(最新版)杭州外国语学校初升高数学攻略
浙江省杭州市西湖区杭州外国语校2024届中考猜题数学试卷含解析
浙江省杭州市西湖区杭州外国语校2024届中考猜题数学试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，第1个图形有4个小圆，第2个图形有8个小圆，第3个图形有14个小圆，…，依次规律，第7个图形的小圆个数是()A．56 B．58 C．63 D．722．下列条件中不能判定三角形全等的是( )A．两角和其中一角的对边对应相等B．三条边对应相等C．两边和它们的夹角对应相等D．三个角对应相等3．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，∠ABC=90°，CA⊥x轴，点C在函数y=kx（x＞0）的图象上，若AB=2，则k的值为（）A．4 B．2C．2 D2 4．下列命题中，正确的是（）A．菱形的对角线相等B．平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形C．正方形的对角线不能相等D．正方形的对角线相等且互相垂直5．如图，矩形ABCD 中，12AB =，13BC =，以B 为圆心，BA 为半径画弧，交BC 于点E ，以D 为圆心，DA 为半径画弧，交BC 于点F ，则EF 的长为（ ）A ．3B ．4C ．92D ．56．如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的侧棱长和底面边长均为2，且侧棱AA 1⊥底面ABC ，其正（主）视图是边长为2的正方形，则此三棱柱侧（左）视图的面积为（ ）A ．3B ．23C ．22D ．47．如图，数轴上有A ，B ，C ，D 四个点，其中绝对值最小的数对应的点是 ( )A ．点AB ．点BC ．点CD ．点D8．在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=12，BC=9，D 是AB 的中点，G 是△ABC 的重心，如果以点D 为圆心DG 为半径的圆和以点C 为圆心半径为r 的圆相交，那么r 的取值范围是（ ） A ．r ＜5B ．r ＞5C ．r ＜10D ．5＜r ＜109．2014年我省财政收入比2013年增长8.9%，2015年比2014年增长9.5%，若2013年和2015年我省财政收入分别为a 亿元和b 亿元，则a 、b 之间满足的关系式为（ ） A ． B ．C ．D ．10．若等式（-5）□5=–1成立，则□内的运算符号为（ ） A ．+B ．–C ．×D ．÷二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．分解因式：x2y﹣4xy+4y＝_____．12．在函数中，自变量x的取值范围是．13．分解因式：m3–m=_____．14．将一张长方形纸片折叠成如图所示的形状，则∠ABC=_________．15．在△ABC中，点D在边BC上，BD=2CD，AB a=，AC b=，那么AD= ．16．函数y=213xx+-的自变量x的取值范围是_____．三、解答题（共8题，共72分）17．（8分）在“双十一”购物街中，某儿童品牌玩具专卖店购进了A B、两种玩具，其中A类玩具的金价比B玩具的进价每个多3元.经调查发现：用900元购进A类玩具的数量与用750元购进B类玩具的数量相同.求A B、的进价分别是每个多少元？该玩具店共购进A B、了两类玩具共100个，若玩具店将每个A类玩具定价为30元出售，每个B类玩具定价25元出售，且全部售出后所获得的利润不少于1080元，则该淘宝专卖店至少购进A类玩具多少个？18．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，O是AB上一点，以OA为半径的⊙O与BC相切于点D，与AB交于点E，连接ED并延长交AC的延长线于点F．（1）求证：AE=AF；（2）若DE=3，sin∠BDE=13，求AC的长．19．（8分）. 在一个不透明的布袋中装有三个小球，小球上分别标有数字﹣1、0、2，它们除了数字不同外，其他都完全相同．（1）随机地从布袋中摸出一个小球，则摸出的球为标有数字2的小球的概率为；（2）小丽先从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点M的横坐标．再将此球放回、搅匀，然后由小华再从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点M的纵坐标，请用树状图或表格列出点M 所有可能的坐标，并求出点M落在如图所示的正方形网格内（包括边界）的概率．20．（8分）如图1，B（2m，0），C（3m，0）是平面直角坐标系中两点，其中m为常数，且m＞0，E（0，n）为y 轴上一动点，以BC为边在x轴上方作矩形ABCD，使AB=2BC，画射线OA，把△ADC绕点C逆时针旋转90°得△A′D′C′，连接ED′，抛物线2y ax bx c=++（0a≠）过E，A′两点．（1）填空：∠AOB= °，用m表示点A′的坐标：A′（，）；（2）当抛物线的顶点为A′，抛物线与线段AB交于点P，且13BPAP=时，△D′OE与△ABC是否相似？说明理由；（3）若E与原点O重合，抛物线与射线OA的另一个交点为点M，过M作MN⊥y轴，垂足为N：①求a，b，m满足的关系式；②当m为定值，抛物线与四边形ABCD有公共点，线段MN的最大值为10，请你探究a的取值范围．21．（8分）某同学报名参加学校秋季运动会，有以下 5 个项目可供选择：径赛项目：100m、200m、1000m（分别用A1、A2、A3 表示）；田赛项目：跳远，跳高（分别用T1、T2 表示）．（1）该同学从 5 个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率P 为；（2）该同学从 5 个项目中任选两个，求恰好是一个径赛项目和一个田赛项目的概率P1，利用列表法或树状图加以说明；（3）该同学从 5 个项目中任选两个，则两个项目都是径赛项目的概率P2 为．22．（10分）计算：4cos30°+|312|﹣（12）﹣1+（π﹣2018）023．（12分）若两个不重合的二次函数图象关于y 轴对称，则称这两个二次函数为“关于y 轴对称的二次函数”. （1）请写出两个“关于y 轴对称的二次函数”；（2）已知两个二次函数21y ax bx c =++和22y mx nx p =++是“关于y 轴对称的二次函数”，求函数12y y +的顶点坐标（用含,,a b c 的式子表示）.24．某品牌手机去年每台的售价y （元）与月份x 之间满足函数关系：y ＝﹣50x+2600，去年的月销量p （万台）与月份x 之间成一次函数关系，其中1﹣6月份的销售情况如下表：（1）求p 关于x 的函数关系式；（2）求该品牌手机在去年哪个月的销售金额最大？最大是多少万元？（3）今年1月份该品牌手机的售价比去年12月份下降了m%，而销售量也比去年12月份下降了1.5m%．今年2月份，经销商决定对该手机以1月份价格的“八折”销售，这样2月份的销售量比今年1月份增加了1.5万台．若今年2月份这种品牌手机的销售额为6400万元，求m 的值．参考答案一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1、B 【解题分析】试题分析：第一个图形的小圆数量=1×2+2=4；第二个图形的小圆数量=2×3+2=8；第三个图形的小圆数量=3×4+2=14；则第n 个图形的小圆数量=n(n+1)+2个，则第七个图形的小圆数量=7×8+2=58个. 考点：规律题 2、D 【解题分析】解:A 、符合AAS ，能判定三角形全等； B 、符合SSS ，能判定三角形全等；； C 、符合SAS ，能判定三角形全等；D、满足AAA，没有相对应的判定方法，不能由此判定三角形全等；故选D．3、A【解题分析】【分析】作BD⊥AC于D，如图，先利用等腰直角三角形的性质得到AC=2AB=22，BD=AD=CD=2，再利用AC⊥x轴得到C（2，22），然后根据反比例函数图象上点的坐标特征计算k的值．【题目详解】作BD⊥AC于D，如图，∵△ABC为等腰直角三角形，∴AC=2AB=22，∴BD=AD=CD=2，∵AC⊥x轴，∴C（2，22），把C（2，22）代入y=kx得k=2×22=4，故选A．【题目点拨】本题考查了等腰直角三角形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数y=kx（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k是解题的关键.4、D【解题分析】根据菱形，平行四边形，正方形的性质定理判断即可．【题目详解】A.菱形的对角线不一定相等，A 错误；B.平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，B 错误；C. 正方形的对角线相等，C错误；D.正方形的对角线相等且互相垂直，D 正确； 故选：D ． 【题目点拨】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 5、B 【解题分析】连接DF ，在Rt DCF △中，利用勾股定理求出CF 的长度，则EF 的长度可求． 【题目详解】 连接DF ，∵四边形ABCD 是矩形∴12,13AB CD BE AD BC DF ====== 在Rt DCF △中，90C ∠=︒222213125CF DF CD ∴=--=13121EC BC BE =-=-= 514EF CF EC ∴=-=-=故选：B ． 【题目点拨】本题主要考查勾股定理，掌握勾股定理的内容是解题的关键． 6、B 【解题分析】分析：易得等边三角形的高，那么左视图的面积=等边三角形的高×侧棱长，把相关数值代入即可求解． 详解：∵三棱柱的底面为等边三角形，边长为2，作出等边三角形的高CD 后， ∴等边三角形的高223AC AD -=2×33=故选B ．点睛：本题主要考查的是由三视图判断几何体．解决本题的关键是得到求左视图的面积的等量关系，难点是得到侧面积的宽度． 7、B 【解题分析】试题分析：在数轴上，离原点越近则说明这个点所表示的数的绝对值越小，根据数轴可知本题中点B 所表示的数的绝对值最小．故选B ． 8、D 【解题分析】延长CD 交⊙D 于点E ，∵∠ACB=90°，AC=12，BC=9，∴AB=22AC BC +=15，∵D 是AB 中点，∴CD=115AB=22， ∵G 是△ABC 的重心，∴CG=2CD 3=5，DG=2.5，∴CE=CD+DE=CD+DF=10， ∵⊙C 与⊙D 相交，⊙C 的半径为r ， ∴ 510r <<， 故选D.【题目点拨】本题考查了三角形的重心的性质、直角三角形斜边中线等于斜边一半、两圆相交等，根据知求出CG 的长是解题的关键. 9、C 【解题分析】根据2013年我省财政收入和2014年我省财政收入比2013年增长8.9%，求出2014年我省财政收入，再根据出2015年比2014年增长9.5%，2015年我省财政收为b 亿元，即可得出a 、b 之间的关系式． 【题目详解】∵2013年我省财政收入为a 亿元，2014年我省财政收入比2013年增长8.9%， ∴2014年我省财政收入为a （1+8.9%）亿元，∵2015年比2014年增长9.5%，2015年我省财政收为b 亿元， ∴2015年我省财政收为b=a （1+8.9%）（1+9.5%）； 故选C ． 【题目点拨】此题考查了列代数式，关键是根据题意求出2014年我省财政的收入，是一道基础题． 10、D 【解题分析】根据有理数的除法可以解答本题． 【题目详解】解：∵（﹣5）÷5=﹣1， ∴等式（﹣5）□5=﹣1成立，则□内的运算符号为÷， 故选D ． 【题目点拨】考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数的混合运算的计算方法．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11、y (x -2)2 【解题分析】先提取公因式y ，再根据完全平方公式分解即可得. 【题目详解】原式=2(44)y x x -+=2(2)y x -， 故答案为2(2)y x -． 12、。
