u 2 a 热 传 导 方 程 ， 抛 物 型程 方. 2 t x
2u 2u 2 拉普拉斯方程，椭圆型 方程. 2 x y
但有时方程的定义域使得 B
2
4ac 在此定义域的某一部
x at
( )d
0
0
x at
1 1 ( )d ( x at) ( )d 2 2a x at 0
u( x, t ) f 1 ( x at) f 2 ( x at) x at 1 1 ( ( x at) ( x at)) ( )d 2 2a x at
(1.10)
常微分方程(1.10) 的积分曲线称作（ 1.9 ）的特征曲线 .
特征曲线仅于该方程中二阶偏导数项的系数有关而与其它低阶项的系数无关。
如果在某个区域有：
dy 2 dy A( ) 2 B c A( y ( x )) 2 2 By ( x ) c 0 dx dx
(1.10' )
f 2 ( x at) 代表一个一速度 a向右 (沿x轴正向）前进的行波。
u2 t 0时，f 2 ( x ) 的图形如下：
a a
2a
0 .5 a
t 0.5, f 2 ( x at) 的图形如下： u2 t 1, f 2 ( x at) 的图形如下： t 2, f 2 ( x at) 的图形如下：
x1
x2
x
达朗贝尔公式的物理意义
1 1 u( x, t ) ( ( x at) ( x at)) ( )d 2 2a x at
x at
(1.8)
受到 [ x1 , x 2 ]初始扰动影响的区域为 x1 at x x 2 at
t
波沿特 征线传 播
其中 ( x), ( x) 均为已知函数。 前面我们已经用傅立叶变换求得该定解问题的解：
1 1 xat u ( x, t ) [ ( x at ) ( x at )] ( ( )d 2 2a xat
x at, x at
(1.3)
2 2u u 2 a (1.1) 2 2 t x
x x1 at
为 [ x1 , x 2 ]的影响区域 x x 2 at x x 2 at x x1 at
[ x1 , x 2 ]的影响区域 称x t平面上由 x1 at x x 2 at决定的区域 为
由此可以看到x t平面上 1 斜率为 的两族直线x at c称作特征线. a 对一维波动方程的研究 起着重要作用 .
(1.15)
2u 0 (1.16)
3）变换新变量的方程
(1.15) 求导代入（ 1.13 ）
4）求解（1.16） 设其通解为
u( x, t ) f 1 ( ) f 2 ( )
5)由初始条件确定 f 1 ( x ), f 2 ( x )
(1.17)
u y 0 5 x 2 ,
u u u u u x x x
2 u u u u u ( ) ( ) 2 x x (1.4),(1.5)代入(1.1)有 x
2u 2u 2u 2u 2 2 2 2 x
分大于零，而在另一部分小于零，我们称这样的方程为混 合型方程。如（特里克米）
u u y 2 2 0 x y
2 2
在上半平面内是椭圆型的，在下半平面是双曲型，在 x 轴 是抛物型的，在包含 轴某些线段的区域内是混合型的。
x
例1 利用特征线法求下列初值问题
2u 2u 2u 5 2 0 x , y 0 (1.13) 2 4 xy y x 2 u u 5 x , 0 - x (1.14) y 0 y y 0
f 1 (5 x ) f 2 ( x ) 5 x 2 f 1(5 x ) 5 f 2 ( x ) c 3
5 2 f 2 ( x ) x c5 6
(1.18) (1.19)
f 1 (5 x )
25 2 1 x c 4 (5 x ) 2 c 4 6 6 1 2 f1 ( x ) x c4 6
a0 f ( x) f ( x) ( x) 2 1
1 1 f 2 ( x ) ( x ) ( )d 2 2a 0
x
1 1 f 1 ( x at) ( x at) 2 2a
1 1 f 2 ( x at) ( x at) 2 2a
u y
0 - x
y 0
(1.14)
u( x,0) f 1 (5 x) f 2 ( x) 5 x 2 (1.18)
u( x ,0) f 1(5 x ) f 2( x ) 0 y (1.19)
积分（ 1.19）得： f 1 (5 x ) 5 f 2 ( x ) c 3
x at
(1.8)
u( x, t )在x点t时刻的值仅仅依赖于区 间[ x at, x at],
而与其他点t时刻的值无关. 所以[ x at, x at]称作依赖区间 . 1 依赖区间由斜率为 的直线在x轴上截得. a
1 1 过x1点做斜率为 的直线，t ( x x1 ), x at x1 a a 1 1 过x 2点做斜率为 的直线，t ( x x 2 ), x at x 2 a a x1 , x2 对三角区域内任意点 ( x, t )的依赖区间 [ x at, x at]都落在
u f ( )
(1.3)
2u 4a 0
2
(1.6)
u( x, t ) f 1 ( x at) f 2 ( x at)
由条件(1.2)确定f 1 , f 2
u( x,0) ( x),
u u( , ) d f ( )d f 1 ( ) f 2 ( )
解 1）确定特征线
(dy) 4dxdy 5(dx) 0
2 2
dy 2 dy ( ) 4 5 0 dx dx
dy dy 5, 1 dx dx
2）作特征变换
dy 5dx, dy dx 5 x y c , x y c 1 2
5 x y, x y
o
1 .5 a
3a
x
a
0 .5 a
o
a
1 .5 a
2a
3a
x
f 2 ( x a波 .
达朗贝尔公式的物理意义
1 1 u( x, t ) ( ( x at) ( x at)) ( )d 2 2a x at
2 2 2 2u u u u 2 a ( 2 2 2 ) (1.5) 2 t 2 2 2u u u 2 2 注意： 2 a 4a 2 t x
2 2u u 2 a (1.1) 2 2 t x
x at, x at
6)确定u( x , t )
u( x, t ) f 1 (5 x y ) f 2 ( x y )
1 5 2 (5 x y ) ( x y ) 2 5 x 2 y 2 6 6
§2 高维齐次波动方程
考虑下列三维齐次波动方程的初值问题
2 2u 2u 2u 2 u 2 a ( 2 2 2 ) x , y , z , t 0 (2.1) x y z t u u ( x , y , z ), ( x , y , z ) - x , y , z (2.2) t 0 t t 0
x at
(1.8)
1.3 二阶偏微分方程的分类
2u 2u 2u u u A 2 2B C 2 D E Fu( x, y ) 0 (1.9) xy x y x y
下面的常微分方程的称 作其特征方程 .
A(dy) 2 2Bdxdy c(dx) 2 0