2018-2019学年度北京市各区初三上学期期末数学考试分类汇编-代数综合题(含详细解析)
2018-2019学年度北京市各区初三上学期期末数学考试分类汇编-代数综合题(含详细解析)2019.11.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线 y ＝mx 2－4mx ＋4m －2 的顶点为M. （1）顶点M 的坐标为_______ __；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点. 若MN ∥y 轴且MN = 2. ①点N 的坐标为_____________；②过点N 作y 轴的垂线l ，若直线l 与抛物线交于P 、Q 两点，该抛物线在P 、Q 之间的部分与线段PQ 所围成的区域（包括边界）恰有七个整点，结合函数图象，求m 的取值范围.2.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2+3y ax bx a =+过点A （-1，0）. （1）求抛物线的对称轴；（2）直线4y x =+与y 轴交于点B ，与该抛物线对称轴交于点C ，如果该抛物线与线段BC 有交点，结合函数的图象，求a 的取值范围.3.在平面直角坐标系中，已知抛物线G ：224844y x ax a =-+-，(1,0),(,0)A N n -.（1）当1a =时,①求抛物线G 与x 轴的交点坐标；②若抛物线G 与线段AN 只有一个交点，求n 的取值范围；（2）若存在实数a ，使得抛物线G 与线段AN 有两个交点，结合图象，直接写出n 的取值范围.4.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y ax ax c =++（其中a 、c 为常数，且a ＜0）与x 轴交于点A ()3,0-，与y 轴交于点B ，此抛物线顶点C 到x 轴的距离为4. （1）求抛物线的表达式； （2）求CAB ∠的正切值；（3）如果点P 是x 轴上的一点，且ABP CAO ∠=∠，直接写出点P 的坐标.5.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()240y ax ax m a =-+≠与x 轴的交点为A 、B ，（点A 在点B 的左侧），且AB =2.（1）求抛物线的对称轴及m 的值(用含字母a 的代数式表示)；（2）若抛物线()240y ax ax m a =-+≠与y 轴的交点在（0，-1）和（0，0）之间，求a 的取值范围；（3）横、纵坐标都是整数的点叫做整点.若抛物线在点A ，B 之间的部分与线段AB 所围成的区域内（包括边界）恰有5个整点，结合函数的图象，直接写出a 的取值范围.6.在平面直角坐标系xOy 中，点()4,2A --，将点A 向右平移6个单位长度，得到点B. （1）直接写出点B 的坐标；（2）若抛物线2y x bx c =-++经过点A ,B ，求抛物线的表达式；（3）若抛物线2y x bx c =-++的顶点在直线2y x =+上移动，当抛物线与线段AB 有且只有一个公共点时，求抛物线顶点横坐标t 的取值范围.7.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y x mx n =-++经过点A （0，2），B （3，4-）. （1）求该抛物线的函数表达式及对称轴；（2）设点B 关于原点的对称点为C ，点D 是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在A ，B 之间的部分为图象G （包含A ，B 两点），如果直线CD 与图象G 有两个公共点，结合函数的图象，直接写出点D 纵坐标t 的取值范围.8.在平面直角坐标系中xoy 中，抛物线()()02212≠--+=a x a ax y 与y 轴交于点C ，当a=1时，该抛物线与x 轴的两个交点为A ，B （点A 在点B 左侧）. （1）求点A ，B ，C 的坐标；（2）若该抛物线与线段AB 总有两个公共点，结合函数的图像，求a 得取值范围.9.在平面直角坐标系xoy 中，已知抛物线a ax ax y 342+-=. （1）求抛物线的对称轴；（2）当a >0 时，设抛物线与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），顶点为C ，若△ABC 为等边三角形，求a 的值；（3）过T （0，t ）（其中21≤≤-t ）且垂直y 轴的直线l 与抛物线交于M ，N 两点. 若对于满足条件的任意t 值，线段 MN 的长都不小于1，结合函数图象，直接写出a 的取值范围.10.已知抛物线()m x m x y -+-+-=652. （1）求证：该抛物线与x 轴总有交点；（2）若该抛物线与x 轴有一个交点的横坐标大于3且小于5，求m 得取值范围；（3）设抛物线()m x m x y -+-+-=652与y 轴交于点M ，若抛物线与x 轴的一个交点关于直线x y -=的对称点恰好是点M ，求m 的值.11.在平面直角坐标系xoy 中，抛物线c bx x y ++-=2经过点A ，B ，C ，已知A （-1,0）C （0,3）. （1）求抛物线的表达式；（2）如图1，P 为线段BC 上一点，过点P 作y 轴平行线，交抛物线于点D ，当BCD ∆的面积最大时，求点P 的坐标；（3）如图2，抛物线顶点为E ，x EF ⊥轴于F 点，N 是线段EF 上一动点，M （m ，0）是x 轴上一动点，若090=∠MNC ，直接写出实数m 的取值范围.12.在平面直角坐标系xoy 中，抛物线的表达式为m m mx x y 224222+-+-=，线段AB 的两个端点分别为A （1,2）B （3,2）.（1）若抛物线经过原点，求出m 的值；（2）求抛物线顶点C的坐标（用含有m的代数式表示）；（3）若抛物线与线段AB恰有一个公共点，结合函数图像，求出m的取值范围.13.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过（1,0），且与y轴交于点C. （1）直接写出点C的坐标；（2）求a,b的数量关系；（3）点D（t，3）是抛物线y=ax2+bx+3上一点（点D不与点C重合）.①当t=3时，求抛物线的表达式；②当3<CD<4时，求a的取值范围.参考答案1（2019.1+++昌平+++初三上+++期末）（1）M（2，-2）（2）①N（2,0）或N（2，-4）②12＜m≤1或1-≤m＜12-2（2019.1+++丰台+++初三上+++期末）（1）∵抛物线23y ax bx a =++过点A （-1，0） ∴30a b a -+= ∴4b a = ∴抛物线解析式可化为243y ax ax a =++ ∴抛物线的对称轴为422ax a=-=- （2）由题意，得B （0,4），C （-2,2）∵抛物线243y ax ax a =++过点A （-1，0）且抛物线的对称轴为2x =- 由抛物线的对称性可知，抛物线也一定经过A 的对称点（-3，0） ①0a >时，如图1将0x =代入抛物线得3y a = ∵抛物线与线段BC 有交点 ∴34a ≥，解得43a ≥②0a <时，如图2 将2x =-代入抛物线，得y a =- ∵抛物线与线段BC 有交点 ∴2a -≥，解得2a ≤-综上所述，423a a ≥≤-或3（2019.1+++海淀+++初三上+++期末）（1）①当1a =时，248y x x =- 当0y =时，2480x x -= 解得10x =，22x =∴抛物线G 与x 轴的交点坐标为()00，，()20， ②当0n =时，抛物线G 与线段AN 有一个交点当2n =时，抛物线G 与线段AN 有两个交点，结合图象可得02n ≤< （2）3n ≤-或1n ≥4（2019.1+++怀柔+++初三上+++期末）（1）由题意得，抛物线22y ax ax c =++的对称轴是直线212ax a=-=-由于抛物线顶点C 到x 轴的距离为4，因此顶点C 的坐标是()1,4- 可设此抛物线的表达式是()214y a x =++由于此抛物线与x 轴的交点A 的坐标是()3,0-，可得1a =-因此，抛物线的表达式是223y x x =--+ （2）点B 的坐标是()0,3联结BC .∵218AB =，22BC =，220AC =，得222AB BC AC += ∴△ABC 为直角三角形，90ABC ∠= 所以1tan 3BC CAB AB ∠==即CAB ∠的正切值等于13（3）点p 的坐标是（1，0）5（2019.1+++通州+++初三上+++期末） （1）对称轴为直线422ax a-=-= ∵AB =2，点A 在点B 的左侧 ∴A ()10,，B ()30, 把A （1，0）代入()240y ax ax m a =-+≠中 ∴3m a =（2）∵抛物线()2430y ax ax a a =-+≠与y 轴的交点在（0，-1）和（0，0）之间 ∴0a < 当抛物线()2430y ax ax a a =-+≠经过点（0，-1）时，可得13a =- ∴a 的取值范围是103a -<< （3）32a -<-≤或2<3a ≤6（2019.1+++房山+++初三上+++期末） （1）()2,2B -（2）抛物线2y x bx c =-++过点,A B∴1642422b c b c --+=-⎧⎨-++=-⎩ 解得26b c =-⎧⎨=⎩∴抛物线表达式为226y x x =--+（3）抛物线2y x bx c =-++顶点在直线2y x =+上 ∴抛物线顶点坐标为(),2t t +∴抛物线表达式可化为()22y x t t =--++()()2解得123,4t t =-=-∴43t -≤<-把()2,2B -代入表达式可得()2222t t --++=- 解得340,5t t ==∴05<≤t综上可知t 的取值范围时43t -≤<-或05<≤t7（2019.1+++门头沟+++初三上+++期末）（1）∵点A ，B 在抛物线y =2x 2+mx +n 上 ∴22,4233.n m n =⎧⎨-=⨯++⎩解得4,2.m n =⎧⎨=⎩ ∴抛物线的表达式为y =－2x 2+4x +2 ∴抛物线的对称轴为x =1 （2）43≤t ＜48（2019.1+++朝阳+++初三上+++期末）（1）当a=1时，抛物线为22--=x x y ()20-∴，C 令022=--x x 解得2121=-=x x ， ∵点A 在点B 左侧 ∴A （-1,0），B （2,0）（2）①若抛物线开口向上，如图1，抛物线经过点A ，B ， 此时A 的值最小，可求得a=1所有1≥a②若抛物线开口向下，如图2，当点B 为抛物线顶点 时，抛物线与x 轴只有一个公共点，可求得21-=a ，所以 21-<a综上所述，A 的取值范围为1≥a 或21-<a9（2019.1+++西城+++初三上+++期末） （1）2242=--=-=aa ab x （2）()()31342--=+-=x x a a ax ax y()()()a -20,30,1，，，C B A ∴ 0>a 0<-∴a∵ABC ∆为等边三角形 ()32-∴，C3-=-∴a 3=∴a（2）38-≤a 或34≥a10（2019.1+++大兴+++初三上+++期末） （1）证明：()222454670b acm m m ∆=-=(-)+(-)=-≥所以方程总有两个实数根（2）由（1）()27m ∆=-，根据求根公式可知，方程的两根为：52m x -=-即1216x x m =-=-+，由题意，有365 <-m < + 13 < m ∴<(3)令 x = 0, y =6m -+ ∴M （0，6m -+）由（2）可知抛物线与x 轴的交点为（-1,0）和（6m -+,0） 它们关于直线y x =-的对称点分别为（0 , 1）和（0, 6m -） 由题意，可得：6166m m m -+=-+=-或 56m m ∴==或11（2019.1+++顺义+++初三上+++期末）无答案12（2019.1+++东城+++初三上+++期末）无答案 26.解：（1）∵抛物线经过原点,2120220, 1.2m m m m ∴=-+∴==分（2）222(2)2y x mx m m =--++22()2x m m =--+所以，顶点C 的坐标为(,2)m m ……………………4分（3）由顶点C 的坐标可知，抛物线的顶点C 在直线y=2x 上移动． 当抛物线过点A 时，m=2或1； 当抛物线过点B 时，m=2或5．所以m=2时，抛物线与线段AB 有两个公共点，不符合题意．结合函数的图象可知，m 的取值范围为15m ≤≤且2m ≠…………………6分13（2019.1+++平谷+++初三上+++期末）无答案。
(解析版)2018-2019学度北京海淀区初三上年末数学试卷.doc
(解析版)2018-2019学度北京海淀区初三上年末数学试卷【一】选择题〔共8小题，每题4分，总分值32分〕1、方程x2﹣3x﹣5=0的根的情况是〔〕A、有两个不相等的实数根B、有两个相等的实数根C、没有实数根D、无法确定是否有实数根2、在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5，那么sinA的值为〔〕A、B、C、D、3、假设如图是某个几何体的三视图，那么这个几何体是〔〕A、长方体B、正方体C、圆柱D、圆锥4、小丁去看某场电影，只剩下如下图的六个空座位供他选择，座位号分别为1号、4号、6号、3号、5号和2号、假设小丁从中随机抽取一个，那么抽到的座位号是偶数的概率是〔〕A、B、C、D、5、如图，△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，假设C1为OC的中点，AB=4，那么A1B1的长为〔〕A、1B、2C、4D、86、点A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕是反比例函数y=﹣的图象上的两点，假设x1＜0＜x2，那么以下结论正确的选项是〔〕A、y1＜0＜y2B、y2＜0＜y1C、y1＜y2＜0D、y2＜y1＜07、如图，AB是半圆O的直径，AC为弦，OD⊥AC于D，过点O作OE∥AC交半圆O于点E，过点E作EF⊥AB于F、假设AC=2，那么OF的长为〔〕A、B、C、1D、28、如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD交于点O、点E为线段AC上的一个动点，连接DE，BE，过E作EF⊥BD于F，设AE=x，图1中某条线段的长为y，假设表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，那么这条线段可能是图1中的〔〕A、线段EFB、线段DEC、线段CED、线段BE【二】填空题〔共4小题，每题4分，总分值16分〕9、如图，扇形的半径为3cm，圆心角为120°，那么扇形的面积为cm2、〔结果保留π〕10、在某一时刻，测得一根高为2m的竹竿的影长为1m，同时测得一栋建筑物的影长为12m，那么这栋建筑物的高度为m、11、如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A〔﹣2，4〕，B〔1，1〕，那么关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解为、12、对于正整数n，定义F〔n〕=，其中f〔n〕表示n的首位数字、末位数字的平方和、例如：F〔6〕=62=36，F〔123〕=f〔123〕=12+32=10、规定F1〔n〕=F〔n〕，F k+1〔n〕=F〔F k〔n〕〕、例如：F1〔123〕=F〔123〕=10，F2〔123〕=F〔F1〔123〕〕=F〔10〕=1、〔1〕求：F2〔4〕=，F2018〔4〕=；〔2〕假设F3m〔4〕=89，那么正整数m的最小值是、【三】解答题〔共13小题，总分值72分〕13、计算：〔﹣1〕2018+sin30°﹣〔π﹣3.14〕0+〔〕﹣1、14、如图，△ABC中，AB=AC，D是BC中点，BE⊥AC于E，求证：△ACD∽△BCE、15、m是一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的实数根，求代数式的值、16、抛物线y=2x2平移后经过点A〔0，3〕，B〔2，3〕，求平移后的抛物线的表达式、17、如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y=2x与反比例函数y=的图象交于A，B两点，A点的横坐标为2，AC⊥x轴于点C，连接BC、〔1〕求反比例函数的解析式；〔2〕假设点P是反比例函数y=图象上的一点，且满足△OPC与△ABC的面积相等，请直接写出点P的坐标、18、如图，△ABC中，∠ACB=90°，sinA=，BC=8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E、〔1〕求线段CD的长；〔2〕求cos∠ABE的值、19、关于x的一元二次方程mx2﹣〔m+2〕x+2=有两个不相等的实数根x1，x2、〔1〕求m的取值范围；〔2〕假设x2＜0，且＞﹣1，求整数m的值、20、某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，据调查显示，每个档次的日产量及相应的单件利润如表所示〔其中x为正整数，且1≤x≤10〕；质量档次12...x (10)日产量〔件〕9590...100﹣5x (50)单件利润〔万元〕68...2x+4 (24)为了便于调控，此工厂每天只生产一个档次的产品，当生产质量档次为x的产品时，当天的利润为y万元、〔1〕求y关于x的函数关系式；〔2〕工厂为获得最大利润，应选择生产哪个档次的产品？