常微分方程偏微分方程
常微分方程(王高雄)第三版
1 积分曲线 一阶微分方程
dy f (x, y) dx
的解 y(x所 ) 表x示 y平面上的一,条曲
称为微分方程的积分曲线.
而其通 y解 (x,c对 ) 应 xy平面上的一, 族
称这族曲线为族 积 . 分曲线
.
2 方向场
设函 f(x数 ,y)的定义 D,在 域 D内 为每(一 x,y)处 点 ,都画 上一f个 (x,y以 )的值为 ,中 斜心 率 (x,在 y)点的,线 称段 带 有这种直线 D为 段方 的 d程 y 区 f(x域 ,y)
dt
yn1
fn1(t;
y1,L
yn)
yn
fn(t;y1,L yn)
.
dx
Lorenz方程
dt dy
dt
a(y xz
x) cx
y
dz d t
y bz
Volterra两种种群竞争模型
dx d t
x(a bx cy )
dy
d t
y (d ex
fy )
c1
c2 cn
(,, ,(n1)) (c1,c2, ,cn)
c1
c2 cn 0
(n1) c1
(n1) c2
(n1) cn
其中 (k)表示ddkxk .
.
例3 验证 yc1exc2exc3e2x3是微分方
y'"2y"y' 2y6 的通. 解 证明: 由于 y' c1 exc2ex2c3e2x
七、驻定与非驻定
dyf(y),yDRn dt
与t无关，驻定系统
dyf(t,y),yDRn dt
与t有关，非驻定系统
.
八 相空间与轨线
常微分方程课程总结
常微分方程课程总结第一章 绪论§1.2微分方程的基本概念（1）常微分方程偏微分方程微分方程：凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程。
常微分方程：未知函数为一元函数的微分方程。
()(),dyaxy a dxdy p x y Q x dx=+=为常数 偏微分方程：未知函数为多元函数，从而出现偏导数的微分方程。
()22,22242u uf x y x y u u y x ∂∂+=∂∂∂∂=∂∂（2）线性与非线性一般n 阶线性微分方程具有形式：（等式左面全是一次有理整式）()(1)11()()()().n n n n y a x y a x y a x y f x --'++++=（3）解和隐式解微分方程的解：代入微分方程能使方程成为恒等式的函数. 隐式解：Φ（x,y ）=0 （4）通解和特解通解：微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数同.） 特解： 确定了通解中任意常数以后的解. 初始条件：用来确定任意常数的条件.初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题.（5）积分曲线：微分方程任一特解的图形都是一条曲线,称为微分方程的积曲线。
第二章 一阶微分方程的初等解法§2.1 变量分离方程与变量变换2.1.1、变量分离方程)()(y x f dxdyϕ= ⎰⎰+=c dx x f y dy )()(ϕ 2.1.2、可化为变量分离方程的类型1.形如)(x y g dx dy =，称为齐次微分方程，令u ＝xy ,即y ＝ux ，于是dx dy ＝x dx du ＋u ，代入原方程，变形为x dx du ＋u ＝g （u ），整理得dx du ＝xuu g -)(2.形如222111c x b x a c x b x a dx dy ++++= 的方程也可经变量变换化为变量分离方程（1）常数）(212121k c c b b a a ===，方程化为dxdy ＝k ，有通解c kx y += （2）≠==k b b a a 212121c c 情形，令u ＝y b x a 21+，这时有dx du ＝dx dy b a 22+＝2122c u c ku b a +++是分离变量方程 （3）2121b b a a ≠情形，若21c c 、不全为零，方程右端分子、分母都是x 、y 的一次多项式，因此111c x b x a ++＝0，222c y b x a ++＝0，交点（),βα，令X ＝x －α，Y ＝y －β，化为011=+Y b X a ， 022=+Y b X a 。
微分方程和偏微分方程
微分方程和偏微分方程
微分方程和偏微分方程是数学中的两个重要分支，它们在物理、工程、经济等领域中都有广泛的应用。
微分方程是描述自然现象中变化的数学模型，而偏微分方程则是描述空间中变化的数学模型。
微分方程是一种包含导数或微分的方程，它描述了一个变量随时间的变化规律。
微分方程可以分为常微分方程和偏微分方程两种。
常微分方程是只涉及一个自变量的微分方程，而偏微分方程则涉及多个自变量。
偏微分方程是一种包含偏导数的方程，它描述了一个变量随空间的变化规律。
偏微分方程可以分为线性偏微分方程和非线性偏微分方程两种。
线性偏微分方程是指方程中只包含一阶或二阶偏导数的线性组合，而非线性偏微分方程则是指方程中包含高阶偏导数或非线性项的方程。
微分方程和偏微分方程在物理学中有广泛的应用。
例如，牛顿第二定律可以用微分方程来描述物体的运动规律，热传导方程可以用偏微分方程来描述物体内部的温度分布。
在工程学中，微分方程和偏微分方程也有着重要的应用。
例如，电路中的电流和电压可以用微分方程来描述，流体力学中的流体运动可以用偏微分方程来描述。
微分方程和偏微分方程是数学中的两个重要分支，它们在自然科学和工程技术中都有着广泛的应用。
通过对微分方程和偏微分方程的
研究，我们可以更好地理解自然现象和工程问题，并为解决实际问题提供有力的数学工具。
常微分方程基本概念
注1:称函数y (x, c1,, cn )含有n个独立常数,是指
存在(x, c1,, cn )的某一邻域,使得行列式
c1
(, ',, (n1) )
(c1, c2 ,, cn )
'
c1
(n1)
c1
c2
cn
'
c2
'
cn 0
(n1) (n1)
为了从通解中得到合乎要求的特解,必须根据实 际问题给微分方程附加一定的条件,称为定解条件.
