刚架结构的有限元法
有限元之平面刚架
第二节 平面刚架有限元法的直接法
由叠加原理很容易得到如下关系式
EA EA ui − uj l l 12EI 6EI 12EI 6EI Vi = 3 vi + 2 θi − 3 vj + 2 θ j l l l l 6EI 4EI 6EI 2EI θi − 2 vj + θj Mi = 2 vi + l l l l EA EA Uj = − ui + uj l l 12EI 6EI 12EI 6EI Vj = − 3 vi − 2 θi + 3 vj − 2 θ j l l l l 6EI 2EI 6EI 4EI θi − 2 vj + θj Mj = 2 vi + l l l l Ui =
根据分块的性质，(2-2)可写成
e Fi e K ii e = e F j K ji e K ij δ ie e e K jj δ j
e K ij 是节点j的位移 δ e 对节点i的节点力 Fi e的影响系数子矩阵。 j
(2-2)
第二节 平面刚架有限元法的直接法
(2) [K]e具有分块性 我们来观察单元刚度矩阵的结构，其数学表达式如下：
EA l U i 0 V i M i 0 U = EA j − l V j M j 0 0 0 0 6EI l2 4EI l 0 − EA l 0 0 EA l 0 0 0 0 6EI l2 2EI l 0 u i vi θ i u j v j θ j
第二章 有限元法的直接方法
第一节 有限元法的思路
我们以压杆问题为例来说 明有限元法的基本思路。图示 结构，我们将杆件看成是连接 三个节点的两个单元，首先看 单元①，由材料力学公式
结构分析的有限元法-第三章
式中
H 1 u B A yH v
(3.32)
而
H 0 u H 0 v 0 0 0 0 1 0 0 2 0 6x
(3.33)
单元刚度矩阵
再次应用式(2.70)，并进行一系列的积分运算，可以得出单元刚度矩阵的显式如下：
l
K
e
E d A B B d x
0 1 l
Av
1
2 l
0 0 1 l 2 1 l
(3.21)
MATLAB不仅可以进行数值运算，也能进行符号运算。如式(3.20)中的矩 阵Au和Av的求逆运算，我们可以在MATLAB的命令窗口下输入 >> syms L >> Au = [ 1 0 1 L ] ; >> Av = [ 1 0 0 0 0 1 0 0 1 L L^2 L^3 0 1 2*L 3*L^2] ; 第一句是定义符号变量L，后面定义两个矩阵Au和Av。然后我们再输入下 面求逆的命令 >> inv(Au) ans = 0 1 1 [ 1, 0] Au [ -1/L, 1/L] 1 l 1 l >> inv(Av) ans = 0 0 1 [ 1, 0, 0, 0] 0 1 0 1 [ 0, 1, 0, 0] A v 2 2 3 l 2 l 3 l [ -3/L^2, -2/L, 3/L^2, -1/L] 3 2 3 1 l 2 l [ 2/L^3, 1/L^2, -2/L^3, 1/L^2] 2 l
根据材料力学的有关知识，我们可以立刻写出杆单元的结点位移与结点力 之间的关系为
FNi EA l (u i u j ) FNj EA l (u j u i )
钢结构有限元分析
摘要本文主要对某煤矿地面生产系统，一次破碎站钢结构进行有限元分析。
破碎站由受料仓与给料机和破碎平台与控制室两部分组成。
对两部分的钢结构分别进行有限元分析。
在结果中找到危险的部位进行具体的分析。
首先，建立受料仓与给料机的有限元实体模型。
计算等效的载荷，计算出钢结构在载荷下的应力和变形并分析它们的分布情况。
其次，破碎平台与控制室求解过程和上边的一样，但是破碎平台和控制室的连接是铰接，所以在建模的过程中采用耦合的方法进行处理。
最后，对两个有限元实体模型进行模态分析，分别求解出固有频率和模态振型图。
关键词有限元；钢结构；模态分析ABSTRACTThis dissertation mainly to an open coalmine ground production system, one broken to stand steel construction finite element analysis. Store -give material machine and broken platform- control room two parts make up the crush station. Finite element analysis to the steel construction of two parts