8-2-常见非线性特性及其对系统运动的影响
第8章 非线性系统分析
一、非线性控制系统概述(11)
考虑著名的范德波尔方程
x 2 (1 x2 ) x x 0, 0
该方程描述具有非线性阻尼的非线性二阶系统。当扰动使 x 1 时，因为 (1 x 2 ) 0 系统具有负阻尼，此时系统 x(t ) 的运动呈发散形式；当 x 1 时，因为 从外部获得能量， 2 (1 x 2）＞0，系统具有正阻尼，此时系统消耗能量， x(t ) 的运动呈收敛形式；而 当x＝1 时，系统为零阻尼， 系统运动呈等幅振荡形式。 上述分析表明，系统能克 服扰动对 的影响，保持幅 值为1的等幅振荡，见右图。
1
第八章 非线性控制系统分析
本章主要内容： 一、非线性控制系统概述 二、常见非线性特性及其对系统运动的影响 三、描述函数法
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第八章、非线性控制系统分析
本章要求 : 1、了解非线性系统的特点 2、了解常见非线性特性及其对系统运动的影响 3、掌握研究非线性系统描述函数法
3
一、非线性控制系统概述
本节主要内容： 1、研究非线性控制理论的意义 2、非线性系统的特征 3、非线性系统的分析与设计方法
5
一、非线性控制系统概述(2)
6
一、非线性控制系统概述(3)
在下图所示的柱形液位系统中，设 H为液位高度，Qi 为 C 为贮槽的截面积。根据水力 液体流入量， Q0为液体流出量， 学原理知
Q0 k H
其中比例系数 k 取决于液体的粘度的阀阻。 液体系统的动态方程为
dH C Qi Q 0 Qi k H dt
显然，液位和液体输入量的数字关系式为非线性微分方程。 由此可见，实际系统中普遍存在非线性因素。
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一、非线性控制系统概述(4)
《自动控制原理》考点精讲(第8讲 非线性控制系统分析)
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
量外，还含有关于ω的高次谐波分量。使输出波形发生非线
性畸变。 正弦响应的复杂性：①跳跃谐振及多值响应；②倍频振荡与 分频振荡；③组合振荡（混沌）；④频率捕捉。 混沌：
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
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e
x
x(t)
x(t)
x(t)
x(t)
ωt ωt
ωt ωt
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
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例：欠阻尼二阶系统的相平面描述——相轨迹
相轨迹在某些特定情况 下，也可以通过积分法， 直接由微分方程获得x和x 导数的解析关系式：
x dx = f (x, x) ⇒ g(x)dx = h(x)dx dx
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
α
=
dx dx
=
f (x, x) x
则与该曲线相交的任何相轨迹在交点处的切线斜率均为α，
该曲线称为等倾线。 注1：线性系统的等倾线为直线； 注2：非线性系统的等倾线为曲线或折线。
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
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由等倾线的概念知，当相轨迹经过该等倾线上任一点时，其 切线的斜率都相等，均为α。取α为若干不同的常数，即可 在相平面上绘制出若干条等倾线，在等倾线上各点处作斜率 为α的短直线，并以箭头表示切线方向，则构成相轨迹的切 线方向场。
自动控制原理(8-2)
即y(t)为t的奇对称函数，直流分量为零。
A1，B1按下式计算：