求满足定解条件的求解问题称为定解问题.
常见的定解条件是初始条件,n阶微分方程的初
始条件是指如下的n个条件:
当x
x 0时,
y
y0 ,
dy dx
y (1) 0
,,
d (n1) y dxn1
y (n1) 0
这里x0 , y0 , y0(1) ,, y0(n1)是给定的 n 1个常数.
定义6 在通解中给任意常数以确定的值而得到的解 称ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ方程的特解.
例如 y sinx, y cosx都是方程 y" y 0的特解. 可在通解y c1sinx c2cosx中分别取 c1 1, c2 0,得到 : y sinx,
c1 0, c2 1,得到 : y cosx.
3 定解条件
tx
dx dt
3
x
0;
d4x d2x (4) dt4 5 dt2 3x sin t;
都是常微分方程
2.偏微分方程 如果在一个微分方程中,自变量的个数为两个或两 个以上,称为偏微分方程.
如 (5) z z z ;
x y
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当定解条件是初始条件时,相应的定解问题称为初值问题. .
注1:n阶微分方程的初始条件有时也可写为
注2y : (求 x 0 ) n阶 y 微 0 ,d 分d (x 方 0 y ) : Fx 程(xy ,0 (1 y),, ddyx,,d (,n d dd1 ) nxn y ny ( )1 x x 0 ) 0, 满y 0 ( 足 n 1 )条件
例1：下列关系式都是微分方程
(1) dy 2x; dx
(2x)d y yd0 x;
(3) dd22txtxddxt3x0;
(4) d4x5d2x3xsitn; d4t d2t
(5) z z z ; x y
(6) 2u2uxyuz0. x2 y2
.
1.常微分方程 如果在一个微分方程中，自变量的个数只有一个，
如果微分方程的隐式解中含有任意常数,且所 含的相互独立的任意常数的个数与微分方程的 阶数相同,则称这样的解为该 方程的隐式通解.
.
定义6 在通解中给任意常数以确定的值而得到的解 称为方程的特解.
例如 ysixn,y co x都 s 是 y"方 y0 的 程特 . 可在 y通 c1sixn 解 c2co x中 s 分别 c11,c20,得到 : ysinx, c10,c21,得到 : ycox.s
dx 所规定的方向场.
在方向场中,方向相同的点的几何轨迹称为等斜线.
方 d程 yf(x ,y)的等 ,f(x 斜 ,y) k,线 其 k 为 为 中 .参 dx
.
方向场画法：适当画出若干条等斜线，再在每条等斜线上适当 选取若干个点画出对应的向量,这样即可画出这个方向场.