comparatively. Find the dangerous part to carry on concrete analysis of the result.First of all, set up the finite element of Store -give material machine’s entity mo del. Calculate the equivalent load; solve out the stress and strain of the steel construction under the load and analysis their distribution situation.The next place, the course of solving is the same as above. But the connections of the broken platform and control room are the hinged joint, so deal with by coupling in the course of modeling.Finally, carry on mode analysis to two finite element entity models; it is solve the intrinsic frequencies and mode picture of shaking, respectively.Keyword finite element；steel construction；mode analysis目录中文摘要 (Ⅰ)英文摘要 (Ⅱ)1 前言 (1)1.1有限元分析方法介绍 (1)1.2大型有限元分析软件ANSYS介绍 (2)1.3主要工作 (3)2 受料仓与给料机的钢结构有限元分析 (4)2.1建立有限元模型 (4)2.2载荷等效计算 (6)2.2.1主要结构截面几何参数 (6)2.2.2实际载荷情况 (7)2.2.3实际等效计算结果 (7)2.3有限元分析结果 (10)2.3.1受料仓与给料机整体位移 (10)2.3.2分析部位图 (12)2.3.3支撑立柱结果 (13)2.2.4两根纵梁结果 (17)3 破碎平台与控制室的钢结构有限元分析 (19)3.1建立有限元模型 (19)3.2载荷等效计算 (22)3.2.1主要结构截面几何参数 (22)3.2.2破碎平台实际载荷情况 (23)3.2.3破碎平台实际等效计算结果 (24)3.3有限元分析结果 (26)3.3.1破碎平台与控制室整体位移 (26)3.3.2顶层横梁结果 (27)3.2.3破碎机支撑梁结果 (26)3.2.4破碎机立柱结果 (29)4 破碎站钢结构模态分析 (31)4.1受料仓与给料机的固有频率和振型图 (31)4.2破碎平台与控制室的固有频率和振型图 (32)参考文献 (35)致谢 (36)英文资料原文英文资料翻译1 前言1.1有限元分析方法介绍有限元分析的基本概念是用较简单的问题代替复杂问题后再求解。
钢架结构有限元分析
Workbench 的无缝连接，将 UG 环境中建立的 CAD 模型
直接导入 ANSYS Workbench 环境中进行有限元分析。
在 ANSYS Workbench 的 simulation 模块中，定义钢
架结构材料为碳钢，材料性
能为：弹性模量 2×105MPa，
泊 松 比 0.3， 屈 服 应 力
1 钢架结构有限元分析思路
2 有限元模型的建立
钢架结构由钢板、角钢焊接而成，起着承载外力的作
（1）建模软件和分析平台介绍
用。使用常规的设计计算方法，难以直观了解其在使用过
采用的 UG 是一套基于 Windows 平台上的参数化 3D 实
程中的变形和受力情况。随着 CAD 和 CAE 技术的不断 体 模 型 构 建 软 件 ， 有 限 元 分 析 则 是 基 于 ANSYS
235MPa， 屈 服 极 限
380MPa。 运 用 自 由 网 格 划
分技术，对所建立的几何模
型进行有限元网格划分，划
分网格后单元数为 27338，
节点数为 65165，建立的有
限元模型如图 3 所示。
图 3 钢架结构有限元模型
（3）荷载及边界条件 在 ANSYS Workbench
静强度分析环境中，零部件
