非线性动态系统模型与辨识

网络模型：
x o ( k 1) H Wy c ( k 1) 1 Wu( k ) 1 y c ( k ) o( k 1) f (x o ( k 1)) ( k ) 2 Wo( k ) y
实时调整权值动态 BP 算法： 2
u (k )
y c (k )
o(k 1) ˆ (k 1) y
f ( x ) (1 e x ) / (1 e x )
j 0 2
输出层节点输出 ：
ˆ ( k 1) 2 wi ( k )oi ( k ) , n=3 x
1
n
i 1
wij ：节点 j 至 i 的权值（第一至第二层节点）； 1 wi 0 2 wi ：第二层节点 i 的阈值；
y ( k ) g[ y ( k 1), , y ( k n)] [u( k 1), , u( k m)] y ( k ) g[ y ( k 1), y ( k n)]u( k m)
y ( k ) a i y ( k i ) [ u( k 1), , u( k m)]
T
y ( k ) [ y1 ( k ), y 2 ( k ), , y p ( k )] 输出向量 p 维 ； x ( k ) [ x1 ( k ), x 2 ( k ). , x n ( k )] T
状态向量 n 维 。
；
2
3-5-2 神经系统辨识
神经非线性系统辨识，选用非线性特性的动态神经网络作为被辨识系统的模型。 1. 差分方程描述 神经网络作辨识器，辨识 M1~M5 非线性系统，用并联或串—并联型，差分方程不同。 （1）串—并联型结构 表达式：
i 1
m
网络训练开始时，很难使其输出收敛于系统的输出，也可能不稳定。
4
以系统M1为例 用串—并联型结构辨识、并联型结构辨识，见图3-5-1（a）、（b）
图3-5-1 被辨识系统模型M1两种辨识结构
5
内时延反馈网络
图3-5-2是以Elman网络为辨识器之例，辨识M1型系统。
u (k )
P
y (k )
12
＝ 0.3
1800 次训练，得到 W、V 权系。训练好的网络，在数据 R( k ) 、 R( k ) 见图 3-5-6（n=3）。 辨识结果： x 轴：
输入下的输出
e x 2.367 * 10 9 E x 2.1944 * 10
100
9
；
y 轴：
e y 7.6057 * 10 7 E y 2.6724 * 10 8
（SPM3） （SPM4） （SPM5）
( k ) Ng[ y ( k 1), , y ( k n); V]u( k m) y
( k ) wi y ( k i ) N[u( k 1), , u( k m); W ] y
i 1
n
( k ) Ng[ y ( k 1), y ( k n); V] wi u( k i ) y
10
以一轴辨识结构x轴为例：
Hale Waihona Puke 第一层节点输入输出相同： 第二层 i 节点输出：
I (k ) I1 (k ), I 2 (k ) R(k ), R(k )
oi ( k ) f [ xi ( k )]
xi ( k ) 1 wij ( k ) I j ( k ) ，I 0 ( k ) 1
80
100
图3-5-6 辨识结果 左图 （x轴） 右图（y轴）
13
（4） 两种辨识结构比较
x 轴N 2,3,1 ， y 一轴结构：
两轴结构： N 2,5, 2
N 2,3,1 ，权系值＝24 个 轴
，权系值＝25 个 计算复杂度大
y 的方差，与 E x 、 E y 比较，可以忽略。 所用数字式仪表量测噪声 x 、
3-5 非线性动态系统模型与辨识
3-5-1 非线性系统模型
非线性系统与线性系统不同，没有一般的表达式，在此举出几种典型模型。 1. 单输入单输出（SISO）系统的差分方程 M1 M2 M3 M4 M5
y ( k ) g[ y ( k 1), , y ( k n); u( k 1), , u( k m)]
1
2. 离散状态空间表达式
离散状态空间模型有两种。 （1）仿射型离散状态空间表达式：
x( k 1) [ x( k )] [u ( k )] y ( k ) g[ x( k ), u ( k )]
（2）一般型离散状态空间表达式：
x( k 1) [ x( k ), u ( k )] y( k ) g[ x( k ), u ( k )]
W 、 2 W 、 H W ：输入至隐层、隐层至输出层、隐层节点间权矩阵； f(x) ：对称型 S 函数。