2023-2024学年浙江省杭州外国语学校高二下学期期中数学试题
2023-2024学年浙江省杭州外国语学校高二下学期期中数学试题1.投掷一枚质地均匀的骰子两次，记{两次的点数均为偶数}，{两次的点数之和为6}，则（）A．B．C．D．2.已知x，y的对应值如下表所示：若y与x线性相关，且求得的回归直线方程为，则（）x12914y2720mA．30B．31C．32D．333.在古典名著《红楼梦》中有一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉六种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干接连下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，最后还需要加入精心熬制的鸡汤，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有（）种A．72B．36C．12D．64.深受广大球迷喜爱的NBA某队在对球员的使用上总是进行数据分析，根据以往的数据统计，甲球员能够胜任大前锋、小前锋、组织后卫以及得分后卫四个位置，且出场率分别为0.2，0.5，0.2，0.1，当甲球员担当大前锋、小前锋、组织后卫以及得分后卫时，球队输球的概率依次为0.4，0.2，0.6，0.2.当甲球员参加比赛时，该球队某场比赛不输球的概率为（）A．0.3B．0.32C．0.68D．0.75.除以15的余数是（）A．9B．8C．3D．26.将5名医生分配到三个社区协助开展社区老年人体检活动，每个社区至少1人，则不同的分配方法有（）A．50B．150C．240D．3007.圆周上有10个等分点，以这10个等分点的4个点为顶点构成四边形，其中梯形的个数为（）A．10B．20C．40D．608.来自某高中三个班级的60个学生参加某大学的三位一体面试，其中1班10人，2班20人，3班30人，面试时每次都从尚未面试的学生中随机抽一位，面试完毕以后再选择下一位面试，则1班的所有学生先于其他两个班完成面试的概率的是（）A．B．C．D．9.已知随机变量服从正态分布（参考数据：若，则），则（）A．的方差为B．C．D．10.为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是（）A．某学生从中选2门课程学习，共有15种选法B．课程“乐”“射”排在相邻的两周，共有240种排法C．课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，共有144种排法D．课程“礼”不排在第一周，课程“数”不排在最后一周，共有480种排法11.以石墨烯电池、量子计算、AI等颠覆性技术为引领的前沿趋势，正在或将重塑世界工业的发展模式，对人类生产力的创新提升意义重大，我国某公司为了抢抓机遇，成立了A、B、C三个科研小组针对某技术难题同时进行科研攻关，攻克技术难题的小组会受到奖励．已知A、B、C三个小组攻克该技术难题的概率分别为，，，且三个小组各自独立进行科研攻关．下列说法正确的（）A．三个小组都受到奖励的概率是B．只有A小组受到奖励的概率是C．只有C小组受到奖励的概率是D．受到奖励的小组数的期望值是12.的展开式中，项的系数为______.（用数字作答）13.已知某次数学期末试卷中有8道4选1的单选题，学生小王能完整做对其中5道题，在剩下的3道题中，有2道题有思路，还有1道完全没有思路，有思路的题做对的概率为，没有思路的题只好从4个选项中随机选一个答案．小王从这8题中任选1题，则他做对的概率为___________．14.从中随机抽取三个各不相同的数字，其样本方差的概率________.15.已知的展开式中，所有二项式系数的和为32.(1)求n的值；(2)若展开式中的系数为80，求a的值.16.为建设“书香校园”，学校图书馆对所有学生开放图书借阅，可借阅的图书分为“期刊杂志”与“文献书籍”两类.已知该校小明同学的图书借阅规律如下：第一次随机选择一类图书借阅，若前一次选择借阅“期刊杂志”，则下次也选择借阅“期刊杂志”的概率为，若前一次选择借阅“文献书籍”，则下次选择借阅“期刊杂志”的概率为.(1)设小明同学在两次借阅过程中借阅“期刊杂志”的次数为X，求X的分布列与数学期望；(2)若小明同学第二次借阅“文献书籍”，试分析他第一次借哪类图书的可能性更大，并说明理由.17.在我校开展的文化节知识竞赛活动中，共有A、B、C三道必答题，答对A、B、C分别得10分，10分，20分，答错不得分.已知甲同学答对问题A、B、C的概率分别为，，，乙同学答对问题A、B、C的概率均为，甲、乙两位同学都回答了这三道题，且各题回答正确与否相互独立.(1)求甲同学至少有一道题不能答对的概率；(2)运用你学过的统计学知识判断，谁的得分能力更强.18.在实验室中，研究某种动物是否患有某种传染疾病，需要对其血液进行检验．现有份血液样本，有以下两种检验方式：一是逐份检验，则需要检验n次；二是混合检验，将其中k（且）份血液样本分别取样混合在一起检验，如果检验结果为阴性，这k份的血液全为阴性，因而这k份血液样本只要检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这k份究竟哪些为阳性，就需要对它们再次取样逐份检验，那么这k 份血液的检验次数共为次．假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的．且每份样本是阳性结果的概率为．(1)假设有5份血液样本，其中只有2份血液样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检测出来的概率；(2)假设有4份血液样本，现有以下两种方案：方案一：4个样本混合在一起检验；方案二：4个样本平均分为两组，分别混合在一起检验．若检验次数的期望值越小，则方案越优．现将该4份血液样本进行检验，试比较以上两个方案中哪个更优？19.某品牌女装专卖店设计摸球抽奖促销活动，每位顾客只用一个会员号登陆，每次消费都有一次随机摸球的机会．已知顾客第一次摸球抽中奖品的概率为；从第二次摸球开始，若前一次没抽中奖品，则这次抽中的概率为，若前一次抽中奖品，则这次抽中的概率为．记该顾客第n次摸球抽中奖品的概率为．(1)求的值，并探究数列的通项公式；(2)求该顾客第几次摸球抽中奖品的概率最大，请给出证明过程．。
中考高等数学必备的五大技巧
中考高等数学必备的五大技巧对于中考而言，高等数学并非直接的考查内容。
但掌握一些高等数学的思维和技巧，对于解决中考数学中的难题、拓展思维以及为未来的高中数学学习打下基础，都具有重要的意义。
以下为大家介绍中考高等数学必备的五大技巧：技巧一：函数思想函数是高等数学中的重要概念，在中考数学中也有广泛的应用。
函数思想就是将问题中的数量关系用函数关系表示出来，通过研究函数的性质来解决问题。
比如，在求解一些动点问题时，我们可以设出动点的坐标，根据条件建立函数关系式，然后利用函数的最值、单调性等性质来求解。
再如，在一些几何问题中，通过引入变量，将几何量之间的关系转化为函数关系，能够更清晰地分析问题。
例如，有一个矩形 ABCD，AB ＝ 6，BC ＝ 8，P 是 BC 边上的动点，设 BP ＝ x，APD 的面积为 y，求 y 与 x 之间的函数关系式。
我们可以先求出 APD 的面积表达式：S_{APD} ＝ S_{矩形 ABCD} S_{ABP} S_{PCD}S_{矩形 ABCD} ＝ 6×8 ＝ 48S_{ABP} ＝ 1/2×6×x ＝ 3xS_{PCD} ＝ 1/2×6×（8 x) ＝ 3(8 x)所以，y ＝ 48 3x 3(8 x) ＝ 24通过建立函数关系式，我们成功地解决了这个动点问题。
要熟练运用函数思想，需要同学们对常见函数的性质有清晰的认识，并且能够灵活地建立函数关系式。
技巧二：方程思想方程是解决数学问题的重要工具，在高等数学和中考数学中都占据着重要地位。
方程思想就是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为方程（组），然后通过解方程（组）来使问题获解。
比如，在一些应用题中，通过设未知数，根据题目中的等量关系列出方程，可以快速找到解题的关键。
在几何问题中，也常常利用勾股定理、相似三角形的性质等建立方程。
例如，已知一个直角三角形的两条直角边分别为 3 和 4，求斜边上的高。
浙江省杭州外国语学校2025届数学九上开学达标检测模拟试题【含答案】
浙江省杭州外国语学校2025届数学九上开学达标检测模拟试题题号一二三四五总分得分A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）如图，点A 的坐标为（0，1），点B 是x 轴正半轴上的一动点，以AB 为边作等腰直角△ABC ，使∠BAC ＝90°，设点B 的横坐标为x ，则点C 的纵坐标y 与x 的函数解析式是（ ）A ．y ＝x B ．y ＝1﹣x C ．y ＝x +1D ．y ＝x ﹣12、（4分）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值（ ）A ．2B ．3C ．D．3、（4分）下列二次根式中是最简二次根式的是（ ）A BCD4、（4分）下列各组数中，能构成直角三角形三边长的是（ ）A ．4、5、6B ．5，12，23C ．6，8，11D ．1，15、（4分）如图，在△ABC 中，点D 、E 分别是边AB ，BC 的中点．若△DBE 的周长是6，则△ABC 的周长是（ ）A ．8B ．10C ．12D ．14x 2210x x m -+-=m 1-526、（4分）使分式有意义的x 的取值范围是（ ）A ．x ≥1B ．x ≤1C ．x ≠1D ．x ＞17、（4分）已知四边形ABCD 是平行四边形，再从①AB=BC ，②∠ABC=90°，③AC=BD ，④AC ⊥BD 四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD 是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（ ）A ．选①②B ．选②③C ．选①③D ．选②④8、（4分）下面计算正确的是（ ）A ．BCD二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）如图，平行四边形ABCD 的对角线互相垂直，要使ABCD 成为正方形，还需添加的一个条件是_____（只需添加一个即可）10、（4分）如图，在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，E 为BC 上一点，CE =5，F 为DE 的中点．若OF 的长为，则△CEF 的周长为______．11、（4分）在△ABC 中，AC=5，若BC 边上的高等于3，则BC 边的长为_____．12、（4分）已知 ，，则=______。
