湖南省长沙市雅礼中学2021届高三下学期月考(七)数学试题及参考答案

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《精编》湖南省长沙一中高三第七次月考数学试题文人教A版.doc

湖南省长沙市一中2021届高三月考试卷(七)数学(文科)一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.z ＝11＋2i (i 为虚数单位)所对应的点在( ) A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤12，m ＝sin20°，那么以下关系中正确的选项是( ) A.m ⊆A B.m ∉A C.{}m ∈A D. {}A m ⊂≠p ：∀x ∈R ，|x |≥x ；q ：∃x ∈R ，1x＝0.那么以下判断正确的选项是( ) A.p 假q 真 B.p 真q 假 C.p 真q 真 D.p 假q 假4.以下函数中，既是周期为π的周期函数又是偶函数的是( )A.y ＝10xB.y ＝tan xC.y ＝sin2xD.y ＝|cosx|5.某公司2021 ～的年利润x(单位：百万元)与年广告支出y(单位：百万元)的统计资料如下表所示：年份 2021 2021 2021 2021 2021 2021利润x 16 18支出y 1A.利润中位数是16，x 与y 有正线性相关关系B.利润中位数是18，x 与y 有负线性相关关系C.利润中位数是17，x 与y 有正线性相关关系D.利润中位数是17，x 与y 有负线性相关关系x 2a 2－y 2b2＝1(a ，b>0)的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝3相切，那么双曲线的离心率为( ) A.62B.3 3 ()221log ()x f x a x+=-在区间()0，＋∞内有零点，那么实数a 的取值范围是( ) A.(0，＋∞) B.(－∞，1] C.[1，＋∞) D.[2，＋∞){},,min ,,.b a b a b a a b ≥⎧=⎨<⎩设实数x ，y 满足约束条件2211x y ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩，那么{}min 2,-z x y x y =+的取值范围为( )A.[－2，12]B.[－52，－12]C.[－2,3]D.[－3，32]二、填空题：本大题共7小题，每题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.9.在极坐标系中，A (1，π6)、B (2，π2)两点的距离为 .a ＝(1,2)，b ＝(－2，y )，假设a ∥b ，那么||3a ＋b 等于 .11.一空间几何体的三视图(单位：cm)如以下列图，那么此几何体的体积是 cm 3.12.假设{a n }为等差数列，S n 是其前nS 11＝22π3，那么tan a 6的值为 . l ：x －y ＝0与椭圆x 22＋y 2＝1相交A 、B 两点，点C 是椭圆上的动点，那么△ABC 面积最大值为 .l ：x －3y ＝0与曲线⎪⎩⎪⎨⎧ϕ=ϕ+=sin 2cos 2:y a x C (φ为参数，a >0)有两个公共点A ，B ，且||AB ＝2，那么实数a 的值为；在此条件下，以直角坐标系的原点为极点，x 轴正方向为极轴建立极坐标系，那么曲线C 的极坐标方程为 .f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，定义：设f ″(x )是函数y ＝f (x )的导数y ＝f ′(x )的导数，假设方程f ″(x )＝0有实数解x 0，那么称点()x 0，f (x 0)为函数y ＝f (x )的“拐点〞.有同学发现“任何一个三次函数都有“拐点〞；任何一个三次函数都有对称中心；且“拐点〞就是对称中心.〞请你根据这一发现，求：(1)函数f (x )＝x 3－3x 2＋3x 对称中心为；(2)假设函数g (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512＋1x －12，那么g (12021)＋g (22021)＋g (32021)＋g (42021)＋…＋g (20212021)＝ . 三、解答题：本大题共6小题，共75分.解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.(本小题总分值12分)函数f (x )＝a sin x ＋b cos(x －π3)的图象经过点(π3，12)，(7π6，0). (1)求实数a ，b 的值；(2)求函数f (x )在[0，π]上的单调递增区间.17.(本小题总分值12分)如图：在矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝3，沿对角线BD 把△ABD 折起，使A移到A 1点，过点A 1作A 1O ⊥平面BCD ，垂足O 恰好落在CD 上.(1)求证：BC ⊥A 1D ；(2)求直线A 1B 与平面BCD 所成角的正弦值.18.(本小题总分值12分)某校高一某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见局部如下，据此解答如下问题：(1)求分数在[50,60)的频率及全班人数；(2)求分数在[80,90)之间的频数，并计算频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高；(3)假设要从分数在[80,100]之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，求至少有一份分数在[90,100]之间的概率.19.(本小题总分值13分)工厂生产某种产品，次品率p 与日产量x (万件)间的关系为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤<-=c x c x x p ,320,61，(c 为常数，且0<c <6).每生产1件合格产品盈利3元，每出现1件次品亏损1.5元.(1)将日盈利额y (万元)表示为日产量(万件)的函数；(2)为使日盈利额最大，日产量应为多少万件？(注：次品率＝次品数产品总数×100%)20.(本小题总分值13分)f (x )＝m x (m 为常数，m >0且m ≠1).设f (a 1)，f (a 2)，…，f (a n )…(n ∈N )是首项为m 2，公比为m 的等比数列.(1)求证：数列{a n }是等差数列；(2)假设b n ＝a n ·f (a n )，且数列{b n }的前n 项和为S n ，当m ＝2时，求S n ；(3)假设c n ＝f (a n )lg f (a n )，问是否存在m ，使得数列{c n }中每一项恒小于它后面的项？假设存在，求出m 的范围；假设不存在，请说明理由.21.(本小题总分值13分)动圆G 过点F (32，0)，且与直线l ：x ＝－32相切，动圆圆心G 的轨迹为曲线E .曲线E 上的两个动点A (x 1，y 1)和B (x 2，y 2).(1)求曲线E 的方程；(2)OA ·OB ＝－9(O 为坐标原点)，探究直线AB 是否恒过定点，假设过定点，求出定点坐标；假设不过，请说明理由.(3)线段AB 的垂直平分线交x 轴于点C ，其中x 1≠x 2且x 1＋x 2△ABC 面积的最大值.数学(文科)答案选择题答题卡题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 D D B D C A C D二、填空题：10.5. 11.4π cm 3.12... 14. 2 ； ρ2－4ρcos θ＋2＝0 . 15.(1) (1,1) ；(2) 2021 . 三、16.解：(1)∵函数f (x )＝a sin x ＋b cos (x －π3)的图象经过点(π3，12)，(7π6，0).∴12102b a +=⎨⎪-=⎪⎩，(4分) 解得：a ＝3，b ＝－1.(5分)(2)由(1)知：f (x )＝3sin x －cos(x －π3)＝32sin x －12cos x ＝sin(x －π6).(9分) 由2k π－π2≤x －π6≤2k π＋π2，解得2k π－π3≤x ≤2k π＋2π3k ∈Z . ∵x ∈[0，π]，∴x ∈[0，2π3]，∴函数f (x )在[0，π]上的单调递增区间为[0，2π3].(12分) 17.解：(1)因为A 1O ⊥平面BCD ，BC ⊂平面BCD ，∴BC ⊥A 1O ，因为BC ⊥CD ，A 1O ∩CD ＝O ，∴BC ⊥面A 1CD .因为A 1D ⊂面A 1CD ，∴BC ⊥A 1D .(6分)(2)连结BO ，那么∠A 1BO 是直线A 1B 与平面BCD 所成的角.因为A 1D ⊥BC ，A 1D ⊥A 1B ，A 1B ∩BC ＝B ，∴A 1D ⊥面A 1BC .A 1C ⊂面A 1BC ，∴A 1D ⊥A 1C . 在Rt △DA 1C 中，A 1D ＝3，CD ＝5，∴A 1C ＝4.根据S △A 1CD ＝12A 1D ·A 1C ＝12A 1O ·CD ，得到A 1O ＝125，在Rt △A 1OB 中，sin ∠A 1BO ＝A 1O A 1B ＝1255＝1225. 所以直线A 1B 与平面BCD 所成角的正弦值为1225.(12分) 18.解：(1)分数在[50,60)的频率为0.008×10＝0.08，(2分)由茎叶图知：分数在[50,60)之间的频数为2，所以全班人数为20.08＝25，(4分) (2)分数在[80,90)之间的频数为25－2－7－10－2＝4；(6分)频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高为425÷10＝0.016.(8分) (3)将[80,90)之间的4个分数编号为1,2,3,4，[90,100]之间的2个分数编号为5,6，在[80,100]之间的试卷中任取两份的根本领件为：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)共15个，(10分)其中，至少有一个在[90,100]之间的根本领件有9个，故至少有一份分数在[90,100]之间的概率是915＝0.6.(12分)19.解：(1)当x >c 时，p ＝23，y ＝13·x ·3－23·x ·32＝0；(2分) 当0<x ≤c 时，p ＝16－x， ∴y ＝(1－16－x )·x ·3－16－x ·x ·32＝32·9x －2x 26－x.(4分) ∴日盈利额y (万元)与日产量x (万件)的函数关系为23(92) 02(6)0 x x x c y x x c ⎧-<≤⎪=-⎨⎪>⎩.(5分)(2)由(1)知，当x >c 时，日盈利额为0.当0<x ≤c 时，∵y ＝3(9x －2x 2)2(6－x )，∴y ′＝32·(9－4x )(6－x )＋(9x －2x 2)(6－x )2＝3(x －3)(x －9)(6－x )2，令y ′＝0，得x ＝3或x ＝9(舍去).∴①当0<c <3时，∵y ′>0，∴y 在区间 (0，c ]上单调递增，∴y 最大值＝f (c )＝3(9c －2c 2)2(6－c )，此时x ＝c ； ②当3≤c <6时，在(0,3)上，y ′>0，在(3，c )上y ′<0，∴y 在(0,3)上单调递增，在(3，c )上单调递减.∴y 最大值＝f (3)＝92. 综上，假设0<c <3，那么当日产量为c 万件时，日盈利额最大；假设3≤c <6，那么当日产量为3万件时，日盈利额最大.(13分)20.解：(1)由题意f (a n )＝m 2·m n ＋1，即ma n ，＝m n ＋1.∴a n ＝n ＋1，(2分)∴a n ＋1－a n ＝1，∴数列{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列.(4分)(2)由题意b n ＝a n f (a n )＝(n ＋1)·m n ＋1，当m ＝2时，b n ＝(n ＋1)·2n ＋1∴S n ＝2·22＋3·23＋4·24＋…＋(n ＋1)·2n ＋1 ①(6分)①式两端同乘以2，得2S n ＝2·23＋3·24＋4·25＋…＋n ·2n ＋1＋(n ＋1)·2n ＋2 ②②－①并整理，得S n ＝－2·22－23－24－25－…－2n ＋1＋(n ＋1)·2n ＋2＝－22－(22＋23＋24＋…＋2n ＋1)＋(n ＋1)·2n ＋2＝－22－22(1－2n )1－2＋(n ＋1)·2n ＋2 ＝－22＋22(1－2n )＋(n ＋1)·2n ＋2＝2n ＋2·n .(9分)(3)由题意c n ＝f (a n )·lg f (a n )＝m n ＋1·lg m n ＋1＝(n ＋1)·m n ＋1·lg m ，要使c n <c n ＋1对一切n ∈N *成立，即(n ＋1)·m n ＋1·lg m <(n ＋2)·m n ＋2·lg m ，对一切n ∈N *成立， ①当m >1时，lg m >0，所以n ＋1<m (n ＋2)对一切n ∈N *恒成立；(11分)②当0<m <1时，lg m <0，所以等价使得n ＋1n ＋2>m 对一切n ∈N *成立，因为n ＋1n ＋2＝1－1n ＋2的最小值为23，所以0<m <23. 综上，当0<m <23或m >1时，数列{c n }中每一项恒小于它后面的项.(13分) 21.解：(1)依题意，圆心G 到定点F (32，0)的距离与到直线l ：x ＝－32的距离相等，∴曲线E 是以F (32，0)为焦点，直线l ：x ＝－32为准线的抛物线. ∴曲线E 的方程为y 2＝6x .(3分)(2)当直线AB 不垂直x 轴时，设直线AB 方程为y ＝kx ＋b (k ≠0). 由26y kx b y x=+⎧⎨=⎩消去x 得ky 2－6y ＋6b ＝0，Δ＝36－24kb >0. y 1y 2＝6b k ，x 1x 2＝y 216·y 226＝(y 1y 2)236＝b 2k 2. OA ·OB ＝x 1x 2＋y 1y 2＝b 2k 2＋6b k＝－9， ∴b 2＋6kb ＋9k 2＝0，(b ＋3k )2＝0，b ＝－3k ，满足Δ>0.∴直线AB 方程为y ＝kx －3k ，即y ＝k (x －3)，∴直线AB 恒过定点(3,0).(7分)当直线AB 垂直x 轴时，可推得直线AB 方程为x ＝3，也过点(3,0). 综上，直线AB 恒过定点(3,0).(8分)。

