2017昌平高三文科数学期末
北京市昌平区2017届高三上学期期末考试数学(文)试题【含答案】
俯视图侧（左）视图正（主）视图北京市昌平区2016-2017学年度第一学期高三期末文科数学2017．1一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设全集{}123456U=，，，，，，{}34A=，，{}245B=，，，则()UC A B=I（）A．{}12456，，，，B．{}2345，，，C．{}25，D．{}16，2．已知直线()3110x a y+-+=与直线+2=0x y-平行，则a的值为（）A．4B．4-C．2D．2-3．执行如图所示的程序框图，若输入的x值为1，则输出的k值为（）A．3B．4C．5D．64．下列四个函数中，在其定义域上既是奇函数又是单调递增函数的是（）A．xy e=B．2logy x=C．siny x=D．3y x=5．在平行四边形ABCD中，若AB AD AB AD-=+uu u r uuu r uu u r uuu r，则平行四边形ABCD是（）A．矩形B．梯形C．正方形D．菱形6．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图为（）A B C D7．已知直线m n，和平面α，且mα⊥．则“n m⊥”是“//nα”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C充．分必要条件D．既不充分也不必要条件8．甲袋中有16个白球和17个黑球，乙袋中有31个白球，现每次任意从甲袋中摸出两个球，如果两球同色，则将这两球放进丙袋，并从乙袋中拿出一白球放回甲袋；如果两球不同色，则将白球放进丙袋，并把黑球放回甲袋．那么这样拿次后，甲袋中只剩一个球，这个球的颜色是（）A．16，黑色B．16，白色或黑色C．32，黑色D．32，白色二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．） 9．已知i 为虚数单位,则复数()1i i -=__________．10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S n n =+，则3a =__________．11．122ln 2ee -，，三个数中最大的数是_________． 12．在ABC ∆中，24c B b π===，，则A =__________．13．已知双曲线()2222100x y a b a b-=>>，的一条渐近线的倾斜角为6π，则双曲线的渐近线的方程为________；该双曲线的离心率为________．14．若函数()211ln 1x x f x x x a-⎧-≤<=⎨≤≤⎩， ， ．①当2a =时，若()1f x =，则x =___________； ②若()f x 的值域为[]02，，则a 的取值范围是________．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分13分）已知函数()222cos 1f x x x =+-（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求函数()f x 在64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的最大值和最小值．已知{}n a 是等差数列，{}n b 是正项的等比数列，且11533214a b a b a ====，，． （Ⅰ）求{}n a 、{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列{}n a 中满足46n b a b <<的各项的和．昌平区在滨河公园举办中学生冬季越野赛．按年龄段将参赛学生分为A B C 、、三个组，各组人数如下表所示．组委会用分层抽样的方法从三个组中选出6名代表．（Ⅰ）求A B C 、、三个组各选出代表的个数；（Ⅱ）若从选出的6名代表中随机抽出2人在越野赛闭幕式上发言，求这两人来自同一组的概率1P ； （Ⅲ）若从所有参赛的300名学生中随机抽取2人在越野赛闭幕式上发言，设这两人来自同一组的概率为2P ，试判断1P 与2P 的大小关系不要求证明．．MNCBAP在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC，2AB AC BC ===，M N 、分别为BC AB 、中点．（Ⅰ）求证：//MN 平面PAC ； （Ⅱ）求证：平面PBC ⊥平面PAM ；（Ⅲ）在AC 上是否存在点E ，使得ME ⊥平面PAC ，若存在，求出ME 的长，若不存在，请说明理由．已知函数()()ln 0f x x mx m =->．（Ⅰ）若1m =，求曲线()y f x =在点()()11f ，处的切线方程；（Ⅱ）求函数()f x 的最大值()g m ，并求使()2g m m >-成立的m 取值范围．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12F F 、，且经过点(0P ，离心率为23，过点1F 的直线l 与直线4x =交于点A ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）当线段1F A 的垂直平分线经过点2F 时，求直线l 的方程； （Ⅲ）点B 在椭圆C 上，当OA OB ⊥，求线段AB 长度的最小值．昌平区2016－2017学年第一学期高三年级期末质量抽测数学试卷（文科）参考答案及评分标准 2017.1一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。
昌平区2017年高三年级第三次统一练习 文科数学
昌平区 2017年高三年级第三次统一练习数学试卷（文科）（满分150分，考试时间 120分钟）2017.5考生须知：1． 本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分。
2． 答题前考生务必将答题卡上的学校、班级、姓名、考试编号用黑色字迹的签字笔填写。
3．答题卡上第I 卷(选择题)必须用2B 铅笔作答，第II 卷(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时可以使用2B 铅笔。
请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。
4． 修改时，选择题部分用塑料橡皮擦涂干净，不得使用涂改液。
保持答题卡整洁，不要折叠、折皱、破损。
不得在答题卡上做任何标记。
5．考试结束后，考生务必将答题卡交监考老师收回，试卷自己妥善保存。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)1.设全集U=Z ，集合A={x ∈Z}（x-3）（x+1）≥0}，则C ∪M= A.{0,1,2,3} B.{-1,0,1,2} C.{-1,0,1,2,3} D.{0,1,2}2.圆心为(0,1)且与直线2y =相切的圆的方程为 A.22(1)1x y -+= B.22(1)1x y ++= C.22(1)1x y +-= D . 22(1)1x y ++=3．下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递减的是（） A ．1y x=B ．x y e -=C ．lg y x =D ．21y x =-+4．执行如图所示的程序框图，输出的结果为 A ．()22-， B ．()40-， C ．()44--， D ．()08-，5.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥中最长棱的长度为AC． D ．3主视图俯视图左视图6.设a ，b 是非零向量，“ a b =a b ”是“//a b ”的 A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7.已知,x y ∈R ，且0x y >>，则A.110x y-> B. sin sin 0x y -> C. ln ln 0x y +> D. 11022x y⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭8.如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，P 为对角线1BD 的三等分点，则P 到各顶点的距离的不同取值有A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 9.复数i(2i)-在复平面内所对应的点的坐标为 10. 32-，123，2log 5三个数中最大数的是.11．若抛物线22y px =的焦点坐标为(1,0)，则准线方程为，焦点到准线的距离是。
北京市部分区2017届高三上学期考试文科数学试题平面向量分类汇编
北京市部分区2017届高三上学期考试数学文试题分类汇编平面向量15 44、（东城区2017届高三上学期期末） △ ABC 的内角 代B, C 的对边分别为a,b,c ，若a=5,b=7, c = 8 ,则AB AC 等于5、（丰台区2017届高三上学期期末）平面向量a 二(x,1) ,b = (1,y) ,c = (2,- 4)，如果a A （b -c ），那么实数x , y 的值分别是1 A. -B . 127、 （海淀区2017届高三上学期期中）已知向量 1 1 A. -2B. C. D.22 28、 （石景山区2017届高三上学期期末）向量a(A)2, - 2(B)- 2 , - 2(C)(D)6、（海淀区2017届高三上学期期末）已知向量a,b 满足 a -2b= 0 , (a -b )2，贝U |bF1、（昌平区2017届高三上学期期末）在平行四边形 ABCD 是（A ）矩形(B)梯形(C)A.-C. uuu uuuAB-AD D.uun uuuAB AD ，则平行四边形菱形 b5E2RGbCAP），则a 与a b 的夹角为5兀~63、（朝阳区2017届高三上学期期中） 已知三角形 ABC 外接圆O 的半径为1 （ O 为圆心），且OB 0^ -0 ,|OA| = 2| AB|，则CA BC 等于（15D .bll c ，且(J3,1) ,b=(J3, —1) ,a 与b 夹角的大小为 _________________2、（朝阳区2017届高三上学期期末）已知平面向量ABCD 中，若 正方形（C. 2a= (-1,x), b = (-2,4).若a^b，则x 的值为9、(通州区2017届高三上学期期末)如图，在正方形ABCD 中，P 为DC 边上的动点,T T T设向量AC =扎DB + 4APU 九+卩的取值范围是 ________________ .10、(西城区2017届高三上学期期末)设a , b 是非零向量，且a^=b .则“| a |=| b |”是“ (a b ) _(a b ) ”A . -3 B14、(朝阳区 2017届高三上学期期中) 设平面向量 a= (1,2), b = (-2,y)，若 a 〃b ，则 y =15、(海淀区 2017届高三上学期期中) 在正方形ABCD 中，E 是线段CD 的中点，若AE = • AB 」BD ，则(A )充分而不必要条件 (B )必要而不充分条件 (C )充要条件(D )既不充分也不必要条件11、 (北京昌平临川育人学校 2017届高三上学期期末)已知向量b ，其中1 a 1三:打，1 b 1 =2，且(a丄a ，则向量a 和b 的夹角是()p1EanqFDPwC .3兀~T5兀~T12、 (北京市 2017届高三春季普通高中会考) ■4a -4b) 2b 等于()A .a —2b B . a 「4bC13、(北京市 2017届高三春季普通高中会考) 已知向量.a =(3,-1), b =(1,x)，但a_b ，那么x 的值是已知向量 a , b ，那么参考答案6、C 1、A 2、B 3、A 4、44228、- 3-----------------------11、【解答】 解：设两个向量的夹角为|1 ；丄;-1-^-―■ —fl二(a - b )F=C - .. -■-- -i-i - |即• ’ . .1 j 故选A 12、 C 13、 B 14. — 4[1,3] 10、 C•/ eq 。
2017昌平区高三(上)期末数学(文科)
2017昌平区高三（上）期末数学（文科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）1．（5分）设全集U={1，2，3，4，5，6}，A={3，4}，B={2，4，5}，则（∁U A）∩B=（）A．{1，2，4，5，6}B．{2，3，4，5}C．{2，5}D．{1，6}2．（5分）已知直线3x+（1﹣a）y+1=0与直线x﹣y+2=0平行，则a的值为（）A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣23．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x值为1，则输出的k值为（）A．3 B．4 C．5 D．64．（5分）下列四个函数中，在其定义域上既是奇函数又是单调递增函数的是（）A．y=e x B．y=log2x C．y=sinx D．y=x35．（5分）在平行四边形ABCD中，若，则平行四边形ABCD是（）A．矩形B．梯形C．正方形D．菱形6．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图为（）A．B．C．D．7．（5分）已知直线m，n和平面α，且m⊥α．则“n⊥m”是“n∥α”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）甲袋中有16个白球和17个黑球，乙袋中有31个白球，现每次任意从甲袋中摸出两个球，如果两球同色，则将这两球放进丙袋，并从乙袋中拿出一白球放回甲袋；如果两球不同色，则将白球放进丙袋，并把黑球放回甲袋．那么这样拿次后，甲袋中只剩一个球，这个球的颜色是（）A．16，黑色B．16，白色或黑色C．32，黑色D．32，白色二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.）9．（5分）已知i为虚数单位，则复数i（1﹣i）=．10．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且，则a3=．11．（5分）三个数中最大的数是．12．（5分）在△ABC中，，则∠A=．13．（5分）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的渐近线的方程为；该双曲线的离心率为．14．（5分）若函数①当a=2时，若f（x）=1，则x=；②若f（x）的值域为[0，2]，则a的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）15．