《二次函数》教学PPT课件【初中数学人教版九年级 上册】公开课
（3）当y 2时，x2 2x 1=2
解得x1 1, x2 3
小试牛刀
1.把y=(2-3x)(6+x)变成一般式，二次项为_-_3_x_2_,一次项系数为__-1_6___，常
数项为 12 .
2.下列函数是二次函数的是 ( C )
A．y＝2x＋1 B．y 2
x
C．y＝3x2＋1
问题1：正方体的表面积y与棱长x的关系式为 y=6x2 ，y 是x的函数吗？
是
显然，对于x的每一个值，y都有一个对应值，即y是x的 函数，它们的函数关系式为y=6x2 .
探究新知
问题2：n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛。比赛 的场次数m与球队数n有什么关系？
分析：每个队要与其他 (n-1)个 球队各比赛一场，而甲队对乙 队的比赛与乙队对甲队的比赛 是同一场比赛。
课后作业
1、课本 习题22.1.1 第1、2题 2. 已知函数 y=3x2m-1－5
① 当m=＿＿时，y是关于x的一次函数； ② 当m=＿＿时，y是关于x的反比例函数； ③ 当m=＿＿时，y是关于x的二次函数 . 3、矩形的周长为16cm,它的一边长为x（cm),面积为y（cm2).求 （1）y与x之间的函数解析式及自变量x的取值范围； （2）当x=3时矩形的面积.
分析：产品原产量是20t，一年后的产量是原
产量的 (1+x) 倍；再经过一年后的产量是一年
后的产量的 (1+x) 倍.于是两年后的产量y与增
y是x的函
加y的=2倍0x数2+x4的0x关+系20式表为示两y年=2后0(的1+产x)量2 y.与计划增产的倍数数x吗的？关系，
对y于=2x0的(1每+x一)2个值，y都有一y个=2对0x应2+值40，x+即20y是x的函数.
1 2
PB
BQ
=
1 2
(12
-
2
பைடு நூலகம்
t)
4t＝-
4t
2
+
24
t
.
∴ t的取值范围为0≤t≤6.
B
Q
C
课堂小结
定义
右边是整式； 自变量的指数是2； 二次项系数a ≠0.
二次函数 一般形式 特殊形式
y=ax2+bx+c(a ≠0，a,b,c是常数）
y=ax2； y=ax2+bx； y=ax2+c(a ≠0，a,b,c是常数）.
归纳小结
根据具体问题确定二次函数解析式
根据实际问题建立二次函数模型的一般步骤： ①仔细审题，分析数量之间的关系，将文字语言转 化为符号语言； ②根据实际问题中的等量关系，列二次函数关系式， 并化成一般形式； ③联系实际，确定自变量的取值范围。
能力提升
1.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=12，BC=24，动点P从点A
典例精析
例1：下列函数中是二次函数的有 ①⑤ 。
①√y= 2x2 2 ③×y x2(1 x2 ) 1
最高次数是4
⑤√y=x(x 1)
×②y 2x2 x(1 2x)
×④y
1 x2
x2
二次函数：y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）
归纳小结
运用定义法判断一个函数是否为二次函数的步骤：
（1）求k的值.
（2）当x=0.5时，y的值是多少？
（3）当y=2时，求x的值.
k 2 3k 4 2,
解：（1）由题意，得 （2）当k=2时，
k 1 0,
解得 k=2;
将x=0.5代入函数关系式 y x2 2x 1
.
y 0.52 2 0.5 1 0.25
解：（1）由题可知,
m2
7
1,
解得
m= 2
2;
m 3 0,
m2 7 2,
（2）由题可知,
解得 m=3.
m 3 0,
注意 第（2）问易忽略二次项系数a≠0这一限制条件，从而得出
m=3或-3的错误答案，需要引起同学们的重视.
变式：一个二次函数 y (k 1)xk2 3k4 2x 1.
人教版数学 九年级 上册
22.1.1 二次函数
情景引入
问题：如图，从喷头喷出的水珠，在空中走过一条曲线后落到
池中央，在这条曲线的各个位置上，水珠的竖直高度h与它距离 喷头的水平距离x之间有什么关系？
上面问题中变量之间的关系 可以用哪一种函数来表示？这种 函数与以前学习的函数、方程有 哪些联系？
探究新知
3.若函数 y (a 4)xa23a2 a 是二次函数，求：
D．y 1 1
x2
（1）求a的值.
