高考概率经典大题
高考概率10大题目囊括所有考点
可以囊括高考所有考点的几个概率题目制作人：王霖普题型一直方图．1.〔 2021 广东卷理〕根据空气质量指数 API〔为整数〕的不同，可将空气质量分级如下表：对某城市一年〔 365 天〕的空气质量进行监测，获得的API 数据按照区间[ 0,50] ， (50,100] ， (100,150] ， (150,200] ， ( 200,250] ， ( 250,300] 进行分组，得到频率分布直方图如图 5.〔1〕求直方图中 x 的值；〔2〕计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数；〔3〕求该城市某一周至少有 2 天的空气质量为良或轻微污染的概率 .〔 结 果 用 分 数 表 示 ． 已 知 5778125 ， 27128 ，3 27 3 8 123， 3651825 365 182573 5 〕1825 91259125 3 2 7 3 8 123解：〔1 〕由图可知 50x 1 ( 50 150 ， 365 1825 1825 ) 9125 1191825 9125 解得 x ；18250 〔 2〕 365 (11950 2 50) 219 ；18250 365〔 3〕该城市一年中每天空气质量为良或轻微污染的概率为11950250 219 3，那么空气质量不为良且不为轻微污染的概率为18250365365 513 2，一周至少有两天空气质量为良或轻微污染的概率为5 57 2 7 3 06263 1766531 C 7 ( ) ( )C 7 ( ) ( ).5 55 5 78125题型二 抽样问题2.〔 2021 全国卷Ⅱ文〕〔本小题总分值 12 分〕某车间甲组有 10 名工人，其中有 4 名女工人；乙组有 10 名工人，其中有6 名女工人。
现采用分层抽样〔层内采用不放回简单随即抽样〕从甲、乙两组中共抽取 4 名工人进行技术考核。
〔Ⅰ〕求从甲、乙两组各抽取的人数；〔Ⅱ〕求从甲组抽取的工人中恰有1 名女工人的概率；〔Ⅲ〕求抽取的 4 名工人中恰有 2 名男工人的概率。
高考概率大题及答案
高考概率大题及答案1.某市高中毕业生中有80%选择进入大学，20%选择就业。
已知选择就业的学生中，70%在第一年获得满意的工作，而选择进入大学的学生中，80%在第一年获得满意的工作。
现从该市高中毕业生中任选一人，问他第一年获得满意工作的概率是多少？解答：由全概率公式可知，某毕业生获得满意工作的概率可以分为两种情况：1）选择就业的情况下获得满意工作的概率：0.2 × 0.7 = 0.14 2）选择进入大学的情况下获得满意工作的概率：0.8 × 0.8 = 0.64因此，获得满意工作的总概率为：0.14 + 0.64 = 0.78所以，任选一人的第一年获得满意工作的概率为0.78。
2.一批产品某种型号有20%的不合格品。
现从中任意抽取2个进行检查，问两个都是合格品的概率是多少？解答：抽取两个产品都是合格品的概率可以通过计算来得到。
首先，第一次抽取的产品是合格品的概率为80%（不合格品的概率为20%）。
而第二次抽取的产品也是合格品的概率会受到第一次抽取的影响。
因为第一次抽取合格品后，剩下的产品中合格品的比例会减少。
假设第一次抽取合格品后，剩下的产品中有a个合格品和b个不合格品，则第二次抽取的产品也是合格品的概率为a/(a+b)。
因此，两个都是合格品的概率为：0.8 × (a/(a+b))具体数值需要根据实际情况来计算。
3.某门考试的通过率为60%，现已知通过考试的学生中，有70%是靠自己的努力而没有借助辅导班；而未通过考试的学生中，有30%是通过辅导班的帮助提高的。
现从所有参加考试的学生中任意选取一人，问他通过考试并没有借助辅导班的概率是多少？解答：通过考试并没有借助辅导班的概率可以分为两种情况：1）通过考试的学生中靠自己的努力的概率：0.6 × 0.7 = 0.42 2）通过辅导班帮助提高通过考试的概率：0.4 × 0.3 = 0.12因此，通过考试并没有借助辅导班的总概率为：0.42 + 0.12 = 0.54所以，任选一人通过考试并没有借助辅导班的概率为0.54。
高考真题数学概率题及答案
高考真题数学概率题及答案高考真题中的数学概率题常常是考生们的心头之患，因为涉及到概率的计算和推断，考生们往往感到头疼。
在这里，我为大家整理了一些高考真题中常见的数学概率题及答案，希望能帮助大家更好地应对考试。
题目一：某班有30名学生，其中10名喜欢篮球，8名喜欢足球，6名喜欢羽毛球，3名以上三项兼喜的学生只有两名，问至少有多少名学生喜欢至少一项球类运动？
解答：设喜欢至少一项球类运动的学生有x名，根据题意可列出方程：10+8+6-x=30-2，解得x=22，因此至少有22名学生喜欢至少一项球类运动。
题目二：甲、乙、丙三人开车到达目的地的概率分别是0.6、0.7和0.8，求至少有一个人到达目的地的概率。
解答：根据概率的互补性，至少有一个人到达目的地的概率为1-三人都没有到达的概率，即1-(1-0.6)(1-0.7)(1-0.8)=1-0.4*0.3*0.2=0.976，所以至少有一个人到达目的地的概率是0.976。
题目三：已知随机事件A的概率为0.4，事件B的概率为0.3，且事件A与事件B相互独立，求事件A与事件B至少有一个发生的概率。
解答：由事件A与事件B相互独立可知，事件A与事件B至少有一个发生的概率为1-(1-0.4)(1-0.3)=1-0.6*0.7=0.58，所以事件A与事件B至少有一个发生的概率为0.58。
通过以上题目的解答，我们可以看到，数学概率题并不是难到无法解决的问题，只要掌握了基本的概率知识和解题技巧，就能在考试中得心应手。
希望以上内容能对大家有所帮助，祝愿大家在高考中取得优异的成绩。
高考数学试卷概率题
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 从装有5个红球、4个黄球、3个蓝球的袋中，随机取出3个球，取出的3个球都是红球的概率是：A. 1/50B. 1/15C. 1/10D. 1/62. 一个密码锁由3个数字组成，每个数字可以是0到9中的任意一个，那么正确的密码有：A. 100种B. 900种C. 81种D. 729种3. 抛掷一枚公平的六面骰子，得到偶数的概率是：A. 1/2B. 1/3C. 2/3D. 1/64. 一个班级有30名学生，其中有18名女生和12名男生。
随机抽取一名学生，抽到女生的概率是：A. 3/5B. 2/5C. 3/10D. 1/55. 一个口袋里有5个红球和3个蓝球，随机取出2个球，取出的2个球都是红球的概率是：A. 1/4B. 1/3C. 3/7D. 1/76. 从一副52张的标准扑克牌中，随机抽取4张牌，其中抽到4张都是同花色的概率是：A. 1/4165B. 1/1326C. 1/416D. 1/267. 一个箱子里有10个白球和15个黑球，随机取出2个球，取出的2个球都是黑球的概率是：A. 3/7B. 1/7C. 2/7D. 1/48. 一个班级有40名学生，其中有20名喜欢数学、15名喜欢物理、10名两者都喜欢。
那么至少有一名学生既喜欢数学又喜欢物理的概率是：A. 1/4B. 1/2C. 3/8D. 5/89. 抛掷一枚公平的硬币，连续抛掷两次，至少有一次出现正面的概率是：A. 3/4B. 1/2C. 1/4D. 1/310. 一个袋子里有3个红球、2个黄球和4个蓝球，随机取出3个球，取出的3个球颜色各不相同的概率是：A. 1/5B. 1/3C. 3/10D. 1/2二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。
）11. 抛掷一枚公平的硬币，连续抛掷3次，得到至少一次正面的概率是________。
2024届新高考数学大题精选30题：概率统计(精选30题)(解析版)
大题概率统计(精选30题)1(2024·浙江绍兴·二模)盒中有标记数字1，2的小球各2个.(1)若有放回地随机取出2个小球，求取出的2个小球上的数字不同的概率；(2)若不放回地依次随机取出4个小球，记相邻小球上的数字相同的对数为X(如1122，则X=2)，求X的分布列及数学期望E X.【答案】(1)1 2；(2)分布列见解析，1.【分析】(1)根据组合知识求得取球的方法数，然后由概率公式计算概率；(2)确定X的所有可能取值为0，1，2，然后分别计算概率得分布列，再由期望公式计算出期望．【详解】(1)设事件A=“取出的2个小球上的数字不同”，则P A=C12C12+C12C12C14C14=12.(2)X的所有可能取值为0，1，2.①当相邻小球上的数字都不同时，如1212，有2×A22×A22种，则P X=0=2×A22×A22A44=13.②当相邻小球上的数字只有1对相同时，如1221，有2×A22×A22种，则P X=1=2×A22×A22A44=13.③当相邻小球上的数字有2对相同时，如1122，有2×A22×A22种，则P X=2=2×A22×A22A44=13.所以X的分布列为X012P 131313所以X的数学期望E X=0×13+1×13+2×13=1.2(2024·江苏扬州·模拟预测)甲､乙两人进行某棋类比赛，每局比赛时，若决出输赢则获胜方得2分，负方得0分；若平局则各得1分.已知甲在每局中获胜､平局､负的概率均为13，且各局比赛结果相互独立.(1)若比赛共进行了三局，求甲共得3分的概率；(2)规定比赛最多进行五局，若一方比另一方多得4分，则停止比赛，求比赛局数X的分布列与数学期望.【答案】(1)7 27；(2)分布列见解析，31781.【分析】(1)写出所有可能情形,利用互斥事件的概率和公式即可求出；(2)算出X为不同值时对应的概率并填写分布列，之后求出数学期望即可.【详解】(1)设“三局比赛后，甲得3分”为事件A，甲得3分包含以下情形：三局均为平局，三局中甲一胜一平一负，所以P A=133+A3313 3=727，故三局比赛甲得3分的概率为7 27 .