湖南省长沙市2023-2024学年高三下学期月考七数学试题含答案

湖南2024届高三月考试卷（七）数学（答案在最后）命题人：注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集{}N |010U A B x x =⋃=∈≤≤，(){}1,3,5,7U A B ⋂=ð，则集合B 的元素个数为（）A.6B.7C.8D.不确定【答案】B 【解析】【分析】由已知求出全集，再由(){}U 1,3,5,7A B ⋂=ð可知A 中肯定有1，3，5，7，B 中肯定没有1，3，5，7，从而可求出B 中的元素.【详解】因为全集{}{}N |0100,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10U A B x x =⋃=∈≤≤=，(){}1,3,5,7U A B ⋂=ð，所以A 中肯定有1，3，5，7，B 中肯定没有1，3，5，7，A 和B 中都有可能有0，2，4，6，8，9，10，且除了1，3，5，7，A 中有的其他数字，B 中也一定会有，A 中没有的数字，B 中也一定会有，所以{}0,2,4,6,8,9,10B =，故选：B2.已知i 是虚数单位，1i -是关于x 的方程20(,)x px q p q ++=∈R 的一个根，则p q +=（）A.4B.4- C.2D.2-【答案】A 【解析】【分析】根据实系数方程的虚数根成对出现得出另一个根，然后由韦达定理求出,p q ，【详解】∵1i -是关于x 的方程20(,)x px q p q ++=∈R 的一个根，∴方程的另一根为1i --，∴1(1)i i p -++--=-，2p =，(1)(1)2q i i =-+--=，∴4p q +=．故选：A ．【点睛】本题考查实系数方程的复数根问题，需掌握下列性质：实系数方程的虚数根成对出现，它们是共轭复数．3.已知函数()f x 满足()()0f x f x --=，且在[0,)+∞上单调递减，对于实数a ，b ，则“22a b <”是“()()f a f b >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，可得函数()f x 是R 上的偶函数，利用充分条件、必要条件的定义，结合偶函数性质及单调性判断即得.【详解】由函数()f x 满足()()0f x f x --=，得函数()f x 是R 上的偶函数，而()f x 在[0,)+∞上单调递减，因此22()()(||)(||)||||f a f b f a f b a b a b >⇔>⇔<⇔<，所以“22a b <”是“()()f a f b >”的充要条件.故选：C4.图1是蜂房正对着蜜蜂巢穴开口的截面图，它是由许多个正六边形互相紧挨在一起构成．可以看出蜂房的底部是由三个大小相同的菱形组成，且这三个菱形不在一个平面上．研究表明蜂房底部的菱形相似于菱形十二面体的表面菱形，图2是一个菱形十二面体，它是由十二个相同的菱形围成的几何体，也可以看作正方体的各个正方形面上扣上一个正四棱锥（如图3），且平面ABCD 与平面ATBS 的夹角为45°，则cos ASB ∠=（）A.B.2C.13D.2【答案】C 【解析】【分析】连接AC 、BD 相交于点O ，连接SO ，取AB 的中点E ，连接SE 、OE ，则可得SEO ∠即为平面ABCD 与平面ATBS 的夹角，AE a =，则==OE OS a ，然后在SAB △中利用余弦定理可求得结果.【详解】连接AC 、BD 相交于点O ，连接SO ，因为四棱锥S ABCD -为正棱锥，所以SO ⊥平面ABCD ，取AB 的中点E ，连接SE 、OE ，因为,SA SB OA OB ==，所以,SE AB OE AB ⊥⊥，所以SEO ∠即为平面ABCD 与平面ATBS 的夹角，即45SEO ∠=︒．设AE a =，则==OE OS a ，所以22222=+=SE OS OE a ，222223==+=SA SB SE BE a ，在SAB △中，由余弦定理22222223341cos 2233+-+-∠===⨯⨯SB SA AB a a a ASB SB SA a ，故选：C ．5.在ABC 中，角A 为π3，角A 的平分线AD 交BC 于点D ，已知AD =且()1R 3AB AD AC λλ=-∈ ，则AB AD ⋅= （）A.1B.32C.9D.2【答案】C 【解析】【分析】利用共线定理的推理求得23λ=，然后以A 为原点，以AB 为x 轴建立平面直角坐标系，根据坐标运算求得()3,0B ，然后由数量积的坐标表示可得.【详解】由13AB AD AC λ=- 可得：13AD AB AC λ=+，因为B ，C ，D 三点共线，故113λ+=，即23λ=，所以2133AD AB AC =+ ，以A 为原点，以AB 为x轴建立平面直角坐标系如图所示，因为AD =π6DAB ∠=，则(D ，因为π3CAB ∠=，故设()(),0,B m C n ，则(()(),,0,,AD AB m AC n ===由2133AD AB AC =+得2133333m nn⎧=+⎪⎪=，解得3,3m n ==，故()3,0B ，()=3,0AB，所以3309AB AD ⋅=⨯+=.故选：C ，6.有甲、乙等五人到三家企业去应聘，若每人至多被一家企业录用，每家企业至少录用其中一人且甲、乙两人不能被同一家企业录用，则不同的录用情况种数是（）A.60B.114C.278D.336【答案】D 【解析】【分析】分三类，第一类，只有3人被录用，第二类，只有4人被录用，第三类，5人全部录用，根据分类计数原理即可得到答案.【详解】分三类情况，第一类情况，只录用3人，有3353C A 60=种情况；第二类情况，只录用4人，有4232354333C C A C A 162-=种情况；第三类情况，录用5人有两种情况：2,2,1或3,1,1，有()1223233313543323533322C C C A C A C A C A 114A ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭种情况．所以根据分类加法计数原理共有60162114336++=种．故选：D .7.设椭圆C ：22221x y a b +=(0)a b >>的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线l 过点1F .若点2F 关于l 的对称点P 恰好在椭圆C 上，且211212F F F P a =⋅ ，则C 的离心率为（）A.13B.23C.12D.25【答案】C 【解析】【分析】根据已知结合椭圆的定义可推得12PF c =，222PF a c =-.然后根据211212F F F P a =⋅ ，可推得2214cos 2c a θ=.最后根据余弦定理，即可得到关于,a c 的齐次方程，即可得出离心率.【详解】设12PF F θ∠=，由已知可得，1122PF F F c ==，根据椭圆的定义有21222PF a PF a c =-=-.又211212F F F P a =⋅ ，所以2214cos 2c a θ=.在12PF F △中，由余弦定理可得，22221121122cos PF PF F F PF F F θ=+-⋅，即()222222288cos 8a c c c c a θ-=-=-，整理可得224850c ac a +-=，等式两边同时除以2a 可得，24850e e +-=，解得，12e =或52e =-（舍去），所以12e =.故选：C.8.已知正数,,a b c 满足e ln ,e a b c ==为自然对数的底数，则下列不等式一定成立的是（）A.2a c b +<B.2a c b +>C.2ac b <D.2ac b >【答案】B 【解析】【分析】由题设ln ,e b a b c ==且1b >，构造()ln e 2x f x x x =+-、2()e ln x h x x x =-，利用导数、零点存在性定理判断在(1,)+∞上的函数值符号，即可得答案.【详解】由题设0a >，则1b >，且ln ,e b a b c ==，则ln e b a c b +=+，令()ln e 2x f x x x =+-且1x >，故1()e 2xf x x'=+-，令1()e 2x g x x =+-，则21()e x g x x'=-在(1,)+∞上递增，故()(1)e 10g x g ''>=->，所以()()g x f x '=在(1,)+∞上递增，故()(1)e 10f x f ''>=->，所以()f x 在(1,)+∞上递增，故()(1)e 20f x f >=->，即ln e 2x x x +>在(1,)+∞上恒成立，故2a c b +>，A 错，B 对；对于2,ac b 的大小关系，令2()e ln x h x x x =-且1x >，而(1)10h =-<，e 2(e)e e 0h =->，显然()h x 在(1,)+∞上函数符号有正有负，故2e ln ,x x x 的大小在(1,)x ∈+∞上不确定，即2,ac b 的大小在(1,)b ∈+∞上不确定，所以C 、D 错.故选：B二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.一口袋中有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球，从中无放回的随机取两次，每次取1个球，记事件A 1：第一次取出的是红球；事件A 2：第一次取出的是白球；事件B ：取出的两球同色；事件C ：取出的两球中至少有一个红球，则（）A.事件1A ，2A 为互斥事件B.事件B ，C 为独立事件C.()25P B =D.()234P C A =【答案】ACD 【解析】【分析】根据互斥事件、独立事件的定义判断AB ，由组合知识求得()P B 判断C ，根据条件概率的定义求得2(|)P C A 判断D ．【详解】第一次取出的球是红球还是白球两个事件不可能同时发生，它们是互斥的，A 正确；由于是红球有3个，白球有2个，事件B 发生时，两球同为白色或同为红色，2325223225C C ()3()C C ()4C P BC P C P B ===+，事件B 不发生，则两球一白一红，()1P C =，,B C 不独立，B 错；223225C C 2()C 5P B +==，C 正确；事件2A 发生后，口袋中有3个红球1个白球，只有从中取出一个红球，事件C 才发生，所以23(|)4P C A =，D 正确．故选：ACD ．10.已知等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项的积为n T ，且满足11a >，9910010a a ->，99100101a a -<-，则（）A.01q << B.9910110a a -<C.100T 的值是n T 中最大的 D.使1n T >成立的最大正整数数n 的值为198【答案】ABD 【解析】【分析】根据题目所给已知条件，结合等比数列的性质对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】∵9910010a a ->，∴199000a a >，∴0q >.∵99100101a a -<-，∴()()99100110a a --<，又11a >，∴01q <<.故A 正确.由A 选项的分析可知991a >，10001a <<，∴2991011001a a a =<，∴9910110a a -<，1009910099T T a T =<，故B 正确，C 不正确.∴()()()()99198121981198219799100991001T a a a a a a a a a a a ===> ，()()()1991991219819911992198991011001001T a a a a a a a a a a a a ===< ，∴使1n T >成立的最大正整数数n 的值为198，故D 正确.故选：ABD 11.在长方体1111ABCD A B C D -中，12,1AB AA AD ===，E 为11A B 的中点，点P 满足()10DP DB λλ=>，则（）A.若M 为1A D 的中点，则三棱锥P BEM -体积为定值B.存在点P 使得AP BE ⊥C.当23λ=时，平面PBC 截长方体1111ABCD A B C D -D.若Q 为长方体1111ABCD A B C D -外接球上一点，2λ=，则QE QP +【答案】ACD 【解析】【分析】根据线面平行的判定定理可判定A ，根据线面垂直的性质定理可判定B ，根据面面平行的性质定理作出截面可判定C ，判断出,E P 相对外接球的位置从而求最值可判断D.【详解】对于A ：因为M 为1A D 的中点，E 为11A B 的中点，所以1//DB EM ，所以1//DB 面BEM ，则P 到面BEM 的距离为定值，所以体积为定值，所以A 正确．对于B ：AP 在平面11ABB A 的投影在线段1AB 上，若AP BE ⊥，又DA BE ⊥，且AP DA A = ，所以BE ⊥平面1ADB ，又1AB ⊂平面1ADB ，所以1AB BE ⊥，因为四边形11ABB A 为正方形，所以1AB 与BE 不垂直，所以B 错误．对于C ：平面PCD 与平面1B CD 重合，平面1B CD 与平面11DCB A 重合，所以延长CP 会与直线11A B 有交点N ，因为123DP DB = ，又1NPB CPD ，所以1112NB PB CD PD ==，即N 为点E ，又平面//ABCD 平面1111D C B A ，所以平面PBC 和平面1111D C B A 的交线与BC 平行，取11C D 中点F ，则平面PBC 截长方体1111ABCD A B C D -所得截面为矩形BCFE ，所以面积为，所以C 正确．对于D ：易知长方体的外接球半径为32，球心是1DB 的中点O ，由2λ=，得6DP =，9322OP =>，322OE =<，则点P 在球外，点E 在球内，()min QE QP PE +=，如图，建立空间直角坐标系，设(),,P x y z ，则()()()10,1,2,1,0,0,0,2,2E D B ，所以()()11,,221,2,2DP x y z DB =-==-，即()1,4,4P -，所以PE ==，所以D 正确．故选：ACD ．【点睛】方法点睛：立体几何中截面问题往往根据线面平行的性质定理或者面面平行的性质定理作出与各面的交线，从而得出截面.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若直线20(0,0)ax by a b -+=>>被圆222410x y x y ++-+=所截得的弦长为4，则23a b+的最小值为_______．【答案】4+【解析】【分析】由题意知直线过圆心(1,2)-，则22a b +=，利用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值，注意取值条件.【详解】由22222410(1)(2)4x y x y x y ++-+=⇒++-=，则圆心为(1,2)-，半径为2，由直线被圆所截得的弦长为4，故直线20(0,0)ax by a b -+=>>过圆心，所以22a b +=且0,0a b >>，则231231431(2)(8)(84222b a a b a b a b a b +=⋅++=⋅++≥⋅+=+，当且仅当43b a a b =，即31,2a b =-=时等号成立，所以23a b+的最小值为4+.故答案为：4+13.已知函数()()π2sin 04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间[]1,1-上的值域为[],m n ，且 3n m -=，则ω的值为______．【答案】5π12##5π12【解析】【分析】根据函数值域满足3n m -=，结合正弦函数的图象可知ππ46ω+=-时满足题意，得解.【详解】[]1,1x ∈- ，令π4t x ω=+，πππ444t x ωωω∴-+≤=+≤+,0ω>,3n m -= ，作出函数2sin y t =的图象，如图，由图可知，以π4为中心，当0ω>变大时，若π04ω<<，函数最大值2y →，最小值0y →，不满足3n m -=，若π4ω≤时，函数最大值2y =，所以只需要确定函数最小值，因为3n m -=，需函数最小值为1y =-，所以当ππ46ω-+=-时，即5π12ω=时，函数值域为[1,2]-，满足3n m -=，当5π12ω<时，函数最小值1y <-，此时不满足3n m -=，综上5π12ω=.故答案为：5π12.14.某同学在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形三条边所对的外接圆的三条圆弧（劣弧）沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心（即三角形三条高线的交点）.如图，已知锐角ABC 外接圆的半径为2，且三条圆弧沿ABC 三边翻折后交于点P .若3AB =，则sin PAC ∠=___________；若::6:5:4AC AB BC =，则PA PB PC ++的值为___________.【答案】①.74②.234##5.75【解析】【分析】第一空，由正弦定理求得3sin 4ACB ∠=，可得cos 4ACB ∠=，利用三角形垂心性质结合三角形诱导公式推得sin cos PAC ACB ∠∠=，即得答案；第二空，设,,CAB CBA ACB ∠θ∠α∠β===，由余弦定理求得它们的余弦值，然后由垂心性质结合正弦定理表示出()4cos cos cos PA PB PC θαβ++=++，即可求得答案.【详解】设外接圆半径为R ，则2R =，由正弦定理，可知324sin sin AB R ACB ACB∠∠===，即3sin 4ACB ∠=，由于ACB ∠是锐角，故cos 4ACB ∠=，又由题意可知P 为三角形ABC 的垂心，即⊥AP BC ,故π2PAC ACB ∠∠=-，所以sin cos 4PAC ACB ∠∠==；设,,CAB CBA ACB ∠θ∠α∠β===，则πππ,,222PAC PBA PAB ∠β∠θ∠α=-=-=-，由于::6:5:4AC AB BC =，不妨假设6,5,4AC AB BC ===，由余弦定理知222222222654345614659cos ,cos ,cos 2654245824616θαβ+-+-+-======⨯⨯⨯⨯⨯⨯，设AD,CE,BF 为三角形的三条高，由于ππ,22ECB EBC PCD CPD ∠+∠=∠+∠=,故EBC CPD ∠=∠,则得πππAPC CPD EBC ABC ∠∠∠=-∠=-=-，所以24ππsin sin sin sin 22PC PA AC AC R APC ABC ∠∠βθ=====⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，同理可得24πsin sin sin 2PB AB AB R APB ACB ∠∠α====⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以()319234cos cos cos 448164PA PB PC θαβ⎛⎫++=++=++= ⎪⎝⎭,故答案为：4；234【点睛】本题重要考查了正余弦定理在解三角形中的应用，涉及到三角形垂心的性质的应用，解答时要能灵活地结合垂心性质寻找角之间的关系，应用正余弦定理，解决问题.四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知数列{}n a 中，21a =，设n S 为{}n a 前n 项和，2n n S na =．（1）求{}n a 的通项公式；（2）若()()1sin1cos 1cos 1n n n b a a +=++，求数列{}n b 的前n 项和n T 【答案】（1）1n a n =-（2）()tan 1tan1n T n =+-【解析】【分析】（1）先用n a 与n S 的关系以及递推公式求出()11n n na n a +=-，再利用累乘法即可求得通项公式；（2）由（1）结论代入n b 可得()sin1cos cos 1n b n n =+，利用三角函数两角差公式化简可得()tan 1tan n n n b =+-，再利用累加法即可求得数列{}n b 的前n 项和n T .【小问1详解】数列{}n a 中，21a =，n S 为{}n a 前n 项和，当1n =时，111122S a a a =⇒=，10a ∴=，当2n ≥时，2n n S na =①，()1121n n S n a ++=+②，由②-①得：()11221n n n n S S n a na ++--+=，()()1121n n n n S S n a na ++-=+-，即()11n n na n a +=-，当2n ≥时，11n n a n a n +=-，递推可得：112n n a n a n --=-，L ，4332a a =，3221a a =，由累乘法可得：1341321321221n n n n a a a a n n a a a a n n +--⋅⋅=⨯⨯⨯⨯-- ，12n a n a +=，又因为21a =，所以1n a n +=，即1n a n =-，经检验，当1n =时10a =符合上式，所以1n a n =-；【小问2详解】由（1）可知1n a n =-，1n a n +=，所以：()()1sin1cos 1cos 1n n n b a a +=++()sin1cos cos 1n n =+()()sin 1cos cos 1n n n n +-⎡⎤⎣⎦=+()()()sin 1cos cos 1sin cos cos 1n n n nn n +-+=+()()()()sin 1cos cos 1sin cos cos 1cos cos 1n n n n n n n n ++=-++()tan 1tan n n =+-，所以123n nT b b b b =+++L ()()()()tan 2tan1tan 3tan 2tan tan 1tan 1tan n n n n =-+-++--++-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()tan 1tan1n =+-；所以数列{}n b 的前n 项和()tan 1tan1n T n =+-.16.某兴趣小组为研究一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，设A =“患有地方性疾病”，B =“卫生习惯良好”.据临床统计显示，312(,(413P AB P B A ==∣∣，该地人群中卫生习惯良好的概率为45.（1）求()P A 和()P AB ∣；（2）为进一步验证（1）中的判断，该兴趣小组用分层抽样的方法在该地抽取了一个容量为()*N m m ∈的样本，利用独立性检验，计算得2 2.640χ=.为提高检验结论的可靠性，现将样本容量调整为原来的()*N k k ∈倍，使得能有99.9%的把握肯定（1）中的判断，试确定k 的最小值.附表及公式：()()()()22(),n ad bc n a b c d a b c d a c b d χ-==+++++++α0.100.050.0100.0050.001x α 2.706 3.841 6.6357.87910.828【答案】（1）()720P A =，()14P A B =∣（2）m in 5k =【解析】【分析】（1）利用条件概率和全概率公式计算即可；（2）先作出样本容量提高k 倍后的二联表，依据公式计算卡方即可.【小问1详解】由题意可得：()()1141(1(),()1(),,41355P A B P A B P B A P B A P B P B =-==-===∣∣∣∣，11113((()((),(),451320P A B P B P B A P A P A P A ∴⋅=⋅⇒⨯=∴=∣∣()()7120P A P A ∴=-=而()()()()()P A P B P A B P B P A B =⋅+⋅∣∣()()74131205544P A B P A B ⇒=⨯+⨯⇒=∣∣，【小问2详解】不够良好良好总计患有该病kakb ()k a b +未患该病kc kd ()k c d +总计()k a c +()k b d +()k a b c d +++()()()()()22221k a b c d k ad k bc k a b k c d k a c k b d χ⎡⎤+++-⎣⎦∴=+⋅+⋅+⋅+()()()()()2() 2.6410.828 4.10k a b c d ad bc k k a b c d a c b d +++-==⋅≥⇒≥++++，故m in 5k =.17.已知()22ln 1f x x m x =--.（1）若()f x 的最小值为0，求m 的值；（2）若21e 12ln ln x a x a --≥-恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）1m =（2）[)1,+∞【解析】【分析】（1）由题知0m ≤时不满足题意，0m >时()min ln 1f x m m m =--，再令()ln 1g m m m m =--并研究其性质得()()10g m g ≤=，进而得1m =；（2）令()e t h t t =+，将已知不等式等价于()()221ln ln h x a h x -+≥，进而结合()h t 的单调性得2ln 12ln a x x -≤--，再结合（1）当1m =时，22ln 1x x -≥恒成立得ln 0a ≥，再解不等式即可得答案.【小问1详解】解：()22222m x m f x x x x-'=-=，定义域为()0,∞+，①当0m ≤时，()0f x ¢>在()0,∞+恒成立，()f x 单调递增，又()10f =，故当01x <<时，()0f x <，不满足题意，舍去；②当0m >时，由()2220x m f x x-'=>得x >，()0f x '<得0x <<所以，()f x 在(上单调递减，在)+∞上单调递增，所以()min ln 1f x f m m m ==--.令()ln 1g m m m m =--，则()ln g m m '=-，令()0g m '>，得01m <<，()0g m '<，得1m >，所以()g m 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，所以()()10g m g ≤=，所以，当()f x 的最小值为0时，即ln 10m m m --=时，解得1m =.所以1m =【小问2详解】解：由（1）知：当1m =时，22ln 1x x -≥恒成立，21e 12ln ln x a x a --≥-等价于21ln e 2ln ln 1xa x a -+≥-+，又等价于221ln 2222ln 2e 1ln 2ln ln e ln xa x x a x x x x x -++-+≥+=+=+.令()e t h t t =+，则上述不等式等价于()()221ln ln h x a h x -+≥因为()e 10t h t '=+>恒成立，所以，()h t 在R 上单调递增，.所以()()221ln ln h x a h x -+≥等价于221ln ln x a x -+≥，即2ln 12ln a x x -≤--，因为当1m =时，22ln 1x x -≥恒成立，所以()2min ln 12ln 0a x x -≤--=，故ln 0a ≥，解得1a ≥.所以，实数a 的取值范围是[)1,+∞.【点睛】方法点睛：本题第二问解题的方法在于构造函数()e t h t t =+，进而将已知不等式转化为()()221ln ln h x a h x -+≥，进而结合单调性转化求解即可.18.已知椭圆()2212:11x C y a a+=>，,M N 分别为双曲线2222:1x C y a -=的左，右顶点，12,e e 分别为1C 和2C 的离心率．（1）若124e e =．（ⅰ）求2C 的渐近线方程；（ⅱ）过点()4,0G 的直线l 交2C 的右支于,A B 两点，,MA MB 与直线1x =交于11,A B 两点，记11,,,A B A B 坐标分别为()()()11223344,,,,,,,()x y x y x y x y ，求证：12341111y y y y +=+；（2）从2C 上的动点()()000,P x y x a ≠±引1C 的两条切线，经过两个切点的直线与2C 的两条渐近线围成三角形的面积为S ，试判断S 是否为定值?若是，请求出该定值；若不是，说明理由．【答案】（1）（ⅰ）12y x =±；（ⅱ）证明见解析（2）是，定值为a【解析】【分析】（1）根据离心率可求a ，故可得（ⅰ）中方程；设直线AB 的方程为4x ty =+，联立直线方程和椭圆方程后利用韦达定理化简12341111,y y y y ++后可得它们相等.（2）设()()000,P x y x a ≠±，求出切点弦的方程后再求出切点弦与渐近线的交点后可求得面积为定值.【小问1详解】（ⅰ）由题意得12,e e a a ==，所以1224e e a ==，解得24a =，又1a >，所以2a =．故双曲线2C 的渐近线方程为12y x =±；（ⅱ）证明：设直线AB 的方程为4x ty =+，由224,1,4x ty x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩消元得：()2248120,Δ0t y ty -++=>且2t ≠±，故()222Δ64484161920t t t =--=+>，故2t ≠±，所以1221228,412,4t y y t y y t -⎧+=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩故1212121123y y t y y y y ++==-，又直线1AA 的方程为()1122y y x x =++，所以13132y y x =+，同理24232y y x =+，所以12123412122266111133x x ty ty y y y y y y ⎛⎫⎛⎫+++++=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()12121212121226222112422333333ty y y y y y t t t t t y y y y y y +++⎛⎫==+=++=-=- ⎪⎝⎭，故12341111y y y y +=+．【小问2详解】设两个切点为155266,,()(,)P x y P x y ，由题意知12,PPPP 斜率存在，直线PP 方程为()1155:l y k x x y =-+，联立()1552221y k x x y x y a⎧=-+⎪⎨+=⎪⎩，故()()222222211515515(1)20a k x a k y k x x y k x a a ++-+--=，由Δ0=可得()()222222221515151544(1)0a k y k x a k y k x a a ⎡⎤--+--=⎣⎦，整理得到：()222251555210a x k x y k y -++-=，故222255155220x a y k x y k a ++=，故5125x k a y =-，所以5152:1x x l y y a +=，同理直线2PP 方程为6262:1x x l y y a+=，由12,l l 过P 点可得50502605021,1x x y y a x x y y a ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩可得直线12PP 的方程为0021x x y y a +=，不妨设直线12PP 与x 轴交于点20,0a Q x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，与两条渐近线的交点分别为1P '，2P '，由00211y x a x x y y a⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩可得210000,a a P x ay x ay ⎛⎫ ⎪++⎝⎭'；同理220000,a a P x ay x ay ⎛⎫- ⎪--⎝⎭'则围成三角形的面积为：2230222222000000000021122ax a a a a a S x x ay x ay x x a y x a y -=⋅⋅-=⋅⋅=+---，因P 在双曲线2C 上，222200x a y a -=，则32a S a a ==为定值．19.对于空间向量(,,)m a b c = ，定义{}x ,ma ,m a b c = ，其中{}max ,,x y z 表示,,x y z 这三个数的最大值.（1）已知116,,12a =⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，1,,2b x x x ⎛-⎪=⎫ ⎝⎭.①写出a ，写出b （用含x 的式子表示）；②当04x ≤≤，写出a b - 的最小值及此时x 的值；（2）设111,,()a x y z = ，222(,,)b x y z = ，求证：a b a b+≤+ （3）在空间直角坐标系O −xyz 中，(2,0,0)A ，(0,4,0)B ，(0,0,6)C ，点P 是以O 为球心，1为半径的球面上的动点，点Q 是△ABC 内部的动点，直接写出PQ 的最小值及相应的点P 的坐标.【答案】（1）①6a = ；b x = ；②a b - 的最小值为4，3x =.（2）证明见解析.（3）最小值为3049，632(,,)777P .【解析】【分析】（1）由{}x ,ma ,m a b c = 的定义即可求解.（2）根据向量的新定义，111,,x y z a ≤ ,222,,x y z b ≤,且有121212max{,,}a b x x y y z z +≤+++ ，从而a b a b +≤+.（3）平面方程63212x y z ++=，可设法向量(6,3,2)n = ，取632(,,)777P ，723624(,,)494949Q ，有30151030max{,,}49494949PQ == ，此时最小.【小问1详解】由题可知：611,2max 6,1a ⎧⎫⎨⎩==⎬⎭ ,,1max ,2x b x x x ⎧⎫=⎨=-⎬⎩⎭ ，111(6,,1)22a b x x x -=--+ ，111max 6,22,1a b x x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭-=--+ ，04x ≤≤.在同一个坐标系中作出1116,2,12y x y x y x =-==-+的图像如下图所示：因为111max 6,22,1a b x x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭-=--+ ，则函数y a b =- 的图像是图中加粗部分折线，直线6y x =-与11122x y -=交于点(1,5)M ，直线1y x =+与直线11122x y -=交于点(3,4)N ，由图可知，当3x =时，a b - 有最小值4.【小问2详解】121212121212max{,,}max{,,}a b x x y y z z x x y y z z +=+++≤+++ ,因为{}{}111222max ,,,max ,,a x y z b x y z == ，所以111,,x y z a ≤ ,222,,x y z b ≤ ,所以121212max{,,}a b x x y y z z a b +≤+++≤+ .【小问3详解】因为P 是以O 为球心，1为半径的球面上的动点，则球面方程为2221x y z ++=，面ABC 的方程为1246x y z ++=，即63212x y z ++=，一个法向量为(6,3,2)n = ，PQ ⊥平面ABC 是PQ 取最小值的必要条件，证明如下：不妨取(1,0,0)P ，若PQ '⊥平面ABC 于Q '，显然//PQ n ' ，则PQ n λ'= 且R λ∈，所以(6,3,2)PQ λλλ'=，对于面ABC 上任意点(,,)Q a b c 都有||||PQ PQ '≥ ，即222|1|||||a b c -++>222|6||3||2|λλλ++，所以||||max{|1|,||,||}||||max{|6|,|3|,|2|}PQ a b c PQ λλλ'=-≥= ，仅当,Q Q '重合时取等号，综上，PQ 取最小，必有PQ ⊥平面ABC ，由PQ OQ OP ≥-，当,,O P Q 共线时取等号，故最小值在,,O P Q 共线且OQ ⊥平面ABC 时取得，此时(6,3,2)Q μμμ=且R μ∈，则36944912μμμμ++==，即1249μ=，所以723624(,,494949Q ，取(6,3,2)P σσσ且R σ∈，则22236941σσσ++=，即17σ=，所以632(,,)777P ，综上，723624(,,494949Q 、632(,,777P 时30151030max{,,}49494949PQ == 最小.【点睛】关键点点睛：第三问，说明PQ ⊥平面ABC 是PQ 取最小值的必要条件，进而确定PQ OQ OP ≥-且,,O P Q 共线且OQ ⊥平面ABC 时PQ 取最小值.。