偏微分方程的分类与求解方法
偏微分方程的分类与求解方法偏微分方程（Partial Differential Equations，简称PDEs）是数学中的重要概念，广泛应用于物理学、工程学、经济学等学科领域。
它是描述自然现象变化过程中的数学模型，通过建立方程来解释各种现象的规律和变化。
偏微分方程可以根据方程中的变量的个数以及变量对应的阶数进行分类。
常见的分类有常微分方程和偏微分方程两大类。
常微分方程（Ordinary Differential Equations，简称ODEs）只涉及一个自变量和它的求导或微分，而偏微分方程涉及多个自变量和它们的偏导数或偏微分。
在偏微分方程中，按照方程的类型可以进一步分为椭圆型、双曲型和抛物型方程。
这些分类依据方程二阶导数的系数的符号来进行划分，在分类的过程中通常会忽略掉低阶导数的系数。
椭圆型偏微分方程的一个典型例子是拉普拉斯方程（Laplace equation），它的形式为△u=0。
这类方程在物理学、数学和工程学中有着重要的应用，如电势分布、流体力学问题等。
椭圆型方程具有稳定性和唯一解的性质。
双曲型偏微分方程描述了波动现象，如声波、电磁波等传播过程。
其中最著名的方程是波动方程（Wave equation），其一维形式为∂^2u/∂t^2=c^2∂^2u/∂x^2。
这些方程在数学物理学、电磁学、声学等领域的研究中有着广泛的应用。
抛物型偏微分方程主要描述了扩散现象，如热传导、输运过程等。
最经典的抛物型方程是热传导方程（Heat equation），其一维形式为∂u/∂t=α∂^2u/∂x^2。
这类方程在热力学、流体力学以及其他一些物理学领域中都有重要的应用。
对于不同类型的偏微分方程，我们需要采用不同的求解方法。
常见的求解方法包括分离变量法、特征线法、变换法、有限差分法、有限元法等。
分离变量法是最常用的求解偏微分方程的方法之一。
该方法假设方程的解可以表示为多个单变量函数的乘积，通过将方程中的各个变量分别求解得到最终的解。
数学中的微分方程与偏微分方程
微分方程是研究物理、生物、经济等领域中变化过程的重要工具。
它描述了未知函数与其导数之间的关系，并为我们提供了如何预测和解释复杂系统行为的方法。
其中，微分方程的一种特殊形式为偏微分方程，它在描述空间中的变化时十分重要。
本文将介绍微分方程和偏微分方程的基本概念以及它们在数学中的应用。
微分方程是包含导数的方程。
一般来说，微分方程可以分为常微分方程和偏微分方程两类。
常微分方程中的未知函数只依赖于一个独立变量，而偏微分方程中的未知函数依赖于多个独立变量。
常微分方程常被用于描述一维系统的变化，而偏微分方程则更适用于描述多维系统的变化。
解微分方程的方法有很多种，其中一种常见的方法为分离变量法。
这种方法适用于可分离变量的微分方程，即可以将变量分开成两个独立的函数，并在方程两边同时积分。
另外，还有一些高级的方法如变换法、积分因子法等，可以用于解决一些特殊类型的微分方程。
偏微分方程则更加复杂，因为它们涉及到多个变量之间的复杂关系。
这些方程通常用于描述物理现象，如热传导、波动、扩散等，因此在物理学和工程学中有着广泛的应用。
常见的偏微分方程有波动方程、热传导方程、扩散方程等。
解偏微分方程的方法也有很多种，如分离变量法、特征线方法、变换法等。
微分方程和偏微分方程在数学中的应用十分广泛。
它们被用于建立物理模型、解释生物现象、预测金融市场等。
在物理学中，微分方程和偏微分方程被用来描述天体运动、电磁场分布等。
在生物学中，它们被用于描述物种数量的变化、神经传导等。
在经济学中，微分方程和偏微分方程被用来预测股市的变化、经济增长等。
微分方程和偏微分方程的研究不仅有理论意义，还有重要的应用价值。
通过分析解析解或数值解，我们可以预测和控制系统的行为，优化工程设计，改善生物治疗等。
因此，微分方程和偏微分方程的研究既有基础理论的发展，也有实际问题的解决。
综上所述，微分方程和偏微分方程是数学中重要的工具，用于描述变化过程。
它们在物理、生物、经济等领域的应用广泛，为我们理解和控制复杂系统提供了重要手段。
微分方程和偏微分方程的基本理论
微分方程和偏微分方程的基本理论微分方程是数学中一类重要的方程，它描述了自然界中许多现象的变化规律。
微分方程分为常微分方程和偏微分方程两大类。
本文将介绍微分方程和偏微分方程的基本理论，包括定义、分类、解的存在唯一性以及一些常见的解法方法。
1. 微分方程的定义与分类微分方程是描述函数及其导数之间关系的方程。
一般形式为 F(x, y,y', y'', ..., y^(n)) = 0，其中 x 是自变量，y 是因变量，y' 是 y 对 x 的导数，y'' 是 y' 对 x 的导数，y^(n) 是 y^(n-1) 对 x 的导数，n 是非负整数。
根据方程中包含的未知函数和它的导数的最高阶数，微分方程可以分为常微分方程和偏微分方程两类。
常微分方程仅涉及一个自变量，例如 dy/dx = f(x)。
偏微分方程涉及多个自变量，其中一个是因变量，其他是自变量的函数，例如∂u/∂t = k∇^2u。
2. 解的存在唯一性对于给定的初始条件或边界条件，微分方程的解可能存在且唯一。
常微分方程的初始条件是在某个点上给出的函数值及其导数值，偏微分方程的边界条件是在某个区域边界上给出的函数值或导数值。
存在唯一性定理是解微分方程的基本工具之一。
根据皮卡-林德洛夫定理和格朗沃尔不等式，可以证明解的存在唯一性。
3. 常见的解法方法解微分方程的方法多种多样，以下介绍几种常用的方法：3.1. 变量分离法变量分离法适用于一阶常微分方程。
通过将方程中的变量分离并分别积分，得到方程的解。
例如，对于 dy/dx = f(x)g(y)，可以将方程变形为 g(y)dy = f(x)dx，然后对两边同时积分，进而得到解 y 的表达式。
3.2. 微分方程的积分因子法积分因子法适用于一阶常微分方程中的线性方程。
通过乘以一个适当的函数，使得方程变为可积的形式，然后再对方程进行积分。
例如，对于 dy/dx + p(x)y = q(x)，可以乘以一个积分因子μ(x)，使得μ(x)(dy/dx) + μ(x)p(x)y = μ(x)q(x)。
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2
k 2 (C1 cos kt C 2 sin kt ) k 2 (C1 cos kt C 2 sin kt ) 0.