并求出当天利润的最大值、21、如图，四边形ABCD是平行四边形，点A，B，C在⊙O上，AD与⊙O相切，射线AO交BC 于点E，交⊙O于点F、点P在射线AO上，且∠PCB=2∠BAF、〔1〕求证：直线PC是⊙O的切线；〔2〕假设AB=，AD=2，求线段PC的长、22、阅读下面材料：小明观察一个由1×1正方形点阵组成的点阵图，图中水平与竖直方向上任意两个相邻点间的距离都是1，他发现一个有趣的问题：对于图中出现的任意两条端点在点阵上且互相不垂直的线段，都可以在点阵中找到一点构造垂直，进而求出它们相交所成锐角的正切值、请回答：〔1〕如图1，A，B，C是点阵中的三个点，请在点阵中找到点D，作出线段CD，使得CD⊥AB；〔2〕如图2，线段AB与CD交于点O、为了求出∠AOD的正切值，小明在点阵中找到了点E，连接AE，恰好满足AE⊥CD于点F，再作出点阵中的其它线段，就可以构造相似三角形，经过推理和计算能够使问题得到解决、请你帮小明计算：OC=；tan∠AOD=；解决问题：如图3，计算：tan∠AOD=、23、在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=的图象经过点A〔1，4〕、B〔m，n〕、〔1〕求代数式mn的值；〔2〕假设二次函数y=〔x﹣1〕2的图象经过点B，求代数式m3n﹣2m2n+3mn﹣4n的值；〔3〕假设反比例函数y=的图象与二次函数y=a〔x﹣1〕2的图象只有一个交点，且该交点在直线y=x的下方，结合函数图象，求a的取值范围、24、如图1，在△ABC中，BC=4，以线段AB为边作△ABD，使得AD=BD，连接DC，再以DC为边作△CDE，使得DC=DE，∠CDE=∠ADB=α、〔1〕如图2，当∠ABC=45°且α=90°时，用等式表示线段AD，DE之间的数量关系；〔2〕将线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF，连接BF，AF、①假设α=90°，依题意补全图3，求线段AF的长；②请直接写出线段AF的长〔用含α的式子表示〕、25、在平面直角坐标系xOy中，设点P〔x1，y1〕，Q〔x2，y2〕是图形W上的任意两点、定义图形W的测度面积：假设|x1﹣x2|的最大值为m，|y1﹣y2|的最大值为n，那么S=mn为图形W的测度面积、例如，假设图形W是半径为1的⊙O，当P，Q分别是⊙O与x轴的交点时，如图1，|x1﹣x2|取得最大值，且最大值m=2；当P，Q分别是⊙O与y轴的交点时，如图2，|y1﹣y2|取得最大值，且最大值n=2、那么图形W的测度面积S=mn=4〔1〕假设图形W是等腰直角三角形ABO，OA=OB=1、①如图3，当点A，B在坐标轴上时，它的测度面积S=；②如图4，当AB⊥x轴时，它的测度面积S=；〔2〕假设图形W是一个边长1的正方形ABCD，那么此图形的测度面积S的最大值为；〔3〕假设图形W是一个边长分别为3和4的矩形ABCD，求它的测度面积S的取值范围、2018-2018学年北京市海淀区九年级〔上〕期末数学试卷参考答案与试题解析【一】选择题〔共8小题，每题4分，总分值32分〕1、方程x2﹣3x﹣5=0的根的情况是〔〕A、有两个不相等的实数根B、有两个相等的实数根C、没有实数根D、无法确定是否有实数根考点：根的判别式、分析：求出b2﹣4ac的值，再进行判断即可、解答：解：x2﹣3x﹣5=0，△=b2﹣4ac=〔﹣3〕2﹣4×1×〔﹣5〕=29＞0，所以方程有两个不相等的实数根，应选A、点评：此题考查了一元二次方程的根的判别式的应用，注意：一元二次方程ax2+bx+c=0〔a、b、c为常数，a≠0〕①当b2﹣4ac＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根，②当b2﹣4ac=0时，一元二次方程有两个相等的实数根，③当b2﹣4ac＜0时，一元二次方程没有实数根、2、在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5，那么sinA的值为〔〕A、B、C、D、考点：锐角三角函数的定义、分析：直接根据三角函数的定义求解即可、解答：解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5，∴sinA==、应选A、点评：此题考查的是锐角三角函数的定义，比较简单，用到的知识点：正弦函数的定义：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA、即sinA=∠A的对边：斜边=a：C、3、假设如图是某个几何体的三视图，那么这个几何体是〔〕A、长方体B、正方体C、圆柱D、圆锥考点：由三视图判断几何体、分析：由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状、解答：解：主视图和左视图都是等腰三角形，那么此几何体为锥体，由俯视图为圆，可得此几何体为圆锥、应选：D、点评：此题考查的知识点是三视图，如果有两个视图为三角形，该几何体一定是锥，如果有两个矩形，该几何体一定柱，其底面由第三个视图的形状决定、4、小丁去看某场电影，只剩下如下图的六个空座位供他选择，座位号分别为1号、4号、6号、3号、5号和2号、假设小丁从中随机抽取一个，那么抽到的座位号是偶数的概率是〔〕A、B、C、D、考点：概率公式、分析：由六个空座位供他选择，座位号分别为1号、4号、6号、3号、5号和2号，直接利用概率公式求解即可求得答案、解答：解：∵六个空座位供他选择，座位号分别为1号、4号、6号、3号、5号和2号，∴抽到的座位号是偶数的概率是：=、应选C、点评：此题考查了概率公式的应用、用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比、5、如图，△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，假设C1为OC的中点，AB=4，那么A1B1的长为〔〕A、1B、2C、4D、8考点：位似变换、专题：计算题、分析：根据位似变换的性质得到=，B1C1∥BC，再利用平行线分线段成比例定理得到=，所以=，然后把OC1=OC，AB=4代入计算即可、解答：解：∵C1为OC的中点，∴OC1=OC，∵△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，∴=，B1C1∥BC，∴=，∴=，即=∴A1B1=2、应选B、点评：此题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心、注意：①两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行、6、点A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕是反比例函数y=﹣的图象上的两点，假设x1＜0＜x2，那么以下结论正确的选项是〔〕A、y1＜0＜y2B、y2＜0＜y1C、y1＜y2＜0D、y2＜y1＜0考点：反比例函数图象上点的坐标特征、专题：计算题、分析：根据反比例函数图象上点的坐标特征得到y1=﹣，y2=﹣，然后利用x1＜0＜x2即可得到y1与y2的大小、解答：解：∵A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕是反比例函数y=﹣的图象上的两点，∴y1=﹣，y2=﹣，∵x1＜0＜x2，∴y2＜0＜y1、应选B、点评：此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=〔k为常数，k≠0〕的图象是双曲线，图象上的点〔x，y〕的横纵坐标的积是定值k，即xy=k、7、如图，AB是半圆O的直径，AC为弦，OD⊥AC于D，过点O作OE∥AC交半圆O于点E，过点E作EF⊥AB于F、假设AC=2，那么OF的长为〔〕A、B、C、1D、2考点：垂径定理；全等三角形的判定与性质、分析：根据垂径定理求出AD，证△ADO≌△OFE，推出OF=AD，即可求出答案、解答：解：∵OD⊥AC，AC=2，∴AD=CD=1，∵OD⊥AC，EF⊥AB，∴∠ADO=∠OFE=90°，∵OE∥AC，∴∠DOE=∠ADO=90°，∴∠DAO+∠DOA=90°，∠DOA+∠EF=90°，∴∠DAO=∠EOF，在△ADO和△OFE中，，∴△ADO≌△OFE〔AAS〕，∴OF=AD=1，应选C、点评：此题考查了全等三角形的性质和判定，垂径定理的应用，解此题的关键是求出△ADO ≌△OFE和求出AD的长，注意：垂直于弦的直径平分这条弦、8、如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD交于点O、点E为线段AC上的一个动点，连接DE，BE，过E作EF⊥BD于F，设AE=x，图1中某条线段的长为y，假设表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，那么这条线段可能是图1中的〔〕A、线段EFB、线段DEC、线段CED、线段BE考点：动点问题的函数图象、分析：作BN⊥AC，垂足为N，FM⊥AC，垂足为M，DG⊥AC，垂足为G，分别找出线段EF、CE、BE最小值出现的时刻即可得出结论、解答：解：作BN⊥AC，垂足为N，FM⊥AC，垂足为M，DG⊥AC，垂足为G、由垂线段最短可知：当点E与点M重合时，即AE＜时，FE有最小值，与函数图象不符，故A错误；由垂线段最短可知：当点E与点G重合时，即AEd＞时，DE有最小值，故B正确；∵CE=AC﹣AE，CE随着AE的增大而减小，故C错误；由垂线段最短可知：当点E与点N重合时，即AE＜时，BE有最小值，与函数图象不符，故D错误；应选：B、点评：此题主要考查的是动点问题的函数图象，根据垂线段最短确定出函数最小值出现的时刻是解题的关键、【二】填空题〔共4小题，每题4分，总分值16分〕9、如图，扇形的半径为3cm，圆心角为120°，那么扇形的面积为3πcm2、〔结果保留π〕考点：扇形面积的计算、专题：压轴题、分析：知道扇形半径，圆心角，运用扇形面积公式就能求出、解答：解：由S=知S=×π×32=3πcm2、点评：此题主要考查扇形面积的计算，知道扇形面积计算公式S=、10、在某一时刻，测得一根高为2m的竹竿的影长为1m，同时测得一栋建筑物的影长为12m，那么这栋建筑物的高度为24m、考点：相似三角形的应用、分析：根据同时同地的物高与影长成正比列式计算即可得解、解答：解：设这栋建筑物的高度为xm，由题意得，=，解得x=24，即这栋建筑物的高度为24m、故答案为：24、点评：此题考查了相似三角形的应用，熟记同时同地的物高与影长成正比是解题的关键、11、如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A〔﹣2，4〕，B〔1，1〕，那么关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解为x1=﹣2，x2=1、考点：二次函数的性质、专题：数形结合、分析：根据二次函数图象与一次函数图象的交点问题得到方程组的解为，，于是易得关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解、解答：解：∵抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A〔﹣2，4〕，B〔1，1〕，∴方程组的解为，，即关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解为x1=﹣2，x2=1、故答案为x1=﹣2，x2=1、点评：此题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c〔a≠0〕的顶点坐标是〔﹣，〕，对称轴直线x=﹣、也考查了二次函数图象与一次函数图象的交点问题、12、对于正整数n，定义F〔n〕=，其中f〔n〕表示n的首位数字、末位数字的平方和、例如：F〔6〕=62=36，F〔123〕=f〔123〕=12+32=10、规定F1〔n〕=F〔n〕，F k+1〔n〕=F〔F k〔n〕〕、例如：F1〔123〕=F〔123〕=10，F2〔123〕=F〔F1〔123〕〕=F〔10〕=1、〔1〕求：F2〔4〕=37，F2018〔4〕=26；〔2〕假设F3m〔4〕=89，那么正整数m的最小值是6、考点：规律型：数字的变化类、专题：新定义、分析：通过观察前8个数据，可以得出规律，这些数字7个一个循环，根据这些规律计算即可、解答：解：〔1〕F2〔4〕=F〔F1〔4〕〕=F〔16〕=12+62=37；F1〔4〕=F〔4〕=16，F2〔4〕=37，F3〔4〕=58，F4〔4〕=89，F5〔4〕=145，F6〔4〕=26，F7〔4〕=40，F8〔4〕=16，通过观察发现，这些数字7个一个循环，2018是7的287倍余6，因此F2018〔4〕=26；〔2〕由〔1〕知，这些数字7个一个循环，F4〔4〕=89=F18〔4〕，因此3m=18，所以m=6、故答案为：〔1〕37，26；〔2〕6、点评：此题属于数字变化类的规律探究题，通过观察前几个数据可以得出规律，熟练找出变化规律是解题的关键、【三】解答题〔共13小题，总分值72分〕13、计算：〔﹣1〕2018+sin30°﹣〔π﹣3.14〕0+〔〕﹣1、考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值、专题：计算题、分析：原式第一项利用乘方的意义计算，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项利用零指数幂法那么计算，最后一项利用负指数幂法那么计算即可、解答：解：原式=﹣1+﹣1+2=、点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法那么是解此题的关键、14、如图，△ABC中，AB=AC，D是BC中点，BE⊥AC于E，求证：△ACD∽△BCE、考点：相似三角形的判定、专题：证明题、分析：根据等腰三角形的性质，由AB=AC，D是BC中点得到AD⊥BC，易得∠ADC=∠BEC=90°，再加上公共角，于是根据有两组角对应相等的两个三角形相似即可得到结论、解答：证明：∵AB=AC，D是BC中点，∴AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∵BE⊥AC，∴∠BEC=90°，∴∠ADC=∠BEC，而∠ACD=∠BCE，∴△ACD∽△BCE、点评：此题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似、也考查了等腰三角形的性质、15、m是一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的实数根，求代数式的值、考点：一元二次方程的解、专题：计算题、分析：把x=m代入方程得到m2﹣2=3m，原式分子利用平方差公式化简，将m2﹣2=3m代入计算即可求出值、解答：解：把x=m代入方程得：m2﹣3m﹣2=0，即m2﹣2=3m，那么原式===3、点评：此题考查了一元二次方程的解，熟练掌握运算法那么是解此题的关键、16、抛物线y=2x2平移后经过点A〔0，3〕，B〔2，3〕，求平移后的抛物线的表达式、考点：二次函数图象与几何变换、专题：计算题、分析：由于抛物线平移前后二次项系数不变，那么可设平移后的抛物线的表达式为y=2x2+bx+c，然后把点A和点B的坐标代入得到关于b、c的方程组，解方程组求出b、c即可得到平移后的抛物线的表达式、解答：解：设平移后的抛物线的表达式为y=2x2+bx+c，把点A〔0，3〕，B〔2，3〕分别代入得，解得，所以平移后的抛物线的表达式为y=2x2﹣4x+3、点评：此题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式、17、如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y=2x与反比例函数y=的图象交于A，B两点，A点的横坐标为2，AC⊥x轴于点C，连接BC、〔1〕求反比例函数的解析式；〔2〕假设点P是反比例函数y=图象上的一点，且满足△OPC与△ABC的面积相等，请直接写出点P的坐标、考点：反比例函数与一次函数的交点问题、分析：〔1〕把A点横坐标代入正比例函数可求得A点坐标，代入反比例函数解析式可求得k，可求得反比例函数解析式；〔2〕由条件可求得B、C的坐标，可先求得△ABC的面积，再结合△OPC与△ABC的面积相等求得P点坐标、解答：解：〔1〕把x=2代入y=2x中，得y=2×2=4，∴点A坐标为〔2，4〕，∵点A在反比例函数y=的图象上，∴k=2×4=8，∴反比例函数的解析式为y=；〔2〕∵AC⊥OC，∴OC=2，∵A、B关于原点对称，∴B点坐标为〔﹣2，﹣4〕，∴B到OC的距离为4，∴S△ABC=2S△ACO=2××2×4=8，∴S△OPC=8