（13分）已知函数f（x）=sin2x+2cos2x﹣1．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期：（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值．16．（13分）已知{a n}是等差数列，{b n}是正项的等比数列，且a1=b1=2，a5=14，b3=a3．（Ⅰ）求{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n}中满足b4＜a n＜b6的各项的和．17．（14分）昌平区在滨河公园举办中学生冬季越野赛．按年龄段将参赛学生分为A，B，C三个组，各组人数如下表所示．组委会用分层抽样的方法从三个组中选出6名代表．（I）求A，B，C三个组各选出代表的个数；（II）若从选出的6名代表中随机抽出2人在越野赛闭幕式上发言，求这两人来自同一组的概率P1；（III）若从所有参赛的300名学生中随机抽取2人在越野赛闭幕式上发言，设这两人来自同一组的概率为P2，试判断P1与P2的大小关系（不要求证明）．18．（13分）在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB=AC=2，BC=2，M，N分别为BC，AB中点．（I）求证：MN∥平面PAC（II）求证：平面PBC⊥平面PAM（III）在AC上是否存在点E，使得ME⊥平面PAC，若存在，求出ME的长，若不存在，请说明理由．19．（13分）已知函数f（x）=lnx﹣mx（m＞0）．（I）若m=1，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（II）求函数f（x）的最大值g（m），并求使g（m）＞m﹣2成立的m取值范围．20．（14分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，且经过点P（0，），离心率为，过点F1的直线l与直线x=4交于点A（I）求椭圆C的方程；（II）当线段F1A的垂直平分线经过点F2时，求直线l的方程；（III）点B在椭圆C上，当OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）1．【解答】∵U={1，2，3，4，5，6}，A={3，4}，B={2，4，5}，∴∁U A={1，2，5，6}，则（∁U A）∩B={2，5}，故选：C2．【解答】可得直线x﹣y+2=0的斜率为1，由于直线平行，故有斜率相等，故可得=1，解得a=4故选：A3．【解答】若输入x=1．则第一次，x=1+5=6，不满足条件，x＞23，k=1，第二次，x=6+5=11，不满足条件，x＞23，k=2，第三次，x=11+5=16，不满足条件，x＞23，k=3，第四次，x=16+5=21，不满足条件，x＞23，k=4，第五次，x=21+5=26，满足条件，x＞23，程序终止，输出k=4，故选：B4．【解答】A．y=e x是非奇非偶函数，不满足条件．B．y=log2x是非奇非偶函数，不满足条件．C．y=sinx是奇函数，在定义域上不是单调函数，不满足条件．D．y=x3是奇函数，定义域上单调递增，满足条件．故选：D5．【解答】由，平方得2﹣2•+2=2+2•+2，得得•=0，即得⊥，则平行四边形ABCD是矩形，故选：A6．【解答】由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，而且有一侧棱垂直与底面，结合俯视图，可知B满足，故选B．7．【解答】当m⊥α时，若n⊥m，则n∥α或n⊂α，即充分性不成立，若n∥α，则n⊥m成立，即“n⊥m”是“n∥α”的必要不充分条件，故选：B8．【解答】由题意知，每摸球一次后，甲袋中的球减少一个，∵甲袋中原有16个白球和17个黑球，∴当甲袋中只剩一个球时，摸球次数为32．当每次取走两个黑球时，甲袋中黑球减少2个，白球个数增加1个，当每次取走两个球中有白球时，甲袋中黑球个数不变，白球个数减少一个，由此循环，当摸球31次后，甲袋中还剩两个球，且这两球不同色，∴当摸球32次后甲袋中只剩一个黑球．故选：C．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.）9．【解答】复数i（1﹣i）=i+1，故答案为：1+i．10．【解答】∵数列{a n}的前n项和为S n，且，∴a3=S3﹣S2=（9+3）﹣（4+2）=6．故答案为：6．11．【解答】∵e﹣2∈（0，1），＞1，ln2∈（0，1），因此三个数中最大的数是．故答案为：．12．【解答】由题意：已知，由正弦定理=，则有sinC=∵0°＜C＜135°∴C=30°则A=180°﹣30°﹣45°=105°故答案为：105°13．【解答】∵一条渐近线的倾斜角为，∴渐近线的斜率为k=tan=，∴双曲线的渐近线的方程为y=±x，∴=，∴e===，故答案为：，．14．【解答】函数y=2﹣x （﹣1≤x＜1）的值域为（，2]，函数y=lnx （1≤x≤a）的值域为：[0，lna]①当a=2时，若f（x）=1，即2﹣x =1，则x=0②若f（x）的值域为[0，2]，≤lna≤2，则a的取值范围是．故答案为：0，．三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）15．【解答】（Ⅰ）∵f（x）===，∴ω=2，∴f（x）的最小正周期为．（Ⅱ）∵，∴．于是，当时，；当，．16．【解答】（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d．因为a1=2，a5=14，所以a1+4d=14．所以d=3．所以a n=3n﹣1．所以b3=a3=8．因为b1=2，因为，所以q2=4．因为b n＞0，所以q=2．所以．…（6分）（Ⅱ）因为b4＜a n＜b6，即24＜3n﹣1＜26，所以，n∈N*．即n=6，7，8， (21)所以满足b4＜a n＜b6的各项的和为a6+a7+…+a21=S21﹣S5== =632．…（13分）17．【解答】（I）因为样本容量与总体容量的比是，所以A，B，C三个组各选出的代表的数量分别为：．所以A，B，C三个组各选出的代表的个数分别为2，3，1．…（4分）（II）设来自A，B，C三个组的代表分别为a1，a2，b1，b2，b3，c．则从6名代表中任意取出两人的所有结果所构成的基本事件空间：Ω={（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a1，c），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（a2，c），（b1，b2），（b1，b3），（b1，c），（b2，b3），（b2，c），（b3，c）}，共15个基本事件．记事件D=“抽出的两个代表来自同一组”．则D={（a1，a2），（b1，b2），（b1，b3），（b2，b3）}，共4个基本事件．所以这两名代表来自同一组的概率．…（11分）（III）P2＞P1．…（14分）18．【解答】（I）证明：因为M，N分别为BC，AB中点，所以MN∥AC．因为MN⊄平面PAC，AC⊂平面PAC，所以MN∥平面PAC．…（4分）（II）证明：因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC．因为AB=AC=2，M为BC的中点，所以AM⊥BC．因为AM∩PA=A，所以BC⊥平面PAM．因为BC⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAM．…（8分）（III）解：存在．过点M作ME⊥AC，交AC于点E，因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥ME．因为ME⊥AC，AC∩PA=A，所以ME⊥平面PAC．因为在△ABC中，AB=AC=2，BC=2，M为BC的中点，所以ME=．…（13分）19．【解答】（I）若m=1，则f（x）=lnx﹣x．所以．所以f'（1）=0，f（1）=﹣1．所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=﹣1．…（5分）（II）因为，当时，f'（x）＞0；时，f'（x）＜0．所以f（x）在上单调递增；在上单调递减．所以f（x）的最大值．g（m）＞m﹣2，即g（m）﹣（m﹣2）＞0．．设h（m）=g（m）﹣（m﹣2）=﹣lnm﹣m+1．因为，所以h（m）在（0，+∞）上单调递减．又因为h（1）=0所以当0＜m＜1时，h（m）＞h（1）=0．所以m取值范围为（0，1）．…（13分）20．【解答】（I）由解得所以椭圆C的方程为+=1．（II）法一：设A（4，y），F1（﹣2，0），因为线段F1A的垂直平分线经过点F2，所以|F1F2|=|F2A|．由2c=4=，解得y=±2．所以直线l的方程为y=±（x+2）．（II）法二设过点F1（﹣2，0）的直线l的斜率为k，显然k存在．则直线l的方程为y=k（x+2）．所以A（4，6k）．设AF1的中点P（x0，y0）．则．所以P（1，3k）．因为PF2⊥F1A，所以．所以．所以直线l的方程为y=±（x+2）．（III）点B在椭圆C上，设B（m，n），n∈[﹣，0）∪（0，]，A（4，y）．因为OA⊥OB，所以，即4m+ny=0．因为点B在椭圆C上，所以+=1，所以|AB|2=（m﹣4）2+（n﹣y）2=m2﹣8m+16+n2﹣2ny+y2=m2﹣8m+16+n2+8m+y2，=m2+16+n2+y2=m2+16+n2+（）2，=9（1﹣）+16+n2+，=﹣﹣设t=n2，t∈（0，5]设．因为，所以g（t）在（0，5]上单调递减．所以当t=5，即时，|AB|min=．第11页共11 页。
2017-2018年北京市昌平区高三(上)期末数学试卷和答案(理科)
2017-2018学年北京市昌平区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）若集合A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|x（x﹣3）＞0}，则A∩B=（）A．{x|x＜1或x＞3}B．{x|﹣2＜x＜1}C．{x|﹣2＜x＜0或x＞3}D．{x|﹣2＜x＜0}2．（5分）||=（）A．B．C．﹣1 D．13．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．43 B．55 C．61 D．814．（5分）设x，y满足，则z=2x+2y的最大值为（）A．B．2 C．4 D．165．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的四个侧面中，面积的最小值为（）A．1 B．C．2 D．26．（5分）已知函数f（x）=e x+e﹣x，则函数f（x）（）A．是偶函数，且在（﹣∞，0）上是增函数B．是奇函数，且在（﹣∞，0）上是增函数C．是偶函数，且在（﹣∞，0）上是减函数D．是奇函数，且在（﹣∞，0）上是减函数7．（5分）设，则“cosx＜x2”是“cosx＜x”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）四个足球队进行单循环比赛（每两队比赛一场），每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局双方各得1分．比赛结束后发现没有足球队全胜，且四队得分各不相同，则所有比赛中可能出现的最少平局场数是（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）在（1+x）7的二项展开式中，x2项的系数为（结果用数值表示）．10．（5分）已知曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，那么曲线C的直角坐标方程为．11．（5分）已知直线l：4x+3y+5=0，点P是圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=1上的点，那么点P到直线l的距离的最小值是．12．（5分）已知Rt△ABC，AB=AC=1，点E是AB边上的动点，则的值为；的最大值为．13．（5分）某商业街的同侧有4块广告牌，牌的底色可选用红、蓝两种颜色，若要求任意相邻两块牌的底色不都为红色，则不同的配色方案有种．14．（5分）若函数f（x）=（a＞0且a≠1），函数g（x）=f（x）﹣k．①若a=，函数g（x）无零点，则实数k的取值范围为；②若f（x）有最小值，则实数a的取值范围是．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．（13分）已知等差数列{a n}的公差d为1，且a1，a3，a4成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列b n=2+n，求数列{b n}的前n项和S n．16．（13分）在△ABC中，．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若，，求a的值．17．（13分）随着“中华好诗词”节目的播出，掀起了全民诵读传统诗词经典的热潮．某社团为调查大学生对于“中华诗词”的喜好，从甲、乙两所大学各随机抽取了40名学生，记录他们每天学习“中华诗词”的时间，并整理得到如下频率分布直方图：根据学生每天学习“中华诗词”的时间，可以将学生对于“中华诗词”的喜好程度分为三个等级：（Ⅰ）从甲大学中随机选出一名学生，试估计其“爱好”中华诗词的概率；（Ⅱ）从两组“痴迷”的同学中随机选出2人，记ξ为选出的两人中甲大学的人数，求ξ的分布列和数学期望E（ξ）；（Ⅲ）试判断选出的这两组学生每天学习“中华诗词”时间的平均值与的大小，及方差S2甲与S2乙的大小．（只需写出结论）18．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，△PAB为正三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD，E为线段AB的中点，M在线段PD 上．（I）当M是线段PD的中点时，求证：PB∥平面ACM；（II）求证：PE⊥AC；（III）是否存在点M，使二面角M﹣EC﹣D的大小为60°，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．19．（14分）已知函数f（x）=ax﹣ln（x+1），a∈R．（I）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（0，f （0））处的切线方程；（II）求函数f（x）在区间[0，e﹣1]上的最小值．20．（13分）已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．设该数列的前n项和为S n，规定：若∃m∈N*，使得（p∈N），则称m为该数列的“佳幂数”．