山东省淄博市2020年高一上学期数学期末考试试卷(II)卷
山东省淄博市2020年高一上学期数学期末考试试卷（II）卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共12题；共24分)
1. （2分）(2018·衡水模拟) 设全集为实数集，集合，
，则图中阴影部分所表示的集合为（）
A .
B .
C .
D .
2. （2分） (2017高一下·庐江期末) 某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一1000人、高二1200人、高三n人中，抽取81人进行问卷调查．已知高二被抽取的人数为30，那么n=（）
A . 860
B . 720
C . 1020
D . 1040
3. （2分） (2019高一上·怀宁月考) 幂函数的图象经过点，则的图象是（）
A .
B .
C .
D .
4. （2分） (2016高一上·宜昌期中) 已知函数y=f（x）和y=g（x）在[﹣2，2]上的图象如图所示．给出下
列四个命题：
①方程f[g（x）]=0有且仅有6个根；
②方程g[f（x）]=0有且仅有3个根；
③方程f[f（x）]=0有且仅有5个根；
④方程g[g（x）]=0有且仅有4个根．
其中正确的命题的个数为（）
A . 1
B . 2
C . 3
D . 4
5. （2分）已知一组观测值具有线性相关关系,若对于,求得,则线性回归方程是（）
A .
B .
C .
D .
6. （2分） (2019高一上·绵阳期中) 在用二次法求方程3x+3x-8=0在（1，2）内近似根的过程中，已经得到f（1）＜0，f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，则方程的根落在区间（）
A .
B .
C .
D . 不能确定
7. （2分）阅读下边的程序框图，若输出S的值为－14，则判断框内可填写（）
A . i<6？
B . i<8？
C . i<5？
D . i<7？
8. （2分）已知菱形ABCD的边长为4，∠ABC=150°，若在菱形内任取一点，则该点到菱形的四个顶点的距离大于1的概率（）
A .
B . 1-
C .
D . 1-
9. （2分）已知函数若在上单调递增，则实数a的取值范围为（）
A .
B .
C .
D .
10. （2分）设是奇函数，则使的的x取值范围是（0
A . （－1，0）
B . （0，1）
C .
D .
11. （2分）(2017·江西模拟) 某食品厂只做了3种与“福”字有关的精美卡片，分别是“富强福”、“和谐福”、“友善福”、每袋食品随机装入一张卡片，若只有集齐3种卡片才可获奖，则购买该食品4袋，获奖的概率为（）
A .
B .
C .
D .
12. （2分） (2016高一上·温州期末) 已知函数ft（x）=（x﹣t）2﹣t，t∈R，设f（x）= ，若0＜a＜b，则（）
A . f（x）≥f（b）且当x＞0时f（b﹣x）≥f（b+x）
B . f（x）≥f（b）且当x＞0时f（b﹣x）≤f（b+x）
C . f（x）≥f（a）且当x＞0时f（a﹣x）≥f（a+x）
D . f（x）≥f（a）且当x＞0时f（a﹣x）≤f（a+x）
二、填空题 (共4题；共5分)
13. （1分） (2016高一上·沭阳期中) 设lg（4a）+lgb=2lg（a﹣3b），则log3 的值为________．
14. （2分）某人有n把钥匙，其中一把是开门的，现随机取一把，取后不放回，则第k次能打开门的概率是________若取后放回，则第k次能打开门的概率是________．
15. （1分） (2017高一上·淮安期末) 已知f（x）是R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x ，则f（﹣9）=________．
16. （1分） (2017高一上·安庆期末) 定义新运算⊕：当a≥b时，a⊕b=a；当a＜b时，a⊕b=b2 ，则函数f（x）=（1⊕x）x﹣（2⊕x），x∈[﹣2，2]的最大值等于________．
三、解答题 (共6题；共70分)
17. （10分） (2016高二上·阳东期中) 已知函数f（x）=x2+ax+6．
（1）当a=5时，解不等式f（x）＜0；
（2）若不等式f（x）＞0的解集为R，求实数a的取值范围．
18. （15分）(2018·南阳模拟) 某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：
设农科所确定的研究方案是：先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．
（1）求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率；
（2）若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出y关于x的线性回归方程＝bx＋a；
（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠？
(注：＝＝， )
19. （10分） (2016高一上·南京期中) 已知定义域为R的函数f（x）= 是奇函数．
（1）求函数f（x）的解析式，并说明函数的单调性；
（2）解不等式f（2x+1）+f（x）＜0．
20. （15分） (2018高二上·齐齐哈尔月考) 汽车厂生产A,B,C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)：按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆．
轿车A轿车B轿车C
舒适型100150z
标准型300450600
（1）求z的值；
（2）用分层抽样的方法在类轿车中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；
（3）用随机抽样的方法从类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：
. 把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过的概率．
21. （5分） (2016高一上·宜昌期中) 已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若m，n∈[﹣1，1]，m+n≠0时，有＞0．
（Ⅰ）证明f（x）在[﹣1，1]上是增函数；
（Ⅱ）解不等式f（x2﹣1）+f（3﹣3x）＜0
（Ⅲ）若f（x）≤t2﹣2at+1对∀x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立，求实数t的取值范围．
22. （15分） (2018高一下·汕头期末) 已知函数，．
（1）若函数是奇函数，求实数的值；
（2）在在（1）的条件下，判断函数与函数的图像公共点个数，并说明理由；
（3）当时，函数的图象始终在函数的图象上方，求实数的取值范围．
参考答案一、选择题 (共12题；共24分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
二、填空题 (共4题；共5分)
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、解答题 (共6题；共70分)
17-1、
17-2、
18-1、
18-2、
18-3、
19-1、
19-2、
20-1、
20-2、
20-3、
21-1、
22-1、22-2、
22-3、。
淄博市重点中学2023届高一上数学期末质量跟踪监视试题含解析
轮上的点 P 的起始位置在距地面最近处.
（1）已知在 t(min)
时点
P
距离地面的高度为
f
(t)
A sin(t
)
h
A
0,
0,|
|
2
，求 t
2020 时，点
P
距离地面的高度；
（2）当离地面 (50 20 3)m 以上时，可以看到公园的全貌，求转一圈中在点 P 处有多少时间可以看到公园的全貌.
（Ⅰ）树叶沙沙声的强度为11012 （W / m2 ），耳语的强度为11010 （W / m2 ），无线电广播的强度为1108
（W / m2 ），试分别求出它们的强度水平； （Ⅱ）某小区规定：小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在 50 分贝以下（不含 50 分贝），试求声音强度 I 的取
值范围
21．如图，某公园摩天轮的半径为 40 m ，圆心 O 距地面的高度为 50 m ，摩天轮做匀速转动，每 3 min 转一圈，摩天
20．我们知道：人们对声音有不同 感觉，这与它的强度有关系，声音的强度用 I （单位：W / m2 ）表示，但在实际
的 测量时，常用声音的强度水平 LI
（单位：分贝）表示，它们满足公式： LI
10 lg
I I0
（ LI
0 ，其中 I0
11012
（W / m2 ））， I 0 是人们能听到的最小强度，是听觉的开始．请回答以下问题：
sin(
)
cos
sin
2
，
, 0 π ， ，
2
22
2
2
2 ， 2
故选：D 3、B 【解析】根据函数零点存在性定理判断即可
【详解】 f (2) ln 2 1 0 ， f (3) ln 3 2 0， f (2) f (3) 0 ，故零点所在区间为 (2,3) 3
山东省淄博市2020年高一上学期数学期末考试试卷A卷
山东省淄博市2020年高一上学期数学期末考试试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2017高一上·绍兴期末) 若集合A={﹣1，0，1，2}，集合B={﹣1，1，3，5}，则A∩B等于（）A . {﹣1，1}B . {﹣1，0，1}C . {﹣1，0，1，2}D . {﹣1，0，1，2，3，5}2. （2分）(2012·江西理) 若tanθ+ =4，则sin2θ=（）A .B .C .D .3. （2分）已知定义域在上的奇函数是减函数,且,则a的取值范围是（）A . (2,3)B . (3,)C . (2,4)D . (－2,3)4. （2分） (2016高一下·随州期末) f（x）= ，则f（f（﹣1））等于（）A . ﹣2B . 2C . ﹣4D . 45. （2分） (2016高一上·浦东期末) 给定实数x，定义[x]为不大于x的最大整数，则下列结论中不正确的是（）A . x﹣[x]≥0B . x﹣[x]＜1C . 令f（x）=x﹣[x]，对任意实数x，f（x+1）=f（x）恒成立D . 令f（x）=x﹣[x]，对任意实数x，f（﹣x）=f（x）恒成立6. （2分）(2017·奉贤模拟) 已知函数（α∈[0，2π））是奇函数，则α=（）A . 0B .C . πD .7. （2分）已知，，则（）A . 3B . 8C . 4D .8. （2分） (2017高三上·赣州期末) 函数y= （x≠0）的图象大致是（）A .B .C .D .9. （2分）(2013·重庆理) 4cos50°﹣tan40°=（）A .B .C .D . 2 ﹣110. （2分） (2016高一上·杭州期末) 已知函数f（x）=Atan（ωx+φ）（ω＞1，|φ|＜），y=f（x）的部分图象如图，则f（）=（）A .B .C .D .11. （2分）设函数f（x）=cos2x﹣2sinxcosx﹣sin2x，g（x）=2cos2x+2sinxcosx﹣1，把f（x）的图象向右平移m个单位后，图象恰好为函数g（x）的图象，则m的值可以是（）A . πB . πC .D .12. （2分）已知关于x的不等式2x2﹣2mx+m＜0的解集为A，其中m＞0，若集合A中恰好有两个整数，则实数m的取值范围是（）A . （，）B . （， ]C . （，）D . （， ]二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高一上·郁南月考) 关于下列结论：①函数y=2x的图象与函数y=log2x的图象关于y轴对称；②函数y=ax+2(a>0且a≠1)的图象可以由函数y=ax的图象平移得到；③方程log5(2x+1)=log5(x2-2)的解集为{-1,3}；④函数y=ln(1+x)-ln(1-x)为奇函数.其中不正确的是________.14. （1分）已知cos（﹣θ）= ，则sin（+θ）的值是________．15. （1分）函数f（x）=2sin（2x+ ），g（x）=mcos（2x﹣）﹣2m+3＞0，m＞0，对任意x1∈[0， ]，存在x2∈[0， ]，使得g（x1）=f（x2）成立，则实数m的取值范围是________．16. （1分） (2016高一上·六安期中) 已知函数f（x）= ，若f（a）=1，则实数a=________．三、解答题 (共6题；共55分)17. （5分）若cosα= ，α是第四象限角，求．18. （15分） (2018高一上·大石桥期末) 已知cos(75°＋α)＝，α是第三象限角，（1）求sin(75°＋α) 的值．（2）求cos(α－15°) 的值．（3）求sin(195°－α)+cos(105o－α)的值．19. （10分）求下列函数的值域．y = 1 − 2 cos 2 x + 2 sin x（1）；（2） .20. （10分） (2017高一上·双鸭山月考) 若是定义在上的增函数，且对一切，，满足．（1）求的值；（2）若，解不等式．21. （5分）已知函数f（x）= sin cos ﹣ sin2（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若f（2A）=0，且a=1求△ABC面积的最大值．22. （10分） (2019高一上·张家口月考) 已知函数 .（1）判断的单调性，并证明你的结论；（2）求的最大值和最小值.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共55分) 17-1、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、。
山东省淄博市桓台第一中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题
山东省淄博市桓台第一中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题一、单选题1．已知集合(){},3A x y x y =+=，集合(){},1B x y x y =-=，则A B ⋂等于（ ） A ．{2,1}B ．(){2,1}C ．{2,1}x y ==D ．()2,12．已知集合{}2,3,4,7A ⊆，且A 中至少有一个奇数，则这样的集合A 的个数为（ ） A ．11B ．12C ．13D ．143．已知集合1|,6M x x m m ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z ，1|,23n N x x n ⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭Z ，1|,26p P x x p ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z ，则M 、N 、P 的关系满足（ ）． A ．M N P =⊂ B ．M N P ⊂= C ．M N P ⊂⊂ D ．N P M ⊂⊂4．设R a ∈，则“9a >”是“119a <”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件5．已知函数()23132f x x x +=++，则A ．30B ．6C ．9D ．206．已知函数(1)f x +的定义域为(－2,0)，则(21)f x -的定义域为（ ）A ．(－1,0)B ．(－2,0)C ．(0,1)D ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭7．已知关于x 的不等式22430(0)x ax a a -+<<的解集为()12x x ，，则1212ax x x x ++的最大值是（ ） AB．CD．二、多选题8．下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（ ）A ．()f x =与()g x =B ．()f x x =与()g xC ．()xf x x =与()1,01,0x g x x >⎧=⎨-<⎩ D ．()21f x x x =-+与()21g t t t =-+9．下列命题为真命题的是（ ） A ．2,1x x ∃∈≤RB ．22a b =是a b =的必要不充分条件C ．集合{}2(,)|x y y x =与集合{}2|y y x =表示同一集合 D ．设全集为R ，若A B ⊆，则R R C B C A ⊆10．以下结论正确的是（ ）A ．函数1y x x=+的最小值是2； B ．若,R a b ∈且0ab >，则2b aa b+≥；C ．y =的最小值是2；D ．函数12(0)y x x x=++<的最大值为0．11．若x ，y 满足221+-=x y xy ，则（ ）A ．1x y +≤B ．2x y +≥-C ．222x y +≤D ．221x y +≥三、填空题12．若集合{}213A x x =-<，2103x B xx ⎧⎫+=<⎨⎬-⎩⎭，则A B =I . 13．某班举行数学、物理、化学三科竞赛，每人至少参加一科，已知参加数学竞赛的有27人，参加物理竞赛的有25人，参加化学竞赛的有27人，其中同时只参加数学、物理两科的有10人，同时只参加物理、化学两科的有7人，同时只参加数学、化学两科的有11人，而参加数学、物理、化学三科的有4人，则全班共有人．四、解答题14．设全集为R ，集合{}2560A x x x =-->，{}121B x a x a =+<<-(1)若4a =，求A B U ，A B ⋂R ð；(2)若()A B =∅R I ð，求实数a 的取值范围. 15．已知25x y <+<，36x y <-<. (1)求x 的取值范围； (2)求x yx y-+的取值范围； (3)求23x y -的取值范围.16．已知函数22,1(),122,2x x f x x x x x +≤⎧⎪=<<⎨⎪≥⎩ (1)求3(3),,[(0)]2f f f f ⎛⎫⎪⎝⎭；(2)画出函数()f x 的图象； (3)若()5f a ≤，求a 的取值范围．17．设函数2()(1)2(R)f x ax a x a a =+-+-∈(1)若不等式()2f x ≥-对一切实数x 恒成立，求a 的取值范围； (2)解关于x 的不等式：()1f x a <-．。
山东省淄博市2020-2021学年高一上学期期末数学试卷