，设P点坐标为〔x，〕，那么P到OC的距离为||，∴×||×2=8，解得x=1或﹣1，∴P点坐标为〔1，8〕或〔﹣1，﹣8〕、点评：此题主要考查待定系数法求函数解析式及函数的交点问题，在〔1〕中求得A点坐标、在〔2〕中求得P点到OC的距离是解题的关键、18、如图，△ABC中，∠ACB=90°，sinA=，BC=8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E、〔1〕求线段CD的长；〔2〕求cos∠ABE的值、考点：解直角三角形；勾股定理、专题：计算题、分析：〔1〕在△ABC中根据正弦的定义得到sinA==，那么可计算出AB=10，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可得到CD=AB=5；〔2〕在Rt△ABC中先利用勾股定理计算出AC=6，在根据三角形面积公式得到S△BDC=S△ADC，那么S△BDC=S△ABC，即CD•BE=•AC•BC，于是可计算出BE=，然后在Rt△BDE中利用余弦的定义求解、解答：解：〔1〕在△ABC中，∵∠ACB=90°，∴sinA==，而BC=8，∴AB=10，∵D是AB中点，∴CD=AB=5；〔2〕在Rt△ABC中，∵AB=10，BC=8，∴AC==6，∵D是AB中点，∴BD=5，S△BDC=S△ADC，∴S△BDC=S△ABC，即CD•BE=•AC•BC，∴BE==，在Rt△BDE中，cos∠DBE===，即cos∠ABE的值为、点评：此题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由元素求未知元素的过程就是解直角三角形、也考查了直角三角形斜边上的中线性质和三角形面积公式、19、关于x的一元二次方程mx2﹣〔m+2〕x+2=有两个不相等的实数根x1，x2、〔1〕求m的取值范围；〔2〕假设x2＜0，且＞﹣1，求整数m的值、考点：根的判别式；根与系数的关系、专题：计算题、分析：〔1〕由二次项系数不为0，且根的判别式大于0，求出m的范围即可；〔2〕利用求根公式表示出方程的解，根据题意确定出m的范围，找出整数m的值即可、解答：解：〔1〕由得：m≠0且△=〔m+2〕2﹣8m=〔m﹣2〕2＞0，那么m的范围为m≠0且m≠2；〔2〕方程解得：x=，即x=1或x=，∵x2＜0，∴x2=＜0，即m＜0，∵＞﹣1，∴＞﹣1，即m＞﹣2，∵m≠0且m≠2，∴﹣2＜m＜0，∵m为整数，∴m=﹣1、点评：此题考查了根的判别式，一元二次方程有两个不相等的实数根即为根的判别式大于0、20、某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，据调查显示，每个档次的日产量及相应的单件利润如表所示〔其中x为正整数，且1≤x≤10〕；质量档次12...x (10)日产量〔件〕9590...100﹣5x (50)单件利润〔万元〕68...2x+4 (24)为了便于调控，此工厂每天只生产一个档次的产品，当生产质量档次为x的产品时，当天的利润为y万元、〔1〕求y关于x的函数关系式；〔2〕工厂为获得最大利润，应选择生产哪个档次的产品？并求出当天利润的最大值、考点：二次函数的应用、分析：〔1〕根据总利润=单件利润×销售量就可以得出y与x之间的函数关系式；〔2〕由〔1〕的解析式转化为顶点式，由二次函数的性质就可以求出结论、解答：解：〔1〕由题意，得y=〔100﹣5x〕〔2x+4〕，y=﹣10x2+180x+400〔1≤x≤10的整数〕；答：y关于x的函数关系式为y=﹣10x2+180x+400；〔2〕∵y=﹣10x2+180x+400，∴y=﹣10〔x﹣9〕2+1210、∵1≤x≤10的整数，∴x=9时，y最大=1210、答：工厂为获得最大利润，应选择生产9档次的产品，当天利润的最大值为1210万元、点评：此题考查了总利润=单件利润×销售量的运用，二次函数的解析式的运用，顶点式的运用，解答时求出函数的解析式是关键、21、如图，四边形ABCD是平行四边形，点A，B，C在⊙O上，AD与⊙O相切，射线AO交BC 于点E，交⊙O于点F、点P在射线AO上，且∠PCB=2∠BAF、〔1〕求证：直线PC是⊙O的切线；〔2〕假设AB=，AD=2，求线段PC的长、考点：切线的判定；勾股定理；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质、分析：〔1〕首先连接OC，由AD与⊙O相切，可得FA⊥AD，四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，然后由垂径定理可证得F是的中点，BE=CE，∠OEC=90°，又由∠PCB=2∠BAF，即可求得∠OCE+∠PCB=90°，继而证得直线PC是⊙O的切线；〔2〕首先由勾股定理可求得AE的长，然后设⊙O的半径为r，那么OC=OA=r，OE=3﹣r，那么可求得半径长，易得△OCE∽△CPE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得线段PC的长、解答：〔1〕证明：连接OC、∵AD与⊙O相切于点A，∴FA⊥AD、∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴FA⊥BC、∵FA经过圆心O，∴F是的中点，BE=CE，∠OEC=90°，∴∠COF=2∠BAF、∵∠PCB=2∠BAF，∴∠PCB=∠COF、∵∠OCE+∠COF=180°﹣∠OEC=90°，∴∠OCE+∠PCB=90°、∴OC⊥PC、∵点C在⊙O上，∴直线PC是⊙O的切线、〔2〕解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD=2、∴BE=CE=1、在Rt△ABE中，∠AEB=90°，AB=，∴、设⊙O的半径为r，那么OC=OA=r，OE=3﹣r、在Rt△OCE中，∠OEC=90°，∴OC2=OE2+CE2、∴r2=〔3﹣r〕2+1、解得，∵∠COE=∠PCE，∠OEC=∠CEP=90°、∴△OCE∽△CPE，∴、∴、∴、点评：此题考查了切线的判定、平行四边形的性质、勾股定理以及相似三角形的判定与性质、此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用、22、阅读下面材料：小明观察一个由1×1正方形点阵组成的点阵图，图中水平与竖直方向上任意两个相邻点间的距离都是1，他发现一个有趣的问题：对于图中出现的任意两条端点在点阵上且互相不垂直的线段，都可以在点阵中找到一点构造垂直，进而求出它们相交所成锐角的正切值、请回答：〔1〕如图1，A，B，C是点阵中的三个点，请在点阵中找到点D，作出线段CD，使得CD⊥AB；〔2〕如图2，线段AB与CD交于点O、为了求出∠AOD的正切值，小明在点阵中找到了点E，连接AE，恰好满足AE⊥CD于点F，再作出点阵中的其它线段，就可以构造相似三角形，经过推理和计算能够使问题得到解决、请你帮小明计算：OC=；tan∠AOD=5；解决问题：如图3，计算：tan∠AOD=、考点：相似形综合题、分析：〔1〕用三角板过C作AB的垂线，从而找到D的位置；〔2〕连接AC、DB、AD、DE、由△ACO∽△DBO求得CO的长，由等腰直角三角形的性质可以求出AF，DF的长，从而求出OF的长，在Rt△AFO中，根据锐角三角函数的定义即可求出tan∠AOD的值；〔3〕如图，连接AE、BF，那么AF=，AB=，由△AOE∽△BOF，可以求出AO=，在Rt△AOF中，可以求出OF=，故可求得tan∠AOD、解答：解：〔1〕如下图：线段CD即为所求、〔2〕如图2所示连接AC、DB、AD、∵AD=DE=2，∴AE=2、∵CD⊥AE，∴DF=AF=、∵AC∥BD，∴△ACO∽△DBO、∴CO：DO=2：3、∴CO=、∴DO=、∴OF=、tan∠AOD=、〔3〕如图3所示：根据图形可知：BF=2，AE=5、由勾股定理可知：AF==，AB==、∵FB∥AE，∴△AOE∽△BOF、∴AO：OB=AE：FB=5：2、∴AO=、在Rt△AOF中，OF==、∴tan∠AOD=、点评：此题主要考查的是相似三角形的性质和判定、勾股定理的应用、锐角三角函数的定义，根据点阵图构造相似三角形是解题的关键、23、在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=的图象经过点A〔1，4〕、B〔m，n〕、〔1〕求代数式mn的值；〔2〕假设二次函数y=〔x﹣1〕2的图象经过点B，求代数式m3n﹣2m2n+3mn﹣4n的值；〔3〕假设反比例函数y=的图象与二次函数y=a〔x﹣1〕2的图象只有一个交点，且该交点在直线y=x的下方，结合函数图象，求a的取值范围、考点：反比例函数综合题；代数式求值；反比例函数与一次函数的交点问题；二次函数的性质、专题：综合题；数形结合；分类讨论、分析：〔1〕只需将点A、B的坐标代入反比例函数的解析式就可解决问题；〔2〕将点B的坐标代入y=〔x﹣1〕2得到n=m2﹣2m+1，先将代数式变形为mn〔m2﹣2m+1〕+2mm﹣4n，然后只需将m2﹣2m+1用n代替，即可解决问题；〔3〕可先求出直线y=x与反比例函数y=交点C和D的坐标，然后分a＞0和a＜0两种情况讨论，先求出二次函数的图象经过点D或C时对应的a的值，再结合图象，利用二次函数的性质〔|a|越大，抛物线的开口越小〕就可解决问题、解答：解：〔1〕∵反比例函数y=的图象经过点A〔1，4〕、B〔m，n〕，∴k=mn=1×4=4，即代数式mn的值为4；〔2〕∵二次函数y=〔x﹣1〕2的图象经过点B，∴n=〔m﹣1〕2=m2﹣2m+1，∴m3n﹣2m2n+3mn﹣4n=m3n﹣2m2n+mn+2mn﹣4n=mn〔m2﹣2m+1〕+2mm﹣4n=4n+2×4﹣4n=8，即代数式m3n﹣2m2n+3mn﹣4n的值为8；〔3〕设直线y=x与反比例函数y=交点分别为C、D，解，得：或，∴点C〔﹣2，﹣2〕，点D〔2，2〕、①假设a＞0，如图1，当抛物线y=a〔x﹣1〕2经过点D时，有a〔2﹣1〕2=2，解得：a=2、∵|a|越大，抛物线y=a〔x﹣1〕2的开口越小，∴结合图象可得：满足条件的a的范围是0＜a＜2；②假设a＜0，如图2，当抛物线y=a〔x﹣1〕2经过点C时，有a〔﹣2﹣1〕2=﹣2，解得：a=﹣、∵|a|越大，抛物线y=a〔x﹣1〕2的开口越小，∴结合图象可得：满足条件的a的范围是a＜﹣、综上所述：满足条件的a的范围是0＜a＜2或a＜﹣、点评：此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、求代数式的值、求直线与反比例函数图象的交点坐标、二次函数的性质等知识，另外还重点对整体思想、数形结合的思想、分类讨论的思想进行了考查，运用整体思想是解决第〔2〕小题的关键，考虑临界位置并运用数形结合及分类讨论的思想是解决第〔3〕小题的关键、24、如图1，在△ABC中，BC=4，以线段AB为边作△ABD，使得AD=BD，连接DC，再以DC 为边作△CDE，使得DC=DE，∠CDE=∠ADB=α、〔1〕如图2，当∠ABC=45°且α=90°时，用等式表示线段AD，DE之间的数量关系；〔2〕将线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF，连接BF，AF、①假设α=90°，依题意补全图3，求线段AF的长；②请直接写出线段AF的长〔用含α的式子表示〕、考点：几何变换综合题、分析：〔1〕根据等腰直角三角形的性质得出即可；〔2〕①设DE与BC相交于点H，连接AE，交BC于点G，根据SAS推出△ADE≌△BDC，根据全等三角形的性质得出AE=BC，∠AED=∠BCD、求出∠AFE=45°，解直角三角形求出即可；②过E作EM⊥AF于M，根据等腰三角形的性质得出∠AEM=∠FME=，AM=FM，解直角三角形求出FM即可、解答：解：〔1〕AD+DE=4，理由是：如图1，∵∠ADB=∠EDC=∠α=90°，AD=BD，DC=DE，∴AD+DE=BC=4；〔2〕①补全图形，如图2，设DE与BC相交于点H，连接AE，交BC于点G，∵∠ADB=∠CDE=90°，∴∠ADE=∠BDC，在△ADE与△BDC中，，∴△ADE≌△BDC，∴AE=BC，∠AED=∠BCD、∵DE与BC相交于点H，∴∠GHE=∠DHC，∴∠EGH=∠EDC=90°，∵线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF，∴EF=CB=4，EF∥CB，∴AE=EF，∵CB∥EF，∴∠AEF=∠EGH=90°，∵AE=EF，∠AEF=90°，∴∠AFE=45°，∴AF==4；②如图2，过E作EM⊥AF于M，∵由①知：AE=EF=BC，∴∠AEM=∠FME=，AM=FM，∴AF=2FM=EF×sin=8sin、点评：此题考查了全等三角形的性质和判定，解直角三角形，等腰三角形的性质，平移的性质的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键，综合性比较强，难度偏大、25、在平面直角坐标系xOy中，设点P〔x1，y1〕，Q〔x2，y2〕是图形W上的任意两点、定义图形W的测度面积：假设|x1﹣x2|的最大值为m，|y1﹣y2|的最大值为n，那么S=mn为图形W的测度面积、例如，假设图形W是半径为1的⊙O，当P，Q分别是⊙O与x轴的交点时，如图1，|x1﹣x2|取得最大值，且最大值m=2；当P，Q分别是⊙O与y轴的交点时，如图2，|y1﹣y2|取得最大值，且最大值n=2、那么图形W的测度面积S=mn=4〔1〕假设图形W是等腰直角三角形ABO，OA=OB=1、①如图3，当点A，B在坐标轴上时，它的测度面积S=1；②如图4，当AB⊥x轴时，它的测度面积S=1；〔2〕假设图形W是一个边长1的正方形ABCD，那么此图形的测度面积S的最大值为2；〔3〕假设图形W是一个边长分别为3和4的矩形ABCD，求它的测度面积S的取值范围、考点：圆的综合题、分析：〔1〕由测度面积的定义利用它的测度面积S=|OA|•|OB|求解即可；②利用等腰直角三角形的性质求出AC，AB，利用测度面积S=|AB|•|OC|求解即可；〔2〕先确定正方形有最大测度面积S时的图形，即可利用测度面积S=|AC|•|BD|求解、〔3〕分两种情况当A，B或B，C都在x轴上时，当顶点A，C都不在x轴上时分别求解即可、解答：解：〔1〕①如图3，。
北京市西城区九年级数学2018-2019学年上学期期末试卷(带答案解析)
；
②将抛物线 C1 向右平移使它经过点 F，此时得到的抛物线记为 C2，直接写出抛物线 C2 的
表达式．
24．
（6 分）如图，AB 是⊙O 的直径，△ABC 内接于⊙O．点 D 在⊙O 上，BD 平分∠ABC
交 AC 于点 E，DF⊥BC 交 BC 的延长线于点 F．
（1）求证：FD 是⊙O 的切线；
23．
（6 分）如图，直线 l：y＝﹣2x+m 与 x 轴交于点 A（﹣2，0）
，抛物线 C1：y＝x2+4x+3
与 x 轴的一个交点为 B（点 B 在点 A 的左侧），过点 B 作 BD 垂直 x 轴交直线 l 于点 D．
（1）求 m 的值和点 B 的坐标；
（2）将△ABD 绕点 A 顺时针旋转 90°，点 B，D 的对应点分别为点 E，F．
（x﹣4）
（2）
（x+2）＞0 的解集为
②不等式（x﹣9）
（x﹣8）
（x﹣7）2＞0 的解集为
．
．
26．
（6 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y＝ax2﹣4ax+3a．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）当 a＞0 时，设抛物线与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 左侧）
，顶点为 C，若△ABC
A．
（3，5）
B．
（1，5）
【考点】H3：二次函数的性质．
）
C．
（3，1）
D．
（﹣1，5）
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【解答】解：因为 y＝3（x﹣1）2+5 是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（1，5）
．
【精品初三期末试卷】2018-2019学年北京市西城区初三第一学期期末数学试卷+答案