Ａｂｓｔｒａｃｔ：The 3D model of steel structure is established by using UG in the computer, on the base of the circum stances of ANSYS Workbench, the stress and strain of steel structure are calculated under the applied force, the results indicate that the intensity of this steel structure is enough, thus it provides a valuable reference for design of steel structure. Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：steel structure; finite element; UG; ANSYS workbench
刚架的有限元分析
刚架的有限元分析有限元分析（Finite Element Analysis，FEA）是一种数值模拟方法，用于解决物体结构、材料、流体等的力学问题。
它将复杂的结构分解成小的、简单的单元，并在每个单元上建立适当的数学模型，最终求解全局问题。
有限元分析的步骤包括：前处理、求解和后处理。
前处理阶段主要包括几何建模、网格划分和单元属性定义等；求解阶段则是通过建立合适的方程组并求解，得到所需的物理量；后处理阶段则是对求解结果进行可视化和分析。
在进行有限元分析时，首先需要对结构进行几何建模。
几何建模的目的是准确描述结构的形状和尺寸。
可以使用CAD软件对结构进行建模，也可以简单地使用几何参数描述结构。
在建模过程中，需要考虑结构的实际工作状态、边界条件和加载情况等。
接下来，需要对结构进行网格划分。
网格划分是将结构分解成小的、简单的单元，以便进行数学建模和计算。
常用的单元包括三角形单元、四边形单元和六面体单元等。
网格划分的精度和密度会影响到最终的求解精度和计算时间。
每个单元都需要定义适当的属性，如材料特性、边界条件和加载情况等。
材料特性包括弹性模量、杨氏模量、泊松比等，它们决定了材料在受力时的变形特性。
边界条件包括约束边界和加载边界，它们描述了结构的边界条件和约束情况。
建立了合适的数学模型后，就可以求解得到所需的物理量了。
通常，求解的过程是通过建立合适的方程组来实现的。
方程组的形式取决于问题的类型和边界条件。
可以使用有限元法、有限差分法或其他数值方法来求解方程组。
求解过程通常需要借助计算机进行，计算时间与问题的复杂度和求解精度有关。
最后，需要对求解结果进行后处理，包括结果的可视化和分析。
常用的后处理工具包括绘图软件和数据分析软件。
可视化结果可以帮助理解结构的行为和变形情况，进而优化设计。
数据分析则可以帮助提取结构的关键参数和性能指标，为结构的工作提供参考依据。
总结起来，有限元分析是一种强大的工程技术手段，可以帮助工程师解决复杂的结构和材料力学问题。
有限元分析第4章 平面问题有限单元法1
6
P
3
4 5
4
2
位移协调条件：各单元共享节点的位移相等 节点平衡条件：各节点单元内力与节点外力构成平衡力系
最终数学模型： K Q
基本概念
单元（element） 节点 (node)
回顾
单元节点位移 (node displacement)
单元节点内力 (node force)
单元刚度矩阵 (element stiffness matrix)
e
bx u by v
d
S
e p
px u py v dS
代入
u v
N
e
{} [B]{ }e
{ } [S]{ }e
得
内力虚功＝
e x x y y xy xy d
T d
cj
y)v j
(am
bmx
cm y)vm ]
二、平面问题三角形单元分析
三角形单元形函数
形函数
u x,
y
1 2A
[(ai
bi x
ci
y)ui
(a j
bj x
cj
y)u j
(am
bm x
cm
y)um ]
v x,
y
1 2A
[(ai
bi x
ci
y)vi
(a j
插值系数的确定：待定系数法
ui a1 a2 xi a3 yi u j a1 a2 x j a3 y j um a1 a2 xm a3 ym
完整版有限元法课后习题答案