（Ⅰ）将该数列的“佳幂数”从小到大排列，直接写出前3个“佳幂数”；（Ⅱ）试判断50是否为“佳幂数”，并说明理由；（III）（i）求满足m＞70的最小的“佳幂数”m；（ii）证明：该数列的“佳幂数”有无数个．2017-2018学年北京市昌平区高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）若集合A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|x（x﹣3）＞0}，则A∩B=（）A．{x|x＜1或x＞3}B．{x|﹣2＜x＜1}C．{x|﹣2＜x＜0或x＞3}D．{x|﹣2＜x＜0}【解答】解：∵集合A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|x（x﹣3）＞0}={x|x＜0或x＞3}，∴A∩B={x|﹣2＜x＜0}．故选：D．2．（5分）||=（）A．B．C．﹣1 D．1【解答】解：||=||=|1﹣i|=．故选：B．3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．43 B．55 C．61 D．81【解答】解：当n=24时，满足进行循环的条件，S=25，n=18；当n=18时，满足进行循环的条件，S=43，n=12；当n=12时，满足进行循环的条件，S=55，n=6；当n=6时，满足进行循环的条件，S=61，n=0；当n=0时，不满足进行循环的条件，故输出的S值为61，故选：C．4．（5分）设x，y满足，则z=2x+2y的最大值为（）A．B．2 C．4 D．16【解答】解：作出x，y满足，表示的平面区域：其中A（0，1），设F（x，y）=x+2y，将直线l：0=x+2y进行平移，观察直线在y轴上的截距变化，可得当l经点A时，目标函数z达到最大值，=F（0，1）=2．∴F（x，y）最大值z=2x+2y的最大值为：4．故选：C．5．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的四个侧面中，面积的最小值为（）A．1 B．C．2 D．2【解答】解：根据三视图可知几何体是一个四棱锥，底面是一个直角梯形，AD⊥AB、AD∥BC，AD=AB=2、BC=1，PA⊥底面ABCD，且PA=2，==2，∴S△PADS△PAB==2，=，S△PCD===2，∴该四棱锥的四个侧面中，面积的最小值为．故选：B．6．（5分）已知函数f（x）=e x+e﹣x，则函数f（x）（）A．是偶函数，且在（﹣∞，0）上是增函数B．是奇函数，且在（﹣∞，0）上是增函数C．是偶函数，且在（﹣∞，0）上是减函数D．是奇函数，且在（﹣∞，0）上是减函数【解答】解：函数的定义域是R，关于原点对称，f（﹣x）=e﹣x+e x=f（x），故函数f（x）是偶函数，x＜0时，f′（x）=e x﹣e﹣x＜0，故f（x）在（﹣∞，0）递减，故选：C．7．（5分）设，则“cosx＜x2”是“cosx＜x”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由x2=x得x=0或x=1，作出函数y=cosx和y=x2和y=x的图象如图，则由图象可知当cosx＜x2时，x B＜x＜，当cosx＜x时，x A＜x＜，∵x A＜x B，∴“cosx＜x2”是“cosx＜x”的充分不必要条件，故选：A．8．（5分）四个足球队进行单循环比赛（每两队比赛一场），每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局双方各得1分．比赛结束后发现没有足球队全胜，且四队得分各不相同，则所有比赛中可能出现的最少平局场数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：四支足球队进行单循环比赛（每两队比赛一场），共比赛6场；每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局双方各得1分；即每场比赛若不平局，则共产生3×6=18分，每场比赛都平局，则共产生2×6=12分；比赛结束后发现没有足球队全胜，且四队得分各不相同，则各队得分分别为：2，3，4，5；或3，4，5，6．如果是3，4，5，6，则每场产生=3分，没有平局产生，但是不可能产生4，5分，与题意矛盾，舍去；因此各队得分分别为：2，3，4，5．第一名得分5：5=3+1+1，为一胜两平；第二名得分4：4=3+1+0，为一胜一平一负；第三名得分3：根据胜场等于负场，只能为三平；第四名得分2：2=1+1+0，为两平一负．则所有比赛中可能出现的最少平局场数是1．故选：B．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）在（1+x）7的二项展开式中，x2项的系数为21（结果用数值表示）．【解答】解：二项式（1+x）7展开式的通项公式为T r+1=•x r，令r=2，得展开式中x2的系数为=21．故答案为：21．10．（5分）已知曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，那么曲线C的直角坐标方程为x2+（y﹣1）2=1．【解答】解：曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，整理得：ρ2=2ρsinθ，转化为：x2+（y﹣1）2=1．故答案为：x2+（y﹣1）2=1．11．（5分）已知直线l：4x+3y+5=0，点P是圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=1上的点，那么点P到直线l的距离的最小值是2．【解答】解：直线l：4x+3y+5=0，点P是圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=1上的点，圆心（1，2）到直线l：4x+3y+5=0的距离d==3，∵圆半径r=1，∴点P到直线l的距离的最小值为：3﹣1=2．故答案为：2．12．（5分）已知Rt△ABC，AB=AC=1，点E是AB边上的动点，则的值为﹣1；的最大值为2．【解答】解：以A点为原点，以AB为x轴，以AC为y轴，建立如图所示的坐标系，∵Rt△ABC，AB=AC=1，∴A（0，0），B（1，0），C（0，1），∵点E是AB边上的动点，∴不妨设E的坐标为（x，0），0≤x≤1，∴=（x，﹣1），=（0，1），=（1，﹣1），∴=﹣1，=x+1≤1+1=2，故答案为：﹣1；2．13．（5分）某商业街的同侧有4块广告牌，牌的底色可选用红、蓝两种颜色，若要求任意相邻两块牌的底色不都为红色，则不同的配色方案有8种．【解答】解：根据题意，底色为红色的最多有2块，则分3种情况讨论：①，4块广告牌中全部选蓝色为底色，有1种情况，②，4块广告牌中有1块底色选红色，其他选蓝色，有C41=4种情况，③，4块广告牌中有2块底色选红色，2块底色选蓝色，先排好2块蓝色的，排好后有3个空位，在3个空位中任选2个，安排红色的，有C32=3种情况，则相邻两块牌的底色不都为红色的排法有1+4+3=8种；故答案为：8．14．（5分）若函数f（x）=（a＞0且a≠1），函数g（x）=f（x）﹣k．①若a=，函数g（x）无零点，则实数k的取值范围为[﹣1，1）；②若f（x）有最小值，则实数a的取值范围是（1，3] ．【解答】解：①a=时，画出函数f（x）的图象，如图所示：，若函数g（x）无零点，则y=k和y=f（x）无交点，结合图象，﹣1≤k＜1；②若0＜a＜1，显然f（x）无最小值，故a＞1，结合log a3=1，解得：a=3，故a∈（1，3]；故答案为：[﹣1，1），（1，3]．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．（13分）已知等差数列{a n}的公差d为1，且a1，a3，a4成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列b n=2+n，求数列{b n}的前n项和S n．【解答】解：（Ⅰ）在等差数列{a n}中，因为a1，a3，a4成等比数，所以，即，解得．因为d=1，所以数列{a n}的通项公式a n=n﹣5．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：a n=n﹣5，所以b n=2+n=2n+n，得S n=（2+22+…+2n）+（1+2+…+n）=+=2n+1﹣2+．16．（13分）在△ABC中，．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若，，求a的值．【解答】解：（I）因为，所以cosA≠0，由正弦定理：==，得．又因为C∈（0，π），sinC≠0，所以．又因为A∈（0，π），所以．（II）由，得，由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，得，即，因为，解得a2=4．因为a＞0，17．（13分）随着“中华好诗词”节目的播出，掀起了全民诵读传统诗词经典的热潮．某社团为调查大学生对于“中华诗词”的喜好，从甲、乙两所大学各随机抽取了40名学生，记录他们每天学习“中华诗词”的时间，并整理得到如下频率分布直方图：根据学生每天学习“中华诗词”的时间，可以将学生对于“中华诗词”的喜好程度分为三个等级：（Ⅰ）从甲大学中随机选出一名学生，试估计其“爱好”中华诗词的概率；（Ⅱ）从两组“痴迷”的同学中随机选出2人，记ξ为选出的两人中甲大学的人数，求ξ的分布列和数学期望E（ξ）；（Ⅲ）试判断选出的这两组学生每天学习“中华诗词”时间的平均值与的大小，及方差S2甲与S2乙的大小．（只需写出结论）【解答】（共13分）解：（Ⅰ）由图知，甲大学随机选取的40名学生中，“爱好”中华诗词的频率为（0.030+0.020+0.015）×10=0.65，所以从甲大学中随机选出一名学生，“爱好”中华诗词的概率为0.65．…（3分）（Ⅱ）甲大学随机选取的40名学生中“痴迷”的学生有40×0.005×10=2人，乙大学随机选取的40名学生中“痴迷”的学生有40×0.015×10=6人，所以，随机变量ξ的取值为ξ=0，1，2．所以P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==．所以ξ的分布列为：∴ξ的数学期望为E（ξ=0）==．…（10分）（Ⅲ），S2甲＞S2乙．…（13分）18．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，△PAB为正三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD，E为线段AB的中点，M在线段PD 上．（I）当M是线段PD的中点时，求证：PB∥平面ACM；（II）求证：PE⊥AC；（III）是否存在点M，使二面角M﹣EC﹣D的大小为60°，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【解答】（共14分）证明：（I）连接BD交AC于H点，连接MH，因为四边形ABCD是菱形，所以点H为BD的中点．又因为M为PD的中点，所以MH∥BP．又因为BP⊄平面ACM，MH⊂平面ACM．所以PB∥平面ACM．…（4分）（II）因为△PAB为正三角形，E为AB的中点，所以PE⊥AB．因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，PE⊂平面PAB，所以PE⊥平面ABCD．又因为AC⊂平面ABCD，所以PE⊥AC．…（8分）解：（Ⅲ）因为ABCD是菱形，∠ABC=60°，E是AB的中点，所以CE⊥AB．又因为PE⊥平面ABCD，以E为原点，分别以EB，EC，EP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系E﹣xyz，则E（0，0，0），B（1，0，0），，，．…（10分）假设棱PD上存在点M，设点M坐标为（x，y，z），，则，所以，所以，，设平面CEM的法向量为n=（x，y，z），则，解得．令z=2λ，则，得．因为PE⊥平面ABCD，所以平面ABCD的法向量m=（0，0，1），所以===．因为二面角M﹣EC﹣D的大小为60°，所以，即3λ2+2λ﹣1=0，解得，或λ=﹣1（舍去）所以在棱PD上存在点M，当时，二面角M﹣EC﹣D的大小为60°．…（14分）19．（14分）已知函数f（x）=ax﹣ln（x+1），a∈R．（I）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（0，f （0））处的切线方程；（II）求函数f（x）在区间[0，e﹣1]上的最小值．【解答】解：（I）f （x）的定义域为（﹣1，+∞），因为f′（x）=a﹣，a=2，所以f′（0）=2﹣1=1，f（0）=0．所以函数f （x）在点（0，f（0））处的切线方程是y=x．（II）由题意可得：f′（x）=a﹣，（1）当a≤0时，f′（x）＜0，所以f（x）在（﹣1，+∞）上为减函数，所以在区间[0，e﹣1]上，f（x）min=f（e﹣1）=a（e﹣1）﹣1．（2）当a＞0时，令f′（x）=a﹣=0，则x=﹣1＞﹣1，①当﹣1≤0，即a≥1时，对于x∈（0，e﹣1），f′（x）＞0，所以f （x）在（0，e﹣1）上为增函数，所以f（x）min=f（0）=0．②当，即时，对于x∈（0，e﹣1），f′（x）＜0，所以f （x）在（0，e﹣1）上为减函数，所以f（x）min=f（e﹣1）=a（e﹣1）﹣1．③当，即时，当x变化时，f（x），f′（x）的变化情况如下表：﹣1所以f（x）min=f（﹣1）=a（﹣1）﹣ln=1﹣a+lna，综上，当时，f（x）min=a（e﹣1）﹣1；当时，f（x）min=1﹣a+lna；当a≥1时，f（x）min=0．20．（13分）已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．设该数列的前n项和为S n，规定：若∃m∈N*，使得（p∈N），则称m为该数列的“佳幂数”．（Ⅰ）将该数列的“佳幂数”从小到大排列，直接写出前3个“佳幂数”；（Ⅱ）试判断50是否为“佳幂数”，并说明理由；（III）（i）求满足m＞70的最小的“佳幂数”m；（ii）证明：该数列的“佳幂数”有无数个．【解答】解：（Ⅰ）由前3个数为1，1，2，则S1=20=1，S2=21=1+1=2，S3=22=1+1+2=4，故前3个“佳幂数为，1，2，3；（Ⅱ）由题意可得，数列如下：第1组：1，第2组：1，2；第3组：1，2，4；…第k组：1，2，4，…，2k﹣1．则该数列的前项的和为：，①当时，k≤9，则，由于210＜210+20＜211，对∀p∈N，，故50不是“佳幂数”．（III）（i）在①中，要使，有k≥12，此时，所以k+2是第k+1组等比数列1，2，4，…，2k的部分项的和，设k+2=1+2+…+2t﹣1=2t﹣1，t∈N*．所以k=2t﹣3≥12，则t≥4，此时k=24﹣3=13，所以对应满足条件的最小“佳幂数”．（ii）由（i）知：k+2=1+2+…+2t﹣1=2t﹣1，t∈N*．当t≥2，且取任意整数时，可得“佳幂数”，所以，该数列的“佳幂数”有无数个．。