1 2π 2 π A1 = ∫ y (t ) cos ωt dωt = ∫y (t ) cos ωt dωt π 0 π 0
1 2π 2 π B1 = ∫ y (t ) sin ωt dωt = ∫y (t ) sin ωt dωt π 0 π 0
二、典型非线性特性的描述函数
1.理想继电器特性
x(t ) A sin t
M y(t ) M (0 t ) ( t 2 )
傅氏展开
y(t ) A0 ( An cos nt Bn sin nt )
n 1
斜对称、奇函数→A0=A1=0
若非线性环节特性为输入的奇函数，则直流分量为
零。 当 f ( x) =－f ( －x) 时，则有
π π y (t + ) = f [ A sin ω(t + )] = f [ A sin (π + ωt )] ω ω = f( －A sin ωt ) = f ( －x) =－f ( x) =－y (t )
函数N也为零，故死区特性描述函数为：
2k k N 0
2 a a a arcsin 1 X X X
( X a) (X a )
4.死区饱和特性
0,
0 ≤ ωt ≤ ψ1 π ψ 2 ≤ ωt ≤ 2
y (t ) = K ( A sin ωt－Δ), ψ1 ≤ ωt ≤ ψ 2 K (a－Δ)，
Δ ψ1 = arcsin A
ψ 2 = arcsin a A
由于y(t)为奇函数，所以A0=0，A1=0，而y(t)又为半
自动控制原理第八章
2.非线性系统的一般数学模型
f (t , d y dt
n n
,
dy dt
, y ) g (t ,
d r dt
m
m
,
dr dt
, r)
其中，f (· )和g (· )为非线性函数。
2012-6-21 《自动控制原理》 第八章 非线性系统 23
2012-6-21 《自动控制原理》 第八章 非线性系统 5
（1）当初始条件x0＜1时，1－x0＞0，上式具有负的特
征根，其暂态过程按指数规律衰减，该系统稳定。 （2）当x0=1时，1－x0=0，上式的特征根为零，其暂 态过程为一常量。 （3）当x0＞1时，1－x0＜0，上式的特征根为正值，系 统暂态过程按指数规律发散，系统不稳定。 系统的暂态过程如图所示。 由于非线性系统的这种性质， 在分析它的运动时不能应用 线性叠加原理。
非线性弹簧输出的幅频特性
2012-6-21 《自动控制原理》 第八章 非线性系统 11
实际中常见的非线性例子
实际的非线性例子：晶体管放大器有一个线性工作范围，
超出这个范围，放大器就会出现饱和现象；有时，工程上
还人为引入饱和特性用以限制过载；
电动机输出轴上总是存在摩擦力矩和负载力矩，只有在输
2012-6-21
《自动控制原理》 第八章 非线性系统
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系统进入饱和后，等效K↓
% ( 原来系统稳定，此时系 统一定稳定） （原来不稳，非线性系 统最多是等幅振荡） 振荡性 限制跟踪速度，跟踪误 差 ，快速性
非线性系统分析方法
非线性系统分析方法8-1 概述一、教学目的和要求了解研究非线性系统的意义、方法，常见非线性特性种类。
二、重点内容非线性概念，常见非线性特性。
三、教学内容：1 非线性系统概述非线性系统运动的规律，其形式多样，线性系统只是一种近似描述。
（1）非线性系统特征—不满足迭加原理1)稳定性：平衡点可能不只一个，系统的稳定性与系统结构参数、初始条件及输入有关。
2)自由运动形式，与初条件，输入大小有关。
3)自振，自振是非线性系统特有的运动形式，它是在一定条件下，受初始扰动表现出的频率，振幅稳定的周期运动。
（2）非线性系统研究方法1)小扰动线性化处理（第二章介绍）2)相平面法-----分析二阶非线性系统运动形式3)描述函数法-----分析非线性系统的稳定性研究及自振。