1、有限元是近似求解一般连续场问题的数值方法2、有限元法将连续的求解域离散为假设干个子域,得到有限个单元,单元和单元之间用节点连接3、直梁在外力的作用下,横截面的内力有剪力和弯矩两个.4、平面刚架结构在外力的作用下横截面上的内力有轴力、剪力、弯矩.5、进行直梁有限元分析,平面刚架单元上每个节点的节点位移为挠度和转角6、平面刚架有限元分析,节点位移有轴向位移、横向位移、转角 .7、在弹性和小变形下,节点力和节点位移关系是线性关系.8、弹性力学问题的方程个数有15个,未知量个数有15个.9、弹性力学平面问题方程个数有8,未知数8个.10、几何方程是研究应变和位移之间关系的方程11、物理方程是描述应力和应变关系的方程12、平衡方程反映了应力和体力之间关系的13、把经过物体内任意一点各个截面上的应力状况叫做一点的应力状态14、9形函数在单元上节点上的值 ,具有本点为_1_.它点为零的性质,并且在三角形单元的任一节点上,三个行函数之和为_1_15、形函数是三角形单元内部坐标的线性函数他反映了单元的位移状态16、在进行节点编号时,同一单元的相邻节点的号差尽量小.17、三角形单元的位移模式为_线性位移模式_-18、矩形单元的位移模式为双线性位移模式19、在选择多项式位移模式的阶次时,要求_所选的位移模式应该与局部坐标系的方位无关的性质为几何各向同性20、单元刚度矩阵描述了节点力和节点位移之间的关系21、矩形单元边界上位移是连续变化的1.诉述有限元法的定义答：有限元法是近似求解一般连续场问题的数值方法2.有限元法的根本思想是什么答：首先,将表示结构的连续离散为假设干个子域,单元之间通过其边界上的节点连接成组合体.其次,用每个单元内所假设的近似函数分片地表示求解域内待求的未知厂变量.3.有限元法的分类和根本步骤有哪些答：分类：位移法、力法、混合法；步骤：结构的离散化,单元分析,单元集成,引入约束条件,求解线性方程组,得出节点位移.4.有限元法有哪些优缺点答：优点：有限元法可以模拟各种几何形状复杂的结构,得出其近似解；通过计算机程序,可以广泛地应用于各种场合；可以从其他CAD软件中导入建好的模型；数学处理比较方便, 对复杂形状的结构也能适用；有限元法和优化设计方法相结合,以便发挥各自的优点.缺点：有限元计算,尤其是复杂问题的分析计算, 所消耗的计算时间、内存和磁盘空间等计算资源是相当惊人的. 对无限求解域问题没有较好的处理方法. 尽管现有的有限元软件多数使用了网络自适应技术, 但在具体应用时,采用什么类型的单元、多大的网络密度等都要完全依赖适用者的经验.5.梁单元和平面钢架结构单元的自由度由什么确定答：由每个节点位移分量的总和确定6.简述单元刚度矩阵的性质和矩阵元素的物理意义答：单元刚度矩阵是描述单元节点力和节点位移之间关系的矩阵单元刚度矩阵中元素aml的物理意义为单元第L个节点位移分量等于1,其他节点位移分量等于0时,对应的第m个节点力分量.7.有限元法根本方程中的每一项的意义是什么P14答：Q——整个结构的节点载荷列阵〔外载荷、约束力〕；整个结构的节点位移列阵；结构的整体刚度矩阵,又称总刚度矩阵.8.位移边界条件和载荷边界条件的意义是什么答：由于刚度矩阵的线性相关性不能得到解,引入边界条件,使整体刚度矩阵求的唯一解.9.简述整体刚度矩阵的性质和特点P14答：对称性；奇异性；稀疏性；对角线上的元素恒为正.10简述整体坐标的概念P25答：在整体结构上建立的坐标系叫做整体坐标,又叫做统一坐标系.11.简述平面钢架问题有限元法的根本过程答：1〕力学模型确实定,2〕结构的离散化,3〕计算载荷的等效节点力,4〕计算各单元的刚度矩阵,5〕组集整体刚度矩阵,6〕施加边界约束条件,7〕求解降价的有限元根本方程, 8〕求解单元应力,9〕计算结果的输出.12.弹性力学的根本假设是什么.答：连续性假定,弹性假定,均匀性和各向同性假定,小变形假定,无初应力假定.13.弹性力学和材料力学相比,其研究方法和对象有什么不同.答：研究对象：材料力学主要研究杆件,如柱体、梁和轴,在拉压、剪切、弯曲和扭转等作用下的应力、形变和位移.弹性力学研究各种形状的弹性体,除杆件外,还研究平面体、空间体,板和壳等.因此,弹性力学的研究对象要广泛得多.研究方法：弹性力学和材料力学既有相似之外,又有一定区别.弹性力学研究问题,在弹性体区域内必须严格考虑静力学、几何学和物理学三方面条件,在边界上严格考虑受力条件或约束条件,由此建立微分方程和边界条件进行求解,得出较精确的解答.而材料力学虽然也考虑这几方面的条件,但不是十分严格的,材料力学只研究和适用于杆件问题. 14.简述圣维南原理. 答；把物体一小局部上的面力变换为分布不同但静力等效的面力,但影响近处的应力分量, 而不影响远处的应力.“局部影响原理〞15.平面应力问题和平面应变问题的特点和区别各是什么试各举出一个典型平面应力和平面应变的问题的实例.答：平面应力问题的特点：长、宽尺寸远大于厚度,沿板面受有平行板的面力,且沿厚度均匀分布,体力平行于板面且不沿厚度变化,在平板的前后外表上无外力作用平面应变问题的特点：Z向尺寸远大于x、y向尺寸,且与z轴垂直的各个横截面尺寸都相同,受有平行于横截面且不沿z向变化的外载荷,约束条件沿z向也不变,即所有内在因素的外来作用都不沿长度变化.