2020-2021学年山东省淄博市高一（上）期末数学试卷1.已知集合A={x|3x<13}，B={−3,−2,−1,0,1,2}，则(∁R A)⋂B=( )A. {−3,−2}B. {−3,−2,−1}C. {0,1,2}D. {−1,0,1,2}2.已知扇形的周长为8，扇形圆心角的弧度数是2，则扇形的面积为( )A. 2B. 4C. 6D. 83.下列函数是偶函数且在(0,+∞)上单调递增的是( )A. f(x)=−x 12 B. f(x)=3−x C. f(x)=log2|x| D. f(x)=1x44.用二分法求方程log2x+x=2的近似解时，可以取的一个区间是( )A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)5.已知a=212，b=313，c=ln52，则( )A. b>c>aB. a>c>bC. b>a>cD. a>b>c6.函数f(x)=x1−x2的图象大致是( )A. B.C. D.7.已知实数x>3，则4x+9x−3的最小值是( )A. 24B. 12C. 6D. 38.我们知道：y=f(x)的图象关于原点成中心对称图形的充要条件是y=f(x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：y=f(x)的图象关于(a,b)成中心对称图形的充要条件是y=f(x+a)−b为奇函数.若f(x)=x3+3x2的对称中心为(m,n)，则f(2019)+f(2017)+f(2015)+…+f(3)+ f(1)+f(−3)+f(−5)+…+f(−2017)+f(−2019)+f(−2021)=( )A. 8080B. 4040C. 2020D. 1010A. lg2−lg 14+3lg5=3 B. 命题“∀x >0，2x >1”的否定为“∃x ≤0，2x ≤1”C. “α=β”是“sinα=sinβ”成立的充分不必要条件D. 若幂函数f(x)=x α(α∈R)经过点(18,2)，则α=−310. 若角α为钝角，且sinα+cosα=−15，则下列选项中正确的有( )A. sinα=45 B. cosα=−45 C. tanα=−43D. sinαcosα=−122511. 设a >b >0，c ≠0，则下列不等式成立的是( )A. a −c >b −cB.c 2a>c 2b C. a b <a+cb+cD. a −1a >b −1b12. 三元均值不等式：“当a ，b ，c 均为正实数时，a+b+c 3≥√abc 3，即三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，当且仅当a =b =c 时等号成立.”利用上面结论，判断下列不等式成立的有( ) A. 若x >0，则x 2+2x ≥3B. 若0<x <1，则x 2(1−x)≤19C. 若x >0，则2x +1x 2≥3D. 若0<x <1，则x(1−x)2≤1913. 函数f(x)=(12)1−x 2的值域为__________.14. 已知函数f(x)={x 2−3x,x ≤0log 2x,x >0，若f(a)=4，则实数a =__________.15. 若sin(π3−α)=15，则sin(2π3+α)=__________，cos(5π6−α)=__________.16. 已知函数f(x)=2x +ax 2(a >0)，g(x)=x 2−4x +1.若对任意x 1∈[−1,2]，总存在x 2∈[−1,2]，使得f(x 1)=g(x 2)，则实数a 的取值范围是__________. 17. 已知角α终边上一点P(1,2).(1)求sinα+2cosαsinα−cosα的值； (2)求cos(11π2−α)+sin(9π2+α)的值.18. 已知集合A ={x|(x −a)(x +1)>0}(a ∈R)，B ={x|−1<log 2x ≤1}.(1)当a =1时，求A⋂B ；(2)是否存在实数a ，使得_____成立？请在①A⋂B =B ，②A⋂B =⌀，③B ⊆(∁R A)这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中；若问题中的实数a 存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由.19.已知函数g(x)=asin(2x+π6)+b(a>0,b∈R).若函数g(x)在区间[0,π2]上的最大值为3，最小值为0.(1)求函数g(x)的解析式；(2)求出g(x)在(0,π)上的单调递增区间.20.某乡镇为打造成“生态农业特色乡镇”，决定种植某种水果，该水果单株产量M(x)(单位：千克)与施用肥料x(单位：千克)满足如下关系：M(x)={5(x2+3),0≤x≤250x1+x+53,2<x≤5，单株成本投入(含施肥、人工等)为30x元.已知这种水果的市场售价为15元/千克，且销路畅通供不应求，记该水果树的单株利润为f(x)(单位：元).(1)求f(x)的函数关系式；(2)当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？21.已知一元二次函数f(x)=ax2−x+1(a≠0).(1)若0<a≤1，证明函数f(x)在区间(−∞,12]上单调递减；(2)若函数f(x)在区间[1,4]上的最小值为−2，求实数a的值.22. 函数f(x)的定义域为D ，若x 0∈D ，满足f(x 0)=x 0，则称x 0为f(x)的不动点.已知函数f(x)={3−3x,0≤x ≤1log 3x,1<x ≤3，g(x)=f(f(x)).(1)试判断g(x)不动点的个数，并给予证明；(2)若“∃x ∈[0,23),g(x)−1>log 3(1+x)+log 3(x +k)”是真命题，求实数k 的取值范围.答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】化简集合A，根据补集与交集的定义，运算即可．本题考查了集合的化简与运算问题．【解答】}={x|x<−1}，解：集合A={x|3x<13所以∁R A={x|x≥−1}；又集合B={−3,−2,−1,0,1,2}，所以(∁R A)⋂B={−1,0,1,2}.故选D.2.【答案】B【解析】【分析】设出扇形的半径，求出扇形的弧长，利用周长公式，求出半径，然后求出扇形的面积．本题是基础题，考查扇形的面积公式的应用，考查计算能力．【解答】解：设扇形的半径为R，所以2R+2R=8，所以R=2，扇形的弧长为4，半径为2，×4×2=4.扇形的面积为S=12故选B.3.【答案】C【解析】可看出选项A，B的函数都是非奇非偶函数，选项D的函数在(0,+∞)上是减函数，从而只能选C.本题考查了函数奇偶性，幂函数、指数函数和对数函数的单调性，属于基础题．【解答】解：f(x)=−x 12和f(x)=3−x都是非奇非偶函数；f(x)=log2|x|是偶函数，且在(0,+∞)上单调递增；f(x)=1x4是偶函数，在(0,+∞)上单调递减．故选C.4.【答案】B【解析】【分析】令f(x)=log2x+x−2，分别求出f(1)，f(2)，然后利用零点的存在性定理即可判断得到答案．本题考查了二分法，涉及了函数零点的存在性定理的应用，属于基础题．【解答】解：令f(x)=log2x+x−2，则f(1)=log21+1−2=−1<0，f(2)=log22+2−2=1>0，故f(1)f(2)<0，由零点的存在性定理可得，在区间(1,2)内存在函数的零点，故方程log2x+x=2的近似解可以取的一个区间是(1,2).故选B.5.【答案】C【解析】【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．【解答】解：∵a =212>20=1，b =313>30=1，a 6=23=8，b 6=32=9，∴a <b ，c =ln 52<lne =1，∴b >a >c.故选C.6.【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和对称性，利用排除法进行判断即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性和对称性的关系，结合排除法是解决本题的关键，是中档题． 【解答】解：函数的定义域为{x|x ≠±1}，f(−x)=−x 1−x 2=−f(x)，为奇函数，图象关于原点对称，排除CD ， 当x >1时，f(x)<0，排除B ， 故选A.7.【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了基本不等式的性质，属于基础题． 4x +9x−3=4(x −3)+9x−3+12，利用基本不等式的性质，即可求得最小值．【解答】解：∵x >3，∴x −3>0，4x +9x−3=4(x −3)+9x−3+12≥12+2√4(x −3)×9x−3=24， 当且仅当4(x −3)=9x−3，即x =92时，取得最小值24.8.【答案】B【解析】【分析】根据对称性的定义求出函数的对称中心，结合对称性进行转化求解即可．本题主要考查函数值的计算，结合对称性的定义求出函数的对称中心，然后进行转化是解决本题的关键，是拔高题．【解答】解：若函数f(x)=x3+3x2图象的对称中心为(m,n)，则y=f(x+m)−n为奇函数，即y=(x+m)3+3(x+m)2−n=x3+(3m+3)x2+(3m2+6m)x+m3+3m2−n为奇函数，必有3m+3=0且m3+3m2−n=0，解得m=−1，n=2，则f(x)的对称中心为(−1,2)，所以f(−2+x)+f(−x)=4，设S=f(2019)+f(2017)+f(2015)+…+f(3)+f(1)+f(−3)+f(−5)+…+f(−2017)+f(−2019)+f(−2021)，则S=f(−2021)+f(−2019)+f(−2017)+…+f(3)+f(5)+…+f(2017)+f(2019)，由−2021=2019−2(n−1)，得n=2021，去掉f(−1)项，共2020项，则两式相加得2S=[f(2019)+f(−2021)]+[f(2017)+f(−2019)]+…+[f(−2021)+f(2019)]=4+4+…+4=4×2020，所以S=2×2020=4040，故选B.9.【答案】AC【解析】【分析】A根据对数运算判断；B根据全称量词命题的否定定义判断；C根据充分条件和必要条件概念判断；D 根据幂函数函数值运算判断．本题以命题的真假判断为载体，考查了幂函数与对数的基本运算，考查了全称量词命题的否定概念，属中档题．【解答】解：对于A ，lg2−lg 14+3lg5=lg2+lg4+lg53=lg(2×4×53)=lg103=3，所以A 正确；对于B ，命题“∀x >0，2x >1”的否定为“∃x >0，2x ≤1”，所以B 错误； 对于C ，α=β⇒sinα=sinβ，反之未必成立，如sin0=sinπ，0≠π， 即“α=β”是“sinα=sinβ”成立的充分不必要条件，所以C 正确；对于D ，幂函数f(x)=x α(α∈R)经过点(18,2)，则(18)α=2，α=−13，所以D 错误． 故选AC.10.【答案】BD 【解析】 【分析】本题考查同角三角函数间的基本关系，考查运算能力，是基本知识的考查． 根据sinα+cosα=−15，sin 2α+cos 2α=1，角α为钝角，求得α的三角函数值．【解答】解：∵角α为钝角， ∴sinα>0，cosα<0，联立方程组{sinα+cosα=−15sin 2α+cos 2α=1，解得{sinα=35cosα=−45， ∴tanα=sinαcosα=−34，sinα⋅cosα=−1225. 观察选项，选项BD 符合题意． 故选BD.11.【答案】AD 【解析】 【分析】根据不等式的性质对选项中的命题判断正误即可．本题主要考查了不等式的性质和应用问题，熟练掌握不等式成立的性质是解题的关键，是中档题． 【解答】解：对于A，因为a>b>0，c≠0，所以a−c>b−c，所以A正确；对于B，因为a>b>0，c≠0，所以c2>0，1a <1b，所以c2a<c2b，所以B错误；对于C，因为a>b>0，当b+c<0且a+c>0时，ab >0>a+cb+c，所以C错误；对于D，因为a>b>0，所以1a <1b，所以−1a>−1b，所以a−1a>b−1b，所以D正确．故选AD.12.【答案】AC【解析】【分析】根据已知将原式变形为，a+b+c3≥√abc3，即可判断．本题考查了新定义三元均值不等式的应用，属于拔高题．【解答】解：对于A：x>0，x2+2x =x2+1x+1x≥3√x2⋅1x⋅1x3=3，当且仅当x=1时取等号，故A正确，对于B：∵0<x<1，∴1−x>0，x2(1−x)=12x⋅x⋅(2−2x)≤12(x+x+2−2x3)3=427，当且仅当x=23时取等号，故B错误，对于C：x>0，2x+1x2=x+x+1x2≥3√x⋅x⋅1x23=3，当且仅当x=1时取等号，故C正确，对于D：∵0<x<1，∴1−x>0，x(1−x)2=12×2x(1−x)(1−x)≤12(2x+1−x+1−x3)3=427，当且仅当x=13时取等号，故D错误．故选AC.13.【答案】[12,+∞)【解析】【分析】本题主要考查指数函数值域的求解，注意换元法的使用．利用换元法，结合指数函数的性质进行求解即可．解：设t =1−x 2，则t ≤1， 所以y =(12)t ≥(12)1=12，所以函数f(x)=(12)1−x 2的值域为[12,+∞),故答案为[12,+∞).14.【答案】−1或16 【解析】 【分析】本题考查了函数的求值问题，主要考查的是分段函数的应用. 直接利用分段函数的解析式，分两种情况分别求解，即可得到答案． 【解答】解：当a ≤0时，则有a 2−3a =4，解得a =−1或a =4(舍)； 当a >0时，则有log 2a =4，解得a =16. 故a =−1或16. 故答案为：−1或16.15.【答案】15−15【解析】 【分析】由题意利用诱导公式，计算求得结果． 本题主要考查诱导公式的应用，属于基础题． 【解答】解：若sin(π3−α)=15，则sin(2π3+α)=sin[π−(π3−α)]=sin(π3−α)=15； cos(5π6−α)=cos(π2+π3−α)=−sin(π3−α)=−15， 故空1答案为：15；空2答案为：−15.16.【答案】(0,12]【解析】【分析】本题考查了恒成立问题，涉及了二次函数求最值、函数单调性的应用，对于此类问题一般会转化为两个函数值域的包含关系进行研究，属于较难题．先求出g(x)在[−1,2]上的值域，设函数f(x)的值域为A，然后将问题转化为A⊆[−3,6]，进而研究函数f(x)的取值情况，得到f(x)>0恒成立，又f(x)的最大值为f(2)，则f(2)≤6，求解即可．【解答】解：函数g(x)=x2−4x+1=(x−2)2−3，因为x2∈[−1,2]，所以g(x2)∈[−3,6]，因为对任意x1∈[−1,2]，总存在x2∈[−1,2]，使得f(x1)=g(x2)，设函数f(x)的值域为A，所以A⊆[−3,6]，又2x>0，ax2≥0，故f(x)>0在[−1,2]上恒成立，又f(x)在[0,2]上单调递增，所以f(x)的最大值为f(2)=4+4a≤6，解得a≤12，又a>0，所以实数a的取值范围是(0,12].故答案为(0,12].17.【答案】解：(1)因为α终边上一点P(1,2)，所以tanα=yx=2，所以sinα+2cosαsinα−cosα=tanα+2tanα−1=4.(2)角α终边上一点P(1,2)，则r=|OP|=√12+22=√5，所以sinα=yr =√5=2√55，cosα=xr=√5=√55，所以cos(11π2−α)+sin(9π2+α)=−sinα+cosα=−√55.【解析】(1)由α终边上一点P(1,2)，得tanα=y x=2，由此能求出sinα+2cosαsinα−cosα的值．(2)由角α终边上一点P(1,2)，求出sinα=y r=√5=2√55，cosα=x r=√5=√55，由此能求出cos(11π2−α)+sin(9π2+α)的值．本题考查三角函数值的求法，考查任意角三角函数的定义、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18.【答案】解：(1)若a =1，则A ={x|(x −1)(x +1)>0}=(−∞,−1)⋃(1,+∞)， 解不等式−1<log 2x ≤1，得，12<x ≤2，所以集合B =(12,2], 所以A⋂B =(1,2]. (2)由于B =(12,2],若选①A⋂B =B ，则B ⊆A ，当a ≥−1时，集合A =(−∞,−1)⋃(a,+∞)， 要使B ⊆A ，则需a ≤12，所以−1≤a ≤12；当a <−1时，集合A =(−∞,a)⋃(−1,+∞)，此时满足B ⊆A ， 所以若选①，则实数a 的取值范围为{a|a ≤12}；若选②A⋂B =⌀，当a ≥−1时，集合A =(−∞,−1)⋃(a,+∞)， 要使A⋂B =⌀，则需a ≥2，所以a ≥2；当a <−1时，集合A =(−∞,a)⋃(−1,+∞)，此时不满足A⋂B =⌀， 所以若选②，则实数a 的取值范围为{a|a ≥2}； 若选③B ⊆(∁R A)，B =(12,2],当a >−1时，集合A =(−∞,−1)⋃(a,+∞)，∁R A =[−1,a]， 要使B ⊆(∁R A)，则需a ≥2，所以a ≥2；当a =−1时，集合A =(−∞,−1)⋃(−1,+∞)，此时(C R A)={−1}，不满足条件B ⊆(∁R A)；当a <−1时，集合A =(−∞,a)⋃(−1,+∞)，此时∁R A =[a,−1]，B⋂(∁R A)=⌀，不满足条件B ⊆(∁R A)； 所以若选③，则实数a 的取值范围为{a|a ≥2}.【解析】本题考查交集、补集、并集、实数的取值范围的求法，考查交集、补集、并集的定义等基础知识，考查运算求解能力，属于拔高题．(1)求出a =1时集合A ，化简集合B ，根据交集的定义写出A⋂B ； (2)由集合知识可以解出集合B ，若选①A⋂B =B ，则B ⊆A ，对集合A 进行分类求解，再利用集合的子集解出； 若选②A⋂B =⌀，对集合A 进行分类求解，再利用集合的交集解出； 若选③B ⊆(∁R A)，对集合A 进行分类求解，再利用集合的子集，补集解出．19.【答案】解：(1)由题意知，若x ∈[0,π2]，则π6≤2x +π6≤7π6，所以sin(2x +π6)∈[−12,1]，又因为a >0，所以{a +b =3−12a +b =0，得a =2，b =1；所以g(x)=2sin(2x +π6)+1；(2)令2kπ−π2≤2x +π6≤2kπ+π2,k ∈Z ，得到kπ−π3≤x ≤kπ+π6,k ∈Z ，当k =0时，−π3≤x ≤π6； 当k =1时，2π3≤x ≤7π6，所以g(x)在(0,π)上的单调递增区间为(0,π6]和[2π3,π).【解析】本题主要考查了y =Asin(ωx +φ)+b 的图象及性质，属于中档题． (1)由题意知，利用正弦函数的性质可得sin(2x +π6)∈[−12,1]，又a >0，可得{a +b =3−12a +b =0，解得a ，b 的值，即可求g(x)的函数解析式； (2)根据正弦函数的单调性即可求解．20.【答案】解：(1)由题意得：f(x)=15M(x)−30x ， 则函数f(x)的解析式为：f(x)={75x 2−30x +225,0≤x ≤2750x 1+x−30x +25,2<x ≤5；(2)由(1)得f(x)={75x 2−30x +225,0≤x ≤2750x 1+x −30x +25,2<x ≤5；(i)当0≤x ≤2时，f(x)=75(x −15)2+222， 当x =2时，f(2)=465；(ii)当2<x ≤5时，f(x)=750x 1+x−30x +25=805−30[251+x+(1+x)]≤805−30×2√251+x ⋅(1+x)=505，当且仅当251+x =1+x 时，即x =4时等号成立， 因为465<505，所以当x =4时，f(x)max =505，所以当施用肥料为4千克时，种植该果树获得的最大利润是505元．【解析】本题考查了根据实际问题建立函数模型，涉及到分段函数求最大值的问题，考查了学生的运算能力．(1)由题意得：f(x)=15M(x)−30x ，然后即可求解； (2)根据(1)，分段求出函数的最大值，比较即可求解．21.【答案】(1)证明：根据题意，设x 1<x 2≤12，则f(x 1)−f(x 2)=(ax 12−x 1+1)−(ax 22−x 2+1)=(x 1−x 2)[a(x 1+x 2)−1]， 因为x 1<x 2，得x 1−x 2<0； 因为x 1<12,x 2≤12，得x 1+x 2<1，且0<a ≤1，得a(x 1+x 2)<a ≤1，即a(x 1+x 2)−1<0； 所以f(x 1)−f(x 2)>0成立，即f(x 1)>f(x 2)； 函数f(x)在区间(−∞,12]上单调递减；(2)解：根据题意，f(x)=ax 2−x +1，其对称轴为x =12a ， 分4种情况讨论：①当a <0时，此时f(x)的对称轴12a<0，函数f(x)=ax 2−x +1在区间[1,4]上单调递减，此时f(x)min =f(4)=16a −3=−2，得a =116，不符合题意； ②当0<a ≤18时，此时f(x)的对称轴12a ≥4， 函数f(x)=ax 2−x +1在区间[1,4]上单调递减，此时f(x)min =f(4)=16a −3=−2，得a =116，符合题意； ③当18<a ≤12时，此时f(x)的对称轴满足1≤12a <4， 此时函数f(x)=ax 2−x +1的最小值为f(x)min =f(12a )=4a−14a=−2，解得a =112，不符合题意；④当a >12时，此时f(x)的对称轴满足0<12a <1，函数在区间[1,4]上单调递增，f(x)min =f(1)=a =−2，不符合题意． 综合可得：a =116.【解析】(1)根据题意，作差分析可得结论．(2)根据题意，结合二次函数的对称轴和单调性，按a 的取值范围分4种情况讨论，求出a 的值，综合可得答案．本题考查二次函数的性质以及应用，涉及函数的单调性证明．22.【答案】解：g(x)=f(f(x))={log 3(3−3x),(0≤x <23)3−3(3−3x),(23≤x ≤1)3−3log 3x,(1<x ≤3)={log 3(3−3x),(0≤x <23)9x −6,(23≤x ≤1)3−3log 3x,(1<x ≤3). (1)下面分区间讨论g(x)的不动点个数．①当0≤x <23时，g(x)=x ⇒log 3(3−3x)=x ⇒x −log 3(1−x)−1=0，因为函数ℎ(x)=x −log 3(1−x)−1在[0,23)上单调递增，ℎ(0)=−1<0，ℎ(23)=23>0，所以ℎ(x)在[0,23)内存在唯一零点，即g(x)在[0,23)内存在唯一不动点；②当23≤x ≤1时，g(x)=x ⇒9x −6=x ，解得x =34， 即g(x)在[23,1]内存在唯一不动点；③当1<x ≤3时，g(x)=x ⇒3−3log 3x =x ；φ(x)=x +3log 3x −3在(1,3]上单调递增，φ(1)=−2<0，φ(3)=3>0， 所以φ(x)=x +3log 3x −3在(1,3]内有唯一零点，即g(x)在(1,3]内存在唯一不动点； 综上所述，g(x)有3个不动点．(2)因为“∃x ∈[0,23),g(x)−1>log 3(1+x)+log 3(x +k)”是真命题， 所以{ log 3(3−3x)−1>log 3(x +1)+log 3(x +k)0≤x <23x +1>0x +k >0有解，即{log 3(1−x)−log 3(x +1)>log 3(x +k)0≤x <23x >−k有解，所以{1−x 1+x>x +k0≤x <23−x <k有解，即{k <2x+1−(x +1)−x <k 0≤x <23有解，即{−x <k <2x+1−(x +1)0≤x <23有解， 令p(x)=−x ，q(x)=2x+1−(x +1)，函数p(x)与q(x)在[0,23)上都是减函数，值域分别为(−23,0]和(−715,1]；所以k 的取值范围是(−23,1).【解析】本题主要考查命题的真假应用，考查了不等式性质，考查了复合函数，理解新定义是是解决本题的关键，属于难题．(1)用函数复合运算求出函数解析式，理解新定义，分段讨论，解方程确定不动点个数； (2)对命题等价变换，用函数值域确定取值范围．第18页，共1页。