浙江省杭州市英特外国语学校2024届毕业升学考试模拟卷数学卷含解析
浙江省杭州市英特外国语学校2024届毕业升学考试模拟卷数学卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1．如图，AB 切⊙O 于点B ，OA ＝23，AB ＝3，弦BC ∥OA ，则劣弧BC 的弧长为（ ）A ．33πB ．32πC ．πD ．32π 2．如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AD ⊥BC 于D 点，且AC=5，CD=3，BD=4，则⊙O 的直径等于（ ）A ．5B ．C ．D ．73．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，它对我国古代后世的数学家产生了深远的影响，该书中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元，问有多少人？该物品价几何？设有x 人，物品价值y 元，则所列方程组正确的是( )A ．8374y x y x +=⎧⎨-=⎩B ．8374x y x y +=⎧⎨-=⎩C ．8374x y x y -=⎧⎨+=⎩D ．8374y x y x-=⎧⎨+=⎩ 4．已知(AC BC)ABC ∆<，用尺规作图的方法在BC 上确定一点P ，使PA PC BC +=，则符合要求的作图痕迹是（ ）A ．B ．C ．D ．5．某种超薄气球表面的厚度约为0.00000025mm ，这个数用科学记数法表示为（ ）A ．72.510-⨯B ．70.2510-⨯C ．62.510-⨯D ．52510-⨯6．如图，正方形ABCD 和正方形CEFG 中，点D 在CG 上，BC=1，CE=3，CH┴AF 与点H ，那么CH 的长是（ ）A ．223B ．5C ．322D ．3557．如图，AB 与⊙O 相切于点B ，OA=2，∠OAB=30°，弦BC ∥OA ，则劣弧BC 的长是（ ）A ．2πB ．3πC ．4πD ．6π 8．如图，在▱ABCD 中，对角线AC 的垂直平分线分别交AD 、BC 于点E 、F ，连接CE ，若△CED 的周长为6，则▱ABCD 的周长为（ ）A ．6B ．12C ．18D ．249．已知一个多边形的内角和是1080°，则这个多边形是（ ）A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形10．如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（）A．8 B．9 C．10 D．11二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11．如图，点A在反比例函数y=3x（x＞0）上，以OA为边作正方形OABC，边AB交y轴于点P，若PA：PB=1：2，则正方形OABC的面积=_____．12．如图，点A为函数y＝9x(x＞0)图象上一点，连接OA，交函数y＝1x(x＞0)的图象于点B，点C是x轴上一点，且AO＝AC，则△ABC的面积为______.13．计算：|-3|-1=__．14．已知函数y=|x2﹣x﹣2|，直线y=kx+4恰好与y=|x2﹣x﹣2|的图象只有三个交点，则k的值为_____．15．甲乙两人8次射击的成绩如图所示(单位：环)根据图中的信息判断，这8次射击中成绩比较稳定的是______(填“甲”或“乙”)16．若关于x 的分式方程2233x m x x -=--有增根，则m 的值为_____． 17．如果正比例函数3)y k x =-（的图像经过第一、三象限，那么k 的取值范围是 __． 三、解答题（共7小题，满分69分）18．（10分）已知，抛物线y ＝14x 2﹣x +34与x 轴分别交于A 、B 两点（A 点在B 点的左侧），交y 轴于点F ． （1）A 点坐标为 ；B 点坐标为 ；F 点坐标为 ；（2）如图1，C 为第一象限抛物线上一点，连接AC ，BF 交于点M ，若BM ＝FM ，在直线AC 下方的抛物线上是否存在点P ，使S △ACP ＝4，若存在，请求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由；（3）如图2，D 、E 是对称轴右侧第一象限抛物线上的两点，直线AD 、AE 分别交y 轴于M 、N 两点，若OM •ON ＝14，求证：直线DE 必经过一定点．19．（5分）如图，在平面直角坐标系中，圆M 经过原点O ，直线364y x =--与x 轴、y 轴分别相交于A ，B 两点．（1）求出A ，B 两点的坐标；（2）若有一抛物线的对称轴平行于y 轴且经过点M ，顶点C 在圆M 上，开口向下，且经过点B ，求此抛物线的函数解析式；（3）设（2）中的抛物线交轴于D 、E 两点，在抛物线上是否存在点P ，使得S △PDE =110S △ABC ？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．20．（8分）如图，在Rt △ABC 中，90ACB ∠=︒，过点C 的直线MN ∥AB ，D 为AB 边上一点，过点D 作DE ⊥BC ，交直线MN 于E ，垂足为F ，连接CD 、BE.求证：CE=AD ；当D 在AB 中点时，四边形BECD 是什么特殊四边形？=______时，四边形BECD是正方形.说明理由；若D为AB中点，则当A21．（10分）无锡市新区某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为250元，每桶水的进价是5元，规定销售单价不得高于12元/桶，也不得低于7元/桶，调查发现日均销售量p（桶）与销售单价x（元）的函数图象如图所示．（1）求日均销售量p（桶）与销售单价x（元）的函数关系；（2）若该经营部希望日均获利1350元，那么销售单价是多少？22．（10分）如图，已知二次函数y=ax2+2x+c的图象经过点C（0，3），与x轴分别交于点A，点B（3，0）．点P是直线BC上方的抛物线上一动点．求二次函数y=ax2+2x+c的表达式；连接PO，PC，并把△POC沿y轴翻折，得到四边形POP′C．若四边形POP′C为菱形，请求出此时点P的坐标；当点P运动到什么位置时，四边形ACPB的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ACPB的最大面积．23．（12分）如图，已知∠ABC=90°，AB=BC．直线l与以BC为直径的圆O相切于点C．点F是圆O上异于B、C 的动点，直线BF与l相交于点E，过点F作AF的垂线交直线BC于点D．如果BE=15，CE=9，求EF的长；证明：①△CDF∽△BAF；②CD=CE；探求动点F在什么位置时，相应的点D位于线段BC的延长线上，且使BC=3CD，请说明你的理由．24．（14分）在□ABCD，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF.求证：四边形BFDE是矩形；若CF＝3，BF＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB．参考答案一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1、A【解题分析】试题分析：连接OB，OC，∵AB为圆O的切线，∴∠ABO=90°，在Rt△ABO中，OA=3A=30°，∴3，∠AOB=60°，∵BC∥OA，∴∠OBC=∠AOB=60°，又OB=OC，∴△BOC为等边三角形，∴∠BOC=60°，则劣弧BC长为6033 1803ππ⨯=．故选A.考点: 1.切线的性质；2.含30度角的直角三角形；3.弧长的计算．2、A【解题分析】连接AO并延长到E，连接BE．设AE＝2R，则∠ABE＝90°，∠AEB＝∠ACB，∠ADC＝90°，利用勾股定理求得AD=，，再证明Rt△ABE∽Rt△ADC，得到，即2R＝=．【题目详解】解：如图，连接AO并延长到E，连接BE．设AE＝2R，则∠ABE＝90°，∠AEB＝∠ACB；∵AD⊥BC于D点，AC＝5，DC＝3，∴∠ADC＝90°，∴AD＝，∴在Rt△ABE与Rt△ADC中，∠ABE＝∠ADC＝90°，∠AEB＝∠ACB，∴Rt△ABE∽Rt△ADC，∴，即2R ＝ =； ∴⊙O 的直径等于． 故答案选：A.【题目点拨】本题主要考查了圆周角定理、勾股定理，解题的关键是掌握辅助线的作法.3、C【解题分析】根据题意相等关系：①8×人数-3=物品价值，②7×人数+4=物品价值，可列方程组：8374x y x y-=⎧⎨+=⎩， 故选C.点睛：本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系. 4、D【解题分析】试题分析：D 选项中作的是AB 的中垂线，∴PA=PB ，∵PB+PC=BC ，∴PA+PC=BC ．故选D ．考点：作图—复杂作图．5、A【解题分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为10n a -⨯，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【题目详解】 70.00000025 2.510-=⨯，故选：A ．【题目点拨】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为10n a -⨯，其中110a ≤<，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．6、D【解题分析】连接AC 、CF ，根据正方形性质求出AC 、CF ，∠ACD=∠GCF=45°，再求出∠ACF=90°，然后利用勾股定理列式求出AF ，最后由直角三角形面积的两种表示法即可求得CH 的长.【题目详解】如图，连接AC、CF，∵正方形ABCD和正方形CEFG中，BC=1，CE=3，∴AC=2，CF=32，∠ACD=∠GCF=45°，∴∠ACF=90°，由勾股定理得，AF=2222(2)(32)25AC CF+=+=，∵CH⊥AF，∴1122AC CF AF CH⋅=⋅，即112222522CH⨯=⨯⋅，∴CH=35 5.故选D.【题目点拨】本题考查了正方形的性质、勾股定理及直角三角形的面积，熟记各性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．7、B【解题分析】解：连接OB，OC．∵AB为圆O的切线，∴∠ABO=90°．在Rt△ABO中，OA=2，∠OAB=30°，∴OB=1，∠AOB=60°．∵BC∥OA，∴∠OBC=∠AOB=60°．又∵OB=OC，∴△BOC为等边三角形，∴∠BOC=60°，则劣弧BC的弧长为601180π⨯=13π．故选B．点睛：此题考查了切线的性质，含30度直角三角形的性质，以及弧长公式，熟练掌握切线的性质是解答本题的关键．8、B【解题分析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC=AB，AD=BC，∵AC的垂直平分线交AD于点E，∴AE=CE，∴△CDE的周长=DE+CE+DC=DE+AE+DC=AD+DC=6，∴▱ABCD的周长=2×6=12，故选B．9、D【解题分析】根据多边形的内角和=（n﹣2）•180°，列方程可求解.