区别：平面应力问题中z方向上应力为零,平面应变问题中z方向上应变为零、应力不为零.举例：平面应力问题等厚度薄板状弹性体,受力方向沿板面方向,荷载不沿板的厚度方向变化,且板的外表无荷载作用.平面应变问题一一水坝用于很长的等截面四柱体,其上作用的载荷均平行于横截面,且沿柱长方向不变法.16.三角形常应变单元的特点是什么矩形单元的特点是什么写出它们的位移模式.答：三角形单元具有适应性强的优点,较容易进行网络划分和逼近边界形状,应用比较灵活.其缺点是它的位移模式是线性函数,单元应力和应变都是常数,精度不够理想.矩形单元的位移模式是双线性函数,单元的应力、应变式线性变化的,具有精度较高, 形状规整,便于实现计算机自动划分等优点,缺点是单元不能适应曲线边界和斜边界,也不能随意改变大小,适用性非常有限.17.写出单元刚度矩阵表达式、并说明单元刚度与哪些因素有关.答：单元刚度矩阵与节点力坐标变换矩阵,局部坐标系下的单元刚度矩阵,节点位移有关的坐标变换矩阵.18.如何由单元刚度矩阵组建整体刚度矩阵〔叠加法〕答：〔1〕把单元刚度矩阵扩展成单元奉献矩阵 ,把单元刚度矩阵中的子块按其在整体刚度矩阵中的位置排列, 空白处用零子块填充.〔2〕把单元的奉献矩阵的对应列的子块相叠加, 即可得出整体刚度矩阵 .19.整体刚度矩阵的性质.答：〔1〕整体刚度矩阵中每一列元素的物理意义为：欲使弹性体的某一节点沿坐标方形发生单位为移,而其他节点都保持为零的变形状态,在各节点上所需要施加的节点力；〔2〕整体刚度矩阵中的主对角元素总是正的；〔3〕整体刚度矩阵是一个对称阵；〔4〕整体刚度矩阵式一个呈带状分布的稀疏性矩阵.〔5〕整体刚度矩阵式一个奇异阵,在排除刚体位移后,他是正定阵.20.简述形函数的概念和性质.答：形函数的性质有：〔1〕形函数单元节点上的值,具有“本点为一、他点为零〞的性质；〔2〕在单元的任一节点上,三角函数之和等于1; 〔3〕三角形单元任一一条边上的形函数,仅与该端点节点坐标有关,而与另外一个节点坐标无关；〔4〕型函数的值在0〜1之间变换.21.结构的网格划分应注意哪些问题 .如何对其进行节点编号.才能使半带宽最小.P50, P8相邻节点的号差最小答：一般首选三角形单元或等参元.对平直边界可选用矩形单元,也可以同时选用两种或两种以上的单元.一般来说,集中力,集中力偶,分布在和强度的突变点,分布载荷与自由边界的分界点,支撑点都应该取为节点,相邻节点的号差尽可能最小才能使半带宽最小22.为了保证解答的收敛性,单元位数模式必须满足什么条件答：〔1〕位移模式必须包含单元刚体位移；〔2〕位移模式必须包含单元的常应变；〔3〕位移模式在单元内要连续,且唯一在相邻单元之间要协调.在有限单元法中,把能够满足条件1和条件2的单元称为完备单元,把满足条件3的单元叫做协调单元或保续单元.23有限元分析求得的位移解收敛于真实解得下界的条件.答：1.位移模式必须包含单元的刚体位移,2.位移模式必须包含单元的常应变,3.位移模式在单元内要连续,且位移在相邻单元之间要协调.24.简述等参数单元的概念.答：坐标变换中采用节点参数的个数等于位移模式中节点参数的个数,这种单元称为等参单元.25.有限元法中等参数单元的主要优点是什么答：1〕应用范围广.在平面或空间连续体,杆系结构和板壳问题中都可应用.2〕将不规那么的单元变化为规那么的单元后,易于构造位移模式.3〕在原结构中可以采用不规那么单元,易于适用边界的形状和改变单元的大小.4〕可以灵活的增减节点,容易构造各种过度单元.5〕推导过程具有通用性.一维,二维三维的推导过程根本相同.26.简述四节点四边形等参数单元的平面问题分析过程.答：〔1〕通过整体坐标系和局部坐标系的映射关系得到四节点四边形等参单元的母单元,并选取单元的唯一模式；〔2〕通过坐标变换和等参元确定平面四节点四边形等参数单元的几何形状和位移模式；〔3〕将四节点四边形等参数单元的位移模式代入平面问题的几何方程,得到单元应变分量的计算式,再将单元应变代入平面问题的物理方程,得到平面四节点等参数单元的应力矩阵〔4〕用虚功原理球的单元刚度矩阵,,最后用高斯积分法计算完成.27.为什么等参数单元要采用自然坐标来表示形函数为什么要引入雅可比矩阵答：简化计算得到形函数的偏导关系.28. ANSYS软件主要包括哪些局部各局部的作用是什么答：1.前处理模块：提供了一个强大的实体建模及网络划分工具,用户可以方便地构造有限元模型.2.分析计算模块：包括结构分析、流体力学分析、磁场分析、声场分析、压电分析以及多种物理场的耦合分析,可以模拟多种物理介质的相互作用,具有灵敏度分析及优化分析水平.3.