2022年山东省淄博市第一中学高一数学理上学期期末试题含解析
2022年山东省淄博市第一中学高一数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数y=sin2x﹣2sin2x+1的最大值为（）A．2 B．C．3 D．参考答案：B【考点】三角函数的最值．【分析】使用二倍角公式和两角和的正弦公式化简，根据正弦函数的性质得出最大值．【解答】解：y=sin2x+cos2x=sin（2x+）．∴y的最大值是．故选：B．2. 设集合A={x|1≤x≤2}，B={y|1≤y≤4}，则下述对应法则f中，不能构成A到B的映射的是（）A．f：x→y=x2 B．f：x→y=3x﹣2 C．f：x→y=﹣x+4 D．f：x→y=4﹣x2参考答案：D【考点】映射．【分析】按照映射的定义，一个对应能构成映射的条件是，A中的每个元素在集合B中都有唯一的确定的一个元素与之对应．判断题中各个对应是否满足映射的定义，从而得到结论．【解答】解：对于对应f：x→y=x2，当1≤x≤2 时，1≤x2≤4，在集合A={x|1≤x≤2}任取一个值x，在集合B={y|1≤y≤4}中都有唯一的一个y值与之对应，故A中的对应能构成映射．对于对应f：x→y=3x﹣2，当1≤x≤2 时，1≤3x﹣2≤4，在集合A={x|1≤x≤2}任取一个值x，在集合B={y|1≤y≤4}中都有唯一的一个y值与之对应，故B中的对应能构成映射．对于对应f：x→y=﹣x+4，当1≤x≤2 时，2≤﹣x+4≤3，在集合A={x|1≤x≤2}任取一个值x，在集合B={y|1≤y≤4}中都有唯一的一个y值与之对应，故B中的对应能构成映射．对于对应f：x→y=4﹣x2 ，当x=2 时，y=0，显然y=0不在集合B中，不满足映射的定义，故D中的对应不能构成A到B的映射．故选D．3. 幂函数f（x）=（m2﹣4m+4）x在（0，+∞）为增函数，则m的值为（）A．1或3 B．1 C．3 D．2参考答案：B【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】根据幂函数的定义与性质，得出关于m的不等式组，求出m的取值范围即可．【解答】解：幂函数f（x）=（m2﹣4m+4）x在（0，+∞）为增函数，∴，解得，所以m的值为1．故选：B．4. 数列{a n}前n项和为S n，，，，若，则k= （）A. 1344B. 1345C. 1346D. 1347参考答案：C【分析】首先由递推关系确定数列的特征，然后结合数列的通项公式求解实数k的值即可.【详解】由题意有：当时，，两式作差可得：，由于，故，即数列的奇数项、偶数项分别构成一个公差为3的等差数列，，据此可得，则数列的通项公式为：，，，加2后能被3整除，则.本题选择C选项.【点睛】数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．5. 已知|a|=3，|b|=5，且a+b与a-b垂直，则等于( )(A) (B) ±(C) ±(D) ±参考答案：B6. 下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )．参考答案：A7. 已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）单调递增，则满足f（）＜f（x）的x取值范围是( )A．（2，+∞）B．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）C．[﹣2，﹣1）∪（2，+∞）D．（﹣1，2）参考答案：B【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】计算题．【分析】根据已知中偶函数f（x）在区间[0，+∞）单调递增，我们易分析出函数f（x）的单调性，进而将不等式f（）＜f（x）转化为一个关于x的一元二次不等式，解不等式后，结合不等式有意义的x的取值范围，即可得到答案．【解答】解：∵偶函数f（x）在区间[0，+∞）单调递增，∴函数f（x）在区间（﹣∞，0]单调递减，则不等式f（）＜f（x）可化为：||＜|x|即x+2＜x2，即x2﹣x﹣2＞0解得x＜﹣1，或x＞2又∵当x＜﹣2时，无意义故满足f（）＜f（x）的x取值范围是[﹣2，﹣1）∪（2，+∞）故选C．【点评】本题考查的知识点是奇偶性与单调性的综合应用，其中根据已知条件判断出函数f（x）的单调性是解答本题的关键，但本题解答过程中易忽略当x＜﹣2时，无意义，而错选B．8. 计算的值等于（）A．B．C．D．参考答案：A略9. 已知A={0，1，2，3，4}，B={1，3，5}，则A∩B为( )A．{0，2} B．{1，3} C．{0，1，3} D．{2}参考答案：B【考点】交集及其运算．【专题】计算题．【分析】根据题意，分析集合A与B的全部元素，由交集的定义即可得答案．【解答】解：根据题意，集合A={0，1，2，3，4}，B={1，3，5}，则A∩B={1，3}；故选B．【点评】本题考查集合交集的计算，关键是理解交集的含义．10. 已知映射f：M→N，其中集合M={（x，y）|xy=1，x＞0}，且在映射f的作用下，集合M中的元素（x，y）都变换为（log2x，log2y），若集合N中的元素都是集合M中元素在映射f下得到的，则集合N是（）A．{（x，y）|x+y=0} B．{（x，y）|x+y=0，x＞0} C．{（x，y）|x+y=1} D．{（x，y）|x+y=1，x＞0}参考答案：A【考点】映射．【专题】计算题；函数思想；分析法；函数的性质及应用．【分析】由题意可知N中元素的横纵坐标之和为0，以此确定N中元素的条件即可．【解答】解：∵xy=1，x＞0，∴log2x+log2y=log2xy=log21=0，由此排除C，D，由题意可知，N中的元素横坐标是任意实数，故选：A．【点评】本题考查映射的概念，注意对题目隐含条件的挖掘是解题的关键，属中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在△ABC中，，，. 若，，且，则的值为______________.参考答案：,则.【考点】向量的数量积【名师点睛】根据平面向量的基本定理，利用表示平面向量的一组基地可以表示平面内的任一向量，利用向量的定比分点公式表示向量，计算数量积，选取基地很重要，本题的已知模和夹角，选作基地易于计算数量积.12. 定义运算：.若，则______ 参考答案：【分析】根据定义得到，计算，，得到，得到答案.【详解】，，故，.，故.故答案为：.【点睛】本题考查了三角恒等变换，变换是解题的关键.13. 对于任意的实数表示中较小的那个数，若，，则的最大值是________．参考答案：1略14. 直线l1: x+ay+6=0与l2: (a-2)x+3y+2a=0平行，则的值为. 参考答案：-115. 已知奇函数f（x）是定义在（﹣1，1）上的减函数，且f（1﹣t）+f（1﹣t2）＜0，则 t的取值范围是．参考答案：（0，1）【考点】抽象函数及其应用；奇偶性与单调性的综合．【专题】函数的性质及应用．【分析】由已知中奇函数f（x）是定义在（﹣1，1）上的减函数，可将f（1﹣t）+f（1﹣t2）＜0转化为﹣1＜t2﹣1＜1﹣t＜1，解得 t的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）是定义在（﹣1，1）上的减函数，且是奇函数，故f（1﹣t）+f（1﹣t2）＜0可化为：即f（1﹣t）＜﹣f（1﹣t2），即f（1﹣t）＜f（t2﹣1），即﹣1＜t2﹣1＜1﹣t＜1，解得：t∈（0，1），故答案为：（0，1）．【点评】本题考查的知识点是抽象函数的应用，函数的单调性和函数的奇偶性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．16. （4分）在空间直角坐标系中，点A（1，﹣2，3）关于平面xoz的对称点为B，关于x轴的对称点为C，则B、C间的距离为．参考答案：6考点：空间两点间的距离公式．专题：空间位置关系与距离．分析：求出点A（1，﹣2，3）关于平面xoz的对称点为B，关于x轴的对称点为C，直接利用空间零点距离公式求出距离即可．解答：在空间直角坐标系中，点A（1，﹣2，3）关于平面xoz的对称点为B（1，2，3），点A（1，﹣2，3）关于x轴的对称点为C（1，2，﹣3），则B、C间的距离为：=6．故答案为：6点评：本题考查空间点的对称坐标的求法，两点的距离公式的应用，考查计算能力．17. 若，则___________,_____________；参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。
山东省淄博市淄博实验中学2024-2025学年高一上学期10月限时训练数学试题(无答案)
一、单选题1．已知命题，那么命题的否定为（ ）A ．B ．C ．D ．2．下列说法中，错误的是（ ）A ．若，则B ．若，则C ．若，则D ．若，则3．下列函数中，既是其定义域上的单调函数，又是奇函数的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知函数，在上是单调函数，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．5．设，若，且不等式恒成立，则的取值范围是（ ）A ．或B ．或C ．D ．6．函数的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知函数，若对任意恒成立，则的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．2:0,0p x x ∀>>p 20,0x x ∀>≤20,0x x ∀≤≤20,0x x ∃≤≤20,0x x ∃>≤22,0a b ab >>11a b <22ab c c <a b<0,0b a m >>>a m ab m b +>+,a bcd >>a c b d->-21y x =+1y x =y =y x x=2()8h x x kx =--[5,10]k (,10]-∞[20,)+∞(,10][20,)-∞+∞ ∅0,0a b >>2a b +=24181m m a b +>+-m 9m >1m <-1m >9m <-91m -<<19m -<<22()1xf x x =+0()0x f x x⎧≥⎪=<2[0,3],()()a f a x f x ∈-≥x [3,1]-(,3][1,)-∞-+∞ [0,2](,0][2,)-∞+∞8．已知矩形的周长为12，把V 沿向△折叠，折过去后交于点．当△的面积取最大值时，的长度为（ ）A ．3B ．C ．D ．4二、多选题9．下列说法正确的是（ ）A ．与B ．函数的定义域为则函数的定义域为C ．关于的不等式，使该不等式恒成立的实数的取值范围是D ．已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为10．设正实数满足，则（ ）A ．有最小值4B ．有最大值C ．D ．11．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如．设函数，则下列说法错误的是（ ）A ．的图象关于轴对称B ．的最大值为1，没有最小值C ．D ．在上是增函数三、填空题12．已知幂函数的图象经过点，则________．13．已知是定义在上的增函数，且，则的取值范围是________．14．已知定义域为的奇函数的图像是一条连续不断的曲线．对，当时，总有，则满足的实数的取值范围为_______．四、解答题()ABCD AB AD ⋅>ABC AC ADC AB DC P ADP AB y =y =(21)f x -(1,2)-(1)f x -(2,4)-x 23208kx kx +-<k (3,0)-x 20ax bx c ++>(,2)(3,)-∞-+∞ 20cx bc a ++<11(,)(,)32-∞-+∞ ,a b 1a b +=11a b +ab 141439ab b +≤x R ∈[]x x []y x =[3.24]3,[ 1.5]2=-=-()[]f x x x =-()f x y ()f x 1f f +>()f x R ()y f x =(2,4)(2)f -=()f x [1,1]-(1)(13)f x f x ->-x [5,5]-()f x 12,(0,5]x x ∀∈12x x <2112()()f x f x x x >(21)(21)(4)(4)m f m m f m --≤++m15．（1）已知，求（2）已知，求及值域．16．（1）已知，求函数的值域．（2）求函数的值域；（3）已知，求的最小值．17．某农户计划在一片空地上修建一个田字形的菜园如图所示，要求每个矩形用地的面积为36m 2且需用篱笆围住，菜园间留有一个十字形过道，纵向部分路宽为1m ，横向部分路宽为2m ．（1）当矩形用地的长和宽分别为多少时，所用篱笆最短？此时该菜园的总面积为多少？（2）为节省土地，使菜园的总面积最小，此时矩形用地的长和宽分别为多少？18．已知函数是定义在上的奇函数，且．（1）求函数在上的值域；（2）设，若对任意的，对任意的，使得成立，求实数的取值范围．19．若函数的定义域为．集合，若在非零实数使得任意都有，且，则称为上的增长函数。
山东省淄博市2023-2024学年高二上学期期末教学质量检测试题 数学含解析
2023—2024学年度第一学期高二教学质量检测数学（答案在最后）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线1x =的倾斜角是（）A.0B.π4C.π2D.不存在2.抛物线22y x =的准线方程为（）A.14y =- B.18y =-C.14x =-D.18x =-3.过点()1,2-且与直线2340x y -+=垂直的直线方程为（）A .3270x y ++= B.3210x y +-=C.2350x y -+= D.2380x y -+=4.甲乙两人参加面试答辩，假设甲乙面试互不影响，且他们面试通过的概率分别为12，14，则两人中至少有一人通过的概率为（）A.58 B.15C.110D.3105.直线142x y+=与x 轴，y 轴分别交于点,A B ，以线段AB 为直径的圆的方程为（）A.224230x y x y +---=B.22420x y x y +--=C.224230x y x y +--+= D.22240x y x y +--=6.如图，在四面体ABCD 中，,E F 分别为,BC AE 的中点，G 为ACD 的重心，则FG =（）A.1113124AB AC AD -++B.1114123AB AC AD -++C.1114123AB AC AD -+D.1113124AB AC AD +-7.已知正方体1111ABCD A B C D -，若P 是棱11B C 的中点，则异面直线1A P 和1CD 夹角的余弦值为（）A.15B.5C.D.1058.双曲线C ：22221x y a b-=的左、右顶点分别为1A ，2A ，左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 作直线与双曲线C 的左、右两支分别交于A ，B 两点.若22AB BF =，且121cos 4F BF ∠=，则直线1A B 与2A B 的斜率之积为（）A.53 B.35C.43D.34二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，点()05,P y 在抛物线上，且6PF =，过点P 作PQ x ⊥轴于点Q ，则（）A.2p = B.抛物线的准线为直线1y =C.0y =D.FPQ △的面积为10.若()16P AB =，()23P A =，()12P B =，则下列说法正确的是（）A.()12P A =B.事件A 与B 相互独立C.事件A 与B 不互斥D.()56P A B +=11.点P 在圆221:1C x y +=上，点Q 在圆222:68240C x y x y +-++=上，则（）A.||PQ 的最小值为3B.||PQ 的最大值为7C.两个圆心所在的直线斜率为43-D.两个圆相交弦所在直线的方程为68250x y --=12.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点P 满足1AP AB AD AA λμγ=++，λ，μ，γ∈R （P ，B ，D ，1A 四点不重合），则下列说法正确的是（）．A.当1λμγ++=时，PA 的最小值是1B.当1λ=，μγ=时，PB ∥平面11AB DC.当1λμ==，12γ=时，平面PBD ⊥平面1A BDD.当1λμ=，0γ=时，直线1PA 与平面1111D C B A 所成角的正切值的最大值为2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.从2至6的5个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为__________.14.经过两条直线12:2,:21l x y l x y +=-=的交点，且直线的一个方向向量()3,2v =的直线方程为__________.15.P 为矩形ABCD 所在平面外一点，PA ⊥平面ABCD ，若已知3AB =，4=AD ，1PA =，则点P 到BD 的距离为__．16.已知1F ，2F 分别为椭圆22219x y b+=的左、右焦点，以2F 为圆心且过椭圆左顶点的圆与直线80x -+=相切．P 为椭圆上一点，I 为12PF F △的内心，且1122IPF IF F IPF S S S λ=- ，则λ的值为______．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，,M N 分别是111,A B B C 上的点，且1112,2A M MB B N NC ==.设1,,AB a AC b AA c === .（1）试用,,a b c表示向量MN ；（2）若11190,60,1BAC BAA CAA AB AC AA ∠=︒∠=∠=︒===，求MN 的长.18.已知圆C 的圆心在直线20x y -+=上，与直线20x +-=相切于点(-.（1）求圆C 的标准方程；（2）过点()2,0的直线与圆C 相交于M ，N 两点，若MNC 的面积为423，求该直线的方程.19.已知椭圆22149x y +=，一组平行直线的斜率是32.（1）当它们与椭圆相交时，证明这些直线被椭圆截得的线段的中点在同一条直线上；（2）这组直线中经过椭圆上焦点的直线与椭圆交于,A B 两点，求AB .20.某高校自主招生考试分笔试与面试两部分，每部分考试成绩只记“通过”与“不通过”，两部分考试都“通过”者，则考试“通过".并给予录取.甲､乙两人都参加此高校的自主招生考试，甲､乙两人在笔试中“通过”的概率依次为53,65，在面试中“通过”的概率依次为23,34，笔试和面试是否“通过”是独立的.（1）甲､乙两人谁获得录取的可能性大？请说明理由：（2）求甲､乙两人中至少有一人获得录取的概率.21.如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB =，()0AF t t =>，M 是线段EF 的中点.（1）求证：//AM 平面BDE ；（2）若1t =，求平面ADF 与平面BDF 夹角的大小；（3）若线段AC 上总存在一点P ，使得PF BE ⊥，求t 的最大值.22.已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的离心率为2，且经过点A .（1）求双曲线C 的方程；（2）点M ，N 在双曲线C 上，且AM AN ⊥，AD MN ⊥，D 为垂足.