2020-2021学年湖南省雅礼中学高三(下)第二次月考数学试卷(理科) Word版含解析

2022-2021学年湖南省雅礼中学高三（下）其次次月考数学试卷（理科）一．选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.把答案填在答题卡中对应题号的框框内.）1．已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合，则A∩B等于（）A．{﹣2，﹣1，0，1} B．{﹣1，0，1} C．{﹣1，0，1，2} D．{﹣1，0，1，2，3}2．若A、B均是非空集合，则A∩B≠∅是A⊆B的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．即不充分也不必要条件3．（中诱导公式、基本公式）已知，且，则tan（2π﹣α）的值为（）A．B．C．D．4．如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱AA1⊥面A1B1C1，正视图是边长为2的正方形，俯视图为一个等边三角形，该三棱柱的左视图面积为（）A．2B．C．2D．45．已知向量满足：，与的夹角为，则=（）A．2 B．4 C．2D．86．设x，y 满足约束条件，则目标函数z=的最小值为（）A．2 B．1 C．D．﹣27．设f（x）定义如下面数表，{x n}满足x0=5，且对任意自然数n均有x n+1=f（x n），则x2022的值为（）x 1 234 5f（x）4 135 2A．4 B．1 C．3 D．28．如图，长沙河西先导区某广场要划定一矩形区域ABCD，并在该区域内开拓出三块外形大小相同的矩形绿化区，这三块绿化区四周和绿化区之间设有1米宽的走道．已知三块绿化区的总面积为800平方米，则该矩形区域ABCD占地面积的最小值为（）平方米．A．900 B．920 C．948 D．9689．已知函数，若存在x1＜x2，使得f（x1）=f（x2），则x1•f（x2）的取值范围为（）A．B．C．D．10．设定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），f′（x）是f（x）的导函数，当x∈[0，1]时，0≤f（x）≤1；当x∈（0，2）且x≠1时，x（x﹣1）f′（x）＜0．则方程f（x）=lg|x|根的个数为（）A．12 B．1 6 C．18 D．20二．填空题：本大题共1小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．（一）选做题（请考生在第11、12、13题中任选两题作答，假如全做，则按前两题给分）【几何证明选讲】11．如图，PC切⊙O于点C，割线PAB经过圆心O，弦CD⊥AB于点E，已知⊙O的半径为3，PA=2，则OE=．【极坐标系与参数方程选讲】12．已知曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的极坐标方程为，它们的交点在平面直角坐标系中的坐标为．【不等式选讲】1011•天津）已知集合A={x∈R||x+3|+|x﹣4|≤9}，B=，则集合A∩B=．（二）必做题（14～16题）14．设（其中e为自然对数的底数），则的值为．15．动点A（x，y）在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间t=0时，点A的坐标是，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t（单位：秒）的函数的单调递增区间是．16．已知数列{a n}的前n项和S n=（﹣1）n •n，若对任意正整数n，（a n+1﹣p）（a n﹣p ）＜0恒成立，则实数P 的取值范围是．三．解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．设函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）当时，求函数f（x）的最大值和最小值．18．设数列{a n}的前n项和为S n，已知对任意正整数n，都有S n+2=2a n成立．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n＜3．19．如图所示，在平面四边形ABCD中，，与的夹角为，与的夹角为．（1）求△CDE的面积S；（2）求．20．已知函数f（x ）=lnx﹣ax+﹣1（a∈R）（1）当a=﹣1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（2）当a≤时，争辩f（x）的单调性．21．若数列{a n}（n∈N*）满足：①a n≥0；②a n﹣2a n+1+a n+2≥0；③a1+a2+…+a n≤1，则称数列{a n}为“和谐”数列．（1）已知数列{a n}，（n∈N*），推断{a n}是否为“和谐”数列，说明理由；（2）若数列{a n}为“和谐”数列，证明：．（n∈N*）22．已知函数f（x）=（1）当x＞0时，证明：f（x）＞；（2）当x＞﹣1且x≠0时，不等式f（x）＜恒成立，求实数k的值．2022-2021学年湖南省雅礼中学高三（下）其次次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.把答案填在答题卡中对应题号的框框内.）1．已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合，则A∩B等于（）A．{﹣2，﹣1，0，1} B．{﹣1，0，1} C．{﹣1，0，1，2} D．{﹣1，0，1，2，3}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：依据集合的基本运算进行求解即可．解答：解：∵A={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合，∴A∩B={﹣1，0，1}，故选：B点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．若A、B均是非空集合，则A∩B≠∅是A⊆B的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．即不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的推断．专题：规律型．分析：推断出“A∩B≠∅”成立推不出“A⊆B”反之，若“A⊆B”成立，则能推出A∩B≠∅”确定成立，利用充要条件的有关定义得到结论．解答：解：若“A∩B≠∅”成立推不出“A⊆B”反之，若“A⊆B”成立，则有A∩B=A≠∅，所以A∩B≠∅”确定成立，所以A∩B≠∅是A⊆B的必要不充分条件，故选B．点评：本题考查推断一个条件是另一个的什么条件，应当先化简各个条件，若条件是数集的形式，常转化为推断集合间的包含关系．3．（中诱导公式、基本公式）已知，且，则tan（2π﹣α）的值为（）A．B．C．D．考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：计算题．分析：先依据诱导公式化简已知条件，得到sinα的值，然后由α的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，把所求的式子利用诱导公式化简后，再依据同角三角函数间的基本关系把切化弦后，将sinα和cosα的值代入即可求出值．解答：解：由，又，得，则．故选B点评：此题考查同学机敏运用诱导公式及同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道中档题．同学在求cosα的值时应留意α的范围．4．如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱AA1⊥面A1B1C1，正视图是边长为2的正方形，俯视图为一个等边三角形，该三棱柱的左视图面积为（）A．2B．C．2D．4考点：简洁空间图形的三视图．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：三棱柱的左视图是一个矩形，矩形的长是三棱柱的侧棱长，宽是底面三角形的一条边上的高，在边长是2的等边三角形中做出底边上的高的长度，得到结果．解答：解：由题意知三棱柱的左视图是一个矩形，矩形的长是三棱柱的侧棱长，宽是底面三角形的一条边上的高，在边长是2的等边三角形中，底边上的高是，∴侧视图的面积是2故选：A．点评：本题考查简洁的空间图形三视图，考查三视图的面积的计算，考查通过原图观看三视图的大小，比较基础．5．已知向量满足：，与的夹角为，则=（）A．2 B．4 C．2D．8考点：平面对量数量积的运算．。