后处理模块：可将计算后果以彩色等值线显示、梯度显示、矢量显示、粒子流迹显示、立体切片显示、透明及半透明显示等图形方式显示出来,也可将计算结果以图表、曲线形式显示出来或输出.29. ANSYS软件提供的分析类型有哪些答：结构静力分析、机构动力分析、结构非线性分析、动力学分析、热分析、流体力学分析、电磁场分析、声场分析、压电分析.30.简述ANSYS软件分析静力学问题的根本流程.答：1.前处理器：1〕定义单元类型,2〕定义实常数,3〕定义材料属性,4〕创立实体几何模型,5〕划分网络；2.求解器：1〕定义分析类型,2〕施加载荷和位移约束条件,3〕求解；三角形三节点单元的位移是连续的,应变和应力在单元内是常数,因而其相邻单元将具有不同的应力和应变,即在单元的公共边界上和应变的值将会有突变.矩形单元的边界上,位移是线性变化的,显然,在两个相邻矩形单元的公共边界上,其位移是连续的.节点的选用原那么：一般说,集中力、集中力偶、分布载荷强度的突变点、分布载荷与自由边界的分界点、支承点都能赢取为节点.单元的划分原那么：〔1〕划分单元的数目,视要求的计算精度和计算机的性能而定.〔2〕单元的大小,可根据部位的不同而有所不同.1、试述街节点力和节点载荷的区别.节点力是单元与节点之间的作用力；如果取整个结构为研究对象,节点力为内力,节点载荷是作用在节点上的外载荷.2、试述求整体刚度矩阵的两种方法.分别建立各节点的平衡方程式,写成矩阵形式,可求得整体刚度矩阵；将各单元刚度矩阵按规律叠加,也可得整体刚度矩阵.3、平面问题中划分单元的数目是否越多越好不是越多越好.划分单元的数目,视要求的计算精度和计算机的性能而定.随着单元数目的接连多,有限元解逐步逼近于真实解,但是,单元数目接连加,刚求解的有限元线性方程组的数目接连多, 需要占用更多的计算机内存资源,求解时间接连长,所以,在计算机上进行有限元分析时,还要考虑计算机的性能.单元数过多并不经济.4、写出单元刚度矩阵的表达式,并说明单元刚度与那些因素有关[B]-单元应变矩阵,[D]-弹性矩阵,t-厚度〕单元刚度矩阵取决于单元的大小、方向、和弹性常数,而与单元的位置无关,即不随单元或坐标轴的平移而改变.5、选择多项式为单元的位移模式时,除了要满足单元的完备性和协调性要求,还须考虑什么因素还须考虑两个因素：1、所选的位移模式应该与局部坐标系的方位无关,即几何各向同性. 2、多项式位移模式中的项数必须等于或稍大于单元边界上的外节点的自由度数,通常取多项式的项数与单元的外节点的自由度数想等.。
第二章-杆和梁结构的有限元法案例
第二章
杆和梁结构的有限元法
§2.1.2 弹簧系统分析
注意： 上述弹簧系统的分析求解原理和过程就是有限元 法求解连续体力学问题时对离散后系统的分析求 解原理和过程。
第二章
杆和梁结构的有限元法
§2.1.2 弹簧系统分析
例题1：弹簧系统
已知条件：
求：（a） 系统总刚度矩阵 （b） 节点2，3的位移
单元特性
系统平衡方程
第二章 杆和梁结构的有限元法
KD F
2）单元方程扩大相加法 单元特性
F1 f11
相加
F2 f 21 f12 F3 f 22
系统节点 平衡条件
引入系统节点平衡条件
KD F
系统节点平衡方程
第二章 杆和梁结构的有限元法
2.2 杆单元和平面桁架
杆单元
2.2.1 一维等截面 杆单元
fi k f j k
第二章
k ui k u j
f kd
杆和梁结构的有限元法
2、弹簧系统的集成 1）列节点平衡方程法
F1 f11 F2 f 21 f12 F3 f 22
系统节点 平衡条件
F1 k1u1 k1u2 F2 k1u1 ( k1 k2 )u2 k2u3 F3 k2u2 k2u3
第二章 杆和梁结构的有限元法
k k k
k k
fi k f j k
k ui k u j
kii k k ji
kij k jj
§2.1.2 弹簧系统分析
求解一个弹簧系统：
1）各单元的特性分别为：
第二章 杆和梁结构的有限元法
第二讲 平面刚架结构的有限元方法
陈 乐 生
（ 福州大学机械工程及 自 动化学院） 刚架结构在 工程上很多见 ， 比如建 筑工程 中 的框架结构、 梁， 桥 机械行 业 中起 重设备 、 轴类零 中称之为刚架结构 ， 如果问题 可 以简化为平 面结 构， 就称之为平面刚架。图 ｌ 就是简单 的平面刚架 结构的 ３ 个例子 。
＼ ●●● ●●● ＿ 、、
＼ ●● ●●● ●＿、、
（． ） １３
１２ 整体坐标系的单元刚度矩 阵 ． 从上面的讨论可以看出 ， １３ 式相对于各个 （． ） 单元局部坐标系 ， 换句话说 ， 由于各个单元 的和方 向并不一致 ， 因此 ， 各个单元的节点力 和节点位移 方向的描述也不一致 ， 为了对节点力和节点位移