证明：①直线MN 过定点；②存在定点Q ，使得DQ 为定值.2023—2024学年度第一学期高二教学质量检测数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线1x =的倾斜角是（）A.0B.π4C.π2D.不存在【答案】C 【解析】【分析】利用直线倾斜角的定义即可得解.【详解】因为直线1x =与x 轴垂直，因此直线1x =的倾斜角是π2．故选：C ．2.抛物线22y x =的准线方程为（）A.14y =- B.18y =-C.14x =-D.18x =-【答案】B 【解析】【分析】把抛物线方程化成标准形式，再求出其准线方程即得.【详解】抛物线22y x =方程化为212x y =，所以抛物线22y x =的准线方程为18y =-.故选：B3.过点()1,2-且与直线2340x y -+=垂直的直线方程为（）A.3270x y ++=B.3210x y +-=C.2350x y -+=D.2380x y -+=【答案】B 【解析】【分析】根据直线垂直满足的斜率关系，即可由点斜式求解.【详解】直线2340x y -+=的斜率为23，所以与直线2340x y -+=垂直的直线斜率为32-，故由点斜式可得()312x +y-2=-，即3210x y +-=，故选：B4.甲乙两人参加面试答辩，假设甲乙面试互不影响，且他们面试通过的概率分别为12，14，则两人中至少有一人通过的概率为（）A.58 B.15C.110D.310【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件，利用相互独立事件及对立事件的概率公式求解即得.【详解】依题意，两人中至少有一人通过的概率为1151(1)(1)248--⋅-=.故选：A 5.直线142x y+=与x 轴，y 轴分别交于点,A B ，以线段AB 为直径的圆的方程为（）A.224230x y x y +---=B.22420x y x y +--=C.224230x y x y +--+=D.22240x y x y +--=【答案】B 【解析】【分析】根据直线方程求出A ，B 点的坐标，法一：利用圆的直径式方程直接求得；法二：求出A B 中点即为圆心，AB 长的一半为半径，利用圆的标准方程直接写出，再化为一般方程即可.【详解】由题：(4,0),(0,2)A B 法一：根据圆的直径式方程可以得到：以线段AB 为直径的圆的方程为(4)(2)0x x y y -+-=，即22420x x y y -+-=，故选：B .法二：AB 中点为(2,1)，AB ==故以线段AB 为直径的圆的圆心为(2,1)，半径为所以圆的方程为()()22215x y -+-=，展开化简得：22420x y x y +--=，故选：B .6.如图，在四面体ABCD 中，,E F 分别为,BC AE 的中点，G 为ACD 的重心，则FG =（）A.1113124AB AC AD -++B.1114123AB AC AD -++C.1114123AB AC AD -+D.1113124AB AC AD +-【答案】B 【解析】【分析】根据空间向量的线性运算，将F G用,,AB AC AD 表示即可.【详解】因为,E F 分别为,BC AE 的中点，所以()1124AF AE AB AC ==+.因为G 为ACD 的重心，所以()13AG AC AD =+，所以()()11111344123FG AG AF AC AD AB AC AB AC AD =-=+-+=-++.故选：B.7.已知正方体1111ABCD A B C D -，若P 是棱11B C 的中点，则异面直线1A P 和1CD 夹角的余弦值为（）A.15B.5C.5D.5【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，结合正方体的结构特征，利用几何法求出异面直线夹角的余弦值.【详解】令正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，连接1,BA BP，则11A P BP A B ===四边形11A BCD 是正方体1AC 的对角面，则四边形11A BCD 是矩形，即11//A B CD ，因此1BA P ∠是异面直线1A P 和1CD 所成的角，在等腰1PA B中，11112cos 5A BBA P A P∠===，所以异面直线1A P 和1CD夹角的余弦值为5.故选：D8.双曲线C ：22221x y a b-=的左、右顶点分别为1A ，2A ，左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 作直线与双曲线C 的左、右两支分别交于A ，B 两点.若22AB BF =，且121cos 4F BF ∠=，则直线1A B 与2A B 的斜率之积为（）A.53 B.35C.43D.34【答案】A【解析】【分析】设2BF m =，利用双曲线定义推出相关线段的长，进而在2ABF △和12F BF 中利用余弦定理，求出43m a =以及2238c a =，继而求得2235b a =，再结合双曲线方程推出1222A B A B b ak k ⋅=，即可求得答案.【详解】由题意结合双曲线定义可知211222AF AF aBF BF a⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，且22AB BF =，不妨设2BF m =，则2AB m =，12BF m a =+，11||2AF BF AB a m =-=-，24AF a m =-.在2ABF △中，121cos 4F BF ∠=，由余弦定理得21222222||||2||||cos AF AB BF AB BF F BF =+-∠⋅⋅，即22221(4)444a m m m m -=+-⨯，即2238160m am a +-=，解得43m a =.在12F BF 中，由余弦定理得21222212112||||2||cos ||F F BF BF BF BF F BF =+-∠⋅⋅，即22214(2)2(2)4c m a m m a m =++-+⨯，即2228368c m ma a =++，结合43m a =，即得2238c a =，故得2223)(8b a a +=，即2235b a =.又可设00(,)B x y ，则22222200002221,()x y b y x a a b a-=∴=-，而12(,0),(,0)A a A a -，故122000220220053A B A B y y y k k x a x a b x a a ⋅=⋅=+-==-，故选：A【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于根据所给121cos 4F BF ∠=，分别在2ABF △和12F BF 中利用余弦定理，求出43m a =，继而求得2235b a =，再结合双曲线方程推出1222A B A B b ak k ⋅=，即可求解.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，点()05,P y 在抛物线上，且6PF =，过点P 作PQ x ⊥轴于点Q ，则（）A.2p =B.抛物线的准线为直线1y =C.0y =D.FPQ △的面积为【答案】AD 【解析】【分析】根据抛物线的定义以及焦半径的长度求出p 值判断AB ；求出点P 的纵坐标判断C ；求出FPQ △的面积判断D.【详解】抛物线22(0)y px p =>的准线为直线2px =-，过点P 向准线作垂线垂足为M ，由抛物线的定义知562pPF PM ==+=，解得2p =，则抛物线的方程为24y x =，准线为直线=1x -，A 正确，B 错误；将5x =代入抛物线方程，解得0y =±C 错误；焦点(1,0)F ，点(5,P ±，即||PQ =，则1(51)2FPQ S =⨯-=△，D 正确.故选：AD10.若()16P AB =，()23P A =，()12P B =，则下列说法正确的是（）A.()12P A =B.事件A 与B 相互独立C .事件A 与B 不互斥D.()56P A B +=【答案】BC 【解析】【分析】利用对立事件概率计算判断A ；利用相互独立事件的定义判断B ；利用互斥事件的意义判断C ；利用概率的基本性质计算判断D.【详解】对于A ，由()23P A =，得()21133P A =-=，A 错误；对于B ，由()12P B =，()13P A =，()16P AB =，得()()()P AB P A P B =，事件A 与B 相互独立，B 正确；对于C ，由()16P AB =，得事件A 与B 可以同时发生，则事件A 与B 不互斥，C 正确；对于D ，()1112()()()3263P A B P A P B P AB +=+-=+-=，D 错误.故选：BC11.点P 在圆221:1C x y +=上，点Q 在圆222:68240C x y x y +-++=上，则（）A.||PQ 的最小值为3B.||PQ 的最大值为7C.两个圆心所在的直线斜率为43- D.两个圆相交弦所在直线的方程为68250x y --=【答案】ABC 【解析】【分析】分别找出两圆的圆心1C 和2C 的坐标，以及半径r 和R ，利用两点间的距离公式求出两圆心间的距离12C C ，根据12C C 大于两半径之和，得到两圆的位置关系是外离，又P 为圆1C 上的点，Q 为圆2C 上的点，便可求出其最值，用斜率公式求出12C C k .【详解】圆221:1C x y +=的圆心坐标1(0,0)C ，半径1r =圆222:68240C x y x y +-++=，即22(3)(4)1x y -++=的圆心坐标2(3,4)C -，半径1R =∴圆心距125C C ==又 P 在圆1C 上，Q 在圆2C 上则PQ 的最小值为12min 3PQ C C R r =--=，最大值为12max 7PQ C C R r =++=．故A 、B 正确；两圆圆心所在的直线斜率为12404303C C k --==--，C 正确；圆心距125C C ==大于两圆半径和，两圆外离，无相交弦，D 错误.故答案为：ABC12.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点P 满足1AP AB AD AA λμγ=++，λ，μ，γ∈R （P ，B ，D ，1A 四点不重合），则下列说法正确的是（）．A.当1λμγ++=时，PA 的最小值是1B.当1λ=，μγ=时，PB ∥平面11AB DC.当1λμ==，12γ=时，平面PBD ⊥平面1A BDD.当1λμ=，0γ=时，直线1PA 与平面1111D C B A 所成角的正切值的最大值为2【答案】BCD 【解析】【分析】对于A ：根据空间向量分析可知点P 在平面1A BD 内，利用等体积法求点A 到平面1A BD 的距离；对于B ：根据空间向量分析可知点P 在直线1BC 上，根据线面平行的判定定理分析判断；对于C ：根据空间向量分析可知点P 为取1CC 的中点，结合线面垂直关系分析证明；对于D ：根据空间向量分析可知点P 在平面ABCD 内，根据线面夹角的定义结合基本不等式分析判断.【详解】对于选项A ：当1λμγ++=时，即()1γλμ=-+，则()111AP AB AD AA AB AD AA λμγλμλμ⎡⎤=++=++-+⎣⎦ ，可得()()111AP AA AB AA AD AA λμ-=-+- ，则111λμ=+uuu r uuu r uuu rA P AB A D ，可知点P 在平面1A BD 内，设点A 到平面1A BD 的距离为d ，可知11A B A D BD ===由11A A BD A ABD V V --=可得111111132232d ⨯⨯=⨯⨯⨯⨯，解得3d =，所以PA 的最小值是3d =，故A 错误；对于选项B ：当1λ=，μγ=时，则11λμγμμ=++=++uu u r uu u r uuu r uuu r uu u r uuu r uuu r AP AB AD AA AB AD AA ，可得()1AP AB AD AA μ-=+ ，则1μ=uu r uuu r BP AD ，由正方体的性质可知：AB ∥11C D ，且11AB C D =，则11ABC D 为平行四边形，可得1AD ∥1BC ，且11AD BC =，即11AD BC =，则1μ=uu r uuu r BP BC ，可知点P 在直线1BC 上，直线PB 即为直线1BC ，且1AD ∥1BC ，1AD ⊂平面11AB D ，1BC ⊄平面11AB D ，所以1BC ∥平面11AB D ，即PB ∥平面11AB D ，故B 正确；对于选项C ：当1λμ==，12γ=时，则1111122λμγ=++=++=+uu u r uu u r uuu r uuu r uu u r uuu r uuu r uuu r uuu r AP AB AD AA AB AD AA AC CC ，取1CC 的中点M ，可得112=+=+=uu u r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu rAP AC CC AC CM AM ，可知点P 即为点M ，因为1AA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，则1AA BD ⊥，设AC BD O = ，连接OP ，可知AC BD ⊥，1AA AC A = ，1,AA AC ⊂平面11AA C C ，所以BD ⊥平面11AA C C ，且1AC ⊂平面11AA C C ，可得1BD AC ⊥，同理可得：11A B AC ⊥，且1BD A B B = ，1,BD A B ⊂平面1A BD ，所以1AC ⊥平面1A BD ，又因为,O P 分别为1,AC CC 的中点，则OP ∥1AC ，可得OP ⊥平面1A BD ，且OP ⊂平面1A BD ，所以平面1A BD ⊥平面1A BD ，故C 正确；对于选项D ：当1λμ=，0γ=时，则1λμγλμ=++=+uu u r uu u r uuu r uuu r uu u r uuu rAP AB AD AA AB AD ，可知点P 在平面ABCD 内，因为平面ABCD ∥平面1111D C B A ，则直线1PA 与平面1111D C B A 所成角即为直线1PA 与平面ABCD 所成的角，因为1AA ⊥平面ABCD ，则直线1PA 与平面ABCD 所成的角为1A PA ∠，可得111tan ∠==AA A PA AP AP，又因为1λμ=，即1μλ=，则1λλ=+uu u r uu u r uuu r AP AB AD ，可得22222221122λλλλ=++⋅=+≥=uu u r uu u r uuu r uu u r uuu r AP AB AD AB AD ，当且仅当221λλ=，即1λ=±时，等号成立，可知AP 11tan ∠=A PAAP 2=，所以直线1PA 与平面1111D C B A 所成角的正切值的最大值为2，故D 正确；故选：BCD.【点睛】关键点睛：根据空间向量的线性运算，结合向量共线或共面的判定定理确定点P 的位置，方可结合立体几何相关知识分析求解.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.从2至6的5个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为__________.【答案】35##0.6【解析】【分析】根据给定条件，利用列举法结合古典概率公式计算即得.【详解】从2至6的5个整数中随机取2个不同数的试验的样本空间为：{(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)}Ω=（交换数字位置算一种情况），共10个样本点，所取2个数互质的事件{(2,3),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),(5,6)}A =，共6个样本点，所以这2个数互质的概率为63()105P A ==.故答案为：3514.经过两条直线12:2,:21l x y l x y +=-=的交点，且直线的一个方向向量()3,2v =的直线方程为__________.【答案】2310x y -+=【解析】【分析】求出交点坐标，根据直线的方向向量得到直线方程.【详解】221x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩，故交点坐标为()1,1，因为直线的一个方向向量()3,2v =，所以直线方程为()2113y x -=-，即2310x y -+=.故答案为：2310x y -+=15.P 为矩形ABCD 所在平面外一点，PA ⊥平面ABCD ，若已知3AB =，4=AD ，1PA =，则点P 到BD 的距离为__．【答案】135##2.6【解析】【分析】方法一：过A 作AE BD ⊥，交BD 于E ，连结PE ，则可得PE 是点P 到BD 的距离，然后求解即可，方法二：建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可【详解】方法一矩形ABCD 中，3AB =，4=AD ，5BD ∴==，过A 作AE BD ⊥，交BD 于E ，连结PE ，PA ⊥ 平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，PA BD ∴⊥，又AE BD ⊥，PA AE A = ，BD ∴⊥平面PAE ，∵PE ⊂平面PAE ，PE BD ∴⊥，即PE 是点P 到BD 的距离，1122AB AD BD AE ⨯⨯=⨯⨯ ，125AB AD AE BD ⨯∴==，135PE ∴===，∴点P 到BD 的距离为135．方法二∵PA ⊥平面ABCD ，,AB AD ⊂平面ABCD ，∴,PA AB PA AD ⊥⊥，∵AB AD⊥∴PA AB AD 、、三线两两垂直，∴以A 为原点，,,AB AD AP 所在的直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，()()()001300040P B D ∴，，，，，，，，，()301BP ∴=- ，，，()340BD =- ，，，∴cos ,91691510BP BD BP BD BP BD⋅==+⋅+，∴点P 到BD 的距离为229131cos ,1015510d BP BD ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭故答案为：13516.已知1F ，2F 分别为椭圆22219x y b+=的左、右焦点，以2F 为圆心且过椭圆左顶点的圆与直线380x -+=相切．P 为椭圆上一点，I 为12PF F △的内心，且1122IPF IF F IPF S S S λ=- ，则λ的值为______．【答案】32##1.5【解析】【分析】根据题意利用点到直线的距离公式求出椭圆焦点坐标，再利用三角形内接圆与三角形面积的关系列式，结合椭圆定义即可求出答案.【详解】设()1,0F c -，()2,0F c ，2F 为圆心且过椭圆左顶点的圆的半径为3R a c c =+=+，根据题意可知813c R +=+，解得2c =设12PF F △的内接圆半径为r ，则1112IPF S PF r =⋅△，121212IF F S F F r =⋅ ，2212IPF S PF r =⋅△故112212212F F P r P r r F F λ⋅⋅-⋅=，化简可得1212PF PF F F λ+=，即22a c λ=⋅，解得32λ=故答案为：32四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，,M N 分别是111,A B B C 上的点，且1112,2A M MB B N NC ==.设1,,AB a AC b AA c === .（1）试用,,a b c表示向量MN ；（2）若11190,60,1BAC BAA CAA AB AC AA ∠=︒∠=∠=︒===，求MN 的长.【答案】（1）122333MN a b c=-++（2【解析】【分析】（1）利用向量加减法及向量数乘的几何意义，基底法表示MN；（2）利用向量的数量积运算求解向量的模.【小问1详解】1111MN MA A C C N=++ 12133BA AC CB =++()1221333AB AA AC AB AC=-+++-1122333AB AA AC =-++，又AB a =，AC b =，1AA c = ，∴122=333MN a b c -++ ．【小问2详解】因为11AB AC AA ===，1a b c ===．90BAC ∠=︒ ，0a b ∴⋅=．1160BAA CAA ∠=∠=︒ ，12a cbc ∴⋅=⋅= ，()22122=9MN a b c ∴=-++ ()2221114444899a b c a b a c b c ++-⋅-⋅+⋅=，3MN ∴= ．