第八章 高斯光束
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第8章高斯光束
l2 f 2
f
2
1
l f
(3) F 1 R(l) 1 (l f 2 )时,
2
2l
(4)F
时，
w0 w0
1
lim w0 lim
F
w F 0
F (l F )2 f 2
lim F
1
1
(l
- F)2 F
f F
2 2
w0 1 w0
w0 w0
1
l f
2
1
RR
2
F
25
结论
只有 F 1 R(l) ,才有聚焦作用
F15 q
五、透镜对高斯光束的变换规律
q=l+if q=-l+if
q Fq Fq
q、q:透镜处物、像高斯光束q参数
l、l :物、像高斯光束腰到透镜距离
f、f :物像高斯光束焦参数
q q
f(w0)
O
f(w0) Z
O
l F l
16
例1 某高斯光束焦参数为f=1m,将焦距F=1m 的凸透镜置於其腰右方l=2m处,求经透镜变换 后的像光束的焦参数f及其腰距透镜的距离l
解 (1)
0
f
f
02
3.14 106 3.14 106
1m
z=0.5m
q(z) பைடு நூலகம் if 0.5 i(m)
(2)
w(z) w0
1
z2 f2
w0
1
0.52 12
1.12mm
f2
12
R(z) z 0.5 2.5m
z
0.5
8
例8-2 高斯光束在某处的光斑半径为w=1mm, 等相
第8章高斯光束
例3 高斯光束波长为=3.14m,某处的q参数 为q=1+i(m),求(1)此光束腰斑半径w0及腰位置 (2)该处光斑半径w与等相位面曲率半径R
解 (1) z=1m f=1m
w0
f
3.14 106 1 1mm 3.14
腰位置为在该处左方1m处
(2) 1 1 1 i 1 i 1
q 1i 2 2 2
2i
q 1 2 i 2 i 0.4 0.2i(m) 2i 41 5
(2)
w(z) w0
1
z2 f2
( f z2 )
f
R(z) z f 2 z
z f 2 0.5 z
f z2 1 f
z2 f 2 0.5 ① z
f 2 z2 1 ②
f
z2 f 2 0.5 z
f 2 z2 1 f
R=R(z) R=R(z)
z
0 z z
L
2、通过透镜 R FR
FR
F:透镜焦距(凸透镜为正)
证 透镜的光学变换矩阵
T
1
1 F
0 1
R
1 1
R
R
0
1
R 1 R
FR F R
F
F
或
Ru
11 1 uv F
R v 1 1 1 R R F
R R
o u v o z
F
1 1 1 FR R R F FR
例1 某高斯光束波长为=3.14m,腰斑半径为 w0=1mm,求腰右方距离腰50cm处的(1)q参数 (2)光斑半径w与等相位面曲率半径R
解 (1)
w0
f
z=0.5m
f
w
2 0
3.14 106 3.14 106
3.8高斯光束
第八节 高斯光束
一、高斯光束的基本性质
1.基模高斯光束
沿z轴传播的基模高斯光束的表达式
x2 + y2 ⎡ z k x2 + y2 ⎤ −i ⎢ kz − arctg + ⎥ zR 2 R(z ) ⎥ ⎢ ⎣ 14444244443 4 4⎦
相位因子
(
)
C 00 − w2 ( z ) ψ 00 ( x, y , z ) = e e w( z ) 14243
U ( x, y , z ) ∝ 1 −ikR 1 e ≈ e R R
⎛ x2 + y2 −ik ⎜ z + ⎜ 2z ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠
=
1 e R
⎛ x2 + y2 −ik ⎜ z + ⎜ 2R ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
因此，q(z)称为高斯光束的复曲率半径，也称为q参数
q(z)将w(z)和R(z)统一起来，已知q(z)可求出w(z) 和R(z)
