《复数》知识点总结

《复数》知识点总结

1、复数的概念

形如(,)a bi a b R +∈的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位，满足2

1

i

=-，a 叫做复数的实部，b 叫

做复数的虚部.

(1)纯虚数：对于复数z a bi =+，当00a b =≠且时，叫做纯虚数.

(2)两个复数相等：,()a bi c di a b c d R ++∈、、、相等的充要条件是=a c b d =且.

(3)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，横轴为实轴，竖轴除去原点为虚轴.

(4)复数的模：复数z a bi =+可以用复平面内的点Z(,)a b 表示，向量OZ 的模叫做复数z a bi =+的模，

表示为：||||z a bi =+

（5）共轭复数：两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做共轭复数.

2、复数的四则运算

（1）加减运算：()()()()a bi c di a c b d i +±+=±++； （2）乘法运算：()()()()a bi c di ac bd ad bc i +⋅+=-++； （

3

）

除

法运算：

2222

()()

()()(0)

ac bd bc ad a bi c di i c di c d c d +-+÷+=

++≠++；

（4）i 的幂运算：

41n

i =，41

n i i +=，

42

1

n i +=-，

43

n i i +=-.()

n Z ∈

（5）2

2

||||z z z z ==

3、 规律方法总结

（1）对于复数(,)z a bi a b R =+∈必须强调,a b 均为实数，方可得出实部为a ，虚部为b （2）复数(,)z a bi a b R =+∈是由它们的实部和虚

部唯一确定的，两个复数相等的充要条件是

把复数问题转化为实数问题的主要方法．对

于一个复数(,)

z a bi a b R

=+∈，既要从整体的角度去认识它，把复数看成一个整体，又要从实部、虚部的角度分解成两部分去认识

（3）对于两个复数，若不全是实数，则不能比较大小，在复数集里一般没有大小之分，但却有相等与不等之分.

（4）数系扩充后，数的概念由实数集扩充到复数集，实数集中的一些运算性质、概念、关系就不一定适用了，如绝对值的性质、绝对值的定义、偶次方非负等

1、基本概念计算类 例1．若,

43,221

i z i a z

-=+=且2

1z z 为纯虚数，则实数a

的值为_________ 解

：

因

为

，

2

1z z ＝

25

)46(83258463)43)(43()43)(2(432i

a a ia i a i i i i a i i a ++-=-++=+-++=-+，

又2

1

z z 为纯虚数，所以，3a －8＝0，且6＋4a ≠0。

3

8

=

∴a

2、复数方程问题

例2．证明：在复数范围内，方程i

i

z i z +-=

-+255)1(||2

（i 为虚数单位）无解

证明：原方程化简为,31)1()1(||i z i z i z -=+--+设z ＝x ＋yi(x 、y

R

∈)，代入上述方程得

⎩⎨

⎧=+=+-=--+3

221

.3122222

2

y x y x i yi xi y x 整理得0

51282

=+-x x

∴

<-=∆.016 方程无实数解，所以原方程在复数

范围内无解。 3、综合类

例3．设z 是虚数，z

z 1

+=ω是实数，且－1<ω<2 （1） 求|z|的值及z 的实部的取值范围；

（2） 设z

z M +-=11，求证：M 为纯虚数； （3） 求2

M -ω的最小值。

解：（1）设z ＝a ＋bi （a ，b 0,≠∈b R ）

,)()(12

222i b a b

b b a a a bi a bi a +-+++=++

+=ω 因为，ω是实

数，0≠b 所以，1

22

=+b a

，即|z|＝1， 因为ω＝2a ，－

1<ω<2，12

1<<-a 所以，z 的实部的取值范围（－1,2

1

） （2）

z

z M +-=

11＝

1)1(21)1)(1()1)(1(112

222+-

=++---=-+++-+--=++--a bi

b a bi b a bi a bi a bi a bi a bi a bi a （这里利用

了（1）中1

22

=+b a

）。 因为a ∈（－1,2

1），0≠b ，所以M 为纯虚数 （3）

2

M -ω11

2)1(12)1(22

222+--

=+-+=++=a a a a a a a b a

3]1

1

)1[(21212-+++=++

-=a a a a

因为，a ∈（－1,21），所以，a ＋1>0， 所以2

M -ω≥2×2－3＝1，

当a ＋1＝11+a ，即a ＝0时上式取等号， 所以，2

M -ω的最小值是1。

4、创新类 例

4．对于任意两个复数

R

y y x x i y x z i y x z ∈+=+=2121222111,,,(,)定义运算“⊙”为

1

z ⊙2

z ＝2

12

1y y x

x +，设非零复数2

1

,ωω在复平面内对

应的点分别为2

1

,P P ,点O 为坐标原点，若1

ω⊙2

ω

＝0，则在2

1

OP P ∆中，2

1

OP P ∠的大小为_________. 解法一：（解析法）设)

0,(,21222111

≠+=+=a a i b a i b a ωω

，