18.已知圆C 的圆心在直线20x y -+=上，与直线20x +-=相切于点(-.（1）求圆C 的标准方程；（2）过点()2,0的直线与圆C 相交于M ，N 两点，若MNC的面积为3，求该直线的方程.【答案】（1）22(2)4x y ++=；（2）20x -=或20x ±-=.【解析】【分析】（1）根据给定条件，求出经过切点的半径所在直线方程，再求出圆心坐标即可得解.（2）根据给定条件，利用点到直线的距离公式及弦长公式，列式计算即得.【小问1详解】依题意，过点(-且垂直于直线20x +-=的直线方程为1)y x =+，则圆C 的圆心C在直线y =+上，由20x y y -+=⎧⎪⎨=+⎪⎩20x y =-⎧⎨=⎩，即点(2,0)C -，因此圆C的半径2r =，所以圆C 的标准方程为22(2)4x y ++=.【小问2详解】显然直线MN 的斜率存在，设直线MN 的方程为(2)y k x =-，即20kx y k --=，则点C 到直线MN的距离d =||MN ==，于是MNC 的面积218||1342||213MNCk S MN d k =⋅==+，解得11k =±或5k =±，所以直线MN的方程为(2)11y x =±-或(2)5y x =±-，即20x ±-=或20x ±-=.19.已知椭圆22149x y +=，一组平行直线的斜率是32.（1）当它们与椭圆相交时，证明这些直线被椭圆截得的线段的中点在同一条直线上；（2）这组直线中经过椭圆上焦点的直线与椭圆交于,A B 两点，求AB .【答案】（1）证明见解析（2）133【解析】【分析】（1）设这组平行直线的方程为32y x m =+，与椭圆方程联立，借助韦达定理求得弦中点坐标即可判断得解.（2）求出椭圆焦点坐标及直线AB 的方程，再利用弦长公式计算即得.【小问1详解】设这组平行直线的方程为32y x m =+，则2232149y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y 得22962180x mx m ++-=，由()()()222Δ64921836180m m m =-⨯⨯-=->，得3232m -<<设交点坐标为1122(,),(,)x y x y ，则1223x x m +=-，因此这组平行直线与椭圆交点的中点坐标为11(,)32m m -，显然点11(,)32m m -始终在直线32y x =-上，所以这些直线被椭圆截得的线段的中点在同一条直线32y x =-上.【小问2详解】椭圆22149x y +=的焦点坐标为(0,，由对称性，不妨取焦点F ，直线3:2AB y x =设3344(,),(,)A x y A x y ，由（1）知，343489x x x x +==-，所以133AB =..20.某高校自主招生考试分笔试与面试两部分，每部分考试成绩只记“通过”与“不通过”，两部分考试都“通过”者，则考试“通过".并给予录取.甲､乙两人都参加此高校的自主招生考试，甲､乙两人在笔试中“通过”的概率依次为53,65，在面试中“通过”的概率依次为23,34，笔试和面试是否“通过”是独立的.（1）甲､乙两人谁获得录取的可能性大？请说明理由：（2）求甲､乙两人中至少有一人获得录取的概率.【答案】（1）甲获得录取的可能性大，理由见解析，（2）3445【解析】【分析】（1）由相互独立事件的概率乘法公式分别计算甲乙两人被录取的概率，再比较即可，（2）甲､乙两人中至少有一人获得录取包括3种情况：甲被录取乙没被录取，甲没被录取乙被录取，甲､乙都被录取，求出每种情况的概率，再利用互斥事件的概率加法公式可求得结果.【小问1详解】记“甲通过笔试”为事件1A ，“甲通过面试”为事件2A ，“甲获得录取”为事件A ，“乙通过笔试”为事件1B ，“乙通过面试”为事件2B ，“乙获得录取”为事件B ，则由题意得12125233(),(),(),()6354P A P A P B P B ====，笔试和面试是否“通过”是独立的，所以12525()()()639P A P A P A ==⨯=,12339()()()5420P B P B P B ==⨯=,因为59920>，即()()P A P B >，所以甲获得录取的可能性大【小问2详解】记“甲､乙两人中至少有一人获得录取”为事件C ，则由题意得()()()()P C P AB P AB P AB =++()((()()()P A P B P A P B P A P B =++595959341192092092045⎛⎫⎛⎫=⨯-+-⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以甲､乙两人中至少有一人获得录取的概率为3445.21.如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB =，()0AF t t =>，M 是线段EF 的中点.（1）求证：//AM 平面BDE ；（2）若1t =，求平面ADF 与平面BDF 夹角的大小；（3）若线段AC 上总存在一点P ，使得PF BE ⊥，求t 的最大值.【答案】（1）证明负了解析；（2）π3；（3.【解析】【分析】（1）设AC 与BD 交于点O ，连接,EO AM ，结合平行四边形的判定性质，再利用线面平行的判定定理推理即得.（2）建立空间直角坐标系，利用面面角的向量法求解即得.（3）由（2）的信息，利用空间向量垂直的坐标表示建立函数求解即可.【小问1详解】设AC BD O = ，连结AM ，EO ，矩形ACEF 中，M 是线段EF 的中点，O 是线段AC 的中点，则//EM AO ，EM AO =，于是OAME 为平行四边形，则//AM EO ，又AM ⊄平面BDE ，EO ⊂平面BDE ，所以//AM 平面BDE.【小问2详解】由平面ABCD ⊥平面ACEF ，EC AC ⊥，平面ABCD 平面ACEF AC =，EC ⊂平面ACEF ，得EC ⊥平面ABCD ，又CD CB ⊥，则直线,,CD CB CE 两两垂直，以点C 为原点，直线,,CD CB CE 分别为,,x y z 轴建立如空间直角坐标系，1t =，则(0,0,0),(0,0,1),C D A F E B，BD =，DF = ，设平面BDF 的法向量为(,,)n x y z = ，则00n DF z n BD ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令1x =，得(1,1,n = ，由(0,0,1),(0,AF AD == ，得平面ADF 的一个法向量为(1,0,0)m = ，设平面ADF 与平面BDF 夹角为θ，则||1cos |cos ,|2||||m n m n m n θ⋅=〈〉== ，解得π3θ=，所以平面ADF 与平面BDF 夹角的大小为π3.【小问3详解】由（2）知，(0,0,0),),(0,0,),(0,C A F t E t B ，则(0,)BE t =，(AC = ，设1)0(AP AC λλ=≤≤ ，则(,,0)AP =，,0)P，于是,)PF t = ，由PF BE ⊥，得0PF BE ⋅= ，即220t λ-+=，因此22t λ=，又[]0,1λ∈，所以22t ≤，即t .【点睛】关键点睛：第三问，设CP CA λ= ，其中[]0,1λ∈，根据向量的坐标表示得到),PF t =-，()0,BE t = ，再由垂直关系列方程得到参数关系为关键.22.已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的离心率为2，且经过点A .（1）求双曲线C 的方程；（2）点M ，N 在双曲线C 上，且AM AN ⊥，AD MN ⊥，D 为垂足.证明：①直线MN 过定点；②存在定点Q ，使得DQ 为定值.【答案】22.22139x y -=；23.①证明见解析；②存在定点1,2Q ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.【解析】【分析】（1）由给定的点和离心率求出,a b 即可得双曲线C 的方程.（2）设出点,M N 的坐标，在斜率存在时设方程为y kx m =+，联立直线与双曲线方程，结合已知求得,m k 的关系，进而得直线MN 恒过定点，验证直线斜率不存在的情况，然后结合直角三角形的性质即可确定满足题意的点Q 的位置.【小问1详解】由双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为2，得2a ==，则b =，由双曲线C 过点A ，得22431a b -=，于是3a b ==，所以双曲线C 的方程为22139x y -=.【小问2详解】①设点1122(,),(,)M x y N x y ，当直线MN 斜率存在时，设直线MN 的方程为y kx m =+，由2239y kx m x y =+⎧⎨-=⎩消去y 得，222(3)290k x kmx m -+++=，显然2222230Δ44(3)(9)0k k m k m ⎧-≠⎨=--+>⎩，即22230930k m k ⎧-≠⎨+->⎩，212122229,33km m x x x x k k ++=-=--，由AM AN ⊥，得0AM AN ⋅= ，而1122(2,(2,AM x y AN x y =--=- ，则12121212(2)(2)((2)(2)(0x x y y x x kx m kx m --+=--++-+-=，整理得221212(1)[(2]()(40k x x k m x x m ++--++-+=，即22222(1)(9)2[(2]7033k m km k m m k k ++--+-+=--，整理得(20k m k m +-+=，显然直线MN 不过点A ，即20k m +-≠，因此40k m -+=，即4m k =+符合题意，直线MN ：(4)y k x =++过定点(4,P -，当直线MN 斜率不存在时，点11(,)N x y -，2111(2)(0x y y -+--=，而221139x y -=，显然12x ≠，解得14x =-，直线MN ：4x =-过点(4,P -，所以直线MN 过定点(4,P -.②由①知，直线MN 过定点(4,P -，而点A ，线段AP 中点1,2Q ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，又AD MN ⊥，当点D 与P 不重合时，点D 是以线段AP 为斜边的直角三角形的直角顶点，则1||||22DQ AP ==，当点D 与P 重合时，1||||22DQ AP ==，所以存在定点1,2Q ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，使得DQ 为定值2.【点睛】方法点睛：（1）引出变量法，解题步骤为先选择适当的量为变量，再把要证明为定值的量用上述变量表示，最后把得到的式子化简，得到定值；（2）特例法，从特殊情况入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．。
2022年山东省淄博市张店区第一中学高一数学理上学期期末试题含解析
2022年山东省淄博市张店区第一中学高一数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数f（x）的定义域为（0，1），则函数f（2x+1）的定义域为( )A．（﹣1，1）B．C．（﹣1，0）D．参考答案：B考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：直接由2x+1在函数f（x）的定义域内求解x的取值集合得答案．解答：解：∵函数f（x）的定义域为（0，1），由0＜2x+1＜1，得．∴函数f（2x+1）的定义域为．故选：B．点评：本题考查了函数的定义域及其求法，考查了复合函数的定义域，是高考常见题型，属基础题，也是易错题2. 如图，三棱柱中，侧棱垂直底面，底面三角形是正三角形，是中点，则下列叙述正确的是（）。
（A）与是异面直线（B）平面（C），为异面直线，且（D）平面参考答案：C略3. 某企业共有职工150人，其中高级职称15人，中级职称45人，初级职称90人，现用分层抽样方法抽取一个容量为30的样本，则各职称中抽取的人数分别为（）A．5，10，15 B．3，9，18 C．5，9，16 D．3，10，17参考答案：B【考点】B3：分层抽样方法．【分析】利用总体中各层的个体数之比等于样本中对应各层的样本数之比，求出结果．【解答】解：根据分层抽样的定义和方法，抽取的各职称人数分别为30×=3，30×=9，30×=18，故选：B．【点评】本题主要考查分层抽样的定义和方法，利用了总体中各层的个体数之比等于样本中对应各层的样本数之比，属于基础题．4. 有下列四种变换方式：①向左平移，再将横坐标变为原来的（纵坐标不变）；②横坐标变为原来的（纵坐标不变），再向左平移；③横坐标变为原来的（纵坐标不变），再向左平移；④向左平移，再将横坐标变为原来的（纵坐标不变）.其中能将正弦曲线的图像变为的图像的是A．①和③ B．①和② C．②和③ D．②和④参考答案：B略5. tan20°＋tan40°＋tan20°tan40°的值为()参考答案：B略6. 幂函数的图象过点，那么的值为（）A. B. 64 C.D.参考答案：A7. 从1，2，3，4，5，6这6个数中，不放回地任取两数，则两数都是偶数的概率是A． B． C． D．参考答案：D略8. 设函数，对于给定的正数K，定义函数f g（x）=，若对于函数定义域内的任意x，恒有f g（x）=f（x），则（）A．K的最小值为1 B．K的最大值为1C．K的最小值为D．K的最大值为参考答案：B【考点】函数恒成立问题．【分析】若对于函数定义域内的任意x，恒有f g（x）=f （x），则f（x）≥K恒成立，求出f（x）的最小值，即为K的最大值．【解答】解：若对于函数定义域内的任意x，恒有f g （x）=f（x），则f（x）≥K恒成立，∵≥20=1，故K≤1，即K的最大值为1，故选：B．9. 已知点在不等式组表示的平面区域上运动，则的取值范围是（）A. B. C. D.参考答案：B10. 已知全集）等于（）A．{2，5} B．{1，3，5} C．{2，4，5} D．{2，4，6}参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 正项数列满足,又数列是以为公比的等比数列,则使得不等式成立的最大整数为 .参考答案：912. 已知f (x )＝－2asin ＋2a＋b ，x ∈，是否存在常数a ，b ∈Q ，使得f (x )值域为{y |－3≤y ≤－1}？若存在，求出a ，b 的值；若不存在，请说明理由.参考答案：a ，b 存在，且a ＝－1，b ＝1. 【分析】先假设存在a 、b 满足条件，根据x 的范围求出的范围进而得到的范围，然后对a ＞0和a ＜0两种情况进行讨论可得到答案. 【详解】解：∵≤x ≤，∴≤2x ＋≤，∴－1≤≤.假设存在这样的有理数a ，b ，则当a ＞0时，，解得(不合题意，舍去)；当a ＜0时，，解得，故a ，b 存在，且a ＝－1，b ＝1.【点睛】本题主要考查三角函数的值域问题，在解决此类问题时一定要重视自变量x 的取值范围，才能防止出错.13. 计算：sin210°的值为 ．参考答案：﹣【考点】诱导公式的作用． 【专题】计算题．【分析】利用诱导公式可得sin210°=sin（180°+30°）=﹣sin30°，由此求得结果．【解答】解：sin210°=sin（180°+30°）=﹣sin30°=﹣， 故答案为﹣．【点评】本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，属于基础题．14. 与任意向量都平行的向量是什么向量？参考答案：零向量15. 已知圆x 2+y 2+2x ﹣2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4，则实数a 的值为 ．参考答案：﹣4【考点】直线与圆的位置关系．【分析】把圆的方程化为标准形式，求出弦心距，再由条件根据弦长公式求得a 的值． 【解答】解：圆x 2+y 2+2x ﹣2y+a=0 即 （x+1）2+（y ﹣1）2=2﹣a ，故弦心距d=．再由弦长公式可得 2﹣a=2+4，∴a=﹣4； 故答案为：﹣4．16. sin15︒cos15︒的值等于 .参考答案：17. 如图，三棱柱ABC －A B C 的侧棱长和底面边长均为2，且侧棱AA ⊥底面ABC ，其正（主）视图是边长为2的正方形，则此三棱柱侧（左）视图的面积为_______。
2023-2024学年山东省淄博市高三(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年山东省淄博市高三（上）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A ＝{x |log 0.5（x ﹣1）＞0}，B ＝{x |2x ＜4}，则（ ） A ．A ＝BB ．A ∩B ＝∅C ．A ∩B ＝BD ．A ∪B ＝B2．已知复数z 满足z ⋅z =4，则复数|z|=（ ） A ．2B ．4C ．8D ．163．设随机变量X ～N （μ，σ2），且P （X ＜a ）＝3P （X ≥a ），则P （X ≥a ）＝（ ） A ．0.75B ．0.5C ．0.3D ．0.254．已知正四棱台ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的上、下底面边长分别为2和4，若侧棱AA 1与底面ABCD 所成的角为60°，则该正四棱台的体积为（ ） A ．28√3B ．84√2C ．28√63D ．28√25．已知等边△ABC 的边长为√3，P 为△ABC 所在平面内的动点，且|PA →|=1，则PB →⋅PC →的取值范围是（ ） A ．[−32，92]B ．[−12，112]C ．[1，4]D ．[1，7]6．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，则对∀n ∈N *，a n +1＞|a n |，是“nS n +1＞（n +1）S n ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知函数f （x ），g （x ）的定义域都为R ，g '（x ）为g （x ）的导函数，g '（x ）的定义域也为R ，且f （x ）+g '（x ）＝2，f （x ）﹣g '（4﹣x ）＝2，若g （x ）为偶函数，则下列结论中一定成立的个数为（ ） ①f （4）＝2 ②g '（2）＝0 ③f （1）＝f （3） ④f （﹣1）+f （﹣3）＝4 A ．1B ．2C ．3D ．48．已知函数f(x)=sin(2πx)+1x−2，则直线y ＝x ﹣2与f （x ）的图象的所有交点的横坐标之和为（ ） A ．0B ．8C ．12D ．16二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．函数f(x)=3sin(2x −π3+φ)+1，φ∈（0，π），且f （x ）为偶函数，则下列说法正确的是（ ）A．φ=5π6B．f（x）图象的对称中心为(π4+kπ2，1)，k∈ZC．f（x）图象的对称轴为x=π2+kπ，k∈ZD．f（x）的单调递减区间为[−π2+kπ，kπ]，k∈Z10．已知互不相同的30个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，设剩下的28个样本数据的方差为s12，平均数为x1；去掉的两个数据的方差为s22，平均数为x2；原样本数据的方差为s2，平均数为x，若x=x2，则下列说法正确的是（）A．x=x1B．15s2=14s12+s22C．剩下28个数据的中位数大于原样本数据的中位数D．剩下28个数据的22%分位数不等于原样本数据的22%分位数11．如图，多面体ABCDEF，底面ABCD为正方形，BF⊥底面ABCD，DE∥BF，AB＝DE＝BF＝1，动点G在线段AF上，则下列说法正确的是（）A．多面体ABCDEF的外接球的表面积为3πB．△CGD的周长的最小值为√3−√61C．线段CG长度的取值范围为[√62，√2]D．CG与平面AEC所成的角的正弦值最大为2√2 312．已知函数f（x）＝xe x，g（x）＝xlnx，则下列说法正确的是（）A．函数f（x）与函数g（x）有相同的极小值B．若方程f（x）＝a有唯一实根，则a的取值范围为a≥0C．若方程g（x）＝a有两个不同的实根x1，x2，则x1x2＞a2D．当x＞0时，若f（x1）＝g（x2）＝t，则x1x2＝t成立三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．将序号分别为1，2，3，4，5，6的六张参观券全部分给甲、乙等5人，每人至少一张，如果分给甲的两张参观券是连号，则不同分法共有 种．14．