Q 高斯光束的q的变换规律同球面波R的变换规律相同 ∴ Aq1 + B q2 = Cq1 + D
（1）高斯光束q参数在自由空间的传播 由
⎧ 1 1 λ ⎪ = −i q( z ) R( z ) πω 2 ( z ) ⎪ ⎪ ⎡ ⎛ πω 2 ⎞ 2 ⎤ ⎪ 0 ⎨ R( z ) = z ⎢1 + ⎜ ⎟ ⎜ λz ⎟ ⎥ ⎢ ⎝ ⎠ ⎥ ⎪ ⎦ ⎣ ⎪ ⎡ ⎛ λz ⎞ 2 ⎤ ⎪ω 2 ( z ) = ω 2 ⎢1 + ⎜ 0 ⎟ ⎜ πω 2 ⎟ ⎥ ⎪ ⎢ ⎝ 0⎠ ⎥ ⎦ ⎣ ⎩
（3）普通球面波的ABCD定律
光学系统 R1
θ1
P1 R2
r1
r2
θ2
P2
一、高斯光束的基本性质
1.基模高斯光束
沿z轴传播的基模高斯光束的表达式
x2 + y2 ⎡ z k x2 + y2 ⎤ −i ⎢ kz − arctg + ⎥ zR 2 R(z ) ⎥ ⎢ ⎣ 14444244443 4 4⎦
相位因子
(
)
C 00 − w2 ( z ) ψ 00 ( x, y , z ) = e e w( z ) 14243
U ( x, y , z ) ∝ 1 −ikR 1 e ≈ e R R
⎛ x2 + y2 −ik ⎜ z + ⎜ 2z ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠
=
1 e R
⎛ x2 + y2 −ik ⎜ z + ⎜ 2R ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
因此，q(z)称为高斯光束的复曲率半径，也称为q参数
q(z)将w(z)和R(z)统一起来，已知q(z)可求出w(z) 和R(z)
Q 高斯光束的q的变换规律同球面波R的变换规律相同 ∴ Aq1 + B q2 = Cq1 + D
（1）高斯光束q参数在自由空间的传播 由
⎧ 1 1 λ ⎪ = −i q( z ) R( z ) πω 2 ( z ) ⎪ ⎪ ⎡ ⎛ πω 2 ⎞ 2 ⎤ ⎪ 0 ⎨ R( z ) = z ⎢1 + ⎜ ⎟ ⎜ λz ⎟ ⎥ ⎢ ⎝ ⎠ ⎥ ⎪ ⎦ ⎣ ⎪ ⎡ ⎛ λz ⎞ 2 ⎤ ⎪ω 2 ( z ) = ω 2 ⎢1 + ⎜ 0 ⎟ ⎜ πω 2 ⎟ ⎥ ⎪ ⎢ ⎝ 0⎠ ⎥ ⎦ ⎣ ⎩
（3）普通球面波的ABCD定律
光学系统 R1
θ1
P1 R2
r1
r2
θ2
P2
高斯光束的传播特性课件
加精准，能够实现更高的光束质量和更稳定的传输。
动态调控
02
通过实时监测和反馈系统，实现对高斯光束的动态调控，以满
足不同应用场景的需求。
多光束控制
03
未来将实现多光束的独立控制和协同操作，提高光束的灵活性
和应用范围。
高斯光束在量子通信中的应用
1 2 3
安全性增强 高斯光束在量子通信中能够提供更强的安全性保 障，通过量子纠缠和量子密钥分发等技术，实现 更加安全的通信传输。
传输距离提升 随着量子通信技术的发展，高斯光束的应用将有 助于提高量子通信的传输距离和稳定性。
网络架构优化 高斯光束在量子通信网络架构中能够提供更灵活 和高效的光路设计，优化网络性能和扩展性。
高斯光束在其他领域的应用
生物医学成像
高斯光束在生物医学领域可用于光学显微镜、光谱仪等设备的成像 技术，提高成像质量和分辨率。
在生物医学成像中的应用
光学成像
高斯光束作为照明光源，能够提高光学成像的分辨率和对比度。
荧光成像
利用高斯光束激发荧光标记物，实现生物组织的荧光成像。
光声成像
结合高斯光束与光声效应，实现生物组织的高分辨率、高对比度 的光声成像。
05
高斯光束的未来展
高斯光束控制技术的发展
高精度控制
01
随着光学技术和计算机技术的发展，未来高斯光束的控制将更
高斯光束的强度分布和相位分 布都可以用高斯函数描述，这 使得高斯光束在许多领域都有 广泛的应用。
02
高斯光束的播特性
传播过程中的光强分布变化
01 02
光强分布变化规律
高斯光束在传播过程中，光强分布呈现中间高、两侧低的形态，类似于 钟形曲线。随着传播距离的增加，光强分布逐渐展宽，但中心峰值保持 不变。