2024-2025学年湖南省长沙市雅礼中学高三上学期月考(二)数学试题及答案

雅礼中学2025届高三月考试卷（二）数学得分：______本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页.时量120分钟，满分150分.第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}21,A x x k k==-∈N，{}1,0,1,2,3B=-，则A B=（）A. {}1,3 B. {}0,1,3 C. {}1,1,3- D. {}1,0,1,2,3-2. 若复数()21i68iz-=+，则z z+=（）A. B.25C.35D.453. 设a，b是单位向量，则()2a b a b+-⋅最小值是（）A. 1-B. 0C.34D. 14已知()2cos23cos0αββ+-=，则()tan tanααβ+=（）A. 5B.15C. -5D.15-5. 巴黎奥运会期间，旅客人数（万人）为随机变量X，且()2~30,2X N.记一天中旅客人数不少于26万人的概率为0p，则0p的值约为（）（参考数据：若()2~,X Nμσ，有()0.683P Xμσμσ-<≤+≈，()220.954P Xμσμσ-<≤+≈，()330.997P Xμσμσ-<≤+≈）A. 0.977B. 0.9725C. 0.954D. 0.6836. 已知抛物线C：24x y=的焦点为F，过点F的直线与C相交于M，N两点，则122MF NF+的最小值为（）的.A.92B. 4C.72D. 37. 若x ，0y ≥，1x y +=+）A. ⎡⎣B. []1,2 C. 2⎤⎦D. 12⎡⎢⎣8. 从重量分别为1，2，3，4，…，10克的砝码（每种砝码各2个）中选出若干个，使其总重量恰为9克的方法总数为m ，下列各式的展开式中9x 的系数为m 的选项是（）A. ()()()()23101111x xx x ++++ B. ()()()()11213110x x x x ++++ C. ()()()()()222222341011111x x x x x +++++ D. ()()()()22222232101111x x xx xxx xx++++++++++ 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. (多选)下列选项中，正确的是（）A. 不等式220x x +->的解集为{|2x x <-或1}x >B. 不等式2112x x +≤-的解集为{|32}x x -≤<C. 不等式21x -≥的解集为{|13}x x ≤≤D. 设R x ∈，则“11x -<”是“405x x +<-”的充分不必要条件10. 如图，透明塑料制成的长方体容器1111ABCD A B C D -内灌进一些水，固定容器一边AB 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面几个结论，其中正确的命题有（）A. 没有水部分始终呈棱柱形B. 水面EFGH 所在四边形的面积为定值C. 随着容器倾斜度的不同，11A C 始终与水面所在平面平行D. 当容器倾斜如图（3）所示时，AE AH ⋅为定值11. 已知奇函数()f x 在R 上单调递增，()()f x g x '=，()()g x f x '=，若()()()22f x f x g x =，则（）A. ()g x 的图象关于直线0x =对称B. ()()()222g x gx f x =+C. ()00g =或1D. ()()221gx f x -=第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 从14，13，12，2，3，4，6，9中任取两个不同的数，分别记为m ，n ，记A =“log 0m n <”，则()P A =______.13. 如图，ABC V 中，6AB =，2AC BC =，D 为AB 中点，则tan BDC ∠的取值范围为______.14. 小军和小方两人先后在装有若干黑球的黑盒子与装有若干白球的白盒子（黑球数少于白球数）轮流取球，规定每次取球可以从某一盒子中取出任意多颗（至少取1颗），或者在两个盒子中取出相同颗数的球（至少各取1颗），最后不能按规则取的人输.已知两盒中共有11个球，且两人掷硬币后决定由小军先手取球.小方看了眼黑盒中的球，对小军说：“你输了！”若已知小方有必胜策略，则黑盒中球数为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 记ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知2a b -=，()sin sin sin 2A BA B +-=.（1）求c ；的（2）若ABC V 的内切圆在AB 上的切点为D ，求AD .16. 已知动圆P 过点()2,0A -且与圆B ：()22236x y -+=内切.（1）求动圆圆心P 轨迹E 的方程；（2）设动圆1C ：2221x y t +=，1C 与E 相交于,,,A B C D 四点，动圆2C ：()222212x y t t t +=≠与E 相交于,,,A B C D ''''四点.若矩形ABCD 与矩形A B C D ''''的面积相等，求2212t t +的值.17. 为提高我国公民整体健康水平，2022年1月，由国家卫生健康委疾控局指导、中国疾病预防控制中心和国家体育总局体育科学研究所牵头组织编制《中国人群身体活动指南（2021）》（以下简称《指南》）正式发布，《指南》建议18～64岁的成年人每周进行150～300分钟中等强度或75～150分钟高强度的有氧运动（以下简称为“达标成年人”），经过两年的宣传，某体育健康机构为制作一期《达标成年人》的纪录片，采取街头采访的方式进行拍摄，当采访到第二位“达标成年人”时，停止当天采访.记采访的18～64岁的市民数为随机变量X （2X ≥），且该市随机抽取的18～64岁的市民是达标成年人的概率为13，抽查结果相互独立.（1）求某天采访刚好到第五位可停止当天采访的概率；（2）若抽取的18～64岁的市民数X 不超过n 的概率大于13，求整数n 的最小值.18. 已知函数()12ex xf x x λ-=-.（1）当1λ=时，求()f x 的图象在点(1,f (1))处的切线方程；（2）若1x ≥时，()0f x ≤，求λ的取值范围；（3）求证：()1111111232124e 2e*n n n n nnn ++++-+++->∈N .19. 高斯-博内公式是大范围微分几何学的一个经典的公式，是关于曲面的图形（由曲率表征）和拓扑（由欧拉示性数表征）间联系的一项重要表述，建立了空间的局部性质和整体性质之间的联系.其特例是球面三角形总曲率x 与球面三角形内角和θ满足：πx θα=+，其中α为常数，（如图，把球面上的三个点用三个大圆（以球心为半径的圆）的圆弧联结起来，所围成的图形叫做球面三角形，每个大圆弧叫做球面三角形的一条边，两条边所在的半平面构成的二面角叫做球面三角形的一个角.球面三角形的总曲率等于2SR，S 为球面三角形面积，R 为球的半径）.的的（1）若单位球面有一个球面三角形，三条边长均为π2，求此球面三角形内角和；（2）求α的值；（3）把多面体的任何一个面伸展成平面，如果所有其他各面都在这个平面的同侧，这样的多面体叫做凸多面体.设凸多面体Ω顶点数为V ，棱数为E ，面数为F ，试证明凸多面体欧拉示性数()ΩV E F χ=-+为定值，并求出()Ωχ.雅礼中学2025届高三月考试卷（二）数学命题人：周芳芳张博审题人：周芳芳伊波得分：______本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页.时量120分钟，满分150分.第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}21,A x x k k ==-∈N ，{}1,0,1,2,3B =-，则A B = （）A. {}1,3B. {}0,1,3 C. {}1,1,3- D. {}1,0,1,2,3-【答案】C 【解析】【分析】利用自然数集的含义描述集合A ，根据集合交集运算求解.【详解】根据题意，集合A 表示从1-开始的奇数的集合，即1,1,3,5,-L ，{}1,1,3A B ∴⋂=-.故选：C.2. 若复数()21i 68iz -=+，则z z +=（）A.B.25C.35D.45【答案】B 【解析】【分析】利用复数的运算对复数z 化简，再求,z z ，即可求解.【详解】由()()()()()21i 2i 68i 1612i 43i 68i68i 68i 1002525z --⨯---====--++⨯-，则43i 2525z =-+，则15z z ===，因此25z z +=，故选：B.3. 设a，b 是单位向量，则()2a ba b +-⋅的最小值是（）A. 1-B. 0C.34D. 1【答案】D 【解析】【分析】设a，b 的夹角为[]0,πθ∈，则[]cos 1,1a b θ⋅=∈-r r ，结合数量积的运算律分析求解.【详解】设a ，b 的夹角为[]0,πθ∈，因为1==a b r r，则[]cos cos 1,1a b a b θθ⋅=⋅=∈-r r r r ，可得()2222cos 1a b a b a b a b θ+-⋅=++⋅=+≥r r r r rr r r ，当且仅当cos 1θ=-时，等号成立，所以()2a ba b +-⋅的最小值是1.故选：D.4. 已知()2cos 23cos 0αββ+-=，则()tan tan ααβ+=（）A. 5 B.15C. -5D. 15-【答案】D 【解析】【分析】由角的变换()()2,αβααββαβα+=++=+-，利用余弦的和，差角公式和展开，从而可得答案.【详解】()2cos 23cos αββ+=，则()()2cos 3cos αβααβα++=+-则()()()()2cos cos 2sin sin 3cos cos 3sin sin ααβαβααβααβα+-+=+++，，即()()5sin sin cos cos αβααβα-+=+，所以()5tan tan 1αβα-+=，∴()1tan tan 5αβα+=-，故选：D5. 巴黎奥运会期间，旅客人数（万人）为随机变量X ，且()2~30,2X N .记一天中旅客人数不少于26万人的概率为0p ，则0p 的值约为（）（参考数据：若()2~,X N μσ，有()0.683P X μσμσ-<≤+≈，()220.954P X μσμσ-<≤+≈，()330.997P X μσμσ-<≤+≈）A. 0.977B. 0.9725C. 0.954D. 0.683【答案】A 【解析】【分析】根据正态分布对称性求得答案.【详解】因为()230,2X N :，所以30μ=，2σ=，()26340.954P X ∴<≤=，根据正态曲线的对称性可得，()()()010.954262634340.9540.9772p P X P X P X -=≥=<≤+>=+=.故选：A.6. 已知抛物线C ：24x y =的焦点为F ，过点F 的直线与C 相交于M ，N 两点，则122MF NF +的最小值为（）A.92B. 4C.72D. 3【答案】A 【解析】【分析】设过点F 的直线l 的方程为：1y kx =+，与抛物线C 的方程联立，利用根与系数的关系求出12y y 的值，再根据抛物线的定义知11MF y =+，21NF y =+，从而求出122MF NF +的最小值即可.【详解】由抛物线C 的方程为24x y =，焦点坐标为F (0,1)，设直线l 的方程为：()()11221,,,,y kx M x y N x y =+，联立方程241x yy kx ⎧=⎨=+⎩，整理得2440x kx --=，则12124,4x x k x x +==-，故221212144x x y y =⋅=，又1112p MF y y =+=+，2212pNF y y =+=+，则()()121211155922112222222MF NF y y y y +=+++=++≥+=，当且仅当121,22y y ==时等号成立，故122MF NF +的最小值为92.故选：A.7. 若x ，0y ≥，1x y +=+）A. ⎡⎣B. []1,2 C. 2⎤⎦D. 12⎡⎢⎣【答案】B 【解析】【分析】三角换元后结合辅助角公式和正弦函数的值域求解即可；【详解】因为1x y +=，设22cos ,sin x y a a ==，又由x ，0y ≥，不妨取π0,2α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，πsin 2sin 3a a a æöç÷=+=+ç÷èø，因为π0,2α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ5π,336a éù+Îêúêúëû，所以[]π2sin 1,23a æöç÷+Îç÷èø，的取值范围为[]1,2，故选：B.8. 从重量分别为1，2，3，4，…，10克的砝码（每种砝码各2个）中选出若干个，使其总重量恰为9克的方法总数为m ，下列各式的展开式中9x 的系数为m 的选项是（）A. ()()()()23101111x xx x ++++ B. ()()()()11213110x x x x ++++ C. ()()()()()222222341011111x x x x x +++++ D. ()()()()22222232101111x x x x x x x x x ++++++++++ 【答案】C 【解析】【分析】根据选的砝码个数可以分为一个砝码，两个砝码，三个砝码，四个砝码，五个砝码五种情况可求得m ，在分析各个选项9x 的系数，即可求解.【详解】一个砝码有，9一种情况，12C 2=种情况，两个砝码有1,8，2,7，36，，4,5几种情况1122C C 416⨯=种三个砝码有，1,1,7，1,2,6，1,3,5，1,4,4，2,2,5，2,3,4几种情况111122223C 3C C C 30⨯+⨯=种四个砝码有，1,1,2,5，1,1,3,4，1,2,2,4，1,2,3,3，11224C C 16⨯=种，五个砝码有，1,1,2,2,3，12C 2=种，总计66m =种.对A ，选项9x 系数为8，故不符合，所以A 错误；对B ，9x 的系数是选9个带x 的，其他的1个括号选常数项，可得910C 1066=>，故B 错误；对C ，()()()()()222222341011111x x x x x +++++ ()()()()()()()()()()23410234101111111111x x x x x x x x x x =++++++++++ 9x 系数为9x 单独组成，其他为常数，则有12C 2=种，系数为29x 有两项组成，系数为x 与8x 组成，其他为常数，1122C C 4⋅=，系数为4，9x 系数为2x 与7x 组成，其他为常数，1122C C 4⋅=，系数为4，9x 系数为3x 与6x 组成，其他为常数， 1122C C 4⋅=，系数为4，9x 系数4x 与5x 组成，其他为常数， 1122C C 4⋅=，系数为4，同理9x 由三项组成7,,x x x ，26,,x x x ，35,,x x x ，44,,x x x ，225,,x x x ，234,,x x x 几种情况，其他项为为常数，则系数为111122223C 3C C C 30⨯+⨯=同理9x 由四项组成25,,,x x x x ，34,,,x x x x ，224,,,x x x x ，233,,,x x x x 几种情况，其他常数，则系数11224C C 16⨯=，同理9x 由五项组成223,,,,x x x x x 其他项为常数，则系数为12C 2=，综上9x 系数为66m =，故C 正确；对D ，()()()()22222232101111x x x x xxx xx++++++++++ ()()()()2232101111x x x x x x x x x =++++++++++⨯()()()()2232101111x x x x x x x x x ++++++++++ ，5x 系数直接有5x 一项，其他是常数项，可有162C 12⨯=种情况，系数为12，5x 有x 与4x 组成，其他是常数项，可有11962C C 10860⋅=>,故D 错误.故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. (多选)下列选项中，正确的是（）A. 不等式220x x +->的解集为{|2x x <-或1}x >B. 不等式2112x x +≤-的解集为{|32}x x -≤<C. 不等式21x -≥的解集为{|13}x x ≤≤D. 设R x ∈，则“11x -<”是“405x x +<-”的充分不必要条件【答案】ABD 【解析】【分析】解出各选项中的不等式后可判断．【详解】A 选项，220(1)(2)02x x x x x +->⇔-+>⇔<-或1x >，A 正确；B 选项，(3)(2)02121311003220222x x x x x x x x x x +-≤⎧+++≤⇔-≤⇔≤⇔⇔-≤<⎨-≠---⎩，B 正确；为C 选项，2121x x -≥⇔-≥或21x -≤-，即3x ≥或1x ≤，C 错误；D 选项，1102x x -<⇔<<，()()40450455x x x x x +<⇔+-<⇔-<<-，而{|02}x x <<是{|45}x x -<<的真子集，D 正确．故选：ABD ．10. 如图，透明塑料制成的长方体容器1111ABCD A B C D -内灌进一些水，固定容器一边AB 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面几个结论，其中正确的命题有（）A. 没有水的部分始终呈棱柱形B. 水面EFGH 所在四边形的面积为定值C. 随着容器倾斜度的不同，11A C 始终与水面所在平面平行D. 当容器倾斜如图（3）所示时，AE AH ⋅为定值【答案】AD 【解析】【分析】想象容器倾斜过程中，水面形状（注意AB 始终在桌面上），可得结论．【详解】由于AB 始终在桌面上，因此倾斜过程中，没有水部分，是以左右两侧的面为底面的棱柱，A 正确；图（2）中水面面积比（1）中水面面积大，B 错；图（3）中11A C 与水面就不平行，C 错；图（3）中，水体积不变，因此AEH △面积不变，从而AE AH ⋅为定值，D 正确．故选：AD ．【点睛】本题考查空间线面的位置关系，考查棱柱的概念，考查学生的空间想象能力，属于中档题．11. 已知奇函数()f x 在R 上单调递增，()()f x g x '=，()()g x f x '=，若()()()22f x f x g x =，则的（）A. ()g x 的图象关于直线0x =对称B. ()()()222g x gx f x =+C. ()00g =或1D. ()()221gx f x -=【答案】ABD 【解析】【分析】利用函数的奇偶性，结合题中的条件对抽象函数求导可以得到()()0f x f x ''--=，()()()()()2222f x f x g x f x g x '''=+，再结合选项进行判断即可.【详解】对于A ，由()f x 为R 上的奇函数，则()00f =，()()0f x f x +-=，则()()0f x f x ''--=，所以()()0g x g x --=，即()g x 为偶函数，因此关于直线0x =对称，故A 正确；对于B ，由()()()22f x f x g x =，则两边同时求导得：()()()()()2222f x f x g x f x g x '''=+，即()()()222g x g x f x =+，故B 正确；由()()()()0g x f x f x g x -=，则()()()()220g x g x f x f x -'='，即()()220g x f x ''⎡⎤⎡⎤-=⎣⎦⎣⎦，即()()220g x f x '⎡⎤-=⎣⎦，则()()22gx f x C -=（C 为常数），设()()()22h x g x f x C =-=（C 为常数），对于C ，由()()()222g x gx f x =+，则()()()22000g g f =+，即()()0010g g ⎡⎤-=⎣⎦，解得()00g =或()01g =，当()00g =，则()()()220000h gf =-=，则()()()220h xg x f x =-=，即()()f x g x =±，又()g x 为偶函数，则()f x 即是奇函数也是偶函数，与()f x 在R 上单调递增矛盾，因此()00g =不符合题意，则()01g =，故C 错误；对于D ，当()01g =时，则()()()220001h gf =-=，则()()()221h xg x f x =-=，即()()221g x f x -=，故D 正确；故选：ABD.【点睛】关键点点睛：奇偶函数的性质，及对抽象函数求导，比如()()()22f x f x g x =，求导可以得到()()()()()2222f x f x g x f x g x '''=+，再结合()()f x g x '=，()()g x f x '=，灵活变化，必要时可以对其进行赋值.