【题目详解】设所求多边形边数为n，∴（n﹣2）•180°＝1080°，解得n＝8.故选D.【题目点拨】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理.10、A【解题分析】分析：根据多边形的内角和公式及外角的特征计算．详解：多边形的外角和是360°，根据题意得：110°•（n-2）=3×360°解得n=1．故选A．点睛：本题主要考查了多边形内角和公式及外角的特征．求多边形的边数，可以转化为方程的问题来解决．二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11、1.【解题分析】根据题意作出合适的辅助线，然后根据正方形的性质和反比例函数的性质，相似三角形的判定和性质、勾股定理可以求得AB的长．【题目详解】解：由题意可得：OA=AB，设AP=a，则BP=2a，OA=3a，设点A的坐标为（m ，3m），作AE⊥x轴于点E．∵∠PAO=∠OEA=90°，∠POA+∠AOE=90°，∠AOE+∠OAE=90°，∴∠POA=∠OAE，∴△POA∽△OAE，∴APAO=OEEA，即3aa=3mm，解得：m=1或m=﹣1（舍去），∴点A的坐标为（1，3），∴OA=10，∴正方形OABC的面积=OA2=1．故答案为1．【题目点拨】本题考查了反比例函数图象点的坐标特征、正方形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．12、6.【解题分析】作辅助线，根据反比例函数关系式得：S△AOD=92, S△BOE=12，再证明△BOE∽△AOD，由性质得OB与OA的比，由同高两三角形面积的比等于对应底边的比可以得出结论．【题目详解】如图，分别作BE⊥x轴，AD⊥x轴，垂足分别为点E、D，∴BE∥AD，∴△BOE∽△AOD，∴22BOEAODS OBS OA，∵OA=AC，∴OD=DC，∴S△AOD=S△ADC=12S△AOC，∵点A为函数y=9x（x＞0）的图象上一点，∴S△AOD=92，同理得：S△BOE=12，∴112992BOEAODSS==，∴13 OBOA=，∴23 ABOA=，∴23ABCAOCSS=，∴2963ABCS⨯==，故答案为6.13、2【解题分析】根据有理数的加减混合运算法则计算.【题目详解】解：|﹣3|﹣1=3-1=2.故答案为2.【题目点拨】考查的是有理数的加减运算、乘除运算，掌握它们的运算法则是解题的关键.14、1﹣或﹣1【解题分析】直线y=kx+4与抛物线y=-x1+x+1（-1≤x≤1）相切时，直线y=kx+4与y=|x1-x-1|的图象恰好有三个公共点，即-x1+x+1=kx+4有相等的实数解，利用根的判别式的意义可求出此时k的值，另外当y=kx+4过（1，0）时，也满足条件．【题目详解】解：当y=0时，x1-x-1=0，解得x1=-1，x1=1，则抛物线y=x1-x-1与x轴的交点为（-1，0），（1，0），把抛物线y=x1-x-1图象x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，则翻折部分的抛物线解析式为y=-x1+x+1（-1≤x≤1），当直线y=kx+4与抛物线y=-x1+x+1（-1≤x≤1）相切时，直线y=kx+4与函数y=|x1-x-1|的图象恰好有三个公共点，即-x1+x+1=kx+4有相等的实数解，整理得x1+（k-1）x+1=0，△=（k-1）1-8=0，解得k=1±，所以k的值为或．当时，经检验，切点横坐标为＜-1不符合题意，舍去．当y=kx+4过（1，0）时，k=-1，也满足条件，故答案为或-1．【题目点拨】本题考查了二次函数与几何变换：翻折变化不改变图形的大小，故|a|不变，利用顶点式即可求得翻折后的二次函数解析式；也可利用绝对值的意义，直接写出自变量在-1≤x≤1上时的解析式。
2022-2023学年浙江省杭州市杭州外国语学校八年级上学期期中考数学试卷带讲解
【答案】3
【解析】
【分析】把 代入方程，求出 的值，把 的值代入不等式求出解集，确定出最大整数解；
详解】解：把 代入方程 得： ，
解得： ，
把 代入不等式得： ，
去括号得： ，
移项合并得： ，系数化为 得： ，
则关于 的不等式的最大整数解为 ．
18.如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都为1，每个小正方形的顶点叫格点，图中已给出了两个格点A，B，
（1）在格点上取一点C，画一个 ，使∠BAC＝45°，且 ．
（2）在格点上取一点D，画一个 ，且AD＝5， ，并利用网格画出∠DAB的平分线．
【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】
【分析】（1）取格点 ，使得∠BAC＝45°， 到 的距离为 ， 的长为4，则 ；
∴BE＝ BC＝5，
∵BD＝6，
∴DE＝BD﹣BE＝6﹣5＝1，
∴AD＝2．
故选：B．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，作辅助线构造直角三角形是解题的关键．
10.如图， 中， 于 平分 ，且 于 ，与 相交于点 是 边的中点，连接 与 相交于点 ．下列结论正确的有（）个．
【答案】
【解析】
【分析】根据勾股定理，结合正方形的面积，即可得到结论．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
在 中，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了勾股定理、正方形的面积，正确识别图形是解本题的关键．勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方．
12.关于x的方程组 的解满足 ，则m的取值范围是________．
浙江省杭州外国语学校2020-2021学年高一上学期期中数学试题(解析版)
2020学年杭外高一上期中一､选择题：每小题3分，共30分1. 已知集合{}1,2,3A =，集合{}2,4B =，定义A 、B 间的运算{|A B x x A ⊗=∈且}x B ∉，则A B ⊗=（ ） A. {}2,4 B. {}1,3C. {}1,2,4D. {}2【答案】B 【解析】 【分析】根据集合新定义可得结果.【详解】因为集合{}1,2,3A =，集合{}2,4B =， 所以A B ⊗={1,3}. 故选：B【点睛】本题考查了集合新定义，属于基础题. 2. 以下各角中，是第二象限角的为（ ） A. 83π-B. 76π-C.76π D.53π 【答案】B 【解析】 【分析】将各选项中的角表示为()202,k k Z απαπ+≤<∈，利用象限角的定义可得出合适的选项. 【详解】对于A 选项，84433πππ-=-，43π为第三象限角，则83π-为第三象限角；对于B 选项，75266πππ-=-，56π为第二象限角，则76π-为第二象限角；对于C 选项，76π为第三象限角；对于D 选项，53π为第四象限角. 故选：B.3. 函数()()ln 2f x x x=+-的定义域是（ ） A. [)1,2- B. ()0,2C. [)()1,00,2-⋃D. ()()1,00,2-⋃【答案】C 【解析】 【分析】根据函数解析式，列出不等式，求出使解析式有意义的自变量的范围，即可得出结果. 【详解】因为()()ln 2f x x x=+-， 所以10020x x x +≥⎧⎪≠⎨⎪->⎩，解得10x -≤<或02x <<.即函数()()ln 2f x x =+-的定义域是[)()1,00,2-⋃. 故选：C.4. 已知()f x 是R 上的偶函数，12,x x R ∈，则“120x x +=”是“()()12f x f x =”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性，以及充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由题意，函数()f x 是R 上的偶函数，若120x x +=，则12x x =-，则()()()122f x f x f x =-=成立，即充分性成立； 若()()12f x f x =，则12x x =-或12x x =，即必要性不一定成立， 所以“120x x +=”是“()()12f x f x =”的充分不必要条件. 故选：A.【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含．5. 函数()112xf x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的零点的大致区间为（ ）A. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 3,22⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】根据解析式，结合选项，计算函数值，再由零点存在定理，即可得出结果.【详解】因为()112xf x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，显然单调递增，所以()01001202f ⎛⎫=--=-<⎪⎝⎭，12111121022222f ⎛⎫⎛⎫=--=--< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()11111022f =--=-<，32331121022224f ⎛⎫⎛⎫=--=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数()112xf x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的零点的大致区间为31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：C.6. (0xy a a -=>且1a ≠）是增函数，那么函数1()log 1af x x =+的图象大致是（ ） A. B. C. D.【答案】D 【解析】 【分析】先根据函数(0xy a a -=>且1a ≠）的单调性判断底数a 的范围，得到函数()log a f x x =的图象，再利用图象平移得到函数1()log 1af x x =+的图象． 【详解】解；∵x y a -=可变形为1()xy a =，若它是增函数，则11a>，01a ∴<<，∴()log a f x x =为过点（1，0）的减函数，∴()log a f x x =-为过点（1，0）的增函数，∵1()log 1af x x =+图象为()log a f x x =-图象向左平移1个单位长度， ∴1()log 1a f x x =+图象为过（0，0）点的增函数，故选D ．【点睛】本题考查了指对数函数的单调性，以及图象的平移变化，做题时要认真观察． 7. 某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储存温度x （单位：℃）满足函数关系ekx by +=（ 2.718e =⋅⋅⋅为自然对数的底数，k 、b 为常数），若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是（ ）小时 A. 22 B. 23C. 24D. 33【答案】C 【解析】由题意可得：22b19248bk e e +⎧=⎨=⎩，解得：1119212b k e e ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴()333b111192248k kb eee +=⨯=⨯=∴该食品在33℃的保鲜时间是24小时 故选C8. 