(2)依题意知X的可能取值为2,3,4,5，P X=2=2×132=29，P X=3=2×C12133=427，P X=4=2×C12134+C1313 4=1081，P X=5=1-P X=2-P X=3-P X=4=1-29-427-1081=4181，故其分布列为：X2345P2942710814181期望E X=2×29+3×427+4×1081+5×4181=31781.3(2024·江苏南通·二模)某班组建了一支8人的篮球队，其中甲、乙、丙、丁四位同学入选，该班体育老师担任教练.(1)从甲、乙、丙、丁中任选两人担任队长和副队长，甲不担任队长，共有多少种选法？(2)某次传球基本功训练，体育老师与甲、乙、丙、丁进行传球训练，老师传给每位学生的概率都相等，每位学生传球给同学的概率也相等，学生传给老师的概率为17.传球从老师开始，记为第一次传球，前三次传球中，甲同学恰好有一次接到球且第三次传球后球回到老师手中的概率是多少？【答案】(1)9种(2)349.【分析】(1)法一，利用分步乘法计数原理集合组合数的计算，即可求得答案；法二，利用间接法，即用不考虑队长人选对甲的限制的所有选法，减去甲担任队长的选法，即可得答案；(2)考虑第一次传球，老师传给了甲还是传给乙、丙、丁中的任一位，继而确定第二次以及第三次传球后球回到老师手中的情况，结合乘法公式以及互斥事件的概率求法，即可求得答案.【详解】(1)法一，先选出队长，由于甲不担任队长，方法数为C13；再选出副队长，方法数也是C13，故共有方法数为C13×C13=9(种).方法二先不考虑队长人选对甲的限制，共有方法数为A 24=4×3=12(种)；若甲任队长，方法数为C 13，故甲不担任队长的选法种数为12-3=9(种)答：从甲、乙、丙、丁中任选两人分别担任队长和副队长，甲不担任队长的选法共有9种.(2)①若第一次传球，老师传给了甲，其概率为14；第二次传球甲只能传给乙、丙、丁中的任一位同学，其概率为67；第三次传球，乙、丙、丁中的一位传球给老师，其概率为17，故这种传球方式，三次传球后球回到老师手中的概率为：14×67×17=398.②若第一次传球，老师传给乙、丙、丁中的任一位，其概率为34，第二次传球，乙、丙、丁中的一位传球给甲，其概率为27，第三次传球，甲将球传给老师，其概率为17，这种传球方式，三次传球后球回到老师手中的概率为34×27×17=398，所以，前三次传球中满足题意的概率为：398+398=349.答：前三次传球中，甲同学恰好有一次接到球且第三次传球后球回到老师手中的概率是349.4(2024·重庆·模拟预测)中国在第75届联合国大会上承诺，努力争取2060年之前实现碳中和(简称“双碳目标”)．新能源电动汽车作为战略新兴产业，对于实现“双碳目标”具有重要的作用．赛力斯汽车有限公司为了调查客户对旗下AITO 问界M 7的满意程度，对所有的意向客户发起了满意度问卷调查，将打分在80分以上的客户称为“问界粉”．现将参与调查的客户打分(满分100分)进行了统计，得到如下的频率分布直方图：(1)估计本次调查客户打分的中位数(结果保留一位小数)；(2)按是否为“问界粉”比例采用分层抽样的方法抽取10名客户前往重庆赛力斯两江智慧工厂参观，在10名参观的客户中随机抽取2名客户赠送价值2万元的购车抵用券．记获赠购车券的“问界粉”人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望E ξ ．【答案】(1)73.3分(2)分布列见解析；期望为35【分析】(1)根据频率分布直方图求解中位数的方法可得答案；(2)确定抽取的“问界粉”人数，再确定ξ的取值，求解分布列，利用期望公式求解期望.【详解】(1)由频率分布直方图可知：打分低于70分的客户所占比例为40％，打分低于80分的客户的所占比例为70％，所以本次调查客户打分的中位数在[70，80)内，由70+10×0.50-0.400.70-0.40=2203≈73.3，所以本次调查客户打分的中位数约为73.3分；(2)根据按比例的分层抽样：抽取的“问界粉”客户3人，“非问界粉”客户7人，则ξ的所有可能取值分别为0，1，2，其中：P (ξ=0)=C 03C 27C 210=715，P (ξ=1)=C 13C 17C 210=715，P (ξ=2)=C 23C 07C 210=115，所以ξ的分布列为：ξ012P715715115所以数学期望E (ξ)=0×715+1×715+2×115=35．5(2024·福建三明·三模)某校开设劳动教育课程，为了有效推动课程实施，学校开展劳动课程知识问答竞赛，现有家政、园艺、民族工艺三类问题海量题库，其中家政类占14，园艺类占14，民族工艺类占12.根据以往答题经验，选手甲答对家政类、园艺类、民族工艺类题目的概率分别为25，25，45，选手乙答对这三类题目的概率均为12.(1)求随机任选1题，甲答对的概率；(2)现进行甲、乙双人对抗赛，规则如下：两位选手进行三轮答题比赛，每轮只出1道题目，比赛时两位选手同时回答这道题，若一人答对且另一人答错，则答对者得1分，答错者得-1分，若两人都答对或都答错，则两人均得0分，累计得分为正者将获得奖品，且两位选手答对与否互不影响，每次答题的结果也互不影响，求甲获得奖品的概率.【答案】(1)35(2)4411000【分析】(1)利用全概率公式，即可求得答案；(2)求出乙答对的概率，设每一轮比赛中甲得分为X ，求出X 的每个值对应的概率，即可求得三轮比赛后，甲总得分为Y 的每个值相应的概率，即可得答案.【详解】(1)记随机任选1题为家政、园艺、民族工艺试题分别为事件A i i =1,2,3 ,记随机任选1题，甲答对为事件B ，则P A 1 =14,P A 2 =14,P A 3 =12,P B |A 1 =25,P B |A 2 =25,P B |A 3 =45，则P B =P A1 P B |A 1 +P A2 P B |A 2 +P A3 P B |A 3=14×25+14×25+12×45=35；(2)设乙答对记为事件C ，则P C =P A 1 P C |A 1 +P A 2 P C |A 2 +P A 3 P C |A 3 =14×12+14×12+12×12=12，设每一轮比赛中甲得分为X ，则P X =1 =P BC =P B P C =35×1-12 =310，P X =0 =P BC ∪BC =P BC +P CB=35×12+1-35 ×1-12 =12，P (X =-1)=P B C =1-35 ×12=15，三轮比赛后，设甲总得分为Y ，则P Y =3 =3103=271000，P Y =2 =C 23310 2×12=27200，P Y =1 =C 13×310×122+C 23×3102×15=2791000，所以甲最终获得奖品的概率为P =P Y =3 +P Y =2 +P Y =1 =271000+27200+2791000=4411000.6(2024·江苏南京·二模)某地5家超市春节期间的广告支出x (万元)与销售额y (万元)的数据如下：超市A B C D E 广告支出x 24568销售额y3040606070(1)从A ，B ，C ，D ，E 这5家超市中随机抽取3家，记销售额不少于60万元的超市个数为X ，求随机变量X 的分布列及期望E (X )；(2)利用最小二乘法求y 关于x 的线性回归方程，并预测广告支出为10万元时的销售额．附：线性回归方程y =b x +a中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b =ni =1x i y i -nx yni =1x 2i -nx2，a =y -b x ．【答案】(1)X 的分布列见解析，期望E (X )=95(2)y=7x +17；预测广告费支出10万元时的销售额为87万元．【分析】(1)根据超几何分布的概率公式求解分布列，进而可求解期望，(2)利用最小二乘法求解线性回归方程即可.【详解】(1)从A ，B ，C ，D ，E 这5家超市中随机抽取3家，记销售额不少于60万元的超市有C ，D ，E 这3家超市，则随机变量X 的可能取值为1，2，3P (X =1)=C 13C 22C 35=310，P (X =2)=C 23C 12C 35=35，P (X =3)=C 33C 35=110，∴X 的分布列为：X123P31035110数学期望E (X )=1×310+2×35+3×110=95．(2)x =2+4+5+6+85=5，y =30+40+60+60+705=52，b=ni =1x i y i -nx yni =1x 2i -nx2=60+160+300+360+560-5×5×524+16+25+36+64-5×52=7，a=52-7×5=17．∴y 关于x 的线性回归方程为y=7x +17；在y =7x +17中，取x =10，得y =7×10+17=87．∴预测广告费支出10万元时的销售额为87万元．7(2024·重庆·三模)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为12，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判.记随机变量X i =1,第i 局乙当裁判0,第i 局甲或丙当裁判, i =1,2,⋅⋅⋅,n ，p i =P X i =1 ，X 表示前n 局中乙当裁判的次数.(1)求事件“n =3且X =1”的概率；(2)求p i ；(3)求E X ，并根据你的理解，说明当n 充分大时E X 的实际含义.附：设X ，Y 都是离散型随机变量，则E X +Y =E X +E Y .【答案】(1)34；(2)p i =-13 ×-12i -1+13；(3)p i ，答案见解析。
文科数学概率高考题（含答案）
文科数学概率高考题（含答案）概率是历年高考数学文科考试经常出现的题型。