1
15
设 0.6 ，辨识过程见演示。 （1）辨识器输入 u(k)：[-0.5 0.5]间随机信号，此时系统是 BIBO 的；
y (k)；辨识器 NNI 输出 y1 ； y （2）仿真对象输出
R( k ) ：相邻采样点电阻值变化：
R( k ) R( k ) R( k 1)
-0.048 8 7.5 8
图 3-5-4 测试数据分析 (a) z x (k ) R(k ) (b) z y (k ) R(k )
8
选择并联结构非线性 DTNN 为辨识模型：按拍延迟线＋BP 网络 ①一轴辨识模型
( k ) Ng[ y ( k 1), , y ( k n); u( k 1), , u( k m); W ] （SPM1） y ( k ) Ng[ y ( k 1), , y ( k n); V ] N[u( k 1), , u( k m); W ] （SPM2） y
② BP 算法训练网络 以一轴结构(x 轴)为例。
W( k 1) W( k ) W( k )
2 wi ( k ) e x ( k ) oi ( k )
W( k )
E ( k ) W( k )
1wij (k )
取
E (k ) ' 2 e ( k ) f [ x ( k )] I ( k )( wi ( k )) x i j 1 wij (k )


wi ( k ) ( k ) oi ( k ) e ( k ) oi ( k )
H wij (k ) e(k )[ 2 wi ( )] f1' ( xo,i ( k ))
xo,i (k ) H wij
图 3-5-7 例 3-5-2 辨识器
1 wi ( k ) e( k )[ 2 wi ( )] f1' ( x o ,i ( k )) u ( k 1)
100
E x 、 E y 是 1 800 次训练的 E 的均值：
E x ( E x ( k )) / 100
k 1
；
E y ( E y ( k )) / 100
k 1
0.022 0.0215 0.021 0.0205 0
-0.046
-0.048
20
40
60
80
100
0
20
40
60
R( k ) 。 图（c）、（d）：热敏电阻值采样值 R( k ) 、
(a)
(b)
(c)
(d)
7
（2） 模型结构的确定
由实测数据得到 z x ( k ) R( k ) 、 z y ( k ) R ( k ) 间呈非线性关系，用两种非线性动态模 型描述： ① 一轴
z x ( k 1) g[ R( k ), R( k )] x ( k ) z y ( k 1) [ R ( k ), R ( k )] y ( k )
i 1
m
非线性动态部分： 非线性时延神 DTNN、PID 神经网络实现 线性动态部分： 线性 DTNN 实现
3
因系统是 BIBO 的，辨识器输入是系统的输入输出，有利于保证辨识模型的稳定性。
（2）并联型结构
用局部递归网络实现 输出反馈网络 由输出反馈网络实现，表达式：
( k ) Ng[ y ( k 1), , y ( k n); u( k 1), , u( k m); W ] y ( k ) Ng[ y ( k 1), , y ( k n); V] N[u( k 1), , u( k m); W ] （PM2） y ( k ) Ng[ y ( k 1), , y ( k n); V]u( k m) （PM3） y
z x ( k 1) x ( k ) z ( k 1) Q R ( k ), R ( k ) ( k ) y y
0.022 0.0215 0.021 0.0205 7.5 -0.046
② 两轴
x ( k ) 、 y ( k ) ：输出量测噪声；
i 1 n
y ( k ) g[ y ( k 1), , y ( k n)] bi u( k i )
i 1
m
M1～M5 设： （1）模型结构已知，即 n、m 已知； （2）u(k)、y(k)可量测； （3）对于紧集 U 上的系统输入 u，输出 y 是一致有界的，即为 BIBO 系统。
1 2 E ( k ) e (k ) 。 （3） 2
（PM1） （PM4） （PM5）
( k ) wi y ( k i ) N [ u( k 1), , u( k m); W ] y
i 1
n
( k ) Ng[ y ( k 1), y ( k n); V ] wi u( k i ) y