七年级数学家庭辅导 第二章 有理数 华东师大版

第二章有理数

相反意义的量正数

零

负数

有理数比较大小

有理数

相反数绝对值

数轴有理数的运算

法

则

运

算

律

加

减

法

乘

除

法

乘

方

交

换

律

结

合

律

分

配

律

知识结构：

应知：

一、基本概念

自然数：零和正整数称为自然数。

【注意】

①0不是正整数，也不是负整数，但它是整数。0可以表示没有，也可以表示一个实际存在的数量，如0℃．

②自然数又可分为奇数(2n-1)和偶数(2n)；0是偶数。质数(又称素数。指在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，没法被其他自然数整除的数。)与合数(比1大但不是素数的整数)。零(0)和1既非质数也非合数。

正数和负数：用来表示具有相反意义的量的一对数。一般说，大于0的数称为正数，小于0的数称为负数。但在表示具有相反意义的量时，负数只是正数加上“-”号，不表示小于0。

整数：正整数(除0外的自然数)、负整数和0统称为整数。

有理数：整数和分数统称有理数（包括有限小数和无限循环小数）。

【注意】常见的不是有理数的数有π和有规律的但不循环的小数。如：0.010000001……将来会学

到，这叫无理数，属实数范围。

数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。划线部分称为数轴三要素。 相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零。

数的绝对值：一个数的绝对值就是在数轴上表示这个数的点与原点的距离。一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零。

【注意】

①绝对值的代数定义用数学符号语言表达：如果a ＞0，那么a =a ；如果a ＜0，那么

a =-a ；如果a=0，那么a =0。实数绝对值的形式定义是：a ∈

R ， ⎩⎨⎧-≥=0a a,

0a a,a ＜

②“| |”有两重作用，即绝对值和括号。

③-(-5)读作-5的相反数，-|-5|读作-5绝对值的相反数。

④若表示两个非负数的式子和为0（或这两个式子互为相反数），则这两个式子都等于0。如：若()07y x 3x 2

=+++-，则()03x 2

=-(即03x =-),07y x =++.

倒数：两个数乘积是1的数互为倒数，0没有倒数。 乘方：求几个相同因数的积的运算叫做乘方。

冪：乘方的结果叫做冪。n

a 读作a 的n 次方，或a 的n 次冪。式中a 叫做底数，n 叫做指数。

近似数：与实际数非常接近的数称为近似数。 【注意】

①近似数的精确度。

②近似数一般是用四舍五入的方法得到的，但实际生活中，有时也用估算法或进一法得到。

精确度：近似数与实际数近似的程度叫做精确度。

有效数字：一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位，这时，从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字，都叫做这个数的有效数字。

科学记数法：把一个数写作n

a 10⨯±的形式，其中101<≤a ，n 是整数，这种记数法叫做科学记数法。 二、基本法则

1. 有理数大小比较法则(注：学了实数后，实数大小的比较与此相同)：

①正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数。

②两个正数，绝对值大的则大；两个负数，绝对值大的反而小。 ③在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 ④求差比较：设a 、b 是有理数，

b

a 0b a b,a 0b a b,a 0b a ＜＜ ＞＞⇔-=⇔=-⇔- ⑤求商比较法：设a 、b 是两正有理数，b a 1b

a b,a 1

b a b,a 1b a

＜＜＞＞⇔=⇔=⇔ ⑥绝对值比较法：设a 、b 是两负有理数，b a b a <⇔> ⑦平方比较法：设a 、b 是两负有理数，b a b a <⇔>22 2. 有理数运算法则(注：实数运算法则与此同)

①加法交换律：两个有理数相加，交换加数的位置，和不变。 用代数式表示：a b b a +=+

②加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。 用代数式表示：)()(c b a c b a ++=++

③乘法交换律：两个有理数相乘，交换乘数的位置，积不变。 用代数式表示：ba ab =

④乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。 用代数式表示：)()(bc a c ab =

⑤乘法对加法的分配律：两个数相加再乘另一个数,等于把这个数分别同两个加数相乘,再把两个积相加,得数不变。

用代数式表示：ac ab c b a +=+)( ⑥有理数的运算顺序

先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。 【注意】

①减去一个数，等于加上这个数的相反数。

②除以一个数等于乘以这个数的倒数。零不能作除数。

③正数的任何次冪都是正数，负数的奇次冪是负数，负数的偶次冪是正数。 应会：

1. 有理数的加、减、乘、除、乘方及混合运算。

【注意】①运算顺序。②运用各种运算律各公式，寻求简易算法。③去括号时的变号。

2. 用代数式表示运算律。

3. 在数轴上表示数、比较数的大小、确定数集。

4. 科学记数法。(注意：有效数字的位数。)

5. 取近似数。

6. 使用计算器。