2017-2018年北京市昌平区高三(上)期末数学试卷和答案(文科)
2017-2018学年北京市昌平区高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）若集合A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|x（x﹣3）＞0}，则A∩B=（）A．{x|x＜1或x＞3}B．{x|﹣2＜x＜1}C．{x|﹣2＜x＜0或x＞3}D．{x|﹣2＜x＜0}2．（5分）||=（）A．B．C．﹣1 D．13．（5分）若x，y满足，则x+2y的最大值为（）A．4 B．2 C．1 D．﹣24．（5分）已知a，b是实数，则“a＜0，且b＜0”是“ab（a﹣b）＞0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）直线y=kx+2被圆x2+y2﹣4y=0所截得的弦长是（）A．2 B．4 C．D．66．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（）A．2 B．3 C．4 D．67．（5分）《九章算术》中有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”则可求得该女子第2天所织布的尺数为（）A．B．C．D．8．（5分）已知点A（﹣2，0），B（2，0），P（x0，y0）是直线y=x+4上任意一点，以A，B为焦点的椭圆过点P，记椭圆离心率e关于x0的函数为e（x0），那么下列结论正确的是（）A．e与x0一一对应 B．函数e（x0）是增函数C．函数e（x0）无最小值，有最大值D．函数e（x0）有最小值，无最大值二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）某校高一（1）班有学生36人，高一（2）班有学生42人，现在要用分层抽样的方法从两个班抽出13人参加军训表演，则高一（2）班被抽出的人数是．10．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为．11．（5分）已知函数f（x）=sinxcosx，那么f（x）的最小正周期是．12．（5分）已知双曲线的左焦点为抛物线y2=﹣12x的焦点，双曲线的渐近线方程为，则实数a=．13．（5分）已知Rt△ABC，AB=AC=1，点E是AB边上的动点，则的值为；的最大值为．14．（5分）若函数f（x）=（a＞0且a≠1），函数g（x）=f（x）﹣k．①若a=，函数g（x）无零点，则实数k的取值范围为；②若f（x）有最小值，则实数a的取值范围是．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知等差数列{a n}的公差d为1，且a1，a3，a4成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列b n =2+n，求数列{b n}的前n项和S n．16．（13分）在△ABC 中，．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若，，求a的值．17．（13分）随着“中华好诗词”节目的播出，掀起了全民诵读传统诗词经典的热潮．某大学社团为调查大学生对于“中华诗词”的喜好，在该校随机抽取了40名学生，记录他们每天学习“中华诗词”的时间，并整理得到如下频率分布直方图：根据学生每天学习“中华诗词”的时间，可以将学生对于“中华诗词”的喜好程度分为三个等级：（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）从该大学的学生中随机选出一人，试估计其“爱好”中华诗词的概率；（Ⅲ）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，试估计样本中40名学生每人每天学习“中华诗词”的时间．18．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，△PAB为正三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD．E，M分别为线段AB，PD的中点．（I）求证：PE⊥平面ABCD；（II）求证：PB∥平面ACM；（III）在棱CD上是否存在点G，使平面GAM⊥平面ABCD，请说明理由．19．（14分）已知椭圆C：（a＞1），A（a，0），B（0，1），圆O：x2+y2=1的圆心到直线AB的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l与圆O相切，且与椭圆C相交于P，Q两点，求|PQ|的最大值．20．（13分）已知函数f（x）=e x（x2+2），．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）求函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣2，0]上的最大值和最小值．2017-2018学年北京市昌平区高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）若集合A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|x（x﹣3）＞0}，则A∩B=（）A．{x|x＜1或x＞3}B．{x|﹣2＜x＜1}C．{x|﹣2＜x＜0或x＞3}D．{x|﹣2＜x＜0}【解答】解：∵集合A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|x（x﹣3）＞0}={x|x＜0或x＞3}，∴A∩B={x|﹣2＜x＜0}．故选：D．2．（5分）||=（）A．B．C．﹣1 D．1【解答】解：||=||=|1﹣i|=．故选：B．3．（5分）若x，y满足，则x+2y的最大值为（）A．4 B．2 C．1 D．﹣2【解答】解：作出x，y满足，表示的平面区域：其中A（0，1），z=x+2y，将直线l：z=x+2y进行平移，观察直线在y轴上的截距变化，可得当l经点A时，目标函数z达到最大值，∴z=2．最大值z的最大值为：2．故选：B．4．（5分）已知a，b是实数，则“a＜0，且b＜0”是“ab（a﹣b）＞0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：当a＜0，b＜0且a=b时，ab（a﹣b）＞0不成立，即充分性不成立，当a=2，b=1时，满足ab（a﹣b）＞0，但a＜0，且b＜0不成立，即必要性不成立，则“a＜0，且b＜0”是“ab（a﹣b）＞0”的既不充分也不必要条件，故选：D．5．（5分）直线y=kx+2被圆x2+y2﹣4y=0所截得的弦长是（）A．2 B．4 C．D．6【解答】解：圆x2+y2﹣4y=0的圆心C（0，2），半径r=2，直线y=kx+2过圆心，∴直线y=kx+2被圆x2+y2﹣4y=0所截得的弦长为：4．故选：B．6．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（）A．2 B．3 C．4 D．6【解答】解：根据三视图可知几何体是一个四棱锥，底面是一个直角梯形，AD⊥AB、AD∥BC，AD=AB=2、BC=1，PA⊥底面ABCD，且PA=2，∴该四棱锥的体积为：V===2．故选：A．7．（5分）《九章算术》中有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”则可求得该女子第2天所织布的尺数为（）A．B．C．D．【解答】解：设这女子每天分别织布a n尺，则数列{a n}是等比数列，公比q=2．则=5，解得a1=．∴a2==．故选：C．8．（5分）已知点A（﹣2，0），B（2，0），P（x0，y0）是直线y=x+4上任意一点，以A，B为焦点的椭圆过点P，记椭圆离心率e关于x0的函数为e（x0），那么下列结论正确的是（）A．e与x0一一对应 B．函数e（x0）是增函数C．函数e（x0）无最小值，有最大值D．函数e（x0）有最小值，无最大值【解答】解：由题意可得c=2，椭圆离心率e=．故当a取最大值时e取最小，a取最小值时e取最大．由椭圆的定义可得|PA|+|PB|=2a，a=（|PA|+|PB|），由于|PA|+|PB|有最小值而没有最大值，即a有最小值而没有最大值，故椭圆离心率e有最大值而没有最小值，故C正确且D不正确．当直线y=x+4和椭圆相交时，这两个交点到A、B两点的距离之和相等，都等于2a，故这两个交点对应的离心率e相同，故A不正确．由于当x0的取值趋于负无穷大时，|PA|+|PB|=2a趋于正无穷大；而当x0的取值趋于正无穷大时，|PA|+|PB|=2a也趋于正无穷大，故函数e（x0）不是增函数，故C不正确．故选：C．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）某校高一（1）班有学生36人，高一（2）班有学生42人，现在要用分层抽样的方法从两个班抽出13人参加军训表演，则高一（2）班被抽出的人数是7．【解答】解：由分层抽样的定义得×13=×13=7人，故答案为：710．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为37．【解答】解：模拟程序的运行，可得S=1，n=18满足条件n＞0，执行循环体，S=19，n=12满足条件n＞0，执行循环体，S=31，n=6满足条件n＞0，执行循环体，S=37，n=0不满足条件n＞0，退出循环，输出S的值为37．故答案为：37．11．（5分）已知函数f（x）=sinxcosx，那么f（x）的最小正周期是π．【解答】解：函数f（x）=sinxcosx=sin2x 的最小正周期是=π，故答案为：π．12．（5分）已知双曲线的左焦点为抛物线y2=﹣12x的焦点，双曲线的渐近线方程为，则实数a=．【解答】解：根据题意，抛物线y2=﹣12x的焦点为（﹣3，0），则双曲线的焦点在x轴上，且c=3，即a2+b2=9，又由双曲线的渐近线方程为，则有=，计算可得a=，b=；故答案为：13．（5分）已知Rt△ABC，AB=AC=1，点E是AB边上的动点，则的值为﹣1；的最大值为2．【解答】解：以A点为原点，以AB为x轴，以AC为y轴，建立如图所示的坐标系，∵Rt△ABC，AB=AC=1，∴A（0，0），B（1，0），C（0，1），∵点E是AB边上的动点，∴不妨设E的坐标为（x，0），0≤x≤1，∴=（x，﹣1），=（0，1），=（1，﹣1），∴=﹣1，=x+1≤1+1=2，故答案为：﹣1；2．14．（5分）若函数f（x）=（a＞0且a≠1），函数g（x）=f（x）﹣k．①若a=，函数g（x）无零点，则实数k的取值范围为[﹣1，1）；②若f（x）有最小值，则实数a的取值范围是（1，3] ．【解答】解：①a=时，画出函数f（x）的图象，如图所示：，若函数g（x）无零点，则y=k和y=f（x）无交点，结合图象，﹣1≤k＜1；②若0＜a＜1，显然f（x）无最小值，故a＞1，结合log a3=1，解得：a=3，故a∈（1，3]；故答案为：[﹣1，1），（1，3]．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知等差数列{a n}的公差d为1，且a1，a3，a4成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列b n=2+n，求数列{b n}的前n项和S n．【解答】解：（Ⅰ）在等差数列{a n}中，因为a1，a3，a4成等比数，所以，即，解得．因为d=1，所以a1=﹣4，所以数列{a n}的通项公式a n=n﹣5．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：a n=n﹣5，所以b n=2+n=2n+n，得S n=（2+22+…+2n）+（1+2+…+n）=+=2n+1﹣2+．16．（13分）在△ABC中，．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若，，求a的值．【解答】解：（I）因为，所以cosA≠0，由正弦定理：==，得．又因为C∈（0，π），sinC≠0，所以．又因为A∈（0，π），所以．（II）由，得，由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，得，即，因为，解得a2=4．因为a＞0，所以a=2．17．（13分）随着“中华好诗词”节目的播出，掀起了全民诵读传统诗词经典的热潮．某大学社团为调查大学生对于“中华诗词”的喜好，在该校随机抽取了40名学生，记录他们每天学习“中华诗词”的时间，并整理得到如下频率分布直方图：根据学生每天学习“中华诗词”的时间，可以将学生对于“中华诗词”的喜好程度分为三个等级：（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）从该大学的学生中随机选出一人，试估计其“爱好”中华诗词的概率；（Ⅲ）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，试估计样本中40名学生每人每天学习“中华诗词”的时间．【解答】（共13分）解：（Ⅰ）由图知，（m+2m+3m+4m×2+6m）×10=1，解得m=0.005．…（3分）（Ⅱ）由图知，该大学随机选取的40名学生中，“爱好”中华诗词的频率为（0.030+0.020+0.015）×10=65%，所以从该大学中随机选出一人，“爱好”中华诗词的概率为0.65．…（6分）（Ⅲ）由该大学学习“中华诗词”时间的频率分布直方图及题意，得该大学选取的40名学生学习“中华诗词”时间的数据分组与频率分布表：由题意可得，10×0.1+20×0.2+30×0.3+40×0.2+50×0.15+60×0.05=32.5（分钟）故估计样本中40名学生每人每天学习“中华诗词”的时间为32.5分钟．…（13分）18．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，△PAB为正三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD．E，M分别为线段AB，PD的中点．（I）求证：PE⊥平面ABCD；（II）求证：PB∥平面ACM；（III）在棱CD上是否存在点G，使平面GAM⊥平面ABCD，请说明理由．【解答】（共14分）证明：（I）因为△PAB为正三角形，E为AB的中点，所以PE⊥AB，又因为面PAB⊥面ABCD，面PAB∩面ABCD=AB，PE⊂平面PAB．所以PE⊥平面ABCD．…（4分）（II）连接BD交AC于H点，连接MH，因为四边形ABCD是菱形，所以点H为BD的中点．又因为M为PD的中点，所以MH∥BP．又因为BP⊄平面ACM，MH⊂平面ACM．所以PB∥平面ACM．