为了帮助考生掌握数学中概率知识点，下面是店铺为大家整理的数学概率高考题，希望对大家有所帮助!文科数学概率高考题（一）1.[2014•新课标全国卷Ⅱ] 甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为________.1.132.[2014•全国新课标卷Ⅰ] 将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________.2.233.[2014•浙江卷] 在3张奖券中有一、二等奖各1张，另1张无奖.甲、乙两人各抽取1张，两人都中奖的概率是________.3.134.[2014•陕西卷] 某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：赔付金额(元) 0 1000 2000 3000 4000车辆数(辆) 500 130 100 150 120(1)若每辆车的投保金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率;(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率.4.解：(1)设A表示事件“赔付金额为3000元”，B表示事件“赔付金额为4000元”，以频率估计概率得P(A)=1501000=0.15，P(B)=1201000=0.12.由于投保金额为2800元，所以赔付金额大于投保金额的概率为P(A)+P(B)=0.15+0.12=0.27.(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4000元”，由已知，得样本车辆中车主为新司机的有0.1×1000=100(辆)，而赔付金额为4000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120=24(辆)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为24100=0.24.由频率估计概率得P(C)=0.24.5.、[2014•四川卷] 一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.(1)求“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率;(2)求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率.5.解：(1)由题意，(a，b，c)所有的可能为：(1，1，1)，(1，1，2)，(1，1，3)，(1，2，1)，(1，2，2)，(1，2，3)，(1，3，1)，(1，3，2)，(1，3，3)，(2，1，1)，(2，1，2)，(2，1，3)，(2，2，1)，(2，2，2)，(2，2，3)，(2，3，1)，(2，3，2)，(2，3，3)，(3，1，1)，(3，1，2)，(3，1，3)，(3，2，1)，(3，2，2)，(3，2，3)，(3，3，1)，(3，3，2)，(3，3，3)，共27种.设“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”为事件A，则事件A包括(1，1，2)，(1，2，3)，(2，1，3)，共3种，所以P(A)=327=19.因此，“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率为19.(2)设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B，则事件B包括(1，1，1)，(2，2，2)，(3，3，3)，共3种.所以P(B)=1-P(B)=1-327=89.因此，“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为89.K2 古典概型6.[2014•福建卷] 根据世行2013年新标准，人均GDP低于1035美元为低收入国家;人均GDP为1035～4085美元为中等偏下收入国家;人均GDP为4085～12 616美元为中等偏上收入国家;人均GDP不低于12 616美元为高收入国家.某城市有5个行政区，各区人口占该城市人口比例及人均GDP如下表：行政区区人口占城市人口比例区人均GDP(单位：美元)A 25% 8000B 30% 4000C 15% 6000D 10% 3000E 20% 10 000(1)判断该城市人均GDP是否达到中等偏上收入国家标准;(2)现从该城市5个行政区中随机抽取2个，求抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准的概率.6.解：(1)设该城市人口总数为a，则该城市人均GDP为8000×0.25a+4000×0.30a+6000×0.15a+3000×0.10a+10 000×0.20aa=6400(美元).因为6400∈[4085，12 616)，所以该城市人均GDP达到了中等偏上收入国家标准.(2)“从5个行政区中随机抽取2个”的所有的基本事件是：{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{C，D}，{C，E}，{D，E}，共10个.设事件M为“抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准”，则事件M包含的基本事件是：{A，C}，{A，E}，{C，E}，共3个.所以所求概率为P(M)=310.7.[2014•广东卷] 从字母a，b，c，d，e中任取两个不同字母，则取到字母a的概率为________.7.258.[2014•湖北卷] 随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为p1，点数之和大于5的概率记为p2，点数之和为偶数的概率记为p3，则( )A.p1C.p18.C9.[2014•湖南卷] 某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b).其中a，a分别表示甲组研发成功和失败;b，b分别表示乙组研发成功和失败.(1)若某组成功研发一种新产品，则给该组记1分，否则记0分.试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平.(2)若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，试估计恰有一组研发成功的概率.9.解：(1)甲组研发新产品的成绩为1，1，1，0，0，1，1，1，0，1，0，1，1，0，1，其平均数为x甲=1015=23，方差为s2甲=1151-232×10+0-232×5=29.乙组研发新产品的成绩为1，0，1，1，0，1，1，0，1，0，0，1，0，1，1，其平均数为x乙=915=35，方差为s2乙=1151-352×9+0-352×6=625.因为x甲>x乙，s2甲(2)记E={恰有一组研发成功}.在所抽得的15个结果中，恰有一组研发成功的结果是(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，共7个，故事件E发生的频率为715.将频率视为概率，即得所求概率为P(E)=715.文科数学概率高考题（二）10.[2014•江苏卷] 从1，2，3，6这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是________.10.1311.[2014•江西卷] 掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于( )A.118B.19C.16D.11211.B12.[2014•江西卷] 将连续正整数1，2，…，n(n∈N*)从小到大排列构成一个数123…n，F(n)为这个数的位数(如n=12时，此数为123456789101112，共有15个数字，F(12)=15)，现从这个数中随机取一个数字，p(n)为恰好取到0的概率.(1)求p(100);(2)当n≤2014时，求F(n)的表达式;(3)令g(n)为这个数中数字0的个数，f(n)为这个数中数字9的个数，h(n)=f(n)-g(n)，S={n|h(n)=1，n≤100，n∈N*}，求当n∈S时p(n)的最大值.12.解：(1)当n=100时，这个数中总共有192个数字，其中数字0的个数为11，所以恰好取到0的概率为p(100)=11192.(2)F(n)=n，1≤n≤9，2n-9，10≤n≤99，3n-108，100≤n≤999，4n-1107，1000≤n≤2014.(3)当n=b(1≤b≤9，b∈N*)，g(n)=0;当n=10k+b(1≤k≤9，0≤b≤9，k∈N*，b∈N)时，g(n)=k;当n=100时，g(n)=11，即g(n)=0，1≤n≤9，k，n=10k+b，11，n=100.1≤k≤9，0≤b≤9，k∈N*，b∈N，同理有f(n)=0，1≤n≤8，k，n=10k+b-1，1≤k≤8，0≤b≤9，k∈N*，b∈N，n-80，89≤n≤98，20，n=99，100.由h(n)=f(n)-g(n)=1，可知n=9，19，29，39，49，59，69，79，89，90，所以当n≤100时，S={9，19，29，39，49，59，69，79，89，90}.当n=9时，p(9)=0.当n=90时，p(90)=g(90)F(90)=9171=119.当n=10k+9(1≤k≤8，k∈N*)时，p(n)=g(n)F(n)=k2n-9=k20k+9，由y=k20k+9关于k单调递增，故当n=10k+9(1≤k≤8，k∈N*)时，p(n)的最大值为p(89)=8169.又8169<119，所以当n∈S时，p(n)的最大值为119.13.[2014•辽宁卷] 某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：喜欢甜品不喜欢甜品合计南方学生 60 20 80北方学生 10 10 20合计 70 30 100(1)根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”;(2)已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率.