故 x C1 cos kt C2 sin kt 是原方程的解 .
x t 0 dx A, 0, dt t 0
C1 A, C2 0.
第五章
常微分方程
微分方程的基本概念 一阶微分方程的解法 二阶线性微分方程的解法
1
第一节 微分方程的基本概念
例 1 一曲线通过点（1，2），且在该曲线上任一点 M（x，y） 处的切线的斜率为 2x，求这曲线的方程。
解 设所求曲线方程为 y y x 根据导数的几何意义， dy 2x （1） dx （1）式两端积分，得: y 2 xdx 即
所求特解为 x A cos kt . 补充: 微分方程的初等解法: 初等积分法.
求解微分方程
求积分
(通解可用初等函数或积分表示出来)
9
小结
微分方程; 微分方程的阶; 微分方程的解; 通解; 初始条件; 特解; 初值问题; 积分曲线;
思考题
函数 y 3e 的什么解?
2x
是微分方程 y 4 y 0
而且一定含有 y n ； y 是未知函数， x 是自变量。 如果函数 y x 代入微分方程后， 能使方程变为恒等式，
则称 y x 为微分方程的解。 通解：解中含有任意常数，且独立的任意常数的个数等于 微分方程的阶数。 特解：满足初始条件的解。
6
（5）
n 阶微分方程的初始条件是指如下的 n 个条件：
10
思考题解答
y 6e 2 x , y 12e 2 x ,
y 4 y 12e 2 x 4 3e 2 x 0,
y 3e 2 x 中不含任意常数,
故为微分方程的特解.
11
5
x 2 y y 2 cos x xy e x y 0 dy 2x dx
一般地，n 阶微分方程பைடு நூலகம்形式是
三阶微分方程。 一阶微分方程。
F x , y , y' , y" , , y n 0
F x , y , y' , y" , , y n 是 x , y , y' , y" , , y n 的函数，
7
例 3 验证:函数 x C1 cos kt C 2 sin kt 是微分
d x 方程 2 k 2 x 0的解. 并求满足初始条件 dt dx x t 0 A, 0的特解. dt t 0 dx 解 kC1 sin kt kC2 cos kt , dt 2 d x 2 2 k C cos kt k C 2 sin kt , 1 2 dt 2 d x 将 2 和x的表达式代入原方程 , dt
y x2 C
（2）
把条件“x=1，y=2”代入（2）式，得
C 1
于是所求曲线方程为
y x2 1
2
例 2 列车在平直的线路上以 20 米/秒的速度行驶, 2 当制动时列车获得加速度 0.4 米/秒 ,问开始制动 后多少时间列车才能停住？以及列车在这段时间内 行驶了多少路程？
解
设制动后t 秒钟行驶 s 米, s s(t )
ds d 2s t 0时, s 0, v 20, 0.4 2 dt dt ds 2 s 0.2t C1t C 2 v 0.4t C1 dt
3
代入条件后知
C1 20, C 2 0
ds v 0.4t 20, dt
故 s 0.2t 20t ,
2
20 开始制动到列车完全停住共需 t 50(秒), 0 .4
列车在这段时间内行驶了
s 0.2 50 20 50 500(米).
2
4
微分方程： 含有未知函数的导数（或微分）的方程。
常微分方程: 未知函数是一元函数的微分方程。
偏微分方程： 未知函数是多元函数的微分方程。 微分方程 的阶: 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数.
n1 n1 y y , y ' y , , y y . x x 当 0 0 0 0 时，
或写作
y x x y 0 , y'
0
x x0
, , y0
y n1
x x0
n1 y0
n1 ,, y0 这里 x0 , y0 , y0 是给定的n+1个常数。
初值问题: 求微分方程满足初始条件的特解的问题. 一般初值问题可写为：
F x , y , y' , y" , , y n 0
y x x y 0 , y'
0
x x0
, , y0
y n1
x x0
n1 y0
微分方程的解的图形是一条曲线， 称它为微分方程的积分曲线。 满足初始条件的特解就是通过点 x0 , y0 的一条积分曲线。