第八章--激光准直技术
2、四象限PSD工作原理（平恒电桥法） 如图8-15所示，
图8-15 1、当四象限硅光电池中心和准直线同轴时，四块硅光电池 输出电压相同，电桥平衡。 2、若输出不平衡，测准直中心变化，根据其变化规律，可 判断其方向。
要求：四象限硅光电池光电特性完全一致，一般不易保 证 ， 其 差 值 多 达 20% ， 可 采 用 以 下 平 衡 电 阻 法 来 解 决 。 （图8-16）
中心光效的直径近似为：d0
2 4
n1
例，设θ=0.01rad，R=5mm，n=1.5，λ=0.6328×10-3mm
则 Zma xn R 10.5 50.0 110m 00 m
d02.4 1.05.6 132 01 .080 13 0.1mm
§8-2 位相测量型激光准直系统
如图8-11所示：
图8-11
部分资料从网络收集整 理而来，供大家参考，
感谢您的关注！
J0
r
位相 振幅
其 r2 中 x2y2 ， 22k2, k2
如果光波为高斯光束则：
E2ejzJ0rex p r20 2
当上二式中时：
E1 ejz ——平面波
E2 expr202ejz ——一般高斯光束
从Bessel-Gaussian光束的表达式可以看出，
其振幅 J0arexpr202 只与X、Y有关，而与Z无关，
Df d
其产生零阶Bessel-Gaussian光束的条件为：
Δd<<2λF（F为透镜的F数：
F
1 D
f
f D
）
例：设d=φ2.5mm，fˊ=305mm，D=φ7mm
则 Zma x7 2.350585m 4m
此时产生零级Bessel-Gaussian光束的条件为：
高斯光束
1
1．亥姆霍兹方程的波束解
波束场强在横截面上的分布形式是由具体激发条件确 定的．现在我们研究一种比较简单和常见的形式．这 种波束能量分布具有轴对称性，在中部场强最大，靠 近边缘处强度迅速减弱．设波束对称轴为z轴，在横 截面上具有这种分布性质的最简单的函数是高斯函数
e−
x
2+y w2
2
2
x2 + y2
（6.2）
ψ(x,y,z)是z的缓变函数．所谓缓变是相对于eikz而言的 .因 子eikz当z≤λ时已有显著变化，我们假设ψ(x,y,z),当z~λ时
变化很小，因此在它对z的展开式中可以忽略高次项5 .
电磁场的任一直角分量u(x,y)满足亥姆霍兹方程
∇2u + k 2u = 0
把
µ(x, y, z) = ψ (x, y, z)eikz
2
2
e −iφ
= µ0
w0 w
e−iφ
φ = arc tg 2z kw02
（6.14） （6.15）
11
把（6 .13）和（6 .14）代人（6 .2）和（6. 4）式 得光束场强函数
( ) µ
x, y, z
µ =
w0
−
x
2+y ω2
2
iΦ
w e e 0
( ) Φ
=
kz
+
§6 高斯光束
第一节所讨论的平面电磁波是具有确定传播方向， 但却广延于全空间中的波动 . 实际上应用的定向电磁 波除了要求它具有大致确定的传播方向外，一般还要 求它在空间中形成比较狭窄的射束，即场强在空间中 的分布具有有限的宽度 . 特别是在近年发展激光技术 中，从激光器发射出来的光束一般是很狭窄的光束 . 研究这种有限宽度的波束在自由空间中传播的特点对 于激光技术和定向电磁波传播问题都具有重要意义 . 本节我们从电磁场基本方程研究波束传播的特性 .
1．亥姆霍兹方程的波束解
波束场强在横截面上的分布形式是由具体激发条件确 定的．现在我们研究一种比较简单和常见的形式．这 种波束能量分布具有轴对称性，在中部场强最大，靠 近边缘处强度迅速减弱．设波束对称轴为z轴，在横 截面上具有这种分布性质的最简单的函数是高斯函数
e−
x
2+y w2
2
2
x2 + y2
（6.2）
ψ(x,y,z)是z的缓变函数．所谓缓变是相对于eikz而言的 .因 子eikz当z≤λ时已有显著变化，我们假设ψ(x,y,z),当z~λ时
变化很小，因此在它对z的展开式中可以忽略高次项5 .