附：χ2=n(n11n22-n12n21)2n1+n2+n+1n+2，P(χ2≥k) 0.100 0.050 0.010k 2.706 3.841 6.63513.解：(1)将2×2列联表中的数据代入公式计算，得χ2=n(n11n22-n12n21)2n1+n2+n+1n+2=100×(60×10-20×10)270×30×80×20=10021≈4.762.由于4.762>3.841，所以有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”.(2)从5名数学系学生中任取3人的一切可能结果所组成的基本事件空间Ω={(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a2，b3)，(a1，b1，b2)，(a1，b1，b3)，(a1，b2，b3)，(a2，b1，b2)，(a2，b1，b3)，(a2，b2，b3)，(b1，b2，b3)}，其中ai表示喜欢甜品的学生，i=1，2，bj表示不喜欢甜品的学生，j=1，2，3.Ω由10个基本事件组成，且这些基本事件的出现是等可能的.用A表示“3人中至多有1人喜欢甜品”这一事件，则A={(a1，b1，b2)，(a1，b1，b3)，(a1，b2，b3)，(a2，b1，b2)，(a2，b1，b3)，(a2，b2，b3)，(b1，b2，b3)}.事件A由7个基本事件组成，因而P(A)=710.14.[2014•山东卷] 海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如表所示.工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.地区 A B C数量 50 150 100(1)求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量;(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率.14.解：(1)因为样本容量与总体中的个体数的比是650+150+100=150，所以样本中包含三个地区的个体数量分别是：50×150=1，150×150=3，100×150=2.所以A，B，C三个地区的商品被选取的件数分别是1，3，2.(2)设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为：A;B1，B2，B3;C1，C2.则抽取的这2件商品构成的所有基本事件为：{A，B1}，{A，B2}，{A，B3}，{A，C1}，{A，C2}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B1，C1}，{B1，C2}，{B2，B3}{B2，C1}，{B2，C2}，{B3，C1}，{B3，C2}，{C1，C2}，共15个.每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的.记事件D为“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D包含的基本事件有{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，{C1，C2}，共4个.所以P(D)=415，即这2件商品来自相同地区的概率为415.15.[2014•陕西卷] 从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为( )A.15B.25C.35D.4515.B16.[2014•四川卷] 一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.(1)求“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率;(2)求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率.16.解：(1)由题意，(a，b，c)所有的可能为：(1，1，1)，(1，1，2)，(1，1，3)，(1，2，1)，(1，2，2)，(1，2，3)，(1，3，1)，(1，3，2)，(1，3，3)，(2，1，1)，(2，1，2)，(2，1，3)，(2，2，1)，(2，2，2)，(2，2，3)，(2，3，1)，(2，3，2)，(2，3，3)，(3，1，1)，(3，1，2)，(3，1，3)，(3，2，1)，(3，2，2)，(3，2，3)，(3，3，1)，(3，3，2)，(3，3，3)，共27种.设“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”为事件A，则事件A包括(1，1，2)，(1，2，3)，(2，1，3)，共3种，所以P(A)=327=19.因此，“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率为19.(2)设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B，则事件B包括(1，1，1)，(2，2，2)，(3，3，3)，共3种.所以P(B)=1-P(B)=1-327=89.因此，“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为89.17.[2014•天津卷] 某校夏令营有3名男同学A，B，C和3名女同学X，Y，Z，其年级情况如下表：一年级二年级三年级男同学 A B C女同学 X Y Z现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同).(1)用表中字母列举出所有可能的结果;(2)设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M发生的概率.17.解：(1)从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，X}，{A，Y}，{A，Z}，{B，C}，{B，X}，{B，Y}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，{C，Z}，{X，Y}，{X，Z}，{Y，Z}，共15种.(2)选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为{A，Y}，{A，Z}，{B，X}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，共6种.因此，事件M发生的概率P(M)=615=25.18.[2014•重庆卷] 20名学生某次数学考试成绩(单位：分)的频率分布直方图如图13所示.(1)求频率分布直方图中a的值;(2)分别求出成绩落在[50，60)与[60，70)中的学生人数;(3)从成绩在[50，70)的学生中任选2人，求此2人的成绩都在[60，70)中的概率.18.解：(1)据直方图知组距为10，由(2a+3a+7a+6a+2a)×10=1，解得a=1200=0.005.(2)成绩落在[50，60)中的学生人数为2×0.005×10×20=2.成绩落在[60，70)中的学生人数为3×0.005×10×20=3.(3)记成绩落在[50，60)中的2人为A1，A2，成绩落在[60，70)中的3人为B1，B2，B3，则从成绩在[50，70)的学生中任选2人的基本事件共有10个，即(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3).其中2人的成绩都在[60，70)中的基本事件有3个，即(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3).故所求概率为P=310.文科数学概率高考题（三）19.[2014•福建卷] 如图15所示，在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________.19.1820.[2014•湖南卷] 在区间[-2，3]上随机选取一个数X，则X≤1的概率为( )A.45B.35C.25D.1520.B21.[2014•辽宁卷] 若将一个质点随机投入如图11所示的长方形ABCD中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是( )A.π2B.π4C.π6D.π821.B22.[2014•重庆卷] 某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为________.(用数字作答)22.932K4 互斥事件有一个发生的概率K5 相互对立事件同时发生的概率23.[2014•全国卷] 设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立.(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率;(2)实验室计划购买k台设备供甲、乙、丙、丁使用.若要求“同一工作日需使用设备的人数大于k”的概率小于0.1，求k的最小值.23.解：记A1表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设备，i=0，1，2.B表示事件：甲需使用设备.C表示事件：丁需使用设备.D表示事件：同一工作日至少3人需使用设备.E表示事件：同一工作日4人需使用设备.F表示事件：同一工作日需使用设备的人数大于k.(1)因为P(B)=0.6，P(C)=0.4，P(Ai)=Ci2×0.52，i=0，1，2，所以P(D)=P(A1•B•C+A2•B+A2•B•C)=P(A1•B•C)+P(A2•B)+P(A2•B•C) =P(A1)P(B)P(C)+P(A2)P(B)+P(A2)P(B)P(C)=0.31.(2)由(1)知，若k=2，则P(F)=0.31>0.1，P(E)=P(B•C•A2)=P(B)P(C)P(A2)=0.06.