基于最小二乘法的系统辨识
最小二乘法在系统辨识中的应用(包含相关的三种算法)
但是，数据向量)(kfh中的变量均需要按照（3.2.2）式计算，然而噪声模型)(1zC并不知道。
为此需要用迭代的方法来估计)(1zC。
令)()(1z)(1kvCke（3.2.5）置,2[k],)()]3(),2(),1([)(31ccckekekekeபைடு நூலகம்h（3.2.6）就把噪声模型（3.2.5）也化成最小二乘格式)()()(kvkkeeeh由于上式的噪声已是白噪声，所以再次利用最小二乘法可获得噪声模型参数e的无偏估计。
通过极小化（1.1.4）式来计算的方法称作最小二乘法，未知模型参数最可能的值是在实际观测值与计算值之累次误差的平方和达到最小处所得到的，这种模型输出能最好地接近实际过程的输出。
2、辨识原理考虑模型（1.1.2）式的辨识问题，其中)(kz和)(kh都是可观测的数据，是待估计参数，准则函数取（1.1.4）根据（1.1.3）的定义，准则函数)(J可写成二次型的形式)()()(HzHzllllJ（1.2.1）显然上式中的Hl代表模型的输出，或者说是过程的输出预报值。
)()() 1()()()()()(1111kkkkkiikkihhPhhhhP（2.2.3）令：
] ) 1(),2 (z),1 (z[1kzkz则：
] )i()()[1()() 1(1111111ikkkkkzikkhPzHHH于是有i111)()() 1() 1(kizikkhP（2.2.4）令] )k(),2 (z),1 (z[zkz利用（2.2.3）和（2.2.4）式，可得)]1()()()[()() 1()}()() 1()]()()(){[()]()() 1() 1()[(] )i()()[()()(1111ikkkzkkkkzkkkkkkkzkkkkzikkkkkkkhhphhhPPhPPhPzHHH（2.2.5）引进增益矩阵)(kK，定义为)()()(kkkhPK（2.2.6）则（2.2.5）式写成)]1()()()[() 1()(kkkzkkkhK（2.2.7）进一步把（2.2.3）式写成11)]()() 1([)(kkkkhhPP（2.2.8）为了避免矩阵求逆运算，利用矩阵反演公式可将（2.2.8）式演变成) 1()]()([)]()() 1([)(11kkkkkkkPhKIhhPP（2.2.9）将（2.2.9）式代入（2.2.6）式，整理后有1] 1)() 1()()[() 1()(kkkkkkhPhhPK（2.2.10）综合（2.2.7）、（2.2.9）、（2.2.10）式便得到最小二乘参数估计递推算法。
系统辨识相关分析最小二乘
相关分析法辨识系统单位脉冲响应1辨识原理对于下图示的单输入单输出线性系统，其输入输出的因果关系可用卷积公式描述。
公式为：0()()()y t g x t d λλλ∞=-⎰把变量t 换成t +τ，上式两边同乘以x (t )，取时间的平均值，得11lim()(+)(){lim()(+)}22TTTTT T x t y t dt g x t x t dt d TTτλτλλ∞--→∞→∞=-⎰⎰⎰即 0()()()x y x R g R d τστλλ∞=-⎰上式即为维纳-霍夫方程，其给出了输入的自相关函数，输入、输出的互相关函数及脉冲响应函数三者之间的关系。
令x (t )为白噪声信号，则其自相关函数为：()(), ()()x x R k R k τδττλδτλ=-=-代入维纳-霍夫方程得：()()()()xy x R g R d kg τλτλλτ∞=-=⎰则有：()()xy R g kττ=这样，只要记录x(t)、y(t)的值，并计算它们的互相关函数，即可求得脉冲响应函数g(τ)。
在系统有正常输入的情形下，辨识脉冲响应的原理图如下图所示。
2辨识过程2.1预备实验以二阶系统22()2G s s s ++=作为辨识对象。
在实验前首先要进行预备实验，以了解系统特性。
通过简单阶跃响应确定系统过度过程时间T s 大约为11s ，如下图所示。
给系统施加不同周期的正弦信号，系统输出为输入的0.707倍时，确定截止频率f M 大约为0.318Hz 。
2.2选择二位式伪随机序列的参数（1）选择t 和N 由0.3Mt f ∆≤，得0.94t s ∆≤。