已知函数()()3,<1log ,1aa x a x f x x x ⎧--=⎨≥⎩的值域．．是R ，那么实数a 的取值范围是（ ） A. 31,2⎛⎤⎥⎝⎦B. ()1,+∞C. ()()0,11,3D. 3,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】A 【解析】 【分析】当0＜a ＜1时，当1≥x 时，log 0a y x =≤，则当1x <时，()3y a x a =--的值域必须要包含()0,+∞，，当1a >时，当1≥x 时，[)log 0a y x =∈+∞，，则当1x <时，()3y a x a =--的值域必须要包含()0-∞，,从而可得答案.【详解】由题意，()f x 的值域为R ， 当0＜a ＜1时，当1≥x 时，log 0a y x =≤，所以当1x <时，()3y a x a =--的值域必须要包含()0,+∞，当1x <时，()3y a x a =--单调递增，()332y a x a a =--<- 所以不满足()f x 的值域为R .当1a >时，当1≥x 时，[)log 0a y x =∈+∞，， 所以当1x <时，()3y a x a =--的值域必须要包含()0-∞，, 若3a =时，当1x <时，3y a =-=-，不满足()f x 的值域为R .若3a >时，当1x <时，()3y a x a =--单调递减，()332y a x a a =-->- 所以不满足()f x 的值域为R .若13a <<时，当1x <时，()3y a x a =--单调递增，()332y a x a a =--<- 要使得()f x 的值域为R ，则320a -≥，即32a ≤ 所以满足条件的a 的取值范围是：312a <≤， 故选：A ．【点睛】关键点睛：本题考查根据函数的值域求参数的范围，解答本题的关键是当0＜a ＜1时，当1≥x 时，log 0a y x =≤，则当1x <时，()3y a x a =--的值域必须要包含()0,+∞，，当1a >时，当1≥x 时，[)log 0a y x =∈+∞，，则当1x <时，()3y a x a =--的值域必须要包含()0-∞，，属于中档题. 9.已知0,1a b >>=，则下列不等式一定成立．．．．的是（ ） A. b a a b ≥ B. b a a b ≤C. 12aba b +>D. 1a b a b +<【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得01a <<，01b <<，结合指数函数的图象与性质可判断A 、B ；由指数函数的图象与性质结合基本不等式可判断C ；举出反例可判断D. 【详解】由题意01a <<，01b <<， 所以函数,x x y a y b ==均为单调递减函数.而函数,a b y x y x ==在()0+∞，上均为增函数. 对于A ，当a b <时，b a a a a b <<，故A 错误； 对于B ，当a b >时，b a a a a b >>，故B 错误；对于C ，由a a a >，bb b >，222a b ⎛+≤ ⎝⎭， 所以12a b +≥，12a ba b a b +>+≥，故C 正确；对于D ，取14a b ==，可得1a b a b +=>，故D 错误.故选：C .【点睛】关键点睛：本题主要考查利用指数函数和幂函数的单调性比较大小，解答本题的关键是由指数函数和幂函数的单调性可得，当a b <时，b a a a a b <<，当a b >时，b a a a a b >>，从而可得出答案，属于中档题.10. 设函数()()212131log 1313x xe e xf x x --=++++，则做得()()31f x f x ≤-成立的x 的取值范围是（ ）A. 1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B. 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C. 11,,42⎛⎤⎡⎫-∞⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭D. 11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】 【分析】先判断()f x 是偶函数且在0,上递减，原不等式转化为31x x ≥-，再解绝对值不等式即可.【详解】()()()211221133111log 13log 131313x x xxe e e exxf x x x ---⎛⎫=+++=+++ ⎪++⎝⎭，()121311log 1,,313x xe e xy x y y -⎛⎫=+== ⎪+⎝⎭在0,上都递减所以()f x 在0,上递减，又因()()()()121311log 1313x xe e xf x x f x ----⎛⎫-=+-++= ⎪+⎝⎭，且()f x 的定义域为R ，定义域关于原点对称， 所以()f x 是偶函数， 所以()()()()313131f x f x f x f x x x ≤-⇔≤-⇔≥-，可得113142x x x x -≤-≤⇒≤≤，x 的取值范围是11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 故选：D.【点睛】将奇偶性与单调性综合考查一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解.二､填空题：共7小题，每题4分，共28分11. 若{}221,a∈，则实数a =__________．【答案】 【解析】 【分析】根据题中条件，由元素与集合之间的关系，得到22a =求解，即可得出结果. 【详解】因为{}221,a∈，所以22a =，解得a =故答案为：.12. 若幂函数()f x 的图象经过点()2,8，则()3=f -__________． 【答案】27- 【解析】 【分析】设幂函数的解析式为()f x x α=，根据函数过点()2,8，求出α，进而可求出结果.【详解】由题意，设()f x x α=，因为幂函数()f x 的图像经过点()2,8，所以28α=，解得3α=，因此()3f x x =，所以()327f -=-故答案为：27-.13. 已知函数()22,<1,1x x f x x ax x -+⎧=⎨+≥⎩，若()()03f f a =，则实数a =__________． 【答案】4 【解析】 【分析】先由解析式求出()02f =，再计算()242f a =+，结合题中条件，即可得出结果.【详解】因为()22,<1,1x x f x x ax x -+⎧=⎨+≥⎩，所以()02f =，因此()()()0242f f f a ==+，又()()03ff a =，所以342a a =+，解得4a =.故答案为：4.14. 已知一扇形的圆心角为3π，弧长是cm π，则扇形的面积是__________2cm ． 【答案】32π 【解析】 【分析】先由弧长公式求出扇形所在圆的半径，再根据扇形面积公式，即可得出结果. 【详解】因为一扇形的圆心角为3π，弧长是cm π， 所以其所在圆的半径为33r ππ==，因此该扇形的面积是1133222S lr ππ==⨯⨯=. 故答案：32π. 15. 函数()()212log 56f x x x =-+的单调递增区．．．间是__________．【答案】(),2-∞ 【解析】 【分析】求出函数()f x 的定义域，利用复合函数法可求得函数()()212log 56f x x x =-+的单调递增区间.【详解】对于函数()()212log 56f x x x =-+，有2560x x -+>，解得2x <或3x >. 所以，函数()()212log 56f x x x =-+的定义域为()(),23,-∞+∞，内层函数256u x x =-+在区间(),2-∞上单调递减，在区间()3,+∞上单调递增， 外层函数12log y u =为减函数，所以，函数()f x 的单调递增区间为(),2-∞.故答案为：(),2-∞.【点睛】复合函数()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的单调性规律是“同则增，异则减”，即()y f u =与()u g x =.若具有相同的单调性，则()y f g x ⎡⎤=⎣⎦为增函数，若具有不同的单调性，则()y f g x ⎡⎤=⎣⎦必为减函数． 16. ()f x 为定义在R 上的奇函数，若对任意的两个不相等的实数12,x x ，都有不等式()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +>+成立，则()f x 为“H ”函数，下面的四个函数①()f x x =；②()f x x x =；③()33f x x x =+；④()1,00,01,0x x f x x x x +>⎧⎪==⎨⎪-<⎩中是“H ”函数的是__________（填序号）．【答案】①②③④ 【解析】 【分析】先判断函数都是奇函数，再由题意知“H ”函数为增函数，依次判断各函数的单调性即可得解. 【详解】由奇函数定义()()f x f x =--，可知①②③④均为奇函数，因为对于任意给定的不等式实数12,x x ，不等式()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +>+ 恒成立，所以不等式1212()[()()]0x x f x f x -->恒成立，即函数()f x 是定义在R 上的增函数， ①函数()f x x =为增函数，满足条件；②函数()22,0,0x x f x x x x x ⎧≥==⎨-<⎩在定义域上为增函数，满足条件；③函数()33f x x x =+，因为3,3y x y x ==都为增函数，所以()33f x x x =+，函数单调递增，满足条件；④函数()1,00,01,0x x f x x x x +>⎧⎪==⎨⎪-<⎩，当0x >时，函数单调递增，且()1f x >当0x <时，函数单调递增，且()1f x <-，满足条件.故答案为：①②③④.17. 123,,x x x 为实数，只要满足条件1230x x x >>>，就有不等式121233log 20202log 2020log 2020x x x x x x k +≥恒成立，则k 的最大值是__________． 【答案】3+【解析】 【分析】根据对数的运算性质，可得1212lg 2020log 2020lg lg x x x x =-，23232lg 20202log 2020lg lg x x x x =-，1313lg 2020log 2020lg lg x x k k x x =-，设12lg lg a x x =-，23lg lg b x x =-，原不等式可化为12ka b a b+≥+，由0,0a b >>，可得()12k a b a b ⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭，令k 小于等于()12a b a b ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的最小值即可.