若k=3，则P(F)=0.06<0.1，所以k的最小值为3.K6 离散型随机变量及其分布列24.[2014•江苏卷] 盒中共有9个球，其中有4个红球、3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同.(1)从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P;(2)从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1，x2，x3，随机变量X表示x1，x2，x3中的最大数，求X 的概率分布和数学期望E(X).24.解：(1)取到的2个颜色相同的球可能是2个红球、2个黄球或2个绿球，所以P=C24+C23+C22C29=6+3+136=518.(2)随机变量X所有可能的取值为2，3，4.{X=4}表示的随机事件是“取到的4个球是4个红球”，故P(X=4)=C44C49=1126;{X=3}表示的随机事件是“取到的4个球是3个红球和1个其他颜色的球，或3个黄球和1个其他颜色的球”，故P(X=3)=C34C15+C33C16C49=20+6126=1363;于是P(X=2)=1-P(X=3)-P(X=4)=1-1363-1126=1114.所以随机变量X的概率分布如下表：X 2 3 4P 111413631126因此随机变量X的数学期望E(X)=2×1114+3×1363+4×1126=209.K7 条件概率与事件的独立性K8 离散型随机变量的数字特征与正态分布25.[2014•全国卷] 设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立.(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率;(2)实验室计划购买k台设备供甲、乙、丙、丁使用.若要求“同一工作日需使用设备的人数大于k”的概率小于0.1，求k的最小值.25.解：记A1表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设备，i=0，1，2.B表示事件：甲需使用设备.C表示事件：丁需使用设备.D表示事件：同一工作日至少3人需使用设备.E表示事件：同一工作日4人需使用设备.F表示事件：同一工作日需使用设备的人数大于k.(1)因为P(B)=0.6，P(C)=0.4，P(Ai)=Ci2×0.52，i=0，1，2，所以P(D)=P(A1•B•C+A2•B+A2•B•C)=P(A1•B•C)+P(A2•B)+P(A2•B•C) =P(A1)P(B)P(C)+P(A2)P(B)+P(A2)P(B)P(C)=0.31.(2)由(1)知，若k=2，则P(F)=0.31>0.1，P(E)=P(B•C•A2)=P(B)P(C)P(A2)=0.06.若k=3，则P(F)=0.06<0.1，所以k的最小值为3.。
高考概率考试题及答案
高考概率考试题及答案一、选择题（每题3分，共15分）1. 某工厂生产的零件，合格率为90%，随机抽取一个零件，求该零件合格的概率是多少？A. 0.1B. 0.9C. 0.8D. 0.7答案：B2. 抛一枚均匀的硬币两次，求两次都是正面朝上的概率是多少？A. 0.25B. 0.5C. 0.75D. 1答案：A3. 一个袋子里有5个红球和3个蓝球，随机抽取一个球，求抽到红球的概率是多少？A. 0.5B. 0.6C. 0.4D. 0.8答案：B4. 某次考试，甲、乙、丙三人参加，甲通过的概率为0.6，乙通过的概率为0.5，丙通过的概率为0.4，求至少有一人通过的概率是多少？A. 0.8B. 0.9C. 0.7D. 0.5答案：B5. 一个骰子连续投掷两次，求两次点数之和为7的概率是多少？A. 1/6B. 1/9C. 1/12D. 1/18答案：B二、填空题（每题4分，共20分）6. 如果一个事件的概率为0.3，那么它的对立事件的概率是________。
答案：0.77. 一个袋子里有10个球，其中3个是白球，7个是黑球，随机抽取一个球，抽到白球的概率是________。
答案：0.38. 某次射击比赛中，甲选手击中靶心的概率为0.8，乙选手击中靶心的概率为0.6，求甲选手击中靶心而乙选手未击中的概率是________。
答案：0.329. 一个袋子里有10个球，其中5个是红球，5个是绿球，随机抽取两个球，求两个球颜色相同的概率是________。
答案：0.4510. 一个袋子里有10个球，其中4个是红球，6个是蓝球，随机抽取两个球，求两个球颜色不同的概率是________。
答案：0.6三、解答题（每题10分，共20分）11. 某次抽奖活动中，共有100张奖券，其中10张是中奖券。
如果小明购买了5张奖券，求小明至少中一张奖券的概率是多少？解：设小明至少中一张奖券的事件为A，那么小明没有中奖的事件为A 的对立事件。
(word完整版)高考数学概率大题专项题型
高考概率大题专项题型一．解答题1．某年级星期一至星期五每天下午排3节课，每天下午随机选择1节作为综合实践课（上午不排该课程），张老师与王老师分别任教甲、乙两个班的综合实践课程．（1）求这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率；（2）设这两个班“在一周中同时上综合实践课的节数”为X，求X的概率分布表与数学期望E（X）．2．甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响．各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：（I）“星队”至少猜对3个成语的概率；（II）“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX．3．某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4，现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．（1）设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；（2）设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望．4．某商场一号电梯从1层出发后可以在2、3、4层停靠．已知该电梯在1层载有4位乘客，假设每位乘客在2、3、4层下电梯是等可能的．（Ⅰ）求这4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的概率；（Ⅱ）用X表示4名乘客在第4层下电梯的人数，求X的分布列和数学期望．5．集成电路E由3个不同的电子元件组成，现由于元件老化，三个电子元件能正常工作的概率分别降为，，，且每个电子元件能否正常工作相互独立，若三个电子元件中至少有2个正常工作，则E能正常工作，否则就需要维修，且维修集成电路E所需费用为100元．（Ⅰ）求集成电路E需要维修的概率；（Ⅱ）若某电子设备共由2个集成电路E组成，设X为该电子设备需要维修集成电路所需的费用，求X的分布列和期望．6．某商场举行优惠促销活动，顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择一种，方案一：每满200元减50元：方案二：每满200元可抽奖一次．具体规则是依次从装有3个红球、1个白球的甲箱，装有2个红球、2个白球的乙箱，以及装有1个红球、3个白球的丙箱中各随机摸出1个球，所得结果和享受的优惠如下表：（注：所有小球仅颜色有区别）红球个数3210实际付款半价7折8折原价（Ⅰ）若两个顾客都选择方案二，各抽奖一次，求至少一个人获得半价优惠的概率；（Ⅱ）若某顾客购物金额为320元，用所学概率知识比较哪一种方案更划算？7．为丰富中学生的课余生活，增进中学生之间的交往与学习，某市甲乙两所中学举办一次中学生围棋擂台赛．比赛规则如下，双方各出3名队员并预先排定好出场顺序，双方的第一号选手首先对垒，双方的胜者留下进行下一局比赛，负者被淘汰出局，由第二号选手挑战上一局获胜的选手，依此类推，直到一方的队员全部被淘汰，另一方算获胜．假若双方队员的实力旗鼓相当（即取胜对手的概率彼此相等）（Ⅰ）在已知乙队先胜一局的情况下，求甲队获胜的概率．（Ⅱ）记双方结束比赛的局数为ξ，求ξ的分布列并求其数学期望Eξ．8．M公司从某大学招收毕业生，经过综合测试，录用了14名男生和6名女生，这20名毕业生的测试成绩如茎叶图所示（单位：分），公司规定：成绩在180分以上者到“甲部门”工作；180分以下者到“乙部门”工作．另外只有成绩高于180分的男生才能担任“助理工作”．（Ⅰ）如果用分层抽样的方法从“甲部分”人选和“乙部分”人选中选取8人，再从这8人中选3人，那么至少有一人是“甲部门”人选的概率是多少？（Ⅱ）若从所有“甲部门”人选中随机选3人，用X表示所选人员中能担任“助理工作”的人数，写出X的分布列，并求出X的数学期望．9．生产A，B两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品．现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：测试指标[70，76）[76，82）[82，88）[88，94）[94，100]元件A81240328元件B71840296（Ⅰ）试分别估计元件A，元件B为正品的概率；（Ⅱ）生产一件元件A，若是正品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件元件B，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元．在（Ⅰ）的前提下，（ⅰ）记X为生产1件元件A和1件元件B所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望；（ⅱ）求生产5件元件B所获得的利润不少于140元的概率．