因为系统的时间常数1nT s ζω=，根据时间常数可按照0.050.1t T ∆= （）选择t ∆。
由二位式伪随机序列周期要大于系统过渡过程时间，若t ∆选择0.94s ，则由(1)s N t T -⨯∆≥，得12.7021N ≥；若t ∆选择0.195s ，则由(1)s N t T -⨯∆≥，得57.4103N ≥。
系统辨识之最小二乘法
系统辨识之最小二乘法方法一、最小二乘一次性算法：首先对最小二乘法的一次性辨识算法做简要介绍如下：过程的黑箱模型如图所示：其中u(k)和z(k)分别是过程的输入输出，)(1-z G 描述输入输出关系的模型，成为过程模型。
过程的输入输出关系可以描述成以下最小二乘格式：)()()(k n k h k z T +=θ （1）其中z(k)为系统输出，θ是待辨识的参数，h(k)是观测数据向量，n(k)是均值为0的随机噪声。
利用数据序列{z （k ）}和{h （k ）}极小化下列准则函数：∑=-=Lk T k h k z J 12])()([)(θθ （2）使J 最小的θ的估计值^θ，成为最小二乘估计值。
具体的对于时不变SISO 动态过程的数学模型为 )()()()()(11k n k u z B k z z A +=-- （3）应该利用过程的输入、输出数据确定)(1-z A 和)(1-Z B 的系数。
对于求解θ的估计值^θ，一般对模型的阶次a n ，b n 已定，且b a n n >；其次将（3）模型写成最小二乘格式)()()(k n k h k z T +=θ （4）式中=------=T n n T b a b a b b b a a a n k u k u n k z k z k h ],,,,,,,[)](,),1(),(,),1([)(2121 θ （5）L k ,,2,1 =因此结合式（4）（5）可以得到一个线性方程组L L L n H Z +=θ （6）其中==T L TL L n n n n L z z z z )](),2(),1([)](),2(),1([ （7）对此可以分析得出，L H 矩阵的行数为),max(b a n n L -，列数b a n n +。
在过程的输入为2n 阶次，噪声为方差为1，均值为0的随机序列，数据长度)(b a n n L +>的情况下，取加权矩阵L Λ为正定的单位矩阵I ，可以得出：L T L L T L z H H H 1^)(-=θ （8）其次，利用在Matlab 中编写M 文件，实现上述算法。
最小二乘法辨识
T 1 T T 1 T ˆ E [ θ ] E [ θ ( Φ Φ ) Φ ξ ] θ E [( Φ Φ ) Φ ξ ]
LS无偏估计的充要条件为：
E [( Φ Φ )
T 1
Φ
T
ξ] 0
下面讨论无偏估计的充分条件。
y ( k ) a1 y ( k 1) a n y ( k n ) b 0 u ( k ) b1u ( k 1) b n u ( k n ) ( k )
最小二乘的最早思想： 未知量的最大可能的值是这样 一个数值，它是实际观测值和计算 值的差值的平方和达到最小的数值。
基本的最小二乘估计 解决问题：在模型阶次n已知的情况下，根据系 统的输入输出数据，估计出系统差分方程的各 项系数。 1.基于输入/输出数据的系统模型描述
SISO系统的差分方程为
x ( k ) a 1 x ( k 1) a n x ( k n ) b 0 u ( k ) b n u ( k n ) y (k ) x(k ) n(k )
(k ) n(k )
a n(k i)
i i 1
n
则当前输出为：
y ( k ) a1 y ( k 1) a n y ( k n ) b 0 u ( k ) b1u ( k 1) b n u ( k n ) ( k )
ˆ min J
下面我们推导θ估计值的计算方法。
J取得最小值，也即J为极值，则有：
J ˆ θ
0
ˆ T ˆ [ (Y Φ θ ) (Y Φ θ ) ] ˆ θ
0
T ˆ 2 Φ (Y Φ θ ) 0
第五章 最小二乘法辨识
服从正态分
❖ 4）有效性
❖ 定理4：假设 (k) 是均值为零，方差为 2I 的正态
白噪声，则最小二乘参数估计量
^
是有效估计
量，即参数估计误差的协方差达到Cramer-Rao不