分量 ， 时 也 具 有 ３个 节 点 力 分 量 ， 见 图 ２， 同 参 因
这里 ， 是参 数 、 凡 字母 上 面带 “ ” 均 表示 相 一 者 对 自身坐标 系 ， 下文 亦如 此 ， 不再 重 复 。
此 ， （ ． ） 中， 在 １ １式 节点力与节 点位移 向量可 以分 别写作 ：
，，．．一 ．．．． ，．．． ．．．．． ． ． 一 一，．． ．．．．．＿ ，．．一 ．．．一 一／ ， ． ． ．
的具体表达式可以采用叠加原理得到 ：
ｏｌ 盟 — 裔 垦 ｏｌ — —
。 半 。 半
一 一 一 一 一 一
ｌ
图 ２ 典 型 半 面 刚 架 单 兀
设单元两个节点 的编码为 ｌ２ 这是该单元节 、， 点的局部码 。显然 ， 每个杆单 元只有两个节点 ， 因 此， 所有单元 的节 点局部码 均为 ｌ２ 、 。但是 ， 每个 节点还有其在整 个结构 中的编码 ， 我们称之为节
谭继锦有限元法课件之七 4.4刚架的有限元分析
第4章 杆梁结构的有限元法
平面刚架中各单元的轴向大多不相同 平面刚架中各单元的轴向大多不相同， 为了进行单元分析，需要对每个单元建立局 部坐标系 坐标原点置于节点i, 部坐标系。坐标原点置于节点 i 单元的轴线为 x轴，i端截面的形心主惯性轴为y轴和z轴，它 们构成右手坐标系 如图4-4 们构成右手坐标系，如图 4 4所示。 所示 局部坐标系约定为从整体编号小的节点 到大号码节点的方向。任一节点有3个自由度： 轴向位移、横向位移和绕z轴的转角。相应的 节点力分量为：轴向力、剪力和弯矩。轴向 拉压杆单元的刚度矩阵式（4-10 0），梁单元 刚度矩阵式为（4-28）。将两式扩展成6×6 的矩阵，叠加形成平面刚架在局部坐标系下 的单元刚度矩阵。
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第4章 杆梁结构的有限元法
即： AE l 0 0 e K AE l 0 0 0 12EI l3 6EI l2 0 12EI l3 6EI l2 0 6EI l2 4EI l 0 6EI l2 2EI l AE l 0 0 AE l 0 0 0 12EI l3 6EI l2 0 12EI l3 6EI l2 ui 0 6EI vi 2 l 2EI i l 0 u j 6EI v 2 l j 4EI l j
i1 0 i1 0 0 0
0 0 0 0 0 0
i1 0
0 0
3 3 i1 i2 0 i2 4 4 3 1 0 i2 0 i2 4 4 3 3 i2 i2 4 4 3 1 i2 i2 4 4
0 0 u1 R1x 3 3 i2 i2 v R1 y 4 4 1 R2 x u2 3 1 i2 i2 R 4 4 v2 2 y 3 3 u3 R3 x i2 i2 4 4 R3 y v3 3 1 i2 i2 4 4 0 0
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{M z1
6EI
L2
w1
4EI L
z1
6EI L2
w2
2EI L
z2
M z2
6EI
L2
w1
2EI
L
z1
6EI L2
w2
4EI
L
wz21 z2
A
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单元中任一点的位移和节点位移关系
位移模式 形函数
{ (x, y)} [ f (x, y)]{} A1 { e}
单元上任 意点位移
节点位移
求单元应变
应变是位移函数的微分
(x,
y)
z2 1 2 2 L 33 L2
表达成矩阵形式
0 1
12 3
0
3 / L2
2/
L3
0 1 2/ L 1/ L2
0 0 3/ L 2/L
0 w1
0 1/ L 1/ L2
弹性矩阵 几何矩阵
求节点力和节点位移
积分
Wintdv BT e* T DB e dv Wext e* T F e
V
V
节点虚位移是任意的，因此
F
e
BT
D
Bdv
e
节点虚位移
外力虚功
向量
Wext
e* 1
T
F1e
e* 2
T
F2e
e* n
T
Fne
e* T
Fe
内力虚功
Wint *(x, y) T (x, y) BT e* T DB e
单元分析
单元分析过程
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选择位移函数
有限元法中，载荷的移置、应力矩阵和刚度矩 阵的建立依赖于位移函数
位移函数满足的条件
位移函数必须能反映单元的刚体位移 位移函数必须能反映单元的常量应变 位移函数应尽量反映位移的连续性