10．一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为[5，15]，（15，25]，（25，35]，（35，45]，由此得到样本的重量频率分布直方图（如图），（1）求a的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；（2）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在[5，15]内的小球个数为X，求X 的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）11．某企业准备招聘一批大学生到本单位就业，但在签约前要对他们的某项专业技能进行测试．在待测试的某一个小组中有男、女生共10人（其中女生人数多于男生人数），如果从中随机选2人参加测试，其中恰为一男一女的概率为；（1）求该小组中女生的人数；（2）假设此项专业技能测试对该小组的学生而言，每个女生通过的概率均为，每个男生通过的概率均为；现对该小组中男生甲、男生乙和女生丙3个人进行测试，记这3人中通过测试的人数为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望．12．某大学准备在开学时举行一次大学一年级学生座谈会，拟邀请20名来自本校机械工程学院、海洋学院、医学院、经济学院的学生参加，各学院邀请的学生数如下表所示：海洋学院医学院经济学院学院机械工程学院人数4646（Ⅰ）从这20名学生中随机选出3名学生发言，求这3名学生中任意两个均不属于同一学院的概率；（Ⅱ）从这20名学生中随机选出3名学生发言，设来自医学院的学生数为ξ，求随机变量ξ的概率分布列和数学期望．13．甲、乙两名同学参加“汉字听写大赛”选拔测试，在相同测试条件下，两人5次测试的成绩（单位：分）如下表：第1次第2次第3次第4次第5次甲5855769288乙6582878595（Ⅰ）请画出甲、乙两人成绩的茎叶图．你认为选派谁参赛更好？说明理由（不用计算）；（Ⅱ）若从甲、乙两人5次的成绩中各随机抽取一个成绩进行分析，设抽到的两个成绩中，90分以上的个数为X，求随机变量X的分布列和期望EX．14．某公司有10万元资金用于投资，如果投资甲项目，根据市场分析知道：一年后可能获利10%，可能损失10%，可能不赔不赚，这三种情况发生的概率分别为，，；如果投资乙项目，一年后可能获利20%，也可能损失20%，这两种情况发生的概率分别为α和β（α+β=1）．（1）如果把10万元投资甲项目，用ξ表示投资收益（收益=回收资金﹣投资资金），求ξ的概率分布及Eξ；（2）若把10万元投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益，求α的取值范围．15．袋中装有围棋黑色和白色棋子共7枚，从中任取2枚棋子都是白色的概率为．现有甲、乙两人从袋中轮流摸取一枚棋子．甲先摸，乙后取，然后甲再取，…，取后均不放回，直到有一人取到白棋即终止．每枚棋子在每一次被摸出的机会都是等可能的．用X表示取棋子终止时所需的取棋子的次数．（1）求随机变量X的概率分布列和数学期望E（X）；（2）求甲取到白球的概率．16．小王为了锻炼身体，每天坚持“健步走”，并用计步器进行统计．小王最近8天“健步走”步数的频数分布直方图（如图）及相应的消耗能量数据表（如表）．健步走步数（千卡）16171819480520消耗能量（卡路里）40044（Ⅰ）求小王这8天“健步走”步数的平均数；（Ⅱ）从步数为16千步，17千步，18千步的几天中任选2天，设小王这2天通过健步走消耗的“能量和”为X，求X的分布列．17．某校从参加某次数学能力测试的学生中中抽查36名学生，统计了他们的数学成绩（成绩均为整数且满分为120分），成绩的频率直方图如图所示，其中成绩分组间是：[80，90），[90，100），[100，110），[110，120]（1）在这36名学生中随机抽取3名学生，求同时满足下列条件的概率：（1）有且仅有1名学生成绩不低于110分；（2）成绩在[90，100）内至多1名学生；（2）在成绩是[80，100）内的学生中随机选取3名学生进行诊断问卷，设成绩在[90，100）内的人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望EX．18．一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取5件作检验，这5件产品中优质品的件数记为n．如果n=3，再从这批产品中任取2件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；如果n=5，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立．（1）求这批产品通过检验的概率；（2）已知每件产品检验费用为200元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为x（单位：元），求x的分布列．概率大题专项题型参考答案一．解答题1．某年级星期一至星期五每天下午排3节课，每天下午随机选择1节作为综合实践课（上午不排该课程），张老师与王老师分别任教甲、乙两个班的综合实践课程．（1）求这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率；（2）设这两个班“在一周中同时上综合实践课的节数”为X，求X的概率分布表与数学期望E（X）．【解答】解：（1）这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率为．…（4分）（2）由题意得，．…（6分）所以X的概率分布表为：X012345P…（8分）所以，X的数学期望为．…（10分）2．甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响．各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：（I）“星队”至少猜对3个成语的概率；（II）“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX．【解答】解：（I）“星队”至少猜对3个成语包含“甲猜对1个，乙猜对2个”，“甲猜对2个，乙猜对1个”，“甲猜对2个，乙猜对2个”三个基本事件，故概率P=++=++=，（II）“星队”两轮得分之和为X可能为：0，1，2，3，4，6，则P（X=0）==，P（X=1）=2×[+]=，P（X=2）=+++=，P（X=3）=2×=，P（X=4）=2×[+]=P（X=6）==故X的分布列如下图所示：X012346P∴数学期望E（X）=0×+1×+2×+3×+4×+6×==3．某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4，现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．（1）设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；（2）设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望．【解答】解：（1）从10人中选出2人的选法共有=45种，事件A：参加次数的和为4，情况有：①1人参加1次，另1人参加3次，②2人都参加2次；共有+=15种，∴事件A发生概率：P==．（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2．P（X=0）==P（X=1）==，P（X=2）==，∴X的分布列为：X012P∴EX=0×+1×+2×=1．4．某商场一号电梯从1层出发后可以在2、3、4层停靠．已知该电梯在1层载有4位乘客，假设每位乘客在2、3、4层下电梯是等可能的．（Ⅰ）求这4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的概率；（Ⅱ）用X表示4名乘客在第4层下电梯的人数，求X的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）设4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的事件为A，…（1分）由题意可得每位乘客在第2层下电梯的概率都是，…（3分）则．…（6分）（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，3，4，…（7分）由题意可得每个人在第4层下电梯的概率均为，且每个人下电梯互不影响，所以，．…（9分）X01234P…（11分）．…（13分）5．集成电路E由3个不同的电子元件组成，现由于元件老化，三个电子元件能正常工作的概率分别降为，，，且每个电子元件能否正常工作相互独立，若三个电子元件中至少有2个正常工作，则E能正常工作，否则就需要维修，且维修集成电路E所需费用为100元．（Ⅰ）求集成电路E需要维修的概率；（Ⅱ）若某电子设备共由2个集成电路E组成，设X为该电子设备需要维修集成电路所需的费用，求X的分布列和期望．【解答】解：（Ⅰ）三个电子元件能正常工作分别记为事件A，B，C，则P（A）=，P（B）=，P（C）=．依题意，集成电路E需要维修有两种情形：①3个元件都不能正常工作，概率为P1=P（）=P（）P（）P（）=××=．②3个元件中的2个不能正常工作，概率为P2=P（A）+P（B）+P（C）=++×=．所以，集成电路E需要维修的概率为P1+P2=+=．（Ⅱ）设ξ为维修集成电路的个数，则ξ服从B（2，），而X=100ξ，P（X=100ξ）=P（ξ=k）=••，k=0，1，2．X的分布列为：X0100200P∴EX=0×+100×+200×=．6．某商场举行优惠促销活动，顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择一种，方案一：每满200元减50元：方案二：每满200元可抽奖一次．