第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 从14，13，12，2，3，4，6，9中任取两个不同的数，分别记为m ，n ，记A =“log 0m n <”，则()P A =______.【答案】1528【解析】【分析】根据对数的性质、排列知识和古典概型的概率公式可得结果.【详解】因为log 0m n <，所以01,1m n <<>或1,01m n ><<，从111,,,2,3,4,6,9432中任取两个不同的数，共可得到28A 56=取法，其中对数值为负数的有11113553A A A A 30+=个，所以()30155628P A ==.故答案：1528.13. 如图，ABC V 中，6AB =，2AC BC =，D 为AB 中点，则tan BDC ∠的取值范围为______.【答案】40,3⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】【分析】以D 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标为系，结合题中条件确定tan yBDC x∠=的范围即可.【详解】以D 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则()3,0A -，()0,0D ，()3,0B ，设(),C x y ，又2AC BC =，则C 在第一象限或者第四象限，结合对称性，不妨设C 在第一象限，=，整理得()22516x y -+=且0y >，又tan yBDC x∠=，结合图象知，tan 0BDC ∠>，则22222210911tan 9101y x x BDC x x x x -+-⎛⎫∠===-+- ⎪⎝⎭，当159x =时，2tan BDC ∠取最大值为169，则40tan 3BDC <∠≤，即tan BDC ∠的取值范围为40,3⎛⎤⎥⎝⎦，故答案为：40,3⎛⎤ ⎥⎝⎦.14. 小军和小方两人先后在装有若干黑球的黑盒子与装有若干白球的白盒子（黑球数少于白球数）轮流取球，规定每次取球可以从某一盒子中取出任意多颗（至少取1颗），或者在两个盒子中取出相同颗数的球（至少各取1颗），最后不能按规则取的人输.已知两盒中共有11个球，且两人掷硬币后决定由小军先手取球.小方看了眼黑盒中的球，对小军说：“你输了！”若已知小方有必胜策略，则黑盒中球数为______.【答案】4【解析】【分析】分黑球和白球个数为()1,10，()2,9，()3,8，()4,7，()5,6进行讨论，若小方有必胜策略，重点在于小方取完后盒中球的情况为()1,2或()2,1时，则小方必胜.【详解】设黑球数为m ，白球数为n ，由11+=m n ，m n <，则(),m n 可能有以下几种情况：的①()1,10，小军可先手在白盒子中取8颗球，此时两盒球数为()1,2，则小方必不可能全部取完，小方后手取球后可能为(0,2)，(0,1)，()1,1，(1,0)，此时无论何种情况小军都可全部取完，故小军有必定获胜的策略，不符合题意；②()2,9，小军可先手在白盒子中取8颗球，此时两盒球数为(2,1)，同①进行分析可知，小军有必定获胜的策略，不符合题意；③()3,8，小军可先手在白盒子中取3颗球，此时两盒球数为()3,5，小方取球后，若两盒中球数一样或有一盒取空，则小军可全部取完，小军必胜；若两盒中球数不一样，且均不为0，则一定是以下三种情况之一：（1）两盒球数为()3,4；（2）有一盒中只有一个球，另一盒中多于两个球，即()1,3，()3,1，()1,5；（3）有一盒中有两个球，另一盒中多于两个球，即()2,4，()3,2，()2,5；无论为哪种情况，小军都可将其取为()1,2或(2,1)，知此时小军必胜，不符合题意；④()4,7，若小军只从白盒中取球，则两盒球数为()4,1，()4,2，()4,3时，由③的推理过程知，小方必胜；符合题意.若两盒球数为()4,6时，小方可将球数转为()3,5，知小方必胜；若两盒球数为()4,5时，小方可将球数转为()1,2，知小方必胜；若两盒球数为()4,4时，知小方必胜若小军从黑盒中取出了球，则黑盒中球数3≤，白盒中球数-黑盒中球数3≥，从而由③推理过程知小方必胜；⑤()5,6，小军可将球数转化为()1,2，小军必胜，不符合题意；因此小方有必胜策略，则黑盒中球数为4，故答案为：4.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于小方怎样将盒中的球变为()1,2或()2,1，则小方必胜.四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 记ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知2a b -=，()sin sin sin 2A BA B +-=.（1）求c ；（2）若ABC V 的内切圆在AB 上的切点为D ，求AD .【答案】（1）4 （2）1【解析】【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理对()sin sin sin 2A BA B +-=进行边化角，再借助2a b -=即可求出c 的值；（2）利用内切圆的性质可得,,AD AM BD BN CM CN ===，再结合4,2c a b =-=，即可求出AD 的值.【小问1详解】由()sin sin sin 2A BA B +-=，则2sin cos 2cos sin sin sin A B A B A B -=+，整理得：()()sin 2cos 1sin 12cos A B B A -=+，则角化边可得：222222211222a c b b c a a b ac bc ⎛⎫⎛⎫+-+-⨯-=+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理可得：()2c a b =-，又2a b -=，因此可得4c =.【小问2详解】由（1）知4,2c a b =-=，设ABC V 的内切圆在,AC BC 上的切点为,M N ，则,,AD AM BD BN CM CN ===,则4c AB AD BD AM BN ===+=+，()()2a b BC AC BN CN AM CM BN AM -=-=+-+=-=，因此可得1AM =，即1AD =.16. 已知动圆P 过点()2,0A -且与圆B ：()22236x y -+=内切.（1）求动圆圆心P 的轨迹E 的方程；（2）设动圆1C ：2221x y t +=，1C 与E 相交于,,,A B C D 四点，动圆2C ：()222212x y t t t +=≠与E 相交于,,,A B C D ''''四点.若矩形ABCD 与矩形A B C D ''''的面积相等，求2212t t +的值.【答案】（1）22195x y +=（2）14【解析】【分析】（1）设动圆半径为r ，根据题意可以得到64PA PB AB +=>=，利用椭圆的定义知动圆圆心P 的轨迹E 是以,A B 为焦点的椭圆，从而求出动圆圆心P 的轨迹E 的方程；（2）设()22,,(,)A x y A x y '，由矩形ABCD 与矩形A B C D ''''的面积相等，得112244x y x y =，再根据,A A '在椭圆上，从而求出所以22129x x +=， 22125y y +=，即可求出2212t t +的值.【小问1详解】设动圆半径为r ，则PA r =，6B PB r r r =-=-（内切），64PA PB AB ∴+=>=，所以点P 的轨迹是以,A B 为焦点的椭圆．623a a ∴=⇒=，242AB c c ==⇒=，2225b a c ∴=-=．则动圆圆心P 的轨迹E 的方程为：22195x y +=．【小问2详解】设()22,,(,)A x y A x y '，由矩形ABCD 与矩形A B C D ''''的面积相等，得112244x y x y =，故22221122x y x y =，因为点A ，A '均在椭圆上，所以，22221212515199x x x x ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，整理可得：()()2222121290x x x x ⎡⎤--+=⎣⎦，由12t t ≠，知12x x ≠，所以22129x x +=，同理可得22125y y += ，因此2222221211229514t t x y x y +=+++=+=.17. 为提高我国公民整体健康水平，2022年1月，由国家卫生健康委疾控局指导、中国疾病预防控制中心和国家体育总局体育科学研究所牵头组织编制的《中国人群身体活动指南（2021）》（以下简称《指南》）正式发布，《指南》建议18～64岁的成年人每周进行150～300分钟中等强度或75～150分钟高强度的有氧运动（以下简称为“达标成年人”），经过两年的宣传，某体育健康机构为制作一期《达标成年人》的纪录片，采取街头采访的方式进行拍摄，当采访到第二位“达标成年人”时，停止当天采访.记采访的18～64岁的市民数为随机变量X （2X ≥），且该市随机抽取的18～64岁的市民是达标成年人的概率为13，抽查结果相互独立.（1）求某天采访刚好到第五位可停止当天采访的概率；（2）若抽取的18～64岁的市民数X 不超过n 的概率大于13，求整数n 的最小值.【答案】（1）32243（2）4【解析】【分析】（1）依题意，可判断随机变量()2X X ≥服从二项分布，利用概率公式计算即得；（2）由题意，列出随机变量()2X X ≥的分布列，则得22222211123111212121C C C 33333333n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯>⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ，利用错位相减法求和将其转化成()226243n n -⎛⎫>+⨯ ⎪⎝⎭，判断数列()22243n n a n -⎛⎫=+⨯ ⎪⎝⎭的单调性，代值验证即得整数n 的最小值.【小问1详解】根据题意，某天采访刚好到第五位可停止当天采访，即采访的前四位中有一位是达标成年人，第五位必是达标成年人，所以随机变量()2X X ≥服从二项分布，所以某天采访刚好到第五位可停止当天采访的概率为31412132C 333243⎛⎫⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭.【小问2详解】依题意，随机变量()2X X ≥服从二项分布，则所以22222211123111212121C C C 33333333n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ，化简得()2212221123193333n n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫+⨯+⨯++-⨯>⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L ，即()2222212313333n n -⎛⎫⎛⎫+⨯+⨯++-⨯> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L ，记()222221231333n S n -⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯++-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L ①，则()23122222123133333n S n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ②，由①-②，可得()221122221133333n n S n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++-- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ，即()1121123123313n n S n --⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=-- ⎪⎝⎭-，解得()229243n S n -⎛⎫=-+⨯ ⎪⎝⎭，由此可得，()2292433n n -⎛⎫-+⨯> ⎪⎝⎭，即()226243n n -⎛⎫>+⨯ ⎪⎝⎭，设()22243n n a n -⎛⎫=+⨯ ⎪⎝⎭，()*2,Nn n ≥∈，因为()()1122262631362243n n n n n a n a n n -+-⎛⎫+⨯ ⎪+⎝⎭==<+⎛⎫+⨯ ⎪⎝⎭，可得数列{}n a 是递减数列，又322010633a =⨯=>，2421612633a ⎛⎫=⨯=< ⎪⎝⎭，所以整数n 的最小值为4.18. 已知函数()12ex xf x x λ-=-.（1）当1λ=时，求()f x 的图象在点(1,f (1))处的切线方程；（2）若1x ≥时，()0f x ≤，求λ的取值范围；（3）求证：()1111111232124e2e*n n n n nnn ++++-+++->∈N .【答案】（1）0y = （2）[)1,+∞ （3）证明见详解【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可；（2）根据题意，由条件式恒成立分离参数，转化为212ln x x xλ≥+，求出函数()212ln xg x x x =+的最大值得解；（3）先构造函数()12ln x x x x ϕ=-+，利用导数证明11ln 2x x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，1x >，令11x n=+，可得()111ln 1ln 21n n n n ⎛⎫+-<+ ⎪+⎝⎭，迭代累加可证得结果.【小问1详解】当1λ=时，()12ex xf x x -=-，f (1)=0，则()12121e x x f x x x -⎛⎫=-+ ⎪⎝'⎭，则()0122e 0f =-='，所以()f x 在点(1,f (1))处的切线方程为0y =.【小问2详解】由1x ≥时，()0f x ≤，即12e 0x x x λ--≤，整理得212ln xx xλ≥+，对1x ≥恒成立，令()212ln x g x x x =+，则()()42321ln 222ln x x x x x g x x x x ---=-+'=，令()1ln h x x x x =--，1x ≥，所以()ln 0h x x '=-≤，即函数ℎ(x )在1x ≥上单调递减，所以()()10h x h ≤=，即()0g x '≤，所以函数()g x 在1x ≥上单调递减，则()()11g x g ≤=，1λ∴≥.【小问3详解】设()12ln x x x xϕ=-+，1x >，则()()222221212110x x x x x x x xϕ---+-='=--=<，所以φ(x )在(1,+∞)上单调递减，则()()10x ϕϕ<=，即12ln 0x x x-+<，11ln 2x x x ⎛⎫∴<- ⎪⎝⎭，1x >，令11x n=+，*N n ∈，可得1111111ln 1112211n n n n n ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫+<+-=+ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎪+⎝⎭，所以()111ln 1ln 21n n n n ⎛⎫+-<+ ⎪+⎝⎭，()()111ln 2ln 1212n n n n ⎛⎫+-+<+ ⎪++⎝⎭，()()111ln 3ln 2223n n n n ⎛⎫+-+<+ ⎪++⎝⎭，…()()111ln 2ln 212212n n n n ⎛⎫--<+ ⎪-⎝⎭，以上式子相加得()112221ln 2ln 212212n n n n n n n ⎛⎫-<+++++ ⎪++-⎝⎭，整理得，11111ln 2412212n n n n n-<++++++-L ，两边取指数得，11111ln 2412212e e n n n n n -++++++-<L ，即得111114122122e e n n n n n -++++-<L ，()*Nn ∈得证.【点睛】关键点点睛：本题第三问解题的关键是先构造函数()12ln x x x xϕ=-+，利用导数证明11ln 2x x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，1x >，令11x n=+，得到()111ln 1ln 21n n n n ⎛⎫+-<+ ⎪+⎝⎭.19. 高斯-博内公式是大范围微分几何学的一个经典的公式，是关于曲面的图形（由曲率表征）和拓扑（由欧拉示性数表征）间联系的一项重要表述，建立了空间的局部性质和整体性质之间的联系.其特例是球面三角形总曲率x 与球面三角形内角和θ满足：πx θα=+，其中α为常数，（如图，把球面上的三个点用三个大圆（以球心为半径的圆）的圆弧联结起来，所围成的图形叫做球面三角形，每个大圆弧叫做球面三角形的一条边，两条边所在的半平面构成的二面角叫做球面三角形的一个角.球面三角形的总曲率等于2SR，S 为球面三角形面积，R 为球的半径）.（1）若单位球面有一个球面三角形，三条边长均为π2，求此球面三角形内角和；（2）求α的值；（3）把多面体的任何一个面伸展成平面，如果所有其他各面都在这个平面的同侧，这样的多面体叫做凸多面体.设凸多面体Ω顶点数为V ，棱数为E ，面数为F ，试证明凸多面体欧拉示性数()ΩV E F χ=-+为定值，并求出()Ωχ.【答案】（1）3π2（2）1（3）证明见解析；()2χΩ=【解析】【分析】（1）由球面三角形边角定义，转化为大圆弧长可求圆心角，由球面三角形三条边长均为π2，得,,OA OB OC 两两垂直，从而得到面面垂直，进而求内角和可得；（2）将球面平均分割为8个全等的球面三角形，由特值代入公式πx θα=+待定α即可；（3）将球面分割为F 个球面多边形，再转化为球面三角形，借助球面三角形总曲率x 与球面三角形内角和θ关系，利用所有分割后的球面三角形面积之和（用,,V E F 表示）即为球面面积建立等量关系求证即可．【小问1详解】如图，设球心为O ，球面三角形三个顶点分别为,,A B C ，由球面三角形三边长均为π2，由题意，即每个大圆弧长均为π2.又单位球面的球半径1R =，则球面三角形每条边所对圆心角为π2，所以在三棱锥A OBC -中，,,OA OB OC 两两垂直.由,OA OB OA OC ⊥⊥，OB OC O = ，且OB ⊂平面OBC ，OC ⊂平面OBC ，则OA ⊥平面OBC ，OA ⊂平面OAB ，故平面OAB ⊥平面OBC ，同理平面OAB ⊥平面OCA ，平面OCA ⊥平面OBC ，即球面三角形任意两条边所在的半平面构成的二面角均为π2，故球面三角形的3个角均为π2，从而此球面三角形内角和为3π2.【小问2详解】若将地球看作一个球体，在地球上零度经线和90 经线所在大圆与赤道所在大圆将球面平均分成8个全等的球面三角形，由（１）可知，每个球面三角形的3个角均为π2，且球面三角形内角和3π2θ=，从而每个球面三角形的面积为224ππ82R R S ==，则每个球面三角形的总曲率为2π2S x R ==，设()f x θ=，由题意()πf x x α=+，且α为常数，则有ππ3ππ222f α⎛⎫=+=⎪⎝⎭，从而1α=.【小问3详解】将多面体的每个面视作可以自由伸缩的橡皮膜，使膨胀为一个半径为R 的球，每个顶点均在球面上，每条边变为球面上的边，每个多边形变为球面上的多边形，且膨胀前后()V E F χ=-Ω+不变.不妨记球面仍为单位球面，半径1R =，对于任意一个球面k 边形，可用球面上的边分割成(2)k -个球面三角形，由（2）可知，1α=，则每个球面三角形的内角和2πππSx S Rθ=+=+=+．即每个内角和为θ的球面三角形面积为πθ-，记21k jj ϕθ-==∑，称为分割成(2)k -个球面三角形的球面k 边形的内角和．所以球面k 边形面积为(2)πk ϕ--.由已知凸多面体Ω顶点数为V ，棱数为E ，面数为F ，则可记球面上多边形,1,2,,i i F α= ，对每一个球面多边形i α，设其边数为i l ，内角和为i ϕ，面积为i S ，则()()1112ππ2πF F Fiiiii i i i S l l ϕϕ===⎡⎤=--=-+⎣⎦∑∑∑，由球面三角形角的定义可知，每个顶点处所有球面多边形的角之和为2π，顶点数为V ，从而所有球面多边形内角和为12πFii V ϕ==∑，又球面多边形每条边被重复计算2次，棱数为E ，故1π2πi i Fl E ==∑，则()1π2π2π2π2πFii i l V E F ϕ=-+=-+∑，又所有球面多边形面积之和214π4πi FiSR ===∑，故2π2π2π4πV E F -+=，故()2V E F χ=+Ω-=.【点睛】关键点点睛：解决本题关键在于转化化归思想的应用，一是理解球面三角形及边角的定义，将球面内角和问题转化多面体的二面角之和求解；二是将凸多面体膨胀为球面后，凸多面体欧拉示性数()V E F χ=-Ω+没有变化，从而将凸多面体问题转化为球面问题处理；三是利用分割法将球面面积转化为球面三角形的面积之和，从而建立等量关系求解2V E F -+=．。