电磁场的任一直角分量u(x,y)满足亥姆霍兹方程
∇2u + k 2u = 0
把
µ(x, y, z) = ψ (x, y, z)eikz
2
2
e −iφ
= µ0
w0 w
e−iφ
φ = arc tg 2z kw02
（6.14） （6.15）
11
把（6 .13）和（6 .14）代人（6 .2）和（6. 4）式 得光束场强函数
( ) µ
x, y, z
µ =
w0
−
x
2+y ω2
2
iΦ
w e e 0
( ) Φ
=
kz
+
§6 高斯光束
第一节所讨论的平面电磁波是具有确定传播方向， 但却广延于全空间中的波动 . 实际上应用的定向电磁 波除了要求它具有大致确定的传播方向外，一般还要 求它在空间中形成比较狭窄的射束，即场强在空间中 的分布具有有限的宽度 . 特别是在近年发展激光技术 中，从激光器发射出来的光束一般是很狭窄的光束 . 研究这种有限宽度的波束在自由空间中传播的特点对 于激光技术和定向电磁波传播问题都具有重要意义 . 本节我们从电磁场基本方程研究波束传播的特性 .
共振腔详解
有的给出ω 有的给出发散角θ， 有的给出 0，有的给出发散角 ，有的给 出f， ω0＝4λ/πθ ，
２、wR参数 、 参数
观察点z处光斑半径 与等相位面曲率半径R(z) 观察点 处光斑半径w(z)与等相位面曲率半径 处光斑半径 与等相位面曲率半径
λ z z w z) = w 1+ 2 = ( (f + ) 0 f π f
包含在发散角θ0内的功率占高斯基模光束总 功率的86.5%。
一、共轴球面谐振腔的稳定性条件
1. 规定曲率半径为R，焦距为f，物距s和象距s´在反射镜前面为正，在反射镜 后面的为负，则有： 1) 对于凹透镜，R>0，f=R/2>0 2) 对于凸透镜，R<0，f=R/2<0 3) 对于平面镜， R ≈ ∞, f = ∞
h2 =
2L - f 2L - f L - f ⋅ h1 = ⋅ h 0 = (3 + 2∆)h 0 L-f L-f f
3）M2的反射光B2C1将通过B0在M2中的象点B'0，则象距s'B=B'0O2可由成像 2 公式求出。 又由∆C1B‘0O1∽∆B2B‘0O2，
1 1 2Lf - f ′B = ( − ) −1 = s f sB 2L - 2f
λ 1 1 1 3.14×10−6 = −i 2 = −i = 2−i −3 2 q R πw 0.5 3.14×(10 ) 1 2 + i 2 +i q= = = = 0.4+0.2i(m ) 2−i 4+1 5
(2)
λ z2 z2 w z) = w 1+ 2 = ( (f + ) 0 f π f
1
M2
M1
O
《高斯光束》课件
02
高斯光束的数学模型
高斯光束的电场分布
描述高斯光束的电场分布通常使用高 斯函数，其形式为$E(r,z)=E_{0} frac{omega_{0}}{w(z)} exp(frac{r^{2}}{w(z)^{2}}) exp(ifrac{kr^{2}}{2R(z)}+ivarphi(z))$， 其中$E_{0}$是光束中心电场强度， $omega_{0}$是束腰半径，$w(z)$ 是光束半径，$R(z)$是光束的波前曲 率半径，$varphi(z)$是相位。
VS
高斯光束的电场分布具有中心强度高 、向外逐渐减小的特点，这种分布有 利于在一定范围内实现较高的能量集 中度。
高斯光束的能量分布
高斯光束的能量分布与电场分布类似，也呈现出中心强 度高、向外逐渐减小的特点。
在实际应用中，高斯光束的能量分布可以通过控制激光 器的参数和光束传输过程中的光学元件进行调整，以满 足不同应用需求。
高斯光束的特性
总结词
高斯光束具有许多独特的性质，包括光束宽度随传播距离增加、中心光强为零、能量集中于光束的腰斑等。
详细描述
高斯光束的一个重要特性是它的光束宽度随着传播距离的增加而增加，这是由于光束在传播过程中不断发生衍射 。此外，高斯光束的中心光强为零，即光束的最小值点位于中心。高斯光束的能量主要集中在腰斑处，即光束宽 度最小的地方，这使得高斯光束在远场具有很好的汇聚性能。
总结词
高斯光束在光学无损检测中能够穿透物质并检测其内部 结构和缺陷。
详细描述
