人教新课标版数学高二-人教B版选修2-2练习 综合法与分析法

第二章 2.2 第1课时

一、选择题

1．用分析法证明问题是从所证命题的结论出发，寻求使这个结论成立的( ) A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充要条件

D ．既非充分条件又非必要条件 A

2．下面的四个不等式： ①a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ； ②a (1－a )≤1

4；

③b a ＋a

b

≥2； ④(a 2＋b 2)·(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2. 其中恒成立的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个

C

∵(a 2＋b 2＋c 2)－(ab ＋bc ＋ac )＝12≥0

a (1－a )－14＝－a 2＋a －1

4＝－⎝⎛⎭⎫a －122≤0， (a 2＋b 2)·(c 2＋d 2)＝a 2c 2＋a 2d 2＋b 2c 2＋b 2d 2 ≥a 2c 2＋2abcd ＋b 2d 2＝(ac ＋bd )2， ∴①②④正确．故选C.

3．设x ＝2，y ＝7－3，z ＝6－2，则x 、y 、z 的大小顺序是( ) A ．x >y >z B ．z >x >y C ．y >z >x D ．x >z >y D

∵x 、y 、z 都是正数，又x 2－z 2＝2－(8－43)＝43－6＝48－36＞0，∴x ＞z .

∵z y ＝6－27－3＝7＋36＋2＞1.∴z ＞y . ∴x >z >y .故选D.

4．若a

A ．(a ，b )和(b ，c )内

B ．(－∞，a )和(a ，b )内

C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内

D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内 A

因为a 0，f (b )＝(b －c )(b －a )<0，f (c )＝(c －a )(c －b )>0，由零点存在性定理知，选A.

5．p ＝ab ＋cd ，q ＝ma ＋nc ·b m ＋d

n

(m 、n 、a 、b 、c 、d 均为正数)，则p 、q 的大小为( )

A ．p ≥q

B ．p ≤q

C ．p >q

D ．不确定

B q ＝ab ＋mad n ＋nbc

m

＋cd

≥

ab ＋2abcd ＋cd ＝ab ＋cd ＝p .故选B.

6．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，a 、b ∈R ＋

，A ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，B ＝f (ab )，C ＝f ⎝⎛⎭⎫2ab a ＋b ，则A 、B 、C 的大小关系为( )

A ．A ≤

B ≤

C B ．A ≤C ≤B C ．B ≤C ≤A

D ．C ≤B ≤A

A

∵a ＋b 2≥ab ≥2ab

a ＋b

，又函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 在(－∞，＋∞)上是单调减函数， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2≤f (ab )≤f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫2ab a ＋b .故选A. 7．若x 、y ∈R ，且2x 2＋y 2＝6x ，则x 2＋y 2＋2x 的最大值为( ) A ．14

B ．15

C ．16

D ．17

B

由y 2＝6x －2x 2≥0得0≤x ≤3，从而x 2＋y 2＋2x ＝－(x －4)2＋16，∴当x ＝3时，最大值为15.

8．设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )

A ．锐角三角形

B ．直角三角形

C ．钝角三角形

D ．不确定

B

由正弦定理得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，所以，sin(B ＋C )＝sin 2A ，∴sin A ＝sin 2A ，而sin A >0，∴sin A ＝1，A ＝π

2

，所以△ABC 是直角三角形．

二、填空题

9．设a >0，b >0，c >0，若a ＋b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1

c 的最小值为________．

9

∵a >0，b >0，c >0，a ＋b ＋c ＝1， ∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋b a ＋a b ＋c a ＋a c ＋c b ＋b c

≥3＋2

b a ·a b

＋2c a ·a c

＋2c b ·b

c

＝9， 等号在a ＝b ＝c ＝1

3

时成立．

10．若0

∵02ab (a ≠b )，

∴2ab 2ab (a ≠b )，故a ＋b 最大．

简解：不妨取a ＝12，b ＝14，则a ＋b ＝34，2ab ＝22，a 2＋b 2＝516，2ab ＝1

2，显然最大

为a ＋b .

11．设p ＝2x 4＋1，q ＝2x 3＋x 2，x ∈R ，则p 与q 的大小关系是________．