北京市西城区2018-2019学年度第一学期期末试卷九年级数学2019.1一、选择题（本题共16分，每小题2分） 1. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，如果AC =3，AB =5，那么sin B 等于（ ）．A .35B . 45C . 34D . 432.点1(1,)A y ，2(3,)B y 是反比例函数6y x=-图象上的两点，那么1y ，2y 的大小关系是（ ）．A .12y y >B .12y y =C .12y y <D .不能确定 3.抛物线2(4)5y x =--的顶点坐标和开口方向分别是（ ）. A .(4,5)-，开口向上 B .(4,5)-，开口向下 C .(4,5)--，开口向上 D .(4,5)--，开口向下4.圆心角为60︒，且半径为12的扇形的面积等于（ ）.A .48πB .24πC .4πD .2π 5.如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，如果∠ACD =34°，那么∠BAD 等于（ ）． A ．34° B ．46° C ．56° D ．66°6.如果函数24y x x m =+-的图象与x 轴有公共点，那么m 的取值范围是（ ）.A .m ≤4B .<4mC . m ≥4-D .>4m -7.如图，点P 在△ABC 的边AC 上，如果添加一个条件后可以得到△ABP ∽△ACB ，那么以下添加的条件中，不．正确的是（ ）． A ．∠ABP =∠C B ．∠APB =∠ABCC ．2AB AP AC =⋅D ．AB ACBP CB=8.如图，抛物线32++=bx ax y (a ≠0)的对称轴为直线1x =， 如果关于x 的方程082=-+bx ax (a ≠0)的一个根为4，那么 该方程的另一个根为（ ）．A ．4-B ．2-C ．1D ． 3二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 抛物线23y x =+与y 轴的交点坐标为 .10. 如图，在△ABC 中，D ，E 两点分别在AB ，AC 边上，DE ∥BC ，如果23=DB AD ，AC =10，那么EC = .11. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，第一象限内的点(,)P x y 与点(2,2)A 在同一个反比例函数的图象上，PC ⊥y 轴于点C ，PD ⊥x 轴于点D ，那么矩形ODPC 的面积等于 .12.如图，直线1y kx n =+(k ≠0)与抛物22y ax bx c =++(a ≠0) 分别交于(1,0)A -，(2,3)B -两点，那么当12y y >时，x 的取值范围是 .13. 如图，⊙O 的半径等于4，如果弦AB 所对的圆心角等于120︒，那么圆心O 到弦AB 的距离等于 .14.2017年9月热播的专题片《辉煌中国——圆梦工程》展示的中国桥、中国路等超级工程展现了中国现代化进程中的伟大成就，大家纷纷点赞“厉害了，我的国！”片中提到我国已成为拥有斜拉桥最多的国家，世界前十座斜拉桥中，中国占七座，其中苏通长江大桥（如图1所示）主桥的主跨长度在世界斜拉桥中排在前列.在图2的主桥示意图中，两座索塔及索塔两侧的斜拉索对称分布，大桥主跨BD 的中点为E ，最长的斜拉索CE 长577 m ，记CE 与大桥主梁所夹的锐角CED ∠为α，那么用CE 的长和α的三角函数表示主跨BD 长的表达式应为BD = (m) .15.如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与y 轴交于点C ，与x 轴交于A ，B 两点，其中点B 的坐标为(4,0)B ，抛物线的对称轴交x 轴于点D ，CE ∥AB ，并与抛物线的对称轴交于点E .现有下列结论：①0a >；②0b >；③420a b c ++<；④4AD CE +=.其中所有正确结论的序号是 .16. 如图，⊙O 的半径为3，A ，P 两点在⊙O 上，点B 在⊙O 内，4tan 3APB ∠=，AB AP ⊥.如果OB ⊥OP ，那么OB 的长为 .三、解答题（本题共68分，第17－20题每小题5分，第21、22题每小题6分，第23、24题每小题5分，第25、26题每小题6分，第27、28题每小题7分）17．计算：22sin30cos 45tan60︒+︒-︒．18．如图，AB ∥CD ，AC 与BD 的交点为E ，∠ABE=∠ACB ．（1）求证：△ABE ∽△ACB ；（2）如果AB=6，AE=4，求AC ，CD 的长．19．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线1C ：22y x x =-+．（1）补全表格：抛物线顶点坐标 与x 轴交点坐标 与y 轴交点坐标22y x x =-+(1,1)(0,0)（2）将抛物线1C 向上平移3个单位得到抛物线2C ，请画出抛物线1C ，2C ，并直接回答：抛物线2C 与x 轴的两交点之间的距离是抛物线1C 与x 轴的两交点之间距离的多少倍．20．在△ABC 中，AB=AC=2，45BAC ∠=︒．将△ABC 绕点A 逆时针旋转α度（0<α<180）得到△ADE ，B ，C 两点的对应点分别为点D ，E ，BD ，CE 所在直线交于点F ． （1）当△ABC 旋转到图1位置时，∠CAD = （用α的代数式表示），BFC ∠的 度数为 ︒；（2）当α=45时，在图2中画出△ADE ，并求此时点A 到直线BE 的距离．21．运动员将小球沿与地面成一定角度的方向击出，在不考虑空气阻力的条件下，小球的飞行高度h （m ）与它的飞行时间t （s ）满足二次函数关系，t 与h 的几组对应值如下表所示．t （s ）0 0.5 1 1.5 2 … h （m ）0 8.75 15 18.75 20…（1）求h 与t 之间的函数关系式（不要求写t 的取值范围）； （2）求小球飞行3 s 时的高度；（3）问：小球的飞行高度能否达到22 m ？请说明理由．22．如图，在平面直角坐标系xOy 中，双曲线k y x =（k ≠0）与直线12y x =的交点为(,1)A a -，(2,)B b 两点，双曲线上一点P 的横坐标为1，直线P A ，PB 与x 轴的交点分别为点M ，N ，连接AN ． （1）直接写出a ，k 的值；（2）求证：PM=PN ，PM PN ⊥．图1 图223．如图，线段BC 长为13，以C 为顶点，CB 为一边的α∠满足5cos 13α=．锐角△ABC 的顶点A 落在α∠的另一边l 上，且 满足4sin 5A =．求△ABC 的高BD 及AB 边的长，并结合你的计算过程画出高BD 及AB 边．（图中提供的单位长度供补全图形使用）24．如图，AB 是半圆的直径，过圆心O 作AB 的垂线，与弦AC 的延长线交于点D ，点E 在OD上，=DCE B ∠∠．（1）求证：CE 是半圆的切线；（2）若CD=10，2tan 3B =，求半圆的半径．25．已知抛物线G ：221y x ax a =-+-（a 为常数）． （1）当3a =时，用配方法求抛物线G 的顶点坐标； （2）若记抛物线G 的顶点坐标为(,)P p q ．①分别用含a 的代数式表示p ，q ；②请在①的基础上继续用含p 的代数式表示q ； ③由①②可得，顶点P 的位置会随着a 的取值变化而变化，但点P 总落在 的图象上． A ．一次函数 B ．反比例函数 C ．二次函数（3）小明想进一步对（2）中的问题进行如下改编：将（2）中的抛物线G 改为抛物 线H ：22y x ax N =-+（a 为常数），其中N 为含a 的代数式，从而使这个新抛物线H 满足：无论a 取何值，它的顶点总落在某个一次函数的图象上．请按照小明的改编思路，写出一个符合以上要求的新抛物线H 的函数表达式： （用含a 的代数式表示），它的顶点所在的一次函数图象的表达式y kx b =+（k ，b 为常数，k ≠0）中，k= ，b= ．26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线M ：2(0)y ax bx c a =++≠经过(1,0)A -，且顶点坐标为(0,1)B ．（1）求抛物线M 的函数表达式；（2）设(,0)F t 为x 轴正半轴．．．上一点，将抛物线M 绕点F 旋转180°得到抛物线1M ． ①抛物线1M 的顶点1B 的坐标为 ；②当抛物线1M 与线段AB 有公共点时，结合函数的图象，求t 的取值范围．27．如图1，在Rt △AOB 中，∠AOB =90°，∠OAB =30°，点C 在线段OB 上，OC =2BC ，AO 边上的一点D 满足∠OCD =30°．将△OCD 绕点O 逆时针旋转α度（90°<α<180°）得到△OC D ''，C ，D 两点的对应点分别为点C '，D '，连接AC '，BD '，取AC '的中点M ，连接OM ． （1）如图2，当C D ''∥AB 时，α= °，此时OM 和BD '之间的位置关系为 ； （2）画图探究线段OM 和BD '之间的位置关系和数量关系，并加以证明．28．在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 两点的坐标分别为(2,2)A ，(2,2)B -．对于给定的线段AB 及点P ，Q ，给出如下定义：若点Q 关于AB 所在直线的对称点Q '落在△ABP 的内部（不含边界），则称点Q 是点P 关于线段AB 的内称点． （1）已知点(4,1)P -．①在1(1,1)Q -，2(1,1)Q 两点中，是点P 关于线段AB 的内称点的是____________； ②若点M 在直线1y x =-上，且点M 是点P 关于线段AB 的内称点，求点M 的横坐标M x 的取值范围；（2）已知点(3,3)C ，⊙C 的半径为r ，点(4,0)D ，若点E 是点D 关于线段AB 的内称点，且满足直线DE 与⊙C 相切，求半径r 的取值范围．北京市西城区2018—2019学年度第一学期期末试卷九年级数学参考答案及评分标准一、选择题（本题共16分，每小题2分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案ACABCCDB二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9．（0，3）． 10．4． 11．4．12．－1＜x ＜2． 13．2．14．1154cos α（或2CE ·cos α）． 15．②④． 16．1．三、解答题（本题共68分，第17—20题每小题5分，第21、22题每小题6分，第23、24题每小题5分，第25、26题每小题6分，第27、28题每小题7分） 17．解：2sin30°＋cos 245°－tan60°．2122()322=⨯+-（3分）1132=+-（4分）332=-．（5分） 18．（1）证明：如图．∵∠ABE ＝∠ACB ，∠A ＝∠A ， ∴△ABE ∽△ACB ．（2分） （2）解：由（1）得AB AEAC AB=．（3分） ∴AB 2＝AC ·AE ． ∵AB ＝6，AE ＝4，∴29AB AC AE==．（4分） ∵AB ∥CD ，∴△CDE ∽△ABE ．∴CD CE AB AE=．∴()651542AB CE AB AC AECDAE AE⋅⋅-⨯====．（5分）19．解：（1）（0，0），（2，0）．（2分）（2）画图见图．（4分）2倍．（5分）20．解：（1）α－45°，45．（2分）（2）画图如图．（3分）连接BE，设AC与BE交于点G．由题意可知，∠BAC＝∠CAE＝45°，AB＝AC＝AE＝2．∴∠BAE＝90°，AG⊥BE，BG＝EG．∴点A到直线BE的距离即为线段AG的长．（4分）∴2222BE ABAG===．（5分）∴当α＝45°时，点A到直线BE的距离为2．21．解：（1）∵t＝0时，h＝0，∴设h与t的函数关系式为h＝at2＋bt（a≠0）．（1分）∵t＝1时，h＝15；t＝2时，h＝20，∴15,4220.a ba b+=⎧⎨+=⎩（2分）解得5,20.ab=-⎧⎨=⎩（3分）∴h 与t 之间的函数关系式为h ＝－5t 2＋20t ．（4分）（2）小球飞行3秒时，t ＝3（s ），此时h ＝－5×32＋20×3＝15（m ）．（5分）答：此时小球的高度为15m ．（3）方法一：设t （s ）时，小球的飞行高度达到22m ．则－5t 2＋20t ＝22．即5t 2－20t ＋22＝0．∵Δ＝（－20）2－4×5×22＜0，∴此方程无实数根．所以小球的飞行高度不能达到22m ．（6分）方法二：∵h ＝－5t 2＋20t ＝－5（t －2）2＋20，∴小球飞行的最大高度为20m ．∵22＞20，∴小球的飞行高度不能达到22m ．（6分）22．解：（1）a ＝－2，k ＝2．（2分）（2）证明：∵双曲线2y x=上一点P 的横坐标为1． ∴点P 的坐标为P （1，2）．（3分）∴直线PA ，PB 的函数表达式分别为y ＝x ＋1，y ＝－x ＋3．∴直线PA ，PB 与x 轴的交点坐标分别为M （－1，0），N （3，0）． ∴22PM =，22PN =，MN ＝4．（4分）∴PM ＝PN ，（5分）PM 2＋PN 2＝MN 2．∴∠MPN ＝90°．∴PM ⊥PN ．（6分）说明：其他正确的解法相应给分．23．解：如图，作BD ⊥l 于点D ．（1分）∴Rt △CBD 中，∠CDB ＝90°，BC ＝13，5cos cos 13C α==， ∴5cos 13513CD BC C =⋅=⨯=，（2分） 222213512BD BC CD =-=-=．（3分） 在Rt △ABD 中，∠ADB ＝90°，BD ＝12，4sin 5A =，∴12154sin 5BD AB A===．（4分） 1294tan 3BD AD A ===． 作图：以点D 为圆心，9为半径作弧与射线l 交于点A ，连接AB ．（5分）24．（1）证明：如图，连接OC ．∵AB 是半圆的直径，AC 是半圆的弦，∴∠ACB ＝90°．（1分）∵点D 在弦AC 的延长线上，∴∠DCB ＝180°－∠ACB ＝90°．∴∠DCE ＋∠BCE ＝90°．∵OC ＝OB ，∴∠BCO ＝∠B ．∵∠DCE ＝∠B ，∴∠BCO ＋∠BCE ＝90°，即∠OCE ＝90°．（2分）∴CE ⊥OC ．∴CE 是半圆的切线．（3分）（2）解：设半圆的半径长为r ．在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，2tan 3B =， 设AC ＝2k ，则BC ＝3k ，2213AB AC BC k =+=． ∴2sin 1313AC B AB ==． ∵OD ⊥AB ，∴∠D ＋∠A ＝90°．∵AB 是半圆的直径．∴∠ACB ＝90°，∠B ＋∠A ＝90°．∴∠D ＝∠B ． ∴2sin sin 1313D B ==． 在Rt △AOD 中，∠AOD ＝90°，2sin 1313D =，又∵CD ＝10， ∴132132(210)13OA k AD k ==+． ∴13k ＝4（2k ＋10）．解得k ＝8．经检验，k ＝8是原方程的解． ∴134132r k ==．（5分） 25．解：（1）当a ＝3时，抛物线G 为y ＝x 2－6x ＋2．∴y ＝x 2－6x ＋2＝x 2－2×3x ＋32－32＋2＝（x －3）2－7．（1分）此时抛物线G 的顶点坐标为（3，－7）．（2分）（2）①y ＝x 2－2ax ＋a －1＝（x 2－2ax ＋a 2）－a 2＋a －1＝（x －a ）2－a 2＋a －1．∵抛物线G 的顶点坐标为P （p ，q ），∴2, 1.p a q a a =⎧⎨=-+-⎩（3分） ②由①得q ＝－p 2＋p －1．（4分）③C ．（5分）（3）答案不唯一，如新抛物线H 的函数表达式为y ＝x 2－2ax ＋a 2＋a ，k ＝1，b ＝0．（6分）26．解：（1）∵抛物线M 的顶点坐标为B （0，1），∴设抛物线M 的函数表达式为y ＝ax 2＋1．（1分）∵抛物线M 经过点A （－1，0），∴a ×（－1）2＋1＝0．解得a ＝－1．（2分）∴抛物线M 的函数表达式为y ＝－x 2＋1．（3分）（2）①B 1（2t ，－1）．（4分）②由题意可知抛物线M 1的顶点B 1的坐标为B 1（2t ，－1），二次项系数为1，∴抛物线M 1的函数表达式为y ＝（x －2t ）2－1（t ＞0）．当抛物线M 1经过点A （－1，0）时（如图），（－1－2t ）2－1＝0．解得t 1＝－1，t 2＝0．当抛物线M 1经过点B （0，1）时（如图），（2t ）2－1＝1． 解得22t =±．结合图象分析，因为t ＞0，所以当抛物线M 1与线段AB 有公共点时，t 的取值范围是202t <≤．（6分）27．解：（1）150．（1分）OM ⊥BD ′．（2分）（2）OM ⊥BD ′，32OM BD '=． 证明：如图，取AO 的中点E ，连接ME ，延长MO 交BD ′于点N ．∵E ，M 分别为AO ，AC ′的中点，∴EM ∥OC ′，2OC EM '=． ∴∠OEM ＋∠AOC ′＝180°．∵∠AOB ＝∠C ′OD ′＝90°，∴∠BOD ′＋∠AOC ′＝180°．∴∠OEM ＝∠BOD ′．①（3分）∵∠OAB ＝∠OC ′D ′＝30°， ∴3232AOEO AO OB OB OC EM OC OD OD ====''''， 即EO EM OB OD ='．②（4分） 由①②得△EOM ∽△OBD ′．（5分）∴∠1＝∠2，322OM EO AO BD OB OB ==='，即32OM BD '=．（6分） ∵点N 是MO 的延长线与BD ′的交点，∠AOB ＝90°，∴∠1＋∠3＝180°－∠AOB ＝90°．∴∠2＋∠3＝90°．∴OM ⊥BD ′．（7分）说明：其他正确的解法相应给分．28．解：（1）①Q 1．（见图）（1分）②如图，点P （4，－1）关于AB 所在直线的对称点为P ′（0，－1），（2分）此时点P ′恰好在直线y ＝x －1上．∵点M 是点P 关于线段AB 的内称点，∴点M 关于AB 所在直线的对称点M ′落在△ABP 的内部（不含边界）．又∵点M 在直线y ＝x －1上，∴点M 应在线段P ′G 上（点G 为线段AB 与直线y ＝x －1的交点），且不与两个端点P ′，G 重合． ∴0＜x M ＜2．（3分）（2）如图．∵点E 是点D 关于线段AB 的内称点，∴点E 关于AB 所在直线的对称点E ′应在△ABD 的内部（不含边界）．∵点D 关于AB 所在直线的对称点为原点O ，∴点E 应在△ABO 的内部（不含边界）．（4分）∵A （2，2），C （3，3），D （4，0）， 可得2AC =，22AD =，10CD =．∴AC 2＋AD 2＝CD 2．∴∠CAD ＝90°．∴AC ⊥AD ．此时直线DA 与以AC 为半径的⊙C 相切，半径2AC =．（5分）当直线DE 与以CD 为半径的⊙C 相切，D 为切点时，⊙C 的半径最大，最大值为10． ∴符合题意的⊙C 的半径r 的取值范围是210r <≤．（7分）。