【详解】由题意，121122lg 2020lg 2020log 2020lg lg lg x x x x x x ==-，2322332lg 20202lg 20202log 2020lg lg lg x x x x x x ==-，131133lg 2020lg 2020log 2020lg lg lg x x k k k x x x x ==-， 设12lg lg a x x =-，23lg lg b x x =-，则13lg lg x x a b -=+， 又lg 20200>，所以原不等式可化为12k a b a b+≥+， 由1230x x x >>>，可得0,0a b >>，则原不等式可化为()12k a b a b ⎛⎫≤++⎪⎝⎭，又()1221233b a a b a b a b ⎛⎫++=+++≥+=+⎪⎝⎭2b a a b =时，等号成立，所以3k ≤+k的最大值为3+故答案为：3+【点睛】关键点点睛：本题考查不等式恒成立问题，解题关键是将原不等式转化为()12k a b a b ⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭.本题中利用对数的运算性质，将三个对数转化为以10为底的对数，进而设12lg lg a x x =-，23lg lg b x x =-，可将原不等式化为12k a b a b +≥+，进而结合,a b 的范围可得到()12k a b a b ⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭.考查学生的逻辑推理能力，计算求解能力，属于中档题.三､解答题：4小题，共42分18. 已知集合{}13A x x =<<，{}21B x m x m =<<-，（1）当1m =-时，求：①A B ；②()R A B ；（2）若A B ⊆，求实数m 的取值范围；（3）若A B =∅时，求实数m 的取值范围.【答案】（1）{}23A B x x ⋃=-<<，(){}23R A B x x ⋂=≤<；（2）2m ≤-；（3）0m ≥. 【解析】【分析】 （1）由1m =-得{}22B x x =-<<，由并集，交集以及补集的概念，即可得出结果；（2）由A B ⊆，根据题中条件，列出不等式组求解，即可得出结果； （3）分别讨论B =∅与B ≠∅的情况，根据题中条件，即可求出结果；【详解】（1）当1m =-时，{}{}2122B x m x m x x =<<-=-<<，所以{2R B x x =≤-或}2x ≥，又{}13A x x =<<，所以{}23A B x x ⋃=-<<，(){}23R A B x x ⋂=≤<； （2）因为A B ⊆，所以211213m m m m <-⎧⎪≥⎨⎪-≥⎩，解得2m ≤-；即实数m 的取值范围是2m ≤-；（3）因为A B =∅，当B =∅，则21m m ，即13m ≥； 当B ≠∅，则2123m m m <-⎧⎨≥⎩或2111m m m <-⎧⎨-≤⎩，解得103m ≤<； 综上，实数m 的取值范围是0m ≥.【点睛】本题考查集合的并集、交集、以及补集运算，考查已知集合的包含关系求参数，考查由集合的交集结果求参数，属于基础题型.19. 已知函数()()()2log log 20,1a a f x x x a a =-->≠（1）当2a =时，求()4f ；（2）解不等式()4f x ≥．【答案】（1）0（2）见解析.【解析】【分析】（1）代入2a =，4x =计算即可；（2）令2log t x =，整体换元解224t t --≥，在根据t 的范围求解x 即可.【详解】解：（1）2a =时，()()222log log 2f x x x =-- ∴()()2224log 4log 42=422=0f =----；（2）令log a t x =，则原式22t t =--，即求()4g t ≥即224t t --≥，解得：3t ≥或2t ≤-；等价于log 3a x ≥或log 2a x ≤-当1a >时，解得：3x a ≥或210x a <≤； 当01a <<时，解得：30x a <≤或21x a ≥. 【点睛】本题主要考查含对数函数的不等式的解法，涉及一元二次不等式的解法，属于中档题方法点睛：（1）整体换元，令log a t x =；（2）将t 代入不等式求解；（3）利用t 的范围解x 的解集即可.20. 定义在D 上的函数()f x ，如果满足；x D ∀∈，存在常数0M >，使得()f x M ≤成立，则称()f x 是D 上的有界函数，其中M 称为函数()f x 的一个上界，函数()11124x x f x a ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（1）若0a =，()()3g x f x =-，判断函数()g x 在[]1,0-上是否为有界函数，说明理由；（2）若函数()f x 年[)0,+∞上是以7为一个上界的有界函数，求实数a 的取值范围．【答案】（1）是有界函数，理由见解析；（2）[]9,5-.【解析】【分析】 （1）求出()124xg x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用指数函数的性质求得()2g x ≤，结合有界函数的定义可得答案； （2）问题转化为()7f x ≤对任意[)0,x ∈+∞恒成立，11826222x x x x a ⎛⎫⎛⎫-⋅-≤≤⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，对[)0,x ∈+∞恒成立，换元后利用函数的单调性求出不等式两边函数的最值即可得答案. 【详解】（1）若()110,4x a f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭=，()()1324xg x f x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， [][]11,0,1,44x x ⎛⎫∈-∴∈ ⎪⎝⎭， ()[]1,2g x ∴∈-，即()02g x ≤≤，∴存在常数20M =>，使得()2g x ≤恒成立，∴函数()g x 在[]1,0-上为有界函数；（2）由题意，()7f x ≤对任意[)0,x ∈+∞恒成立， ()77f x ∴-≤≤，即1171724x xa ⎛⎫⎛⎫-≤++≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，对[)0,x ∈+∞恒成立， 11186424x x x a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴--≤≤- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，对[)0,x ∈+∞恒成立， 11826222x x x x a ⎛⎫⎛⎫-⋅-≤≤⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，对[)0,x ∈+∞恒成立，令[)2,1,x t t =∈+∞，1186t a t t t∴--≤≤-，对[)1,t ∈+∞恒成立， ①16a t t ≤-对[)1,t ∈+∞恒成立，只需求16y t t=-在[)1,+∞上的最小值， 又16y t t=-在[)1,+∞上为增函数，min 6115y ∴=⨯-=，5a ∴≤； ②18a t t≥--时，[)1,t ∈+∞恒成立， 只需求18y t t =--在[)1,+∞上的 最大值，在[)1,+∞任取12,t t ，且12t t <， 1212121188y y t t t t ∴-=--++ ()1221128t t t t t t -=-+ ()121218t t t t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭1212,0t t t t <∴-<，[)12,1,t t ∈+∞，121211,01t t t t ∴≥<≤， 12180t t ∴-+<， 120y y ∴->，即12y y >，∴函数18y t t=--在[)1,+∞上为减函数， max 8119y ∴=-⨯-=-，9a ∴≥-.综上可得95a -≤≤，即实数a 的取值范围是[]9,5-,【点睛】新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.21. 已知函数()f x x a =-，()()22g x x xf x =+，其中R a ∈，（1）判断函数()f x 的奇偶性：（2）若1a =，求函数()g x 的单调区间；（3）若不等式()46g x ≤≤在[]1,2x ∈时恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）当0a =时，()f x 为偶函数；当0a ≠时，()f x 为非奇非偶函数；（2）()g x 在(),-∞+∞上单调递增；（3）[1-，15][22-⋃，5]. 【解析】【分析】（1）讨论a 是否为0，结合奇偶性的定义，即可得到结论；（2）将()g x 写出分段函数的形式，结合二次函数的单调性，可得所求结论；（3）由题意可得28||22x x x a x x ---对[1x ∈，2]恒成立，运用绝对值的解法和函数恒成立思想，结合函数的单调性求得最值，可得所求范围．【详解】（1）x ∈R ，()||||f x x a x a =--=+，当0a =时，()()f x f x -=，()f x 为偶函数，当0a ≠时，()()f x f x -≠，()()f x f x -≠-， ()f x 为非奇非偶函数；（2）若1a =，222232,1()2()212,1x x x g x x xf x x x x x x x ⎧-=+=+-=⎨-+<⎩，则()f x 在[1，)+∞递增，在(,1)-∞递增，可得()g x 在(,)-∞+∞上单调递增；（3）在[1x ∈，2]时，2284()1642||16||22x x g x x x x a x a x x ⇒+-⇒---恒成立． 由8||2x x a x --对[1x ∈，2]恒成立，可得38822x x a x x -+对[1x ∈，2]恒成立， 由382x y x =-在[1x ∈，2]递增，可得382x y x =-的最大值为341-=-，则1a -， 又82x y x =+在[1x ∈，2]递减，可得82x y x =+的最小值为145+=，则5a ， 可得15a -；① 由2||2x x a x --对[1x ∈，2]恒成立， 可得22x a x +对[1x ∈，2]恒成立，或322x a x-对[1x ∈，2]恒成立，由22x y x =+在[1x ∈，2]递减，可得22x y x =+的最大值为52，可得52a ； 由322x y x =-在[1x ∈，2]递增，可得322x y x =-的最小值为12-，可得12-a ， 则52a 或12-a ，② 由①②可得a 的取值范围是[1-，15][22-⋃，5]． 【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方即可)；③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④ 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.。
2022-2023学年浙江省杭州外国语学校高一(上)期中数学试卷【答案版】