(2) 求函数关系式.
（3）当x=-2时，y的值是多少？
小试牛刀
4.某种商品的价格是2元，准备进行两次降价，如果每次降价的百 分率都是x，则经过两次降价后的价格y（单位：元）与每次降价的百 分率x的函数关系式是 y=2(1-x)2 .
开始沿边AB向终点B以每秒2个单位长度的速度移动，动点Q从点B开
始沿边BC以每秒4个单位长度的速度向终点C移动，如果点P、Q分别
从点A、B同时出发，写出△PBQ的面积S与出发时间t（s）的函数关
系式及t的取值范围.
解：依题意，得AP=2t, BQ=4t.
A
∵AB=12, ∴PB=12-2t,
P
∴S
=
5. 正方形的边长为10cm，在中间挖去一个边长为xcm的正方形，若 剩余部分的面积为ycm2，则y与x的函数关系式是y=100-x2，x的取值范 围为 0≤x≤10 .
6. 一辆汽车的行驶距离s（单位：m）与行驶时间t（单位：s）的函 数关系式为s=9t+12t2，则经过12s汽车行驶了 180 m，行驶380m 需 __2_0__s.
温馨提示：
（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式； （2）a,b,c为常数，且a≠ 0; （3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但 不能没有二次项.
分别指出下列二次函数解析式的自变量、各项及各项系数。
①y=6x2 , ②m 1 n2 1 n ,
22
③ y=20x2+40x+20 .
（１）将函数解析式右边整理为含自变量的代数式，左边 是函数（因变量）的形式； （２）判断右边含自变量的代数式是否是整式； （３）判断自变量的最高次数是否是２； （４）判断二次项系数是否不等于０.
典例精析
例2：已知函数y m 3 xm2 7 .
（1）m取什么值时，此函数是正比例函数？
（2） m取什么值时，此函数是二次函数？
m
1 2
n
1 2
n 表示比赛的场次数m与球队数n的关系，对于n
的每一个值，m都有一个对应值，即m是n的函数.
探究新知
问题3：某种产品现在的年产量为20t，计划今后两年增加产量 。如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的年 产量y将随计划所定的x值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？
问题1-3中函数关系式有什么共同点?
y=6x2 m 1 n2 1 n
22 y=20x2+40x+20
函数都是用 自变量的二次
整式表示的
归纳总结
二次函数的定义：
形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数叫做二次函 数.其中x是自变量，a,b,c分别是二次项系数、一次项系数和 常数项.
合集下载
人教版九年级上册数学二次函数课程PPT课件
淡蓝色的海水轻轻地拍打着沙滩，一 浪盖过 一浪， 连绵不 绝，源 源不断 。海水 在人们 的心中 无非是 易怒的 。可是 ，在现 在的我 眼中， 如同母 亲的手 温柔的 抚摸着 这岸上 的一切 生灵。 贝壳与 螃蟹戏 玩着， 玩累了 ，便躺 在柔软 的沙上 睡上一 会儿。
（2）一个小球由静止开始沿斜坡向下滚动，5s时到达斜坡底部.测得小球滚动的距 离s(cm)与时间t(s)的数据如下表：
经化简后都具有y=ax²+bx+c 的形式.
(a,b,c是常数, a≠0 )
课堂交流
定义：一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数叫做x的二 淡蓝色的海水轻轻地拍打着沙滩，一浪盖过一浪，连绵不绝，源源不断。海水在人们的心中无非是易怒的。可是，在现在的我眼中，如同母亲的手温柔的抚摸着这岸上的一切生灵。贝壳与螃蟹戏玩着，玩累了，便躺在柔软的沙上睡上一会儿。
自学探究
(3)某企业去年的产值为1200万元.如果三年内该企业年产值平均每年的增长率为x,你能写出明 淡蓝色的海水轻轻地拍打着沙滩，一浪盖过一浪，连绵不绝，源源不断。海水在人们的心中无非是易怒的。可是，在现在的我眼中，如同母亲的手温柔的抚摸着这岸上的一切生灵。贝壳与螃蟹戏玩着，玩累了，便躺在柔软的沙上睡上一会儿。 年该企业年产值y(万元)与x之间的函数表达式.