等式的下界
E (^
^
)(
)T
2E
(
T N
N
) 1
M 1
❖ 其中M为Fisher信息矩阵。
4、适应算法
❖ 随着更多观测数据的处理，递推最小二乘法对线性 定常系统的参数估计并非越来越精确，有时会发现
❖ 现举例说明最小二乘法的估计精度 ❖ 例5.1：设单输入－单输出系统的差分方程为
y(k) a1y(k 1) a2 y(k 2) b1u(k 1) b2u(k 2) (k)
❖ 设 u(k)是幅值为1的伪随机二位式序列，噪声 (k)是 一个方差 2可调的正态分布 N(0, 2 )随机序列。
❖ 为了克服数据饱和现象，可以用降低旧数据影响的 办法来修正算法。而对于时变系统，估计k时刻的 参数最好用k时刻附近的数据估计较准确。否则新 数据所带来的信息将被就数据所淹没。
❖ 几种算法：渐消记忆法，限定记忆法与振荡记忆法
❖ 矩阵求逆引理：设A为 n n 矩阵，B和C为 n m 矩阵，
并且A， A和 BCT I CT都A是1B 非奇异矩阵，则有矩
阵恒等式
A BCT 1 A1 A1B(I CT A1B)1CT A1
❖
令
A
PN1
，B
N 1
，C
T N 1
，根据引理有
PN1
T N 1 N 1
1
❖ 算法中，^ N 为2n+1个存贮单元（ai ,bi ,i 1,2, , n）， 而 PN 是 (2n 1) (2n 1)维矩阵，显然，将 N 换成 PN 后，存贮量大为减少（因为n为模型的阶数，一般 远远小于N）
应用最小二乘一次完成法和递推最小二乘法算法地系统辨识
1最小二乘法的理论基础1.1最小二乘法设单输入单输出线性定长系统的差分方程表示为：其中δ(k)为服从N(0,1)的随机噪声,现分别测出n+N 个输出输入值y(1),y(2),…,y(n+N),u(1),u(2),…,u(n+N),则可写出N 个方程，写成向量－矩阵形式()()()()()()()()1201121n n y k a y k a y k a y k n b u k b u k b u k n k ξ=-------++-++-+L L ()()()()()()()()()()()()()()()()()()10111121222112n n y n y n y u n u y n y n y u n u y n N y n N y N u n N u N a n a n b n N b ξξξ+--+⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥+-+-+⎢⎥⎢⎥=⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+-+--+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥+⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦LLL L M M MMLL M M M(4.1.1)则式(1.1.1)可写为 （4.1.2）式中：y 为N 维输出向量；ξ为N 为维噪声向量；θ为（2n+1）维参数向量；Φ为N ×（2n+1）测量矩阵。
因此，式（4.1.1）是一个含有（2n+1）个未知参数，由N 个方程组成的联立方程组。
11y θφφξ--=-在给定输出向量y 和测量矩阵Φ的条件下求参数θ的估计，这就是系统辨识问题。
设 表示 θ 的估计值，ŷ表示y 的最优估计，则有 （4.1.3） 式中：()()()10ˆˆ1ˆˆ2ˆˆ,ˆˆˆn n ay n a y n y b y n N b θ⎡⎤⎢⎥+⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦M M M ()()()()()()()()()()()()()()()()()()101122,,11112221n n a y n n y n a n y b y n N n N b y n y u n u y n y u n u y n N y N u n N u N