2023届湖南省长沙市雅礼中学高三下学期月考(七)数学试题(解析版)

湖南省长沙市雅礼中学2023届高三下学期月考(七)数学时量：120分钟满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设集合(){}1.5log 10A x x =->，{}24xB x =<，则（）A.A B =B.A B ⊇C.A B B =D.A B B =2.设b ，c R ∈，若2i -（i 为虚数单位）是一元二次方程20x bx c ++=的一个虚根，则（） A.4b =，3c = B.4b =，5c = C.4b =-，3c =D.4b =-，5c =3.圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上.其上、下底面的半径分别为4和5，则该圆台的体积为（） A.61πB.62πC.63πD.64π4.如图，用4种不同的颜色，对四边形中的四个区域进行着色，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色，则不同的着色方法有（）A.72B.56C.48D.365.已知数列{}n a 满足：()()1131nn n a a n n *++-=-⊂N .则{}n a 的前60项的和为（） A.1240B.1830C.2520D.27606.已知R ω∈，函数()()()26sin f x x x ω=-⋅，存住常数a R ∈，使得()f x a +为偶函数，则ω的值可能为（） A.2π B.3π C.4π D.5π 7.已知1F ，2F 是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且1260F PF ∠=︒，()121PF PF λλ=>，若C 的λ的值为（）A.3C.28.若2021log 2022a =，2022log 2023b =，20222021c =，20232022d =，则a ，b ，c ，d 中最大的是（）A.aB.bC.cD.d二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9.下列命题中，真命题有（）A.数据6，2，3，4，5，7，8，9，1，10的70%分位数是8.5B.若随机变量16,3X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，则()49D X =C.若事件A ，B 满足()0P A <，()1P B <且()()()1P AB P A P B =⋅-⎡⎤⎣⎦，则A 与B 独立 D.若随机变量()22,X N σ~，()10.68P X >=.则()230.18P x ≤<= 10.已知23π是函数()()()sin 20f x x ϕϕπ=+<<的一个零点，则（） A.()f x 在区间50,12π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 B.()f x 在区间11,1212ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭只有一个极值点 C.直线76x π=是曲线()y f x =的对称轴D.直线y x =-是曲线()y f x =的切线 11.已知O 为坐标原点，过抛物线()2:20C y px p =>焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，其中A 在第一象限，点(),0M p ，若AF AM =，则（）A.直线AB 的斜率为B.OB OF =C.4AB OF >D.180OAM OBM ∠+∠<︒12.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为棱1BB 的中点，Q 为正方形11BB C C 内一动点（含边界），则下列说法中正确的是（）A.若1D Q ∥平面1A PD ，则动点Q 的轨迹是一条线段B.存在Q 点，使得1D Q ⊥平面1A PDC.当且仅当Q 点落在棱1CC 上某点处时，三棱锥1Q A PD -的体积最大D.若12D Q =，那么Q 点的轨迹长度为24π 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知在n的展开式中，前3项的系数成等差数列，则展开式中当x 的一次项的系数为______. 14.若3sin sin αβ-=2παβ+=，则sin α=______，cos2β=______.15.已知1F ，2F 是椭圆22143x y +=的左、右焦点，点P 是椭圆上任意一点，以1PF 为直径作圆N ，直线ON 与圆N 交于点Q （点Q 不在椭圆内部），则12QF QF ⋅=______. 16.在数列{}n a 中给定1a ，且函数()()311sin 213n n f x x a x a x +=-+++的导函数有唯一的零点，函数()()()8sin cos g x x x x ππ=+-且()()()12918g a g a g a ++⋅⋅⋅+=.则5a =______.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）记ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()()sin sin sin sin C A B B C A -=-. （1）证明：2222a b c =+；（2）若5a =，25cos 31A =，求ABC △的周长. 18.（本小题满分12分）设{}n a 是公比不为1的等比数列，1a 为2a ，3a 的等差中项. （1）求{}n a 的公比；（2）若11a =，求数列{}n na 的前n 项和. 19.（本小题满分12分）如图，四面体ABCD 中，AD CD ⊥，AD CD =，ADB BDC ∠=∠，E 为AC 的中点.（1）证明：平面BED ⊥平面ACD ；（2）设2AB BD ==，60ACB ∠=︒，点F 在BD 上，当AFC △的面积最小时，求CF 与平面ABD 所成角的正弦值.20.（本小题满分12分）浙江省东魁杨梅是现在世世界上最大果形的杨梅，有“乒乓杨梅”、“杨梅之皇”的美誉，东魁杨梅始于浙江黄岩区江口街道东香村一棵树龄约120多年的野杨梅树，经过东岙村和白龙岙村村民不断改良，形成了今天东魁杨梅的品种，栽培东魁杨梅一举多得，对开发山区资源，绿化荒山，保持水土，增加山区经济收入具有积极意义.根据多年的经验，可以认为东魁杨梅果实的果径()2,X N μσ~（单位：mm ），但因气候、施肥和技术的不同，每年的μ和σ都有些变化.现某农场为了了解今年的果实情况，从摘下的杨梅果实中随机取出1000颗，并测量这1000颗果实的果径，得到如下频率分布直方图.（1）用频率分布直方图估计样本的平均数x 近似代替μ，标准差s 近似代替σ，已知0.3s =.根据以往经验，把果径与μ的差的绝对值在2σ内的果实称为“标准果”.现从农场中摘取20颗果，请问这20颗果恰好有一颗不是“标准果”的概率.（结果精确到0.01）（2）随着直播带货的发展，该农场也及时跟进.网络销售在大大提升销量的同时，也增加了坏果赔付的成本.现该农场有一款“9A20”的主打产品，该产品按盒销售，每盒20颗，售价80元，客户在收到货时如果有坏果，每一个坏果该农场要赔付4元.根据收集到的数据：若采用A 款包装盒，成本()15a a ≤≤元，且每盒出现坏果个数1X 满足：()11,1,2,3,4,21,0,160,5,6,,20.ii P X i i i ⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪⎪===⎨⎪=⋅⋅⋅⎪⎪⎪⎩若采用B 款包装盒，成本87a元，且每盒出现坏果个数2X 满足 ()21,1,2,3,20,0,4,5,6,,20,im i P X i i ⎧⎛⎫=⎪ ⎪==⎨⎝⎭⎪=⋅⋅⋅⎩ （m 为常数）. 请运用概率统计的相关知识分析，选择哪款包装盒可以获得更大利润?参考数据：36.20.236.40.2536.60.736.80.837 1.137.20.837.4⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯0.6537.60.437.80.05380.05185+⨯+⨯+⨯=；()0.6827P X μσμσ-≤≤+=；()220.9545P X μσμσ-≤≤+=； ()330.9973P X μσμσ-≤≤+=；190.95450.412≈；200.95450.393≈.21.（本小题满分12分）已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，且F 与圆()22:41M x y ++=上点的距离的最小值为4.（1）求p ；（2）若点P 在圆M 上，P A ，PB 是C 的两条切线，A ，B 是切点，求PAB △面积的最大值. 22.（本小题满分12分）已知0a >，函数()[)()e sin 0,axf x x x =∈+∞，记n x 为()f x 的从小到大的第()n n *∈N 个极值点. 证明：（1）数列(){}n f x 是等比数列；（2）若a ≥，则对一切n *∈N ，()n n x f x <恒成立.湖南省长沙市雅礼实高2023届高三下学期月考(七)数学参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.C 【解析】过程略.注：《名师导学•新高考第二轮总复习》2P .2.D 【解析】过程略.注：《名师导学•新高考第二轮总复习》5P . 4.C 【解析】过程略.注：《名师导学•新高考第二轮总复习》11P .5.D 【解析】()1131nn n a a n ++-⋅=-，故212a a -=，325a a +=，438a a -=，5411a a +=，…. 故133a a +=，573a a +=，….从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于3；2413a a +=，6837a a +=，….从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以13为首项，以24为公差的等差数列. 故60151431513152427602S ⨯=⨯+⨯+⨯=. 故选D.注：《名师导学•新高考第二轮总复习》131P .二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.CD 【解析】对于A ，对数据排序得到1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，由1070%7⨯=，70%分位数是787.52+=，A 错误；对于B ，由16,3X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭知()11461333D X ⎛⎫=⨯⨯-=⎪⎝⎭，故B 错误；对于C ，因为()()()P AB P AB P A +=，即()()()P AB P A P AB =-，又()()()1P AB P A P B =⋅-⎡⎤⎣⎦，即()()()()P A P B P A P AB =-，所以()()()P AB P A P B =，故A 与B 独立，故C 正确；对于D ，由题设，对应正态曲线关于2x =对称，所以()()23120.680.50.18P x P x ≤<=<≤=--，故D 正确.故选CD.10.ABD 【解析】由题意得：24sin 033f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以43k πϕπ+=，k ∈Z ，即43k πϕπ=-+，k ∈Z ，又0ϕπ<<，所以2k =时，23πϕ=，故()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. 对A ，当50,12x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2232,332x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，由正弦函数sin y u =图象知()y f x =在50,12π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；对B ，当11,1212x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，252,322x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，由正弦函数sin y u =图象知()y f x =只有1个极值点，由23232x ππ+=，解得512x π=，即512x π=为函数的唯一极值点；对C ，当76x π=时，2233x ππ+=，706f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，直线76x π=不是对称轴；对D ，由22cos 213y x π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭'得：21cos 232x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，解得222233x k πππ+=+或212233x k πππ+=+，k ∈Z ，从而得：x k π=或3x k ππ=+，k ∈Z . 所以函数()y f x =在点⎛ ⎝⎭处的切线斜率为022cos13x k y π=='==-，切线方程为：()0y x =--即y x =. 故选ABD.注：《名师导学•新高考第二轮总复习》17P . 11.ACD 【解析】对于A ，易得,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，由AF AM =可得点A 在FM 的垂直平分线上，则A 点横坐标为3224pp p +=，代入拋物线可得2233242p y p p =⋅=，则34p A ⎛ ⎝⎭，则直线AB的斜率为2342p p =-A 正确；对于B ，由斜率为可得直线AB 的方程为2p x y =+，联立拋物线方程得220y py p --=，设()11,B x y 1p y p +=，则1y =，代入拋物线得212p x ⎛=⋅ ⎝⎭，解得13px =，则,3p B ⎛ ⎝⎭，则2p OB OF ==≠=，B 错误；对于C ，由抛物线定义知：325244312p p pAB p p OF =++=>=，C 正确；对于D ，2333,043434p p p p p OA OB ⎛⎛⎛⋅=⋅=⋅=-< ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则AOB ∠为钝角，又2225,043436p p p p p MA MB ⎛⎛⎛⎛⎫⋅=-⋅-=-⋅-+=-< ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则AMB ∠为钝角，又360AOB AMB OAM OBM ∠+∠+∠+∠=︒，则180OAM OBM ∠+∠=∠︒，D 正确.故选ACD.12.ACD 【解析】对于选项A ：取11B C ，1C C 中点E ，F ，连接1D E ，1D F ，EF ，PF ，由1111PF B C A D ∥∥且1111PF B C A D ==知11A PFD 是平行四边形， ∴11D F A P ∥，∵1D F ⊄平面1A PD ，1A P ⊂平面1A PD ， ∴1D F ∥平面1A PD ，公众号：数学北极星同理可得EF ∥平面1A PD ，∵1EFD F F =，∴平面1A PD ∥平面1D EF ，则Q 点的轨迹为线段EF ，A 选项正确；对于选项B ：如图，建立空间直角坐标系，则()11,0,0A ，11,1,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0,0,1D ，设(),1,Q x z ，0x ≤，1z ≤，则()11,0,1A D =-，110,1,2A P ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1,1,DQ x z =. 设(),,m a b c =为平面1A PD 的一个法向量，则110,0,m A D m A P ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即0,0,2a c c b -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得,.2a c cb =⎧⎪⎨=-⎪⎩ 取1c =，则11,,12m ⎛⎫=-⎪⎝⎭，若1D Q ⊥平面1A PD ，则1DQ m ∥，即存在λ∈R ，使得1DQ m λ=，则,1, 2,x z λλλ=⎧⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎩，解得 []20,1x z ==-∉，故不存在点Q 使得1D Q ⊥平面1A PD ，B 选项错误；对于选项C ：1A PD △的面积为定值，∴当且仅当Q 到平面1A PD 的距离d 最大时，三棱锥1Q A PD -的体积最大.12332AQ m d x z m⋅==+-， ①若32x z +≤，则()213d x z =-+，故当0x z +=时，d 有最大值1； ②若32x z +>.则()213d x z =+-，故当2x z +=时，d 有最大值13；综上，当0x z +=，即Q 和1C 重合时，三棱锥1Q A PD -的体积最大，C 选项正确；对于选项D ：11D C ⊥平面111BB C C，∴111D C C Q ⊥，1D Q ==，∴12C Q =，Q点的，圆心角为2π，D 选项正确.故选ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.358【解析】过程略.注：《名师导学・新高考第二轮总复习》12P .45【解析】过程略.注：《名师导学・新高考第二轮总复习》125P . 15.3 【解析】过程略.注：《名师导学・新高考第二轮总复习》145P . 16.14【解析】因为()()21cos 2n n f x x a x a +=-⋅+'有唯一的零点，()f x '为偶函数，则()00f '=，可得12n n a a +-=，*n ∈N ，数列{}n a 为等差数列，所以212a a -=，又因为()1118sin cos 882444g x x x x x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-=+-=--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令()8h t t t π=，则()h t 为奇函数，因为()0h t '>，所以()h t 在R 上单调递增. 由题意得()()()1292220g a g a g a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤-+-+⋅⋅⋅+-=⎣⎦⎣⎦⎣⎦， ∵数列{}n a 是公差不为0的等差数列，其中129a a a <<⋅⋅⋅<. 则129111444a a a -<-<⋅⋅⋅<-.假设1911044a a ⎛⎫⎛⎫-+-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1919191111110444444a a h a h a h a h a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫->--⇒->--⇒-+-> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∵1928371651111111112444444444a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=-+-=-+-=-+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ∴1291110444h a h a h a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+⋅⋅⋅+-> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，假设1911044a a ⎛⎫⎛⎫-+-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，同理可得1291110444h a h a h a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---+⋅⋅⋅+-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，综上，19195111104424a a a a a ⎛⎫⎛⎫-+-=⇒+=⇒= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 四、解答题：本题共6小题.共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.【解析】（1）因为()()sin sin sin sin C A B B C A -=-.所以sin sin cos sin sin cos sin sin cos sin sin cos C A B C B A B C A B A C -=-，……2分所以2222222222222a c b b c a a b c ac bc ab ac bc ab +---+-⋅-⋅=-⋅，……3分即()22222222222a c b a b c b c a +-+--+-=-，所以2222a b c =+.……5分（2）因为5a =，25cos 31A =，由（1）得2250b c +=，由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，则50502531bc -=，所以312x =，……8分故()2222503181b c b c bc +=++=+=，所以9b c +=，所以ABC △的周长为14a b c ++=.……10分18.【解析】（1）设{}n a 的公比为q ，因为1a 为2a ，3a 的等差中项，所以1232a a a =+，10a ≠，所以220q q +-=，又1q ≠，所以2q =-.……4分（2）设{}n na 的前n 项和为n S ，11a =，()12n n a -=-，()()()211122322n n S n -=⨯+⨯-+⨯-+⋅⋅⋅+-，①()()()()()()2312122232122n nn S n n --=⨯-+⨯-+⨯-+⋅⋅⋅+--+-，②……8分-①②得，()()()()21312222n nn S n -=+-+-+⋅⋅⋅+---()()()()()1211322123n nn n n ---+-=--=--， ∴()()11329nn n S -+-=.……12分19.【解析】（1）因为AD CD =，E 为AC 的中点，所以AC DE ⊥；在ABD △和CBD △中，因为AD CD =，ADB CDB ∠=∠，DB DB =，所以ABD CBD ≅△△，所以AB CB =，又因为E 为AC 的中点，所以AC BE ⊥；……3分又因为DE ，BE ⊂平面BED ，DEBE E =，所以AC ⊥平面BED ，因为AC ⊂平面ACD ，所以平面BED ⊥平面ACD .……5分（2）连接EF ，由（1）知，AC ⊥平面BED ，因为EF ⊂平面BED ，所以AC EF ⊥，所以12AFC S AC EF =⋅△，当EF BD ⊥时，EF 最小，即AFC △的面积最小.……6分因为ABD CBD ≅△△，所以2CB AB ==，又因为60ACB ∠=︒，所以ABC △是等边三角形，因为E 为AC 的中点，所以1AE EC ==，BE = 因为AD CD ⊥，所以112DE AC ==，在DEB △中，222DE BE BD +=，所以BE DE ⊥.以E 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系E xyz -，……8分则()1,0,0A，()B ，()0,0,1D ，所以()1,0,1AD =-，()AB =-，设平面ABD 的一个法向量为(),,n x y z =，则0,0,n AD x z n AB x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩取y =，则()3,3,3n =，又因为()1,0,0C -，34F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以31,4CF ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以6cos ,721n CF n CF n CF⋅===⨯，设CF 与平面ABD 所成的角为02πθθ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭，所以43sin cos ,7n CF θ==，所以CF 与平面ABD .……12分 20.【解析】（1）(36.20.236.40.2536.60.736.80.837 1.137.20.837.40.6537.60.4x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+)37.80.05380.050.237⨯+⨯⨯=.……2分所以()()36.437.63720.33720.30.9545P X P X ≤≤=-⨯≤≤+⨯=.……3分所以恰好有一颗不是“标准果”的概率()191920C 0.954510.95450.37P =⨯⨯-≈.……5分（2）由1111248m m m ++=得，87m =.……6分所以()28172iP X i ⎛⎫== ⎪⎝⎭，1i =，2，3.……7分采用A 款包装盒获得利润的数学期望为：()234111111478048041234.22222A E E X a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-⨯+⨯+⨯+⨯-=-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦……8分采用B 款包装盒获得利润的数学期望为：()28421851688048041237777777B a a E E X a ⎛⎫=--=-⨯+⨯+⨯-=- ⎪⎝⎭.……9分因为14751683277714A B a E E a a ⎛⎫⎛⎫-=---=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，15a ≤≤，所以当312a ≤<时，A B E E <，选择B 款包装盒获得利润更大；……10分当32a =时，A B E E =，选择A ，B 款包装盒获得利润一样；……11分当352a <≤时，A B E E >，选择A 款包装盒获得利润更大.……12分 21.【解析】（1）抛物线C 的焦点为0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，42pFM =+，所以，F 与圆()22:41M x y ++=上点的距离的最小值为4142p+-=，解得2p =.……4分（2）拋物线C 的方程为24x y =，即24x y =，对该函数求导得2xy '=，设点()11,A x y ，()22,B x y ，()00,P x y ，直线PA 的方程为()1112x y y x x -=-，即112x xy y =-，即11220x x y y --=，同理可知，直线PB 的方程为22220x x y y --=，由于点P 为这两条直线的公共点，则10102020220,220,x x y y x x y y --=⎧⎨--=⎩所以，点A ，B 的坐标满足方程00220x x y y --=，所以，直线AB 的方程为00220x x y y --=.……7分联立002220,,4x x y y x y --=⎧⎪⎨=⎪⎩可得200240x x x y -+=，由韦达定理可得1202x x x +=，1204x x y =，所以，AB ===点P 到直线AB的距离为d =所以，()3220011422PABS AB d x y =⋅==-△， ∵()()2222000000041441215621x y y y y y y -=-+-=---=-++，由已知可得053y -≤≤-，所以，当05y =-时，PAB△的面积取最大值321202⨯=……12分22.【解析】（1）()()()e sin e cos e sin cos sin ax ax uxax f x a x x a x x x ϕ'=+=+=+，其中1tan a ϕ=，02πϕ<<. 令()0f x '=，由0x ≥得x m ϕπ+=，即x m πϕ=-，*m ∈N .对k ∈N ，若()221k x k πϕπ<+<+，即()221k x k πϕπϕ-<<+-，则()0f x '>；若()()2122k x k πϕπ+<+<+，即()()2122k x k πϕπϕ+-<<+-，则()0f x '<. 因此，()f x 在区间()()1,m m ππϕ--与(),m m πϕπ-上的符号总相反.于是当()*x m m πϕ=-∈N 时，()f x 取得极值，所以()*n x n n πϕ=-∈N . 此时，()()()()()1esin 1e sin n a n a n n f x n πϕπϕπϕϕ+--=-=-.易知()0n f x ≠，而()()()()()()21111e sin e 1e sin n a n x n axn a n n f x f x ϕπϕϕϕ++-⎡⎤⎣⎦++--==--是常数，故数列(){}n f x 是首项为()()1e sin a x f x ϕϕ-=，公比为e a π-的等比数列.……5分（2）由（1）知，sin ϕ=*n ∈N ，()n n x f x <恒成立，即()a n n πϕπϕ--<恒()()e a n a n πϕπϕ-<-（*）恒成立（因为0a >），设()()e 0tg t t t=>，则()()2e 1t t g t t ='-.令()0g t '=得1t =，当01t <<时，()0g t '<，所以()g t 在区间()0,1上单调递减；当1t >时，()0g t '>，所以()g t 在区间()1,+∞上单调递增. 从而当1t =时，函数()g t 取得最小值()1e g =.……8分因此，要使（*()1e g<=，即只需a >.而当a =时，由1tan a ϕ==>02πϕ<<.于是23ππϕ-<<-2n ≥时，322n ππϕπϕ-≥->>因此对一切*n ∈N ，1n ax =≠，所以()()1e n g ax g a>==. 故（*）式亦恒成立. 综上所述，若a ≥，则对一切*n ∈N ，()n n x f x <恒成立.……12分。