注意：
淡蓝色的海水轻轻地拍打着沙滩，一 浪盖过 一浪， 连绵不 绝，源 源不断 。海水 在人们 的心中 无非是 易怒的 。可是 ，在现 在的我 眼中， 如同母 亲的手 温柔的 抚摸着 这岸上 的一切 生灵。 贝壳与 螃蟹戏 玩着， 玩累了 ，便躺 在柔软 的沙上 睡上一 会儿。
（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的 整式。
人教版九年级数学上册《二次函数图像与性质》课件(共14张PPT)
相同点：开口：向上， 顶点：原点（0,0）——最低点 对称轴： y 轴
增减性：y 轴左侧，y随x增大而减小
y 轴右侧，y随x增大而增大
y x2
8 6
y 2x2
பைடு நூலகம்
不同点：a 值越大，抛物线的开 口越小．
4 2 －4 －2
y 1 x2 2
24
探究
画出函数 yx2,y1x2,y2x2 的图象，并考虑这些抛物 2
|a|越大,抛物线的开口越小;
二次函数y=ax2的性质
y＝ax2
a>0
a<0
图象
(0,0)最低点
开口方向 开口向上
开口向下
对称轴 对称轴是y轴，即直线x＝0
顶点
顶点坐标是原点（0，0）
最值 当x=0时，y最小值=0 当x=0时，y最大值=0
增减性
当x<0时，y随x的增大而减小 当x<0时，y随x的增大而
1
2
3 ···
y = x2 ··· 9 4 1 0 1 4 9 ···
2. 根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y）
3.连线 如图，再用平滑曲线顺次
9
连接各点，就得到y = x2 的图象
．
6
y = x2
3
－3
3
二次函数 y = x2的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮球时球在空中 所经过的路线，只是这条曲线开口向上，这条曲线叫做抛物线 y = x2 ，
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
当x>0时，y随x的增大而增大
增大；当x>0时，y随x的 增大而减小
|a|越大,抛物线的开口越小;
人教版九年级上册数学课件22.1.1二次函数(共19张PPT)
探究二：利用二次函数的表达式表示实际问题。 练习：
重点、难点知识★▲
某种品牌的服装进价为每件150元，当售价为每件210元时，每天可
卖出20件，现需降价处理，且经市场调查发现：每件服装每降价2元，每
天可多卖出1件。在确保盈利的前提下，若设每件服装降价x元，每天售出
服装的利润为y元，则y与x的函数关系式为（ A ）。
二次函数
（1）一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常 数，a≠0）。 （2）正比例函数的一般形式是：y=kx（k≠0，k为常数）。 （3）一次函数的一般形式是：y=kx+b（k≠0，k、b为常数）。
探究一：二次函数的概念及其解析式。
重点知识★
归纳： 1. 二次函数的概念：把形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0） 的函数叫做x的二次函数，其中：ax2为二次项，a为二次项系数；bx 为一次项，b为一次项系数；c为常数项。 2.二次函数的解析式： 二次函数的一般式：y=ax2+bx+c （a，b，（2）y=ax2+c （a≠0，b=0，c≠0）； （3）y=ax2+bx （a≠0，b≠0，c=0）。
综上所述，a=-1。
探究二：利用二次函数的表达式表示实际问题。
重点、难点知识★▲
活动1 通过实例，探究归纳。
例1：某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子。现准 备多种一些橙子树以提高产量（果园最多能种150棵橙子树），但是 如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少。 根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子。 （1）假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有橙子树_（__1__0_0_+__x_）____ 棵，这时平均每棵树结橙子_（___6_0_0__-5__x_）____个。
人教版九年级初中数学上册第二十二章二次函数-二次函数与一元二次方程PPT课件
新知探究
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的
根有什么关系?
抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)
一元二次方程ax2+bx+c=0
与x轴的公共点的个数
(a≠0)的根的情况
b2-4ac>0
有两个
有两个不相等的实数根
b2-4ac=0
有一个
有两个相等的实数根
P(2,-2)
重复上述过程，不断缩小根的范围，根所在两端的值就越来越
接近根的值.因而可以作为根的近似值。
尝试求出方程y = 2 − 2 − 2两个根的近似值？
课堂练习
1. 抛物线 = 2 + 2 − 3与轴的交点个数有(
. 0个
. 1个
Ｃ．2个
C ).
