二次函数--配方法
二次函数配方法
——配方法
河南省济源市实验中学 田爱平
学习目标
1 使学生掌握通过配方确定抛物线的开口方 向，对称轴，顶点坐标及最值
2 理解二次函数 y ax2 bx c 的性质
3 在实际应用中体会二次函数作为一种数学 模型的作用，会利用二次函数的性质求实 际问题中的最大值或最小值
1 说出二次函数 y 4(x 2)2 1 图象的 开口方向，对称轴，顶点坐标，增减 性
2 它是由y=-4x2怎样平移得到的
1的开不口画方图向象，，对直称接轴说，出顶点y 坐 12标x2，增2x减 3性
2 不画图象，直接说出 y 2x2 4x 1
的开口方向，对称轴，顶点坐标，增减性
函数y=ax²+bx+c的顶点式
一般地,对于二次函数y=ax²+bx+c,我们可以利用配方法 推导出它的对称轴和顶点坐标.
2a
4a
当x b 时,最大值为 4ac b2
2a
4a
1 求下列抛物线的开口方向，顶点坐标，对称轴， 增减性，最值
（1） y x2 2x 2 （2） y 2x2 8x （3） y 2x2 4x 8
2 抛物线如何 y 2x2 4x 5 平移得到 y 2x2
某商店将每件进价为80元的某种商品按每件100元出 售，一天可售出约100件，该店想通过降低售价、增 加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现 这种商品单价每降低1元，其销售量可增加约10件。
1 请表示出商品降价x元与利润y元之间的关系？
2 将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最 大？最大利润是多少？
顶点坐标
b 2a
,
4ac 4a
b2
b 2a
求二次函数解析式的四种方法详解
求二次函数解析式的四种方法详解二次函数是一种常见的函数形式，其解析式可以通过四种方法求得。
下面将详细介绍这四种方法。
方法一：配方法求解二次函数解析式配方法是一种常用的求解二次函数解析式的方法。
对于形如$f(x) = ax^2 + bx + c$的二次函数，我们可以通过配方法将其转化为$(px+q)^2$形式，然后利用完全平方公式求解。
1. 将二次项与常数项系数乘以2，即将原函数表示为$f(x) = a(x^2 + \frac{b}{a}x) + c$；2. 将中间项$\frac{b}{a}x$除以2，并在括号外面加上一个平方项和一个负号，即表示为$f(x) = a(x^2 + \frac{b}{a}x +(\frac{b}{2a})^2 - (\frac{b}{2a})^2) + c$；3. 将括号内部的三项利用完全平方公式进行转化，即表示为$f(x) = a((x+\frac{b}{2a})^2 - (\frac{b}{2a})^2) + c$；4. 化简后得到$f(x) = a(x+\frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a} + c$。
其中，$(x+\frac{b}{2a})^2$是一个完全平方项，可以展开得到$x^2 + bx + \frac{b^2}{4a^2}$。
所以上述表达式可以进一步简化为：$f(x) = ax^2 + bx + c = a(x+\frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a} + c$这就是二次函数的配方法解析式。
方法二：因式分解法求解二次函数解析式对于形如$f(x) = ax^2 + bx + c$的二次函数，我们可以使用因式分解法对其解析式进行求解。
1.如果二次函数可以因式分解为$(x-x_1)(x-x_2)$的形式，其中$x_1$和$x_2$是函数的根，则此二次函数的解析式形式为$f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$；2.将一般形式的二次函数进行因式分解，即将二次项系数a与常数项c进行合适的分解，得到$(x-x_1)(x-x_2)$的形式。
二次函数配方法公式过程
二次函数配方法公式过程一.二次函数及二次方程的基本概念：二次函数是定义域为所有实数的形如f(x) = ax²+bx+c 的函数，其中 a、b、c 为常数，且a≠0。
二次方程是形如ax²+bx+c = 0 的方程，其中 a、b、c 都是已知的常数，且a≠0。
求解二次方程的根，即求解方程的解集。
二.二次函数配方法的步骤：1.将二次函数化为标准形式：f(x)=a(x-h)²+k其中a为二次项系数，h、k分别为顶点的横坐标和纵坐标。
这一步的目的是为了方便之后的平移操作和求顶点的坐标。
2.求得顶点的坐标：(h,k)顶点的横坐标h=-b/2a，纵坐标k=f(h)=f(-b/2a)。
这一步可以通过将二次函数转化为标准形式，再利用顶点公式求得顶点坐标。
3.将二次函数平移到顶点所在位置：g(x)=a(x-h)²+k平移的目的是为了让二次函数的顶点与原点重合，即h=0，k=0。
这一步可以通过将横坐标x进行平移变换得到。