高斯光束具有较好的穿透性和方向性，能够深入物质内 部并检测其结构和缺陷。在无损检测中，高斯光束被用 来检测材料内部的裂纹、气孔、夹杂物等缺陷，为产品 质量控制和安全性评估提供可靠的依据。这种检测方法 具有非破坏性和高灵敏度等优点，广泛应用于航空航天 、核工业等领域的安全监测和质量控制。
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e i ( x , y , z )
基模行波场为
w0 E00 (x, y , z ) e w(z )
2 z w z w0 1 f f2 R z z z
x2 y2 w2 (z )
e
x2 y2 1 z i k z tg 2R( z ) f
特征参数：可以完全确定高斯光束形状与位置 的物理量
１、fz参数
焦参数f (或腰斑半径w0)与腰位置z(观察点坐标)
基模光斑半径随z按双曲线规律的变化
２、w(z)和R(z)参数
观察点z处光斑半径w(z)与等相位面曲率半径R(z)
w( z ) w0 z 1 2 f
2
z (f ) f
0
z=0.5m
3.14 10 6 q=0.5+i(m)
(2)
w (z) w 0
z2 0 .5 2 1 2 w 0 1 2 1.12mm f 1
2 2
f 1 R ( z ) z 0 .5 2 .5 m z 0 .5
例2 高斯光束在某处的光斑半径为w=1mm, 等相位 面曲率半径为R=0.5m, 求此高斯光束(1)该处的q参 数 (2)腰斑半径w0及腰位置(光波长为=3.14m) 解 (1)
1. 高斯光束在其轴线附近可看作是一种非均匀高斯
球面波，
2.在其传播过程中曲率中心不断改变
3.其振幅在横截面内为一高斯光束
4.强度集中在轴线及其附近 5.等相位面保持球面
• 高斯光束的孔径
– 从基模高斯光束的光束半径表达式可以得到截面上振幅的分布为： – 则其光强分布为：
– 考虑垂直于高斯光束传播方向上存在一无限大平面，以光轴为中心开一 半径为a的孔，则透过该孔径的光功率与总功率的比值为左下式，通过计 算可以得到不同孔径的功率透过率。
R z 2 f，表明等相位面的曲率中心在
f ,0
4) 远场发散角 2 (全角) 定义为双曲线的两条渐近线之间的夹角
2 2 2 2 z 2 L 0 ( z ) 0 1 ( 2 ) 0 2 lim 2 ( z ) z z
0 0 2 0 0
2
2
2
ω/2
39.3%
ω
86.5%
3ω/2
98.89%
2ω
99.99%
功率透过比
– 在激光应用中，高斯光束总要通过各种光学元件，从上面推导可知，只 要光学元件的孔径大于3ω/2，即可保证高斯光束的绝大部分功率有效透过。
共焦谐振腔 共焦谐振腔的性能介于平行平面腔与球面腔之间， 其特点如下： 1）镜面较易安装、调整； 2）较低的衍射损耗； 3）腔内没有过高的辐射聚焦现象； 4）模体积适度； 共焦谐振腔一般应用于连续工作的激光器
2r 2 I (r ) I 0 exp 2
r2 A(r ) A0 exp 2
P T P
I (r )2 rdrd 1 exp 2 I (r )2 rdrd 孔径半径 a
0 r2 E E0 exp 2 ( z) ( z)
§1 高斯光束的基本性质 W(Z)
一、基模高斯光束
稳定球面腔的行波场
-f
-
w0
0 -w0
x2 y2 w2 ( z )
f
Z
w0 2x 2y Emn ( x, y , z ) Hm( )H n ( )e w( z ) w( z ) w( z )
证
z2 w( z ) (f ) f
1 p f = 2 w l f 2 + z2
f2 R (z) z z
1 1 z f z if i 2 i 2 2 2 2 2 q R W z f z f z f2
z 2 f 2 (z 2 f 2 )( z if ) q z if z if (z if )( z if )
r
2
2
1 2 2 2 z r r r z
我们假设 2 ，其中a为集中大部分能量的横截面半径，这一假设说 明衍射效应很弱，因此可以将推导局限于单一的横向场分量，其单色平 面波的表达式为：E ( x, y, z )e ikz其中e-ikz表示波数为k的严格平面波， 为了研究修正平面波，我们引入了修正因子 ( x, y, z ) ，它包含了相位 和振幅修正两部分。 • 该修正因子满足慢变近似： ' k , " k 2 将这些相关假设带入波动 方程可以得到： 2 2ik ' kk 2 r 2 0 • 令修正因子取以下形式： 为什么取这种形式？这是对波动方程 k 进行长期研究得到的解，既满足方程， E 0 exp i p( z ) r 2 2q ( z ) 又有明确的、能够被实验证实的物理 意义。 •