…（8分）解：（III）在棱CD上存在点G，G为CD的中点时，平面GAM⊥平面ABCD．…（9分）证明：（法一）连接EC．由（Ⅰ）得，PE⊥平面ABCD，所以PE⊥CD，因为ABCD是菱形，∠ABC=60°，E为AB的中点，所以△ABC是正三角形，EC⊥AB．因为CD∥AB，所以EC⊥CD．因为PE∩EC=E，所以CD⊥平面PEC，所以CD⊥PC．因为M，G分别为PD，CD的中点，所以MG∥PC，所以CD⊥MG．因为ABCD是菱形，∠ADC=60°，所以△ADC是正三角形．又因为G为CD的中点，所以CD⊥AG，因为MG∩AG=G，所以CD⊥平面MAG，因为CD⊂平面ABCD，所以平面MAG⊥平面ABCD．…（14分）（法二）：连接ED，AG交于点O．连接EG，MO．因为E，G分别为AB，CD边的中点．所以AE∥DG且AE=DG，即四边形AEGD为平行四边形，O为ED的中点．又因为M为PD的中点，所以MO∥PE．由（I）知PE⊥平面ABCD．所以MO⊥平面ABCD．又因为MO⊂平面GAM，所以平面GAM⊥平面ABCD．…（14分）19．（14分）已知椭圆C：（a＞1），A（a，0），B（0，1），圆O：x2+y2=1的圆心到直线AB的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l与圆O相切，且与椭圆C相交于P，Q两点，求|PQ|的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由已知得，直线AB的方程为：，即x+ay﹣a=0．由a＞1，得点O到直线AB的距离为：=，解得a=，故椭圆C的方程为．…（5分）（Ⅱ）①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=±1，代入，得y=±，此时|PQ|=．②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m，因为直线l与圆O相切，所以=1即m2=1+k2，由，消去y，整理得（1+3k2）x2+6kmx+3（m2﹣1）=0，所以△=36k2m2﹣12（1+3k2）（m2﹣1）=12（1+3k2﹣m2）=24k2，由△＞0，得k ≠0，设点P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=﹣，x1x2=，所以，当且仅当1+k2=2k2，即k=±1时，|PQ|有最大值为．综上所述，|PQ|有最大值为．…（14分）20．（13分）已知函数f（x）=e x（x2+2），．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）求函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣2，0]上的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，函数f（x）=e x（x2+2），则f'（x）=e x（x2+2x+2），则f'（0）=2，又f（0）=2．故曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=2x+2；（Ⅱ）设，则p'（x）=e x（x2+4x+4）=e x（x+2）2≥0，则p（x）在区间[﹣2，0]上单调递增，又p（﹣1）=0，当x∈[﹣2，1]时，p（x）=h'（x）＜0；当x∈[﹣1，0]时，p（x）=h'（x）＞0．所以函数h（x）在区间[﹣2，1]上单调递减，在区间[﹣1，0]上单调递增，又因为，所以．。
北京市昌平区2016-2017学年第一学期高三年级期末质量抽测数学理试题(含答案)word版
昌平区2016－2017学年第一学期高三年级期末质量抽测数学试卷（理科）考生注意事项：1.本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟．2.答题前，考生务必将学校、班级、姓名、考试编号填写清楚．答题卡上第一部分(选择题)必须用2B铅笔作答，第二部分(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时可以使用2B铅笔．3.修改时，选择题用塑料橡皮擦干净，不得使用涂改液．请保持卡面整洁，不要折叠、折皱、破损．不得在答题卡上作任何标记．4.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，未在对应的答题区域作答或超出答题区域的作答均不得分．第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)1．已知集合M={x|-3<x≤5},N={x|x<-5或x>5}，M N等于A．{x|-5<x<5}B．{x|x<-5或x>-3}C．{x|-3<x≤5}D．{x|x<-3或x>5}2.已知两条直线l:x+y-1=0，l:3x+ay+2=0且l⊥l，则a=1212A.-11B．C．-3D．3 333．设a=0.32,b=20.3,c=log0.34，则A.c<a<b B．c<b<a C．b<a<c D．b<c<a2 4.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A．12 C．6B．8D．42主视图左视图2俯视图6. 已知 α 、 β 是两个不同平面， m 、 n 是两条不同直线，下列命题中假命题是5．从甲、乙等 6 名同学中挑选 3 人参加某公益活动，要求甲、乙至少有 1 人参加，不同的 挑选方法共有 A ．16 种 B ．20 种 C ． 24 种 D ．120 种．．．A ．若 m ∥ n , m ⊥ α , 则 n ⊥ αB ．若 m ∥ α , α β = n , 则 m ∥ nC ．若 m ⊥ α , m ⊥ β , 则 α ∥ βD ．若 m ⊥ α , m ⊂ β , 则 α ⊥β7. 某类产品按工艺共分 10 个档次，最低档次产品每件利润为 8 元.每提高一个档次，每件利润增加 2 元. 用同样工时，可以生产最低档产品 60 件，每提高一个档次将少生产 3 件产品.则获得利润最大时生产产品的档次是 A ．第 7 档次 B ．第 8 档次C ．第 9 档次D ．第 10 档次8. 已知定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f (2) = 1， f '( x ) f '( x )为 f ( x ) 的导函数.已知 y = f '( x ) 的图象如图所示,若两b - 1个正数 a , b 满足 f (2a + b ) > 1 ，则 的取值范围是a - 21 1A ．( - ,1 )B ． (-∞ , - ) (1, + ∞)88C ． (-8 ,1 )D ． (-∞ , - 8 ) (1 , + ∞)第Ⅱ卷（非选择题 共 110 分）二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）．o x9.已知函数 y = sin ωx cos ωx 的最小正周期是π2，那么正数 ω = .10. 已知向量 a = (1,2) ， b = (k ,1) ， 若向量 a //b ，那么 k =.( )211.已知过点 -2, 3 的直线 l 与圆 C ：x 2 + y 2 + 4 x = 0 相交的弦长为 2 3 ，则圆 C 的圆心坐标是___________ , 直线 l 的斜率为.开始12. 某程序框图如图所示，则输出的 S =.S =1, k =1k = k +1S =2S + k否k ＞3是输出 S结束13. 已知 ( x - m ) 7 = a + a x + a x 2 + + a x 7 的展开式中 x 4 的系数是 - 35 ，则0 1 2 7m =； a + a + a + + a =.1 23714. 设函数 f ( x ) 的定义域为 R ，若存在与 x 无关的正常数 M ，使 | f ( x ) |≤ M | x | 对一切实 数 x 均 成 立 ， 则 称 f ( x ) 为 有 界 泛 函 . 在 函 数 ① f ( x ) = -5x ， ② f ( x ) = x 2 ， ③1f ( x ) = si nx ，④ f ( x ) = ( ) x ，⑤ f ( x ) = x cos x 中，属于有界泛函的有 __________(填 2上所有正确的序号) .三、解答题(本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)15．（本小题满分 13 分） 在 ∆ABC 中， 1cos 2 A = cos 2 A - cos A ． 2（I ）求角 A 的大小；（II）若a=3，sin B=2sin C，求S∆ABC．16．(每小题满分13分)某人进行射击训练，击中目标的概率是45，且各次射击的结果互不影响.（Ⅰ）假设该人射击5次，求恰有2次击中目标的概率；（Ⅱ）假设该人每射击5发子弹为一组，一旦命中就停止，并进入下一组练习，否则一直打完5发子弹才能进入下一组练习，求：①在完成连续两组练习后，恰好共使用了4发子弹的概率；②一组练习中所使用子弹数ξ的分布列，并求ξ的期望.17.（本小题满分14分）如图在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，P A⊥底面ABCD，垂足为点A，PA=AB=1,点M，N分别是PD，PB的中点．（I）求证:PB//平面ACM；P（II）求证:MN⊥平面PAC；M（III）若PF=2FC,求平面FMN与平面ABCD所成二面角NF的余弦值.A DB C18．（本小题满分13分）已知数列{a}是等差数列,a=10,a=22，数列{b}的前n项和是T，且n36n n3 n1T + b = 1 .n（I ）求数列{a } 的通项公式；n（II ）求证：数列{b } 是等比数列；n（III ）记 c = a ⋅ b ，求证： cn n nn +1< c .n19．（本小题满分 13 分） 已知函数 f ( x ) = ( x 2- x - 1 )e ax（ a > 0 ）.a（I ）当 a = 1 时，求函数 f ( x ) 的单调区间；（II ）若不等式 f ( x ) + 5≥ 0 对 x ∈ R 恒成立,求 a 的取值范围.a20. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x ) 是奇函数，函数 g ( x ) 与 f ( x ) 的图象关于直线 x = 1 对称，当 x > 2 时，g ( x ) = a ( x - 2) - ( x - 2)3 ( a 为常数).（I ）求 f ( x ) 的解析式；（II ）已知当 x = 1 时， f ( x ) 取得极值，求证：对任意x , x ∈ (-1,1),| f ( x ) - f ( x ) |< 4 恒 1 212成立；（III ）若 f ( x ) 是 [1,+∞) 上的单调函数，且当 x ≥ 1, f ( x ) ≥ 1时，有 f ( f ( x )) = x ，0 0求证： f ( x ) = x .解：（I ）由已知得： (2 cos 2 A - 1) = cos 2 A - cos A ，……2 分= S = 15 5昌平区 2016－2017 学年第一学期高三年级期末质量抽测数学(理科)试卷参考答案及评分标准一、选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．)题号1 2 3 4 5 6 7 8答案BCADABCD二、填空题(本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．)9．210.1 211.（-2，0）； ± 212. 2613． 1 ; 114. ①③⑤三、解答题(本大题共 6 小题，共 80 分)15.（本小题满分 13 分）1 2∴ cos A = 1.……4 分20 < A < π ，∴ A = π3. …………6 分b csin B b（II ）由可得：= = 2 ………7 分 sin B sin C sin C c∴ b = 2c…………8 分cos A = b 2 + c 2 - a 2 4c 2 + c 2 - 9 1= = ………10 分2bc 4c 2 2解得： c = 3 ,b = 2 3………11 分1 3 3 3 bc sin A = ⨯23 ⨯ 3 ⨯=.……13 分222216.（本小题满分 13 分） 解：（I ）设射击 5 次，恰有 2 次击中目标的事件为 A .4 4 P ( A ) = C 2 ⋅ ( ) 2 ⋅ (1 - ) 3 =5 32625……4 分别（Ⅱ）①完成两组练习后，恰好共耗用 4 发子弹的事件为 B ,则P ( B ) = 0.8 ⋅ (1 - 0.8) 2 ⋅ 0.8 + (1 - 0.8) ⋅ 0.8(1 - 0.8) ⋅ 0.8 + (1 - 0.8) 2 ⋅ 0.8 ⋅ 08 = 0.0768 .……8 分② ξ 可能取值为 1，2，3，4，5.…… 9 分P (ξ = 1) = 0.8 ;P (ζ = 2) = (1 - 0.8) ⋅ 0.8 = 0.16P (ζ = 3) = (1 - 0.8) 2 ⋅ 0.8 = 0.032P (ζ = 4) = (1 - 0.8) 3 ⋅ 0.8 = 0.0064P (ζ = 5) = (1 - 0.8) 4 ⋅ 0.8 = 0.0016 ……11 分ζP10.8 20.16 30.032 40.0064 50.0016∴ E ζ = 1.2496 .……13 分17（本小题满分 14 分） 证 明 ：（ I ） 连 接AC , BD , AM , MC , MO , MN , 且AC BD = O 点O , M 分∴ MO // PB , PB ⊄ 平面ACMPPD , BD的 是∴ PB // 平面ACM .…… 4 分(II) P A ⊥ 平面ABCDM∴ PA ⊥ BD底面ABCD 是正方形 ，NBD ⊂ 平面ABCDAD∴ AC ⊥ BDO又BP A ⋂ AC = A∴ BD ⊥ 平面PAC …… 7 分C在 ∆PBD 中，点 M ， N 分别是 PD ， PB 的中点．z∴ MN // BDPMNAFDyBCx⎧ x y ⎪⎪ 2 2 ⎧ y = x 可得： ⎨ 解得： ⎨ 令 x = 1, 可得 n = (1,1,5) …… 13 分 x 2 y z z = 5x ⎪ + - = 0 解：（1）由已知 ⎨ 3 1 4 3 n -13 n -1 3 n4 n -1b 4 4∴ MN ⊥ 平面PAC .…… 9 分（III ）P A ⊥ 平面ABCD ， 底面ABCD 是正方形以 A 为原点，建立空间直角坐标系由 PF = 2FC可得1 1 1 12 2 1A (0,0,0), M (0, , ), N ( ,0, ), F ( , , )2 2 2 23 3 3设平面 MNF 的法向量为 n = ( x , y , z )平面 ABCD 的法向量为 AP = (0,0,1)1 1 12 1NM = (- , ,0), NF = ( , ,- )…… 11 分2 2 63 6- + = 0⎩ ⎪⎩ 6 3 6cos < AP , n >= 527=5 2727……14 分18．