4. 进行配方法：g(x) = a(x-h)²+k = a(x²-2hx+h²)+k展开后可得g(x) = ax² - 2ahx + ah² + k。
这一步是为了配方，将二次项系数 2ah 拆分成两个相同的项，然后进行配方变换。
5. 将 g(x) 进一步变换为完全平方：g(x) = a(x²-2hx+h²)+k = ax² - 2ahx + ah² + kg(x)=a[x²-2(h/a)x+(h/a)²]+kg(x)=a[(x-(h/a))²+(h/a)²]+k这一步是将g(x)的形式转化为完全平方的形式。
6.化简得到二次方程：0=a[(x-(h/a))²+(h/a)²]+k化简可得(x-(h/a))²=-k/a-(h/a)²这是一个完全平方的二次方程，通过合并系数可以得到最终的二次方程。
二次函数配方法公式过程
二次函数配方法公式过程二次函数是高中数学中重要的内容之一，它具有许多重要的性质和应用。
在解题过程中，我们经常需要运用一些方法和公式来方便地处理二次函数。
一、二次函数的标准形式二次函数的标准形式为 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 是实数且a ≠ 0。
二次函数的图像是抛物线，其开口方向由 a 的正负号决定。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
二、二次函数的顶点坐标对于一般形式的二次函数 y = ax^2 + bx + c，它的顶点坐标可通过以下公式得到：x=-b/(2a)y=-Δ/(4a)其中，Δ = b^2 - 4ac 是二次函数的判别式。
顶点坐标是二次函数的重要特征，它能直接提供抛物线的最值和开口方向。
三、二次函数的对称轴对于一般形式的二次函数 y = ax^2 + bx + c，它的对称轴方程为 x = -b / (2a)。
对称轴是垂直于x轴的直线，与抛物线的开口方向垂直，并且将抛物线对称分为两部分。
四、二次函数的零点公式二次函数的零点即方程 y = ax^2 + bx + c 的解，可以通过以下公式得到：x=(-b±√Δ)/(2a)其中，±表示两个解，Δ = b^2 - 4ac 是二次函数的判别式。
零点是方程与x轴的交点，也是二次函数图像的横坐标。
五、二次函数的最值对于一般形式的二次函数 y = ax^2 + bx + c，它的最值可通过以下公式得到：最小值为y=c-Δ/(4a)最大值为y=c+Δ/(4a)最值对应的横坐标即为顶点的横坐标x=-b/(2a)六、二次函数的图像判断根据二次函数的标准形式 y = ax^2 + bx + c，可以通过以下步骤来判断其图像：1. 计算二次函数的判别式Δ = b^2 - 4ac2.如果Δ>0，则二次函数有两个不同的实根，图像与x轴有两个交点；3.如果Δ=0，则二次函数有一个重根，图像与x轴有一个交点；4.如果Δ<0，则二次函数没有实根，图像与x轴没有交点。
二次函数配方法的步骤
二次函数配方法的步骤介绍二次函数是数学中的一个重要概念，它具有很多实际应用。
在解决与二次函数相关的问题时，一种常用的方法是配方法。
通过配方法，我们可以将二次函数转化为简单的形式，从而更方便地进行求解。
本文将介绍二次函数配方法的步骤。
步骤一：确定二次函数的形式首先，我们需要确定给定的二次函数的形式。
一般而言，二次函数的一般形式可以表示为：f(x)=ax2+bx+c。
其中，a、b和c分别表示二次项的系数、一次项的系数和常数项。
步骤二：计算二次项系数的平方根我们接下来计算二次项系数a的平方根，即 $\\sqrt{a}$。
如果 $\\sqrt{a}$ 是有理数，那么我们可以写作 $\\sqrt{a}=k$，其中k是一个整数。
如果$\\sqrt{a}$ 是无理数，则我们将其保留为 $\\sqrt{a}$。
步骤三：配方法根据步骤二计算得到的 $\\sqrt{a}$ 的不同情况，我们进行不同的配方法。
情况一：$\\sqrt{a}$ 是有理数如果 $\\sqrt{a}$ 是有理数，我们可以令变量x的新值为 $x = k \\cdot x_1$。
其中x1表示新的变量。
通过代入 $x = k \\cdot x_1$，我们可以将原始二次函数转化为新的二次函数。
新的二次函数将不再含有二次项的系数a。
情况二：$\\sqrt{a}$ 是一个无理数对于 $\\sqrt{a}$ 是一个无理数的情况，我们需要通过其他方法进行配方法。
首先，我们可以通过完成平方的方法将二次函数转化为一个完全平方的形式。
具体来说，我们需要添加一个恰当的常数项使得f(x)可以表示为两个平方的和。
这可以通过计算b2−4ac来决定。
步骤四：继续求解在完成配方法后，我们得到的新二次函数将更加简单。
我们可以根据需要进行进一步求解。
通过配方法，我们可以将原始的复杂二次函数转化为更容易求解的形式。
结论二次函数配方法是一种常用的数学方法，可以将复杂的二次函数转化为更简单的形式。
二次函数配方法的过程
二次函数是初中数学的一个重要知识点，而配方法则是二次函数的一种重要解题方法。