Ｄ．3个
【分析】解二次函数 = 2 + 2 − 3得1 =
第二十二章 二次函数
2 2 . 2 二次函数与一元二次方程
人教版九年级（初中）数学上册
授课老师：XX
前 言
学习目标
1.二次函数与一元二次方程之间的联系。
2.二次函数的图象与x轴交点的三种位置关系。
3.利用二次函数图象求它的实数根。
重点难点
重点：让学生理解二次函数与一元二次方程之间的联系。
难点：让学生理解函数图象交点问题与对应方程间的相互转化，及用图象求方程
x1=x2 =-
x
2
与x轴没有
交点
一元二次方程
ax2+bx+c=0
（a≠0）的根
x
没有实数根
新知探究
人教版数学九年级上册第二十二章《二次函数》课件(共22张)
解：因为第1档次的产品一天能生产 95 件，每件利润 6 元，每 提高一个档次，每件利润增加 2 元，但一天产量减少 5 件， 所以第 x 档次，提高了(x−1)档，利润增加了 2(x−1)元． 所以 y＝[6＋2(x−1)][95−5(x−1)]， 即 y＝−10x2＋180x＋400(其中 x 是正整数，且1≤x≤10)．
2.一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积 S 与底面半径 r 之间的关系式．
解：由圆柱的表面积=2×圆柱的底面积+圆柱的侧面积， 得 S=2πr2+2πr•r=4πr2．
3.如图，矩形绿地的长、宽各增加 x m，写出扩充后的绿地的面 积 y 与 x 的关系式．
解：由图可得，扩充后的绿地的面积y(m2)与 x(m) 之间的函数关系式是y=(30+x)(20+x)=x2+50x+600， 即 y=x2+50x+600.
这个函数与我们学过的函数不同，其中自变量x的最高次数是2． 这类函数具有哪些性质呢？这就是本章要学习的二次函数．
合作探究
n 个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数 m 与球队数 n 有什么关系？
分析：每个球队要与其他 (n-1) 个球队各比赛一场，甲队对乙队的比赛与乙
队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛的场次数为
形如 y=ax²+bx+c (a，b，c是常数，a≠ 0)的函数叫做二次函数．其中 x 是自变量，a，b，c 分别是二次项系数、一次项系数和常数项．
（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式； （2）a，b，c为常数，且a≠ 0； （3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但 不能没有二次项．
2.一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积 S 与底面半径 r 之间的关系式．
解：由圆柱的表面积=2×圆柱的底面积+圆柱的侧面积， 得 S=2πr2+2πr•r=4πr2．
3.如图，矩形绿地的长、宽各增加 x m，写出扩充后的绿地的面 积 y 与 x 的关系式．
解：由图可得，扩充后的绿地的面积y(m2)与 x(m) 之间的函数关系式是y=(30+x)(20+x)=x2+50x+600， 即 y=x2+50x+600.
这个函数与我们学过的函数不同，其中自变量x的最高次数是2． 这类函数具有哪些性质呢？这就是本章要学习的二次函数．
合作探究
n 个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数 m 与球队数 n 有什么关系？
分析：每个球队要与其他 (n-1) 个球队各比赛一场，甲队对乙队的比赛与乙
队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛的场次数为
形如 y=ax²+bx+c (a，b，c是常数，a≠ 0)的函数叫做二次函数．其中 x 是自变量，a，b，c 分别是二次项系数、一次项系数和常数项．
（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式； （2）a，b，c为常数，且a≠ 0； （3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但 不能没有二次项．
二次函数ppt课件
22.1.1 二次函数
年 级：九年级 学 科：数学（人教版）
1.函数的定义：
3.一元二次方程的一般形式是什么？
2．一次函数的定义是什么？
知识回顾
观察图片，这些曲线能否用函数关系式来表示？它们的形状是怎样画出来的？
实际问题
归纳、抽象
数学模型
（1） 写出 <m></m> 与 <m></m> 的函数关系式；
（2） 当 <m></m> 时，求 <m></m> 的值.
解：（1）其中一直角边长为 <m></m> ，则另一直角边长为 <m></m> ，依题意得 <m>
（2）当 <m></m> 时， <m></m> .