北京市东城区2018-2019学年九年级数学上学期期末教学统一检测【word版】.docx
北京市东城区2018-2019学年九年级数学上学期期末教学统一检测一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个1.下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是A．B．C．D．2. 三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则的值是Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．的图象位于3．反比例函数y=6xA．第一、第二象限 B. 第一、第三象限C. 第二、第三象限D. 第二、第四象限4．如图，点A、B、C都在⊙O上，若，则的度数是A．18°B．30°C．36°D．72°5.在平面直角坐标系xoy中，△OAB各顶点的坐标分别为：O（0，0），A（1，2），B（3，0），以原点O为位似中心，相似比为2，将△OAB放大，若B 点的对应点B′的坐标为（﹣6，0），则A点的对应点A′坐标为A．（﹣2，﹣4）B．（﹣4，﹣2）C．（﹣1，﹣4）D．（1，﹣4）6. 如图，在ABCD中，点E在DC边上，连接AE，交BD于点F，若DE：EC=3：1，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为A．3：4 B．9：16 C．9：1 D．3：17．将抛物线绕原点O旋转180°，则旋转后的抛物线的解析式为A．B．C．D．8.下表显示的是某种大豆在相同条件下的发芽试验结果：每批粒数n100 300 400 600 1000 2000 3000发芽的粒数m96 282 382 570 948 1904 2850发芽的频率0.960 0.940 0.955 0.950 0.948 0.952 0.950下面有三个推断：①当n为400时，发芽的大豆粒数为382，发芽的频率为0.955，所以大豆发芽的概率是0.955；②随着试验时大豆的粒数的增加，大豆发芽的频率总在0.95附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计大豆发芽的概率是0.95；③若大豆粒数n为4000，估计大豆发芽的粒数大约为3800粒．其中推断合理的是（）A．①②③B．①②C．①③D．②③日期二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. 港珠澳大桥于2018年10月24日正式通车.大桥在设计理念、建造技术、施工组织、管理模式等方面进行一系列创新，标志着我国岛隧工程设计施工管理水平走在了世界前列.大桥全长近55km.汽车行驶完全程所需的时间t（h）与行驶的平均速度v（km/h）之间的关系式为10.如图，身高1.6米的小丽在阳光下的影长为2米，在同一时刻，一棵大树的影长为8米，则这棵树的高度为米11. 请你写出一个二次函数，其图象满足条件：①开口向下；②与轴的交点坐标为.此二次函数的解析式可以是12. 如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若CD=8，OE=3，则⊙O的半径为．13.如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC夹角为150°，AB的长为̂的长为cm．18cm，BD的长为9cm，则DE14.如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC=105°，则∠C=．15. 如图，以等边△ABC的一边AB为直径的半圆O交AC于点D，交BC于点E，若AB=4，则阴影部分的面积是______.16.如图，在中，，将绕顶点逆时针旋转得到是的中点，N是的中点，连接MN，若BC=4,∠ABC=60°，则线段MN的最大值为________.三.解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27-28题,每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17.计算：18.下面是小明设计的“作平行四边形的高”的尺规作图过程已知：平行四边形ABCD..求作：,垂足为点E.作法：如图,①分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P,Q两点；②作直线PQ，交AB于点O;③以点O为圆心，OA长为半径做圆，交线段BC于点E;④连接AE.所以线段AE就是所求作的高.根据小明设计的尺规作图过程（1）使用直尺和圆规，补全图形;（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明证明：AP=BP, AQ= ,PQ为线段AB的垂直平分线.O为AB中点.AB为直径，⊙O与线段BC交于点E,．（）(填推理的依据).19. 如图，在△A BC中，点D在AB边上，∠ABC=∠ACD，（1）求证：△A BC∽△ACD（2）若AD=2，AB=5.求AC的长．20.京剧脸谱是京剧艺术独特的表现形式.京剧表演中，经常用脸谱象征人物的性格，品质，甚至角色和命运.如红脸代表忠心耿直，黑脸代表强悍勇猛.现有三张不透明的卡片，其中两张卡片的正面图案为“红脸”，另外一张卡片的正面图案为“黑脸”，卡片除正面图案不同外，其余均相同，将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回．．，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图或列表的方法，求抽出的两张卡片上的图案都是“红脸”的概率．（图案为“红脸”的两张卡片分别记为A1、A2，图案为“黑脸”的卡片记为B）A1红脸A2红脸B黑脸21. 已知二次函数自变量的部分取值及对应的函数值如下表所示：（2）求此二次函数的表达式22.如图，一次函数y＝x＋4的图象与反比例函数y＝(k为常数且k≠0)的图象交于A(－1，a)，B两点，与x轴交于点C．（1）求a，k的值及点B的坐标；（2）若点P在x轴上，且S△ACP＝S△BOC，直接写出点P的坐标．23.某广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管OA喷出，OA长为1.5米.水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点B到O的距离为3米．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度y（米）与水平距离x（米）之间近似满足函数关系（1）求y与x之间的函数关系式；（2）求水流喷出的最大高度．24. 如图，已知Rt△ABC中，∠A CB＝90°，E为AB上一点，以AE为直径作⊙O与BC相切于点D，连接ED并延长交AC的延长线于点F．（1）求证：AE＝AF;（2）若AE＝5，AC＝4，求BE的长．25.有这样一个问题：探究函数的图象与性质．小彤根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究.下面是小彤探究的过程，请补充完整：(1) 函数的自变量的取值范围是___________；(2) 下表是y与x的几组对应值:则m 的值为________；(3)如图所示，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出了图象的一部分，请根据剩余的点补全此函数的图象；(4)观察图象，写出该函数的一条性质________________________；(5)若函数的图象上有三个点A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)，且x1<3<x2<x3，则y1、y2、y3之间的大小关系为________；26 . 在平面直角坐标系中，抛物线的表达式为，线段AB的两个端点分别为A（1，2），B（3，2）(1) 若抛物线经过原点，求出的值；(2)求抛物线顶点C的坐标（用含有m的代数式表示）；(3)若抛物线与线段AB恰有一个公共点，结合函数图象，求出m的取值范围.27．如图，M为正方形ABCD内一点，点N在AD边上，且∠BMN＝90°，MN ＝2MB．点E为MN的中点，点P为DE的中点，连接MP并延长到点F，使得PF＝PM，连接DF．（1）依题意补全图形；（2）求证：DF＝BM；（3）连接AM，用等式表示线段PM和AM的数量关系并证明．28.对于平面直角坐标系中的图形M及以原点为圆心，1为半径的，给出如下定义:P为图形M上任意一点，Q为上任意一点，如果P,Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M到的“圆距离”，记作(1)记线段AB为图形M,其中A(-1,2),B(1,2),求;（2）记函数y=kx+4（）的图象为图形M，且，直接写出k的取值范围;(3)记△CDE为图形M，其中,且，直接写出t的值.东城区2018-2019学年度第一学期期末教学统一检测初三数学参考答案及评分标准2019.1一、选择题（本题共16分，每小题2分）9. 10. 6.4 11.答案不唯一12.5π 14. 45° 15. 16. 613.152三.解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27，28题每小题7分）18.(1)略……………..2分(2)BQ, 90°(直径所对的圆周角是直角)……………..5分19. 证明：（1）∵∠ABC=∠ACD，∠A=∠A∴△A BC∽△ACD ………………………2分（2）解：△A BC∽△ACD∴…………………………………….4 分AD=2, AB=5∴∴AC= …………………………………5分20. 解：画树状图为：………………………..3分由树状图可知，所有可能出现的结果共有9种，其中两次抽取的卡片上都是“红脸”的结果有4种，所以P （两张都是“红脸”）＝．………………………..5分 答：抽出的两张卡片上的图案都是“红脸”的概率是．21. 解：（1）直线x=-1………………………..1分（2）∵当x=0时，y=3 ，∴这个二次函数的表达式为：y=a x 2+bx+3 ∵当x=-1时，y=2 ; 当x=1时，y=6,{2=a −b +36=a +b +3………………………………3分 ∴{a =1b =2∴这个二次函数的表达式为：y=x 2+2x+3………………………….5分22.解：（1）把点A (－1，a )代入y ＝x ＋4，得a ＝3，…………………………1分∴A (－1，3)把A (－1，3)代入反比例函数y ＝∴k ＝－3. ………………………………………………………………2分 ∴反比例函数的表达式为y ＝－ 联立两个函数的表达式得 解得或 ∴点B的坐标为B (－3，1). ………………………………………………………………3分（2）P (－6，0)或(－2，0) …………………………………………………………5分23.解：（1）由题意可得，抛物线经过（0，1.5）和（3，0），………3分（2）解：………………………..5分∴当x=1时，y取得最大值，此时y=2.，………………………..6分答：水流喷出的最大高度为2米．24.证明：（1）连接OD∵BC切⊙O于点D∴OD⊥BC…………………………………………………………1分∴∠ODC＝90°又∵∠ACB＝90°∴OD∥AC∴∠ODE＝∠F…………………………………………………………2分∵OE＝OD∴∠OED＝∠ODE.∴∠OED＝∠F.∴AE＝AF…………………………………………………………3分（2）∵OD∥AC∴△BOD∽△BAC…………………………………………………………4分∴∵AE＝5，AC＝4即………………………………………………………5分∴BE＝…………………………………………………………6分25. 解：(1)x≠3；…………………1分(2)；…………………2分(3)如图所示；(4)当x>3时y随x的增大而减小等(答案不唯一)；…………………5分(5)y1<y3<y2．…………………6分26.解：（1）∵抛物线经过原点,（2）所以，顶点C的坐标为……………………4分（3）由顶点C的坐标可知，抛物线的顶点C在直线y=2x上移动．当抛物线过点A时，m=2或1；当抛物线过点B时，m=2或5．所以m=2时，抛物线与线段AB有两个公共点，不符合题意．结合函数的图象可知，m的取值范围为且…………………6分27.解：（1）…………………………………………………………1分（2）∵点P为线段DE的中点∴DP＝EP在△MPE和△FPD中∴△MPE≌△FPD（SAS） (2)分∴DF＝ME∵E为MN的中点∴MN＝2ME∵MN＝2MB∴MB＝ME＝D F．…………………………………………………………3分（3）结论：…………………………………………………………4分连接AF由（2）可知：△MPE≌△FPD∴∠DFP＝∠EMP.∴DF∥ME.∴∠FDN＝∠MND.在正方形ABCD中，AD＝AB，∠BAD＝90°又∵∠BMN＝90°∴∠MBA＋∠MNA＝180°又∵∠MNA＋∠MND＝180°∴∠MBA＝∠MND∴∠FDN＝∠MBA…………………………………………………………5分在△FAD和△MAB中∴△F AD≌△MAB（SAS）∴∠FAD＝∠MABFA＝MA∴∠FAM＝∠DAB＝90°∴△FAM为等腰直角三角形…………………………………………………………6分∴又∵FM＝2PM ∴…………………………………………………………7分28.解：（1）∵A（﹣1,2），B（1,2）∴H（0,2）∴d（M-O）＝1…………………………………………………2分(2)………………………………………………4分。
北京昌平区2018—2019学年第一学期初三年级期末考试数学试卷及答案