湖南省长沙市雅礼中学高三数学月考试题(七)文(含解析)

湖南省长沙市雅礼中学高三数学月考试题（七）文（含解析）数学（文科）注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

写在本试卷上无效。

3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{1,2,3,4}A =，{}0,1,2,4,5B =，全集B A U ⋃=，则集合)(B A C U 中的元素共有（） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个【答案】A 【解析】【分析】利用交集与并集定义先求B A 与B A ，再利用补集定义求)(B A C U .【详解】由题意得{}0,1,2,3,4,5A B ⋃=，{}1,2,4A B ⋂=，所以(){}0,3,5U C A B ⋂= 故选A.【点睛】理解交集、并集、补集的概念，确定A 、B 中的公共元素、所有元素、B A 的补集中的元素，本题考查集合的基本运算.2.若复数12iz i+=，则z 等于（） A. 2i -- B. 2i -+C. 2i -D. 2i +【答案】D 【解析】【分析】由复数的四则运算，将复数化成bi a z +=的形式，再利用共轭复数的定义可得答案. 【详解】∵()121221i ii z i i ++===--，∴2z i =+. 故选D.【点睛】本题考查复数的计算，同时考查实部和虚部以及共轭复数，当两个复数的实部相等且虚部为相反数时称一个复数是另一个复数的共轭复数，意在考查学生对这一部分知识的掌握水平.3.已知p ：12x +>，q ：x a >，且p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则a 的取值范围是（） A. 1a ≥ B. 1a ≤C. 3a ≥-D. 3a -≤【答案】A 【解析】【分析】首先解不等式x 12+>，求出p ⌝和q ⌝对应的不等式，再根据p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，得到二者之间的关系，建立不等关系进而求解.【详解】p ⌝是q ⌝的充分不必要条件的等价命题为q 是p 的充分不必要条件，即q p ⇒，而p ⇒q ，p 化简为1x >或3x <-，所以当1a ≥时，q p ⇒. 故选A.【点睛】本题考查了不等式和充分不必要条件的应用，对于充分不必要条件的考查，首先要根据题设写出命题所表示的不等式的解集，其次根据条件列出不等关系，再解不等式即可.4.在一次数学实验中，运用图形计算器采集到如下一组数据：则x 、y 的函数关系与下列哪类函数最接近？（其中a 、b 为待定系数）（）A. y a bx =+B. xy a b =+ C. b ax y +=2D. b y a x=+【答案】B 【解析】【分析】可以逐一验证,若选A ，则y 的值增加幅度应比较接近；若选C ，则x=1,-1的值应比较接近；若选D ，则x=0不可取.【详解】∵对应数据显示该函数是增函数，且增幅越来越快，∴A 不成立； ∵C 是偶函数，∴1x =±的函数值应该相等，∴C 不成立； ∵0x =时，bx无意义，∴D 不成立；对于B ，当0x =时，1y =，∴11a +=，0a =；当1x =时， 2.02y b ==，经验证它与各教据比较接近. 故选B.【点睛】函数模型的选择应充分利用函数的性质，函数的性质主要有函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、图像的对称性等方面.5.若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合，则p 的值为A. 2-B. 2C. 4-D. 4【答案】D 【解析】解：椭圆22162x y +=的右焦点为(2,0)，所以抛物线22y px =的焦点为(2,0)，则4p =，故选D 。

雅礼高三月考试卷(理综+数学+英语+语文)-答案

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湖南省长沙市雅礼中学2021届高三月考数学试卷(二)(含解析)

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2020届湖南省长沙市雅礼中学高三下学期第七次月考数学(文)试卷及解析

2020届湖南省长沙市雅礼中学高三下学期第七次月考数学（文）试卷★祝考试顺利★(解析版)一､选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.每小题所给的四个选项中只有一个是正确的.1.设集合{}|lg A y y x ==,集合{|B x y ==,则A B =（）A. []0,1B. (]0,1C. [)0,+∞D. (],1-∞ 【答案】D【解析】∵{}|lg =A y y x R ==,{(]|=1B x y ==-∞，,∴(],1A B ⋂=-∞,故选D. 2.已知(,)a bi a b R +∈是11i i -+的共轭复数,则a b +=（） A. 1- B. 12- C. 12 D. 1 【答案】D【解析】首先计算11i i-+,然后利用共轭复数的特征计算,a b 的值. 【详解】21(1)21(1)(1)2i i i i i i i ---===-++-, ()a bi i i ∴+=--=,0,1,1a b a b ∴==∴+=.故选:D.3.空气质量指数AQI 是反映空气质量状况的指数,AQI 指数值越小,表明空气质量越好,其对应关系如表：空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染如图是某市10月1日-20日AQI指数变化趋势：下列叙述错误的是（）A. 这20天中AQI指数值的中位数略高于100B. 这20天中的中度污染及以上的天数占14C. 该市10月的前半个月的空气质量越来越好D. 总体来说,该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量好【答案】C【解析】根据所给图象,结合中位数的定义、AQI指数与污染程度的关系以及古典概型概率公式,对四个选项逐一判断即可.【详解】对A,因为第10天与第11天AQI指数值都略高100,所以中位数略高于100,正确；对B,中度污染及以上的有第11,13,14,15,17天,共5天占14,正确；对C,由图知,前半个月中,前4天的空气质量越来越好,后11天该市的空气质量越来越差,错误；对D,由图知,10月上旬大部分AQI指数在100以下,10月中旬大部分AQI指数在100以上,所以正确,故选C.4.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的S的值等于（）。