2022-2023学年浙江省杭州外国语学校高一（上）期中数学试卷一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．若A ＝{0，1，2}，B ＝{3，4}，M ＝{x |x ＝ab ，a ∈A ，b ∈B }，则M 中元素的个数为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．62．x ≥1是x 2﹣x ≥0的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件3．已知f （x 3）＝log 2x ，则f （2）＝（ ） A ．1B ．3C ．−13D ．134．下列坐标所表示的点不是函数y ＝tan （2x −π6）的图象的对称中心的是（ ） A ．(π12，0)B ．(π6，0)C ．(−5π12，0)D ．(π3，0)5．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m 2﹣m 1=52lgE 1E 2，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k ＝1，2）．已知太阳的星等是﹣26.7，天狼星的星等是﹣1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（ ） A ．1010.1B ．10.1C ．lg 10.1D ．10﹣10.16．已知实数a ＞0，b ＞1满足a +b ＝5，则2a+1b−1的最小值为（ ）A ．3+2√24B ．3+4√24C ．3+2√26D ．3+4√267．若两个函数的图象经过平移后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数，给出下列四个函数f 1（x ）＝2log 2（x +1），f 2（x ）＝log 2（x +2），f 3（x ）＝log 2x 2，f 4（x ）＝log 2（2x ），则是“同形”函数的是（ ） A ．f 1（x ）与f 4（x ） B ．f 1（x ）与f 3（x ）C ．f 2（x ）与f 4（x ）D ．f 3（x ）与f 4（x ）8．已知函数f(x)=2sin(ωx −π6)（ω＞12，x ∈R ），若f （x ）的图象的任何一条对称轴与x 轴交点的横坐标均不属于区间（3π，4π），则ω的取值范围是（ ） A ．(12，23]∪[89，76] B ．(12，1724]∪[1718，2924] C ．[59，23]∪[89，1112]D ．[1118，1724]∪[1718，2324]二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．函数y ＝1+sin x ，x ∈(π4，π)的图象与直线y ＝t （为常数）的交点可能有（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个10．设α是第二象限角，下列各式中可能成立的是（ ） A ．tan α2＞sin α2B ．cos α2=−34C ．sin α2＜cos α2D ．tanα2=202211．关于函数f （x ）＝cos x +1cosx由以下四个命题，则下列结论正确的是（ ） A ．f （x ）的图象关于y 轴对称 B ．f （x ）的图象关于原点对称C ．f （x ）的图象关于(π2，0)对称 D ．f （x ）的最小值为212．定义在[1，+∞）上的函数f(x)={1−2|x −32|，1≤x ≤22f(x2)，x ＞2，下列说法中正确的为（ ） A ．函数f （x ）的值域为[0，+∞）B ．当x ∈[4，8]时，函数f （x ）所有值中的最大值为4C ．函数f （x ）在x ∈[10，16]上单调递减D ．f （2022）＝52三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.） 13．用弧度表示终边在y 轴上的角的集合 ．14．若函数y ＝1﹣2cos x ﹣sin 2x 的值域是[a ，b ]，则a +b ＝ ．15．已知α为第三象限角，化简√1+sinα1−sinα−√1−sinα1+sinα的结果为 ．16．设f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f （x ）＝x 2若对任意的x ∈[t ，t +2]不等式f （x ）≤4f （x +t ）恒成立，则实数t 的最大值是 ．四、解答题（本题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．已知tan α＝3．（1）求3sin 2α﹣cos 2α的值； （2）求cos(π+α)cosα⋅[cos(π+α)−1]+sin(π2−α)cos(2π+α)⋅cos(π+α)+cos(−α)的值．18．已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ），（ω＞0，0＜φ＜π），最小正周期为4π3，当x =π6时，函数取到最大值．（1）求函数y ＝f （x ）的单调递增区间；（2）当a ＞0时，若函数g （x ）＝af （x ）+b 在区间[−5π18，π3]上的值域为[1，3]，求a ，b 的值． 19．如果存在实数x 0，使得φ（x 0）＝x 0，那么就称函数φ（x ）为“不动点”函数． （1）判断函数f(x)={x +53，x ≤18x+2，x ＞1是否为“不动点”函数，并说明理由； （2）已知函数g （x ）＝ax 2+5x +a 为“不动点”函数． ①求a 的取值范围；②已知函数h （x ）＝x 2﹣2ax +a ﹣1的定义域为[﹣2，1]，设h （x ）的最小值． 20．已知a ≥3，函数F （x ）＝min {2|x ﹣1|，x 2﹣2ax +4a ﹣2}，其中min {p ，q }={p ，p ≤q q ，p ＞q．（1）当a ＝3时，求使得等式F （x ）＝x 2﹣2ax +4a ﹣2成立的x 的取值范围； （2）求F （x ）的最小值m （a ）；（3）求F （x ）在区间[0，6]上的最大值M （a ）．2022-2023学年浙江省杭州外国语学校高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．若A ＝{0，1，2}，B ＝{3，4}，M ＝{x |x ＝ab ，a ∈A ，b ∈B }，则M 中元素的个数为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．6解：A ＝{0，1，2}，B ＝{3，4}，M ＝{x |x ＝ab ，a ∈A ，b ∈B }， 则M ＝{0，3，4，6，8}， 所以M 中元素的个数为5个． 故选：C ．2．x ≥1是x 2﹣x ≥0的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解：由x 2﹣x ≥0解得x ≥1或x ≤0， 则x ≥1是x 2﹣x ≥0的充分不必要条件， 故选：B ．3．已知f （x 3）＝log 2x ，则f （2）＝（ ） A ．1B ．3C ．−13D ．13解：令x 3＝t ，则x =√t 3， ∴f （t ）=log 2√t 3=13log 2t ， ∴f （2）=13log 22=13， 故选：D ．4．下列坐标所表示的点不是函数y ＝tan （2x −π6）的图象的对称中心的是（ ） A ．(π12，0)B ．(π6，0)C ．(−5π12，0)D ．(π3，0)解：函数y ＝tan （2x −π6）的图象的对称中心满足2x −π6=kπ2，（k ∈Z ）， 整理得x =kπ4+π12，（k ∈Z ）， 当k ＝0时，x =π12， 当k ＝1时，x =π，当k ＝﹣2时，x =−5π12， 故A 、C 、D 正确， 故选：B ．5．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m 2﹣m 1=52lgE 1E 2，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k ＝1，2）．已知太阳的星等是﹣26.7，天狼星的星等是﹣1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（ ） A ．1010.1B ．10.1C ．lg 10.1D ．10﹣10.1解：设太阳的星等是m 1＝﹣26.7，天狼星的星等是m 2＝﹣1.45， 由题意可得：−1.45−(−26.7)=52lg E1E 2，∴lgE 1E 2=50.55=10.1，则E 1E 2=1010.1． 故选：A ．6．已知实数a ＞0，b ＞1满足a +b ＝5，则2a +1b−1的最小值为（ ）A ．3+2√24B ．3+4√24C ．3+2√26D ．3+4√26解：因为a ＞0，b ＞1满足a +b ＝5， 则2a +1b−1=（2a+1b−1）[a +（b ﹣1）]×14，=14[3+2(b−1)a +a b−1]≥14(3+2√2)， 当且仅当2(b−1)a=a b−1时取等号，故选：A ．7．若两个函数的图象经过平移后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数，给出下列四个函数f 1（x ）＝2log 2（x +1），f 2（x ）＝log 2（x +2），f 3（x ）＝log 2x 2，f 4（x ）＝log 2（2x ），则是“同形”函数的是（ ） A ．f 1（x ）与f 4（x ） B ．f 1（x ）与f 3（x ）C ．f 2（x ）与f 4（x ）D ．f 3（x ）与f 4（x ）解：将函数f 2（x ）＝log 2（x +2）的图象，先向右平移2个单位得f （x ）＝log 2x 的图象，再向上平移1个单位得到函数f （x ）＝log 2x +1＝log 2（2x ）的图象，这一函数图象正好与f 2（x ）图象重合，故f 2（x ）与f 4（x ）符合． 故选：C ．8．已知函数f(x)=2sin(ωx −π6)（ω＞12，x ∈R ），若f （x ）的图象的任何一条对称轴与x 轴交点的横坐标均不属于区间（3π，4π），则ω的取值范围是（ ） A ．(12，23]∪[89，76] B ．(12，1724]∪[1718，2924] C ．[59，23]∪[89，1112]D ．[1118，1724]∪[1718，2324]解：函数f(x)=2sin(ωx −π6)（ω＞12，x ∈R ），若f （x ）的图象的任何一条对称轴与x 轴交点的横坐标均不属于区间（3π，4π）， ∴12•2πω≥4π﹣3π，12＜ω≤1，故排除A 、B ．由f （x ）的任何一条对称轴与x 轴的交点的横坐标不属于区间（3π，4π），可得 k π+π2≤3ωπ−π6，且 k π+π+π2≥4ωπ−π6， 求得3k+29≤ω≤3k+512，k ∈Z ，当k ＝0时，29≤ω≤512，不符合，12＜ω≤1，当k ＝1时，59≤ω≤23，符合题意， 当k ＝2时，89≤ω≤1112，符合题意， 当k ＝3时，119≤ω≤149，不符合12＜ω≤1，故C 正确，D 错误． 故选：C ．二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．