北京昌平区2018—2019学年第一学期初三年级期末考试数学试卷及答案下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．已知21sin =A ，则锐角A 的度数是 A ．75︒B ．60︒C ．45︒D ．30︒2．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体是 A ．棱柱B.圆柱C.圆锥D.球3．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠BOC =100°，则∠A 的度数为A ．40°B ．50°C ．80°D ．100° 4．下列事件为必然事件的是A ．掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上B ．从一个装有红色球的袋子中，摸出一个球是黄色球C ．通常温度降到0°C 以下，纯净的水结冰D ．某射击运动员射击一次，命中靶心5．如图所示的圣诞帽呈圆锥形，其母线长为2，底面半径为1，则它的侧面积为 A. 2 B.π C. 2π D. 4π6．将二次函数242y x x =-+化为2()y x h k =-+的形式，结果为A ．2(2)6y x =++B ．2(2)6y x =-+C ．2(2)2y x =+-D ．2(2)2y x =--7．如图，⊙O 是正方形ABCD 的内切圆，与各边分别相切于点E 、F 、G 、H ， 则1∠的正切值等于A .55 B . 21 C . 1D. 28．如图，在边长为1的正方形ABCD 中，P 是射线BC 上的一个动点，过P 作DP 的垂线交射线AB 于点E ．设BP = x ，AE = y ，则下列图象中，能表示y 与x的函数关系的图象大致是G DEP D C B A二、填空题（共4道小题，每小题4分，共16分）9．如图，已知P A 、PB 分别切⊙O 于点A 、B ，90P ∠=，3PA =，那么⊙O 的半径长是 ．10．如图，DE 是ABC ∆的中位线，M 是DE 的中点，那么NDM NBCSS ∆∆= ．11．二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，则方程02=++c bx ax 的解 是 ．12．如图，点A 1，A 2 ，A 3 ，…，点B 1，B 2 ，B 3 ，…，分别在射线OM ，ON 上．OA 1=1，A 1B 1=2O A 1，A 1 A 2=2O A 1，A 2A 3=3OA 1，A 3 A 4=4OA 1，…．A 1B 1∥A 2B 2∥A 3B 3∥A 4B 4∥…．则A 2B 2= ， A n B n = （n 为正整数）．三、解答题（共6道小题，第13、14题各4分，第15 -18题各5分，共28分） 13.计算：︒-︒+︒60tan 45sin 230cos 2．14. 如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，AB =6，AC =5，求tan A 的值．15. 如图，已知⊙O 的直径AB =6，且AB ⊥弦CD 于点E ，若CD =25，求BE 的长．16.如图，在△ABC 中，∠C =90°，点D 在AC 上，DE ⊥AB 于点E ， 若AC =8，BC =6，DE =3，求AD 的长．E DABCB 4N MO A 1A 2A 3A 4B 32B117. 已知函数12)3(2++-=x x k y 的图象与x 轴有交点，求k 的取值范围．18. 在两个袋子中分别装有大小、质地完全相同的的卡片. 甲袋中放了３张卡片，卡片上的数字分别为1，2，3；乙袋中放了2张卡片，卡片上的数字分别为4，5．张红和李欣两人做游戏，分别从甲、乙两个 袋子中随机地各摸出一张卡片，若所摸出的两张卡片上的数字之和为奇数，则判张红获胜；若两张卡 片上的数字之和为偶数，则判李欣获胜．你认为这个游戏公平吗？请写出你的判断，并用列表或画树状图的方法加以说明．四、解答题（共４道小题，第19 -21题各5分，第22题6分，共21分）19.如图，一风力发电装置竖立在小山顶上，小山的高BD =30m ．从水平面上一点C 测得风力发电装置的顶端A 的仰角∠DCA =60°，测得山顶B 的仰角∠DCB =30°，求风力发电装置的高AB 的长．20.如图，平行四边形ABCD 中，E 是BC 的中点．请你在线段AB 上截取BF =2AF ，连结EF 交BD 于点G ，求GDGB的值．21. 如图，已知AB 是⊙O 的直径，点H 在⊙O 上，E 是的中点，过点E 作EC ⊥AH ，交AH 的延长线于点C ．连结AE ，过点E 作EF ⊥AB 于点F ． （1）求证：CE 是⊙O 的切线；（2）若FB=2, tan ∠CAE =22，求OF 的长．HB22.已知正方形纸片ABCD ．如图1，将正方形纸片折叠，使顶点A 落在边CD 上的点P 处（点P 与C 、D 不重合），折痕为EF ，折叠后AB 边落在PQ 的位置，PQ 与BC 交于点G ． （1）请你找到一个与EDP △相似的三角形，并证明你的结论；（2）当AB =2，点P 位于CD 中点时，请借助图2画出折叠后的示意图，并求CG 的长．五、解答题（共3道小题，第23题7分，第24、25题各8分，共23分）23.某大学校园内一商店，销售一种进价为每件20元的台灯．销售过程中发现，每月销售量y （件）与销售单价x （元）之间的关系可近似的看作一次函数：10500y x =-+．（1）设此商店每月获得利润为w （元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？【利润=（销售单价-进价）×销售量】（2）如果此商店想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？（3）根据物价部门规定，这种台灯的销售单价不得高于32元，如果此商店想要每月获得的利润不低于2000元，那么商店每月的成本最少需要多少元？【成本＝进价×销售量】P G QF E D C B A A B C D 图2图124．【初始问题】如图1，已知两个同心圆，直线AD 分别交大⊙O 于点A 、D ，交小⊙O 于点B 、C ．AB 与CD 相等吗？请证明你的结论．【类比研究】如图2，若两个等边三角形ABC 和A 1 B 1 C 1的中心（点Ｏ）相同，且满足AB ∥A 1B 1，BC ∥B 1C 1，AC ∥A 1C 1，可知AB 与A 1B 1，BC 与B 1C 1，AC 与A 1C 1之间的距离相等.直线MQ 分别交三角形的边于点M 、N 、P 、Q ，与AB 所成夹角为∠α（30°＜∠α＜90°）．（１）求PQMN （用含∠α的式子表示）；（２）求∠α等于多少度时，MN = PQ ．图1图225.如图，抛物线y =ax2+bx+c过点A（-1，0），且经过直线y =x-3与x轴的交点B及与y轴的交点C．（1）求点B、C的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）求抛物线的顶点M的坐标；（4）在直线y =x-3上是否存在点P，使△CMP是等腰三角形？若存在，求出满足条件的P点坐标；若不存在，说明理由．北京昌平区2018—2019学年第一学期初三年级期末考试数学试卷参考答案及评分标准一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分）二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分）三、解答题（共6道小题，第13、14题各4分，第15-18题各5分，共28分） 13．解：原式=3222232-⨯+⨯……………………… 3分 =1． ……………………… 4分14．解：∵ AB 是⊙O 的直径，∴ ∠ACB =90°． ……………………… 1分 在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AB =6，AC =5， ∴ BC =22AC AB -=2256-=11． ……………………… 2分∴ tan A =AC BC =511． ……………………… 4分 15．解：连结OC ． ……………………………………………… 1分∵ 直径AB ⊥弦CD 于点E , CD =25，∴ CE =ED =5． ……………………… 2分 在Rt △OEC 中，∠OEC =90°，CE =5，OC =3，∴ OE =2． ……………………… 4分 ∴ BE =1． ……………………… 5分 16．解：在△ABC 中，∠C =90°，AC =8，BC =6，∴ AB =10． ……………………… 1分 ∵ DE ⊥AB ，∴ ∠C =∠DEA =90°． ∵ ∠A =∠A ，∴ △ABC ∽△ADE ． ……………………… 3分 ∴AB BC ADDE=． ……………………… 4分∵ DE =3， ∴1063AD=．∴ AD =5． ……………………… 5分 17．解：（1）当k =3时，函数21y x =+ 是一次函数． ∵ 一次函数21y x =+与x 轴有一个交点，∴ k =3． ……………………… 1分 （2）当k ≠3时，12)3(2++-=x x k y 是二次函数． ∵ 二次函数12)3(2++-=x x k y 的图象与x 轴有交点，∴ b 2-4ac ≥0． ……………………… 2分 ∵ b 2-4ac =22-4(k -3)=-4k +16，∴ -4k +16≥0． ……………………… 3分∴ k ≤4且k ≠3． ……………………… 4分 综合（1）（2）可知，k 的取值范围是k ≤4． ……………………… 5分 18．解：游戏公平． ……………………………………………………… 1分列表或画树状图正确． ……………………………………………………… 4分 ∵ P(两张卡片上的数字之和为奇数)=12， P(两张卡片上的数字之和为偶数)=12，∴ P(两张卡片上的数字之和为奇数)= P(两张卡片上的数字之和为偶数)．∴ 这个游戏公平． ……………………………………………………… 5分四、解答题（共４道小题，第19-21题各5分，第22题6分，共21分） 19．解：据题意，得△BCD 中，∠D =90°，BD =30m,∠BCD =30°，∴ BC =60m ． ………………………………… 2分 ∵ ∠ACD =60°，∴ ∠ACB =∠A =30°． ……………………………………… 4分 ∴ AB =BC =60m ． ……………………………………… 5分 答：风力发电装置的高度为60m ．20．解：画图正确（不含辅助线）． …………………………… 1分 过点E 作EH ∥CD 交BD 于H ． …………………………… 2分∵ 点E 是BC 的中点，DABC∴ 点H 是BD 的中点． ∴ HE 是△BDC 的中位线． ∴12HE CD =． ……………………………………………… 3分 ∵ 四边形ABCD 是平行四边形， ∴ AB ∥CD ，AB =CD ． ∴12HE AB =，EH ∥AB ． ∵ BF =2AF ，∴23BF AB =． ∴ 43BF HE =．∵ EH ∥AB ，∴ △FGB ∽△EGH ． …………………………………… 4分 ∴43BF BG HEGH==．∵ 点H 是BD 的中点， ∴52=GD BG ． ……………………………………… 5分 21．（1）证明：连结OE ． ……………………………… 1分 ∵ 点E 为 的中点， ∴ ∠1=∠2． ∵ OE =OA ， ∴ ∠3=∠2． ∴ ∠3=∠1． ∴ OE ∥AC ． ∵ AC ⊥CE ，∴ OE ⊥CE ． ………………………………………… 2分 ∵ 点E 在⊙O 上，∴ CE 是⊙O 的切线． ……………………………… 3分 （2）解：连结EB ． ∵ AB 是⊙O 的直径， ∴ ∠AED =90°． ∵ EF ⊥AB 于点F ， ∴ ∠AFE =∠EFB =90°． ∴ ∠2+∠AEF =∠4+∠AEF =90°． ∴ ∠2=∠4=∠1． ∵ tan ∠CAE =22， HB A∴ tan ∠4 =22． 在R t △EFB 中，∠EFB =90°，FB=2， tan ∠4 =22， ∴ EF=……………………………………………………………… 4分设 OE =x ，则OB= x ． ∵ FB=2， ∴ OF =x -2．∵ 在Rt △OEF 中，∠EFO =90°， ∴ x 2=(x -2)2+(2． ∴ x =3（负值舍去）．∴ OF =1． ……………………………………………………… 5分 22．解：（1）与EDP △相似的三角形是PCG △（或△FQG ）． ……… 1分证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°． ……………………………… 2分 由折叠知 ∠EPQ=∠A=90°． ∴∠1+∠3=90°，∠1+∠2=90°．∴∠2=∠3． ……………………………………………………… 3分 ∴PCG △∽EDP △．（2）正确画出示意图． ………………………………………… 4分 ∵ 四边形ABCD 是正方形，AB =2， ∴ AB =BC =CD =DA =2． 设 AE =x ，则ED =2-x ，EP = x ． ∵ P 是CD 的中点， ∴ DP =PC =1．在Rt △EDP 中，∠D =90°，根据勾股定理，得x 2=（2-x ）2+1．解得 x =45．∴ ED =43． ………………………………………… 5分∵ PCG △∽EDP △，∴ED DPPC CG =． ∴ 3141CG=．∴ CG=34． ………………………………………………………………………… 6分 五、解答题（共3道小题，第23题7分，第24、25题各8分，共23分）PGQFED CBA321图1AB CD EFQGP图223．解：（1）(20)(20)(10500)w x y x x =-⋅=--+=10000700102-+-x x ． ……………………………………… 1分 ∵ a = -10＜0，∴ 当35)10(27002=-⨯-=-a b 时，w 可取得最大值． 即 当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润． ………………………… 2分（2）依题意，得210700100002000x x -+-=． ……………………………………… 3分解得 130x =，240x =． ………………………………………………… 4分 即 如果此商店想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为30元或40元． … 5分（3）∵ 100a =-<， ∴ 抛物线的开口向下．∴ 当30≤x ≤40时，w ≥2000． ∵ x ≤32， ∴ 30≤x ≤32．设成本为p （元），依题意，得 2020(10500)20010000p y x x =⋅=-+=-+． ∵ 2000k =-<， ∴ p 随x 的增大而减小． ∴ 当32x =时，=3600p 最小．答：此商店想要每月获得的利润不低于2000元，每月的成本最少需要3600元． ……7分24．解：【初始问题】结论：AB = CD ． ……………………… 1分 证明：如图，作OE ⊥AD 于E ．∴ AE =ED ，BE =EC ． …………………………………………… 2分 ∴ AE -BE =ED -EC ．即 AB =CD ． ……………………………………………………… 3分 【类比研究】（1）如图，作ND ⊥AB 于D ，PE ⊥AC 于E ． ……… 4分 则 ND =PE ． ∵ AB ∥A 1B 1， ∴ ∠1=∠α．∵ 等边三角形A 1 B 1 C 1中，∠A 1=60°， ∴ ∠2=120°-∠1=120°-∠α． ∵ AC ∥A 1C 1，∴ ∠PQE =∠2=120°-∠α． ∵ 30°＜∠α＜90°，图2∴ 30°＜120°-∠α＜90°． ∴ 在Rt △MDN 和Rt △QEP 中，DN =MN sin α⋅∠，PE = PQ sin(120)α⋅-∠． …………………… 6分 ∴MN sin α⋅∠= PQ sin(120)α⋅-∠．∴sin(120)sin MN PQ αα-∠=∠． …………………………………… 7分 （2）当120°-∠α =∠α时，即∠α = 60°时，MN =PQ ． ………… 8分 25．解：（1）在y =x -3中，分别令y =0和x =0，得x =3和y =-3．∴ B （3，0），C （0，-3）． ………………………………… 2分（2）∵ 抛物线过点A （-1，0）、B （3，0）， ∴ 设抛物线的解析式为：y =a （x +1）（x -3）． ∵ 抛物线过点C （0，-3），∴ -3= a （0+1）（0-3）． ∴ a=1．∴ 抛物线的解析式为：y =（x +1）（x -3）． ………………… 4分 即 y =x 2-2x -3．（3）由y =x 2-2x -3，得y =（x -1）2-4．∴ 抛物线的顶点M （1，-4）． ………………… 5分 （4）如图，存在满足条件的P 1（1，-2）和P 2（-1，-4）． 作MN ⊥y 轴于点N ，则∠CNM =90°． ∵ M （1，-4），C （0，-3）， ∴ MN =NC =1． ∴ ∠MCN =45°．∵∠COB =90°，B （3，0），C （0，-3）， ∴ ∠OCB =45°．∴ ∠BCM =90°． …………………………………………… 6分 ∴ 要使点P 在直线y =x -3上，必有PC =MC .∠MPC =∠CMP =45°．则 过点M 分别作x 轴和y 轴的垂线，交直线y =x -3于点P 1和P 2. 在y = x -3中，分别令x =1，y =-4，得y =-2，x =-1．则 P 1（1，-2）和P 2（-1，-4）． ……………………………… 8分。
2018~2019学年北京海淀区初三上学期期末数学试卷(详解)
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24. 如图， ， ， 为⊙ 上的定点，连接 ， ， 为 上的一个动点，连接
，将射线
绕点 顺时针旋转 ，交⊙ 于点 ，连接 ，若
，
，记 ， 两点间的
距离为 ， ， 两点间的距离为 ．
小东根据学习函数的经验，对函数 随自变量 的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小东探究的过程，请补充完整： （ 1 ） 通过取点，画图，测量，得到了 与 的几组值，如下表：
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，
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在
中，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
26. 在平面直⻆坐标系中 中，已知抛物线
，
，
．
（ 1 ） 当 时．
1 求抛物线 与 轴的交点坐标．
2 若抛物线 与线段 只有一个交点，求 的取值范围．
（ 2 ） 若存在实数 ，使得抛物线 与线段 有两个交点，结合图象，直接写出 的取值范围．
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∴方程
无实数根．
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4. 如图，一块含 ⻆的直⻆三⻆板 绕点 顺时针旋转到 时，三⻆板 的旋转⻆度为（ ）．
，当 ， ， 在一条直线上
A.
B.
C.
D.