反映刚体位移和常量应变是必要条件，反映相 邻单元的位移连续性是充分条件
z2
位移法简介
i EI / l 2
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直接刚度法推导梁单元有限元格式
梁单元静力平衡关系式
Fy1
Fy2
( M z1
M z2 L
)
(12LE3 I
) w1
(
6EI L2
) z1
(12LE3 I
) w2
(
6EI L2
) z2
矩阵形式表示的节点力和变形表达式
(
x,
y)
w z
1 0
x 1
x2 2x
f (x, y)
0
3
x3 x
2
12
3
单元中任一点的位移和节点位移关系
已知单元节点处的位移值
x 0, w1 0;z1 1 x L, w2 0 1 L 2 L2 3 L3
求单元应力
应力应变关系
(x, y) D(x, y) DB e
以矩阵形式表达
(x,
y)
EI
6 L2
12 x L3
4 L
6x L2
6 L2
12 x L3
w1
2 L
6x L2
wz21
Fy1 M z1 Fy2
M z2
EI L3
12
6L
12
6L
6L 4L2 6L 2L2
12 6L 12 6L
F e K e e
6L w1
2L2
6L
4L2
wz21 z2
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刚架结构的有限元法
刚架结构的有限元法
直接刚度法推导梁单元有限元格式 位移函数—虚功原理推导梁单元有限元格式
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直接刚度法推导梁单元有限元格式
梁单元 梁单元定义—两端刚性连接的杆件 梁单元和杆单元的区别 梁单元节点力和位移 梁单元力和变形关系
z2
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求节点力和节点位移
虚功原理
系统保持平衡的充要条件是外力在虚位移上所做的 功等于相应内力在虚位移上所做的功
刚体虚位移原理 弹性体虚位移原理
求节点力和节点位移
虚位移原理应用于刚体
平衡关系
PA A PB B 0
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d 2w dx2
2 2
6
3
x
以矩阵形式表达
0
(x, y) 0
0
2
6
x
12
3
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求单元应变
节点位移表示的单元应变
几何矩阵
(x, y) C B e
单元应变
节点位移
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V
单元刚度矩阵
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空间梁单元的定向
梁单元定向目的—确定梁的主惯性轴 梁单元定向的步骤
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求节点力和节点位移
虚位移原理应用于弹性体
在外力作用下，处于平衡状态的弹性体，当发生约 束允许的任意微小虚位移时，外力在虚位移上所做 的功等于虚位移发生时引起的弹性体的应变能增量， 即整个体积内应力在虚应变上所做的功 U W 0
求节点力和节点位移
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求节点力和节点位移
直接刚度法推导梁单元有限元格式
梁单元在整体坐标下的形式
[Ke ] [T ]T [K e ][T ]
直接刚度法推导有限元格式
从单元受力（力矩）和位移之间的关系导出
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虚功原理推导梁单元有限元格式
步骤
写出节点的位移、节点力向量 选择适当的位移函数 求单元中任意点的位移和节点位移关系 求单元应变——单元位移—节点位移的关系 求应力——应变—节点位移间的关系 求节点力与节点位移关系 节点位移与应力关系
选择位移函数
位移函数表达式
通过节点位移表达单元上任意点的位移
(
x,
y)
w z
w 0 1 x 2 x2 3 x3
z
dw dx
1
22
x
33
x2
5
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选择位移函数
位移函数表达式
以矩阵形式表示