引入新课
观察这三个函数关系式有什么共同特点？
1.都有两个变量2.整式3.自变量最高次数是2次
讲授新课
二次函数的概念
二次
一元二次方程？
一次？
总结
二次函数的概念
陋室铭
例1:判断下列函数中，哪些是二次函数？若是二次函数，请指出二次项系数、一次项系数、常数项。
×
×
×
×
√
×
√
√
例题讲解
函数
二次项系数
布置作业
3、如图，在 <m></m> 中， <m></m> ， <m></m> , <m></m> .动点 <m></m> 从点 <m></m> 开始沿边 <m></m> 向点 <m></m> 以 <m></m> 的速度移动;动点 <m></m> 从点 <m></m> 开始沿边 <m></m> 向点 <m></m> 以 <m></m> 的速度移动.如果 <m></m> , <m></m> 两点同时出发，那么 <m></m> 的面积 <m></m> 随出发时间 <m></m> 如何变化?写出函数关系式.
年 级：九年级 学 科：数学（人教版）
1.函数的定义：
3.一元二次方程的一般形式是什么？
2．一次函数的定义是什么？
知识回顾
观察图片，这些曲线能否用函数关系式来表示？它们的形状是怎样画出来的？
实际问题
归纳、抽象
数学模型
（1） 写出 <m></m> 与 <m></m> 的函数关系式；
（2） 当 <m></m> 时，求 <m></m> 的值.
解：（1）其中一直角边长为 <m></m> ，则另一直角边长为 <m></m> ，依题意得 <m>
（2）当 <m></m> 时， <m></m> .
引入新课
观察这三个函数关系式有什么共同特点？
1.都有两个变量2.整式3.自变量最高次数是2次
讲授新课
二次函数的概念
二次
一元二次方程？
一次？
总结
二次函数的概念
陋室铭
例1:判断下列函数中，哪些是二次函数？若是二次函数，请指出二次项系数、一次项系数、常数项。
×
×
×
×
√
×
√
√
例题讲解
函数
二次项系数
布置作业
3、如图，在 <m></m> 中， <m></m> ， <m></m> , <m></m> .动点 <m></m> 从点 <m></m> 开始沿边 <m></m> 向点 <m></m> 以 <m></m> 的速度移动;动点 <m></m> 从点 <m></m> 开始沿边 <m></m> 向点 <m></m> 以 <m></m> 的速度移动.如果 <m></m> , <m></m> 两点同时出发，那么 <m></m> 的面积 <m></m> 随出发时间 <m></m> 如何变化?写出函数关系式.
人教版数学九年级上册22.2 二次函数和一元二次方程课件(共55张PPT)
当已知二次函数 y 值，求自变量 x值时，可以看作是解对应的一 元二次方程.相反地，由解一元二次方程，又可看作是二次函数值 为0时，求自变量x的值
例如，已知二次函数 y = －x2＋4x 的值为3，求自变量 x 的值， 可以解一元二次方程－x2＋4x=3 ( 即x2－4x+3=0 ). 反过来，解方程 x2－4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自 变量x的值，还可以看做y = －x2＋4x 和y=3的交点
x
-1
-2
-3
-4 -5
当x1=x2=-3时，函数值为0.
二、利用一元二次方程讨论二次函数与x轴的交点
思考
问题1 不解方程，判断下列一元二次方程根的情况. (1)x2+x-2=0； ∵∆ = b2-4ac=9>0，∴方程有两个不相等的实数根. (2)x2-6x+9=0； ∵∆ = b2-4ac=0，∴方程有两个相等的实数根. (3)x2-x+1=0. ∵∆ = b2-4ac=-3<0，∴方程有没有实数根.
公共点的坐标.
(1)y=x2+x-2；
y
两个（-2,0），（1,0）
2 1
-2 -1 O 1 2 x
-1
-2
(2)y=x2-6x+9；
y 4
一个（3,0）
3
2
1
-1 O 1 2 3 4
x
(3)y=x2-x+1
y 4
没有公共点
3
2 1
-1 O 1 2
x
二次函数图象与x轴的公共点我们也可以通过平移来观察，发现最多有两 个公共点，最少没有公共点.
O
例如，已知二次函数 y = －x2＋4x 的值为3，求自变量 x 的值， 可以解一元二次方程－x2＋4x=3 ( 即x2－4x+3=0 ). 反过来，解方程 x2－4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自 变量x的值，还可以看做y = －x2＋4x 和y=3的交点
x
-1
-2
-3
-4 -5
当x1=x2=-3时，函数值为0.
二、利用一元二次方程讨论二次函数与x轴的交点
思考
问题1 不解方程，判断下列一元二次方程根的情况. (1)x2+x-2=0； ∵∆ = b2-4ac=9>0，∴方程有两个不相等的实数根. (2)x2-6x+9=0； ∵∆ = b2-4ac=0，∴方程有两个相等的实数根. (3)x2-x+1=0. ∵∆ = b2-4ac=-3<0，∴方程有没有实数根.