【答案】 A
【解析】 ∵ ∴ ∴三⻆板
， ， 的旋转⻆度为 ．
5. 如图，在平面直⻆坐标系中 的面积为（ ）．
中， 是反比例函数
经过
，
∴，
∴
，
∵双曲线
经过点 ，
∴．
（ 2 ）1
，点 的坐标为 ，
2018-2019学年度北京市各区初三上学期期末数学考试分类汇编-新定义综合题(含详细解析)
2018-2019学年度北京市各区初三上学期期末数学考试分类汇编--新定义综合题（含详细解析）2019.1 1. 在平面直角坐标系xOy 中，给出如下定义：若点P 在图形M 上，点Q 在图形N 上，如果PQ 两点 间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M ，N 的“近距离”，记为d （M ，N ）．特别地，当图形M 与图形N 有公共点时，d （M ，N ）=0 已知A （-4，0），B （0，4），C （-2，0）（1）d （点A ，点B ）=________，d （点A ，线段BC ）=________; （2）⊙O 半径为r ，① 当r = 1时，求 ⊙O 与线段AB 的“近距离”d （⊙O ，线段AB ）; ② 若d （⊙O ，△ABC ）=1，则r =___________;（3）D 为x 轴上一点，⊙D 的半径为1，点B 关于x 轴的对称点为点B'，⊙D 与∠BAB'的“近距离”d （⊙D ，∠BA B'）＜1，请直接写出圆心D 的横坐标 m 的取值范围.2.对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和⊙C ，给出如下定义：若⊙C 上存在一个点M ，使得PM = MC ，则称点P 为⊙C 的“等径点”.已知点D )3121(，，E )320(，，F )02(， . （1）当⊙O 的半径为1时,①在点D ，E ，F 中，⊙O 的“等径点”是 ;②作直线EF ，若直线EF 上的点T （m ，n ）是⊙O 的“等径点”，求m 的取值范围;（2）过点E 作EG ⊥EF 交x 轴于点G ，若△EFG 上的所有点都是某个圆的“等径点”，求这个圆的半径r 的取值范围;3.在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,)A a 和点(0)B b ，，给出如下定义：以AB 为边，按照逆时针方向排列A ，B ，C ，D 四个顶点，作正方形ABCD ，则称正方形ABCD 为点A ，B 的逆序正方形．例如，当4a =-，3b =时，点A ，B 的逆序正方形如图1所示（1）图1中点C 的坐标为_____;（2）改变图1中的点A 的位置，其余条件不变，则点C 的坐标不变（填“横”或“纵”），它的值为_____; （3）已知正方形ABCD 为点A ，B 的逆序正方形①判断：结论“点C 落在x 轴上，则点D 落在第一象限内”______（填“正确”或“错误”），若结论正确，请说明理由；若结论错误，请在图2中画出一个反例;②⊙T 的圆心为(,0)T t ，半径为1.若4a =，0b >，且点C 恰好落在⊙T 上，直接写出t 的取值范围.4.在平面直角坐标系xOy 中，点A （x ，0），B （x ，y ），若线段AB 上存在一点Q 满足12QA QB =，则称点Q是线段AB的“倍分点”.（1）若点A（1，0），AB=3，点Q是线段AB的“倍分点”.①求点Q的坐标;②若点A关于直线y= x的对称点为A′，当点B在第一象限时，求' QA QB;（2）⊙T的圆心T（0，t），半径为2，点Q在直线y x=上，⊙T上存在点B，使点Q是线段AB的“倍分点”，直接写出t的取值范围.5.在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r，点P与圆心C不重合，给出如下定义：若在⊙C上存在一点M，使30MPC∠=︒，则称点P为⊙C的特征点;（1）当⊙O的半径为1时，如图1.①在点P 1（-1，0），P 2（1，P 3（3，0）中，⊙O 的特征点是______________; ②点P在直线y b =+上，若点P 为⊙O 的特征点，求b 的取值范围;（2）如图2，⊙C 的圆心在x 轴上，半径为2，点A （-2，0），B （0，．若线段AB 上的所有点都是⊙C 的特征点，直接写出圆心C 的横坐标m 的取值范围.6.对于平面直角坐标系xOy 中的点P ，Q 和图形G ，给出如下定义：点P ，Q 都在图形G 上，且将点P 的横坐标与纵坐标互换后得到点Q ，则称点P ，Q 是图形G 的一对“关联点”．例如，点P (1，2)和点Q (2，1)是直线3y x =-+的一对关联点.(3) ⊙T 的半径为3，点M ，N 是⊙T 的一对关联点，且点M 的坐标为(1，m )(m ＞1)，请直接写出m 的取值范围.7.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （1，2），B （3，2），连接AB . 若对于平面内一点P ，线段AB 上都存在点Q ，使得PQ ≤1，则称点P 是线段AB 的“临近点” .（1）在点C （0，2），D （2，32），E （4，1）中，线段AB 的“临近点”是__________; （2）若点M （m ，n）在直线2y x =+上，且是线段AB 的“临近点”，求m 的取值范围; （3）若直线y x b =+上存在线段AB 的“临近点”，求b 的取值范围.8.对于平面直角坐标系xOy 中的⊙C 和点P ，给出如下定义：如果在⊙C 上存在一个动点Q ，使得△PCQ是以CQ 为底的等腰三角形，且满足底角∠PCQ ≤60°，那么就称点P 为⊙C 的“关联点”. （1）当⊙O 的半径为2时,① 在点P 1（2-，0），P 2（1，1-），P 3（0，3）中，⊙O 的“关联点”是 ;② 如果点P在射线y =-（x ≥0）上，且P 是⊙O 的“关联点”，求点P 的横坐标m 的取值范围; （2）⊙C 的圆心C 在x 轴上，半径为4，直线22y x =+与两坐标轴交于A 和B ，如果线段AB 上的点都是⊙C 的“关联点”，直接写出圆心C 的横坐标n 的取值范围.9.在平面直角坐标系中xoy 中，点P 和图形W 的中间点的定义如下：Q 是图形W 上一点，若M 为线段PQ 的中点，则称M 为点P 和图形W 的中间点，C （-2,3），D （1,3），E （1,0）F （-2,0）. （1）点A （2,0）,①点A 和原点的中间点的坐标为_____;xyOxyO②求点A 和线段CD 的中间点的横坐标m 的取值范围;（2）点B 为直线x y 2=上一点，在四边形CDEF 的边上存在点B 和四边形CDEF 的中间点，直接写出点B 的横坐标n 的取值范围.10.在平面直角坐标系 xOy 中，对于点 P 和图形W ，如果以P 为端点的任意一条射线与图形W 最多只有一个公共点，那么称点P 独立于图形W.（1）如图1，已知点A （2，0），以原点O 为圆心，OA 长为半径画弧交x 轴正半轴于点 B ．在()()()()0,43-01,0401P P P P ，，这四个点中，独立于的点是 ;（2）如图2，已知点C （-3 ，0），D （0，3），E （3，0），点P 是直线l ：82+=x y 上的一个动点，若点P 独立于折线CD －DE ，求点P 的横坐标P x 的取值范围;(3)如图3，⊙H 是以点H （0，4）为圆心，半径为1的圆，点()t T ，0在y 轴上且 t >-3 ，以点T 为中心的正方形KLMN 的顶点K 的坐标为（0，3+t ），将正方形KLMN 在x 轴及x 轴上方的部分记为图形 W ．若⊙H 上的所有点都独立于图形W ，直接写出t 的取值范围.11.对于平面内任意一个角的“夹线圆”，给出如下定义：如果一个圆与这个角的两边都相切，则称这个圆为这个角的“夹线圆”，例如：在平面直角坐标系xoy 中，以点（1,1）为圆心，1为半径的圆是x 轴与y 轴所构成的直角的“夹线圆”.（1）下列各点中，可以作为x 轴与y 轴所构成的直角的“夹线圆”的圆心的点有_____;A （2,2），B （3,1），C （-1,0），D （1，-1）（2）若P ⊙为y 轴和直线l ：x y 33=所构成的锐角的“夹线圆”，且P ⊙的半径为1，求出点P 的坐标;（3）若⊙Q 为x 轴和直线3233+-=x y 所构成的锐角的“夹线圆”，且⊙Q 的半径为21≤≤r ，直接写出点Q 横坐标Q x 的取值范围.12.对于在平面直角坐标系xoy 中的图形M 及以原点为圆心，1为半径的⊙O ，给出如下定义：P 为图形M 上任意一点，Q 为⊙O 上任意一点，如果P ，Q 两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M 到⊙O 的“圆距离”，记作()O M d ⋅.（1）记线段AB 为图形M ，其中A （-1,2）B （1,2），求()O M d ⋅;（2）记函数()04>+=k kx y 的图像为图形M ，且()1≥⋅O M d ，直接写出k 的取值范围;（3）记CDE ∆为图形M ，其中()232--，t C ，()232-+，t D ，()4，t E ，且()1=⋅O M d ，直接写出t 的值.13.顺次连接平面直角坐标系xOy 中，任意的三个点P ，Q ，G ．如果∠PQG =90°，那么称∠PQG 为“黄金角”已知：点A （0,3），B （2,3），C （3,4），D （4,3）.（1）在A ，B ，C ，D 四个点中能够围成“黄金角”的点是 ;（2）当()P 时，直线3y kx =+ (0)k ≠与以OP 为直径的圆交于点Q （点Q 与点O ，P 不重合），当∠OQP 是“黄金角”时，求k 的取值范围;（3）当(),0P t时，以OP为直径的圆与△BCD的任一边交于点Q，当∠OQP是“黄金角”时，求t的取值范围.参考答案1（2019.1+++昌平+++初三上+++期末）（1）2或（2）①过程略，答案为115（3）6-＜m＜42（2019.1+++丰台+++初三上+++期末） （1） ①D 、F②若直线EF 上存在点T （m ，n ）是⊙O 的“等径点” 则点T 满足02OT ≤≤如图，以O 为圆心，OF 为半径作圆，设该圆与直线EF 的另一个交点为A 在Rt △EOF中，2OE OF == ∴∠EFO=60° ∵OA=OF ∴△AFO 为等边三角形 ∴过A 作AB ⊥x 轴于B ∴FB=OB=1 ∴21m -≤≤- （2）2r ≥3（2019.1+++海淀+++初三上+++期末） （1）图1中点C 的坐标为() 13 -，（2）改变图1中的点A 的位置，其余条件不变，则点C 的纵坐标不变，它的值为3（3）①判断：结论“点C 落在x 轴上，则点D 落在第一象限内．”错误 反例如图所示：②34t <≤4（2019.1+++怀柔+++初三上+++期末）（1）∵A （1，0），AB =3 ∴B （1，3）或B （1，-3） ∵12QA QB =∴Q （1，1）或Q （1，-1） （2）点A （1，0）关于直线y = x 的对称点为A′（0，1） ∴Q A =Q A′ ∴QB A Q '21= （3）-4≤t ≤45（2019.1+++通州+++初三上+++期末） （1） P 1，P 2．②当0b >时，设直线y b =+与以2为半径的⊙O 相切于点C ，与y 轴交于点E ，与x 轴交于点F∴E （0，b ），F（3，0），OC ⊥EF∴3tan OF FEO OE b ∠=== ∴30FEO ∠=︒∵1sin 2OC FEO OE ∠== ∴212b = ∴4b =当0b <时，由对称性可知：4b =- ∴b 的取值范围是44b -≤≤ （2）∴m 的取值范围为22m -<≤6（2019.1+++燕山+++初三上+++期末） (1) 答案不唯一，如：(2，3)，(3，2)(2) ∵抛物线2y x bx c =++的对称轴为直线1x = ∴121b-=⨯， 解得2b =-， ∵抛物线2y x bx c =++与y 轴交于点C (0，1-) ∴1c =-∴抛物线的解析式为221y x x =-- 由关联点定义得，点A ，B 关于直线y x =对称 又∵直线AB 与x 轴交于点D (1，0) ∴直线AB 的解析式为1y x =-+ 代入抛物线的解析式221y x x =--中，并整理，得220x x --= 解得，11x =-，22x = ∴A ，B 两点坐标为(－1，2)和(2，－1) (3) m 的取值范围为11m -≤≤+7（2019.1+++房山+++初三上+++期末） （1）C 、D （2）如图，设3y x =-易知M （0,2） ∴m≥0易知N 的纵坐标为1，∴ ∴（3）当直线y x b =+当直线y x b =+∴2+332－≤b8（2019.1+++门头沟+++初三上+++期末） （1）① P1 （2）P2② 由题意可知⊙O 的“关联点”所围成的区域是以O 为圆心，半径分别为1和2的圆环内部（包含2，不包含1） 设：射线y =-（x≥0）与该圆环交于点P1和点P2，由题意易得P1，0），P20）＜（2）-＜3-， 1＜n≤3.9（2019.1+++朝阳+++初三上+++期末） （1）①（1,0）②如图，点A 和线段CD 的中间点所组成的图形是线段''D C ，题意可得，'C 为AC 的中点，'D 为AD 的中点，可求点横坐标'C的横坐标为0，点'D 的横坐标为23，所以230≤≤m（2）点B 的横坐标的取值问题为023≤≤-n 或31≤≤n10（2019.1+++西城+++初三上+++期末） （1）32P P ，（2）由C （-3.0），D （0,3）E （3,0）可得直线CD ：y=x+3 直线DE ：y=-x+3由⎩⎨⎧+=+=382x y x y 可得直线l 与直线CD 的交点横坐标为x=-5由⎩⎨⎧+-=+=382x y x y 可得直线l 与直线DE 的交点横坐标35-=x5-<∴P x 或35->p x（3）213-<<-t 或2721-<<+t11（2019.1+++大兴+++初三上+++期末） （1）A , D（2）如图：过P 点作P A ⊥y 轴于点A ，PB ⊥l 于B ,连∵点B 为直线y x =上一点 ∴设B 点坐标为（x , 设直线y x =与x 轴夹角为α t a n 3α=∴直线 l 与x 轴的夹角为30° ∴∠AOB =60° 又∴OP 平分∠AOB ∴∠AOP =30° 又∵AP =1 ∴P 点坐标为( 同理,当P 点在第三象限时，P 点坐标为(1,- （3）24810Q Q -x x ≤≤≤≤+12（2019.1+++东城+++初三上+++期末）无答案 28.解：（1）∵A （﹣1,2），B （1,2） ∴H （0,2）∴d （M -O ）＝1…………………………………………………2分 (2)∴0k <≤………………………………………………4分12330,7t t t ===（）分13（2019.1+++平谷+++初三上+++期末）无答案。
北京市各区县2019年初三数学期末试题分类汇编：代数综合
2019年1月期末试题分类汇编——代数综合（2018·石景山1月期末·24）如图，二次函数)0(21≠++=a c bx ax y 的图象与一次函数b x y +=2的图象交于)10(，A ，B 两点. C ）（0,1为二次函数图象的顶点. （1）求二次函数)0(21≠++=a c bx ax y 的解析式；（2）定义函数f ：“当自变量x 任取一值时，x 对应的函数值分别为y 1或y 2，若y 1≠y 2，函数f 的函数值等于y 1、y 2中的较小值;若y 1=y 2，函数f 的函数值等于y 1（或y 2）.” 当直线213-=kx y （k >0）与函数f 的图象只有两个交点时，求k 的值.24. 解：（1）设抛物线解析式为2)1(-=x a y ，由抛物线过点)10(，A ，可得122+-=x x y …………2分 （2）可得)4,3(B直线21-=kx y （k >0）与函数f 的图象只有两个交点共有三种情况： ①直线21-=kx y 与直线AB ：1+=x y 平行，此时1=k ；…3分②直线21-=kx y 过点)4,3(B ，此时23=k ； ………………4分③直线21-=kx y 与二次函数122+-=x x y 的图象只有一个交点， 此时有⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=.12212x x y kx y ， 得21122-=+-kx x x , 由,0=∆可得)(26,2-621舍--==k k .…………5分 综上：1=k ，23=k ，2-6=k （2018·西城1月期末·8）若抛物线()2231y x m m =-+-（m 是常数）与直线1y x =+有两个交点，且这两个交点分别在抛物线对称轴的两侧，则m 的取值范围是A ．2m <B ．2m >C ．94m <D ．94m >23．已知：二次函数2314y x mx m =-++（m 为常数）．（1）若这个二次函数的图象与x 轴只有一个公共点A ，且A 点在x 轴的正半轴上．①求m 的值；②四边形AOBC 是正方形，且点B 在y 轴的负半轴上，现将这个二次函数的图象平移，使平移后的函数图象恰好经过B ，C 两点，求平移后的图象对应的函数解析式；（2） 当0≤x ≤2时，求函数2314y x mx m =-++的最小值（用含m 的代数式表示）．23．解：（1）①∵ 二次函数2314y x mx m =-++的图象与x轴只有一个公共点A ，∴ ∆2341(1)04m m =-⨯⨯+=．整理，得2340m m --=． 解得，14m =，21m =-．又点A 在x 轴的正半轴上， ∴ 0m >．∴ m=4．②由①得点A 的坐标为(20)，．∵ 四边形AOBC 是正方形，点B 在y 轴的负半轴上， ∴ 点B 的坐标为(02)-，，点C 的坐标为(22)-，． .................. 3分 设平移后的图象对应的函数解析式为2y x bx c =++(b ，c 为常数)． ∴ 2,42 2.c b c =-⎧⎨++=-⎩解得2,2.b c =-⎧⎨=-⎩∴平移后的图象对应的函数解析式为222y x x =--． ................. 4分（２）函数2314y x mx m =-++的图象是顶点为23(,1)244m m m -++，且开口向上的抛物线．分三种情况： (ⅰ)当02m <，即0m <时，函数在0≤x ≤2内y 随x 的增大而增大，此时函数的最小值为314m +；(ⅱ)当0≤2m≤2，即0≤m ≤4时，函数的最小值为23144m m -++； (ⅲ)当22m >，即4m >时，函数在0≤x ≤2内y 随x 的增大而减小，此时函数的最小值为554m -+．综上，当0m <时，函数2314y x mx m =-++的最小值为314m +；当04m ≤≤时，函数2314y x mx m =-++的最小值为23144m m -++； 当4m >时，函数2314y x mx m =-++的最小值为554m -+． ....... 7分（2018·海淀1月期末·23）已知抛物线2(1)21y m x mx m =--++（1m >）． （1）求抛物线与x 轴的交点坐标；（2）若抛物线与x 轴的两个交点之间的距离为2，求m 的值；（3）若一次函数y kx k =-的图象与抛物线始终只有一个公共点，求一次函数的解析式.23. （本小题满分7分）解：（1）令0y =，则2(1)210m x mx m --++=.∵2(2)4(1)(1)4m m m ∆=---+=， 解方程，得 222(1)m x m ±=-.∴11x =，211m x m +=-. ∴抛物线与x 轴的交点坐标为（1，0），（11m m +-，0）. …………………2分 （2） ∵1m >， ∴111m m +>-. 