已知圆C 1：x 2+y 2−2ax +4by +4=0，则直线ax ﹣2by +2＝0与圆C 2：x 2+y 2=1的位置关系是 ．15．已知函数f(x)=3sin(π4x +φ)(φ∈R)的部分图象如图所示，A ，B 分别为图象的最低点和最高点，过A ，B 作x 轴的垂线分别交x 轴于点A '，B '．将画有该图象的纸片沿着x 轴折成120°的二面角A ﹣A 'B '﹣B ，此时|AB |＝ ．16．已知实数x ，y 满足x 2﹣3lnx ﹣y ＝0，则√x 2+y 2−mx +my +m 22(m ∈R)的最小值为 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）设函数f （x ）＝sin （ωx −π6）+sin （ωx −π2），其中0＜ω＜3，已知f （π6）＝0．（Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数y ＝f （x ）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝g （x ）的图象，求g （x ）在[−π4，3π4]上的最小值．18．（12分）如图，AB 是半球O 的直径，AB ＝4，M ，N 依次是底面AB ̂上的两个三等分点，P 是半球面上一点，且∠PON ＝60°． （1）证明：PB ⊥PM ；（2）若点P 在底面圆上的射影为ON 中点，求直线PM 与平面P AB 所成的角的正弦值．19．（12分）设锐角△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝b cos A ﹣a cos B ． （1）求证：B ＝2A ； （2）求ba的取值范围；（3）若c＝1，求△ABC面积的取值范围．20．（12分）已知{a n}和{b n}均为等差数列，a1＝b1＝1，a3＝a1+a2，b5＝b4+a2，记c n＝max{b1﹣na1，b2﹣na2，…，b n﹣na n}（n＝1，2，3，…），其中max{x1，x2，…，x s}表示x1，x2，…，x s这s个数中最大的数．（1）计算c1，c2，c3，猜想数列{c n}的通项公式并证明；（2）设数列{1(3−c n)(2−c n)}的前n项和为S n，若S n＜−m2+4m对任意n∈N*恒成立，求偶数m的值．21．（12分）已知函数ℎ(x)=e x−1−x x2．（1）若x＞0时，恒有h（x）＞a，求a的取值范围；（2）证明：当x＞1时，e x（1+lnx）＞ex2．22．（12分）第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，为弘扬奥林匹克和亚运精神，增强锻炼身体意识，某学校举办一场羽毛球比赛．已知羽毛球比赛的单打规则是：若发球方胜，则发球方得1分，且继续在下一回合发球；若接球方胜，则接球方得1分，且成为下一回合发球方．现甲、乙二人进行羽毛球单打比赛，根据以往甲、乙两名运动员对阵的比赛数据可知，若甲发球，甲得分的概率为35，乙得分的概率为25；若乙发球，乙得分的概率为45，甲得分的概率为15．规定第1回合是甲先发球．（1）求第3回合由甲发球的概率；（2）①设第i回合是甲发球的概率为p i，证明：{p i−13}是等比数列；②已知：若随机变量X i服从两点分布，且P（X i＝1）＝1﹣P（X i＝0）＝q i，i＝1，2，…，n，则E(∑n i=1X i)=∑n i=1q i．若第1回合是甲先发球，求甲、乙连续进行n个回合比赛后，甲的总得分的期望．2023-2024学年山东省淄博市高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A＝{x|log0.5（x﹣1）＞0}，B＝{x|2x＜4}，则（）A．A＝B B．A∩B＝∅C．A∩B＝B D．A∪B＝B解：不等式log0.5（x﹣1）＞0，即为log0.5（x﹣1）＞log0.51，根据对数函数的单调性知，0＜x﹣1＜1，解得1＜x＜2，所以A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|2x＜22}＝{x|x＜2}，所以A⊆B，从而A∩B＝A，A∪B＝B．故选：D．2．已知复数z满足z⋅z=4，则复数|z|=（）A．2B．4C．8D．16解：由于zz=4，所以|z|2＝z z=4，故|z|＝2．故选：A．3．设随机变量X～N（μ，σ2），且P（X＜a）＝3P（X≥a），则P（X≥a）＝（）A．0.75B．0.5C．0.3D．0.25解：随机变量X～N（μ，σ2），显然P（X＜a）+P（X≥a）＝1，而P（X＜a）＝3P（X≥a），所以P（X≥a）＝0.25．故选：D．4．已知正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的上、下底面边长分别为2和4，若侧棱AA1与底面ABCD所成的角为60°，则该正四棱台的体积为（）A．28√3B．84√2C．28√63D．28√2解：记正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的上、下底面的中心为O，O1，连接OO1，在平面ACC1A1中过A1作A1E平行于OO1，交AC于E，如图所示：则由正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的性质可知OO1⊥底面ABCD，从而A1E⊥底面ABCD，所以∠A1AE为侧棱AA1与底面ABCD所成的角，即∠A1AE＝60°，因为正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的上、下底面边长分别为2和4，所以A1C1=2√2，AC=4√2，则AE=12(4√2−2√2)=√2，故A1E=AE⋅tan60°=√2×√3=√6，即正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的高为√6，所以该正四棱台的体积为13×(22+√22×42+42)×√6=28√63．故选：C ．5．已知等边△ABC 的边长为√3，P 为△ABC 所在平面内的动点，且|PA →|=1，则PB →⋅PC →的取值范围是（ ） A ．[−32，92]B ．[−12，112]C ．[1，4]D ．[1，7]解：以A 为坐标原点，以AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则B （√3，0），C （√32，32），由题意设P （cos θ，sin θ），（0≤θ＜2π）， 则PB →=(√3−cosθ，−sinθ)，PC →=(√32−cosθ，32−sinθ)， ∴PB →⋅PC →=(√3−cosθ)(√32−cosθ)−sinθ(32−sinθ)=32−3√32cosθ+cos 2θ−32sinθ+sin 2θ =52−3sin(θ+π3)， ∵0≤θ＜2π，∴π3≤θ+π3＜7π3，可得52−3sin(θ+π3)∈[−12，112]．故选：B ．6．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，则对∀n ∈N *，a n +1＞|a n |，是“nS n +1＞（n +1）S n ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：若对∀n ∈N *，都有a n +1＞|a n |，可得a 2＞|a 1|，a 3＞|a 2|，a 4＞|a 3|，⋯，a n +1＞|a n |， 因为|a n |≥a n 恒成立，所以a n +1＞a n ＞a n ﹣1＞⋯＞a 2＞a 1，即数列{a n }为递增数列，S n+1n+1=(n+1)(a 1+a n+1)2n+1=a 1+a n+1，S nn n(a 1+a n )2n+1=a 1+a n ，所以S n+1n+1＞S n n，即nS n +1＞（n +1）S n 成立，所以充分性成立；反之：若对∀n ∈N *，都有nS n +1＞（n +1）S n ，即S n+1n+1＞S n n，可得(n+1)(a 1+a n+1)2n+1＞n(a 1+a n )2n，解得a n +1＞a n ，所以d ＝a n +1﹣a n ＞0，即数列{a n }为递增数列，例如：数列a n ＝n ﹣7为递增数列，可得a 1＝﹣6，a 2＝﹣5， 此时a 2＞|a 1|不成立，即必要性不成立；所以对∀n ∈N *，a n +1＞|a n |，是“nS n +1＞（n +1）S n ”的充分不必要条件． 故选：A ．7．已知函数f （x ），g （x ）的定义域都为R ，g '（x ）为g （x ）的导函数，g '（x ）的定义域也为R ，且f （x ）+g '（x ）＝2，f （x ）﹣g '（4﹣x ）＝2，若g （x ）为偶函数，则下列结论中一定成立的个数为（ ） ①f （4）＝2 ②g '（2）＝0 ③f （1）＝f （3） ④f （﹣1）+f （﹣3）＝4 A ．1B ．2C ．3D ．4解：根据题意，依次分析4个命题：对于①，g （x ）为偶函数，即g （﹣x ）＝g （x ）， 两边同时求导数可得：﹣g ′（﹣x ）＝g ′（x ）， 则g ′（x ）是定义域为R 的奇函数，则有g ′（0）＝0，在f （x ）﹣g '（4﹣x ）＝2中，令x ＝4可得：f （4）﹣g ′（0）＝2，必有f （4）＝2，①正确； 对于②，又由f （x ）+g '（x ）＝2，则有f （x ）﹣g '（﹣x ）＝2， 同时，f （x ）﹣g '（4﹣x ）＝2，两式联立可得g ′（4﹣x ）＝g ′（﹣x ），变形可得g ′（x +4）＝g ′（x ），g ′（x ）是周期为4的周期函数，则有g ′（2）＝g ′（﹣2），又由g ′（x ）为奇函数，则g ′（2）＝﹣g ′（﹣2）， 必有g ′（2）＝g ′（﹣2）＝0，②正确；对于③，在f （x ）+g '（x ）＝2中，令x ＝1可得：f （1）+g '（1）＝2， 在f （x ）﹣g '（4﹣x ）＝2中，令x ＝3可得：f （3）﹣g ′（1）＝2， 有f （1）+f （3）＝4，③错误；对于④，在f（x）+g'（x）＝2中，令x＝﹣1可得：f（﹣1）+g'（﹣1）＝2，在f（x）﹣g'（4﹣x）＝2中，令x＝﹣3可得：f（﹣3）﹣g′（7）＝2，而g′（x）是周期为4的周期函数，则有g′（7）＝g′（﹣1），必有f（﹣1）+f（﹣3）＝4，④正确．有3个命题正确．故选：C．8．已知函数f(x)=sin(2πx)+1x−2，则直线y＝x﹣2与f（x）的图象的所有交点的横坐标之和为（）A．0B．8C．12D．16解：由f（x）＝x﹣2可得sin(2πx)=x−2−1x−2，令g（x）＝sin（2πx），ℎ(x)=x−2−1x−2，则函数g（x）＝sin（2πx）的定义域为R，其最小正周期为T=2π2π=1，g（4﹣x）＝sin[2π（4﹣x）]＝sin（8π﹣2πx）＝﹣sin（2πx）＝﹣g（x），所以，函数g（x）的图象关于点（2，0）对称，函数ℎ(x)=x−2−1x−2的定义域为{x|x≠2}，对任意的x∈{x|x≠2}，ℎ(4−x)=(4−x)−2−1(4−x)−2=2−x−12−x=−ℎ(x)，所以，函数h（x）的图象也关于点（2，0）对称，因为函数y＝x﹣2、y=−1x−2在（2，+∞）上均为增函数，则函数h（x）在（2，+∞）上也为增函数，如下图所示：由图可知，函数g（x）、f（x）的图象共有六个交点，其中这六个点满足三对点关于点（2，0）对称，因此，直线y＝x﹣2与f（x）的图象的所有交点的横坐标之和为4×3＝12．故选：C．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．函数f(x)=3sin(2x−π3+φ)+1，φ∈（0，π），且f（x）为偶函数，则下列说法正确的是（）A．φ=5π6B．f（x）图象的对称中心为(π4+kπ2，1)，k∈ZC．f（x）图象的对称轴为x=π2+kπ，k∈ZD．f（x）的单调递减区间为[−π2+kπ，kπ]，k∈Z解：∵f(x)=3sin(2x−π3+φ)+1为偶函数，∴φ−π3=kπ+π2（k∈Z），∴φ＝kπ+5π6（k∈Z），又φ∈（0，π），∴φ=5π6，A正确；∴f（x）＝3sin（2x+π2）+1＝3cos2x+1，令2x＝kπ+π2（k∈Z），得x=kπ2+π4（k∈Z），∴f（x）图象的对称中心为(π4+kπ2，1)（k∈Z），B正确；令2x＝kπ（k∈Z），得x=kπ2（k∈Z），∴f（x）图象的对称轴方程为x=kπ2（k∈Z），C错误；令2kπ≤2x≤2kπ+π（k∈Z），得kπ≤x≤kπ+π2（k∈Z），∴f（x）的单调递减区间为[kπ，kπ+π2]（k∈Z），D错误．故选：AB．10．已知互不相同的30个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，设剩下的28个样本数据的方差为s12，平均数为x1；去掉的两个数据的方差为s22，平均数为x2；原样本数据的方差为s2，平均数为x，若x=x2，则下列说法正确的是（）A．x=x1B．15s2=14s12+s22C．剩下28个数据的中位数大于原样本数据的中位数D．剩下28个数据的22%分位数不等于原样本数据的22%分位数解：A．剩下的28个样本数据的和为28x1，去掉的两个数据和为2x2，原样本数据和为30x，所以28x1+ 2x2=30x，因为x=x2，所以x=x1，故A选项正确；B．设x1＜x2＜x3＜⋯＜x29＜x30，s12=128[(x2−x1)2+(x3−x1)2+⋯+(x29−x1)2]，因为x1=x2=x，所以s22=12[(x1−x1)2+(x30−x1)2]，所以28s12+2s22=[(x1−x1)2+(x2−x1)2+(x3−x1)2+⋯+(x29−x1)2+(x30−x1)2]=30s2，所以15s2=14s12+s22，故B选项正确；C．剩下28个数据的中位数等于原样本数据的中位数，故C选项错误；D．去掉2个数据，则剩下28个数据的22%分位数不等于原样本数据的22%分位数，故D正确．故选：ABD．11．如图，多面体ABCDEF，底面ABCD为正方形，BF⊥底面ABCD，DE∥BF，AB＝DE＝BF＝1，动点G在线段AF上，则下列说法正确的是（）A．多面体ABCDEF的外接球的表面积为3πB．△CGD的周长的最小值为√3−√61C．线段CG长度的取值范围为[√62，√2]D．CG与平面AEC所成的角的正弦值最大为2√2 3解：对于A：由题意可知，多面体ABCDEF可以放在如图所示的正方体当中，设DF 中点为O ，则O 为多面体ABCDEF 的外接球球心， 所以多面体ABCDEF 的外接球半径为√12+12+122=√32， 则多面体ABCDEF 的外接球的表面积为4π×（√32）2＝3π，故A 正确； 对于B ：△CGD 的周长为CG +GD +CD ＝CG +GD +1，将△ADF ，△AFC 如下图所示展开，当D ，G ，C 三点共线时，CG +GD 最小，由AD ＝1，AF =AC =CF =√2，DF =√3， 则AD 2+AF 2＝DF 2，所以∠DAF ＝90°，∠F AC ＝60°， 所以∠DAC ＝150°，在△ACD 中，由余弦定理得，CD 2＝AD 2+AC 2﹣2AC •AC cos ∠150°， 所以CD =√1+2−2×1×√2×(−√32)=√3+√6，则△CGD 的周长最小为√3+√6+1，故B 错误；对于C ，以D 为原点，DA ，DC ，DE 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系：则C （0，1，0），设G （1，m ，m ），0≤m ≤1，则CG =√1+(m −1)2+m 2=√2(m −12)2+32∈[√62，√2]，故C 正确；对于D ：由A （1，0，0），C （0，1，0），E （0，0，1），所以AC →=(−1，1，0)，AE →=(−1，0，1)，CG →=(1，m −1，m)，设平面AEC 法向量n →=（x ，y ，z ），由{n →⋅AC →=−x +y =0n →⋅AE →=−x +z =0，令x ＝1，则y ＝1，z ＝1，则n →=（1，1，1）， 则CG 与平面AEC 所成角的正弦值为|CG →⋅n →||CG →||n →|=√3×√2(m 2−m+1)=√2√3×√(m −2)2+4，因为0≤m ≤1，所以1m≥1，当1m=1，即m ＝1时，移动CG 与平面AEC 所成角的正弦值最大为√2√3×√(2)2+4=√63，故D 错误． 故选：AC ．12．已知函数f （x ）＝xe x ，g （x ）＝xlnx ，则下列说法正确的是（ ） A ．函数f （x ）与函数g （x ）有相同的极小值B ．若方程f （x ）＝a 有唯一实根，则a 的取值范围为a ≥0C ．若方程g （x ）＝a 有两个不同的实根x 1，x 2，则x 1x 2＞a 2D ．当x ＞0时，若f （x 1）＝g （x 2）＝t ，则x 1x 2＝t 成立 解：对于A ，f （x ）＝xe x ，f '（x ）＝（x +1）e x ，当x ＜﹣1时，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减；当x ＞﹣1时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增， 所以f （x ）的极小值为f(−1)=−1e，g （x ）＝xlnx ，g ′（x ）＝lnx +1，当0＜x ＜1e 时，g ′（x ）＜0，g （x ）单调递减；当x ＞1e 时，g ′（x ）＞0，g （x ）单调递增，所以g （x ）的极小值为g(1e )=−1e，故A 正确；对于B ，若方程f （x ）＝xe x ＝a 有唯一实根， 由于当x →﹣∞时，f （x ）→0，且f （0）＝0，结合f （x ）的单调性和最值可知，a ≥0或a =−1e，故B 错误；对于C ，因为方程g （x ）＝a 有两个不同的实根x 1，x 2， 假设x 1＞x 2，则a ＜0，{x 1lnx 1=ax 2lnx 2=a ，即{lnx 1=ax 1lnx 2=a x 2， 两式相减得，x 1−x 2lnx 1−lnx 2=−1ax 1x 2，下面证对数均值不等式：x1−x2lnx1−lnx2＞√x1x2(x1＞x2)，即证x1x2−1ln x1x2＞√x1x2，设m=√x1x2(m＞1)，即证m2−12lnm＞m，即证m−1m−2lnm＞0，令φ(m)=m−1m−2lnm(m＞1)，则φ′(m)=1+1m2−2m=(m−1)2m2＞0，则φ（m）在（1，+∞）单调递增，当m＞1时，φ（m）＞φ（1）＝0，得证．所以x1−x2lnx1−lnx2=−1ax1x2＞√x1x2，则√x1x2＞−a＞0，即x1x2＞a2，故C正确；对于D，当x＞0时，若f（x1）＝g（x2）＝t，则x1e x1=lnx2e lnx2=t⇒f（x1）＝f（lnx2），显然x1＞0，lnx2＞0，则x1＝lnx2，则x1x2＝x2lnx2＝t，故D正确．故选：ACD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．将序号分别为1，2，3，4，5，6的六张参观券全部分给甲、乙等5人，每人至少一张，如果分给甲的两张参观券是连号，则不同分法共有120种．解：由题意得，如果分给甲的两张参观券是连号，则有C51=5种分法，再将剩余的4张分给剩余4个人，有A44=24种分法，所以一共有5×24＝120种分法．故答案为：120．14．已知圆C1：x2+y2−2ax+4by+4=0，则直线ax﹣2by+2＝0与圆C2：x2+y2=1的位置关系是相交．解：因为（x﹣a）2+（y+2b）2＝a2+4b2﹣4表示圆C1的方程，所以a2+4b2﹣4＞0，即a2+4b2＞4．因为圆C2的圆心到直线ax﹣2by+2＝0的距离22=√a2+4b2＜22=1，所以直线ax﹣2by+2＝0与圆C2：x2+y2=1相交．故答案为：相交．15．已知函数f(x)=3sin(π4x+φ)(φ∈R)的部分图象如图所示，A，B分别为图象的最低点和最高点，过A，B作x轴的垂线分别交x轴于点A'，B'．将画有该图象的纸片沿着x轴折成120°的二面角A﹣A'B'﹣B，此时|AB|＝√43．解：函数f(x)=3sin(π4x +φ)(φ∈R)的部分图象如图所示，A ，B 分别为图象的最低点和最高点，过A ，B 作x 轴的垂线分别交x 轴于点A '，B '， ∴由题意得AA ′＝BB ′＝3，A ′B ′=12×2ππ4=4， ∴|AB |=√(BB′→+B′A′→+A′A →)2=√BB ′→2+B′A′→2+A′A →2+2|BB′→|⋅|A′A →|cos60°=√9+16+9+2×3×3×12=√43． 故答案为：√43．16．已知实数x ，y 满足x 2﹣3lnx ﹣y ＝0，则√x 2+y 2−mx +my +m 22(m ∈R)的最小值为 √2 ． 