1 1 1 3.14 10 i 2 i 2i 3 2 q R w 0.5 3.14 (10 ) 1 2i 2i q 0.4 0.2i (m) 2 i 4 1 5
6
(2)
w( z ) w0 1
2
z z ( f ) 2 f f
E E 2 E
2 H E 对2式求旋度： E u u 2 t t
且由3式：
1 E E E 0 E E
光束在均匀介质和类透镜介质中的传播
• 类透镜介质中的波动方程
– 在各向同性、无电荷分布的介质中，Maxwell方程组的微分形式为：
E H t H E u t E 0
(1) (2) (3)
其中，
2 w0 f f , 或 w0
二、基模高斯光束在自由空间的传输规律
1）基横模TEM00的场振幅U00和强度I00分布分别为：
U 00 x2 y 2 exp 2 z I 00 U 00
2
x2 y 2 exp 2 2 z
2）当场振幅为轴上( x2 y 2 0 )的值的e-1倍，即强度为轴上的值的e-2倍时， 所对应的横向距离 z 即z 处截面内基模的有效截面半径为；
z f w0 , w z w0 1 f 3)共焦场中等相位面的分布如图所示。
2
x2 y 2 1 z 00 ( x, y , z ) k z tg 2 R (z ) f 2 w2 2 f 0 R z z 1 z z z
第八章 高斯光束
• 掌握高斯光束的基本性质，包括高斯光束参数 与腰斑半径的相互计算和高斯光束任意位置处 光斑半径与等相位面曲率半径的计算。 • 掌握q参数及其传输规律，掌握高斯光束q参数 的定义、计算和传输规律。 • 掌握透镜对高斯光束的变换规律，掌握高斯光 束的聚焦与准直方法。 • 了解高斯光束的匹配概念与方法。
f (5 f 1) 0
f 0 (舍去)
0 .2 2 z 2 1 0 .2
f 0 .2 m
z 2 0.2 0.2 2 0.16
z 0 .4 m
f 3.14 10 6 0.2 w0 0.447 mm 3.14
共焦腔基模光束的理论发散角具有毫弧度的数量级，它的方向 性相当好。由于高阶模的发散角是随着模的阶次的增大而增大， 所以多模振荡时，光束的方向性要比单基模振荡差。
高斯光束既不是平面波也不是球面波，在傍轴近似条件下， 可以将其看作一种曲率中心与曲率半径都随传播过程而不 断改变的非均匀球面波。
高斯光束的基本性质
共焦腔中等位相面的分布
当z=0时， R z ，束腰所在位置处的等相位面为平面 当 z 时 R z z ，离束腰无限远时等相位面为 平面，曲率中心在束腰位置处。 当 z 2 f 时 R z min 2 f 。 当 z f 时 当 0 z f 时 R z 2 f ，表明等相位面的曲率中心在 f ,
共焦场等相面的分布 如果在场的任意一个等相位面处放上一块具有相应曲率的反 射镜片,则入射在该镜片上的场将准确地沿着原入射方向返 回,这样共焦场分布将不会受到扰动.这是非常重要的性质.
思路： 共焦腔
共焦腔的模式理论
等价的稳定球面腔 等价的稳定球面腔的模式理论
处理原则：稳定球面腔与共焦腔的等价性。
三、基模高斯光束的特征参数
光束在均匀介质和类透镜介质中的传播态分 布，它指的是服从以下概率密度 函数的分布：
x 2 1 f ( x; , ) exp 2 2 2
Johann Carl Friedrich Gauss (1777–1855)
2 2
f2 R( z ) z z
f z 0 .5 z
z f 1 f
2
z2 f 2 0 .5 z
f 2 z2 1 f
① ②
z2 f 2 0 .5 z
f z 1 f
2 2
① ②
z 2 ②/ ①: f
z2f
f 2 4f 2 1 f
5f f
2
5f2 f 0
1 z 2 R z f2
讨论
腰处的q参数
q0=q(0)=if
z w( z ) (f ) f
2
fz参数
q (z) z if
f R (z) z z
2