由题意可知，1121m m +-=-. …………………………………………………3分解得，2m =.经检验2m =是方程的解且符合题意.∴2m =.………………………………………………………………………4分 （3）∵一次函数y kx k =-的图象与抛物线始终只有一个公共点，∴方程2(1)21kx k m x mx m -=--++有两个相等的实数根. 整理该方程，得 2(1)(2)10m x m k x m k --++++=，∴222(2)4(1)(1)44(2)0m k m m k k k k ∆=+--++=++=+=， 解得 122k k ==-. …………………………………………………………6分 ∴一次函数的解析式为22y x =-+.………………………………………7分（2018·东城1月期末·23）已知二次函数2()2()y a x m a x m =---（a, m 为常数，且a ≠0）.（1）求证：不论a 与m 为何值，该函数的图象与x 轴总有两个公共点；（2）设该函数的图象的顶点为C ，与x 轴交于A ，B 两点，当△ABC 是等腰直角三角形时，求a 的值． 23. 解：（1）证明：2()2()y a x m a x m =---22(22)2.ax am a x am am =-+++ ……………………………..1分22=(22)4(2)a am a a am am ≠∆++-当0时， 24.a = …………………………..2分∵0,a ≠∴240.a >∴不论a 与m 为何值，该函数的图象与x 轴总有两个公共点．…………..3分 （2）2()2()y a x m a x m =---2=(1).a x m a ---(1,).C m a ∴+-…………………………4分 当y=0时，解得x 1 = m ，x 2 = m + 2.∴AB=（m + 2）- m = 2. ………………………………..5分 当△ABC 是等腰直角三角形时，可求出AB 边上高等于1．∴ 1a -=．∴ 1a =±． ……………………………………………..7分（2018·昌平1月期末·24）已知二次函数y = x 2– kx + k – 1（ k ＞2）. （1）求证：抛物线y = x 2– kx + k - 1（ k ＞2）与x 轴必有两个交点；（2）抛物线与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C,若tan 3OAC ∠=，求抛物线的表达式；（3）以（2）中的抛物线上一点P （m,n ）为圆心，1为半径作圆，直接写出：当m 取何值时，x 轴与P 相离、相切、相交.24．（1）证明：∵()()2411k k ∆=--⨯⨯-()22k =-，……………………… 1分 又∵2k >，∴20k ->.∴2(2)0k ->即0∆>.∴抛物线y = x 2– kx + k - 1与x 轴必有两个交点. ………………………………… 2分(2) 解：∵抛物线y = x 2– kx + k - 1与x 轴交于A 、B 两点，∴令0y =，有210x kx k -+-=.解得：11x k x =-=或. ……………………………………3分 ∵2k >，点A 在点B 的左侧， ∴()()1,0,1,0A B k -. ∵抛物线与y 轴交于点C,∴()0,1C k -. ……………………………………… 4分∵在Rt AOC ∆中, tan 3OAC ∠=,∴tan 311OAC OC k OA ∠=-==, 解得4k =. ∴抛物线的表达式为243y x x =-+. ………………………………………………… 5分 （3）解：当2m <2m >+x 轴与P 相离. ………………………6分当2m =2m =或2m =x 轴与P 相切. ……………7分当22m -<<或22m <<+x 轴与P 相交. ……………………8分（2018·门头沟1月期末·23）已知抛物线12++=bx x y 的顶点在x 轴上，且与y 轴交于A 点. 直线m kx y +=经过A 、B 两点，点B 的坐标为（3，4）.（1）求抛物线的解析式，并判断点B 是否在抛物线上；（2）如果点B 在抛物线上，P 为线段AB 上的一个动点（点P 与A 、B 不重合），过P 作x 轴的垂线与这个．．二次函数的图象交于点E ，设线段PE 的长为h ，点P 的横坐标为x.当x 为何值时，h 取得最大值，求出这时的h 值.23.（1)∵抛物线12++=bx x y 的顶点在x 轴上，∴22)1(1±=++=x bx x y .∴b=±2 . …………………1分 ∴抛物线的解析式为122+-=x x y 或122++=x x y .…2分 将B （3，4）代入122+-=x x y ，左=右， ∴点B 在抛物线122+-=x x y 上.将B （3，4）代入122++=x x y ，左≠右，∴点B 不在抛物线122++=x x y 上.………………………3分（2）∵A 点坐标为（0 ，1），点B 坐标为（3，4），直线m kx y +=过A 、B 两点∴⎩⎨⎧+==mk m341.∴⎩⎨⎧==11k m ………………………4分∴1+=x y . ∵点B 在抛物线122+-=x x y 上. 设P 、E 两点的纵坐标分别为y P 和y E . ∴ PE=h=y P －y E=(x+1)－(x 2－2x+1)=－x 2+3x .……………………5分 即h=x 2+3x (0＜x ＜3). ∴当232=-=a b x 时，h 有最大值 …………………6分 最大值为49233)23(2=⨯+-=y …………………7分（2018·延庆1月期末·23） 在平面直角坐标系中，抛物线22133222m y x mx m m -=-++-+与x 轴的交点分别为原点O 和点A ，点B （4，n ）在这条抛物线上． （1）求B 点的坐标；（2）将此抛物线的图象向上平移72个单位，求平移后的图象的解析式； （3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象. 请你结合这个新的图象回答：当直线12y x b =+与此图象有两个公共点时，b 的 取值范围.23.解：(1)抛物线22133222m y x mx m m -=-++-+过原点 ∴232m m -+=0∴121,2m m == ………………………………1分 ∵m ≠1∴22m = ………………………………2分 ∴2132y x x =-+ ………………………………3分 ∵点B （4，n ）在这条抛物线上 ∴n=4∴B （4，4） ………………………………4分 （2）将此抛物线的图象向上平移72个单位，平移后的图象的解析式； 217322y x x =-++………………………………5分 （3）b 的取值范围是： 7122b -<< 或 558b > ………………7分。
北京市朝阳区2018-2019学年初三九年级上学期数学期末试题
北京市朝阳区2018～2019学年度第一学期期末检测九年级数学试卷参考答案及评分标准2019.1一、选择题（本题共16分，每小题2分）二、填空题（本题共16分，每小题2分）三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27，28题，每小题7分） 17．（1）证明：∵∠DBC ＝∠A ，∠BCD =∠ACB ，∴△BDC ∽△ABC ． ………………………………………………………………2分（2）解：∵△BDC ∽△ABC ， ∴BC DCAC BC=． ………………………………………………………………4分 ∵BC ＝4，AC ＝8，∴CD =2． ………………………………………………………………5分18．（1）解：∵点A （-2，1）在反比例函数my x=的图象上， ∴212m =-⨯=-．……………………………………………………2分∴反比例函数的表达式为2y x=-． ∵点B （1，n ）在反比例函数2y x=-的图象上，∴221n -==-． …………………………………………………………………………4分 （2）2x <-或01x <<． ……………………………………………………………………5分19．（1）0.7； ………………………………………………………………………………………………2分 （2）解：40000.50.7400030.35000⨯⨯+⨯⨯=． ……………………………………………4分答：该商场每天大致需要支出5000元奖品费用．（3）36． ……………………………………………………………………………………5分20．解：（1）由题意，得△22(21)4(1)450k k k =+--=+>．……………………………………2分解得54k >-． ……………………………………………………………………………3分（2）∵k 为负整数，∴1k =-． ……………………………………………………………………………4分则方程为20x x -=．解得10x =，21x =． ………………………………………………………………5分21．解：如图，过点O 作OC ⊥AB ，交AB 于点C ，交⊙O 于点D ，连接OA ．…………………1分由题意可知，OA =OD =5，CD =8．……………………………2分 ∴OC =3．∴AC4==．………………………4分∴AB =2AC =8． …………………………………………5分答：这个孔道的直径为8mm ．22．解：（1）如图所示；……………1分（2）该图象可能为抛物线，猜想该函数为二次函数．…………………………………………………2分 ∵图象经过原点，∴设二次函数的表达式为()20y ax bx x =+≥．选取（20,1）和（10,0.3）代入表达式，得400201,100100.3.a b a b +=⎧⎨+=⎩解得1,5001.100a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴二次函数的表达式为()2110500100y x x x =+≥．………………………………………………3分代入各点检验，只有（25,1.6）略有误差，其它点均满足所求表达式．…………………………4分（3）∵当x =100时，y =21<40，∴汽车已超速行驶． ………………………………………………………………………………5分23．（1）答：CD 与⊙O 相切． ……………………………1分证明：如图1，连接OC ．∵ FD 是CE 的垂直平分线，∴ DC =DE ． ………………………………2分∴ ∠E =∠DCE ．∵ OA =OC ，∴ ∠A =∠OCA ．又∵在Rt △ABE 中，∠B ＝90°，∴ ∠A +∠E =90°．∴∠OCA +∠DCE ＝90°．∴ OC ⊥CD ．………………………………3分∴ CD 与⊙O 相切．（2）解：如图2，连接BC ．∵ AB 是⊙O 直径，∴ ∠ACB =90°． …………………………4分∴ △ACB ∽△ABE ． ……………………5分∴ AC AB AB AE =． ∵ AC ·AE ＝12，∴ 212AB =．∴ AB =∴ OA = ……………………………………………………………………………6分 24．解：（1）∵ 当x =2时，2210x x +-= -2 <0，当x =3时，2210x x +-= 5 >0， ……………………………………………………2分∴方程另一个根在2和3之间． ……………………………………………………3分（2）∵ 方程220x x c ++=有一个根在0和1之间， ∴0,120c c >⎧⎨++<⎩或0,120.c c <⎧⎨++>⎩ ………………………………………………5分解得30c -<<． ………………………………………………6分25．（1）补全图形如图所示；…………………………………………………………………………1分（2）证明：由旋转可得∠BPN =∠CPD ．……………………………………………………………2分 ∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BCD =90°．∴∠PCD +∠BCP =90°．图1 图2∵BP ⊥MC ，∴∠CPB =90°．∴∠PBC +∠PCB =90°．∴∠PBC =∠PCD ．∴△PBN ∽△PCD ．………………………………3分（3）答：BM =BN ．………………………………4分证明：∵BP ⊥CM ，∠MBC =90°，∴∠MBP =∠MCB ．∴△MPB ∽△BPC ． ∴BM PB BC PC=．.………………………………………………………………………………………5分 由（2）可知△PBN ∽△PCD ． ∴PB BN PC CD=． ∴BM BN BC CD =． ∵BC =CD ，∴BM =BN ．……………………………………………………………………………………………6分26．（1）如图所示；………………………………………………………………………………1分（2）小于，大于； ………………………………………………3分（3）证明：如图，BM 与⊙O 相交于点C ，连接AC ．…………4分∵∠ACB =∠M +∠A ，∴∠ACB ＞∠M ．………………………………………………5分（4）答：当过点F ，H 的圆与DE 相切时，切点即为所求的点P ．…………………………………6分27．（1）解：当1a =时，抛物线为22y x x =--．∴点C 的坐标为（0，-2）．………………………………………………………………………1分令220x x --=．解得11x =-， 22x =．∵点A 在点B 左侧，∴点A ，B 的坐标分别为（-1，0），（2，0）．……………………………………………………………3分（2）①若抛物线开口向上，如图1，抛物线经过点A ，B ，此时a 的值最小，可求得a =1，所以1a ≥．…………………5分图1图2 ②若抛物线开口向下， 如图2，当点B 为抛物线的顶点时，抛物线与x 轴只有一个公共点，可求得12a =-， 所以a ＜12-． ………………………………………………………………………………7分 综上所述，a 的取值范围为1a ≥或12a <-． 28．（1）①（1，0）； ……………………………………………………………………………………2分②如图，点A 和线段CD 的中间点所组成的图形是线段C ’D ’，由题意可知，C ’为AC 的中点，D ’为AD 的中点．可求点C ’的横坐标为0，点D ’的横坐标为32． 所以302m ≤≤．……………………………5分 （2）点B 的横坐标的取值范围为302n -≤≤或13n ≤≤．………………………7分说明：各解答题的其他正确解法请参照以上标准给分.祝各位老师寒假愉快！。
2018-2019学年北京市西城区2019届初三上学期期末考试数学试题(含答案)
ECB2019 年北京市西城区初三期末数学试卷数 学 ................ 2019.1一、选择题(本题共 16 分,每小题 2 分）第 1—8 题均有四个选项,符合题意的选项只．有．一个． 1. 抛物线 y = 3(x -1）2 + 5 的顶点坐标是A ．(3，5） B ． （1，5) C ．（3,1) D ．(-1,5)2. 如果4x =3y ,那么下列结论正确的是A ． x =y B ． x =y C ． x =4 D ．x = 4, y 3 44 3y 33. 如图，圆的两条弦 AB ，CD 相交于点 E ，且AD = C B ，∠A =40︒，则∠CEB 的度数为 AA ． 50︒B ．80︒ DC ．70︒ D ．90︒ 4. 下列关于二次函数 y = 2x 2 的说法正确的是A . 它的图象经过点（-1，-2）B . 它的图象的对称轴是直线x = 2C . 当x < 0 时，y 随 x 的增大而减小D . 当x = 0 时，y 有最大值为 05. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD ⊥BC 于点 D ．若 BC =24，cos B = 12，则 AD 的长为A13 A ．12 B ．10 BDCC ．6D ．5FDOB6. 如图，△ABC 的内切圆O 与 AB ，BC ,CA 分别相切于点D ，E ，F ，且 AD = 2， BC = 5 ，则△ABC 的周长为 AA ．16B ．14C ．12D ．10CE7. 下表是小红填写的实践活动报告的部分内容：题目测量铁塔顶端到地面的高度FF测量目标示意图ADAD αHβB C EBCE相关数据 CD = 10m ，=45︒, =50︒设铁塔顶端到地面的高度FE 为x m ，根据以上条件，可以列出的方程为A ． x = （x -10) tan 50︒B ． x = （x -10) cos50︒C ． x -10 = x tan 50︒D ．x = （x +10)sin 50︒ 8. 抛物线 y = ax 2 + bx + c 经过点(-2，0），且对称轴为直线x = 1，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论: ① ac > 0 ；②16a + 4b + c = 0 ；③若m > n > 0 ，则 x = 1+ m时的函数值大于x = 1 - n 时的函数值；④点(-在此抛物线上．其中正确结论的序号是c, 0) 一定2aA ．①②B ．②③C ．②④D ．③④D EAOByOxBA二、填空题(本题共 16 分，每小题 2 分）9.如图所示的网格是正方形网格，点 A ，O ，B 都在格点上，tan ∠AOB 的值为 ．10. 请写出一个开口向下，且与 y 轴的交点坐标为(0, 2） 的抛物线的表达式： ．11. 如图,在△ABC 中,点 D ,E 分别在 AB ，AC 上,且 DE ∥BC ．若AD = 2， AB = 3 ， DE = 4 ，则BC 的长为 ．ABC12. 草坪上的自动喷水装置的旋转角为 200°,且它的喷灌区域是一个扇形．若它能喷灌的扇形草坪面积为5 平方米，则这个扇形的半径是米．13. 如图，抛物线 y = ax 2 + bx 与直线 y = mx + n 相交于点 A (-3, -6） ，B (1,-2) ，则关于x 的方程ax 2 + bx = mx + n 的解为 ．AOD14. 如图，舞台地面上有一段以点 O 为圆心的 AB ，某同学要站在 AB的中点 C 的位置上．于是他想：只要从点 OAB出发，沿着与弦AB 垂直的方向走到 AB 上， O就能找到 AB 的中点C ．老师肯定了他的想法．（1） 请按照这位同学的想法，在图中画出点 C ；（2） 这位同学确定点C 所用方法的依据是 ．15. 如图，矩形纸片 ABCD 中， AB > AD ，E ，F 分别是 AB ，DC 的中点，将矩形 ABCD 沿 EF 所在直线对折，若AEB 得到的两个小矩形都和矩形 ABCD 相似,则用等式表示 AB 与 AD 的数量关系为 FC．16. 如图，O 的半径是 5，点 A 在O 上．P 是O 所在平面内一点，且 AP = 2 ,过点 P 作直线 l ，使 l ⊥PA ． （1） 点O 到直线 l 距离的最大值为 ；（2） 若 M ,N 是直线 l 与O 的公共点,则当线段 MN 的长度最大时,OP 的长 为．三、解答题(本题共 68 分,第 17-22 题，每小题 5 分，第 23—26 题， 每小题 6 分，第 27，28 题，每小题 7 分）解答应写出文字说明、演 算步骤或证明过程．17．计算： 4sin 30︒ -2 cos 45︒ + tan 2 60︒ 。