下面我将从配方法的概念、步骤、应用和注意事项等方面进行详细的介绍。
一、配方法的概念配方法是一种数学方法，它将一个二次项系数为一数的二次方程变形为以首项系数为一数，二次项系数为常数，一次项系数为一项的方程，从而使方程求解。
配方法在二次函数、三角函数、微积分等数学领域都有着广泛的应用。
二、配方法的步骤1. 把常数项移到等号的右边，并用二次项系数的一半的平方来去除等号右边的式子。
2. 将二次项系数化为1，将等号左边的式子移到右边。
3. 将等号左边的式子完全配方，使得完全平方式中的两项与方程的一次项对应。
4. 将配方后的等号右边的式子完全进行计算，得到方程的解。
例如，对于二次函数$y=x^2+2x+3$，我们可以先进行配方：$y=x^2+2x+3$$=x^2+2x+1+2$$=(x+1)^2+2$三、配方法的应用配方法在二次函数中的应用非常广泛，它可以解决以下几种问题：1. 求二次函数的顶点坐标、对称轴、最大值或最小值。
2. 求二次函数的解析式。
3. 解决与二次函数有关的面积问题。
4. 解决与二次函数有关的轴对称问题。
5. 解决与二次函数有关的最大值或最小值问题。
例如，对于二次函数$y=x^2-4x+5$，我们可以进行配方：$y=x^2-4x+5$$=x^2-4x+4-4+5$$=(x-2)^2+1$四、配方法的注意事项1. 配方法是一种高级的解题方法，需要具备一定的数学基础和思维能力。
因此，在学习配方法之前，学生应该先掌握一元一次方程、一元二次方程、一元一次不等式等基础知识。
2. 在进行配方时，要注意配方的方法和技巧。
例如，在配方时要注意将常数项移到等号的右边时不要漏乘了常数项；在配方时要注意将二次项系数化为1时不要出现错误；在配方时要注意将等号左边的式子完全配方时要考虑是否可以进行配方等等。
二次函数—配方法
二次函数图像和性质（5）学习目标：1．配方法求二次函数一般式y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点坐标、对称轴； 2．熟记二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点坐标公式； 3．会画二次函数一般式y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象．学习重点：配方法或公式法求二次函数一般式y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点坐标、对称轴； 学习难点：配方法求二次函数一般式y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点坐标、对称轴； 学习过程： 一、复习引入1、()k h x a y +-=2的图像和性质填表：2.抛物线()1222++=x y 的开口向 ，对称轴是 ；顶点坐标是 ，当x = 时，y 有最 值是 ；无论x 取任何实数，y 的取值范围是 . 是由抛物线22x y =先向 平移 个单位，再向 平移 个单位得到的。
二、自主探究探究一：配方法求顶点坐标、对称轴（1）问题：你能直接说出函数222++=x x y 的图像的对称轴和顶点坐标吗？ （2）你有办法解决问题①吗？222++=x x y222++=x x y 的对称轴是 ，顶点坐标是 .（3）像这样我们可以把一个一般形式的二次函数用 的方法转化为 式，从而直接得到它的图像性质.（4）用配方法把下列二次函数化成顶点式：①222+-=x x y ②232++=x x y ③ y ＝12 x 2－6x ＋21对称轴 对称轴 对称轴 顶点 顶点 顶点④4322+-=x x y ⑤232++-=x x y ⑥x x y 22--=对称轴 对称轴 对称轴 顶点 顶点 顶点探究二：用公式法求顶点坐标、对称轴c bx ax y ++=2= 对称轴 顶点坐标 用公式法把下列二次函数的顶点坐标、对称轴：①4322+-=x x y ②232++-=x x y ③x x y 22--=三、合作交流根据c bx ax y ++=2的图象和性质填表：四、精讲点拨1、抛物线22()y x m n =++（m n ，是常数）的顶点坐标是（ ）A ．()m n ，B ．()m n -，C ．()m n -，D ．()m n --，2、二次函数2365y x x =--+的图象的顶点坐标是（ ） A ．(18)-， B ．(18)，C ．(12)-，D ．(14)-，3、在平面直角坐标系中，将二次函数22x y =的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为A ．222-=x y B ．222+=x y C ．2)2(2-=x y D ．2)2(2+=x y 4、抛物线3)2(2+-=x y 的顶点坐标是（ ）A ．（2，3）B ．（－2，3）C ．（2，－3）D ．（－2，－3）5、二次函数2(1)2y x =++的最小值是（ ）． A ．