2、常见非线性因素对系统运动特性的影响：1）死区：(如：水表，电表，肌肉电特性等等)饱和对系统运动特性的影响：进入饱和后等效K ↓⎪⎩⎪⎨⎧↓↑↓↓，快速性差限制跟踪速度，跟踪误统最多是等幅振荡）（原来不稳，非线性系振荡性统一定稳定）原来系统稳定，此时系(%σ死区对系统运动特性的影响：⎪⎩⎪⎨⎧↓↓↑↓动不大时）］此时可能稳定（初始扰［原来不稳定的系统，，振荡性声，提高抗干扰能力差），能滤去小幅值噪跟踪阶跃信号有稳态误等效%(e K ssσ 可见：非线性系统稳定性与自由响应和初始扰动的大小有关。
2） 饱和(如运算放大器，学习效率等等)3） 间隙：(如齿轮，磁性体的磁带特性等)间隙对系统影响：1) 间隙宽度有死区的特点----使ss e ↓2) 相当于一个延迟τ时间的延迟环节,%σ→↑ 振荡性减小间隙的因素的方法：(1)提高齿轮精度 ； (2)采用双片齿轮； (3)用校正装置补偿。
5） 摩擦(如手指擦纸) 摩擦引起慢爬现象的机理改善慢变化过程平稳性的方法1)2)3)⎧⎪⎨⎪⎩、良好润滑、采用干扰补偿、增加阻尼，减少脉冲，提高平衡性摩擦对系统运动的影响：影响系统慢速运动的平稳性6)继电特性：对系统运动的影响：1)K (2K %3)ss e σ⎧⎧⎪⎨⎩⎪⎪⎧↑⎪⎪⎪⎧↓⎨⎨⎪⎨⎪⎪↓⎪⎩⎩⎪⎪⎪⎪⎩一、二阶系统可以稳定、理想继电特性 等效： 一般地，很多情况下非线性系统会自振带死区))、带死区继电特性 等效： 快态影响（死区+饷）的综合效果振荡性、一般继电特性：除3、2中听情况外，多出一个延迟效果（对稳定性不利）8-2 相平面法一、教学目的和要求：掌握相平面概念及分析方法。
第八章 非线性控制系统分析
整理后得： x
2
x (x x )
2 2 0 2 0
相轨迹
2.等倾线法 --不解微分方程，直接在相平面上绘制相轨迹。 等倾线： 相平面上相轨迹斜率相等的诸点的连线。 等倾线法基本思想： 先确定相轨迹的等倾线，进而绘出相轨迹的切线 方向场，然后从初始条件出发，沿方向场逐步绘制相
四、继电特性
y M 0 x
M y M
x 0 x 0
-M
对系统的影响：
1可能会产生自激振荡，使系统不稳定或稳态误差增大；
2.如选得合适可能提高系统的响应速度。
其他继电特性
y
M -h 0 h -M x M -△ 0
y
-△
△
y M 0 △ -M x
-M
死区 + 继电
x
滞环 + 继电
x ，从x, x 中消
(2)直接积分法
dx dx dx dx x x dt dx dt dx
dx x f ( x, x ) dx
g ( x)dx h( x)dx
x
x0
g ( x)dx h( x)dx
x1,2 0.25 1.39 j
系统在奇点(0,0)处有一对具有负实部的共轭复根， 故奇点(0,0)为稳定的焦点。
f ( x, x ) 奇点(-2,0)处 x
x 2 x 0
2
f ( x, x ) x
c
c
c
c
(6)≤-1 s1s2 --两个正实根
四、奇点和奇线
1.奇点 --同时满足 x 0 和 f ( x, x) 0 的点。
8-2常见非线性特性及其对系统运动的影响
常见非线性因素对系统运动的影响
饱和 * 等效
振荡性↓ 振荡性↓，σ%↓ 限制跟踪速度 晶体管特性
对系统的 影响 举 例
滤除小幅值干扰 稳态误差ess ↑ 电动机， 电动机，仪表
抑制系统发散 容易导致自振 开关特性
8-2 常见非线性特性 及其对系统运动的影响
非线性特性的等效增益
y f ( x) k= = x x
（1）继电特性 继电器、 继电器、接触器和可控硅
（2）死区特性
测量元件、 测量元件、放大元件 及执行机构的不灵敏区
（3）饱和特性 放大器、 放大器、执行机构
（4）间隙特性 齿轮、 齿轮、磁滞效应
（5）摩擦特性 机械传动机构
自动控制原理第8章非线性控制系统
自动控制原理第8章非线性控制系统在自动控制系统中，线性控制系统一直被广泛应用，因为线性系统的行为可预测且易于分析。
然而，在实际的控制系统中，往往存在着一些非线性特性，如非线性环节、非线性传感器和非线性负载等。
非线性系统的行为往往更为复杂，因此需要采用特殊的控制方法来进行控制。
8.1非线性系统的特性非线性系统与线性系统相比，具有以下几个特点：1.非线性特性：非线性系统的输入和输出之间的关系不符合线性定律，而是非线性关系。
这种非线性关系可能是由于系统内部的非线性元件或非线性行为导致的。
2.非线性行为：在非线性系统中，系统的行为经常出现不可预测的情况。