解：由题意得√x 2+y 2−mx +my +m 22=√(x −m 2)2+(y +m2)2，即求曲线y ＝x 2﹣3lnx 上一点到(m 2，−m2)距离的最小值，又因为(m 2，−m2)在直线y ＝﹣x 上，所以当曲线与直线y ＝﹣x 平行时，所求距离取得最小值， 因为x 2﹣3lnx ﹣y ＝0，所以y ＝x 2﹣3lnx ，y ′＝2x −3x ，令y ′＝2x −3x =−1，解得x ＝1或x =−32 （舍），当x ＝1时，点（1，1）到直线x +y ＝0距离为√2=√2，即所求曲线y ＝x 2﹣3lnx 上一点到 (m 2，−m2) 距离的最小值为√2．故答案为：√2．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）设函数f （x ）＝sin （ωx −π6）+sin （ωx −π2），其中0＜ω＜3，已知f （π6）＝0．（Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数y ＝f （x ）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝g （x ）的图象，求g （x ）在[−π4，3π4]上的最小值．解：（Ⅰ）函数f （x ）＝sin （ωx −π6）+sin （ωx −π2）＝sin ωx cos π6−cos ωx sin π6−sin （π2−ωx ）=√32sin ωx −32cos ωx=√3sin （ωx −π3），又f （π6）=√3sin （π6ω−π3）＝0，∴π6ω−π3=k π，k ∈Z ，解得ω＝6k +2， 又0＜ω＜3， ∴ω＝2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f （x ）=√3sin （2x −π3），将函数y ＝f （x ）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y =√3sin （x −π3）的图象；再将得到的图象向左平移π4个单位，得到y =√3sin （x +π4−π3）的图象，∴函数y ＝g （x ）=√3sin （x −π12）； 当x ∈[−π4，3π4]时，x −π12∈[−π3，2π3]，∴sin （x −π12）∈[−√32，1]， ∴当x =−π4时，g （x ）取得最小值是−√32×√3=−32．18．（12分）如图，AB 是半球O 的直径，AB ＝4，M ，N 依次是底面AB ̂上的两个三等分点，P 是半球面上一点，且∠PON ＝60°． （1）证明：PB ⊥PM ；（2）若点P 在底面圆上的射影为ON 中点，求直线PM 与平面P AB 所成的角的正弦值．解：（1）证明：连接AM ，OM ，MN ，PN ，∵M ，N 依次是底面AB̂的两个三等分点，∴四边形OMNB 为菱形， 设MB ∩ON ＝Q ，则Q 为ON 的中点，且ON ⊥MB ， 又∵OP ＝ON ，∠PON ＝60°，故△OPN 为等边三角形， 连接PQ ，则ON ⊥PQ ，又∵MB ∩PQ ＝Q ，∴ON ⊥面PMB ，∵PB ⊂面PMB ，∴ON ⊥PB ，∵M ，N 依次是底面AB̂的两个三等分点，∴ON ∥AM ， ∴AM ⊥PB ，又因为AB 是半球O 的直径，P 是半球面上一点，因此P A ⊥PB ， 又AM ∩P A ＝A ，∴PB ⊥面P AM ，∵PM ⊂面P AM ，∴PB ⊥PM ； （2）根据题意可知PQ ⊥面AMB ，如图建立空间直角坐标系，则P(0，0，√3)，M(√3，0，0)，B(−√3，0，0)，A(√3，−2，0)， PM →=（√3，0，−√3），PA →=（√3，﹣2，−√3），BA →=(2√3，−2，0)，则{n →⋅PA →=√3x −2y −√3z =0n →⋅BA →=2√3x −2y =0，令x ＝1，则y =√3，z ＝﹣1，因此n →=(1，√3，−1)， 设直线PM 与平面P AB 所成角为θ，sinθ=|n →⋅PM→|n →||PM →||=√35×6=√105，直线PM 与平面P AB 所成的角的正弦值为√105．19．（12分）设锐角△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝b cos A ﹣a cos B ． （1）求证：B ＝2A ； （2）求ba的取值范围；（3）若c ＝1，求△ABC 面积的取值范围． （1）证明：因为a ＝b cos A ﹣a cos B ，由正弦定理得sin A ＝sin B cos A ﹣sin A cos B ，所以sin A ＝sin （B ﹣A ）， 又因为△ABC 为锐角三角形，可得A ，B ∈(0，π2)，所以B −A ∈(−π2，π2)，可得A ＝B ﹣A ，即B ＝2A ．（2）解：因为B ＝2A ，且△ABC 为锐角三角形，且C =π−(A +B)=π−32B ＜π2，可得B ＞π3，所以π3＜B ＜π2，又因为B ＝2A ，即π3＜2A ＜π2，可得π6＜A ＜π4，所以√22＜cosA ＜√32，则b a =sinB sinA =sin2A sinA =2cosA ∈(√2，√3)，即b a的取值范围是(√2，√3)．（3）解：由正弦定理得a=sinAsinC，b=sinBsinC，所以S=12absinC=12⋅sinA⋅sinBsinC=12⋅sinA⋅sin2Asin3A=12⋅sinA⋅sin2Asin2A⋅cosA+cos2A⋅sinA=sinA⋅cosA3cos2A−sin2A=13 tanA −tanA，又由π6＜A＜π4，可得√33＜tanA＜1，设f(x)=3x−x在(√33，1)为单调递减函数，可得3tanA−tanA∈(2，8√33)，所以S∈(√38，12)，故S的取值范围是(√38，12)．20．（12分）已知{a n}和{b n}均为等差数列，a1＝b1＝1，a3＝a1+a2，b5＝b4+a2，记c n＝max{b1﹣na1，b2﹣na2，…，b n﹣na n}（n＝1，2，3，…），其中max{x1，x2，…，x s}表示x1，x2，…，x s这s个数中最大的数．（1）计算c1，c2，c3，猜想数列{c n}的通项公式并证明；（2）设数列{1(3−c n)(2−c n)}的前n项和为S n，若S n＜−m2+4m对任意n∈N*恒成立，求偶数m的值．解：（1）设等差数列{a n}，{b n}的公差分别为d1，d2，∵a1＝b1＝1，a3＝a1+a2，b5＝b4+a2，∴1+2d1＝2+d1，d2＝1+d1，解得d1＝1，d2＝2，∴a n＝1+（n﹣1）＝n，b n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1．c n＝max{b1﹣na1，b2﹣na2，…，b n﹣na n}（n＝1，2，3，…），c1＝max{b1﹣a1}＝0，c2＝max{b1﹣2a1，b2﹣2a2}＝max{﹣1}＝﹣1，c3＝max{b1﹣3a1，b2﹣3a2，b3﹣3a3}＝max{﹣2，﹣3，﹣4}＝﹣2．猜想数列{c n}的通项公式c n＝1﹣n．证明：∵b k+1﹣na k+1﹣（b k﹣na k）＝b k+1﹣b k﹣n（a k+1﹣a k）＝2﹣n，∴数列{b k﹣na k}为单调递减数列，∴c n＝b1﹣na1＝1﹣n．（2）1(3−c n)(2−c n)=1(n+1)(n+2)=1n+1−1n+2，∴数列{1(3−c n)(2−c n)}的前n项和为S n＝（12−13）+（13−14）+…+（1n+1−1n+2）=12−1n+2，∵S n＜−m2+4m对任意n∈N*恒成立，∴12≤−m2+4m，化为：2m2﹣8m+1≤0，解得：4−√142≤m≤4+√142，∴偶数m的值为2．21．（12分）已知函数ℎ(x)=e x−1−x x2．（1）若x＞0时，恒有h（x）＞a，求a的取值范围；（2）证明：当x＞1时，e x（1+lnx）＞ex2．解：（1）若x＞0时，恒有h（x）＞a，所以当x＞0时，e x﹣1﹣x﹣ax2＞0恒成立，设f（x）＝e x﹣1﹣x﹣ax2（x≥0），令g（x）＝f'（x）＝e x﹣1﹣2ax（x≥0），则g（′x）＝e x﹣2a，显然g′（x）在（0，+∞）单调递增．故当x＞0时，g'（x）＞g'（0）＝1﹣2a，当a≤12时，1﹣2a≥0，则g'（x）＞0 对x＞0恒成立，则f'（x）在（0，+∞）单调递增，从而当x＞0时，f'（x）＞f'（0）＝0，即f（x）在（0，+∞）单调递增，所以当x＞0时，f（x）＞f（0）＝0，符合题意；当a＞12时，g（0）＝1﹣2a＜0，又因为g'[ln（1+2a）]＝e ln（1+2a）﹣2a＝1＞0，所以存在x0∈（0，ln（1+2a）），使得g'（x0）＝0，所以当0＜x＜x0时，g'（x0）＜0，即f'（x）单调递减，f'（x）＜f'（0）＝0，则f（x）单调递减，此时f（x）＜f（0）＝0，不符合题意，综上所述，a的取值范围为(−∞，12 ]；证明：（2）要证当x＞1时，e x（1+lnx）＞ex2，即证e x−1(1+lnx)x2−1＞0，设m（x）=e x−1(1+lnx)x2−1，x≥1，则m′（x）=(1+lnx)e x−1x2−(1+2lnx)e x−1x3=xlnx−2lnx+x−1x3⋅e x−1，令n（x）＝xlnx﹣2lnx+x﹣1（x≥1），则n′(x)=lnx+2−2x单调递增，所以当x＞1时，n′（x）＞n′（1）＝0，即m（x）单调递增，则当x＞1时，m′（x）＞0，即m（x）单调递增，所以当x＞1时，m(x)=e x−1(1+lnx)x2−1＞m(1)=0，原式得证．22．（12分）第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，为弘扬奥林匹克和亚运精神，增强锻炼身体意识，某学校举办一场羽毛球比赛．已知羽毛球比赛的单打规则是：若发球方胜，则发球方得1分，且继续在下一回合发球；若接球方胜，则接球方得1分，且成为下一回合发球方．现甲、乙二人进行羽毛球单打比赛，根据以往甲、乙两名运动员对阵的比赛数据可知，若甲发球，甲得分的概率为35，乙得分的概率为25；若乙发球，乙得分的概率为45，甲得分的概率为15．规定第1回合是甲先发球．（1）求第3回合由甲发球的概率；（2）①设第i回合是甲发球的概率为p i，证明：{p i−13}是等比数列；②已知：若随机变量X i服从两点分布，且P（X i＝1）＝1﹣P（X i＝0）＝q i，i＝1，2，…，n，则E(∑n i=1X i)=∑n i=1q i．若第1回合是甲先发球，求甲、乙连续进行n个回合比赛后，甲的总得分的期望．解：（1）设“第3回合由甲发球”为事件A，则P(A)=35×35+25×15=1125，所以第3回合由甲发球的概率为11 25．（2）①证明：第i（i≥2）回合是甲发球分两种情况：第一种情况为第i﹣1回合是甲发球且甲得分，第二种情况为第i﹣1回合是乙发球且甲得分，则p i=35p i−1+15(1−p i−1)，即p i=25p i−1+15，所以p i−13=25(p i−1−13)，i≥2，又因为p1−13=1−13=23≠0，所以p i−13≠0，所以p i−13p i−1−13=25，i≥2，即{p i−13}是首项为23，公比为25的等比数列．②因为{p i−13}是首项为23，公比为25的等比数列，所以p i−13=23×(25)i−1，即p i=23×(25)i−1+13，记第i回合甲得分为X i，显然X i服从两点分布，且事件X i＝1等价于第i+1回合是甲发球，故P（X i＝1）＝p i+1，又因为甲、乙连续进行n个回合比赛后，甲的得分为X＝X1+X2+…+X n，所以E（X）＝E（∑n i=1X i）=∑n i=1p i+1=∑n i=1[23×(25)i+13]=23×25[1−(25)n]1−25+n3=n3+49[1−(25)n]，故甲的总得分的期望为n3+49[1−(25)n]．。
2024-2025学年山东省淄博市高一上学期期中数学质量检测试卷(含解析)
一、单选题1. 已知集合2{|lg()}2A x y y x --==2024-2025学年山东省淄博市高一上学期期中数学质量检测试卷，{|B x y ==，则A B = （ ）A. (1,2)- B. [3,+)2∞ C. (0,)+∞ D. R【答案】D 【解析】【分析】根据对数型函数求值域得A ，根据二次函数求得函数定义域得B ，根据交集运算得解.【详解】2{|lg()}2A x y y x --==为函数2(2)lg y x x --=的值域，令2202t x x x =-->⇒>或1x <-，(0,)lg R y t t y ∈+∞⇒=⇒∈，{|B x y ==为函数y =即y =，因为2177(244x -+≥，所以函数y =R ，故R A B = ，故选：D.2. 已知命题2:0,40p x x ax ∀>-+≥，命题2:,10q x x ax ∃∈++=R ，若命题,p q 都是真命题，则实数a 的取值范围是（ ）A. 24a ≤≤B. 22a -≤≤ C. 2a ≤-或24a ≤≤ D. 2a ≤-【答案】C 【解析】【分析】命题p 可利用参变分离法将原问题转化为min4a x x ⎛⎫≤+⎪⎝⎭，结合基本不等式即可求得a 的范围，命题q 直接利用判别式即可求得a 的范围，取交集即可得答案.【详解】∵愿明天即命题4:0,p x x a x∀>+≥为真命题，min 4a x x ⎛⎫∴≤+ ⎪⎝⎭，又40,4x x x >∴+≥= ，当且仅当4x x =，即2x =时，等号成立，∵命题2:,10q x x ax ∃∈++=R ，为真命题，240,2a a ∴∆=-≥∴≤-或2a ≥，∵命题p ，q 都是真命题，2∴≤-a 或24a ≤≤．故选：C 3. 命题“213R,022x x x a ∃∈+--<”为真命题的一个必要不充分条件是（ ）A. 0a ≥ B. 1a ≥C. 2a >- D. 3a ≥-【答案】D 【解析】【分析】先由存在量词命题为真求得a 的范围，再根据“必要不充分条件”即可确定选项.【详解】由213R,022x x x a ∃∈+--<，可得21322a x x >+-在R 上能成立，因22131(1)22222x x x +-=+-≥-，故得2a >-.由题意知，()2,-+∞是选项的范围的真子集即可.故选：D.4.函数()f x =的定义域为（ ）A. [0，+∞）B. （﹣∞，2]C. [0，2]D. [0，2）【答案】D 【解析】【分析】由表达式有意义的条件列不等式组，由此可得函数的定义域.【详解】由题意可得520ln(52)0e 10x x x ->⎧⎪->⎨⎪-≥⎩,解得02x ≤<,故选：D .5. 已知3log 2a =，1215b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，13125c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则实数,,a b c 的大小关系正确的是（ ）A. a b c <<B. b c a <<C. c b a <<D. c a b<<【解析】【分析】利用中间变量法得到a b >，利用构造函数法得到c b <即可.【详解】因为331log 2log 2a =>=，121152b ⎛⎫== ⎪⎝<⎭，所以a b >，而112411525b ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，13125c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故我们构造指数函数1()25xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，得到1()4b f =，1(3c f =由指数函数性质得()f x 在R 上单调递减，因为1143<，所以c b <，综上可得c b a <<，故C 正确.故选：C6. 若函数()()20.5log f x ax x =-在区间()1,0-上单调递增，则a 的取值范围是（ ）A. (]0,2B. [)2,0- C. [)2,+∞ D. (],2-∞-【答案】D 【解析】【分析】利用复合函数单调性，结合对数函数、二次函数的单调性即可求解.【详解】由于0.5log y x =在()0,∞+上单调递减，令2t x ax =-+，()1,0x ∈-，因为0.5log y t =为减函数，又()()20.5log f x ax x=-在区间()1,0-上单调递增，由复合函数的单调性法则可知，2t x ax =-+在()1,0-上单调递减，且20t x ax =-+>在()1,0-上恒成立，因为2t x ax =-+为二次函数，开口向下，对称轴为2a x =，由2t x ax =-+在()1,0-上单调递减，可得12a≤-，解得2a ≤-，由20t x ax =-+>在()1,0-上恒成立，即2ax x >，()1,0x ∈-，可得a x <在()1,0-上恒成立，则1a ≤-，综上，实数a 的取值范围为(],2.∞--的7. 已知0,0x y >>，且3x y +=，若()2111m x yy x m +≤++-对任意的0,0x y >>恒成立，则实数m 的取值是（ ）A. (),1-∞ B. [)5,+∞C. ()[),15,-∞⋃+∞ D. (]1,5【答案】C 【解析】【分析】根据题意，问题可转化为()211111m y x y m x y x y++≤=+-++对任意的0,0x y >>恒成立，由题设条件得到(1)4x y ++=，进而得到1111144y y x x y x y ++=++++，接着结合基本不等式求得11y x y++最小值得到514m m ≤-即可求实数m 的取值范围.【详解】因为()2111m x y y x m +≤++-对任意的0,0x y >>恒成立，可得()211111m y x y m x y x y++≤=+-++对任意的0,0x y >>恒成立，又因为3x y +=，可得(1)4x y ++=，则()11111511414444x y y yy x x y x y x y ++++=+=++≥=+++，当且仅当114y x x y +=+即54,33x y ==时等号成立，所以11y x y ++最小值54，所以514m m ≤-，可得()5041m m -≤-，即()5041m m -≥-，所以()()51010m m m ⎧--≥⎨-≠⎩，解得5m ≥或1m <，所以实数m 的取值范围为()[),15,∞∞-⋃+.故选：C.8. 已知定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x +-=，[)12,0,x x ∀∈+∞，当12x x ≠时，都有为()()12211f x f x x x -<-，则不等式()()2553f x f x x --<-的解集为（ ）A. 5,03⎛⎫- ⎪⎝⎭B. 50,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 5,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D. 5,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】令()()g x f x x =+，由已知不等式和等式可求得()g x 的奇偶性和单调性，将所求不等式化为()()25g x g x <-，由单调性可得自变量大小关系，进而解得结果.【详解】不妨令210x x >≥，则由()()12211f x f x x x -<-得：()()1122f x x f x x +<+，令()()g x f x x =+，则()g x 在[)0,∞+上单调递增；()()0f x f x +-= ，()()()()0g x g x f x x f x x ∴+-=++--=，()g x ∴为定义在R 上的奇函数，()g x ∴在R 上单调递增；由()()2553f x f x x --<-得：()()2255f x x f x x +<-+-，即()()25g x g x <-，25x x ∴<-，解得：53x <，即不等式()()2553f x f x x --<-的解集为5,3∞⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：C.二、多选题9. 下列运算结果正确的有（ ）A. ()()14380.06415ππ6--++=-B. ()()21lg5lg8lg1000lg lg0.616++++=C. 32=D. )12123170.027214579--⎛⎫⎛⎫--+⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】CD 【解析】【分析】根据题意，由指数幂的运算以及对数运算，代入计算，逐一判断，即可得到结果.