2 B ．1 C ．－3 D ．236、将抛物线22y x =向下平移1个单位，得到的抛物线是（ ） A ．22(1)y x =+B ．22(1)y x =-C ．221y x =+D ．221y x =-7、抛物线1822-+-=x x y 的顶点坐标为（A ）（-2，7） （B ）（-2，-25） （C ）（2，7） （D ）（2，-9） 8、把二次函数3412+--=x x y 用配方法化成()k h x a y +-=2的形式A.()22412+--=x yB. ()42412+-=x yC.()42412++-=x yD. 321212+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x y 9、把抛物线2y x =-向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为A ．2(1)3y x =---B ．2(1)3y x =-+- C ．2(1)3y x =--+D ．2(1)3y x =-++。
二次函数配方法
二次函数配方法二次函数是高中数学中的重要内容，它在解决实际问题中有着广泛的应用。
在解二次函数的问题时，我们经常会用到配方法。
配方法是一种将二次函数转化为完全平方的方法，通过这种方法可以更加简洁地解决二次函数相关的问题。
本文将介绍二次函数配方法的基本原理和具体应用，希望能够帮助读者更好地理解和掌握这一方法。
首先，我们来看一下二次函数的一般形式，$y=ax^2+bx+c$。
其中，$a$、$b$、$c$分别是二次项系数、一次项系数和常数项。
在配方法中，我们的目标是将二次函数转化为完全平方的形式，即$(x+p)^2+q$。
这样做的好处是可以更加方便地求解函数的顶点、焦点、对称轴等重要性质。
接下来，我们以一个具体的例子来说明配方法的应用。
假设我们要求解二次函数$y=x^2+6x+5$的顶点坐标。
首先，我们可以通过配方法将这个二次函数转化为完全平方的形式。
具体步骤如下：1. 首先，我们将一次项系数的一半平方，即$(6/2)^2=9$。
2. 然后，我们在函数中加上并减去这个平方数，即$y=x^2+6x+9-9+5$。
3. 接着，我们将前三项合并成一个完全平方，即$y=(x+3)^2-4$。
通过以上步骤，我们成功地将原来的二次函数转化为完全平方的形式。
这样一来，我们就可以轻松地求得函数的顶点坐标为$(-3,-4)$。
可以看到，通过配方法，我们可以更加简洁地解决二次函数相关的问题。
除了求解顶点坐标，配方法还可以应用于求解二次函数的焦点、对称轴等问题。
通过将二次函数转化为完全平方的形式，我们可以更加清晰地看到函数的性质，从而更好地理解和应用二次函数。
总的来说，二次函数配方法是解决二次函数相关问题的重要工具之一。
通过将二次函数转化为完全平方的形式，我们可以更加方便地求解函数的各种性质，从而更好地理解和应用二次函数。
希望本文的介绍能够帮助读者更好地掌握二次函数配方法，提高数学解题的效率和准确性。
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直线 x
b 2a
直线 x
b 2a
向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
b 4ac b 2 当x 时, 最小值为 2a 4a
2
b 4ac b2 a x . 2a 4a
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
抛物线 顶点坐标 对称轴 开口方向 增减性 最值
y=ax2+bx+c(a>0)
b 4ac b 2 2a , 4a
y=ax2+bx+c(a<0)
2
2
y 2 x
2
b 4ac b 2 当x 时, 最大值为 2a 4a
1
求下列抛物线的开口方向，顶点坐标，对称轴， 增减性，最值 2 2 （1） y x 2x 2 （2） y 2 x 8x （3） y 2 x 2 4 x 8
抛物线如何 y 2 x 4 x 5 平移得到
y ax2 bx c 2 b a x x c a
2 b b 2 b 2 a x x c a 2 a 2 a 2 b b2 a x 2 c 2a 4 a
2
1 的开口方向，对称轴，顶点坐标，增减性 2 不画图象，直接说出 y 2x 2 4x 1
1 2 不画图象，直接说出 y 2 x 2 x 3
的开口方向，对称轴，顶点坐标，增减性
函数y=ax²+bx+c的顶点式
一般地,对于二次函数y=ax² +bx+c,我们可以利用配方法 推导出它的对称轴和顶点坐标.
二次函数（六）
——配方法
学习口方 向，对称轴，顶点坐标及最值 2 2 理解二次函数 y ax bx c 的性质 3 在实际应用中体会二次函数作为一种数学 模型的作用，会利用二次函数的性质求实 际问题中的最大值或最小值 1
1 说出二次函数 y 4( x 2) 1 图象的 开口方向，对称轴，顶点坐标，增减 性 2 它是由y=-4x2怎样平移得到的