（本小题满分 13 分）⎧a + 2d = 10, 1⎩a 1 + 5d = 22.解得 a = 2, d = 4.1∴ a = 2 + (n - 1) ⨯ 4 = 4n - 2. ………………4 分n（2）由于 T = 1 - n 1b ， ①3 n1 3 1令 n =1，得 b = 1 - b . 解得 b = ，当 n ≥ 2 时， T = 1 - b 1 1 n -1 1 1 1① －②得 b = b - b ， ∴ b = b n n②又 b = 1 3 1≠ 0 , ∴ n = .4 b 4n -13 1∴数列 {b } 是以 为首项， 为公比的等比数列.……………………9 分n4n444 0对于x<-2（3）由（2）可得b=3n .……9分c=a⋅b=n n n3(4n-2)4n……10分c n+13[4(n+1)-2]3(4n-2)30-36n -c=-=.n n+1n n+1n≥1，故cn+1-c<0.∴cn n+1<c.……………………13分n19．（本小题13分）解:对函数f(x)求导得:f'(x)=e ax(ax+2)(x-1)……………2分(Ⅰ)当a=1时,f'(x)=e(x+2)(x-1)令f'(x)>0解得x>1或x<-2f'(x)<解得-2<x<1所以,f(x)单调增区间为(-∞,-2)和(1,+∞),f(x)单调减区间为(-2,1).……………5分(Ⅱ)令f'(x)=0,即(ax+2)(x-1)=0,解得x=-当a>0时,列表得：2a或x=16分x f'(x) f(x)2(-∞,-)a+↗-2a极大值2(-,1)a－↘1极小值(1,+∞)+↗……………8分21时，因为x2>0,-x>,a>0,所以x2-x->0，a a a∴f(x)>0………10分对于x≥-21时，由表可知函数在x=1时取得最小值f(1)=-e a<0 a a所以，当x∈R时，f(x)min1=f(1)=-e aa……11分由题意，不等式f(x)+5a≥0对x∈R恒成立，所以得-15e a+≥0，解得0<a≤ln5……………13分a a20.（本小题满分14分）解:(Ⅰ)当x<0时，必有-x>0，则2-x>2,而若点P(x,y)在y=f(x)的图象上，则P(x,y)关于x=1的对称点P(2-x,y)必在g(x)的图象上，即当x<0时，1y=f(x)=g(2-x)=a[(2-x)-2]-[(2-x)-2]3=-ax+x3由于f(x)是奇函数，则任取x>0,有-x<0,且f(x)=-f(-x)=-[-a(-x)+(-x)3]=-ax+x3又当x=0时，由f(-0)=-f(0)必有f(0)=0综上，当x∈R时f(x)=x3-ax.……5分（Ⅱ）若x=1时f(x)取到极值，则必有当x=1时f'(x)=3x2-a=0，即a=3又由f'(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1)知，当x∈(-1,1)时，f'(x)<0，f(x)为减函数∴当x∈[-1,1]时，f(-1)≥f(x)≥f(1)=(-1)3-3(-1)=2≥f(x)≥f(1)=-2∴当x,x∈(-1,1)时|f(x)-f(x)|<|f(-1)-f(1)|=4.……9分1212（Ⅲ）若f(x)在[1,+∞)为减函数，则f'(x)=3x2-a<0对任意x∈[1,+∞)皆成立，这样的实数a不存在若f(x)为增函数，则可令f'(x)=3x2-a>0.由于f'(x)在[1,+∞)上为增函数，可令f'(x)=3x2-a≥f'(1)=3-a≥0，即当a≤3时，f(x)在[1,+∞)上为增函数由x≥1,f(x)≥1，f(f(x))=x0000设f(x)>x≥1，则f[f(x)]>f(x)0000∴x>f(x)与所设矛盾00若x>f(x)≥100则f(x)>f[f(x)]∴f(x)>x与所设矛盾0000……14分故必有f(x)=x00。
北京市昌平区高三数学上学期期末质量抽测(文) 新人教版
昌平区2010届高三上学期期末质量抽测数学试卷（文科）（满分150分，考试时间 120分钟）考生须知：1． 本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分。
2． 答题前考生务必将答题卡上的学校、姓名、考试编号用黑色字迹的签字笔填写，并认真核对条形码上的考试编号、姓名。
3．答题卡上第一部分(选择题)必须用2B 铅笔作答，第二部分(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时可以使用2B 铅笔。
请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。
4． 修改时，选择题部分用塑料橡皮擦涂干净，不得使用涂改液。
保持答题卡整洁，不要折叠、折皱、破损。
不得在答题卡上做任何标记。
5．考试结束后，考生务必将答题卡交监考老师收回，试卷自己妥善保存。
参考公式：柱体的体积公式V=Sh ，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高。
锥体的体积公式V=13Sh ，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)(1) 已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={x|x 2-7x+10=0},B={2，3，6},则集合(U A)∩B =A ．{1，3，4，6}B ．{3，6}C ．{2}D ．{2，3，5，6} (2) 若复数ii z -=1（i 是虚数单位），则=|z |A ．21 B ．22C ．1D ．2 （3）已知直线12:210:(1)10l x my l x m y -+=+--=与,则“m =2”是“1l ⊥2l ”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分且必要条件D ．既不充分又不必要条件(4)下列函数中,周期为π的偶函数是A.cos y x =B.sin 2y x =C. tan y x = D . sin(2)2y x π=+（5）数列{n a }的前n 项和223(N*)n S n n n =-∈，则4a = A. 11 B. 15 C. 17 D.20（6）如果一个几何体的三视图如图所示（单位长度：cm ）， 则此几何体的体积是（ ）A ．396cmB ．380cm C．(380cm + D ．3224cm 3（7）已知点（,m n ）在直线52200x y +-=上, 其中0m n >、,则lg lg m n + A.有最大值为2 B.有最小值为2 C ．有最大值为1 D. 有最小值为1（8）已知函数),3[)(+∞-的定义域为x f ，且2)3()6(=-=f f . )()(x f x f 为'的导函数，函数 '()f x 的图像如右图所示.则平面区域0,0,(2)2,a b f a b ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩所围成的面积是（ ）A ．10B ．4C ．9D ．18第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）（9） 已知函数()(0,1)xf x a a a =>≠过点（2，4），则a =________. （10）为了测算如右图阴影部分的面积，做一个边长为6的 正方形将其包含在内，并向正方形内随机投掷800个点。
2016-2017年北京市昌平区高三上学期期末数学试卷(理科)及答案解析
2016-2017学年北京市昌平区高三上学期数学期末试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）1．（5分）已知全集U=R，集合A={x|x2＞1}，那么∁U A=（）A．[﹣1，1]B．[1，+∞）C．（﹣∞，1]D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）2．（5分）下列四个函数中，在其定义域上既是奇函数又是单调递增函数的是（）A．y=e x B．y=sinx C．D．y=x33．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x值为1，则输出的k值为（）A．3 B．4 C．5 D．64．（5分）设，则（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．a＜b＜c5．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图为（）A．B．C．D．6．（5分）已知函数的图象如图所示，则函数f（x）的解析式的值为（）A．B．C．D．7．（5分）在焦距为2c的椭圆中，F1，F2是椭圆的两个焦点，则“b＜c”是“椭圆M上至少存在一点P，使得PF1⊥PF2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）若函数f（x）满足：集合A={f（n）|n∈N*}中至少存在三个不同的数构成等差数列，则称函数f（x）是等差源函数．判断下列函数：①y=log2x；②y=2x；③y=中，所有的等差源函数的序号是（）A．①B．①②C．②③D．①③二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.）9．（5分）设a∈R，若i（1+ai）=2+i，则a=．10．（5分）已知正项等比数列{a n}中，S n为其前n项和，a1=2，a2+a3=12，则S5=．11．（5分）若x，y满足则2x+y的最大值为．12．（5分）已知角α的终边过点P（3，4），则cos2α=．13．（5分）在矩形ABCD中，AB=2，BC=1，那么=；若E为线段AC上的动点，则的取值范围是．14．（5分）设函数①若a=1，则f（x）的零点个数为；②若f（x）恰有1个零点，则实数a的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）15．（13分）已知△ABC是等边三角形，D在BC的延长线上，且CD=2，．（Ⅰ）求AB的长；（Ⅱ）求sin∠CAD的值．16．（13分）A、B两个班共有65名学生，为调查他们的引体向上锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生引体向上的测试数据（单位：个），用茎叶图记录如下：（I）试估计B班的学生人数；（II）从A班和B班抽出的学生中，各随机选取一人，A班选出的人记为甲，B 班选出的人记为乙，假设所有学生的测试相对独立，比较甲、乙两人的测试数据得到随机变量ξ．规定：当甲的测试数据比乙的测试数据低时，记ξ=﹣1，当甲的测试数据与乙的测试数据相等时，记ξ=0，当甲的测试数据比乙的测试数据高时，记ξ=1．求随机变量ξ的分布列及期望．（III）再从A、B两个班中各随机抽取一名学生，他们引体向上的测试数据分别是10，8（单位：个），这2个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记μ1，表格中数据的平均数记为μ0，试判断μ0和μ1的大小（结论不要求证明）．17．（14分）如图1，四边形ABCD为正方形，延长DC至E，使得CE=2DC，将四边形ABCD沿BC折起到A1BCD1的位置，使平面A1BCD1⊥平面BCE，如图2．（I）求证：CE⊥平面A1BCD1；（II）求异面直线BD1与A1E所成角的大小；（III）求平面BCE与平面A1ED1所成锐二面角的余弦值．18．（13分）设函数f（x）=ln（1+ax）+bx，g（x）=f（x）﹣bx2．（Ⅰ）若a=1，b=﹣1，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若曲线y=g（x）在点（1，ln3）处的切线与直线11x﹣3y=0平行．（i）求a，b的值；（ii）求实数k（k≤3）的取值范围，使得g（x）＞k（x2﹣x）对x∈（0，+∞）恒成立．19．（14分）椭圆C的焦点为F 1（﹣，0），，且点在椭圆C上．过点P（0，1）的动直线l与椭圆相交于A，B两点，点B关于y轴的对称点为点D（不同于点A）．（I）求椭圆C的标准方程；（II）证明：直线AD恒过定点，并求出定点坐标．20．（13分）已知Ω是集合{（x，y）|0≤x≤6，0≤y≤4}所表示图形边界上的整点（横、纵坐标都是整数的点）的集合，集合D={（6，0），（﹣6，0），（0，4），（0，﹣4），（4，﹣4），（﹣4，4），（2，﹣2），（﹣2，2）}．规定：（1）对于任意的a=（x1，y1）∈Ω，b=（x2，y2）∈D，a+b=（x1，y1）+（x2，y2）=（x1+x2，y1+y2）（2）对于任意的k∈N*，序列a k，b k满足：①a k∈Ω，b k∈D②a1=（0，0），a k=a k﹣1+b k﹣1，k≥2，k∈N*（Ⅰ）求a2（Ⅱ）证明：∀k∈N*，a k≠（5，0）（Ⅲ）若a k=（6，2），写出满足条件的k的最小值及相应的a1，a2，…，a k．2016-2017学年北京市昌平区高三上学期数学期末试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）1．（5分）已知全集U=R，集合A={x|x2＞1}，那么∁U A=（）A．[﹣1，1]B．[1，+∞）C．（﹣∞，1]D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）【解答】解：全集U=R，集合A={x|x2＞1}=（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），∁U A=[﹣1，1]，故选：A．2．（5分）下列四个函数中，在其定义域上既是奇函数又是单调递增函数的是（）A．y=e x B．y=sinx C．D．y=x3【解答】解：A．y=e x是非奇非偶函数，不满足条件．B．y=sinx是奇函数，在定义域上不是单调函数，不满足条件．C.是非奇非偶函数，不满足条件．D．y=x3是奇函数，定义域上单调递增，满足条件．故选：D．3．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x值为1，则输出的k值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：若输入x=1．则第一次，x=1+5=6，不满足条件，x＞23，k=1，第二次，x=6+5=11，不满足条件，x＞23，k=2，第三次，x=11+5=16，不满足条件，x＞23，k=3，第四次，x=16+5=21，不满足条件，x＞23，k=4，第五次，x=21+5=26，满足条件，x＞23，程序终止，输出k=4，故选：B．4．（5分）设，则（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．