【详解】对于A ，原式4213116π365535π55=-++-=-+，故A 错误；对于B ，原式()()2lg 53lg 233lg 2lg 6lg 0.6=++-+()()20.613lg 5lg 23lg 53lg 2lg3lg 2lg 5lg 23lg 5lg 610=⋅+++=+++()3lg 23lg 513lg 2lg 512=+-=+-=，故B 错误；对于C，原式11142243lg 3lg 9lg 3lg 313lglg1013lg 322lg 3+-=+=+=+=，故C 正确；对于D ，原式()112323251050.37149145933⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭⎛⎫=-+-=-+-=- ⎪⎝⎭，故D 正确；故选：CD10. 对任意两个实数,a b ，定义{},min ,,a a b a b b a b≤⎧=⎨>⎩，若()()224,f x x g x x =-=，下列关于函数()()(){}min ,F x f x g x =的说法正确的是（ ）A. ()()111F F =-=B. 方程()0F x =有三个解C. 当()0F x >时，有()2,2x ∈-D. 函数()F x 有最大值为2，无最小值【答案】ABD 【解析】【分析】根据题意求出函数()2224,,4,x x F x x x x x ⎧-≤⎪⎪=<<⎨⎪-≥⎪⎩.【详解】当224x x -≤，即x ≤或x ≥时，()24F x x =-，当224x x ->，即x <<时，()2F x x =，则()2224,,4,x x F x x x x x ⎧-≤⎪⎪=<<⎨⎪-≥⎪⎩对于A ，()()11,11F F =-=，故A 正确；对于B，当x ≤或x ≥时，令()240F x x =-=，解得2x =±，当x <<时，令()20F x x ==，解得0x =，方程()0F x =有三个解，故B 正确；对于C，当x ≤或x ≥时，令()240F x x =->，解得2x -<≤2x ≤<，当x <<时，令()20F x x =>，解得0x <<或0x <综上所述，当()0F x >时，有()()2,00,2x ∈- ，故C 错误；对于D，当x ≤或x ≥时，令()242F x x =-≤，无最小值，当x <<时，()202F x x ≤=≤，综上，函数()F x 有最大值2，无最小值，故D 正确.故选：ABD.11. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名的函数R 1,Q()0,Q x f x x ∈⎧=⎨∈⎩ð，被称为狄利克雷函数，其中R 为实数集，Q 为有理数集，则以下关于狄利克雷函数()f x 的结论中，正确的是（ ）A. 函数()f x 满足：()()f x f x -=B. 函数()f x 的值域是[]0,1C. 对于任意的x ∈R ，都有()()1ff x =D. 在()f x 图象上不存在不同的三个点、、A B C ，使得ABC V 为等边三角形【答案】AC 【解析】【分析】利用R 1,Q()0,Q x f x x ∈⎧=⎨∈⎩ð，对选项A ，B 和C 逐一分析判断，即可得出选项A ，B 和C 的正误，选项D ，通过取特殊点()0,1,,A B C ⎫⎛⎫⎪ ⎪⎭⎝⎭，此时ABC V 为等边三角形，即可求解.为【详解】由于R 1,Q ()0,Q x f x x ∈⎧=⎨∈⎩ð，对于选项A ，设任意x ∈Q ，则()(),1x f x f x -∈-==Q ；设任意Q x ∈R ð，则()()Q,0x f x f x -∈-==R ð，总之，对于任意实数()(),x f x f x -=恒成立，所以选项A 正确，对于选项B ，()f x 的值域为{}0,1，又{}[]0,10,1≠，所以选项B 错误，对于选项C ，当x ∈Q ，则()()()()1,11f x ff x f ===，当Q x ∈Rð，则()()()()0,01f x f f x f ===，所以选项C 正确，对于选项D ，取()0,1,,A B C ⎫⎛⎫⎪⎪⎭⎝⎭，此时AB AC BC ===，得到ABC V 为等边三角形，所以选项D 错误，故选：AC ．三、填空题12. 已知函数3()23f x x x =+，若0m >，0n >，且()()()230f m f n f +-=，则29m n+最小值是______.【答案】323##2103【解析】【分析】确定给定函数的奇偶性及单调性，再求出,m n 的关系等式，并利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【详解】函数3()23f x x x =+定义域为R ，3()2()3()()f x x x f x -=-+-=-，因此函数()f x 是R 上的奇函数，且在R 上单调递增，由()()()230f m f n f +-=，得()(23)(32)f m f n f n =--=-，则23m n +=，所以29129193234132()()(20(2033m n m n m n n m m n +=+=++≥+=+，当且仅当94m n n m =，即39,48m n ==时取等号，所以29m n +最小值是323.故答案为：32313. 已知函数()34f x ax bx =++，若()20242f -=，则()2024f =________．【答案】6【解析】【分析】先证得()g x 为奇函数，所以()20242g -=-，再由奇函数的性质可求出()2024f .【详解】解：令()3g x ax bx =+，()()()()()33g x a x b x ax bx g x -=-+-=-+=-，所以()g x 为奇函数，所以()()2024202442f g -=-+=，所以()20242g -=-，所以()20242g =，所以()()2024202446f g =+=．故答案为：6.14. 已知函数()()222,log 1,x x x af x x x a ⎧->⎪=⎨+≤⎪⎩，给出下列四个结论：①对任意实数a ，函数()f x 总存在零点；②存在实数a ，使得函数()f x 恒大于0；③对任意实数a ，函数()f x 一定存在最小值；④存在实数a ，使得函数()f x 在(),a -∞上始终单调递减.其中所有正确结论的序号是______.【答案】①④【解析】【分析】根据二次函数以及对数函数的性质即可求解零点，结合函数图象即可求解①，根据0a ≤时，当02x <<时，()220f x x x =-<，以及0a <时，由于()00f =，即可判断②，根据12a ≤<，结合二次函数的性质即可求解③，根据0a ≤时，对数函数的性质即可判断④.【详解】令220x x -=，则0x =或2x =，令()2log 10x +=，则0x =，且22y x x =-和()2log 1y x =+的图象分别如下所示：当2a <时，()()222,log 1,x x x af x x x a ⎧->⎪=⎨+≤⎪⎩的零点有0x =和2x =，当2a ≥时，()()222,log 1,x x x af x x x a ⎧->⎪=⎨+≤⎪⎩的零点有0x =，故①正确，对于②,当0a <时，当02x <<时，()220f x x x =-<，不满足题意，当0a ≥时，由于()00f =，不满足()f x 恒大于0；故不存在实数a ，使得函数()f x 恒大于0，②错误，对于③,当12a ≤<时，()f x 的图象如下所示：此时()f x 不存在最小值；故③错误对于④，当0a ≤，()f x 图象如下：函数()f x 在(),a ∞-上始终单调递减.故④正确故答案为：①④四、解答题15. 设集合{}{}{}2212,40,A x a x a B x x x C y y x B=-≤≤+=-≤==∈（1）是否存在实数a ，使x B ∈是x A ∈的充分不必要条件，若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由；（2）若A C C = ，求实数a的取值范围．【答案】（1）存在，2a ≥（2）1a ≤【解析】【分析】（1）根据充分不必要条件列不等式，由此求得a 的取值范围.（2）根据集合A 是否为空集进行分类讨论，由此列不等式来求得a 取值范围.【小问1详解】()2440x x x x -=-≤，解得04x ≤≤，所以{}|04B x x =≤≤，假定存在实数a ，使x B ∈足x A ∈的充分不必要条件，则B A ，A ≠∅，则21220124a a a a -≤+⎧⎪-≤⎨⎪+>⎩或21220124a a a a -≤+⎧⎪-<⎨⎪+≥⎩，解得2a ≥或2a >，因此2a ≥，所以存在实数a ，使x B ∈是x A ∈的充分不必要条件，2a ≥．【小问2详解】当04x ≤≤时，16125x ≤+≤，15≤≤，则{}15C x x =≤≤，由A C C = ，得A C ⊆，当212a a ->+，即13a <时，A =∅，满足A C ⊆，符合题意，则13a <；当212a a -≤+，由A C ⊆，得12125a a ≤-≤+≤，解得113a ≤≤，因此1a ≤，所以实数a 的取值范围是1a ≤．16. 已知函数()()()211,f x ax a x b a b R =-++-∈.（1）若1a =，关于x 的不等式()2f x x ≥在区间[]3,10上恒成立，求b 的取值范围；（2）若0b =，解关于x 的不等式()0f x <.【答案】（1）2b ≤-；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）1a =时不等式化为求241b x x ≤-+在[]3,10x ∈上的最小值可得答案；（2）0b =时不等式为()2110ax a x -++<，讨论0a = 、0a <、0a >时解不等式可得答案.的【详解】（1）1a =，不等式化为2212x x b x-+-≥，[]3,10x ∈，所以()224123b x x x ≤-+=--在[]3,10恒成立，即求()223y x =--在[]3,10x ∈上的最小值为2-，所以2b ≤-.（2）0b =，不等式为()2110ax a x -++<，①当0a =时，10x -+<，1x >不等式解集为()1,+∞；当0a ≠时不等式转化为()110a x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，②当0a <时，不等式()110x x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭解集为()11,a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ ，；③当0a >时，不等式()0f x <化为()110x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，若1a =，不等式解集为∅；若1a >，不等式解集为1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭；若01a <<，不等式解集为11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭.综上所述：①当0a <时，不等式解集为()11,a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ ，；②当0a =时，不等式解集为()1,+∞；③当01a <<时，不等式解集为11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭；④当1a =时，不等式解集∅；⑤当1a >时，不等式解集为1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭.17. 生物钟（昼夜节律）是生物体内部的一个调节系统，控制着生物的日常生理活动．研究显示，人体的某些荷尔蒙（如皮质醇）在一天中的分泌量会随着时间的不同而发生变化，从而影响人的活力和认知能力．假设人体某荷尔蒙的分泌量()H t （单位：ng /mL ）与一天中的时间t （单位：小时，以午夜0点为为起点）的关系可以通过以下分段函数来描述：●在夜间()06t ≤<，荷尔蒙分泌量保持在较低水平，可以近似为常数()H t a =．●在早晨()612t ≤≤，随着人醒来和太阳升起，荷尔蒙分泌量线性增加，其关系为()()6H t b t a =-+，当12t =时，分泌量达到最大值maxH ●在下午和晚上()1224t <≤，荷尔蒙分泌量逐渐降低，可以用指数衰减模型描述，即()()12max e c t H t H --=⋅．已知午夜时荷尔蒙分泌量为5ng /mL ，峰值分泌量为20ng /mL（1）求参数a ，b 和c 的值以及函数()H t 的解析式；（2）求该同学一天内荷尔蒙分泌量不少于10ng /mL 的时长．【答案】（1）5a =， 2.5b =，ln26c =，()()()ln 21265,062.565,61220e ,1224t t H t t t t --⎧≤<⎪⎪=-+≤≤⎨⎪⎪⋅<≤⎩（2）10个小时【解析】【分析】（1）根据()05H =求出a ，再根据()1220H =和()245H =分别求出,b c ，即可得出函数解析式；（2）分612t ≤≤和1224t <≤两种情况解不等式()10H t ≥即可.【小问1详解】根据题意得，午夜时荷尔蒙分泌量()05H =，5a ∴=，在早晨()612t ≤≤，荷尔蒙分泌量满足关系式：()()6H t b t a =-+，当12t =时，分泌量达到峰值即max 20H =，即()()1212620H b a =-+=，解得：15 2.56b ==，因此早晨时段的荷尔蒙分泌量关系为()()()2.565612H t t t =-+≤≤，在下午和晚上()1224t <≤时段，荷尔蒙分泌量满足：()()1220e c t H t --=⋅，所以()()24122420e 5c H --=⋅=，解得ln26c =，所以荷尔蒙分泌量为()()()ln 212620e 1224t H t t --=⋅<≤，综上，荷尔蒙分泌量的函数关系为()())ln 21265,062.565,61220e ,1224t t H t t t t --⎧≤<⎪⎪=-+≤≤⎨⎪⎪⋅<≤⎩；【小问2详解】①当612t ≤≤时，()()2.56510H t t =-+≥，解得8t ≥，所以812t ≤≤，②当1224t <≤时，()()1220e 10c t H t --=⋅≥，()ln 2112ln 621e e 2t --∴≥=，()ln2112ln ln262t ∴--≥=-，126,18t t ∴-≤≤，1218t ∴<≤，综上所述818t ≤≤，该同学一天之内荷尔蒙分泌不少于10ng /ml 的时长为10个小时.18. 已知定义在R 上的奇函数3()31x x m f x -+=+，m ∈R .（1）求m ；（2）判断并证明()f x 在定义域R 上的单调性.（3）若实数a 满足()22122a a f +<-，求a 的取值范围.【答案】（1）1m =（2）函数()f x 在R 上单调递减，证明见解析（3）()(),20,-∞-⋃+∞【解析】【分析】（1）由()f x 是定义在R 上的奇函数，则有()00f =，得出m 后再代回检验即可得；（2）由312()13131x x x f x -+==-+++可判断()f x 为R 上的单调递减函数，结合单调性定义证明即可；（3）结合函数单调性与奇偶性应用即可得.【小问1详解】由题意，函数()f x 是定义在R 上的奇函数，可得()00f =，解得1m =，当1m =时，()3131x x f x -+=+，3131()()3131x x x x f x f x ---+-+-==-=-++，()3131x x f x -+=+是奇函数，故1m =.【小问2详解】()f x 是R 上的单调递减函数，证明如下：任取1x 、2x 且12x x <，则()()()()()1221211221233131313131313x x x x x x x x f x f x --+-+-=-=++++，因21x x >，故12330x x -<，从而有()()210f x f x -<，即()()21f x f x <，所以函数()f x 在R 上单调递减；【小问3详解】由()112f =-，故()()221212a a f f +<-=，即()()2221a a f f +<，由()f x 在R 上单调递减，可得2221a a +>，即220a a +>，解得2a <-或0a >，即实数a 的取值范围()(),20,-∞-⋃+∞.19. 已知函数()2xf x =（x ∈R ）．（1）解不等式()()21692xf x f x ->-⨯；（2）若函数ℎ(x )为()f x 的反函数，()26h x ax -+在()2,5上单调，求a 的取值范围；（3）若函数()()()f x g x h x =+，其中()g x 为奇函数，ℎ(x )为偶函数，若不等式()()220ag x h x +≥对任意[]1,2x ∈恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）(1,3)（2）(],4∞-（3）17,12⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）由题意可得2221692x x x ->-⨯，换元法求解即可；（2）由题意可得()()222log 66h x ax x ax --=++在()2,5上单调，则260x ax -+>在()2,5上恒成立，且26y x ax =-+在()2,5上单调，结合二次函数分析求解；（3）由函数的奇偶性先求出()g x ，()h x 的解析式，可得111(2(40224x x x x a -++≥，再由换元法与参变分离运算求解.【小问1详解】因为()()21692x f x f x ->-⨯，且()2x f x =，则2221692x x x ->-⨯，设2x t =，则不等式可化为2169t t t ->-，解得28t <<，即228x <<，则13x <<，故原不等式的解集为(1,3).【小问2详解】若函数()h x 为()f x 的反函数，则()2log h x x =，因为()()222log 66h x ax x ax --=++在()2,5上单调，则260x ax -+>在()2,5上恒成立，即6x a x +>，因为6x x +≥=，当且仅当6x x =，即()2,5x =时，等号成立，可得a <，且26y x ax =-+在()2,5上单调，则22a ≤或52a ≥，解得4a ≤或10a ≥；综上所述：a 的取值范围(],4∞-.【小问3详解】由题意得2()()x g x h x =+，则1()()()()2xg x h x g x h x =-+-=-+，即()()21()()2x x g x h x g x h x ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，解得11()(2)2211()(222x x x x h x g x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，若不等式()()220ag x h x +≥对任意[]1,2x ∈恒成立，即111(2(40224xx x x a -++≥，可得2111(2)220222x x x x a ⎡⎤⎛⎫-+-+≥⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，令122xx k =-，且12,2xx y y ==-在[]1,2内单调递增，则122x x k =-在[]1,2内单调递增，且当1x =时，32k =；当2x =时，154k =；可知13152,224x x k ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦，则不等式可化为21(2)02ak k ++≥对315[,]24k ∈恒成立，可得22k a k +≥-，315[,24k ∈，且32>，由对勾函数性质可知2y k k =+在315[,]24内单调递增，可知当32k =时，2y k k =+取到最小值176，则1726a ≥-，解得1712a ≥-，所以实数a 的取值范围是17,12⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x >恒成立(即()max a f x >可)或()a f x <恒成立（即()min a f x <可）；② 数形结合(()y f x =图象在 ()y g x =上方即可)；③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④ 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.。