具体规则是依次从装有3个红球、1个白球的甲箱，装有2个红球、2个白球的乙箱，以及装有1个红球、3个白球的丙箱中各随机摸出1个球，所得结果和享受的优惠如下表：（注：所有小球仅颜色有区别）红球个数3210实际付款半价7折8折原价（Ⅰ）若两个顾客都选择方案二，各抽奖一次，求至少一个人获得半价优惠的概率；（Ⅱ）若某顾客购物金额为320元，用所学概率知识比较哪一种方案更划算？【解答】解：（Ⅰ）记顾客获得半价优惠为事件A，则P（A）==，两个顾客至少一个人获得半价优惠的概率：P=1﹣P（）P（）=1﹣（1﹣）2=．…（5分）（Ⅱ）若选择方案一，则付款金额为320﹣50=270元．若选择方案二，记付款金额为X元，则X可取160，224，256，320．P（X=160）=，P（X=224）==，P（X=256）==，P（X=320）==，则E（X）=160×+224×+256×+320×=240．∵270＞240，∴第二种方案比较划算．…（12分）7．为丰富中学生的课余生活，增进中学生之间的交往与学习，某市甲乙两所中学举办一次中学生围棋擂台赛．比赛规则如下，双方各出3名队员并预先排定好出场顺序，双方的第一号选手首先对垒，双方的胜者留下进行下一局比赛，负者被淘汰出局，由第二号选手挑战上一局获胜的选手，依此类推，直到一方的队员全部被淘汰，另一方算获胜．假若双方队员的实力旗鼓相当（即取胜对手的概率彼此相等）（Ⅰ）在已知乙队先胜一局的情况下，求甲队获胜的概率．（Ⅱ）记双方结束比赛的局数为ξ，求ξ的分布列并求其数学期望Eξ．【解答】解：（Ⅰ）在已知乙队先胜一局的情况下，相当于乙校还有3名选手，而甲校还剩2名选手，甲校要想取胜，需要连胜3场，或者比赛四场要胜三场，且最后一场获胜，所以甲校获胜的概率是（Ⅱ）记双方结束比赛的局数为ξ，则ξ=3，4，5所以ξ的分布列为ξ345P数学期望．8．M公司从某大学招收毕业生，经过综合测试，录用了14名男生和6名女生，这20名毕业生的测试成绩如茎叶图所示（单位：分），公司规定：成绩在180分以上者到“甲部门”工作；180分以下者到“乙部门”工作．另外只有成绩高于180分的男生才能担任“助理工作”．（Ⅰ）如果用分层抽样的方法从“甲部分”人选和“乙部分”人选中选取8人，再从这8人中选3人，那么至少有一人是“甲部门”人选的概率是多少？（Ⅱ）若从所有“甲部门”人选中随机选3人，用X表示所选人员中能担任“助理工作”的人数，写出X的分布列，并求出X的数学期望．【解答】解：（I）用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率为=，根据茎叶图，有“甲部门”人选10人，“乙部门”人选10人，所以选中的“甲部门”人选有10×=4人，“乙部门”人选有10×=4人，用事件A表示“至少有一名甲部门人被选中”，则它的对立事件表示“没有一名甲部门人被选中”，则P（A）=1﹣P（）=1﹣=1﹣=．因此，至少有一人是“甲部门”人选的概率是；（Ⅱ）依据题意，所选毕业生中能担任“助理工作”的人数X的取值分别为0，1，2，3，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==．因此，X的分布列如下：所以X的数学期望EX=0×+1×+2×+3×=．9．生产A，B两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品．现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：测试指标[70，76）[76，82）[82，88）[88，94）[94，100]元件A81240328元件B71840296（Ⅰ）试分别估计元件A，元件B为正品的概率；（Ⅱ）生产一件元件A，若是正品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件元件B，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元．在（Ⅰ）的前提下，（ⅰ）记X为生产1件元件A和1件元件B所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望；（ⅱ）求生产5件元件B所获得的利润不少于140元的概率．【解答】解：（Ⅰ）元件A为正品的概率约为．元件B为正品的概率约为．（Ⅱ）（ⅰ）∵生产1件元件A和1件元件B可以分为以下四种情况：两件正品，A次B正，A正B次，A次B次．∴随机变量X的所有取值为90，45，30，﹣15．∵P（X=90）==；P（X=45）==；P（X=30）==；P（X=﹣15）==．∴随机变量X的分布列为：EX=．（ⅱ）设生产的5件元件B中正品有n件，则次品有5﹣n件．依题意得50n﹣10（5﹣n）≥140，解得．所以n=4或n=5．设“生产5件元件B所获得的利润不少于140元”为事件A，则P（A）==．10．一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为[5，15]，（15，25]，（25，35]，（35，45]，由此得到样本的重量频率分布直方图（如图），（1）求a的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；（2）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在[5，15]内的小球个数为X，求X 的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）【解答】解：（1）由题意得，（0.02+0.032+a+0.018）×10=1解得a=0.03；又由最高矩形中点的横坐标为20，可估计盒子中小球重量的众数约为20，而50个样本小球重量的平均值为：=0.2×10+0.32×20+0.3×30+0.18×40=24.6（克）故估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克．（2）利用样本估计总体，该盒子中小球的重量在[5，15]内的0.2；则X～B（3，），X=0，1，2，3；P（X=0）=×（）3=；P（X=1）=×（）2×=；P（X=2）=×（）×（）2=；P（X=3）=×（）3=，∴X的分布列为：X0123P即E（X）=0×=．11．某企业准备招聘一批大学生到本单位就业，但在签约前要对他们的某项专业技能进行测试．在待测试的某一个小组中有男、女生共10人（其中女生人数多于男生人数），如果从中随机选2人参加测试，其中恰为一男一女的概率为；（1）求该小组中女生的人数；（2）假设此项专业技能测试对该小组的学生而言，每个女生通过的概率均为，每个男生通过的概率均为；现对该小组中男生甲、男生乙和女生丙3个人进行测试，记这3人中通过测试的人数为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望．【解答】解：（1）设该小组中有n 个女生，根据题意，得解得n=6，n=4（舍去），∴该小组中有6个女生；（2）由题意，ξ的取值为0，1，2，3；P（ξ=0）=P（ξ=1）=P（ξ=3）=P（ξ=2）=1﹣∴ξ的分布列为：ξ0123P∴Eξ=1×12．某大学准备在开学时举行一次大学一年级学生座谈会，拟邀请20名来自本校机械工程学院、海洋学院、医学院、经济学院的学生参加，各学院邀请的学生数如下表所示：学院机械工程学海洋学院医学院经济学院院人数4646（Ⅰ）从这20名学生中随机选出3名学生发言，求这3名学生中任意两个均不属于同一学院的概率；（Ⅱ）从这20名学生中随机选出3名学生发言，设来自医学院的学生数为ξ，求随机变量ξ的概率分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）从20名学生随机选出3名的方法数为，选出3人中任意两个均不属于同一学院的方法数为：所以（Ⅱ）ξ可能的取值为0，1，2，3，，所以ξ的分布列为0123P所以13．甲、乙两名同学参加“汉字听写大赛”选拔测试，在相同测试条件下，两人5次测试的成绩（单位：分）如下表：第1次第2次第3次第4次第5次甲5855769288乙6582878595（Ⅰ）请画出甲、乙两人成绩的茎叶图．你认为选派谁参赛更好？说明理由（不用计算）；（Ⅱ）若从甲、乙两人5次的成绩中各随机抽取一个成绩进行分析，设抽到的两个成绩中，90分以上的个数为X，求随机变量X的分布列和期望EX．【解答】解：（Ⅰ）茎叶图如图所示，由图可知，乙的平均成绩大于甲的平均成绩，且乙的方差小于甲的方差，因此应选派乙参赛更好．（Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为0，1，2．，，，随机变量X的分布列是：X012P．14．某公司有10万元资金用于投资，如果投资甲项目，根据市场分析知道：一年后可能获利10%，可能损失10%，可能不赔不赚，这三种情况发生的概率分别为，，；如果投资乙项目，一年后可能获利20%，也可能损失20%，这两种情况发生的概率分别为α和β（α+β=1）．（1）如果把10万元投资甲项目，用ξ表示投资收益（收益=回收资金﹣投资资金），求ξ的概率分布及Eξ；（2）若把10万元投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益，求α的取值范围．【解答】解：（1）依题意，ξ的可能取值为1，0，﹣1，P（ξ=1）=，P（ξ=0）=，P（ξ=﹣1）=，∴ξ的分布列为：ξ10﹣1pEξ=﹣=．…（6分）（2）设η表示10万元投资乙项目的收益，则η的可能取值为2，﹣2，P（η=2）=α，P（η=﹣2）=β，η的分布列为η2﹣2pαβ∴Eη=2α﹣2β=4α﹣2，∵把10万元投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益，∴4α﹣2≥，解得．…（12分）15．袋中装有围棋黑色和白色棋子共7枚，从中任取2枚棋子都是白色的概率为．