a＜b＜c【解答】解：∵e﹣2∈（0，），＞1，ln2∈（，1），∴＞ln2＞e﹣2．∴a＜c＜b．故选：C．5．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图为（）A．B．C．D．【解答】解：由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，而且有一侧棱垂直与底面，结合俯视图，可知B满足，故选：B．6．（5分）已知函数的图象如图所示，则函数f（x）的解析式的值为（）A．B．C．D．【解答】解：（1）由题设图象知，周期T=2×（）=π，即．∵点（0，）在函数图象上，可得：2sin（2×0+φ）=，得：sinφ=，∵|φ|＜，∴φ=．故函数f（x）的解析式为f（x）=2sin（2x+）．故选：B．7．（5分）在焦距为2c的椭圆中，F1，F2是椭圆的两个焦点，则“b＜c”是“椭圆M上至少存在一点P，使得PF1⊥PF2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若椭圆M上至少存在一点P，使得PF1⊥PF2，则椭圆与半径R=c的圆满足条件．R≥b，即b≤c，则b＜c”是“椭圆M上至少存在一点P，使得PF1⊥PF2”的充分不必要条件，故选：A．8．（5分）若函数f（x）满足：集合A={f（n）|n∈N*}中至少存在三个不同的数构成等差数列，则称函数f（x）是等差源函数．判断下列函数：①y=log2x；②y=2x；③y=中，所有的等差源函数的序号是（）A．①B．①②C．②③D．①③【解答】解：①∵log21，log22，log24构成等差数列，∴y=log2x是等差源函数；②y=2x不是等差源函数，因为若是，则2×2p=2m+2n，则2p+1=2m+2n，∴2p+1﹣n=2m﹣n+1，左边是偶数，右边是奇数，故y=2x+1不是等差源函数；③取成等差数列，因此y=是等差源函数．综上可得：只有①③正确．故选：D．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.）9．（5分）设a∈R，若i（1+ai）=2+i，则a=﹣2．【解答】解：∵i（1+ai）=2+i，∴i﹣a=i+2，∴﹣a=2，解得a=﹣2．故答案为：﹣2．10．（5分）已知正项等比数列{a n}中，S n为其前n项和，a1=2，a2+a3=12，则S5= 32．【解答】解：设等比数列的公比为q，则q＞0，由a1=2，a2+a3=12得2q+2q2=12，即q2+q﹣6=0得q=2或q=﹣3，（舍），则S5===62，故答案为：62．11．（5分）若x，y满足则2x+y的最大值为6．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．设z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大，而A（3，0），代入目标函数z=2x+y得z=3×2+0=6．即目标函数z=2x+y的最大值为6．故答案为：6．12．（5分）已知角α的终边过点P（3，4），则cos2α=．【解答】解：由题意，∵角α的终边过点P（3，4），∴cosα=，sinα=∴cos2α=cos2α﹣sin2α==故答案为：13．（5分）在矩形ABCD中，AB=2，BC=1，那么=4；若E为线段AC 上的动点，则的取值范围是[﹣4，1] ．【解答】解：在矩形ABCD中，AB=2，BC=1，则cos∠CAB=，那么=AC•AB•cos∠CAB=•2•=4；若E为线段AC上的动点，则=•（﹣）=•﹣=﹣4；当点E和点A重合时，取得最小值为0，当点E和点C重合时，取得最大值为=5，故的取值范围是[﹣4，1]，故答案为：4；[﹣4，1]．14．（5分）设函数①若a=1，则f（x）的零点个数为2；②若f（x）恰有1个零点，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣3）．【解答】解：把函数y=﹣（x+3）（x﹣1），y=2x﹣2的图象画在同一直角坐标系中．如图所示：直线x=a在平移过程中，可得到函数f（x）与x轴的不同交点个数，①若a=1，则f（x）的零点个数为：2②若f（x）恰有1个零点，则实数a的取值范围是：a＜﹣3．故答案为：2，（﹣∞，﹣3）三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）15．（13分）已知△ABC是等边三角形，D在BC的延长线上，且CD=2，．（Ⅰ）求AB的长；（Ⅱ）求sin∠CAD的值．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设AB=x．因为△ABC是等边三角形，所以．因为，所以．即x2+2x﹣24=0．所以x=4，x=﹣6（舍）．所以AB=4．…（6分）（Ⅱ）因为AD2=AB2+BD2﹣2AB•BDcos∠ABC，所以．所以．在△ACD中，因为，所以．…（13分）16．（13分）A、B两个班共有65名学生，为调查他们的引体向上锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生引体向上的测试数据（单位：个），用茎叶图记录如下：（I）试估计B班的学生人数；（II）从A班和B班抽出的学生中，各随机选取一人，A班选出的人记为甲，B 班选出的人记为乙，假设所有学生的测试相对独立，比较甲、乙两人的测试数据得到随机变量ξ．规定：当甲的测试数据比乙的测试数据低时，记ξ=﹣1，当甲的测试数据与乙的测试数据相等时，记ξ=0，当甲的测试数据比乙的测试数据高时，记ξ=1．求随机变量ξ的分布列及期望．（III）再从A、B两个班中各随机抽取一名学生，他们引体向上的测试数据分别是10，8（单位：个），这2个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记μ1，表格中数据的平均数记为μ0，试判断μ0和μ1的大小（结论不要求证明）．班的学生人数估计为（人），．（Ⅲ）μ1＞μ0．…（13分）17．（14分）如图1，四边形ABCD为正方形，延长DC至E，使得CE=2DC，将四边形ABCD沿BC折起到A1BCD1的位置，使平面A1BCD1⊥平面BCE，如图2．（I）求证：CE⊥平面A1BCD1；（II）求异面直线BD1与A1E所成角的大小；（III）求平面BCE与平面A1ED1所成锐二面角的余弦值．【解答】（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）因为平面A1BCD1⊥平面BCE，且平面A1BCD1∩平面BCE=BC，四边形ABCD为正方形，E在DC的延长线上，所以CE⊥BC．因为CE⊂平面BCE，所以CE⊥平面A1BCD1．…（4分）解：（Ⅱ）法一：连接A1C．因为A1BCD1是正方形，所以A1C⊥BD1．因为CE⊥平面A1BCD1，所以CE⊥BD1．因为A1C∩CE=C，所以BD1⊥平面A1CE．所以BD1⊥A1E．所以异面直线BD1与A1E所成的角是90°．…（9分）法二：以C为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示．设CD=1，则CE=2．则C（0，0，0），B（1，0，0），E（0，2，0），D1（0，0，1），A1（1，0，1）．所以．因为，所以．所以异面直线BD1与A1E所成的角是90°．…（9分）（Ⅲ）因为CD1⊥平面BCE，所以平面BCE的法向量．设平面A 1D1E的法向量．因为，所以，即．设y=1，则z=2．所以．因为所以平面BCE与平面A1ED1所成的锐二面角的余弦值为．…（14分）18．（13分）设函数f（x）=ln（1+ax）+bx，g（x）=f（x）﹣bx2．（Ⅰ）若a=1，b=﹣1，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若曲线y=g（x）在点（1，ln3）处的切线与直线11x﹣3y=0平行．（i）求a，b的值；（ii）求实数k（k≤3）的取值范围，使得g（x）＞k（x2﹣x）对x∈（0，+∞）恒成立．【解答】解：（Ⅰ）当a=1，b=﹣1时，f（x）=ln（1+x）﹣x，（x＞﹣1），则．当f'（x）＞0时，﹣1＜x＜0；当f'（x）＜0时，x＞0；所以f（x）的单调增区间为（﹣1，0），单调减区间为（0，+∞）．…（4分）（Ⅱ）（i）因为g（x）=f（x）﹣bx2=ln（1+ax）+b（x﹣x2），所以．依题设有即解得．…（8分）（ii））所以．g（x）＞k（x2﹣x）对x∈（0，+∞）恒成立，即g（x）﹣k（x2﹣x）＞0对x∈（0，+∞）恒成立．令F（x）=g（x）﹣k（x2﹣x）．则有．①当1≤k≤3时，当x∈（0，+∞）时，F'（x）＞0，所以F（x）在（0，+∞）上单调递增．所以F（x）＞F（0）=0，即当x∈（0，+∞）时，g（x）＞k（x2﹣x）；②当k＜1时，当时，F'（x）＜0，所以F（x）在上单调递减，故当时，F（x）＜F（0）=0，即当x∈（0，+∞）时，g（x）＞k（x2﹣x）不恒成立．综上，k∈[1，3]．…（13分）19．（14分）椭圆C的焦点为F 1（﹣，0），，且点在椭圆C上．过点P（0，1）的动直线l与椭圆相交于A，B两点，点B关于y轴的对称点为点D（不同于点A）．（I）求椭圆C的标准方程；（II）证明：直线AD恒过定点，并求出定点坐标．【解答】解：（I）法一设椭圆C的标准方程为．由已知得，解得．所以椭圆C的方程为+=1．法二设椭圆c的标准方程为．由已知得，．所以a=2，b2=a2﹣c2=2．所以椭圆c的方程为为+=1．（II）法一当直线l的斜率存在时（由题意k≠0），设直线l的方程为y=kx+1．由得（2k2+1）x2+4kx﹣2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2）．则特殊地，当A为（2，0）时，k=﹣，所以2x2=﹣，x2=﹣，y2=，即B（﹣，）所以点B关于y轴的对称点D（，），则直线AD的方程为y=﹣x+2．又因为当直线l斜率不存时，直线AD的方程为x=0，如果存在定点Q满足条件，则Q（0，2）．所以K QA===k﹣，K QB==﹣k+，又因为，所以K QA=K QB，即A，D，Q三点共线．即直线AD恒过定点，定点坐标为Q（0，2）．法二（II）①当直线l的斜率存在时（由题意k≠0），设直线l的方程为y=kx+1．由，可得（1+2k2）x2+4kx﹣2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则D（﹣x2，y2）．所以因为，所以直线AD的方程为：．所以，=，=，=，=，=，=．因为当x=0，y=2，所以直线MD恒过（0，2）点．②当k不存在时，直线AD的方程为x=0，过定点（0，2）．综上所述，直线AD恒过定点，定点坐标为（0，2）．20．（13分）已知Ω是集合{（x，y）|0≤x≤6，0≤y≤4}所表示图形边界上的整点（横、纵坐标都是整数的点）的集合，集合D={（6，0），（﹣6，0），（0，4），（0，﹣4），（4，﹣4），（﹣4，4），（2，﹣2），（﹣2，2）}．规定：（1）对于任意的a=（x1，y1）∈Ω，b=（x2，y2）∈D，a+b=（x1，y1）+（x2，y2）=（x1+x2，y1+y2）（2）对于任意的k∈N*，序列a k，b k满足：①a k∈Ω，b k∈D②a1=（0，0），a k=a k﹣1+b k﹣1，k≥2，k∈N*（Ⅰ）求a2（Ⅱ）证明：∀k∈N*，a k≠（5，0）（Ⅲ）若a k=（6，2），写出满足条件的k的最小值及相应的a1，a2，…，a k．【解答】解：（Ⅰ）对于任意的b=（x2，y2）∈D，a1+b=（0，0）+（x2，y2）=（x2，y2）若（x2，y2）∈Ω，则（x2，y2）=（6，0），或（x2，y2）=（0，4），故a2=（6，0）或（0，4），（Ⅱ）证明：假设命题不成立，即∃k∈N*，使a k=（5，0）即∃b i∈D，i=1，2，…，k﹣1（k≥2），使a1+=a k，化简得=（5，0），所以存在m，n，p∈Z，且m+n+p=k﹣1，使6m+4n+2p=5．又因为6m+4n+2p=2（3m+2n+p）是偶数，而5是奇数，与6m+4n+2p=5矛盾，故假设不成立，即：∀k∈N*，a k≠（5，0），（Ⅲ）k min=5，a1=（0，0），a2=（0，4），a3=（4，0），a4=（4，4），a5=（6，2）．。
北京市昌平区第一学期高三期末考试数学(文科)答案
昌平区第一学期高三期末考试数学参考答案（文科）二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．)（9）（0，3±） (10) 600,32 (11) 4,10(12) 3 (13) ①和④ (14) [3,)+∞三、解答题(本大题共6小题，共80分)（1５）(本小题满分13分)解：(I),ABC ∆在中由正弦定理得：2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===代入 (2)cos cos a c B b C -=整理得：2sin cos sin cos sin cos A B B C C B =+..…3分即：2sin cos sin()sin A B B C A =+=，在三角形中，sin 0A >，2cos 1B =，∵∠Ｂ是三角形的内角，∴B=60°. ……………………………………………… 6分(II),ABC ∆在中由余弦定理得：2222cos b a c ac B =+-⋅2()22cos a c ac ac B =+--⋅4b a c =+=将代入整理得3ac = …………………………………………10分故13sin sin 6022ABC S ac B ∆==︒= …………………………………………… 13分 （16）(本小题满分14分)解：(I)设数列{}n a 的公差为d ，则3410a a d d =-=-，642102a a d d =+=+， 1046106a a d d =+=+ ……2分由3610a a a ，，成等比数列得23106a a a =，……………………………………………… 4分即2(10)(106)(102)d d d -+=+，整理得210100d d -=， 解得0d =或1d =． ∵0d ≠,∴1d = ……………………………………………… 6分141310317,(1)6n a a d a a n d n =-=-⨯==+-=+， 于是2012019202S a d ⨯=+207190330=⨯+=．…………………………………… 9分 (II) 11111(6)(7)(6)(7)n n a a n n n n +==-++++ ……………………………………11分 111111()()...()788967n T n n =-+-++-++=1177n -+ ……………………14分 （17）(本小题满分14分)解:(I)证明：由已知D 在平面ABC 上的射影O 恰好在AB 上, ∴DO ⊥平面ABC ，∴AO 是AD 在平面ABC 上的射影． …………………………………… 2分又∵BC ⊥AB ，∴BC ⊥AD ． …………………………………… 4分(II)解：由(1)得AD ⊥BC ，又AD ⊥DC又BC ∩DC=C ，∴AD ⊥平面BDC又∵BD ⊂平面ADB ，∴AD ⊥BD ， ……………………………………6分在R T ⊿ABD 中，由已知AC = 2，得2=AB ，AD = 1，∴BD = 1, ∴BD = AD,∴O 是AB 的中点. ……………………………………8分(III)解：过D 作DE ⊥AC 于E ，连结OE ，∵DO ⊥平面ABC ，∴O E 是DE 在平面ABC 上的射影．∴OE ⊥AC∴∠DEO 是二面角D －AC －B 的平面角， …………………………………11分 22=DO且3sin 23AD DC DO DE DEO AC DE ==∴∠== 即二面角D －AC －B ……………………………………14分 （18）(本小题满分13分)解：(I)2'()663f x x ax b =++ ……………………………………2分 ()12f x x x ==由函数在及时取得极值,得'(1)0,'(2)0,f f ==即6630,3, 4.241230,a b a b a b ++=⎧=-=⎨++=⎩解得 ……………………………………5分 (II)由(1)知322()29128,'()618126(1)(2).f x x x x c f x x x x x =-++=-+=-- (0,1)'()0;(1,2)'()0;(2,3)'()0.x f x x f x x f x ∈>∈<∈>当时,当时,当时, …………8分 1()(1)58.(0)8,(3)98,[0,3]()(3)98.x f x f c f c f c x f x f c ==+==+∈=+当时,取得极大值又则当时,的最大值为11分 22[0,3],(),19,(,1)(9,).x f x c c c c c c ∈<<<->-∞-⋃+∞因为对任意的有恒成立所以9+8,解得或即的取值范围是13分（19）(本小题满分13分)解（I ）设“设抛掷一颗骰子掷出的点数为3的倍数”为事件Ａ。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