ξξθξξφ⎡⎤⎢⎥++⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦--+⎡⎤⎢⎥-+-+⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-+--+⎢⎥⎣⎦M M M M L LL L M MMLL y φθξ=+ˆθˆˆyθ=Φ设e(k)=y(k)- ŷ(k), e(k)称为残差，则有e=y- ŷ=y-Φθ 最小二乘估计要求残差的平方和最小，即按照指数函数（4.1.4）求Ｊ对 的偏导数并令其等于0可得：（4.1.5）由式（4.1.5）可得的 θ 最小二乘估计：（4.1.6）J 为极小值的充分条件是：即矩阵ΦT Φ为正定矩阵，或者说是非奇异的。
系统辨识最小二乘法大作业 (2)
系统辨识大作业最小二乘法及其相关估值方法应用学院：自动化学院学号：姓名：日期：基于最小二乘法的多种系统辨识方法研究一、实验原理1.最小二乘法在系统辨识中用得最广泛的估计方法是最小二乘法(LS)。
设单输入-单输出线性定长系统的差分方程为(5.1.1)式中:为随机干扰；为理论上的输出值。
只有通过观测才能得到，在观测过程中往往附加有随机干扰。
的观测值可表示为(5.1.2)式中:为随机干扰。
由式(5.1.2)得(5.1.3)将式(5.1.3)带入式(5.1.1)得(5.1.4)我们可能不知道的统计特性，在这种情况下，往往把看做均值为0的白噪声。
设(5.1.5)则式(5.1.4)可写成(5.1.6)在观测时也有测量误差，系统内部也可能有噪声，应当考虑它们的影响。
因此假定不仅包含了的测量误差，而且包含了的测量误差和系统内部噪声。
假定是不相关随机序列(实际上是相关随机序列)。
现分别测出个随机输入值，则可写成个方程，即上述个方程可写成向量-矩阵形式(5.1.7) 设则式(5.1.7)可写为(5.1.8)式中：为维输出向量；为维噪声向量；为维参数向量；为测量矩阵。
因此式(5.1.8)是一个含有个未知参数，由个方程组成的联立方程组。
如果，方程数少于未知数数目，则方程组的解是不定的，不能唯一地确定参数向量。
如果，方程组正好与未知数数目相等，当噪声时，就能准确地解出(5.1.9)如果噪声，则(5.1.10)从上式可以看出噪声对参数估计是有影响的，为了尽量较小噪声对估值的影响。
在给定输出向量和测量矩阵的条件下求系统参数的估值，这就是系统辨识问题。
可用最小二乘法来求的估值，以下讨论最小二乘法估计。
2.最小二乘法估计算法设表示的最优估值，表示的最优估值，则有(5.1.11)写出式(5.1.11)的某一行，则有(5.1.12) 设表示与之差，即-(5.1.13)式中成为残差。
把分别代入式(5.1.13)可得残差。
设则有(5.1.14) 最小二乘估计要求残差的平方和为最小，即按照指数函数(5.1.15) 为最小来确定估值。
系统辨识最小二乘参数估计matlab
最小二乘参数估计摘要：最小二乘的一次性完成辨识算法（也称批处理算法），他的特点是直接利用已经获得的所有（一批）观测数据进行运算处理。
这种算法在使用时，占用内存大，离线辨识，观测被辨识对象获得的新数据往往是逐次补充到观测数据集合中去的。
在应用一次完成算法时，如果要求在每次新增观测数据后，接着就估计出系统模型的参数，则需要每次新增数据后要重新求解矩阵方程()Z l T l l Tl ΦΦΦ-∧=1θ。
最小二乘辩识方法在系统辩识领域中先应用上已相当普及，方法上相当完善，可以有效的用于系统的状态估计，参数估计以及自适应控制及其他方面。
关键词：最小二乘（Least-squares ），系统辨识（System Identification ） 目录：1.目的 (1)2.设备 (1)3引言 (1)3.1 课题背景 (1)4数学模型的结构辨识 (2)5 程序 (3)5.1 M 序列子函数 ................................................................................... 错误!未定义书签。
5.2主程序................................................................................................. 错误!未定义书签。