公共点的坐标.
(1)y=x2+x-2；
y
两个（-2,0），（1,0）
2 1
-2 -1 O 1 2 x
-1
-2
(2)y=x2-6x+9；
y 4
一个（3,0）
3
2
1
-1 O 1 2 3 4
x
(3)y=x2-x+1
y 4
没有公共点
3
2 1
-1 O 1 2
x
二次函数图象与x轴的公共点我们也可以通过平移来观察，发现最多有两 个公共点，最少没有公共点.
O
二次函数初三ppt课件ppt课件ppt课件
二次函数初三ppt课件ppt 课件ppt课件
contents
目录
• 二次函数的基本概念 • 二次函数的性质 • 二次函数的应用 • 二次函数的解析式 • 二次函数与一元一次方程的关系 • 综合练习与提高
01 二次函数的基本 概念
二次函数的定义
总结词
二次函数是形如$y=ax^2+bx+c$的 函数，其中$a$、$b$、$c$为常数 ，且$a neq 0$。
详细描述
二次函数的一般形式是 $y=ax^2+bx+c$，其中$a$、$b$、 $c$是常数，且$a neq 0$。这个定义 表明二次函数具有一个自变量$x$，一 个因变量$y$，并且$x$的最高次数为 2。
二次函数的表达式
总结词
二次函数的表达式可以因形式多样而变化，但一般包括三个部分：常数项、一 次项和二次项。
02 二次函数的性质
二次函数的开口方向
总结词
二次函数的开口方向取决于二次 项系数a的正负。
详细描述
如果二次项系数a大于0，则抛物 线开口向上；如果二次项系数a小 于0，则抛物线开口向下。
二次函数的顶点
总结词
二次函数的顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。
详细描述
二次函数的顶点是抛物线的最低点或最高点，其坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)，其中 a、b、c分别为二次项、一次项和常数项的系数。
解一元二次方程的方法包括公式法和 因式分解法等。
利用二次函数解决一元一次方程问题
当一元一次方程有重根时，可以通过构建二次函数来求解。
构建二次函数的方法是将一元一次方程转化为二次函数的形 式，然后利用二次函数的性质找到根。
06 综合练习与提高
contents
目录
• 二次函数的基本概念 • 二次函数的性质 • 二次函数的应用 • 二次函数的解析式 • 二次函数与一元一次方程的关系 • 综合练习与提高
01 二次函数的基本 概念
二次函数的定义
总结词
二次函数是形如$y=ax^2+bx+c$的 函数，其中$a$、$b$、$c$为常数 ，且$a neq 0$。
详细描述
二次函数的一般形式是 $y=ax^2+bx+c$，其中$a$、$b$、 $c$是常数，且$a neq 0$。这个定义 表明二次函数具有一个自变量$x$，一 个因变量$y$，并且$x$的最高次数为 2。
二次函数的表达式
总结词
二次函数的表达式可以因形式多样而变化，但一般包括三个部分：常数项、一 次项和二次项。
02 二次函数的性质
二次函数的开口方向
总结词
二次函数的开口方向取决于二次 项系数a的正负。
详细描述
如果二次项系数a大于0，则抛物 线开口向上；如果二次项系数a小 于0，则抛物线开口向下。
二次函数的顶点
总结词
二次函数的顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。
详细描述
二次函数的顶点是抛物线的最低点或最高点，其坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)，其中 a、b、c分别为二次项、一次项和常数项的系数。
解一元二次方程的方法包括公式法和 因式分解法等。
利用二次函数解决一元一次方程问题
当一元一次方程有重根时，可以通过构建二次函数来求解。
构建二次函数的方法是将一元一次方程转化为二次函数的形 式，然后利用二次函数的性质找到根。
06 综合练习与提高
人教版数学九年级上册22.1.1 二次函数课件(共21张PPT)
∴当m=3 时，该函数是二次函-1+(3-5)x+32, 即y=12x²-2x+9.