俯视图1侧（左）视图正（主）视图昌平区2016－2017学年第一学期高三年级期末质量抽测数学试卷（文科）（满分150分，考试时间120分钟）2017.1第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）(1) 设全集U={1,2,3,4,5,6}，{3,4}A=，{2,4,5}B=，则()UA B=Ið(A) {1,2,4,5,6} (B) {2,3,4,5} (C) {2,5} (D) {1,6}(2) 已知直线3(1)10x a y+-+=与直线+2=0x y-平行，则a的值为（A）4（B）4-（C）2（D）2-(3)执行如图所示的程序框图，若输入的x值为1，则输出的k值为(A) 3(B) 4(C) 5(D) 6(4) 下列四个函数中，在其定义域上既是奇函数又是单调递增函数的是（A）xy e=（B）2logy x=（C）siny x=（D）3y x=(5) 在平行四边形ABCD中，若AB AD AB AD-=+uu u r uuu r uu u r uuu r，则平行四边形ABCD是(A)矩形 (B)梯形 (C)正方形 (D)菱形(6)一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图为（A）（B）（C）（D）(7) 已知直线,m n 和平面α，且m α⊥.则“n m ⊥”是“//n α”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件(8) 甲袋中有16个白球和17个黑球，乙袋中有31个白球，现每次任意从甲袋中摸出两个球，如果两球同色，则将这两球放进丙袋，并从乙袋中拿出一白球放回甲袋；如果两球不同色，则将白球放进丙袋，并把黑球放回甲袋.那么这样拿 次后，甲袋中只剩一个球，这个球的颜色是（A ）16，黑色 （B ）16，白色或黑色 （C ）32，黑色（D ）32，白色第二卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.）(9) 已知i 为虚数单位,则复数i(1i)-=__________ .(10) 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S n n =+，则3a =__________ . (11) 12,2,ln2ee -三个数中最大的数是_________ .(12) 在ABC ∆中，,24C B b π=∠==，则A ∠=__________ .(13) 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为6π，则双曲线的渐近线的方程为________ ；该双曲线的离心率为________ .(14) 若函数2,11,()ln ,1.x x f x x x a -⎧-≤<=⎨≤≤⎩①当2a =时，若()1f x =，则x =___________；②若()f x 的值域为[0,2]，则a 的取值范围是________ .三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）(15)(本小题满分13分)已知函数2()22cos 1f x x x +- (Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求函数()f x 在64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的最大值和最小值．(16)(本小题满分13分)已知{}n a 是等差数列，{}n b 是正项的等比数列，且115332,14,a b a b a ====. (Ⅰ)求{}n a 、{}n b 的通项公式；(Ⅱ)求数列{}n a 中满足46n b a b <<的各项的和.MNCBA P(17)(本小题满分14分)昌平区在滨河公园举办中学生冬季越野赛.按年龄段将参赛学生分为A,B,C 三个组,各组人数如下表所示.组委会用分层抽样的方法从三个组中选出6名代表.(I) 求A,B,C 三个组各选出代表的个数；(II) 若从选出的6名代表中随机抽出2人在越野赛闭幕式上发言，求这两人来自同一组的概率1P ；(III)若从所有参赛的300名学生中随机抽取2人在越野赛闭幕式上发言，设这两人来自同一组的概率为2P ，试判断1P 与2P 的大小关系(不要求证明).(18)(本小题满分13分)在三棱锥ABC P -中，ABC PA 平面⊥，32,2===BC AC AB ，N M ,分别为AB BC ,中点. （I ）求证：PAC MN 平面//； （II ）求证：PAM PBC 平面平面⊥；（III ）在AC 上是否存在点E ，使得PAC ME 平面⊥，若存在，求出ME 的长，若不存在，请说明理由.(19)(本小题满分13分)已知函数()ln (0)f x x mx m =->.(I) 若1=m ，求曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程；(II)求函数)(x f 的最大值()g m ，并求使()g m >2-m 成立的m 取值范围.(20)(本小题满分14分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为21,F F ，且经过点)5,0(P ，离心率为32，过点1F 的直线l 与直线4=x 交于点A . （I ） 求椭圆C 的方程；（II ） 当线段A F 1的垂直平分线经过点2F 时，求直线l 的方程； （III ）点B 在椭圆C 上，当OB OA ⊥，求线段AB 长度的最小值..昌平区2016－2017学年第一学期高三年级期末质量抽测数学试卷（文科）参考答案及评分标准 2017.1一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）1i + （10）6（11）12e（12）712π（13）y x = （14）0；122,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦（第一空2分，第二空3分）三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）(15)(本小题满分13分)解：(Ⅰ) 因为2()22cos 1f x x x =+-2+cos2x x2sin(2)6x π=+，所以22T=2πππω==. ……………5分 （Ⅱ）因为64x ππ-≤≤，所以22663x πππ-≤+≤. 即 1sin(2)126x π-≤+≤， 所以12sin(2)26x π-≤+≤.所以当262x ππ+=，即6x π=时，()f x 的最大值为2；当266x ππ+=-，即6x π=-时，()f x 的最小值为1-. ……………13分(16)(本小题满分13分)解：(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d .因为12,a =514a =， 所以1414a d +=. 所以3d =. 所以31n a n =-.所以338b a ==. 因为12,b = 因为231b b q =， 所以24q =. 因为0n b >， 所以2q =.所以1222n n n b -=⋅=. ……………6分 (Ⅱ)因为46n b a b <<，即462312n <-<， 所以176533n <<,*N n ∈. 即n =6，7，8， (21)所以满足46n b a b <<的各项的和为6721215a a a S S +++=-L151215()21()22a a a a ++=-21(262)5(214)22++=-632=. ………13分(17)(本小题满分14分)解：(I)因为样本容量与总体容量的比是501501501006=++，所以A,B,C 三个组各选出的代表的数量分别为：150150,3501150,2501100=⨯=⨯=⨯. 所以A,B,C 三个组各选出的代表的个数分别为2,3,1. ……………4分 (II)设来自A,B,C 三个组的代表分别为12123,,,,,.a a b b b c则从6名代表中任意取出两人的所有结果所构成的基本事件空间：121112*********{(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a a a b a b a b a c a b a b a b Ω= 2121312323(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)}a c b b b b b c b b b c b c ，共15个基本事件.记事件D =“抽出的两个代表来自同一组”.则12121323{(,),(,),(,),(,)}D a a b b b b b b = ，共4个基本事件.所以这两名代表来自同一组的概率1415P =. ……………11分(III)21P P >. ……………14分(18)(本小题满分13分)证明：（I ）因为N M ,分别为AB BC ,中点， 所以AC MN //.因为PAC AC PAC MN 平面平面⊂⊄,,所以PAC MN 平面//. ……………4分 （II ）因为ABC PA 平面⊥,BC ABC ⊂平面，所以BC PA ⊥.因为2==AC AB ，M 为BC 的中点， 所以BC AM ⊥.因为A PA AM = ， 所以PAM BC 平面⊥. 因为PBC BC 平面⊂,所以PAM PBC 平面平面⊥. ……………8分（III ）存在.过点M 作AC ME ⊥，交AC 于点E , 因为ABC PA 平面⊥,BC ABC ⊂平面,所以ME PA ⊥.因为AC ME ⊥，A PA AC = , 所以PAC ME 平面⊥.因为在ABC ∆中，32,2===BC AC AB ，M 为BC 的中点, 所以23=ME . ……………13分 (19)(本小题满分13分)解：(I)若1=m ，则x x x f -=ln )(.所以1'()1(0)f x x x=->. 所以'(1)0f =,1)1(-=f .所以曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程为1-=y . ……………5分(II) 因为1'()(0)f x m x x=->， 当)1,0(m x ∈时, '()0f x >;),1(+∞∈mx 时，'()0f x <. 所以)(x f 在)1,0(m 上单调递增；在),1(+∞m上单调递减.所以)(x f 的最大值1()()ln 1g m f m m ==--.()g m >2-m ，即()(2)0g m m -->..设()()(2)ln 1h m g m m m m =--=--+. 因为1'()10h x m=--<， 所以()h m 在(0,)+∞上单调递减. 又因为(1)0h =所以当01m <<时，()(1)0h m h >=.所以m 取值范围为()0,1. ……………13分(20)(本小题满分14分)解:（I）由2222,3.b c e a a b c ⎧=⎪⎪==⎨⎪⎪=+⎩解得3,2.a c =⎧⎨=⎩所以椭圆C 的方程为15922=+y x . ……………4分 （II ）法一设),4(y A ，)0,2(1-F ，因为线段A F 1的垂直平分线经过点2F ， 所以A F F F 221=. 由22)24(42y c +-==，解得32±=y .所以直线l 的方程为)2(33+±=x y . ……………9分 （II ）法二设过点)0,2(1-F 的直线l 的斜率为k ，显然k 存在.则直线l 的方程为(2)y k x =+.所以(4,6)A k .设1AF 的中点00(,)P x y .则0024061,322kx y k -++====.所以(1,3)P k .因为21PF F A ⊥，所以30112k k -⋅=--.所以3k =±. 所以直线l 的方程为)2(33+±=x y . ……………9分 （III ）点B 在椭圆C 上，设[)(]5,00,5),,( -∈n n m B ，),4(y A .因为OB OA ⊥，所以0OA OB ⋅=，即04=+ny m .因为点B 在椭圆C 上，所以15922=+n m . 222222168)()4(y ny n m m y n m AB +-++-=-+-=2228168y m n m m ++++-= 22216y n m +++=222)4(16nm n m -+++= 2222)51(91616)51(9nn n n -⨯+++-= 5195414422--=n n， 设2t n =，(]0,5t ∈设144419()55t g t t =--. 因为21444'()05g t t -=-<，所以()g t 在(]0,5上单调递减. 所以当5t =，即n =21min=AB . …………14分。