当输入信号的幅值较小时，系统的行为可能是线性的，但是当幅值增大时，系统的行为可能会发生剧烈的变化。
3.非线性耦合：在非线性系统中，不同输入变量之间可能存在耦合关系。
当一个输入变量发生改变时，可能会影响到其他输入变量的行为。
4.非线性稳定性：在非线性系统中，稳定性分析比线性系统更为困难。
非线性系统可能存在多个平衡点或者极限环，而且稳定性分析需要考虑到非线性因素的影响。
8.2非线性系统的建模对于非线性系统的控制，首先需要对系统进行建模，以便进行后续的分析和设计。
非线性系统的建模可以采用两种常用的方法：数学建模和仿真建模。
1.数学建模：数学建模是利用数学模型来描述非线性系统的行为。
非线性系统的数学建模可以采用微分方程、差分方程、泰勒级数展开、输入输出模型等多种方法。
2.仿真建模：仿真建模是利用计算机仿真软件来模拟非线性系统的行为。
通过建立系统的数学模型，并利用计算机进行仿真，可以得到系统的输出响应和稳定性分析。
8.3非线性控制方法在非线性控制系统中，常用的控制方法包括自适应控制、模糊控制和神经网络控制等。
1.自适应控制：自适应控制用于处理未知或难以测量的非线性系统。
自适应控制方法通过不断调整控制器的参数，以适应系统的变化。
2.模糊控制：模糊控制利用模糊逻辑和模糊推理来处理非精确和不确定的输入量。
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1. 死区特性
死区又称不灵敏区, 通常以阈值、分辨率等指标 衡量。 死区特性如图 所示。
y
－a 0 a x
常见于测量、放大元件中 , 一般的机械系统、 电机等, 都不同程度地存在死区。其特点是当输入信 号在零值附近的某一小范围之内时 , 没有输出。只有 当输入信号大于此范围时, 才有输出。 执行机构中的
y
－a 0 a x
在齿轮传动中, 由于间隙存在, 当主动齿轮方向 改变时, 从动轮保持原位不动, 直到间隙消除后才改 变转动方向。铁磁元件中的磁滞现象也是一种回环 特性。 间隙特性对系统影响较为复杂, 一般来说, 它 将使系统稳态误差增大，频率响应的相位迟后也增 大, 从而使系统动态性能恶化。 采用双片弹性齿轮 (无隙齿轮)可消除间隙对系统的不利影响。
静摩擦影响也可以用死区特性表示。控制系统中存
在死区特性 , 将导致系统产生稳态误差 , 其中测量元
件的死区特性尤为明显。摩擦死区特性可能造成系
统的低速不均匀, 甚至使随动系统不能准确跟踪目标。
2. 饱和特性
饱和也是一种常见的非线性 , 在铁磁元件及各种
放大器中都存在, 其特点是当输入信号超过某一范围
4. 继电器特性
由于继电器吸合电压与释放电压不等, 使其特性中
包含了死区、回环及饱和特性，如图所示。
y M －a －ma 0 ma －M a x
0<i<a时，触头不动；
i
i > m时，触头吸合；
i <ma时，触头释放。
当a＝0时的特性称为理想继电器特性。继电器的 切换特性使用得当可改善系统的性能。 如从非线性环节的输出与输入之间存在的函数关 系划分, 非线性特性又可分为单值函数非线性与多值函 数非线性两类。 例如死区特性、饱和特性及理想继电
器特性都属于输出与输入间为单值函数关系的非线性
特性。 间隙特性和继电器特性则属于输出与输入之间
为多值函数关系的非线性特性。
后, 输出信号不再随输入信号变化而保持某一常值,如
图所示。
y
－a 0 a x
饱和特性将使系统在大信号作用之下的等效增
益降低, 深度饱和情况下 , 甚至使系统丧失闭环控制
作用。还有些系统中有意地利用饱和特性作信号限
幅, 限制某些物理参量, 保证系统安全合理地工作。
3. 间隙特性
间隙又称回环。传动机构的间隙是一种常见的 回环非线性特性，如图所示。
8.2 常见非线性特性及其对 系统运动的影响
非线性特性的分类 非线性特性种类很多 , 且对非线性系统尚 不存在统一的分析方法 , 所以将非线性特性分 类, 然后根据各个非线性的类型进行分析得到 具体的结论, 才能用于实际。 按非线性环节的物理性能及非线性特性的
形状划分 , 非线性特性有死区特性、饱和特性、