例3在情境2中，若某年级共有4个班参加篮球比赛，那么总共要比 多少场? 解：∵比赛的场次数
∴代入n=4, 得m=6 ∴总共要比6场
随堂练习
1.下列函数关系中，是二次函数的为( D
方法总结判断二次函数的方法
1. 自变量的最高次数是2次； 2.二次项系数a≠0;
iSyNVH1
i 凹量‘凿异业
一般地，形如 y=ax²+bx+c(a,b,c a≠0)的函数叫做二次函数。
是常数，
二次 函数
注意：a,b,c 分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和 常数项. (自变量的最高次数是2;二次项系数a≠0)
特殊形式
y=ax²(a≠0);y=ax²+bx(a≠0); y=ax²+c(a≠0,a,b,c 是常数).
解：比赛的场次数为
即
情境3悦悦通过调查发现，由于学生参加校运动会的积极性非常高，所以 今年学校增加了每个项目的参赛人数。已知今年有300名同学参赛，今年比 去年的参赛人数增加了t倍，若按照这样的增长速度，预计两年后的参赛人 数与t之间有怎样的关系?
解：两年后参赛人数f=300(1+t)², 即f=300t²+600t+300.
(1)求y与 x 之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
解 ：y=300+30(60-x)=-30x+2100(40≤x≤60). (2)设每星期的销售利润为W 元，求W 与 x 之间的函数关系式.
解 ：W=(x-40)(-30x+2100)=-30x²+3300x-84000.
人教版九年级数学上册《二次函数的图象和性质》PPT
22.1.4二次函数y=ax2+bx+c 图象和性质
y
o
x
一般地，抛物线y=a(x-h)2 +k与 y=ax2的 形状 相同， 位置 不同
y=ax2 上加下减 y=a(x-h)2 +k 左加右减
抛物线y=a(x-h)2+k有如下特点:
1.当a﹥0时，开口向上 ， 当a﹤0时，开口 向下 ，
2.对称轴是直线X=h ；
例1：指出抛物线:y x2 5x 4
的开口方向，求出它的对称轴、顶点坐 标、与y轴的交点坐标、与x轴的交点坐 标。并画出草图。
方∵9对向/a4于=，）-1y，求＜=与a出0x,y2它∴轴+开b的交x口+点对c向我坐称下标们轴，为可、顶以顶点确坐点定标坐（它标2的、.5开，与口y 轴的交点坐标、与x轴的交点坐标（有交 点（时0），，- 4这），样与就x可轴以交画点为出（它1的,0)大、致(4,图0）象，。
a
x
b 2a
2
4ac b2 4a2
a x
b
2
4ac
b2
.
2a 4a
函数y=ax2+bx+c的顶点式
y a x
b
2
4ac
b2
.
2a
4a
（- b ，4ac - b2 ） 2a 4a
快速反应：火箭被竖直向上发射时,它的高度 h (m) 与 时间 t (s) 的关系为h = - 5 t ²+ 150 t +10 经过多长时 间,火箭到达它的最高点？最高点的高度是多少？
的顶点都在
（ B）
A.直线y = x上 B.直线y = - x上
C.x轴上
y
o
x
一般地，抛物线y=a(x-h)2 +k与 y=ax2的 形状 相同， 位置 不同
y=ax2 上加下减 y=a(x-h)2 +k 左加右减
抛物线y=a(x-h)2+k有如下特点:
1.当a﹥0时，开口向上 ， 当a﹤0时，开口 向下 ，
2.对称轴是直线X=h ；
例1：指出抛物线:y x2 5x 4
的开口方向，求出它的对称轴、顶点坐 标、与y轴的交点坐标、与x轴的交点坐 标。并画出草图。
方∵9对向/a4于=，）-1y，求＜=与a出0x,y2它∴轴+开b的交x口+点对c向我坐称下标们轴，为可、顶以顶点确坐点定标坐（它标2的、.5开，与口y 轴的交点坐标、与x轴的交点坐标（有交 点（时0），，- 4这），样与就x可轴以交画点为出（它1的,0)大、致(4,图0）象，。
a
x
b 2a
2
4ac b2 4a2
a x
b
2
4ac
b2
.
2a 4a
函数y=ax2+bx+c的顶点式
y a x
b
2
4ac
b2
.
2a
4a
（- b ，4ac - b2 ） 2a 4a
快速反应：火箭被竖直向上发射时,它的高度 h (m) 与 时间 t (s) 的关系为h = - 5 t ²+ 150 t +10 经过多长时 间,火箭到达它的最高点？最高点的高度是多少？
的顶点都在
（ B）
A.直线y = x上 B.直线y = - x上
C.x轴上