6实验结果： ................................................................................................................................... 3 7参考文献： ................................................................................................... 错误!未定义书签。
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3.1 最小二乘法一次完成推导 本文中以一个 SISO 系统为例说明最小二乘法的原理。 假设一个 SISO 系统如下图所示：
其离散传递函数为：
G( z 1 )
B(z 1) A( z 1 )
b1z 1 b2 z 2 bn z n 1 a1z 1 a2 z 2 an z n
的数据是实时采集的系统输入输出数据，应用递推算法对参数估计值进行不断修正,以 取得更为准确的参数估计值。由于在线辨识方法具有实时采集系统输入输出数据，实时
辨识模型参数,且占据计算机存储量小的优点，因此与离线辨识相比,在线辨识方法得到 了更为广泛的应用。在线辨识的参数估计的最小二乘递推算法如下：
^θ(k+1) = ^θ(k)+K(k+1)[y(k+1)-xT(k+1)^θ(k)]
N
)
bn
（6）
设
y(n 1)
y
=
y(n
2)
y(n
N
)
a1
,
bn
,
b0
bn
(n 1)
=
(n
2)
(n N )
取泛函 J ( ) 为
N
J ( ) (Y )2 e2 (n i) eT e (Y )T (Y ) i 1
最小二乘法原理既是使 J ( ) 最小，对其求极值得：
J
[(Y
)T (Y
)] 0
由此可得系统的最小二乘法估计值为：
关键词：最小二乘法；系统辨识；参数估计
1 引言
最小二乘理论是有高斯（K.F.Gauss）在 1795 年提出：“未知量的最大可能值是这样 一个数值，它使各次实际观测值和计算值之间的差值的平方乘以度量其精度的数值以后 的和最小。”这就是最小二乘法的最早思想。
最小二乘辨识方法提供一个估算方法，使之能得到一个在最小方差意义上与实验数 据最好拟合的数学模型。递推最小二乘法是在最小二乘法得到的观测数据的基础上，用 新引入的数据对上一次估计的结果进行修正递推出下一个参数估计值，直到估计值达到 满意的精确度为止。
得到渐消记忆的最小二乘递推算法如下：
^θ(k+1) = ^θ(k)+K(k+1)[y(k+1)-xT(k+1)^θ(k)] K(k+1) = P(k)x(k+1)[λ+xT(k+1)P(k)x(k+1)]-1 P(k+1) =1λ[P(k)-K(k+1)xT(k+1)P(k)]
递推初值：^θ(0) =任意值；P(0) =α 2 I，α取计算机容许的最大值。
课程（论文）题目：基于最小二乘法的系统辨识 ： 摘要 最小二乘法是一种经典的数据处理方法。最小二乘的一次性完成辨识算法（也称批处理算
法），他的特点是直接利用已经获得的所有（一批）观测数据进行运算处理。在系统辨识领域中,最 小二乘法是一种得到广泛应用的估计方法,可用于动态系统,静态系统,线性系统,非线性系统。在随 机的环境下，利用最小二乘法时，并不要求观测数据提供其概率统计方面的信息，而其估计结果， 却有相当好的统计特性。
到式 3.5 中，写成矩阵的形式为：
Y e
3.6
y(n)
y(n 1) y(1) u(n) u(1)
y(n
1)
y(n)
y(2)
u(n 1)
u(2)
y(n N ) y(n N 1) y(N ) u(n N ) u(N )
3.4
令(k) [ y(k 1) y(k 2) y(k n) u(k 1) u(k 2) u(k n)]T
[a1 a2 an b1 b2 bn ]
则式 3.4 可以写为：
y(k) T (k) e(k)
3.5
将上述式子扩展到 N 个输入、输出观测值{ u(k), y(k) }，k=1,2,…，N+n。将其代入
分别测出 n+N 个输出输入值 y(1), y(2), y(n N ),u(1),u(2),,u(n N ) ,则可以写