2024届湖南省长沙雅礼中学高三下学期月考(七)数学试题及答案

雅礼中学2024届高三月考试卷（七）数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{}{}{}2,4,6,8,10,12,4,6,8,8,10U M N ===，则集合{}2,12=（） A.M N ∪ B.M N ∩ C.()U M N ∪ D.()U M N ∩ 2.下列命题正确的是（）A.“ln ln m n <”是“e e m n <”的充分不必要条件B.命题：0,ln 1x x x ∀>− 的否定是：0000,ln 1x x x ∃>−C.5πsin cos 2x x+=−D.函数21x y x +=+在()(),11,∞∞−−∪−+上是减函数 3.若复数z 满足|2i ||2i |8z z ++−=，则复数z 在复平面内所对应点的轨迹是（） A.椭圆 B.双曲线 C.圆 D.线段4.已知D 是ABC 所在平面内一点，3255AD AB AC =+，则（）A.32BD BC =B.23BD BC =C.35BD BC =D.25BD BC =5.我们把由0和1组成的数列称为01−数列，01−数列在计算机科学和信息技术领域有着广泛应用，把斐波那契数列{}()12211,n n n n F F F F F F ++===+中的奇数换成0，偶数换成1可得到01−数列{}n a ，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则100S 的值为（）A.32B.33C.34D.356.我国元代瓷器元青花团菊花纹小盏如图所示，撇口，深弧壁，圈足微微外撇，底心有一小乳突.器身施白釉，以青花为装饰，釉质润泽，底足露胎，胎质致密.碗内口沿饰有一周回纹，内底心书有一文字，碗外壁绘有一周缠枝团菊纹，下笔流畅，纹饰洒脱.该元青花团菊花纹小盏口径8.4厘米，底径2.8厘米，高4厘米，它的形状可近似看作圆台，则其侧面积约为（单位：平方厘米）（）A.34πB.27πC.20πD.18π7.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与双曲线22221(0,0)x y m n m n−=>>有共同的焦点12,F F ，且在第一象限内相交于点P ，椭圆与双曲线的离心率分别为12,e e .若12π3F PF ∠=.则12e e ⋅的最小值是（）A.1232 8.求值：2cos40cos80sin80+=（）二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.某市7天国庆节假期期间的楼房日认购量（单位：套）与日成交量（单位：套）的折线图如下图所示，小明同学根据折线图对这7天的日认购量与日成交量作出如下判断，则下列结论正确的是（）A.日认购量与日期正相关B.日成交量的中位数是26C.日成交量超过日平均成交量的有2天D.10月7日日认购量的增量大于10月7日日成交量的增量10.抛物线的弦与弦的端点处的两条切线形成的三角形称为阿基米德三角形，该三角形以其深刻的背景､丰富的性质产生了无穷的魅力.设,A B 是抛物线2:4C x y =上两个不同的点，以()()1122,,,A x y B x y 为切点的切线交于P 点.若弦AB 过点()0,1F ，则下列说法正确的有（） A.124x x =−B.若12x =，则A 点处的切线方程为10x y −−=C.存在点P ，使得0PA PB ⋅>D.PAB 面积的最小值为4 10.已知函数()()()1e 1x f x x x =+−−，则下列说法正确的有Λ.()f x 有唯一零点B.()f x 无最大值C.()f x 在区间()1,∞+上单调递增D.0x =为()f x 的一个极小值点三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.雅礼中学将5名学生志愿者分配到街舞社､戏剧社､魔术社及动漫社4个社团参加志愿活动，每名志愿者只分配到1个社团､每个社团至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有__________种13.已知圆221:(2)1C x y +−=与圆222:(2)(1)4C x y −+−=相交于,A B 两点，则()1211C C C A C B =⋅+__________.14.某同学在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形三条边所对的外接圆的三条圆弧（劣弧）沿着三的形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心（即三角形三条高线的交点）.如图，已知锐角ABC 外接圆的半径为2，且三条圆弧沿ABC 三边翻折后交于点P .（1）若3AB =，则sin PAC ∠=__________.（2）若::6:5:4AC AB BC =，则PA PB PC ++的值为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）人工智能正在改变我们的世界，由OpenAI 开发的人工智能划时代的标志ChatGPT 能更好地理解人类的意图，并且可以更好地回答人类的问题，被人们称为人类的第四次工业革命.它渗透入类社会的方方面面.让人类更高效地生活.现对130人的样本人群就“广泛使用ChatGPT 对服务业芳动力市场的潜在影响”进行调查，其数据的统计结果如下表所示： ChatGPT 应用的广泛性服务业就业人数的合计减少增加广泛应用6010 70 没广泛应用 40 20 60 合计10030130（1）根据小概率值0.01α=的独立性检验，是否有99%的把握认为ChatGPT 应用的广泛性与服务业就业人数的增减有关？（2）现从“服务业就业人数会减少”的100人中按分层随机抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，记抽取的3人中有X 人认为ChatGPT 会在服务业中广泛应用，求X 的分布列和均值.附：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ−=++++，其中n a b c d =+++.α 0.10.05 0.01x α 2.706 3.841 6.63516.（本小题满分15分）如图，在四棱锥P ABCD −中，PA ⊥平面,2,,120ABCD PA AB BC AD CD ABC ∠===== .（1）求证：平面PAC ⊥平面PBD ；（2）若点M 为PB 的中点，线段PC 上是否存在点N ，使得直线MN 与平面PAC.若存在，求PNPC的值；若不存在，请说明理由. 17.（本小题满分15分）如图，圆C 与x 轴相切于点()2,0T ，与y 轴正半轴相交于两点,M N （点M 在点N 的下方），且3MN =.（1）求圆C 的方程；（2）过点M 任作一作直线与椭圆22184x y +=相交于,A B 两点，连接,AN BN ，求证：ANM BNM ∠∠=.18.（本小题满分17分）已知函数()()2ln 3f x x x ax x a =−−∈R .（1）若1x =是函数()f x 的一个极值点，求实数a 的值；（2）若函数()f x 有两个极值点12,x x ，其中12x x <， ①求实数a 的取值范围；②若不等式122ln 31ax k x k +>+恒成立，求实数k 的取值范围. 19.（本小题满分17分）对于无穷数列{}n c ，若对任意*,m n ∈N ，且m n ≠，存在*k ∈N ，使得m n k c c c +=成立，则称{}n c 为“G 数列”.（1）若数列{}n b 的通项公式为2n b n =，试判断数列{}n b 是否为“G 数列”，并说明理由；（2）已知数列{}n a 为等差数列，①若{}n a 是“G 数列”，*128,a a N =∈，且21a a >，求2a 所有可能的取值； ②若对任意*n N ∈，存在*k N ∈，使得k n a S =成立，求证：数列{}n a 为“G 数列”.雅礼中学2024届高三月考试卷（七）数学参考答案一､二､选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011答案CAADBBCABDABD BCD1.C 【解析】{}{}(){}(){}U U 4,6,8,10,8,2,12,2,4,6,10,12MN MN M N M N ∪=∩=∪=∩= ，故选C.2.A 【解析】对于A 中，由函数ln y x =为单调递增函数，因为ln ln m n <，可得0m n <<，又因为函数e x y =为单调递增函数，可得e e m n <，即充分性成立；反之：由e e m n <，可得m n <，当,m n 小于0时，此时ln ,ln m n 没意义，即必要性不成立，所以“ln ln m n <”是“e e m n <”的充分不必要条件，故A 正确；对于B ，命题：0,ln 1x x x ∀>− 的否定是：0000,ln 1x x x ∃>>−，故B 不正确；对于5ππC,sin sin cos 22x x x +=+=，故C 不正确；对于D ：当2x =−时0y =，当0x =时2y =，但20−<，可得02<，所以函数21x y x +=+在()(),11,∞∞−−∪−+上不是减函数，故D 不正确；故选A. 3.A 【解析】设()()()12,,0,2,0,2P x y F F −，复数z 对应点P ，由题意复数z 满足|2i ||2i |8z z ++−=，即21128242PF PF a F F c +==>==，可知复数z 满足椭圆的定义.故选A . 4.D 【解析】由3255AD AB AC =+ ，得3255AB BD AB AC +=+ ，得2255BD AB AC =−+，得25BD = （2)5AB AC BC −+= ，故选D.5.B 【解析】因为12211,n n n F F F F F ++===+，所以34567892,3,5,8,13,21,34,F F F F F F F ======= ，所以数列{}n a 的前若干项为：1231567890,1,0,0,1,0,0,1,a a a a a a a a a ========= ，则1234567891a a a a a a a a a ++=++=++== ，所以100331033S =×+=.故选B.6.B 【解析】设该圆台的上底面､下底面的半径分别为,R r ，若当29,23R r ==时，则圆台的母线长5l ==，所以其侧面积为()π 4.5 1.5530π×+×=，若当28,22R r ==时，则圆台的母线长5l =，所以其侧面积为()π41525π×+×=，所以其侧面积S 满足25π30πS <<.故选B. 7.C 【解析】设共同的焦点为()(),0,,0c c −，设12,PF s PF t ==，由椭圆和双曲线的定义可得2,2s t a s t m +=−=，解得,s a m t a m =+=−，在12PF F 中，12π3F PF ∠=，可得222121212122cos F F PF PF PF PF F PF ∠=+−⋅⋅，即为()()222224()()3c a m a m a m a m a m =++−−+−=+，即有222234a m c c +=，即2212134e e +=，由221213e e +，可得12e e ⋅，当且仅当21e =，故选C. 8.A 【解析】()()2cos 12080cos802cos120cos80sin120sin80cos802cos40cos80sin80sin80sin80−++++===.故选A.9.BD【解析】由题图可以看出，数据点并不是从左下至右上分布，所以A 错；将成交量数据按大小顺序排列，中.位数为26，所以B 对；日平均成交量为1383216263816642.77++++++≈，超过42.7的只有一天，所以C 错；10月7日认购量的增量为276112164−=，成交量的增量为16638128−=，所以D 对，故选BD.10.ABD 【解析】对于A ，由题意，设直线:1AB y kx =+，联立21,4,y kx x y =+ = 消去y 整理得：2440x kx −−=，又()()1122,,,A x y B x y ，则12124,4x x k x x +=⋅=−，所以A 正确；对于B ，由抛物线24x y =.可得214y x =，则12y x ′=，则过点A 的切线斜率为112x ，易知2114y x =，即2111,4A x x，则切线方程为：()21111142y x x x x −=−，即2111124y x x x =−，若12x =时，则过点A 的切线方程为：10x y −−=，所以B 正确；对于C ，由选项B 可得：直线AP 的斜率为112x ，直线BP 的斜率为212x ，因为12121111224x x x x ⋅==−，所以AP BP ⊥，即0PA PB ⋅=，所以C 错误；对于D ，由选项B 可知，过点B 的切线方程为2221124yx x x −，联立直线,PA PB 的方程可得()12,1,,1,PF PF ABP k k k k PF AB k−=−⋅=−⊥，所以12ABPS AB PF =⋅ ，()2241AB x k =−===+，PF =，则()32241ABPS k =+ ，当0k =时，ABP S 有最小值为4,D 正确.故选ABD.11.BCD 【解析】由题可知()()100f f −==，即1x =−和0x =是函数()()()1e 1x f x x x =+−−的零点，A 不正确；当0x >时，令()e 1xu x x =−−，求导得()e 10xu x −>′，函数()u x 在()0,∞+上递增，当2x 时，()2e 31u x −> ，而1y x =+在()0,∞+上递增，值域为()1,∞+，因此当2x 时，()1f x x >+，所以()f x 无最大值，B 正确；()()2e 22xf x x x ′=+−−，令()()2e 22xg x x x =+−−，求导得()()3e 2xg x x =+−′，当0x >时，令()()3e 2xh x x =+−，则()()4e 0xh x x =+>′，即()()g x h x ′=在()0,∞+上递增，()()010g x g ′>=>′，则()()f x g x ′=在()0,∞+上递增，()()00f x f ′>=′，因此()f x 在()0,∞+上递增，即()f x 在()1,∞+上单调递增，C 正确；当10x −<<时，()22e 2xx x x ϕ+=−+，求导得()22e (2)x x x ϕ=−+′，显然函数()x ϕ′在()1,0−上递增，而()()11120,00e 2ϕϕ′−′=−<=>，则存在()01,0x ∈−，使得()00x ϕ′=，当()0,0x x ∈时，()0x ϕ′>，函数()x ϕ在()0,0x 上单调递增，当()0,0x x ∈时，()()00x ϕϕ<=，即当()0,0x x ∈时，22e 2xx x +<+，则()()2e 220x f x x x ′=+−−<，又()00f ′=，因此0x =为()f x 的一个极小值点，D 正确，故选BCD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.240 【解析】根据题意，分2步进行分析： ①将5名学生志愿者分为4组，有25C 10=种分组方法，②将分好的4组安排参加4个社团参加志愿活动，有44A 24=种情况，则有1024240×=种分配方案.13.2 【解析】由题意可知两圆公共弦AB 所在的直线方程为()()12210,0,2,2,1x y C C −+=，所以点1C 到直线210x y −+=的距离为2d C =，又12C C AB ⊥，所以向量1C A 在向量12C C方向上的投影为d =，所以1211C C C A ⋅= ，同理可得1211C C C B ⋅= ，所以()12112C C C A C B ⋅+= .；234 【解析】设外接圆半径为R ，则2R =，由正弦定理，可知324sin sin AB R ACB ACB∠∠===，即3sin 4ACB ∠=，由于ΛCB ∠是锐角，故cos ACB ∠= 又由题意可知P 为三角形ABC 的垂心，即AP BC ⊥，故π2PACACB ∠∠=−，所以sin cos PAC ACB∠∠==连接AP 并延长交BC 于D ，连接CP 并延长交AB 于E ，连接BP 并延长交AC 于F ，设,,CAB CBA ACB ∠θ∠α∠β===，则πππ,,222PAC PBA PAB ∠β∠θ∠α=−=−=−，由于::6:5:4AC AB BC =，不妨假设6,5,4AC k AB k BC k ===，由余弦定理知222222(6)(5)(4)3(4)(5)(6)1cos ,cos 26542458k k k k k k k k k k θα+−+−====××××， 222(4)(6)(5)9cos 24616k k k k k β+−=××，如图所示，,,AD CE BF 为ABC 的三条高，由于ππ,22ECB EBCPCD CPD ∠∠∠∠+=+=，故EBC CPD ∠∠=，则得πππAPC CPD EBC ABC ∠∠∠∠=−=−=−，所以24ππsin sin sin sin 22PC PA AC ACR APC ABC ∠∠βθ===== −− ，同理可得24πsin sin sin 2PB AB ABR APB ACB∠∠α==== −，所以()319234cos cos cos 448164PA PB PC θαβ ++=++=×++=. 四､解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.【解析】（1）零假设为0H ：ChatGPT 应用的广泛性与服务业就业人数的增减无关.根据表中数据得220.01130(60204010) 6.603 6.635706010030x χ××−×=≈<=×××，所以根据小概率值0.01α=的独立性检验，没有充分证据推断0H 不成立，因此可以认为无关. （2）由题意得，采用分层抽样抽取出的5人中，有6053100×=人认为ChatGPT 会在服务业中广泛应用，有4052100×=人认为ChatGPT 不会在服务业中广泛应用，则X 的可能取值为1,2,3，又()()()1221332323333555C C C C C 3311,2,3C 10C 5C 10P X P X P X =========，所以X 的分布列为X1 2 3 P 310 35 110所以()3319123105105E X =×+×+×=. 16.【解析】（1）设AC 的中点为O ，因为AB BC =，所以BO AC ⊥，因为AD CD =，所以DO AC ⊥，所以,,B O D 三点共线，所以BD AC ⊥，因为PA ⊥平面,ABCD BD ⊂平面ABCD ，所以BD PA ⊥，因为,PA AC A PA ∩=⊂平面,PAC AC ⊂平面PAC ，所以BD ⊥平面PAC ，因为BD ⊂平面PBD .所以平面PAC ⊥平面PBD .（2）解：以,OC OD 所在的直线为x 轴和y 轴，过O 点作平行于AP 的直线为z 轴建立空间直角坐标系，则)()(),2,0,1,0C P B −，因为M 为PB的中点，所以1,12M −，设()01PN PC λλ=，所以()22N λ−，所以1,122MN λ =−−，由（1）知BD ⊥平面PAC ，所以平面PAC 的一个法向量为()0,1,0n =，设直线MN 与平面PAC 所成角为θ，则sin cos,MN nMN nMN nθ⋅===即当14PNPC=或38PNPC=时，直线MN与平面PAC.17.【解析】（1）设圆C的半径为(0)r r>，依题意知，圆心C的坐标为()2,r，因为3MN=，所以222325224r=+=，所以52r=，圆C的方程为22525(2)24x y−+−=.（2）把0x=代入方程22525(2)24x y−+−=，解得1y=或4y=，即点()()0,1,0,4M N.①当AB x⊥轴时，可知0ANM BNM∠∠==；②当AB与x轴不垂直时，可设直线AB的方程为1y kx=+.联立方程221,1,84y kxx y=++=消去y得()2212460k x kx++−=.()22Δ1624120k k=++>恒成立.设直线AB交椭圆22184x y+=于()()1122,,,A x yB x y两点，则12122246,1212kx x x xk k−−+==++，所以()12121212N2221121212234433112121212 AN Ikx x x xy y kx kx k k k kx x x x x x x x k k−+−−−−−+=+=+==+=++，所以ANM BNM∠∠=.综合①②知ANM BNM∠∠=.18.【解析】（1）()ln123ln22f x x ax x ax′=+−−=−−，又1x=是函数()fx的一个极值点，()10f ∴′=，即220,1a a −−=∴=−.()ln 22f x x x ∴=′+−，令()()1ln 22,20h x x x h x x=+−=+>′， ()()f x h x ∴′=在()0,∞+上单调递增，且()10f ′=，()f x ∴在()0,1上单调递减，在()1,∞+上单调递增，1x ∴=是()f x 的极小值点时，实数a 的值为-1.（2）①()ln 123ln 22f x x ax x ax ′=+−−=−−，由于()()2ln 3f x x x ax x a =−−∈R 有两个极值点12,x x ，所以方程()0f x ′=在()0,∞+上有两个不同的根，即方程ln 220x ax −−=有两个不同的正数根，转化为函数()ln 2x g x x−=与函数2y a =的图象在()0,∞+上有两个不同交点，令()23ln x g x x −=′，令()23ln 0x g x x −==′，解得3x e =，当3e x >时，()()0,g x g x ′<单调递减，当30e x <<时，()()0,g x g x ′>单调递增，且当2e x >时，()()20,e 0g x g >=，故作出()g x 的图象如下：由图象可得：3120,e a∈ ，即310,2e a ∈. ②由（1）知：12,x x 是ln 220x ax −−=的两个根，故11222ln 20,2ln 20x ax x ax −+−=−+−=，则1212ln ln 2x x a x x −=−，不妨设()120,1x t x =∈，则21tx x =，则1222212ln ln ln 2ln 0ln 21x x t x x x x x t −−+−=⇒=+−−，故由122ln 31ax k x k +>+可得，12122221222ln ln ln ln ln 31ln 31ln 311x x t t t x k x k tx k x k k x k x x tx x t −+>+⇒+>+⇒+>+−−−，ln ln 23111t t t k k t t ++>+ −− ，化简得ln 11ln 11t t t t t k t t −+−− > −− ，由于01t <<，所以等价于()ln 11ln 0t t t k t t −+−−−<对任意的01t <<恒成立，令()()ln 11ln F t t t t k t t =−+−−−，故()0F t <对任意的01t <<恒成立，则()ln k F t t k t=−+′，设()ln k m t t k t=−+，则()221k t k m t l t t −=−=′，（i ）当0k 时，()()()20,t k m t m t F t t−=>′=′单调遥增，故()()()10,F t F F t =′<′单调递减，故()()10F t F >=，不满足，舍去；（ii ）当1k 时，()()()20,t k m t m t F t t−=<′=′单调递减，故()()()10,F t F F t =′>′单调递增，故()()10F t F <=，故()0F t <恒成立，符合题意；（iii ）当01k <<时，令()20t k m t t−==′，则t k =，当1k t <<时，()()()0,m x m x F t =′>′单调递增，当0t k <<时，()()()0,m x m t F t =′<′单调递减，又()10F ′=，故1k t <<时，()()10F t F ′<=′，此时()F t 单调递减，故()()10F t F >=，因此当1k t <<时，()0F t >，不符合题意，舍去.综上，实数k 的取值范围为[)1,∞+.19.【解析】（1）2n b n =，对任意的()*,,,2,2,222m n m n m n m n b m b n b b m n m n ∈≠==+=+=+N ，取k m n =+，则{},m n k n b b b b +=∴是“G 数列”.（2）数列{}n a 为等差数列，①若{}n a 是“G 数列”，*128,a a =∈N ，且*2121,0,a a d a a d >=−>∈N ，则()81n a n d =+−，对任意的()()*,,,81,81m n m n m n a m d a n d ∈≠=+−=+−N ， ()882m n a a m n d +=+++−，由题意存在*k ∈N ，使得m n k a a a +=，即()()88281m n d k d +++−=+−，显然k m n + ，所以()()()281,18m n d k d k m n d +−+=−−−+=， 1k m n −−+∈′N .所以d 是8的正约数，即1,2,4,8d =， 1d =时，29,7a k m n ==++；2d =时2,10,3a k m n ==++；4d =时2,12,1a k m n ==++；8d =时2,16,a k m n ==+. 综上，2a 的可能值为9,10,12,16.②若对任意*n ∈N ，存在*k ∈N ，使得k n a S =成立，所以存在*122,,3t t a a S a t ∈+==N ，设数列{}n a 公差为d ，则()()11121,2a d a t d a t d +=+−=−， ()()()213n a t d n d t n d =−+−=+−，对任意()()*,,,3,3m n m n m n a m d a n d ιι∈≠=+−=+−N ， ()26m n a a t m n d +=++−，取*3k t m n =++−∈N ，则()()326k m n a t k d t m n d a a =−+=++−=+，所以数列{}n a 是“G 数列”.。

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