函数y ＝1+sin x ，x ∈(π4，π)的图象与直线y ＝t （为常数）的交点可能有（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解：由于x ∈(π4，π)，所以sin x ∈（0，1]， 故y ∈（1，2]，由于函数在x ∈(π4，π2]上单调递增，函数在∈[π2，π)单调递减， 故与直线y ＝t 的交点可能有0，1，2个． 故选：ABC ．10．设α是第二象限角，下列各式中可能成立的是（ ） A ．tan α2＞sin α2B ．cos α2=−34C ．sin α2＜cos α2D ．tanα2=2022解：因为α是第二象限角，所以π2+2k π＜α＜π+2k π，k ∈Z ；所以π4+k π＜α2＜π2+k π，k ∈Z ；所以α2是第一或第三象限角；当α2为第一象限角时，α2∈（π4+2n π，π2+2n π），k ∈Z ，满足tan α2＞1＞sin α2，tan α2=2022，0＜cos α2＜√22，sin α2＞cos α2，当α2为第三象限角时，α2∈（5π4+2n π，3π2+2n π），k ∈Z ，满足tan α2＞0＞sin α2，tanα2=2022，﹣1＜sin α2＜−√22＜cos α2＜0； 故选：ACD ．11．关于函数f （x ）＝cos x +1cosx由以下四个命题，则下列结论正确的是（ ） A ．f （x ）的图象关于y 轴对称 B ．f （x ）的图象关于原点对称C ．f （x ）的图象关于(π2，0)对称 D ．f （x ）的最小值为2解：由于函数f （x ）＝cos x +1cosx 满足f （﹣x ）＝f （x ），且{x |x ≠kπ+π2}（k ∈Z ），故函数为偶函数，函数的图象关于y 轴对称，故A 正确，B 错误；由于f （π﹣x ）＝﹣cos x −1cosx =−f （x ），故函数的图象关于（π2，0）对称，故C 正确；当x ＝π时，f （π）＝﹣2，故D 错误． 故选：AC ．12．定义在[1，+∞）上的函数f(x)={1−2|x −32|，1≤x ≤22f(x2)，x ＞2，下列说法中正确的为（ ） A ．函数f （x ）的值域为[0，+∞）B ．当x ∈[4，8]时，函数f （x ）所有值中的最大值为4C ．函数f （x ）在x ∈[10，16]上单调递减D ．f （2022）＝52解：由题意可得函数f （x ）在区间[2m ，2m +1]的性质为：在[2m ，3×2m ﹣1]为增函数，在[3×2m ﹣1，2m +1]为减函数，当x ＝3×2m﹣1时，函数f （x ）取最大值2m ，对于选项A ，由题意可知，函数f （x ）的值域为[0，+∞），即选项A 正确；对于选项B ，当x ∈[4，8]时，函数f （x ）所有值中的最大值为22＝4，即选项B 正确； 对于选项C ，函数f （x ）在[10，12]上单调递增，在[12，16]上单调递减，即选项C 错误；对于选项D ，因为2022∈[1536，2048]，则点（2022，f （2022））在过（1536，1024）和（2048，0）两点的直线上，设t ＝f （2022），则t−02022−2048=1024−01536−2048，解得t ＝52，即f （2022）＝52，即选项D正确， 故选：ABD ．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13．用弧度表示终边在y 轴上的角的集合 {α|α＝k π+π2，k ∈Z } ． 解：终边落在y 轴上的角为：{α|α＝k π+π2，k ∈Z }． 故答案为：{α|α＝k π+π2，k ∈Z }．14．若函数y ＝1﹣2cos x ﹣sin 2x 的值域是[a ，b ]，则a +b ＝ 2 ． 解：函数y ＝1﹣2cos x ﹣sin 2x ＝cos 2x ﹣2cos x ＝（cos x ﹣1）2﹣1， 当cos x ＝1时，函数y 取得最小值﹣1， 当cos x ＝﹣1时，函数y 取得最大值3， ∵函数y ＝1﹣2cos x ﹣sin 2x 的值域是[a ，b ]， ∴a ＝﹣1，b ＝3， 故a +b ＝2． 故答案为：2．15．已知α为第三象限角，化简√1+sinα1−sinα−√1−sinα1+sinα的结果为 ﹣2tan α ．解：由α为第三象限角，得到cos α＜0， 则√1+sinα1−sinα−√1−sinα1+sinα=√(1+sinα)21−sin 2α−√(1−sinα)21−sin 2α=1+sinα|cosα|−1−sinα|cosα| =−2sinαcosα=−2tan α． 故答案为：﹣2tan α16．设f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f （x ）＝x 2若对任意的x ∈[t ，t +2]不等式f （x ）≤4f （x +t ）恒成立，则实数t 的最大值是 −23． 解：当x ≤0时，f （x ）＝x 2， ∵函数f （x ）是奇函数， ∴当x ＞0时，f （x ）＝﹣x 2， ∴f （x ）={x 2，x ≤0−x 2，x ＞0，∴f （x ）在R 上是单调递减函数， 且满足4f （x +t ）＝f [2（x +t ）]，∵不等式f （x ）≤4f （x +t ）＝f [2（x +t ）]在x ∈[t ，t +2]上恒成立， ∴x ≥2（x +t ）在x ∈[t ，t +2]上恒成立，即x ≤﹣2t 在x ∈[t ，t +2]上恒成立， ∴t +2≤﹣2t ，解得t ≤−23． ∴t 的最大值为−23． 故答案为：−23．四、解答题（本题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．已知tan α＝3．（1）求3sin 2α﹣cos 2α的值； （2）求cos(π+α)cosα⋅[cos(π+α)−1]+sin(π2−α)cos(2π+α)⋅cos(π+α)+cos(−α)的值．解：tan α＝3，（1）3sin 2α﹣cos 2α=3sin 2α−cos 2αsin 2α+cos 2α=3tan 2α−1tan 2α+1=2×32−132+1=1710；（2）cos (π+α)cosα⋅[cos(π+α)−1]+sin(π2−α)cos (2π+α)⋅cos (π+α)+cos (−α)=−cosαcosα⋅[−cosα−1]+cosαcosα⋅(−cosα)+cosα=11+cosα+11−cosα=1−cosα1−cos 2α+1+cosα1−cos 2α=2sin 2α+2cos 2αsin 2α=2tan 2α+2tan 2α=2×32+232=209．18．已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ），（ω＞0，0＜φ＜π），最小正周期为4π3，当x =π6时，函数取到最大值．（1）求函数y ＝f （x ）的单调递增区间；（2）当a ＞0时，若函数g （x ）＝af （x ）+b 在区间[−5π18，π3]上的值域为[1，3]，求a ，b 的值． 解：（1）函数f （x ）＝sin （ωx +φ），（ω＞0，0＜φ＜π），最小正周期为4π3，则ω=2π4π3=32，故f （x ）＝sin （32x +φ）， 当x =π6时，函数取到最大值， 则32×π6+φ=π2+2kπ，k ∈Z ，解得φ=π4+2kπ，k ∈Z ，∵0＜φ＜π， ∴φ=π4，故f （x ）＝sin （32x +π4），令−π2+2kπ≤32x +π4≤π2+2kπ，k ∈Z ，解得−π2+4kπ3≤x ≤π6+4kπ3，k ∈Z ， 故函数y ＝f （x ）的单调递增区间为[−π2+4kπ3，π6+4kπ3]，k ∈Z ； （2）∵x ∈[−5π18，π3]， ∴−π6≤32x +π4≤ 34π， ∴−12≤sin(32x +π4)≤1， ∴−12a +b ≤g(x)≤a +b ，∵函数g （x ）＝af （x ）+b 在区间[−5π18，π3]上的值域为[1，3]，∴{−12a +b =1a +b =3，解得a =43，b =53．19．如果存在实数x 0，使得φ（x 0）＝x 0，那么就称函数φ（x ）为“不动点”函数． （1）判断函数f(x)={x +53，x ≤18x+2，x ＞1是否为“不动点”函数，并说明理由；（2）已知函数g （x ）＝ax 2+5x +a 为“不动点”函数．①求a 的取值范围；②已知函数h （x ）＝x 2﹣2ax +a ﹣1的定义域为[﹣2，1]，设h （x ）的最小值．解：（1）是，理由如下：当x ≤1时，由x +53=x ，无解，当x ＞1时，若8x+2=x ，得x ＝2，则x ＝2是“不动点”函数．（2）①当a ＝0时，g （x ）＝5x ＝x ，解得x ＝0符合题意，当a ≠0时，ax 2+5x +a ＝x ，即ax 2+4x +a ＝0，所以{a ≠0Δ=16−4a 2≥0， 解得﹣2≤a ≤2且a ≠0，综上所述，a 的取值范围为[﹣2，2]；②函数h （x ）＝x 2﹣2ax +a ﹣1的定义域为[﹣2，1]，对称轴为x ＝a ，当a ＝﹣2时，h （x ）在[﹣2，1]上单调递增，所以h （x ）min ＝h （﹣2）＝（﹣2）2﹣2×（﹣2）×（﹣2）﹣2﹣1＝﹣7；当﹣2＜a ＜1时，h （x ）min ＝h （a ）＝a 2﹣2×a 2+a ﹣1＝﹣a 2+a ﹣1；当1≤a ≤2时，h （x ）在[﹣2，1]上单调递减，所以h （x ）min ＝h （1）＝12﹣2a +a ﹣1＝﹣a ；综上所述：当a ＝﹣2时，h （x ）min ＝﹣7；当﹣2＜a ＜1时，h （x ）min ＝﹣a 2+a ﹣1；当1≤a ≤2时，h （x ）min ＝﹣a ．20．已知a ≥3，函数F （x ）＝min {2|x ﹣1|，x 2﹣2ax +4a ﹣2}，其中min {p ，q }={p ，p ≤q q ，p ＞q ．（1）当a ＝3时，求使得等式F （x ）＝x 2﹣2ax +4a ﹣2成立的x 的取值范围；（2）求F （x ）的最小值m （a ）；（3）求F （x ）在区间[0，6]上的最大值M （a ）．解：（1）当a ＝3时，F （x ）＝min {2|x ﹣1|，x 2﹣6x +10}＝x 2﹣6x +10，所以2|x ﹣1|≥x 2﹣6x +10，等价于2（x ﹣1）≥x 2﹣6x +10或2（x ﹣1）≤﹣（x 2﹣6x +10），解得：x ∈[2，6]；（2）由（2|x ﹣1|）min ＝0，（x 2﹣2ax +4a ﹣2）min ＝﹣a 2+4a ﹣2且a ≥3，故F （x ）min ＝m （a ）＝min {0，﹣a 2+4a ﹣2}={0，−a 2+4a −2＞0−a 2+4a −2，−a 2+4a −2≤0，化简得：m （a ）={0，3≤a ＜2+√2−a 2+4a −2，a ≥2+√2； （3）不妨设f （x ）＝2|x ﹣1|，g （x ）＝x 2﹣2ax +4a ﹣2，易知：f （2）＝g （2）＝2，当0≤x ≤2时，f （x ）＝2|x ﹣1|≤f （2）＝2，所以F （x ）≤f （x ）≤2＝f （2）＝g （2），所以F （x ）max ＝2；当2＜x ≤6时，f （x ）max ＝f （6）＝10，二次函数开口向上，所以g （x ）max ＝max {g （2），g （6）}，又a ≥3，g （6）＝34﹣8a ≤10＝f （6），所以F （x ）≤g （x ）≤max {g （2），g （6）}＝max {2，34﹣8a }＝max {F （2），F （6）}={2，a ≥434−8a ，3≤a ＜4， 综上所述：M （a ）={2，a ≥434−8a ，3≤a ＜4．。