出 N 个方程，即 y(n 1) a1 y(n) a2 y(n 1) an y(1) b0u(n 1) b1u(n) bnu(1) (n 1) y(n 2) a1 y(n 1) a2 y(n) an y(2) b0u(n 2) b1u(n 1) bnu(2) (n 2) y(n N ) a1 y(n N 1) a2 y(n N 2) an y(N )
=
(x
T m
x
m
)
1
其最优性准则函数为:
m
J = e2 (i) i 1
其中 m 为数据采集的次数，e 为残差向量。由于上述递推算法无法反映参数随时间变化 的特点，新数据被大量的老数据所淹没，对于慢时变参数的辨识来说，这必然得不到跟
踪参数变化的实时估计，因此又进一步有了改进的最小二乘递推算法，即带遗忘因子的 渐消记忆的递推算法，该算法贬低老数据的作用，强调新数据的作用，选取遗忘因子λ，
在观测过程中往往附加有随机干扰。 x(k) 的观测值 y(k) 可表示为
y(k) x(k) n(k)
（2）
将式（2）代入式（1）得 y(k) a1y(k 1) an y(k n) b0u(k) b1u(k 1)
n
bnu(k n) n(k) ai n(k i)
2 最小二乘法的系统辨识
设单输入—单输出线性定常系统的差分方程为： x(k) a1x(k 1) an x(k n) b0u(k) bnu(k n), k 1,2,3, （1）
上式中： u(k) 为输入信号； x(k) 为理论上的输出值。 x(k) 只有通过观测才能得到，
(3)
i 1
我们可能不知道 n(k) 的统计特性，在这种情况下，往往把 n(k) 看做均值为 0 的白噪
声。 设
n
(k) n(k) ain(k i) i 1
则式（3）可以写成 y(k) a1y(k 1) an y(k n) b0u(k) b1u(k 1)
bnu(k n) (k)
（4） (5)
在测量 u(k) 时也有测量误差，系统内部也可能有噪声，应当考虑它们的影响。
因此假定 (k) 不仅包含了 x(k) 的测量误差，而且还包含了 u(k) 的测量误差和系统
内部噪声。假定 (k) 是不相关舱机序列(实际上 (k) 是相关随机序列)。
参考程序
%
待
辨
识
系
统
z(k)=0.1*z(k-1)-0.5*z(k-2)+0.6*z(k-3)+u(k-1)+0.5*u(k-2)-0.2*u(k-3)+v(k)/800%
对工程实践中测得的数据进行理论分析，用恰当的函数去模拟数据原型是一类十分 重要的问题，最常用的逼近原则是让实测数据和估计数据之间的距离平方和最小，这即 是最小二乘法。最小二乘法是一种经典的数据处理方法。在随机的环境下，利用最小二 乘法时，并不要求观测数据提供其概率统计方面的信息，而其估计结果，却有相当好的 统计特性。
N (2n 1) 测量矩阵。因此 N<2n+1,方程数少于未知数数目，则方程组的解是不定的，
不能唯一的确定参数向量。如果 N=2n+1，方程数正好与未知数数目相等，当噪声 =0
时，就能准确的解出
1y
如果噪声 0 ，则
1y 1
从上式可以看出噪声 对参数估计有影响，为了尽量减小噪声 对 估值的影响，应取 N>(2n+1),即方程数大于未知数数目。在这种情况下，不能用解方程的办法来求 ，而要 采用数理统计的办法，以便减小噪声对 估值的影响。在给定输出向量 y 和测量矩阵 的条件下求系统参数 的估值，这就是系统辨识问题。可用最小二乘法来就 的估值。
3.1
输入输出的关系为：
u(k) G(z 1 ) e(k) y(k)Байду номын сангаас
3.2
进一步，我们可以得到：
y(k) A(z 1 ) u(k) B(z 1 ) e(k)
3.3
其中，扰动量 e(k) 为均值为 0，不相关的白噪声。 将式 3.3 写成差分方程的形式： y(k) a1 y(k 1) a2 y(k 2) an y(k n) b1u(k 1) b2u(k 2) bnu(k n) e(k)
其最优性准则函数为：
m
J = mie2 (i) i 1
其中加权系数 0<λ≤1。λ通常在 0.9 与 0.99 之间取值。
5 参考文献
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