现有甲、乙两人从袋中轮流摸取一枚棋子．甲先摸，乙后取，然后甲再取，…，取后均不放回，直到有一人取到白棋即终止．每枚棋子在每一次被摸出的机会都是等可能的．用X表示取棋子终止时所需的取棋子的次数．（1）求随机变量X的概率分布列和数学期望E（X）；（2）求甲取到白球的概率．【解答】解：设袋中白球共有x个，则依题意知：=，即=，即x2﹣x﹣6=0，解之得x=3，（x=﹣2舍去）．…（1分）（1）袋中的7枚棋子3白4黑，随机变量X的所有可能取值是1，2，3，4，5．P（x=1）==，P（x=2）==，P（x=3）==，P（x=4）==，P（x=5）==，…（5分）（注：此段（4分）的分配是每错1个扣（1分），错到4个即不得分．）随机变量X的概率分布列为：X12345P所以E（X）=1×+2×+3×+4×+5×=2．…（6分）（2）记事件A=“甲取到白球”，则事件A包括以下三个互斥事件：A1=“甲第1次取球时取出白球”；A2=“甲第2次取球时取出白球”；A3=“甲第3次取球时取出白球”．依题意知：P（A1）==，P（A2）==，P（A3）==，…（9分）（注：此段（3分）的分配是每错1个扣（1分），错到3个即不得分．）所以，甲取到白球的概率为P（A）=P（A1）+P（A2）+P（A3）=…（10分）16．小王为了锻炼身体，每天坚持“健步走”，并用计步器进行统计．小王最近8天“健步走”步数的频数分布直方图（如图）及相应的消耗能量数据表（如表）．健步走步数（千卡）16171819480520消耗能量（卡路里）40044（Ⅰ）求小王这8天“健步走”步数的平均数；（Ⅱ）从步数为16千步，17千步，18千步的几天中任选2天，设小王这2天通过健步走消耗的“能量和”为X，求X的分布列．【解答】（本小题满分13分）解：（I）小王这8天“健步走”步数的平均数为：（千步）．…..（4分）（II）X的各种取值可能为800，840，880，920．，，，，X的分布列为：X800840880920P…..（13分）17．某校从参加某次数学能力测试的学生中中抽查36名学生，统计了他们的数学成绩（成绩均为整数且满分为120分），成绩的频率直方图如图所示，其中成绩分组间是：[80，90），[90，100），[100，110），[110，120]（1）在这36名学生中随机抽取3名学生，求同时满足下列条件的概率：（1）有且仅有1名学生成绩不低于110分；（2）成绩在[90，100）内至多1名学生；（2）在成绩是[80，100）内的学生中随机选取3名学生进行诊断问卷，设成绩在[90，100）内的人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望EX．【解答】解：（1）由频率分布直方图，得；10a=1﹣（++）×10=，解得a=；∴成绩在[80，90）分的学生有36××10=3人，成绩在[90，100）分的学生有36××10=6人，成绩在[100，110）分的学生有36××10=18人，成绩在[110，120）分的学生有36××10=9人；记事件A为“抽取3名学生中同时满足条件①②的事件”，包括事件A1=“抽取3名学生中，1人成绩不低于110分，0人在[90，100）分之间”，事件A2=“抽取3名学生中，1人成绩不低于110分，1人在[90，100）分之间”，且A1、A2是互斥事件；∴P（A）=P（A1+A2）=P（A1）+P（A2）=+=+=；（2）随机变量X的可能取值为0，1，2，3；∴P（X=0）==，p（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==；∴X的分布列为X0123P数学期望为EX=0×+1×+2×+3×=2．18．一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取5件作检验，这5件产品中优质品的件数记为n．如果n=3，再从这批产品中任取2件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；如果n=5，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立．（1）求这批产品通过检验的概率；（2）已知每件产品检验费用为200元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为x（单位：元），求x的分布列．【解答】解：（1）由题意知：第一次取5件产品中，恰好有k件优质品的概率为：P（k）=，k=0，1，2，3，4，5，∴这批产品通过检验的概率：p==+5×+（）5=．（2）由题意得X的可能取值为1000，1200，1400，P（X=1000）=（）5=，P（X=1200）==，P（X=1400）=++=，X的分布列为：。
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1.在某社区举办的《2008奥运知识有奖问答比赛》中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关奥运知识的问题，
已知甲回答对．这道题的概率是34，甲、丙两人都回答错．．．．的概率是112，乙、丙两人都回答对．．．．的概率是14． (Ⅰ)求乙、丙两人各自回答对这道题的概率． (Ⅱ)求甲、乙、丙三人中恰有两人回答对该题的概率．
2将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求：（1）两数之和为5的概率；（2）两数中至少有一个奇数的概率；（3）以第一次向上点数为横坐标x ，第二次向上的点数为纵坐标y 的点(x,y)在圆x 2+y 2=15的内部的概率．
3.某工厂在试验阶段大量生产一种零件．这种零件有A 、B 两项技术指标需要检测，设各项技术指标达标与否互不影响．若A 项技术指标达标的概率为43，有且仅有一项技术指标达标的概率为12
5．按质量检验规定：两项技术指标都达标的零件为合格品．（Ⅰ）求一个零件经过检测为合格品的概率；（Ⅱ）任意依次抽出5个零件进行检测，求其中至多3个零件是合格品的概率；
（Ⅲ）任意依次抽取该种零件4个，设ξ表示其中合格品的个数，求E ξ与D ξ．
4.甲、乙两位小学生各有2008年奥运吉祥物“福娃”5个（其中“贝贝”、“晶晶”、“欢欢”、“迎迎”和“妮妮各一个”），现以投掷一个骰子的方式进行游戏，规则如下：当出现向上的点数是奇数时，甲赢得乙一个福娃；否则乙赢得甲一个福娃，规定掷骰子的次数达次时，或在此前某人已赢得所有福娃时游戏终止。
记游戏终止时投掷骰子的次数为ξ（1）求掷骰子的次数为7的概率；（2）求ξ的分布列及数学期望Eξ。
5.有人预测:在2010年的广州亚运会上,排球赛决赛将在中国队与日本队之间展开,据以往统计, 中国队在
每局比赛中胜日本队的概率为2
3
,比赛采取五局三胜制,即谁先胜三局谁就获胜,并停止比赛.
（Ⅰ）求中国队以3:1获胜的概率;（Ⅱ）.设ξ表示比赛的局数,求ξ的期望值.
6.某射击测试规则为：每人最多有3次射击机会，射手不放过每次机会，击中目标即终止射击，第i次击中目标得4i-(123)
i=，，分，3次均未击中目标得0分．已知某射手每次击中目标的概率为0.8，其各次射击结果互不影响（1）求该射手恰好射击两次的概率；（2）该射手的得分记为ξ，求ξ分布列及期望．
7某公司有10万元资金用于投资，如果投资甲项目，根据市场分析知道：一年后可能获利10﹪，可能损失
10﹪，可能不赔不赚，这三种情况发生的概率分别为21，41，41；如果投资乙项目，一年后可能获利20﹪，也可能损失20﹪，这两种情况发生的概率分别为）（和1 =+βαβα.
（1）如果把10万元投资甲项目，用ξ表示投资收益（收益=回收资金-投资资金），求ξ的概率分布及ξE ；
（2）若把10万元投资投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益，求α的取值范围.
8.甲、乙两名同学参加一项射击游戏，两人约定中任何一人每射击一次，击中目标得2分，未击中目标得0分.若甲、乙两名同学射击的命中率分别为35
和p ，且甲、乙两人各射击一次所得分数之和为2的概率为920
，假设甲、乙两人射击互不影响(1)求p 的值； (2) 记甲、乙两人各射击一次所得分数之和为ξ，求ξ的分布列和数学期望.
9袋中有同样的球5个，其中3个红色，2个黄色，现从中随机且不返回地摸球，每次摸1个，当两种颜色的球都被摸到时，即停止摸球，记随机变量ξ为此时已摸球的次数，求：.(1)随机变量ξ的概率分布律；(2)随机变量ξ的数学期望与方差.
10.某同学参加3门课程的考试。
假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为4
5
，第二、第三门课程取
得优秀成绩的概率分别为p，q(p＞q)，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立。
记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为
(Ⅰ)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；(Ⅱ)求p，q的值；(Ⅲ)求数学期望Eξ。
10为振兴旅游业，四川省2009年面向国内发行总量为2000万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡（简称金卡），向省内人士发行的是熊猫银卡（简称银卡）。
某旅游公司组织了一个有36名游客的旅
游团到四川名胜旅游，其中3
4
是省外游客，其余是省内游客。
在省外游客中有
1
3
持金卡，在省内游客中
有2
3
持银卡。
（I）在该团中随机采访3名游客，求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率；（II）在该
团的省内游客中随机采访3名游客，设其中持银卡人数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ。